1. No category

EXAMENSARBETE
Utmattning av järnvägsbroar av armerad
betong
Jämförande beräkning för två befintliga plattrambroar
Ebba Klingberg
Ellen Scheidegger
2015
Civilingenjörsexamen
Väg- och vattenbyggnadsteknik
Luleå tekniska universitet
Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser
EXAMENSARBETE 2015
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkning för två befintliga plattrambroar
EBBA KLINGBERG
ELLEN SCHEIDEGGER
2015-01-31
Avdelningen för byggkonstruktion och produktion
Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser
Luleå tekniska universitet
SE – 971 87 Luleå
Sverige
FÖRORD
Detta examensarbete är skrivet av oss Ebba Klingberg, Väg- och vattenbyggnadsprogrammet
och Ellen Scheidegger, Arkitektursprogrammet, på Luleå tekniska universitet. Det är utfört på
Reinertsens kontor i Stockholm under perioden augusti 2014 till januari 2015.
Vi vill tacka vår examinator Lennart Elfgren vid LTU för givande diskussioner och
granskning av rapporten.
På Reinertsen vill vi först och främst tacka vår handledare Henrik Gabrielsson för stort stöd
och vägledning. Vi vill även tacka Olof Blomkvist för stort tålamod och hjälp för att förstå
hans beräkningsrapporter.
Även Håkan Thun på Trafikverket får ett tack för uppgifter om de broar vi har behandlat.
Till sist vill vi tacka alla andra kollegor på Reinertsen som har hjälpt till när vi har haft frågor
och gett oss trevligt sällskap under fikarasterna.
Sist vill vi tacka alla lärare och studiekamrater som har gjort studietiden till en rolig och
spännande tid.
Stockholm januari 2015
Ebba Klingberg, Ellen Scheidegger
I
II
Sammanfattning
SAMMANFATTNING
Många befintliga järnvägsbroar i Sverige närmar sig sin beräknade livslängd. Det finns också
en önskan att öka tåglasterna, antalet tågöverfarter och tåghastigheterna för att klara dagens
och framtidens behov. För att inte behöva riva fullt fungerade broar bör bärighetsutredningar
ge resultat som stämmer väl överens med verkligheten. Med dagens betongnormer kan
utmattning bli den dimensionerande faktorn, trots att få fall av brott har observerats i broar av
armerad betong på grund av utmattning.
Detta examensarbete jämför tre utmattningsmodeller på två plattrambroar av armerad betong
belastade med järnvägstrafik, en från 1972 och en från 1995. Utmattningsmodellerna grundar
sig på Boverkets betonghandbok 04, Eurokod och Fib Model Code 2010. Broarnas betong
och armering har kontrollerats med avseende på böjning och skjuvning med en enklare
spänningskontroll och delskadeanalys. I de flesta kontroller enligt beräkningarna klarar
broarna inte utmattningsvillkoren, trots att inga tecken på utmattning har observerats vid
tidigare inspektioner.
De faktorer som påverkar utmattningskapaciteten mest är spänningsvidden, antalet lastcykler,
armeringsdiametern
och
bockningsradien
på
armeringen.
Alla
undersökta
utmattningsmodeller påverkas av dessa faktorer. Det går inte att peka ut en modell som ger
lägst kapacitet i alla kontrollerade fall, förutom vid delskadeanalys då Fib model code 2010
gav den största kapaciteten och var därmed mest gynnsam.
För mer noggranna beräkningar används delskadeanalysen där verkligt antal lastcykler
används. Beräkningarna visar att analysen inte blev den mest fördelaktiga metoden vid dessa
korta plattrambroar, utan gav högre utnyttjandegrader än de enklare spänningskontrollerna.
Vidare forskning behövs om utmattning av armerade betongbroar belastade med
järnvägstrafik. Dagens normer ger för konservativa resultat, som inte speglar verkligheten.
Förbättringar kan ske antingen genom att påverkan, från de ovan nämnda faktorerna, kan
reduceras eller att helt nya metoder tas fram. Andra frågor att studera är till exempel storleken
på spänningsvidden (beräkningsmodeller, dynamikfaktor, övervakning) och antalet lastcykler
för olika spänningsvidder.
Nyckelord: Utmattning, järnvägsbro, Armerad betong, BBK04, Eurokod, Fib model code
2010, TRV bärjvg, plattrambro.
