תוכן העניינים
חוברת לוגיקה ניסים אוחנה מהדורת 0202 לוגיקה לבקרה במכונות תוכן העניינים חלק ראשון :תקצירים ותרגול .1מבוא 3-20 3-4 .2 סמלים מוסכמים 5 .3 כללי יסוד באלגברה בוליאנית 6-7 .4 תרגיל מס' - 1חוקי יסוד 8 .5 טבלאות אמת 9-11 .6 תרגיל מס' - 2חוקי יסוד וטבלאות אמת 12-13 .7 שערים לוגיים 14-15 .8 תרגיל מס' - 3מערכות שערים 16 .9 תרגיל מס' - 4מערכות שערים 17 .11 תרגיל מס' - 5מערכות שערים 18-19 .11 תרגיל מס' – 6פונקציות וטבלאות אמת 21 .12 כללי דה-מורגן 21 .13 מפות קרנו 22-25 .14 תרגיל מס - 7טבלאות אמת ומפות קרנו 26-27 .15 המרת פונקציה נתונה לפונקציה קנונית 28 .16 מערכות שלמות 29-32 .17 תרגיל מס' - 8מערכות שלמות 32-33 .18 תרגיל מס' - 9מערכות שלמות 34 .19 תרשימי מתגים (מפסקים) -תרגול 35-43 .21 ניתוח מערכת ובניית פתרון לוגי – תרגול 44-45 .21 סיכום כללי האלגברה הבוליאנית 46 .22 סיכום כל השערים הלוגיים 47 .23 סיכום כל השערים הלוגיים וטבלאות אמת 48-51 .24 נספח :1דוגמה לטבלאות אמת ומפות קרנו 51 .25 נספח :2מעבר בין בסיסי ספירה 52 25-20 חלק שני :מעבדה בלוגיקה .26 סמלים פניאומאטיים 54-55 .27 מימוש פונקציות לוגיות באמצעות רכיבים פניאומאטיים 56-61 .28 תרגול קריאת מעגלי פיקוד 61-66 .29 בקר מתוכנת – הקצאת כתובות בתוכנת ( CDSIMבקר מדמה )TI 67 .31 מימוש פונקציות באמצעות בקרים מתוכנתים 68-71 .31 תרגול מתקדם – מימוש באמצעות רכיבים פניאומאטיים 71 .32 תרגול מתקדם – מימוש באמצעות בקר מתוכנת 72-73 .33 תרגול מסכם -מימוש (משולב) פונקציות בוליאניות 74-77 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 2 לוגיקה לבקרה במכונות מבוא לוגיקה = תורת ההיגיון. פסוק = משפט או היגד בשפת הדיבור הבעיה העיקרית של תורת ההיגיון היא :האם ההיסק נכון ? (או :האם המסקנה נכונה ?) השימוש בשפת הדיבור מקשה ,לעיתים ,לקבוע באופן חד משמעי (האם המסקנה נכונה או לא) .לעיתים קרובות אנו מנסחים משפטים תוך שימוש במילים שאינן חד-משמעיות .כמו למשל: .1יש לי הרבה זמן. .2תן לי ,בבקשה ,מעט סוכר. .3מתי יבוא המשיח ? כדי להימנע מקשיים אלו ,נוצרה שפה מלאכותית (להבדיל משפה טבעית – שפת הדיבור). הסמלים המיוחדים של שפת הלוגיקה עוזרים לנו לנסח טענות באופן בהיר ויעיל יותר מאשר בשפה הטבעית. מושג בסיסי בלוגיקה הוא "פסוק "" .פסוק לוגי" הוא משפט בשפת דיבור שאפשר ליחס לו את הערך "אמת" או "שקר" ורק אחד מהם !. דוגמאות להיגדים שהם פסוקים לוגיים: 1 2 3 4 5 פסוק כל יונק הוא בעל חיים. העיר אילת נמצאת על חוף ים המלח לא כל בעל חיים הוא יונק. פריז היא בירת אנגליה 9–3=5 אמת X שקר X X X X דוגמאות להיגדים שאינם פסוקים לוגיים: 1 2 3 4 5 פסוק מתי ירד היורה ? (יורה = הגשם הראשון) בשנת תש"ע יבוא המשיח מה השעה ? סע לאט ! מה קורה ? אמת ? ? ? ? ? שקר ? ? ? ? ? הרחבה: "אמת" = "נכון" = "כן" "שקר" = "לא נכון" = "לא" פסוק פשוט ופסוק מורכב פסוק יכול להיות מורכב ממספר פסוקים פשוטים .לדוגמה :משה נולד באיטליה ,אבל אחיו דוד נולד בישראל. פסוק כזה נקרא "פסוק מורכב" ,שניתן "לפרק" אותו לפסוקים פשוטים יותר. דוגמאות למשפטים מורכבים: .1השמים מעוננים ויורד גשם .2אם מחר יהיה קר וגשום ,לא אלך לבית הספר. .3אם הים יהיה סוער ולא יהיה מציל אל תיכנס למים. .4אכנס למים אם הים שקט או אם יש מציל. משתנה לוגי משתנה לוגי הוא מרכיב המידע הבודד .המשתנה הלוגי יכול לקבל אחד משני הערכים" :אמת" או "שקר" .במקצועות הטכנולוגיים ,נהוג לסמן ב " "1כדי לתאר "אמת" (נכון ,כן) ולסמן ב " "1כדי לתאר "שקר" (לא נכון ,לא). דוגמה: "אם מחר יהיה קר וגשום ,לא אלך לבית הספר" .זהו ,כאמור ,משפט מורכב והוא כולל שני משתנים: מחר נדע אם התשובה היא "כן" (או " )"1או "לא" (או " )"1לגבי כל אחד משני המשתנים (קר וגשום) ואפעל בהתאם. נשים לב ש "מזג אויר קר" הוא משתנה לוגי אחד (יכול לקבל "כן" או "לא") ,ו"מזג אויר גשום" הוא משתנה לוגי נוסף (יכול לקבל "כן" או "לא"). נתאר זאת באמצעות טבלה שתכלול את כל הצירופים של מזג האוויר (גשם וקור) ואת המסקנה המתבקשת על פי הפסוק הנ"ל : מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 3 לוגיקה לבקרה במכונות אלך לבית ספר כן כן כן לא קר גשום לא כן לא כן לא לא כן כן נסמן: – 1כן - 1לא אלך לבית ספר 1 1 1 1 קר גשום 1 1 1 1 0 1 1 1 על -פי הטבלה רואים שהמסקנה "מחר לא אלך לבית הספר" ,מתקבלת רק כאשר שני המשתנים מקבלים את הערך "כן" ( .)1כלומר גם קר וגם גשום .אם אחד מהמשתנים מקבל ערך "לא" ( – )1המסקנה תהיה הפוכה .בהמשך נחזור לדון בקשר שבין המשתנים ובמשמעות הנובעת מקשר זה. תרגיל: א .לגבי כל אחד מהמשפטים הבאים סמן Xבעמודה המתאימה: היגד 1 2 3 4 5 6 7 8 ב. פסוק לוגי לא פסוק לוגי כל מה שנוצץ הוא זהב הכרזת המדינה התקיימה ב ה' באייר תש"ח אל תחלק באפס! אסור לחלק באפס לכובע שלי שלוש פינות אין דבר העומד בפני הרצון אני גר בקומה השניה למלך צרפת יש כובע אדום לגבי כל אחד מהמשפטים הבאים סמן Xבעמודה המתאימה: היגד 1 2 3 4 5 6 7 8 אמת שקר כל מה שנוצץ הוא זהב הכרזת המדינה התקיימה ב ה' באייר תש"ח אסור לחלק באפס לכובע שלי שלוש פינות אני גר בקומה השניה 4+7>2+8 מחר תזרח השמש ישראל נמצאת במזרח התיכון מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 4 לוגיקה לבקרה במכונות סמלים מוסכמים נתק קבוע בין שתי נקודות – מצב לוגי ":"1 חיבור קבוע בין שתי נקודות – מצב לוגי ":"1 סליל חשמלי (סולונויד) : נורה : מנוע חשמלי : M ממסר CR מקור מתח – זרם ישר (: )DC סימון זיהוי כללי: מקור מתח – זרם חילופין (: )AC סימון זיהוי כללי: מפסקים (מתגים) סוגי מפסקים : רגיל פתוח ,מצב "[ "1מגע פתוח] כאשר המפסק אינו מופעל ומצב " [" "1מגע סגור] כאשר המפסק מופעל. רגיל סגור ,מצב " ["1מגע סגור] כאשר המפסק אינו מופעל ומצב "[ "1מגע פתוח] כאשר המפסק מופעל מפסק "רגיל פתוח" N.O. מפסק "רגיל סגור" N.C. תיאור על פי מבנה סמל מקובל בתרשימי מעגלים חשמליים תיאור מופשט (חיישנים ,מפסקים וכד') מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 5 לוגיקה לבקרה במכונות כללי יסוד באלגברה בוליאנית הערה :בתיאור מערכת מפסקים ,מסרטטים מפסק על-פי המבנה ולא על-פי מצבו הרגעי. סימן החיבור ) ( מציין חיבור מקבילי :קשר בין משתנים -קשר "או" OR סימן הכפל )( מציין חיבור טורי :קשר בין משתנים -קשר "וגם" AND משתנה משתנה יכול לקבל אחד משני הערכים :או " "1או ""1 כללי יסוד – ביטוי בוליאני .0 קשר בין "קבועים" .0 קשר בין משתנה יחיד ולבין "קבוע" 0 0 00 0 0 000 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 0 A A0 0 A A0 A 0 A 1 A 1 A A A 1 1 .3 כלל הכפילות 1 A A AA A A AA A A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 6 לוגיקה לבקרה במכונות כלל המשלים .5 "משלים של :"Aמצבו תמיד הפוך מזה של Aומסמנים אותו כ A A A AA 0 A A A 1 A חוקי יסוד באלגברה בוליאנית חוק החילוף .1 בכפל: בחיבור:.2 A B BA AB BA חוק הקיבוץ : בכפל : -בחיבור : A ( B C) (A B) C A ( B C) (A B) C .3 חוק הפילוג : - בכפל -סכום מכפלות: בחיבור – מכפלת סכומים: A ( B C) A B A C )A ( B C) (A B) (A C (נכון רק באלגברה בוליאנית !) כללי הצמצום .1 A AB A הוכחה אלגברית : )A A B A (1 B 1 B 1 A 1 A .2 ראה כללי יסוד ראה כללי יסוד A (A B) A הוכחה אלגברית : A ( A B) A A A B AA A A AB ) A (1 B 1 B 1 A 1 A .3 ראה כללי יסוד ראה כלל צמצום ()1 ראה כללי יסוד ראה כללי יסוד A AB A B הוכחה אלגברית : A A AB A AB A AB AB ) A B (A A A A 1 A B 1 AB .4 לפי כלל צמצום ()1 מציבים A A Bבמקום A ראה כלל המשלים ראה כללי יסוד A (A B) A B הוכחה אלגברית : A (A B) A A A B AA 0 0 AB AB ראה כלל המשלים ראה כללי יסוד מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 7 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' - 0חוקי יסוד א .השלם את טבלת האמת ב .רשום ביטוי אלגברי מתאים להפעלת הנורה L 2 1 A B A B נורה נורה סוללה 3V L סוללה 3V L L A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 שורה 0 1 2 3 L ביטוי אלגברי להפעלת הנורה: B L A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 שורה 0 1 2 3 L ביטוי אלגברי להפעלת הנורה: A A 4 3 B נורה נורה סוללה 3V סוללה 3V L L L B 0 1 0 1 ביטוי אלגברי להפעלת הנורה: A 0 0 1 1 L שורה 0 1 2 3 L B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 שורה 0 1 2 3 L ביטוי אלגברי להפעלת הנורה: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 8 לוגיקה לבקרה במכונות טבלאות אמת לטבלת אמת שני שימושים עיקריים :תיאור כל המצבים האפשריים של המפסקים (מתגים) והוכחת ביטוי או מערכת לוגית .