Download Report

Institutionen för Matematik
SF1625
Envariabelanalys
Läsåret 2015/2016
Uppgifter till Seminarium 1
Se www.kth.se/social/course/SF1625 för information om hur seminarierna fungerar och
vad du förväntas göra inför och under seminarierna. Detta seminarium inleds med en
inlämning. Lös uppgifterna 1-4 nedan och skriv ner lösningarna med en lösning per
blad. Skriv namn och födelsedatum på varje blad. När serminariet börjar får du veta
vilken uppgift som ska lämnas in. Inlämningen sker när seminariet börjar, så man får
inte komma för sent! Innan du börjar med seminarieuppgifterna ska du lösa de rekommenderade uppgifterna ur Calculus av Adams och Essex (8:e upplagan), nämligen:
Kapitel P1: uppg 7, 11, 19, 29, 39. Kapitel P2: uppg 13, 15, 17, 23. Kapitel P3: uppg 3,
7, 43, 49. Kapitel P4: uppg 1, 3, 7, 11, 31, 33, 53. Kapitel P5: uppg 9, 25. Kapitel P6:
uppg 1, 7, 17. Kapitel P7: uppg 1, 3, 7, 19, 25, 26, 51. Kapitel 1.2: uppg 9, 13, 21, 25,
30, 49, 50, 78, 79. Kapitel 1.3: uppg 3, 6, 11, 13, 53. Kapitel 1.4: uppg 7, 8, 12, 15, 17,
20, 21, 29. Kapitel 1.5: uppg 13, 29.
S EMINARIEUPPGIFTER
Uppgift 1. Lös nedanstående ekvationer. Var noga med att hitta alla lösningar.
√
A. sin 2x = −1/
2
√
B. tan 3x = 3
C. |2x + 1| = |x|
Uppgift 2. Bestäm definitionsmängderna till nedanstående funktioner. Avgör också om
de är begränsade och om de är udda eller jämna.
√
A. g(t) = 1/ 1 − 2t
B. h(t) = 1/(6x2 + 12x − 48)
Uppgift 3. Beräkna nedanstående gränsvärden.
x2 + 3x + 5
x+3
A. lim
B.
lim
x→∞ 5x2 + 2x + 3
x→−3 x2 − 9
x+3
x→3 x2 − 9
C. lim
SF1625
Uppgifter till semiarium 1
Läsåret 2015/2016
Uppgift 4. Bestäm konstanten k så att funktionen

 sin kx
,
x 6= 0
g(x) =
x
4,
x=0
blir kontinuerlig i origo. Är funktionen därmed kontinuerlig för alla x?
D ISKUSSIONSUPPGIFTER
Här är några extra uppgifter att diskutera vid seminariet. Lösningar behöver inte skrivas
ner i förväg.
• Visa med hjälp av satsen om mellanliggande värden att p(x) = x5 + x3 + 1 har
ett nollställe mellan −1 och 0. Ligger nollstället närmare −1 eller närmare 0?
Hur kan du vara säker på att det inte finns flera nollställen?
• Förklara hur du kan veta att funktionen f (x) = (x3 + x tan9 x)47 antar ett största
och ett minsta värde när x varierar i intervallet [0, 1]. Vad kan du säga om samma
funktion på intervallet [0, 2]? (Vinkelmåttet är radianer).
• En parkeringsmätare tar betalt enligt följande: den första påbörjade timmen kostar 4 kronor och därefter kostar det 2 kronor för varje ytterligare påbörjad timme,
upp till det maximala beloppet 10 kronor. Låt h(t) vara parkeringskostnaden som
funktion av tiden t timmar. Skissa funktionsgrafen y = h(t) för 0 ≤ t ≤ 4. I
vilka punkter är h kontinuerlig?
• Finns det någon funktion som är både udda och jämn?
• Finns det någon funktion som varken är udda eller jämn?
• Om f är en udda funktion, vad är då f (0)?
• En kurva i xy-planet ges av ekvationen x2 + 2x + y 2 − 4y = 4. Rita kurvan! Är
det en funktionskurva, y = f (x), för någon funktion f ?
• Avgör om nedanstående påståenden är sanna eller falska.
P1. x = 2 =⇒ x2 = 4.
P2. x2 = 4 =⇒ x = 2.
P3. x sin x = x =⇒ sin x = 1.
• Skylt i en mataffär: Vi säljer öl till dig som är minst 18 år. Vad menar de som
skrev skylten? Vad står det egentligen på skylten? Är det samma sak? Formulera
gärna med hjälp av ” om ..., så ...” eller med hjälp av implikationspil.
2