III
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
IV
Summary
SUMMARY
Fatigue of Railway Bridges of Reinforced Concrete
Comparison of Calculations for two Existing Slab Frame Bridges
Many existing railway bridges in Sweden are approaching their estimated life span. There is
also a desire to increase their loads, the number of passages and the speed limit in order to
meet current and future demands. To avoid demolishing fully functional bridges, the fatigue
investigations on existing structures should give results that are close to reality. The
regulations of today may condemn fully functioning bridges, even though only few of them
show signs of fatigue.
This thesis compares three fatigue models by assessing two slab frame railway bridges, one
from 1972 and one from 1995. The fatigue models are based on the Swedish Code BBK04,
the Eurocode and the Fib Model Code 2010. The concrete and reinforcement in the bridges
are assessed for bending and shear. The methods used are simplified models and cumulative
damage analysis method. In most of the calculated cases, it is indicated that the bridges do
not have enough fatigue capacity, even though there were no signs of fatigue registered
during the latest inspection.
The factors that give the highest impact on the fatigue capacity are the stress range, the
number of load cycles, the diameter of the reinforcement and the diameter of the mandrel
used for bending reinforcement. All the investigated fatigue models are affected by these
factors. It is not possible to single out one model that in all cases give the lowest capacity,
except in the cumulative damage analysis where the Fib Model Code 2010 give the highest
capacity.
For more accurate calculations the cumulative damage method is applied, where the actual
number of load cycles is used. The calculations show that the analysis was in this case not the
most favorable method to use on these short, slab frame bridges.
Further research is needed to be able to make more accurate assessment of existing structures
are investigated. The norms of today give too conservative results that do not reflect reality.
Either improvement can be made by reducing the impact on the fatigue capacity of the above
mentioned factors or by inventing completely new methods.
V
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Other questions to study are e.g the size of the stress ranges (calculation models, dynamic
factor, monitoring) and number of load cycles for different stress ranges.
Keywords: Fatigue, Railway Bridge, Reinforced concrete, BBK04, Eurokod, Fib Model
Code 2010, TRV bärjvg, slab frame bridge.
VI
Innehållsförteckning
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
FÖRORD __________________________________________________________________ I
SAMMANFATTNING ________________________________________________________ III
SUMMARY _______________________________________________________________ V
TECKENFÖRKLARING _______________________________________________________ XI
1
INLEDNING ____________________________________________________________ 1
1.1
Bakgrund _______________________________________________________________ 1
1.2
Syfte___________________________________________________________________ 1
1.2.1
2
1.3
Metod _________________________________________________________________ 2
1.4
Avgränsningar ___________________________________________________________ 2
1.5
Programvaror ___________________________________________________________ 2
TEORI_________________________________________________________________ 3
2.1
3
4
Forskningsfrågor ________________________________________________________________ 2
Generellt om utmattningsteorier ____________________________________________ 3
2.1.1
Historia _______________________________________________________________________ 3
2.1.2
Utmattning av armerad betong ____________________________________________________ 4
2.2
Spänningscykler _________________________________________________________ 6
2.3
Inspektion ______________________________________________________________ 6
METOD _______________________________________________________________ 7
3.1
Litteraturstudie __________________________________________________________ 7
3.2
