Övning 7 – Diffraktion och upplösning Diffraktionsbegränsade
Övning 7 β Diffraktion och upplösning Diffraktionsbegränsade system Om man tittar på ett objekt genom ett perfekt (aberrationsfritt) optiskt system avgörs hur små saker man kan se av diffraktionen i linsen. hmin (minsta särskiljbara avstånd mellan två punkter) πmin D l Då gäller Raylieghkriteriet: sin πmin = 1.22π πβ² π· För små vinklar πmin < 20° gäller att sin πmin β sin πmin = βmin π β πmin i radianer. 1.22π βmin β πβ² π· π Punktspridningsfunktionen (psf) En punkt avbildas inte till en punkt p.g.a. diffraktion i optiken. I stället ser vi en Airy Disk: hmin Vinkelförstoring Kvoten mellan synvinkeln med synhjälpmedel och synvinkeln utan. π€ ππΌ = π€med utan För en lupp gäller att ππΌ = πΉ 4 Bländartal Bländartalet är kvoten mellan fokallängd och aperturens diameter. Bländartalet betecknas: π β# = π π· Om bländartalet är t.ex. 10 gäller att π β10 = π = 10 π· Belysning (repetition) πΈπ£ = Ξ¦π£ π΄ 46.) En TV-bild är uppbyggd av 625 linjer i höjdled. På en 29β TV är bildrutan ca 42cm hög. Hur långt från en sådan TV måste man sitta för att slippa se linjerna? Antag rimliga värden. Vi kollar på upplösningskriteriet: πmin D = antag! hmin = beräkna! l=? sin πmin = 1.22π βmin β πβ² π· π Vad är avståndet mellan linjerna? Vi har 625 linjer på höjden 42 cm. βmin = 42 = 0.067 cm 625 Vi antar D = 3 mm Vi antar π = 550 nm Avståndet då vi precis kan särskilja linjerna är: πβ πβ² π·βmin 1 β 0.003 β 6.7 β 10β4 = = 3.0 m 1.22π 1.22 β 550 β 10β9 Vi kan precissärskilja linjerna på 3 m avstånd! Är vi längre bort ser vi inte skillnad på dem. 47.) Ögats upplösningsförmåga är begränsad. För att kunna urskilja små detaljer behöver vi olika synhjälpmedel. Beräkna den minsta styrka som en lupp måste ha för att vi skall kunna särskilja detaljer med 0.01 mm avstånd från varandra. Pupillens diameter är 2 mm. Systemet är aberrationsfritt. Ögats upplösningsförmåga begränsas av diffraktionen i ögats pupill. πmin D = 2 mm hmin = 0.01 mm Den diffraktionsbegränsade synvinkeln blir: sin πmin β πmin = 1.22π 1.22 β 550 β 10β9 = = 0.33 mrad πβ² π· 1 β 2 β 10β3 Vi måste alltså se objektet med denna synvinkel när vi tittar genom luppen: π€med β₯ 0.33 mrad. För att se objektet med avslappnat öga placeras det i luppens fokalplan så att bilden hamnar i oändligheten. hmin = 0.01 mm f Vad blir vinkelförstoringen? Med synhjälpmedel: π€med hmin = 0.01 mm π€med = 0.01 π π€utan = 0.01 = 0.04 mrad 250 f Utan synhjälpmedel: hmin = 0.01 mm π€utan 250 mm (närpunkten) ππΌ = 250 πΉ = π 4 Den minsta vinkeln vi kan se tydligt är πmin = 0.33 mrad enligt Rayleighkriteriet. Alltså måste synvinkeln med luppen vara π€med β₯ πmin . Gränsen går då de är lika π€med = πmin . ππΌ = πΉ π€med πmin πmin 4 β 0.33 = = βπΉ =4β = = 33 π· 4 π€utan π€utan π€utan 0.04 Styrkan på luppen måste vara minst 33 D. 48.) Ett diffraktionsbegränsat kameraobjektiv används för för att avbilda en avlägsen stjärna (et punktobjekt). Om bländartalet ändras från f/11 till f/5.5, med vilken faktor ändras då: (a) bildarean? (b) ljusflödet som träffar filmen? (c) belysningen på filmen? Vad är bländartal? π Kvoten mellan fokallängd och aperturens diameter. πβ# = π· = 11 resp. 5.5 Bländartalet halveras alltså, och eftersom fokallängden för linsen är densamma, är det aperturens diameter som har fördubblats. (a) Hur ändras bildarean? När vi avbildar ett punktobjekt avgörs storleken på bilden av diffraktionen. Eftersom objektet är oändligt långt bort är inkommande strålar parallella och bilden hamnar i fokalplanet. πAiry Disk = βmin f Hur stor är Airy Disk? πmin D πAiry Disk = βmin l=f sin πmin = 1.22π πβ² π· β πAiry Disk π , πAiry Disk = 1.22ππ πβ²π· 2 Om D fördubblas, halveras πAiry Disk. Eftersom bildarean π΄ = ππAiry Disk betyder en halvering av radien att arean minskar med en faktor 4. (b) Hur ändras ljusflödet som träffar filmen? När aperturens diameter fördubblas, blir dess area 4 gånger större. (π΄ β π·2 ) Det innebär att 4 gånger mer ljus kommer igenom systemet, till kamerans film. (c) Hur ändras belysningen på filmen? Belysning ges av ljusflöde per belyst area. Vi vet ju redan hur de har ändrats från (a) och (b)! Bildens area har minskat från A1 till A2 = A1/4. Flödet har ökat från Ξ¦π£,1 till Ξ¦π£,2 = 4Ξ¦v,1 . Från början hade vi: πΈπ£,1 = Ξ¦π£,1 π΄1 Efter förändringen har vi: πΈπ£,2 = Ξ¦π£,2 4Ξ¦π£,1 = = 16πΈπ£,1 π΄2 π΄1 /4 Belysningen på filmen blir 16 gånger större.
© Copyright 2024