בטבלת האמת ,מקצים עמודה לכל משתנה בוליאני ולכל פעולה .מספר השורות נקבע על-פי מספר הליטרלים (=אותיות המסמלות משתנים) .בכל שורה – צירוף אחר של מצב המפסקים (שמייצגים משתנים ,שיכולים להמצא במצב " "1או " .)"1כאשר בפונקציה בוליאנית מופיעים 2משתנים ,מספר השורות יהיה .4וכאשר מספר המשתנים הוא ,3 מספר השורות יהיה , 8וכך הלאה .מספר השורות ניתן לחישוב בעזרת הקשר הבא. 2 n : כאן - n :מספר המשתנים המופיעים בפונקציה .לכן22 4 ; 23 8 , נשים לב :כל איבר המתקבל מטבלת אמת מכיל את כל המשתנים הלוגיים שבמערכת הנתונה .מכאן שבעזרת טבלת אמת ניתן לרשום משוואה קנונית (בניסוח אחר :משוואה קנונית היא משוואה שבה כל איבר מכיל את כל המשתנים ומבטאת את כל הציר ופים האפשריים) .כל שורה בטבלה מייצגת צירוף אפשרי אחר של המפסקים. נזכיר :משתנה בוליאני הוא משתנה שיכול לקבל אחד משני הערכים "2" :או "."0 לדוגמה ,טבלת אמת לשני המשתנים : A ,B תנאי ""AND AB 0*0= 0 1*0= 0 1*0= 0 1*1= 1 משתנים בוליאניים תנאי ""OR AB 0+0= 0 1+0= 1 1+0= 1 1+1= 1 B 1 1 1 1 מצב A 1 1 1 1 1 1 2 3 בעיקרו של דבר מתעניינים בשורות שבהן הפונקציה מקבלת את הערך " . "0טבלת האמת מראה שהפונקציה מקבלת " "1רק בשורה ,3שבה גם A=1וגם . B=1 לעומתה ,הפונקציה f (A, B) A Bמקבלת את הערך " "1בשורות ,1,2,3שבהן או A=1או B=1או גם A=1וגם .B=1 להלן נדגים בדיקה על-ידי הצבת הערכים " "1ו " "1באותן שורות בהן הפונקציה מקבלת ": "1 הפונקציה f (A, B) A B : בשורה 1 1 1 : 3 )f (A, B הפונקציה f (A, B) A B : בשורה f 0 1 1 : 1 בשורה f 1 0 1 : 2 בשורה f 1 1 1 : 3 דוגמה נוספת :נתונה טבלת אמת של פונקציה בוליאנית כלשהי .מבקשים לרשום ביטוי בוליאני מתאים על סמך טבלת האמת. f 1 0 1 1 B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 מצב 0 1 2 3 נתייחס רק לשורות שבהן הפונקציה fמקבלת את הערך "."0 כופלים את המשתנים בשורה ומחברים את השורות : בכל אחת מהשורות 3 ,2 ,1הפונקציה מקבל את הערך "."1 אם בטבלה רשום " ,"1בפונקציה נרשום X מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 9 לוגיקה לבקרה במכונות אם בטבלה רשום " ,"1בפונקציה נרשום X בשורה A B : 1 בשורה A B : 2 בשור ה A B : 3 לכן ,נוכל לרשום f A B A B A B : לעיתים קרובות ,ניתן לצמצם את הפונקציה שרשמנו על-פי טבלת האמת .על כן ,כדי לצמצם את הפונקציה ,נפעיל עליה את הכללים שלמדנו (בשלב זה -חוקי יסוד וכללי צמצום). f ABABAB B (A A) A B AA 1 כללי יסוד כלל המשלים B 1 B BAB BA כלל צמצום ( )3בשינוי קטן בעקבות פעולת הפישוט של הפונקציה שהתקבלה מטבלת אמת ,נוכל לרשום f A B A B A B A B : לסיכום f A B : נוכל לבדוק את התוצאה באמצעות טבלת אמת שבה נבדוק אלו ערכים מקבלת הפונקציה המצומצמת והאם מתקבלות אותן תוצאות לפני ואחרי הצמצום: f B A מצב 1 0+1=1 1 0 0 0 0 0+0=0 0 1 0 1 1 1+1=1 1 0 1 2 1 1+0=1 1 1 1 3 AB מסקנה :הטבלה מראה ששתי התוצאות "שקולות". הערה: עבור 5משתנים ויותר ,בניית טבלת אמת "רגילה" והטיפול בה ,היא פעולה מסורבלת .נהוג לפצל את הטבלה לשתי טבלאות ו"לטפל" בכל אחת מהן לחוד ולאחר מכן לסכם את התוצאות ולהמשיך את הטיפול ככל שהדבר נדרש. תוכנית הלימודים אינה כוללת מערכות עם יותר מ 4משתנים. אם מספר השורות שבהן הפונקציה מקבל ערך " "1קטן יותר באופן משמעותי ממספר השורות שבהן הפונקציה מקבלת ערך " ," 1נעדיף להתייחס לשורות אלו וליצור מהן "פונקציה משלימה" ,לצמצם אותה ולאחר מכן להפעיל עליה את כללי דה-מורגן (נלמד על כך בהמשך) .להלן דוגמה להמחשה: ABC ABC )f(A,B,C 1 1 1 1 1 1 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 11 לוגיקה לבקרה במכונות כאשר ערך המשתנה בטבלה הוא 1רושמים את המשתנה (למשל .)A : כאשר ערך המשתנה בטבלה הוא 1רושמים את המשלים (למשל .)B : כל שורה היא מכפלת המשתנים בשורה. רושמים ביטוי שמהווה סכום של המכפלות הפונקציה המשלימה – על-פי הטבלה f (A, B, C) ABC ABC : לאחר פישוט הפונקציה נקבל f (A, B, C) BC : לאחר הפעלת כללי דה-מורגן נקבל f (A, B, C) B C : לשם השוואה ,נרשום את הפונקציה המתקבלת מהשורות בהן התוצאה היא ": "1 f (A, B, C) A B C A B C A B C A B C A B C A B C פונקציה זו כוללת שישה איברים ! .מכאן תובן ההעדפה לרשום פונקציה משלימה. חשוב לזכור :שתי הפונקציות ,שיתקבלו בסוף "הטיפול" הן זהות .הטיפול בהן שונה ,בעיקר ,בכמות הפעולות הנדרשות כדי לצמצם את הביטוי. לאימ ות המסקנות ,נבנה טבלה חדשה שתכלול גם את העמודה של הפונקציה הסופית : BC 1 1 0 1 1 1 0 1 )f(A,B,C 1 1 1 1 1 1 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 מסקנה :על-פי הטבלה שתי הפונקציות זהות. מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 11 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' - 0חוקי יסוד וטבלאות אמת א .השלם את טבלת האמת על-פי פונקציה בוליאנית נתונה .העזר בפתרון תרגיל .1 1 ב. AB B A 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 3 AB B A 0 1 0 1 0 0 1 1 5 A B B A 0 1 0 1 0 0 1 1 2 AB 0 1 2 3 4 A B 0 1 2 3 6 A B 0 1 2 3 B A 0 1 0 1 0 0 1 1 B A 0 1 0 1 0 0 1 1 B A 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 רשום פונקציה בוליאנית על-פי טבלת האמת נתונה .העזר בפתרון תרגיל .1 תזכורת: - מתייחסים רק לשורות שבהן הפונקציה מקבלת ערך 1 - כופלים תאים בכל שורה ומחברים שורות. 1 )f ( A, B 1 0 1 1 B A 0 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 2 3 )f ( A, B 1 0 0 0 B 0 1 0 1 f ( A, B) A B A B A B 3 )f ( A, B B A 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 A 0 0 1 1 0 1 2 3 f ( A, B) 4 0 1 2 3 f ( A, B) מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 )f ( A, B 1 1 0 1 B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 0 1 2 3 f ( A, B) 12 לוגיקה לבקרה במכונות ג. רשום פונקציה בוליאנית על פי טבלת אמת נתונה: .1 .2 f ( A, B) )f(A,B 1 1 1 0 A A B B 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 .3 0 0 1 1 שורה )f(A,B 0 1 2 3 1 0 0 1 )f(A,B 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 שורה 0 0 1 1 שורה A A B B 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 .4 f ( A, B) A A B B f ( A, B) 0 1 2 3 f ( A, B) שורה )A A B B f(A,B 0 1 0 1 0 1 2 3 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 2 3 0 0 1 1 ד .השלם את טבלת האמת .העזר בדוגמה (:)1 .1 )A ( A B 0 0 1 1 .2 A B A A B A B 0 1 1 1 A B 0 1 1 1 B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 שורה 0 1 2 3 שורה 0 1 2 3 .3 A B 0 0 0 1 )A ( A B A B B 0 1 0 1 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 A 0 0 1 1 שורה 0 1 2 3 . 13 לוגיקה לבקרה במכונות שערים לוגיים א .סמלים וקשרים לוגיים NOT שער ""( "NOTלא")A : NOT A 1 1 שער A B שער ""( "ORאו") A B : 1 1 1 1 שער A B שער "( "ANDוגם") A B : שער שער "A B :"XOR שער שער "A B : "NOR 1 1 1 1 שער שער "A B :NAND A B מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 1 1 1 1 1 1 2 3 B A שורה 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 B A שורה 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 קשר NOR NAND A שורה קשר NOR A B 1 1 1 1 1 1 2 3 קשר 1 1 1 1 NOR B 1 1 1 1 XOR A B A שורה קשר 1 1 1 1 XOR B 1 1 1 1 AND AND 1 1 1 1 קשר OR OR A שורה 1 1 1 1 B A שורה 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 14 לוגיקה לבקרה במכונות ייצוגים שקולים -משתנה יחיד: ייצוג שער :NOT A A A A ייצוג משתנה יחיד באמצעות שער A : OR A AAA ייצוג משתנה יחיד באמצעות שער A : AND A AA A A A A A שלילה כפולה: A באמצעות שער : NOT AA באמצעות שערי : NOR AA A באמצעות שערי A A : NAND A A A A ייצוגים שקולים – שני משתנים (הוכחה בעמוד :)00 A סכום שלילות: AB מכפלת שלילות: AB A B A B A AB B B A A AB B B שער : NOR שער : NAND AB A B AB A B מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 AB AB A B A B 15 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' - 3מערכות שערים רשום ביטוי אלגברי מתאים למערכת השערים הנתונה .