Beräkning av utmattning __________________________________________________ 7
3.2.1
BVS bärighet ___________________________________________________________________ 7
3.2.2
BBK04 _______________________________________________________________________ 11
3.2.3
Eurokod (EC) __________________________________________________________________ 17
3.2.4
FIB model code 2010 (FIB) _______________________________________________________ 24
3.2.5
Delskademetoden ______________________________________________________________ 29
BERÄKNINGAR AV EXEMPELBROAR _______________________________________ 33
4.1
4.1.1
Plattrambroar __________________________________________________________ 33
RM Bridge ____________________________________________________________________ 33
VII
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
4.1.2
Laster ________________________________________________________________________ 33
4.1.3
Dynamikfaktor ________________________________________________________________ 34
4.1.4
Utmattningsberäkningar ________________________________________________________ 34
4.1.5
Avgränsningar _________________________________________________________________ 35
4.2
4.2.1
Bakgrund _____________________________________________________________________ 36
4.2.2
Geometri och material __________________________________________________________ 36
4.2.3
Indata i RM Bridge _____________________________________________________________ 38
4.2.4
Beräknade snitt ________________________________________________________________ 39
4.3
5
Bakgrund _____________________________________________________________________ 40
4.3.2
Geometri och material __________________________________________________________ 40
4.3.3
Indata i RM Bridge _____________________________________________________________ 42
4.3.4
Beräknade snitt ________________________________________________________________ 43
RESULTAT ____________________________________________________________ 45
Enkla spänningskontroller _______________________________________________________ 45
5.1.2
Sammanfattning av resultaten ____________________________________________________ 48
Bro 3500-4838-1 vid bandel Borlänge – Repbäcken, byggnadsår 1995 _____________ 48
5.2.1
Enkla spänningskontroller _______________________________________________________ 48
5.2.2
Delskademetoden ______________________________________________________________ 50
5.2.3
Sammanfattning av resultaten ____________________________________________________ 51
ANALYS ______________________________________________________________ 53
6.1
Betong ________________________________________________________________ 53
6.1.1
Böjning ______________________________________________________________________ 53
6.1.2
Skjuvning _____________________________________________________________________ 53
6.2
8
Bro 3500-2770-1 vid bandel Bromölla – Sölvesborg, byggnadsår 1972 _____________ 45
5.1.1
5.2
7
Bro 3500-4838-1 vid bandel Borlänge – Repbäcken, byggnadsår 1995 _____________ 40
4.3.1
5.1
6
Bro 3500-2770-1 vid bandel Bromölla – Sölvesborg, byggnadsår 1972 _____________ 36
Armering ______________________________________________________________ 53
6.2.1
Enklare metoder _______________________________________________________________ 53
6.2.2
Delskademetoden ______________________________________________________________ 54
DISKUSSION & SLUTSATS ________________________________________________ 61
7.1
Betong ________________________________________________________________ 62
7.2
Armering ______________________________________________________________ 62
7.3
Svar på forskningsfrågor __________________________________________________ 63
7.4
Felkällor _______________________________________________________________ 64
7.5
Förslag till fortsatt arbete _________________________________________________ 65
REFERENSER __________________________________________________________ 67
VIII
Innehållsförteckning
9
BILAGOR _____________________________________________________________ 71
BILAGA A – Spänningsviddsberäkningar
BILAGA B – Exempel på utmattningsberäkningar för bro 3500-2770-1, snitt 2
BILAGA C – Exempel på utmattningsberökningar för bro 3500-4838-1, snitt 1
BILAGA D – Mathcadskript – Delskadeberäkningar
