1. No category

Digital- och datorteknik
Föreläsning #5
Biträdande professor Jan Jonsson
Institutionen för data- och informationsteknik
Chalmers tekniska högskola
Kostnad för grindnät
Vad är ett ”bra” grindnät?
De egenskaper som betraktas som eftersträvansvärda
vid realisering av ett grindnät är:
•  Att grindnätet tar få fysiska komponenter i anspråk,
för att på så sätt hålla både pris, fysiskt utrymme och
strömförbrukning på en låg nivå.
•  Att grindnätet är snabbt, d v s att löptiden (tiden det tar
för en förändring i insignalerna till nätet att visa sig på
utsignalen) är kort.
Detaljer i realiseringen som påverkar dessa egenskaper
kallar vi för kostnaden för ett grindnät.
Kostnad för grindnät
Vad påverkar kostnaden för ett grindnät?
Det som huvudsakligen påverkar kostnaden hos ett grindnät är:
•  Antalet transistorer: ju fler transistorer desto större fysiskt
utrymme och högre strömförbrukning
•  Antalet grindingångar: ju fler ingångar desto fler transistorer
•  Antalet grindar: ju fler grindar desto större antal grindingångar
Minimering av kostnaden för ett grindnät bör alltså i första hand
ha målet att hålla antalet grindar, grindingångar och transistorer
på en låg nivå.
Logikgrindar
De grundläggande logikoperationerna:
INVERTERARE
(ICKE, NOT)
x
0
1
u
x
u
1
0
u=x
2 transistorer
ELLER (OR)
x
y
u
6 transistorer
OCH (AND)
x
y
u
6 transistorer
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
u
0
1
1
1
x
y
u
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
u = (x + y)
u = (x ∗ y)
Logikgrindar
Andra användbara logikoperationer:
NOR
xx
yy
u
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
u
1
0
0
0
u = (x + y)
u
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
u
1
1
1
0
u = (x ∗ y)
4 transistorer
NAND
xx
yy
4 transistorer
Kostnad för grindnät
Hur kan vi minimera kostnaden för ett grindnät?
Följande metoder bidrar till att hålla kostnaden nere:
1.  Karnaughminimering
2.  Användning av grindar med N > 2 ingångar
3.  Konvertering av AND/OR (SP-form) till NAND/NAND
4.  Konvertering av OR/AND (PS-form) till NOR/NOR
5.  Identifiering av XOR/XNOR-funktion
6.  Identifiering av ”don’t care”-termer
Kostnad för grindnät
1. Karnaughminimering:
Ett Karnaughdiagram är ett mycket kraftfullt verktyg som gör
det möjligt att härleda en minimal lösning för nät på både
AND/OR-form (SP-form) och OR/AND-form (PS-form).
zw
xy
SP-form:
00 01
11
10
00
0
0
0
0
01
0
0
1
1
11
0
1
0
0
PS-form:
10
0
1
1
1
f = (x + y)(x + z)(z + w)(x + y + z)
f = xzw + xyz + xyz
Kostnad för grindnät
2. Användning av grindar med N > 2 ingångar:
Om enbart grindar med maximalt två ingångar används krävs
det flera grindar av samma sort när en logisk funktion kräver
tre eller fler invariabler.
En sådan lösning kan
användas vid enstaka
tillfällen, men bör generellt
sett undvikas av följande skäl:
•  Det krävs en extra logikgrind för varje ytterligare invariabel.
•  Totala löptiden växer logaritmiskt med varje ytterligare invariabel.
Exempel 1: fyra invariabler ger två grindars fördröjning
Exempel 2: åtta invariabler ger tre grindars fördröjning
Kostnad för grindnät
2. Användning av grindar med N > 2 ingångar:
Associativa lagarna (T5) säger att evalueringsordningen är
godtycklig för OR- och AND-grindar. Det är därför enkelt att
konstruera sådana grindar med tre eller fler ingångar:
Ursprunglig
grind
•  Det krävs enbart ett extra par transistorer för
varje ytterligare invariabel.
•  Totala löptiden växer inte alls (eller ytterst lite)
med varje ytterligare invariabel.