העזר בדוגמה (:)1 .1 XY XY X Y X .2 Y X .3 Y X .4 Y X .5 Y X .6 Y .7 X Y .8 X Y מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 16 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' - 5מערכות שערים רשום פונקציה בוליאנית מתאימה למערכת הנתונה .העזר בפתרון תרגיל .1 .1 f(A, B) A B .2 f ( A, B) .3 f ( A, B) .4 f ( A, B) .5 f ( A, B) .6 f ( A, B) .7 f ( A, B) .8 f ( A, B) A A B B AB A B A .9 .11 B A B A B A B A B A B A B f(X,Y, Z) X Y Z f(X,Y, Z) X Y Z X Y Z .11 f(X,Y, Z) .12 f(X,Y, Z) X Y X Z .13 f(X,Y, Z) X Y X Z מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 17 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' - 2מערכות שערים נתונה פונקציה בוליאנית ) f ( A, B, C .סרטט מערכת שערים לתיאור הפונקציה הנתונה .העזר בפתרון התרגיל :1 f ( A, B, C ) A B B C C 0. A B A B A B B C B C f ( A, B, C ) A B C A B C C A B f ( A, B, C ) A B C B C C מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 3. A B f ( A, B, C) A B C A B B C C 2. B 5. A 18 לוגיקה לבקרה במכונות 2. f ( x, y, z ) X Y Z Y Z X Y Z X Y Z 6. f ( x, y, z) X Y Z X Z X Y Z X Y Z 2. f ( x, y, z ) X Y Z Y Z X Y Z X Y Z 19 0202 אוקטובר, מהדורה חמישית,מבוא ללוגיקה לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' – *6פונקציות וטבלאות אמת סמן במשבצת המתאימה לפונקציה המתוארת באמצעות טבלת האמת: f 1 1 1 1 B 1 1 1 1 A 1 1 1 1 מצב 1 1 2 3 XOR NAND AND NOT f 1 1 1 1 B 1 1 1 1 A 1 1 1 1 מצב 1 1 2 3 XOR NAND XNOR NOR f 1 1 1 1 B 1 1 1 1 A 1 1 1 1 מצב 1 1 2 3 NOT XNOR NOR OR f 1 1 1 1 B 1 1 1 1 A 1 1 1 1 מצב 1 1 2 3 NAND XNOR OR NOT f 1 1 1 1 B 1 1 1 1 A 1 1 1 1 מצב 1 1 2 3 NOT NOR NAND XOR מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 21 לוגיקה לבקרה במכונות כללי דה-מורגן .0כלל מס' X Y X Y : 0 הוכחה באמצעות טבלת אמת: X Y XY Y 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 Y 0 1 0 1 X 1 1 0 0 Xשורה 0 0 1 0 2 1 3 1 שתי העמודות זהות. מסקנהX Y X Y : ייצוגים שונים של אותה פונקציהX Y X Y : XY X XY XY X Y Y X X XY Y Y .2כלל מס' X Y X Y : 2 הוכחה באמצעות טבלת אמת: X Y XY Y 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 Y 0 1 0 1 X 1 1 0 0 Xשורה 0 0 1 0 2 1 3 1 שתי העמודות זהות. מסקנהX Y X Y : ייצוגים שונים של אותה פונקציה: XY X Y XY X X Y Y X Y X X X Y XY Y Y מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 21 לוגיקה לבקרה במכונות מפות קרנו מפת קרנו הי א טבלת אמת הרשומה בצורה מיוחדת .המפה מאפשרת פישוט נוח של פונקציות בוליאניות. מפת קרנו מכילה 2nמשבצות ,המייצגות את כל הצירופים האפשריים של משתני הפונקציה ( – nמיצג את מספר המשתנים המופיעים בפונקציה) .מכאן ש מספר המשבצות במפת קרנו ,זהה למספר השורות בטבלת אמת .כל תא במפת קרנו ,מיצג שורה בטבלת אמת ומספרם תואם. טבלת אמת ל 2משתנים : B 1 1 1 1 מפת קרנו ל 2משתנים : 1 שורה 1 1 2 3 A 1 1 1 1 1 2 3 1 1 B 1 1 3 1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 3 1 1 01 מפת קרנו להכפלת 2משתנים A B : רישום התוצאות 1 B 0 0 0 0 1 3 1 0 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 A 0 2 טבלת אמת ל 3משתנים : B 1 1 1 1 1 1 1 1 0 11 A 0 A B 0 0 0 1 0 רישום התוצאות 2 01 מפת קרנו להכפלת 2משתנים A B : מפת קרנו לחיבור 2משתנים A B : 0 1 מעתיקים את מספרי השורות למפת קרנו. מעתיקים את צירופי המשתנים למפת קרנו. 1 0 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 0 00 3 A 0 B 0 10 מפת קרנו לחיבור 2משתנים A B : 0 0 2 A B 0 1 מפת קרנו ל 3משתנים : רישום מכפלות שורה 1 1 2 3 4 5 6 7 X AB 10 11 4 100 6 110 5 101 01 00 7 111 0 2 010 0 000 3 011 C 1 001 1 X X - Xציר השיקוף זכור ! יש התאמה מלאה בין שורה בטבלת אמת לבין תא במפת קרנו הנושאים מספר זהה. מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 22 לוגיקה לבקרה במכונות מפת קרנו להכפלת 3משתנים : מיפוי תאים X 10 01 11 00 AB C 4 6 2 0 5 7 3 1 0 מפת קרנו להכפלת 3משתנים : רישום מכפלות X 10 01 11 4 1 0 0 1 11 0 5 0 000 3 1 0 11 111 C 0 0 1 0 7 1 0 1 00 2 6 AB 0 0 1 1 X X-X X ציר השיקוף ציר השיקוף X-X הערות : המייחד את סדר התאים הוא בכך שכל שני תאים סמוכים (בעלי צלע משותפת) ,שונים זה מזה בליטרל אחד (סיבית אחת) .תאים קיצוניים ( 1,1עמודה שמאלית) ,וכן ( 4,5עמודה ימנית) ,בהתאמה ,שונים זה מזה בליטרל אחד (סיבית אחת) .מכאן שהם "מתנהגים" כמו תאים סמוכים. ברישום הפונקציה המצומצמת -על פי המפה ,רושמים רק את המשותף לשני התאים הסמוכים. תרגיל לדוגמה : 1- הכן טבלת אמת עבור הפונקציה הבאה והעבר אותה למפת קרנו f ( A, B, C ) A B C A B C : פתרון : טבלת אמת : f 1 0 1 0 1 1 1 1 מפת קרנו : C 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 1 2 3 4 5 6 7 10 11 4 0 0 0 תזכורת : כל שורה בטבלת האמת מתאימה למשבצת הנושאת את אותו מספר במפת קרנו. 0 7 0 0 0 3 1 C 0 2 6 5 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 01 00 AB 1 1 1 X 23 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל לדוגמה : 2 - נתונה הפונקציה f(A, B) AB AB AB : א .הצגת את הפונקציה בטבלת אמת ב .צמצום את הפונקציה באמצעות מפת קרנו ג .צמצום את הפונקציה בדרך אלגברית פתרון א .טבלת אמת : 01 AB 1 1 1 1 f 1 1 1 1 ב. 11 10 AB AB 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 2 3 צמצום בעזרת מפת קרנו 1 0 2 0 00 10 3 A B 0 1 11 01 1 רישום הפונקציה המצומצמת על-פי המפה : התאים 1-3סמוכים( A=1, B=0,1 .קרי Aזהה בשני התאים B ,משתנה מ 1ל .)1והתוצאה ( )1זהה .במיליםאחרות B ,אינו משפיע על התוצאה .לכן נוכל לרשום A התאים 2-3סמוכים( A=0,1, B=1 .קרי Bזהה בשני התאים A ,משתנה מ 1ל .)1והתוצאה ( )1זהה .במיליםאחרות A ,אינו משפיע על התוצאה .לכן נוכל לרשום .B מניתוח המפה עולה כי f(A, B) AB AB AB A B : ג. צמצום אלגברי : f(A, B) AB AB AB A(B B) AB A AB AB נפעיל את כלל צמצום IIIונקבל : מסקנה: f(A, B) A B סיכום :צמצום הפונקציה בעזרת מפת קרנו נתן תוצאה זהה לצמצום האלגברי. הערה :צמצום בעזרת מפת קרנו נותן תמיד את התוצאה הטובה ביותר (פונקציה מצוצמת ביותר) .בצמצום בעזרת כללי ה אלגברה הבוליאנית ,לעיתים ,נבחר להפעיל כלל מסויים שאינו מוביל בהכרח לתוצאה הטובה (=המצומצמת) ביותר. מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 24 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל לדוגמה : 3 - נתונה פונקציה באמצעות טבלת אמת. טבלת אמת : א .רשום הפונקציה בצורתה האלגברית. ב .צמצום הפונקציה בדרך אלגברית ג .צמצום הפונקציה באמצעות מפת קרנו. זכור ! מתעניינים רק בשורות שבהן התוצאה f=1 פתרון : א .פונקציה אלגברית על-פי טבלת אמת : f C B A 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 0 0 0 1 4 0 1 0 1 5 1 0 1 1 6 0 1 1 1 7 f(A, B, C) A B C A B C A B C A B C ב. צמצום בדרך אלגברית : 110 010 000 001 f(A, B, C) A B C A B C A B C A B C ) A B (C C) B C ( A A A B B C ג. צמצום בעזרת מפת קרנו 10 11 6 4 0 1 5 1 01 00 1 0 0 1 3 0 C 0 2 7 AB 1 0 1 רישום הפונקציה המצוצמת על פי מפת קרנו : -תאים 1-1סמוכים .המשותף להם C , A B :אינו משפיע על התוצאה .נרשום A B : -תאים 2-6סמוכים .המשותף להם A , B C :אינו משפיע על התוצאה .נרשום B C : מסקנה : f(A, B, C) A B B C סיכום :צמצום הפונקציה בעזרת מפת קרנו נתן תוצאה זהה לצמצום האלגברי. הצגת דרך הצמצום באופן אחר – מבטלים את המשתנה שלא שומר על ערכו: ABC 000 001 f(A, B, C) A B B C 010 110 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 25 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס - 2טבלאות אמת ומפות קרנו הנחיות: א .