BILAGA E – Ritningar bro 3500-2770-1
BILAGA F – Ritningar bro 3500-4838-1
BILAGA G – Överslagsberäkningar av spänningar från moment
IX
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
X
Teckenförklaring
TECKENFÖRKLARING
Latin
Beteckning
Förklaring
𝑎𝑖
𝐵𝑖
𝐷
𝐸𝑐
𝐸𝑠
𝑓𝑐𝑑 /𝑓𝑐𝑐
𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡
𝑓𝑐𝑐𝑘
𝑓𝑐𝑐𝑘,𝑗𝑢𝑠𝑡
𝑓𝑐𝑡𝑑 /𝑓𝑐𝑡
𝑓𝑐𝑡𝑘
𝑓𝑐𝑡𝑑,𝑓𝑎𝑡
𝑓𝑦𝑘
𝑓𝑦𝑑
𝑘
𝑘1
Antal axlar per vagn
Godsmängd
Dynamikfaktor, Total delskada, Dorndiameter
Betongens elasticitetsmodul
Armeringen elasticitetsmodul
Dimensionerade tryckhållfasthet för betong
Dimensionerade referenstryckhållfasthet för betong i utmattning
Karakteristisk tryckhållfasthet för betong
Justerad betonghållfasthet
Dimensionerande draghållfasthet för betong
Karakteristisk draghållfasthet för betong
Dimensionerade referensdraghållfasthet för betong i utmattning
Karakteristisk hållfasthet för armering
Dimensionerade hållfasthet för armering
Kollektivparametern
Konstant spänningsviddsgräns för beräkning av enkel
spänningskontroll i Eurokod, Lutning på S-N kurvan, faktor
Lutning på S-N kurvan
Längd, längd på kritisk influenslinje
Bestämmande längd
Antal verkliga cykler, Andelen trafik som åker över bron
samtidigt
Antal tåg överfarter under tidsperioden
Antal överfarter av två närliggande boggier under tidsperioden
Antal axelpassager under tidsperioden
Antalet cykler till brott
Teknisk livslängd
Axellastens medelvärde för beräkning av antal överfarter
Axellast av vagnens egenvikt
Dorndiameter/krökningsradie
Koefficient som beror på cementtyp
Tryckspänningsnivå
Dragspänningsnivå
Betongens ålder vid första pålastning
𝑘2
𝐿
𝐿𝑏𝑒𝑠𝑡
𝑛
𝑛1𝑖
𝑛2𝑖
𝑛3𝑖
𝑁
𝑁𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠
𝑃𝑚𝑖
𝑃0𝑖
𝑅/𝑟
𝑠
𝑆𝑐𝑑
𝑆𝑡𝑑
𝑡0
XI
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
𝑣
𝑉𝐸𝑑
𝑉𝑅𝑑
𝑉𝑜𝑙
Hastighet, koefficient beroende på kollektivparametern
Dimensionerade tvärkraft, lasteffekt
Dimensionerade tvärkraftskapacitet
Trafik volym
Grekiska
Beteckning
Förklaring
𝛼𝑐
𝛽𝑐𝑐 (𝑡0 )
Δ𝑓𝑠𝑡
∆𝜎𝑅𝑠𝑘
∆𝜎
𝜀𝑐𝑟
𝛾𝑐
𝛾𝑐,𝑓𝑎𝑡
𝛾𝐸𝑑
𝛾𝐹,𝑓𝑎𝑡
𝛾𝑠
𝛾𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑠,𝑓𝑎𝑡
𝜆𝑠
Koefficient som beaktar långtideffekter i betong
Koefficient som beror på betongen ålder
Spänningsvidden
Karakteristiska utmattningshållfastheten för 𝑁 = 108
Spänningsvidd
Töjningen från krypning i betong
Partialkoefficient för betong
Partialkoefficient för utmattning av betong
Säkerhetsfaktor
Partialkoefficient för utmattningslaster
Partialkoefficient för armering
Partialkoefficient för bärförmåga enligt BBK04
Partialkoefficient för säkerhetsklass enligt BBK04
Partialkoefficient för utmattning av armering
Korrektionsfaktor för att beräkna skadan från spänningsvidden
och dynamiska faktorn.
Faktor som tar hänsyn till vilken typ av element som betraktas (till
exempel kontinuerlig, fritt upplagd balk) och vilken skada som
tillför bron beroende på vilken längd och area som den har.
𝜆𝑠,1 vid längden L
Faktor som tar hänsyn till mängden trafik på bron.
Faktor som tar hänsyn till livslängden på bron.
Faktor som tar hänsyn till om konstruktionen har mer än ett spår.
Faktor som tar hänsyn till skillnaden på materialegenskaper
mellan prövning och verkligheten
Medelvärdes faktor med hänsyn till påkänningsgradienten
Spänning i material
Maximal spänning i betongen
Minimala spänningen i samma punkt i betongen
Tryckspänning i betong
Dragspänning i betong
Kryptalet
Faktor som beror på bockningsradie och stångdiameter
Diameter
Dynamikfaktor
𝜆𝑠,1
𝜆𝑠,1 (𝐿)
𝜆𝑠,2
𝜆𝑠,3
𝜆𝑠,4
𝜂
𝜂𝑐
𝜎
𝜎1
𝜎2
𝜎𝑐
𝜎𝑐𝑡
𝜑
𝜉
∅
𝜙
XII
Teckenförklaring
Förkortningar
Samtliga beteckningar nedan kommer användas vidare i arbetet.
Beteckning
Förklaring
EC
BKR
BBK04
BBK94
FIB
BVS
BaTMan
Eurokod 2, Betongkonstruktioner (Eurokod 2, 2005)
Boverkets konstruktions regler (BKR, 2003)
Boverkets handbok om betongkonstruktioner, 2004 (BBK, 2004)
Boverkets handbok om betongkonstruktioner, 1994 (BBK, 1994)
FIB model code 2010 (Fib Model Code, 2012)
Bärighetsberäkning av järnvägsbroar (TRV Bärjvg, 2013)
Bridge and Tunnel Management, Trafikverkets databas för
information av broar och tunnlar. (BaTMan, 2014)
Bild framsida
Vybilder av exempelbroarna tagna under huvudinspektioner. Övre bilden bro 3500-4838-1,
vid bandel Borlänge – Repbäcken, nedre bilden bro 3500-2770-1 vid bandel Bromölla –
Sölvesborg. BaTMan (2014).