Kostnad för grindnät
3. Konvertering av AND/OR (SP-form) till NAND/NAND:
Med hjälp av regeln för dubbel negation (T9) och De Morgans
lagar (T6) kan man enkelt konvertera ett AND/OR-nät till ett
NAND/NAND-nät med ekvivalent funktion:
(1) Dubbel negation ger
oförändrad funktion
6+6+6+8=26 transistorer
(2) De Morgans lagar ger
oförändrad funktion
4+4+4+6=18 transistorer
Kostnad för grindnät
4. Konvertering av OR/AND (PS-form) till NOR/NOR:
Med hjälp av regeln för dubbel negation (T9) och De Morgans
lagar (T6) kan man enkelt konvertera ett OR/AND-nät till ett
NOR/NOR-nät med ekvivalent funktion:
(1) Dubbel negation ger
oförändrad funktion
6+6+6+8=26 transistorer
(2) De Morgans lagar ger
oförändrad funktion
4+4+4+6=18 transistorer
Kostnad för grindnät
5. Identifiering av XOR- och NXOR-funktion:
I Karnaughdiagram kan man ofta se följande diagonala mönster:
y
0
1
0
0
1
1
1
0
x
u = x⋅y + x⋅y
y
0
1
0
1
0
1
0
1
x
u = x⋅y + x⋅y
Att realisera endera av funktionerna i ett grindnät med enbart de
grundläggande logikgrindarna (INV, OR, AND) skulle kräva fem
grindar (2 INV, 1 OR, 2 AND) med totalt 2+2+6+6+6=22 transistorer
Kostnad för grindnät
5. Identifiering av XOR- och NXOR-funktion:
Det visar sig dock att endera funktion kan realiseras mer effektivt
enligt följande lösningar med 12 transistorer vardera:
u = x⋅y + x⋅y
u = x⋅y + x⋅y
Dessa funktioner kallas för exklusivt ELLER (XOR) respektive
icke exklusivt ELLER (NXOR), och är mycket användbara i olika
sammanhang för att reducera kostnaden för ett grindnät.
Kostnad för grindnät
XOR (”exclusive OR”)
NXOR (”negated XOR”)
x
y
u
x
y
u
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
u = x ⊕ y = x⋅y + x⋅y
u = x ⊕ y = x⋅y + x⋅y
Dessa logikgrindar kan ej ha fler ingångar än två. Genom att
kaskadkoppla flera grindar kan man dock möjliggöra att fler
än två signaler kopplas till nätet.
Kostnad för grindnät
6. Identifiering av ”don’t care”-termer:
I en funktionstabell eller ett Karnaughdiagram kan man ibland
stöta på så kallade ”don’t care’-termer. Sådana anges som
’−’ i tabellen/diagrammet, och betyder att funktionens värde
inte är av intresse (t ex på grund av att motsvarande
kombination av invariabler aldrig kan förekomma).
zw
xy
00 01
11
10
00
0
0
0
0
01
0
0
1
1
11
−
1
−
−
10
−
1
1
1
SP-form:
f = xzw + xyz + xyz
Tips!
En ”don’t care”-term kan tolkas på valfritt
sätt (1 eller 0), vilket gör det möjligt att
hitta grindnät med lägre kostnad!
Kostnad för grindnät
6. Identifiering av ”don’t care”-termer:
I en funktionstabell eller ett Karnaughdiagram kan man ibland
stöta på så kallade ”don’t care’-termer. Sådana anges som ’−’
i tabellen/diagrammet, och betyder att funktionens värde inte
är av intresse (t ex på grund av att motsvarande kombination
av invariabler aldrig kan förekomma).
zw
xy
00 01
11
10
00
0
0
0
0
01
0
0
1
1
11
−
1
−
−
10
−
1
1
1
SP-form:
f = x + xyz
Tips!
En ”don’t care”-term kan tolkas på valfritt
sätt (1 eller 0), vilket gör det möjligt att
hitta grindnät med lägre kostnad!
Kombinatoriska nät
Vad kännetecknar ett kombinatoriskt nät?
Ett kombinatoriskt nät är uppbyggt av logikgrindar, och varje
utsignal är entydigt definierad av insignalernas värden.
I ett kombinatoriskt
nät ändras utsignaler i
samma ögonblick
som dess insignaler
ändras.
Ett kombinatoriskt nät
saknar minne, d v s
en utsignal beror inte
på gamla värden på
insignaler.
Kombinatoriska nät
Vad kännetecknar ett kombinatoriskt nät?
Några exempel på kombinatoriska nät är:
•  Jämförare
•  Kodomvandlare
•  Omkodare
•  Väljare (”multiplexer”)
•  Fördelare (”de-multiplexer”)
•  ALU (”arithmetic-logic unit”)
Flera av de ovanstående exemplen är viktiga byggblock i en
dator, och vi återkommer snart till dessa i kursen.
Kombinatoriska nät
Demonstrationsexempel – jämförare:
Uppg 4.14 (Exempel på don't care.)
Figuren gäller för ett kombinatoriskt nät som har
utsignalen f = 1 om den NBCD-kodade siffran
X = (x3x2x1x0)NBCD är större än eller lika med fem (X
x0
x1
5).
x2
X 5
x3
För alla andra NBCD-kodade siffror skall gälla att f = 0.
Tal som inte tillhör NBCD-koden skall betraktas som "don't care".
Konstruera ett minimalt kombinatoriskt nät med NAND-grindar och
INVERTERARE.
f