רשום פונקציה על-פי טבלת אמת נתונה ב .צמצם את הפונקציה בעזרת מפת קרנו ג .רשום פונקציה מצומצמת .0 )f(A,B,C 0 0 1 0 1 1 1 0 ב .מפת קרנו לתרגיל 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 AB 11 10 4 0 2 0 110 100 5 010 7 000 1 3 1 101 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: 01 6 00 C 111 001 011 ג .פונקציה מצומצמת: 5 ב .מפת קרנו לתרגיל 4 )f(A,B,C 0 0 1 0 1 0 1 0 C 0 1 0 1 0 1 0 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: AB 11 10 4 01 6 00 2 C 0 0 110 100 5 010 7 000 1 3 1 111 101 001 011 ג .פונקציה מצומצמת: 2 ב .מפת קרנו לתרגיל 5 )f(A,B,C 1 1 0 0 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 AB 11 10 4 0 2 0 110 100 5 010 7 000 1 3 1 101 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: 01 6 00 C 111 011 001 ג .פונקציה מצומצמת: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 26 לוגיקה לבקרה במכונות 6 ב .מפת קרנו לתרגיל 6 )f(A,B,C 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 AB 11 10 4 0 2 0 110 100 5 010 7 000 1 3 1 101 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: 01 6 00 C 111 001 011 ג .פונקציה מצומצמת: 2 ב .מפת קרנו לתרגיל 7 )f(A,B,C 0 1 0 1 0 1 0 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 AB 11 10 4 0 2 0 110 100 5 010 7 000 1 3 1 101 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: 01 6 00 C 111 001 011 ג .פונקציה מצומצמת: 8 ב .מפת קרנו לתרגיל 8 )f(A,B,C 1 1 0 0 1 1 0 0 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 AB 11 10 4 0 2 0 110 100 5 010 7 000 1 3 1 101 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: 01 6 00 C 111 011 001 ג .פונקציה מצומצמת: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 27 לוגיקה לבקרה במכונות המרת פונקציה נתונה לפונקציה קנונית פונקציה קנונית היא פונקציה שכל איבר שלה מכיל את כל המשתנים בפונקציה .שימוש עיקרי בפונקציות קנוניות, יעשה במפות קרנו. חשוב ! כדי לצמצם פונקציה נתונה באמצעות מפת קרנו ,על הפונקציה להיות "פונקציה קנונית" .אין כל אפשרות לצמצם בעזרת במפת קרנו פונקציה שאינה פונקציה קנונית!. דוגמאות : פונקציה לא קנונית f ( A, B, C ) A AC ABC : באיבר הראשון חסרה המכפלה AB באיבר השני חסר B הערה :המונח "משתנה" כולל גם את המשלים שלו .כלומר אין חשיבות אם מופיע Aאו A להפיכת פונקציה נתונה לפונקציה קנונית נשתמש בכלל המשליםA. A 1 : את האיבר הראשון נכפול ב ( B B :הכפלה ב 1-לא משנה את התוצאה !). ואז נוכל לרשום A (B B) AB AB : את התוצאה נכפול שוב ב C C ונרשום [(AB AB) (C C) ABC ABC ABC ABC :]1 הערה :אפשר לבצע את שתי הפעולות בו זמנית .לשם נוחיות בלבד ,נעשה הדבר בשני צעדים. את האיבר השני נכפול ב B B ונרשום [:]2 AC (B B) ABC ABC עתה ירשם הביטוי כך : f ( A, B, C) A AC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC [1 [2 ] ] נשמיט איברים "כפולים" ונרשום את התוצאה f ( A, B, C) A AC ABC ABC ABC ABC ABC : קיבלנו ביטוי שכל איבר שלו מכיל את שלושת המשתנים A,B,C אחרי צמצום הביטוי באמצעות מפת קרנו (נלמד בפרק הבא) נקבל f ( A, B, C ) A : נוכיח את הפתרון ע"י צמצום אלגברי של הביטוי המקורי f ( A, B, C ) A AC ABC : ) A(1 C BC A 1 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 28 לוגיקה לבקרה במכונות מערכות שלמות ה. שערי NORו NANDמהווים מערכת שלמה. פירוש הדבר ,שבאמצעות שערי NORו NANDנוכל לבטא כל פונקציה נתונה. שערים אלו יחליפו את השערים הבסיסיים .OR, AND, NOT :היתרון נעוץ באפשרות לחסוך רכיבים במימוש מערכת לוגית .במקום רכיב נפרד המכיל מספר שערי NOTורכיב נפרד המכיל מספר שערי ORוכן רכיב נפרד המכיל מספר שערי ,ANDנוכל להשתמש ברכיב יחיד המכיל מספר שערי NORאו .NAND לתיאור פונקציה נתונה באמצעות שערי NORאו NANDנדרש להשתמש בכללי דה-מורגן וכן בכלל השלילה הכפולה[ ,בדומה ל ,]- (- 5) = 5 :נוכל לרשום XY XY וכן XY XY ייצוג משתנים בוליאניים במערכת שלמה : A A AA A A AA NAND A AA NOR A AA A AA A AA A B A A B B A B A A B B A B A A B B A B A A B B A B A A B B A B A A B B באמצעות שערי NANDושערי NORאפשר לייצג כל פונקציה נתונה ! .לכן הם נקראים "מערכת שלמה". המעבר מייצוג בשערים "רגילים" לשערי NANDאו NORכרוך בהפעלת כללי דה-מורגן. הפעולה NANDכמערכת שלמה: X X א. ייצוג הפעולה NOT AA A ב ייצוג הפעולה OR A B A A B B או בכתיבה מקוצרת : A B AB ג. ייצוג הפעולה A B A A B B AND או בכתיבה מקוצרת : ABAB הפעולה NORכמערכת שלמה X X א. ייצוג הפעולה NOT AA A ב ייצוג הפעולה AND AB A A B B ג. ייצוג הפעולה OR A B A A B B לפי כלל שלילה כפולה: לפי כלל דה מורגן: מסקנה: A A XY XY XY X Y XY X Y A A או בכתיבה מקוצרת : AB A B AB AB או בכתיבה מקוצרת : לפי כלל שלילה כפולהX Y X Y : לפי כלל דה מורגן: מסקנה: A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 X Y X Y X Y X Y A A A A 29 לוגיקה לבקרה במכונות תזכורת: ייצוג הפונקציה X Yכמערכת שלמה: תיאור באמצעות שערי ANDו : NOT XY תיאור באמצעות שערי NANDבלבד : XY XY X Y X אחרי הפעלת כלל השלילה הכפולה וכלל דה-מורגן Y X X Y אחרי הפעלת כלל השלילה הכפולה וכלל דה-מורגן Y Y ייצוג הפונקציה X Yכמערכת שלמה: XY תיאור באמצעות שערי ORו : NOT XY X Y X תיאור באמצעות שערי NORבלבד : Y X אחרי הפעלת כלל השלילה הכפולה וכלל דה-מורגן XY Y הפונקציה X תיאור באמצעות השערים : NOT, OR, AND אחרי הפעלת כלל השלילה הכפולה וכלל דה-מורגן תיאור באמצעות שערי NOR Y תיאור באמצעות שערי NAND OR AND מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 31 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל לדוגמה: .0הצג את הפונקציה f(X, Y, Z) X Y Zבאמצעות שערי NANDבלבד פתרון: שלב א': נפעיל את כללי דה מורגן על הפונקציה הנתונה: הכלל המתאים A B A B : ונקבלf(X, Y, Z) X Y Z X Y Z : שלב ב': הצגת הפונקציה באמצעות שערי NANDבלבד : X XYZ Y Z .0הצג את הפונקציה ) f(X, Y, Z) X (Y Zבאמצעות שערי NANDבלבד פתרון: שלב א': ו. שתי אפשרויות לפתרון X (Y Z ) X Y X Z :או ) f(X, Y) X (Y Z נפעיל את כללי דה מורגן על הפונקציה הנתונה: הכלל המתאים A B A B : ונקבל X (Y Z ) X Y X Z X Y X Z :או ) X (Y Z האפשרות הראשונה נראית פשוטה יותר ,ועל כן נעדיף אותה. ) X (Y Z ( ) XX שלב ב': הצגת הפונקציה באמצעות שערי NANDבלבד : X Y X Z Y Z X Z שלב ג' הוכחה באמצעות טבלת אמת: ) X (Y Z 0*(0+0)=0 0*(0+1)=0 0*(1+0)=0 0*(1+1)=0 1*(0+0)=0 1*(0+1)=1 1*(1+0)=1 1*(1+1)=1 XYXZ 1*1=0 1*1=0 1*1=0 1*0=2 1*1=0 1*1=1 0*1=1 0*0=1 X Z 0*0=1 0*1=1 1*0=1 1*1=1 1*0=1 1*1=0 1*0=1 1*1=0 X Y 0*0=1 0*0=1 0*1=1 0*1=1 1*0=1 1*0=0 1*1=0 1*1=0 Z 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 0 1 1 0 0 1 1 X 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 טבלת האמת מראה שתי עמודות זהות ! מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 31 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל: א .הוכח ,באמצעות טבלת אמת ,את נכונות הקשר : ב. X Y XY XY XY XY Y X 1 1*0=0 0+1=1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 הוכח ,באמצעות טבלת אמת ,את נכונות הקשר -השלם את הטבלה: XY X Z X Y X Z עמודות ביניים (לעזר) XYXZ 0+0=0 0+0=0 XZ 0 0 XZ XY XY 1+1=1 1+0=1 0 0 1+1=1 1+1=1 XY XZ 0*0+0*0=0 0*0+0*1=0 Z Y X 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 תרגיל מס' - 8מערכות שלמות רשום פונקציה מתאימה למערכת השערים הנתונה .העזר בפתרון תרגיל (:)1 .1 B C AC A A C f ( A, B, C ) A C A B AB .2 B C A f ( A, B, C ) מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 32 לוגיקה לבקרה במכונות .3 B C A f ( A, B, C ) .4 B C A f ( A, B, C ) .5 B C A f ( A, B, C ) . 6הפונקציה ) f ( A, B, Cנתונה באמצעות מערכת שערים. א .רשום ביטוי מתאים לתרשים השערים הנתון . ב .צמצם ,בעזרת מפת קרנו ,את הביטוי שרשמת. ג .שרטט תרשים שערים על-פי הביטוי המצומצם מפת קרנו AB 11 10 4 01 6 00 2 C 0 0 110 100 5 010 7 000 1 3 1 101 111 ב .