XIII
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
XIV
1 Inledning
1 INLEDNING
I följande kapitel redovisas bakgrunden till examensarbetet med beskrivning av syfte, metod
och avgränsningar, tillsammans med de forskningsfrågor som har ställts.
1.1 Bakgrund
Många järnvägsbroar i Sverige och Europa närmar sig sin beräknade livslängd eftersom
många byggdes inom samma tidsspann då järnvägsspåren bredde ut sig (SB9.2, 2007). Det
finns även en önskan att höja tåglasterna, öka tåghastigheterna och öka antalet tågöverfarter
för att tillgodose dagens och framtidens behov. Kostnaderna för att byta ut berörda broar
skulle uppgå till enorma summor. Därför finns det ett intresse att undersöka möjligheterna att
reparera, förstärka eller genom noggrannare beräkningar kunna förlänga livslängderna för
dessa broar. (Thun, 2006)
Bärighetsutredningar på befintliga betongbroar utsatta för järnvägstrafik, som görs med
dagens normer, ger relativt ofta resultatet att bron inte klarar villkoren för
utmattningskapacitet. Detta sker trots att få broar uppvisar några tecken, så som
sprickbildning, på att ha utmattningsskador. Studier har visat att de standarder och metoder,
som idag ligger till grund för bedömningen ger ett konservativt resultat (Thun, et al., 2000).
1.2 Syfte
Inspektioner av befintliga broar tyder på att den verkliga utmattningskapaciteten är högre än
vad beräkningar visar. Framförallt har detta uppmärksammats genom att utdömda broar inte
har haft de skador som beräkningarna har tytt på. Vid Luleå tekniska universitet genomfördes
fullskaliga utmattningstester i laboratorium på en bro som tidigare låg i Lautajokki. Resultatet
var att brons kapacitet var långt över den beräknade kapaciteten (Thun, et al., 2000). Detta
visar på att beräkningsmetoderna inte tar vara på all kapacitet som finns.
Detta examensarbete avser att undersöka tre beräkningsmodeller för utmattningskapacitet på
befintliga betongbroar. Arbetet ska undersöka vilka parametrar, som ger stora utslag på
utnyttjandegrad och bärförmåga. Dessa tre beräkningsmodeller kommer att jämföras på två
exempelbroar av typen plattramsbro av armerad betong, belastade med järnvägstrafik.
Modellerna bygger på Boverkets handbok om betongkonstruktioner 2004 (BBK04), Eurokod
(EC) och Fib model code 2010 av ”Fédération internationale du béton” (FIB).
1
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
1.2.1 Forskningsfrågor
De frågeställningar som togs fram innan examensarbete startade och ligger till grund för
examensarbetet är följande. Frågorna är framtagna tillsammans med examinatorn för detta
examensarbete, Lennart Elfgren.
1. Hur kan utmattningskapaciteten för befintliga broar bestämmas?
2. Vilka faktorer har stor inverkan på utmattningskapaciteten vid utredningar av befintliga
broar?
3. På vilket sätt går det att öka den teoretiska utmattningskapaciteten?
4. Finns det nya teorier som stämmer bättre överens med verkligheten?
1.3 Metod
Examensarbetet har utförts genom litteratursökningar och diskussioner med personer som har
kunskap inom området för examensarbetet. Tre utmattningsmodeller har granskats och
applicerats på två exempelbroar, bro 3500-2770-1 och 3500-4838-1. Dessa benämningar är
konstruktionsnamnen enligt Trafikverkets förvaltningssystem BaTMan, 2014.
Utmattningsmodellerna är valda för att kunna besvara forskningsfrågorna där BBK04 är de
gällande normerna för bärighetsberäkningar, fråga 1. EC och FIB är riktade till fråga 4. EC är
idag standard för nybyggnation. Standarden är inte anpassad för befintliga byggnader, men
arbetet är igång med att ta fram det. FIB är en standard som ges ut av ”Fédération
internationale du béton”, vilket är en internationell grupp forskare, som med hjälp av de
senaste rönen tar fram riktlinjer hur betongkonstruktioner kan dimensioneras.