פונקציה מצומצמת: 011 001 f ( A, B, C) ג .מערכת אחרי צמצום: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 C B A 33 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' - 9מערכות שלמות נתונה פונקציה בוליאנית (תרגילים .)1-8 .1צמצם ,בעזרת מפת קרנו ,את הפונקציה הנתונה. .2בטא את הפונקציה המצומצמת באמצעות שערי NORבלבד ושרטט מערכת שערים .3בטא את הפונקציה המצומצמת באמצעות שערי NANDבלבד ושרטט מערכת שערים העזר בפתרון לדוגמה שלהלן. f(A, B, C) A B C A B C A B C A B C 1. f(A, B, C) A B C A B C A B C A B C 2. f(A, B, C) A B C A B C A B C 3. f(A, B, C) A B C A B C A B C 4. f(A, B, C) A B C A B C A B C A B C 5. f(A, B, C) A B C A B C A B C A B C 6. f(A, B, C) A B C ABC A B C A B C A B C A B C 7. f(A, B, C) A B C A B C A B C A B C A B C 8. פתרון לדוגמה : נתונה הפונקציהf(A,B, C) ABC ABC ABC ABC : א .צמצום הפונקציה בעזרת מפת קרנו: 11 11 01 00 AB C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 פונקציה מצומצמת: f(A,B, C) AC AC ב .ביטוי הפונקציה באמצעות שערי f(A,B, C) A C A C :NOR -תרשים מערכת שערי :NOR B C A A AC f(A,B, C) A C A C AC C ג .ביטוי הפונקציה באמצעות שערי f(A,B, C) AC AC :NAND B C A -תרשים מערכת שערי NAND f(A,B, C) AC AC מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 34 לוגיקה לבקרה במכונות מערכות מתגים מתגים (מפסקים) -תרגול תרגיל מס' 0 הנחיות לתרגילים :1-11 הערה: לשים לב למבנה המפסק ! רשום ביטוי מתאים לפונקציה המתוארת על-ידי מערכת המתגים: "רגיל סגור" ()N.C .1 f(A, B) B A .2 f(A, B) B A .3 f(A, B) .4 f(A, B) .5 f(A, B) .6 f(A, B) .7 f(A, B) .8 f(A, B) .9 f(A, B) .11 f(A, B) .11 f(A, B) "רגיל פתוח" ()N.O A A A B A B A B B A B B A A B B A A A A B B B A B A B B A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 A B 35 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' 0 הערה: לשים לב למבנה המפסק ! הנחיות לתרגילים : 1-8 "רגיל סגור" ()N.C א .רשום ביטוי מתאים למערכת המתגים הנתונה. ב .צמצם ,בעזרת מפת קרנו ,את הביטוי ורשום ביטוי מצומצם. ג .סרטט מערכת שערים מתאימה לביטוי שקיבלת בסעיף ב'. )0 "רגיל פתוח" ()N.O טבלת אמת )f(A,B,C B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 A B B A C L ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת א .פונקציה על-פי טבלת אמת: מפת קרנו A B C AB 11 10 00 01 C 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 0 1 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: )0 B טבלת אמת C 0 1 0 1 0 1 0 1 )f(A,B,C A B 0 0 1 1 0 0 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 C B A C L א .פונקציה על-פי טבלת אמת: ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת מפת קרנו A B C AB 10 11 01 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 1 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 36 לוגיקה לבקרה במכונות )3 C טבלת אמת )f(A,B,C B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B A C B A C B A L א .פונקציה על-פי טבלת אמת: ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת A B C מפת קרנו AB 10 11 01 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 1 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: )5 C טבלת אמת )f(A,B,C B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 C C B A B A B A L א .פונקציה על-פי טבלת אמת: ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת A B C מפת קרנו AB 10 11 01 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 1 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 37 לוגיקה לבקרה במכונות )2 C טבלת אמת )f(A,B,C B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B A C B A C B A L א .פונקציה על-פי טבלת אמת: ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת A B C מפת קרנו AB 10 11 00 01 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 1 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: )6 C טבלת אמת )f(A,B,C B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B C B C B A A A L א .פונקציה על-פי טבלת אמת: ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת A B C מפת קרנו AB 10 11 01 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 1 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 38 לוגיקה לבקרה במכונות C B A )2 C טבלת אמת )f(A,B,C B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B C B C B A A A L א .פונקציה על-פי טבלת אמת: ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת מפת קרנו A B C AB 10 11 00 01 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 1 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: )8 C B A טבלת אמת )f(A,B,C B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 C B A C B A C B A L א .פונקציה על-פי טבלת אמת: מפת קרנו ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת AB 10 11 01 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C A B C 0 1 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 39 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' 3 הערה: לשים לב למבנה המפסק ! הנחיות לתרגילים : 1-5 "רגיל סגור" ()N.C א .רשום ביטוי מתאים למערכת המתגים ב .צמצמם ,אם ניתן ,את הביטוי שרשמת בסעיף א' ג .סרטט מערכת שערים לוגיים מתאימה לביטוי שקיבלת בסעיף ב' )0 B A B A "רגיל פתוח" ()N.O C L )0 A B C A B L )3 B A C B A L )5 B C A B A L )2 A C B C B A L מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 41 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל מס' 3 הנחיות לתרגילים :1-6 הערה: לשים לב למבנה המפסק ! א .השלם את טבלת האמת על פי מערכת המתגים. ב .צמצמם ,אם ניתן ,את הביטוי שרשמת בסעיף א' ג .סרטט מערכת שערים מתאימה לביטוי שקיבלת בסעיף ב' "רגיל סגור" ()N.C "רגיל פתוח" ()N.O – )0פתרון לדוגמה טבלת אמת )f(A,B,C 0 0 0 0 1 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 B A L A 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: L A B C A B C A B C C מפת קרנו AB 10 01 11 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 1 ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת A B C ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: L AB B C )0 טבלת אמת )f(A,B,C C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 B A 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A L C מפת קרנו AB 10 11 01 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: 1 ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת A B C ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 41 לוגיקה לבקרה במכונות )3 טבלת אמת )f(A,B,C C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C A 0 0 0 0 1 1 1 1 B L מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 A A מפת קרנו AB 10 11 01 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: C 0 1 ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: A B C )5 טבלת אמת )f(A,B,C C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 B A 0 0 0 0 1 1 1 1 מצב 0 1 2 3 4 5 6 7 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: A L B C מפת קרנו AB 10 11 01 00 4 6 2 0 100 5 110 7 010 3 000 1 101 111 011 001 C 0 1 ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמת A B C ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 42 לוגיקה לבקרה במכונות )2 טבלת אמת )f(A,B B 0 1 0 1 B A A 0 0 1 1 מצב 0 1 2 3 A B מפת קרנו 1 A 0 B א .פונקציה על-פי טבלת אמת: 0 2 0 00 10 3 ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמתA B 1 1 01 11 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: )6 טבלת אמת )f(A,B B 0 1 0 1 A A 0 0 1 1 מצב 0 1 2 3 A B B מפת קרנו 1 א .פונקציה על-פי טבלת אמת: A 0 2 B 0 0 00 10 3 ג .מערכת שערים לפונקציה מצומצמתA B 1 1 11 01 ב .פונקציה מצומצמת על-פי מפת קרנו: מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 43 לוגיקה לבקרה במכונות ניתוח מערכת ובניית פתרון לוגי -תרגול שאלה מס' 0 הנהלת מפעל כוללת מנהל כללי (מנכ"ל) ושלושה סגנים (סמנכ"לים) .כל החלטות ההנהלה מתקבלות לאחר תהליך של הצבעה המנוהל לפי הכללים הבאים: כל ארבעת חברי ההנהלה חייבים להצביע בכל החלטה כן או לא. קולו של המנהל שווה לשני קולות. הוחלט לבנות מערכת הכוללת ארבע לחצנים שתבצע את תהליך קבלת ההחלטה .המערכת הכוללת ארבעה כפתורים המותקנים ליד כסאות חברי ההנהלה ונורה כמתואר באיור א לשאלה. מנכ"ל סמנכ"ל נורה סמנכ"ל סמנכ"ל א. איור א' תאר בעזרת טבלת אמת את כל מצבי ההצבעה האפשריים .סמן באחד את המקרים בהם ההצעה תתקבל ובאפס את המקרים בהם ההחלטה תידחה. ב. פשט את הביטוי המתקבל בעזרת מפת קרנו. ג. סמנכ"ל Cיצא לחו"ל במסגרת עבודתו .רשום את הנוסחה שתתאר מתי תתקבל החלטה העולה לדיון .בדוק האם ניתן לקבל החלטה בניגוד לדעתו של המנכ"ל במצב זה. שאלה מס' 0 מערכת גילוי אש כוללת ארבעה חישני טמפרטורה המותקנים בקצות החדר .מערכת הבקרה מפעילה התראת שריפה אם שני חיישנים או יותר. חיישן 1 התראה חיישן 2 חיישן 3 חיישן 4 איור א' א. תאר בעזרת טבלת אמת את כל מצבי החיישנים האפשריים .סמן באחד את המקרים בהם יש להפעיל את האזעקה ובאפס את המקרים בהם האזעקה אינה מופעלת. ב. פשט את הביטוי המתקבל בעזרת מפת קרנו. ג. בנה את המערכת בעזרת שערים לוגיים לפי בחירתך. שאלה מס' 3 במכל מים מותקנים ארבעה מצופים D, C, B, Aהמורכבים זה מעל זה כמתואר באיור לשאלה: מצוף A מצוף B מצוף C מצוף D מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 44 לוגיקה לבקרה במכונות כל אחד מהמצופים מופעל (מפיק " "1לוגי) כאשר פני המים גבוהים יותר ממנו .עליך לתכנן מערכת שתתריע כאשר יש תקלה באחד מהמצופים. הסבר :דוגמא למצב תקלה הוא כאשר מצוף Aמפיק אחד לוגי וחיישן אחר (לדוגמא חיישן )Cמפיק אפס לוגי .מצב זה הוא מצב תקלה משום שלא יתכן מצב שהמים יהיו בו זמנית מעל חיישן Aוגם מתחת לחיישן .C א. תאר בעזרת טבלת אמת את כל מצבי החיישנים האפשריים .סמן ב " "1את המקרים בהם יש תקלה במערכת ובאפס את המקרים בהם אין תקלה ידועה. ב. פשט את הביטוי המתקבל בעזרת מפת קרנו. ג. האם המערכת שבנית תבחין בכל התקלות האפשרויות במערכת המצופים? נמק את תשובתך. מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 45 לוגיקה לבקרה במכונות סיכום כללי האלגברה הבוליאנית: חוקי יסוד באלגברה בוליאנית: 1 כללי האפס 2 כללי היחידה 3 כללי הכפילות 4 כללי החילוף 5 כללי הקיבוץ 0X X 0X 0 1 X 1 1 X 0 XX X XX X XY YX XY YX X (Y Z) (X Y) Z X (Y Z) (X Y) Z 6 כללי הפילוג )X (Y Z) (X Y) (X Z נכון רק באלגברה בוליאנית )X (Y Z) (X Y) (X Z X X 1 7 כללי המשלים 8 כלל השלילה הכפולה XX 0 XX כללי הצמצום באלגברה בוליאנית: 1 כלל צמצום 1 X XY X 2 כלל צמצום 2 X (X Y) X 3 כלל צמצום 3 X XY X Y 4 כלל צמצום 4 X (X Y) X Y 1 מכפלת שלילות 2 סכום שלילות כללי דה מורגן: X X YX XX Y X מערכות שלמות – פונקציות NOR, NAND * ניתן לתאר כל פונקציה נתונה באמצעות שערי NORאו NANDבלבד ! 1 פונקצית OR [אחרי הפעלת כללי דה מורגן] X X YX 2 פונקצית AND [אחרי הפעלת כללי דה מורגן] XX Y X מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 46 לוגיקה לבקרה במכונות סיכום כל השערים הלוגיים NAND A NOR AB B A B XOR AB A NOT AB B A AND A A AB B X Y XY X X סמל כללי דה מורגן X Y X Y Y Y XY X Y AND X Y XY NOR OR XY XY Y NAND X X X X Y פונקציה OR X Y X Y XY Y Y XY XY XY Y המרה למערכת שלמה XY XY A, B סכום כל הקשרים הלוגיים על שני משתנים "מורגן-ייצוג אחרי הפעלת "דה מצב A B 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 0 1 47 AB AB OR 0 1 1 1 AND 0 0 0 1 A B XOR 0 1 1 0 A B NOR 1 0 0 0 A B NAND 1 1 1 0 A B XNOR 1 0 0 1 0202 אוקטובר, מהדורה חמישית,מבוא ללוגיקה A B A B A B OR 0 1 1 1 AND 0 0 0 1 NOR 1 0 0 0 A B NAND 1 1 1 0 לוגיקה לבקרה במכונות סיכום כל השערים הלוגיים וטבלאות אמת: שער :OR A A B B טבלת אמת לשער :OR A B B A 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 שער :AND 0 1 2 3 A A B B טבלת אמת לשער :AND A B B A 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 שער NOT 0 1 2 3 A A טבלת אמת לשער NOT שער XOR A A 1 1 0 1 0 1 A B AB טבלת אמת לשער :XOR A B B A 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 תיאור מפורט של פונקצית A B A B A B :XOR שער :NOR A A B תיאור שקול A B : B A B A B טבלת אמת לשער :NOR A B B A 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 48 לוגיקה לבקרה במכונות שער :NAND A A B תיאור שקול : B A B A B A B טבלת אמת לשער :NAND A B B A 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 כללי דה-מורגן: .1מכפלת שלילות ושלילת סכוםA B A B : תיאור באמצעות מערכת שערים: A A B A B A B A B A B AB B טבלת אמת: A B A B A B B A 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 A B 0 1 2 3 .2סכום שלילות ושלילת מכפלהA B A B : תיאור באמצעות שערים: A A B A B A B B A A B A B B טבלת אמת: A B A B A B B A 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 A B 0 1 2 3 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 49 לוגיקה לבקרה במכונות מערכות שלמות: -תיאור הפונקציה A B :באמצעות שערי NAND A B A B A A AB A A B B B B תיאור הפונקציה A Bבאמצעות שערי NORבלבד (מבוסס על שלילה כפולה)A A B A A B B B A B A B A B .aטבלת אמת: A B A B 1 0 0 1 0 1 0 1 A B 0 1 1 1 A B A B 0 1 1 0 1 0 1 0 B A 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 -תיאור הפונקציה A B :באמצעות שערי NOR A B A B A A AB A A B B B B תיאור הפונקציה A Bבאמצעות שערי NANDבלבד (מבוסס על שלילה כפולה)A B A B .bטבלת אמת: A B A B 1 0 1 0 1 0 0 1 A B A A B B A B A B A B A B A B A B 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 B A 0 1 0 1 0 0 1 1 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 0 1 2 3 51 לוגיקה לבקרה במכונות נספח :0דוגמה לטבלאות אמת ומפות קרנו מפת קרנו לשני משתנים: טבלת אמת לשני משתנים: 0 1 )f(A,B B 0 1 0 1 0 0 0 1 2 3 00 10 1 3 1 11 טבלת אמת לשלושה משתנים: )f(A,B,C C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 )f(A,B,C D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 01 מפת קרנו לשלושה משתנים: A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 11 10 01 6 4 AB C 00 0 2 0 100 010 110 7 5 000 1 3 1 101 011 111 טבלת אמת לארבעה משתנים: B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 B 2 A 0 0 1 1 A 001 מפת קרנו לארבעה משתנים: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 10 8 01 12 AB CD 00 0 4 00 1000 0100 1100 13 9 0000 1 5 01 1101 1001 11 0101 0001 7 15 32 11 1011 0111 1111 10 0011 2 6 14 10 1010 1110 0110 0010 שים לב ! קיימת התאמה מלאה בין תוכן השורה בטבלת אמת לבין תוכן התא במפת קרנו מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 51 לוגיקה לבקרה במכונות נספח :0מעבר בין בסיסי ספירה בסיס ספירה עשרוני :יצוג מספרים ב 11ספרות שונות – 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,1 בבסיס ספירה עשרוני יש חשיבות למיקום הסיפרה( .אחדות ,עשרות ,מאות ,אלפים וכו'). אפשר להציג כל מספר נתון כמכפלה של ספרה ב 11בחזקת המיקום שלה .דוגמה: את המספר 379אפשר לרשום כ 3 102 7 101 9 100 : נזכיר מעריך החזקה מציין את מיקום הספרה. 1 הספרה הימנית ביותר היא 9ומיקומה 11 =1 ,1לכן9 10 9 , 0 1 הספרה השניה מימין היא 7ומיקומה 10 =10 ,1לכן7 101 70 , 2 הספרה השלישית מימין היא 3ומיקומה 10 =100 ,2לכן3 102 300 , באופן פורמלי נוכל לרשום 37910שמשמעותו היא 379בבסיס ספירה 11 בבסיס ספירה בינרי ,ספרו הייצוג הן 1,1בלבד .