Teoriavsnitten i rapporten är jämt fördelat mellan båda författarna. Beräkningsdelen är
uppdelad genom att Ebba Klingberg har utfört beräkningar på bro 3500-4838-1 och Ellen
Scheidegger bro 3500-2770-1.
1.4 Avgränsningar
Examensarbetet avgränsas till järnvägsbroar av armerad betong. För att fokusera på
utmattningskapaciteten har uträkningarna av moment, normalkraft och tvärkraft inte utförts.
Detta har gjorts genom att välja två exempelbroar där dessa beräkningar redan är utförda och
uppgifterna tillhandhålls därifrån samt att denna brotyp har en enkel statisk uppbyggnad.
Endast kontroll mot utmattning kommer att behandlas ingående. Det finns andra
utmattningsmodeller, men de är bortvalda för att begränsa mängden material.
1.5 Programvaror
Examensarbetet kommer att utföras i huvudsak med hjälp av programmet MathCAD 15 och
Excel 2010 för beräkningar och Word 2010 för redovisning av rapporten.
2
2 Teori
2 TEORI
I följande kapitel ges en generell beskrivning av bakgrunden till utmattning och vilka
utmattningsteorier som ligger till grund för de beräkningsmetoder som används idag. Det
finns även en mera ingående beskrivning av utmattning på armerad betong.
2.1 Generellt om utmattningsteorier
Utmattning är ett fenomen som uppkommer då en konstruktion utsätts för ett stort antal
upprepade belastningar, vilket kan leda till en försvagning av konstruktionen. Till sist kan
konstruktionen gå till utmattningsbrott trots att de laster som utsätter konstruktionen kan vara
långt under brottlasten. (Gylltoft, 1994)
Utmattning kan delas upp i tre varianter beroende på antalet lastväxlingar, så kallade
lastcykler vilka förklaras i avsnitt 2.2 nedan. Dessa varianter är lågcyklig, högcyklig och
superhögcyklig utmattning. Till lågcyklig hör cykler upp till 103 (ibland 104), högcyklig 104107 och superhögcyklig 107-109. Normalt sett menas högcyklig utmattning om inte antalet
cykler nämns. (Gylltoft, 1994)
Utmattningen blir ett större och större problem, då material och beräkningsmetoder hela tiden
utvecklas och ger möjlighet att bygga konstruktioner allt slankare och lättare. Tidigare har
även beräkningsmetoderna, genom säkerhetsfaktorer och dylikt tagit hänsyn till utmattning,
medan det idag beräknas separat. Detta har skapat ett behov att förstå problematiken kring
utmattningsbrott vilket tidigare inte har behövts (Elfgren & Gylltoft, 1997). I dagens
standarder har en konservativ ställning tagist vilket har lett till att utmattningen i många fall
är begränsande. De laster som orsakar utmattning är dynamiska laster som till exempel vind-,
våg-, trafik- och temperaturlaster (Gylltoft, 1994).
2.1.1 Historia
De första teorierna om utmattning togs fram av gruvingenjören W.A.J. Albert i början av
1800-talet. Han upptäckte att kedjor till hissarna efter en viss tid gick till brott trots att inte
brottlasten överskreds (Suresh, 1998). August Wöhler undersökte axlar till järnvägsvagnar
under mitten och slutet av 1800-talet med hänsyn till utmattning. Hans försöksdata
sammanställdes i så kallade Wöhlerkurvor eller S-N kurvor. Dessa visar relationen mellan
spänningsvidden, S, som ett material utsätts för och antalet lastcykler, N, materialet klarar av.
(Elfgren, 2014)
3
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Arvid Palmgren på SKF (Svenska Kullagerfabriken AB) tog fram en metod för att
dimensionera dynamiska utmattningslaster, som publicerades 1924. Detta uppmärksammades
inte förens M A Miner tog upp metoden och utvecklade den, för att undersöka
utmattningsproblem, som uppstod i flygplan. Miner tog fram Palmgren-Miners brotthypotes
vilken säger att summan av alla delskador, D, inte får överskrida 𝐷 ≤ 1, där 𝐷 = ∑𝑛𝑖 /𝑁𝑖 .
(Suresh, 1998)
Utmattning i betong är inte lika studerat som utmattning i stål och det började inte undersökas
förrän på andra halvan av 1900-talet, då bland annat oljeindustrins plattformar blev hårt
utsatta i utmattning av havets vågor (Gylltoft, 1994).