גם כאן ,למיקום הספרה בתוך המספר יש חשיבות. את המספר 1111נוכל לרשום כ ( 1 2 3 0 2 2 0 21 1 2 0 :שערכו בבסיס עשרוני .)8+0+0+1=9 : באופן פורמלי נוכל לרשום 10012שמשמעותו היא 1001בבסיס ספירה .2 א. המרת מספר בבסיס עשרוני למספר בבסיס בינרי 2310=?2 .1 1 1 1 0 1 2310 101112 ב. 2 23 11 5 2 1 0 5910=?2 .2 5910 1110112 1 1 0 1 1 1 2 59 29 14 7 3 1 0 המרת מספר בבסיס בינרי למספר בבסיס עשרוני 1110112 ?10 .1 1110112 1 25 1 2 4 1 23 0 2 2 1 21 1 20 32 16 8 0 2 1 5910 1110112 5910 1011112 ?10 .2 101112 1 2 4 0 23 1 2 2 1 21 1 20 16 0 4 2 1 2310 101112 2310 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 52 לוגיקה לבקרה במכונות מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 53 לוגיקה לבקרה במכונות סמלים פניאומאטיים: צילינדר פניאומטי דו-פעולתי מופעל אוויר מוחזר אוויר צילינדר פניאומטי בפנים [במצב (])-- צילינדר פניאומטי חד-פעולתי מוחזר קפיץ צילינדר פניאומטי בחוץ [במצב (])+ שסתום פיקוד 5/2אויר-אויר שסתום פיקוד 5/2אויר-קפיץ שסתום פיקוד 5/2חשמל-חשמל שסתום פיקוד 5/2יד-קפיץ לחצן יד-יד PB - 3/2 לחצן יד-קפיץ PB - 3/2 פריקת לחץ לסביבה חיבור למקור לחץ אוויר "רגיל פתוח" :רכיב לא מעביר לחץ אוויר אם אינו מופעל חיבור שסתום " 3/2רגיל פתוח" במצב לא מופעל מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 חיבור שסתום " 3/2רגיל פתוח" במצב מופעל 54 לוגיקה לבקרה במכונות "רגיל סגור" :רכיב מעביר לחץ אוויר אם אינו מופעל חיבור שסתום " 3/2רגיל סגור" במצב מופעל חיבור שסתום " 3/2רגיל סגור" במצב לא מופעל PB PB רגיל סגור N.C. רגיל פתוח N.O. תיאור מופשט של מפסקים (מתגים) חשמליים : מפסק-לחצן מסוג "רגיל פתוח" אין מעבר זרם כשהמפסק לא מופעל מפסק-לחצן מסוג "רגיל סגור" יש מעבר זרם כשהמפסק-לחצן לא מופעל A A מפסקים (מתגים) חשמליים בתיאור כללי -ללא התייחסות לצורת הפעלתם .תיאור זה מתאים לכל סוגי המגעים – כולל חיישנים למיניהם. A A A A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 55 לוגיקה לבקרה במכונות מימוש פונקציות לוגיות בעזרת רכיבים פניאומטיים שים ! במימוש בעזרת רכיבים פניאומטיים – לעיתים קרובות המעגל יהיה פשוט יותר כאשר מפעילים את כללי דה-מורגן: A B A B A B AB .1פונקצית : AND א .תיאור באמצעות שער לוגי A B AB A B ב. תיאור באמצעות תרשים מפסקים (מתגים) A B : ג. מימוש באמצעים פניאומטיים : )1מימוש על-ידי צירוף לחצני יד-קפיץ (( )PBמכאן ואילך לחצן Xמשמש להחזרת הבוכנה למצב התחלתי). טבלת אמת לפונקציה AND A*B 1 1 1 1 X C B B 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 2 3 A )2מימוש בעזרת שער ANDפניאומטי X C B & A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 56 לוגיקה לבקרה במכונות .2 פונקצית : OR א .תיאור באמצעות שער לוגי: A B AB A ב. תיאור באמצעות תרשים מפסקים (מתגים)A B : ג. מימוש באמצעים פניאומטיים : B )1מימוש על-ידי צירוף לחצני יד -קפיץ ()PB טבלת אמת לפונקציה OR X C B 1 1 1 1 A+B 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 2 3 AA B )2מימוש בעזרת שער ORפנאומטי X C 1 B מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 A 57 לוגיקה לבקרה במכונות .3מימוש פונקצית A B :AND-NOT A B א. תיאור באמצעות שערים לוגייםC : ב. תיאור באמצעות תרשים מפסקים (מתגים) C : ג. מימוש באמצעים פניאומטיים : A B מימוש על-ידי צירוף לחצני יד-קפיץ ()PB X C B 'A*B 0*1=0 0*0=0 1*1=1 1*0=0 B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 0 1 2 3 A .4מימוש פונקצית A B :OR- NOT A B א. תיאור באמצעות שערים לוגייםC : ב. תיאור באמצעות תרשים מפסקים (מתגים) C : ג. מימוש באמצעים פניאומטיים : A B מימוש על-ידי צירוף לחצני יד-קפיץ ()PB X C A 'A+B 0+1=1 0+0=0 1+1=1 1+0=1 B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 0 1 2 3 B מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 58 לוגיקה לבקרה במכונות מערכות שלמות : באמצעות השערים הלוגיים NORו NANDאפשר לתאר כל פונקציה אחרת .5 הפונקציה NOR הפתרון מבוסס על הפעלת כללי דה-מורגן והצגת הפונקציה בדרך אחרת (שלילת סכום=מכפלת שלילות): A B AB A AB A B B א. A B AB A B תיאור באמצעות שער לוגיA B :NOR A B ב. מימוש באמצעות מתגים (מפסקים): ג. מימוש באמצעים פניאומטיים : AB )2מימוש בעזרת שער ANDפניאומטי )1מימוש על-ידי צירוף לחצני יד -קפיץ ()PB X X Pb2 Pb1 & Pb2 Pb1 Pb 1 Pb 2 Pb 1 Pb 2 AB 1*1=1 1*0=0 0*1=0 0*0=0 B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 0 1 2 3 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 59 לוגיקה לבקרה במכונות .6 הפונקציה NAND הפתרון מבוסס על הפעלת כללי דה-מורגן והצגת הפונקציה בדרך אחרת (שלילת מכפלה=סכום שלילות): AB A B A AB A B AB A B B א. תיאור באמצעות שערים לוגייםA B : ב. תיאור באמצעות מתגים (מפסקים)A B : ג. מימוש באמצעים פניאומטיים : A B A B )2מימוש בעזרת שער ORפניאומטי )1מימוש על-ידי צירוף לחצני יד -קפיץ ()PB X X Pb2 Pb1 1 Pb1 Pb2 Pb1 Pb2 Pb1 Pb2 AB B A 1+1=1 1+0=1 0+1=1 0+0=0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 61 לוגיקה לבקרה במכונות מימוש פונקציות בוליאניות באמצעים פניאומאטיים: תרגול קריאת מעגלי פיקוד לוגיים תרגיל :0 - השלם את טבלת האמת למערכת הפיקוד הנתונה זהה ורשום איזו פונקציה ממש מעגל הפיקוד הפניאומטי A PB 3 A PB2 ) A f(PB1 , PB2 PB1 PB 2 1 1 1 1 PB1 1 1 1 1 1 1 2 3 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 61 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל :0 - השלם את טבלת האמת למערכת הפיקוד הנתונה זהה ורשום איזו פונקציה ממש מעגל הפיקוד הפניאומטי A PB 3 A 1 PB2 ) A f(PB1 , PB2 PB1 PB 2 1 1 1 1 PB1 1 1 1 1 1 1 2 3 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 62 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל :3 - השלם את טבלת האמת למערכת הפיקוד הנתונה זהה ורשום איזו פונקציה ממש מעגל הפיקוד הפניאומטי A PB 4 1 3 PB 2 PB 1 PB ) A f(PB1 , PB2 , PB3 PB3 0 1 0 1 0 1 0 1 PB 2 0 0 1 1 0 0 1 1 PB1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 63 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל :5 - השלם את טבלת האמת למערכת הפיקוד הנתונה זהה ורשום איזו פונקציה ממש מעגל הפיקוד הפניאומטי A PB 4 1 PB3 PB2 ) A f(PB1 , PB2 , PB3 PB1 PB3 0 1 0 1 0 1 0 1 PB 2 0 0 1 1 0 0 1 1 PB1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 64 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל :2 - השלם את טבלת האמת למערכת הפיקוד הנתונה זהה ורשום איזו פונקציה ממש מעגל הפיקוד הפניאומטי A 3 PB A PB2 ) A f(PB1 , PB2 PB1 PB 2 1 1 1 1 PB1 1 1 1 1 1 1 2 3 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 65 לוגיקה לבקרה במכונות תרגיל :6 - השלם את טבלת האמת למערכת הפיקוד הנתונה זהה ורשום איזו פונקציה ממש מעגל הפיקוד הפניאומטי A 3 PB A PB2 PB1 ) A f(PB1 , PB2 PB 2 1 1 1 1 PB1 1 1 1 1 1 1 2 3 A בקר מתוכנת הקצאת כתובות בבקר CDSIM שפת התכנות :דיאגרמות סולם לכל רכיב שטח מקצים כתובת בבקר .את חיבור הרכיבים לבקר (חיווט) מבצעים בדרך כלל ,פעם אחת ,ובהמשך משנים רק את תוכנית הפעולה של הבקר .הכתובות שבטבלה ,ניתנות לשינוי .בהמשך נתייחס לכתובות אלו ככתובות קבועות, ולהימנע משינויים בחיווט הקיים. מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 66 לוגיקה לבקרה במכונות כתובות לכניסות ()INPUT ממסרי החזקה CR - CR 1 C1 כניסות INPUT - a0 x 20 CR 2 C2 x 21 a1 קוצבי זמן TSR - x 22 b0 TSR ... TSR x 23 x 24 b1 c0 x9 c1 x10 x11 d0 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 11 d1 PB1 x17 x18 x19 PB2 PB3 כתובות ליציאות ()OUTPUT יציאות OUTPUT - הערה חשובה: Y25 A Y26 A Y27 B Y28 B Y29 C Y30 C Y31 D Y32 D 1 2 3 4 5 6 7 8 בכל התרגילים שלהלן החזרת הבוכנה תתבצע באופן אוטומטי בעזרת שסתום הגבול a1 הביטוי המתאים להחזרת הבוכנה: A- a 1 לכל דיאגרמת סולם נוסיף את השורה הבאה להחזרת הבוכנה: Y26 a1 A X 21 מימוש פונקציות לוגיות בעזרת בקר מתוכנת .1 מימוש שער לוגי : ANDביטוי בוליאני להפעלת בוכנה א. תיאור באמצעות שער לוגיA B : ב. דיאגרמת סולם למימוש בעזרת בקר: A PB1 PB2 A B PB 2 Y25 PB1 X 18 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 X19 67 לוגיקה לבקרה במכונות להחזרת הבוכנה -טבלת אמת לפונקציה AND A PB1 PB2 2 2 2 0 .2 PB 2 1 1 1 1 PB1 1 1 2 3 1 1 1 1 מימוש שער לוגי : ORביטוי בוליאני להפעלת בוכנה A PB1 PB2 א .תיאור באמצעות שער לוגי: ב. A B AB דיאגרמת סולם למימוש בעזרת בקר: PB1 Y25 X19 A PB 2 X 18 להחזרת הבוכנה Y26 - a1 A טבלת אמת לפונקציה OR A PB1 PB2 1 1 1 1 .3 X 21 PB 2 1 1 1 1 PB1 1 1 1 1 1 1 2 3 מימוש פונקצית :AND-NOTביטוי בוליאני להפעלת בוכנה A PB1 PB2 א. תיאור באמצעות שערים לוגייםA B : ב. דיאגרמת סולם למימוש בעזרת בקר A B B Y25 Y26 P B2 A PB1 X 18 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 X19 a1 X 21 68 לוגיקה לבקרה במכונות - .5 טבלת אמת לפונקציה NOT-AND A PB1 PB2 PB 2 PB1 2 2 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 מימוש פונקצית :OR-NOTביטוי בוליאני להפעלת בוכנה A PB1 PB2 א. תיאור באמצעות שערים לוגייםA B : ב. דיאגרמת סולם למימוש בעזרת בקר A B B Y25 PB1 X19 A X18 Y26 - PB 2 a1 A X 21 טבלת אמת לפונקציה OR-NOT A PB1 PB2 PB 2 PB1 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 .2מימוש פונקצית :NORביטוי בוליאני להפעלת בוכנה A PB1 PB2 א .תיאור באמצעות שערים לוגיים: -המימוש מבוסס על הפעלת כללי דה-מורגן והצגת הפונקציה בדרך אחרתA B A B : A AB A B AB AB B ב. A A B B דיאגרמת סולם למימוש בעזרת בקר מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 69 לוגיקה לבקרה במכונות PB2 Y25 A Y26 A PB1 X 18 a1 X19 X 21 -טבלת אמת לפונקציה NOR A PB1 PB2 PB 2 PB1 0 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 .6מימוש פונקצית :NANDביטוי בוליאני להפעלת בוכנה A PB1 PB2 א .תיאור באמצעות שערים לוגיים: המימוש מבוסס על הפעלת כללי דה-מורגן והצגת הפונקציה בדרך אחרתA B A B :A A A AB AB B AB B B ב. A B דיאגרמת סולם למימוש בעזרת בקר Y25 PB1 A PB2 Y26 a1 A X19 X 18 X 21 טבלת אמת לפונקציה NANDA PB1 PB2 PB 2 PB1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 כתה: ציון: שם תלמיד: תאריך: תרגול מתקדם -מימוש באמצעות רכיבים פניאומאטיים - נתונה הפונקציה (פתור כל תרגיל בדף נפרד): f ( PB , PB , PB ) A B C A B C A B C A B C A B C f ( PB , PB , PB ) A B C A B C A B C A B C A B C f ( PB , PB , PB ) A B C A B C A B C f ( PB , PB , PB ) A B C A B C A B C מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 71 לוגיקה לבקרה במכונות בטא את הפונקציה באמצעות טבלת האמת. אם ניתן -צמצם את הפונקציה הנתונה בעזרת מפת קרנו. סרטט תרשים פיקוד ,לפונקציה המצומצמת ,באמצעות לחצני 3/2יד-קפיץ.PB * הערה :החזרת הבוכנה ( )A-תיעשה על-ידי לחצן יד-קפיץ 4 PB PB 2 ) A f(PB1 , PB2 , PB3 PB3 PB 2 NOT X שער לוגי NOT 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 10 PB1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 01 11 00 6 4 1 PB 3 0 2 0 100 010 110 000 7 5 1 3 1 101 111 011 001 פונקציה מצומצמת למימוש: 1 שער לוגי OR & שער לוגי AND A PB A 1 B PB 2 C PB 3 מקור לחץ אוויר פריקת לחץ לסביבה A PB 4 PB3 שם תלמיד: תאריך: PB2 כתה: ציון: תרגול מתקדם -מימוש בעזרת בקר מתוכנת: - פתור כל תרגיל בדף נפרד נתונה הפונקציה באמצעות טבלת האמת (תרגילים 0-6בעמוד הבא). מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 PB1 חשוב ! דפי עבודה אלו משמשים כהכנה לקראת הרצת התרגילים במעבדה. לכן ,שמור את דפי העבודה ומסור אותם בסיום סדרת תרגילי המעבדה. הקף בעיגול את מספר התרגיל: 1 2 3 4 5 6 71 לוגיקה לבקרה במכונות צמצם את הפונקציה הנתונה בעזרת מפת קרנו. סרטט דיאגרמת סולם לפונקציה המצומצמת ,באמצעות מפסקי .PB הקצה כתובות בבקר לכל החיישנים והמפעילים.* הערה :החזרת הבוכנה ( )A-תיעשה על-ידי חיישן a1 PB PB 2 10 ) A f(PB1 , PB2 , PB3 PB3 PB 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 PB1 0 0 0 0 1 1 1 1 11 00 6 4 0 1 2 3 4 5 6 7 01 1 PB 3 0 2 0 100 010 110 000 7 5 1 3 1 101 111 011 001 פונקציה מצומצמת למימוש: A מפסק "רגיל פתוח" PB מפסק "רגיל סגור" PB PB X 17 1 X 18 A Y 25 PB 2 X 19 PB 3 להחזרת הבוכנה A a1 Y 26 )f(A,B,C 1 1 1 0 1 1 0 0 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 )f(A,B,C A 1 0 0 0 1 0 1 2 0 0 3 0 1 4 1 1 5 1 1 6 1 0202 1מבוא 7ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0 A PB X B PB X C PB X 17 א .פתור את התרגיל בדף העבודה .הצג את הפתרון ב .תכנת את הפתרון במחשב ,הפעל את המערכת והצג את הפתרון C 0 1 0 1 0 1 0 1 X 21 1 18 2 19 3 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 72 לוגיקה לבקרה במכונות C )f(A,B,C 0 0 0 1 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 )f(A,B,C 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 )f(A,B,C 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 )f(A,B,C 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 8 A 0 0 0 0 1 1 1 1 01 12 0 1 2 3 4 5 6 7 AB CD 00 0 4 00 1000 0100 1100 13 9 0000 1 5 01 1101 1001 0101 7 15 11 0001 32 11 1011 0111 1111 10 0011 2 6 14 10 1110 1010 0110 11 10 8 0010 01 12 AB CD 00 0 4 00 1000 0100 1100 13 9 0000 1 5 01 1101 1001 0101 7 15 11 0001 32 11 1011 0111 1111 10 0011 2 6 14 10 1010 1110 0110 0010 תרגול מסכם -מימוש פונקציות בוליאניות תרגיל 0 א. ב. ג. ד. - צמצם בעזרת מפת קרנו את הפונקציה הנתונה בטבלת אמת. רשום ביטוי לפונקציה המצומצמת ממש את הפונקציה המצומצמת באמצעות לחצני 3/2יד-קפיץ ממש את הפונקציה המצומצמת באמצעות דיאגרמת הסולם הקצה כתובות בבקר לכל החיישנים. 1 מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 73 PB1 PB2 לוגיקה לבקרה במכונות 10 ) A f(PB1 , PB2 , PB3 PB3 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 PB 2 0 0 1 1 0 0 1 1 PB1 0 0 0 0 1 1 1 1 11 4 0 1 2 3 4 5 6 7 01 6 00 PB3 0 2 0 100 010 110 7 5 000 1 3 1 111 101 011 001 3 2 A A 1 a PB3 PB2 PB1 4 Y25 A PB X17 1 PB X18 2 PB X19 3 להחזרת הבוכנה Y26 a1 A X 21 תרגיל 0 א. ב. ג. ד. - צמצם בעזרת מפת קרנו את הפונקציה הנתונה בטבלת אמת. רשום ביטוי לפונקציה המצומצמת ממש את הפונקציה המצומצמת באמצעות לחצני 3/2יד-קפיץ ממש את הפונקציה המצומצמת באמצעות דיאגרמת הסולם הקצה כתובות בבקר לכל החיישנים. PB1 PB2 1 10 ) A f(PB1 , PB2 , PB3 0 0 1 1 0 0 PB3 0 1 0 1 0 1 01 11 PB1 PB 2 0 0 0 1 0 0 0202100 1מבוא0ללוגיקה 2,מהדורה חמישית ,אוקטובר 5 3 0 1 4 1 0 5 1 0 6 4 00 2 PB3 0 0 010 110 7 3 74 000 1 1 לוגיקה לבקרה במכונות 3 2 A A 1 a PB3 PB2 PB1 4 Y25 A PB X17 1 PB X18 2 PB X19 3 להחזרת הבוכנה Y26 a1 A X 21 תרגיל 3 א. ב. ג. ד. - צמצם בעזרת מפת קרנו את הפונקציה הנתונה בטבלת אמת. רשום ביטוי לפונקציה המצומצמת ממש את הפונקציה המצומצמת באמצעות לחצני 3/2יד-קפיץ ממש את הפונקציה המצומצמת באמצעות דיאגרמת הסולם הקצה כתובות בבקר לכל החיישנים. PB1 PB2 1 10 ) A f(PB1 , PB2 , PB3 0 0 0 0 0 1 PB3 0 1 0 1 0 1 01 11 PB1 PB 2 0 0 0 1 0 0 0202100 1מבוא0ללוגיקה 2,מהדורה חמישית ,אוקטובר 5 3 0 1 4 1 0 5 1 0 6 4 00 2 PB3 0 0 010 110 7 3 75 000 1 1 לוגיקה לבקרה במכונות 3 2 A A 1 a PB3 PB2 PB1 4 Y25 A PB X17 1 PB X18 2 PB X19 3 להחזרת הבוכנה Y26 a1 A X 21 תרגיל 5 א. ב. ג. ד. - צמצם בעזרת מפת קרנו את הפונקציה הנתונה בטבלת אמת. רשום ביטוי לפונקציה המצומצמת ממש את הפונקציה המצומצמת באמצעות לחצני 3/2יד-קפיץ ממש את הפונקציה המצומצמת באמצעות דיאגרמת הסולם הקצה כתובות בבקר לכל החיישנים. PB1 PB2 1 10 ) A f(PB1 , PB2 , PB3 1 1 0 0 1 PB3 0 1 0 1 0 01 11 PB1 PB 2 0 0 0 0מבוא0ללוגיקה 1,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 100 2 0 1 5 3 0 1 4 1 0 6 4 00 010 110 7 0 2 000 3 PB3 76 1 0 לוגיקה לבקרה במכונות 3 2 A A 1 a PB3 PB2 PB1 4 Y25 A PB X17 1 PB X18 2 PB X19 3 להחזרת הבוכנה Y26 a1 A מבוא ללוגיקה ,מהדורה חמישית ,אוקטובר 0202 X 21 77
© Copyright 2024