2.1.2 Utmattning av armerad betong
Utmattning i armerad betong är ett komplext problem då samverkan mellan betong och
armering är svår att förutse. Dimensioneringen bygger idag på empiriska studier gjorda på
armering och betong var för sig. Detta betyder att även dimensioneringen idag genomförs
separat. Generellt kan sägas att armeringspåkänningarna oftast blir avgörande medan
betongspänningar sällan leder till utmattningsbrott (Elfgren, 2014). Nedan följer en
beskrivning på utmattningsegenskaper för armering och betong.
2.1.2.1 Utmattning av armering
De vanligaste armeringssorterna reagerar väldigt likt vanligt stål när de utsätts för
utmattningslaster. De parametrar som har störst påverkan på armeringens
utmattningsbärförmåga är den belastande spänningsvidden, utformningen och miljön.
Utformningen kan ge upphov till stora spänningskoncentrationer och till exempel är korrosiv
miljö ge lägre hållfasthet. (Gylltoft, 1994).
Utmattningsbrottet delas upp i tre faser; Sprickinitiering, spricktillväxt och brott. I
sprickinitieringsfasen uppstår mikrosprickor vid spänningskoncentrationer eller
diskontinuiteter. Därefter i spricktillväxtfasen ökar längden på sprickan succesivt vid varje
belastningsväxling. Till slut har tillräcklig spänning omfördelats till det återstående materialet
så att flytgränsen uppnås och brott uppstår. Sprickinitiering och framförallt spricktillväxten
sker långsamt, medan det slutliga brottet kan uppstå relativt plötsligt. (Gylltoft, 1994)
För stål finns det en utmattningsgräns. Med det menas att om spänningsvidden ligger under
en viss gräns kan konstruktionen utsättas för hur många lastcykler som helst, utan att det
kommer ske ett utmattningsbrott. I de flesta armeringsjärn finns också detta fenomen
(Gylltoft, 1983). Det kommer från att stål är töjningshårdnande vid stora töjningar.
Hur mycket spänningsvidden påverkar armeringsjärnen visas oftast med Wöhlerkurvor eller
S-N kurvor, där spänningsvidden, 𝑆 = Δ𝜎, anges i logaritmisk skala på y-axeln och antalet
lastcykler, N, anges i logaritmisk skala på x-axeln.
4
2 Teori
2.1.2.2 Utmattning av betong
Betong är som känt ett mer inhomogent material än stål. Detta har en negativ inverkan på
utmattningshållfastheten. Vid gjutning uppstår luftbubblor, mikrosprickor med mera på grund
av bland annat ballastkornens form och krympning. Det här påverkar utmattningen genom att
minska sprickinitieringsfasen och nästan direkt gå in i spricktillväxt fasen (Gylltoft, 1994). Så
som i stål pågår spricktillväxt fasen relativt länge, medan brottet uppstår snabbt.
Det som i huvudsak påverkar utmattningshållfastheten är belastningshistoriken, statisk
brotthållfasthet och omgivande miljö. Till exempel kan enstaka höga laster ha en negativ
inverkan, medan låga temperaturer har en positiv inverkan. Den maximala spänningen
påverkar mest, men det är även visat att en högre minimilast har en gynnsam påverkan.
(Gylltoft, 1994). Figur 2.1 visar skillnaden på Wöhlerkurvan då förhållandet, R, mellan
maximala och minimala spänningen ändras.
Figur 2.1 Wöhler-kurvor för betong, från (Elfgren & Gylltoft, 1997).
Sprickmönstret skiljer sig mellan statiskt brott och utmattningsbrott genom att det senare har
ett mer finfördelat mönster (Gylltoft, 1994).
Till skillnad från stål har inte betong någon tydlig utmattningsgräns. Detta beror på att
betongen inte är ett töjningshårdnande material utan hållfastheten minskar vid stora töjningar.
(Gylltoft, 1994)
Forskning har visat att utmattningshållfastheten är proportionell mot den statiska brott
hållfastheten. Därför beräknas den ofta med relationer mot den relevanta statiska
hållfastheten. (Gylltoft, 1994)
5
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
2.2 Spänningscykler
En spänningscykel, definieras såsom i Figur 2.2(a). Spänningen når ett maximum och sedan
ett minimum, eller tvärtom, och cykeln slutar då spänningen återkommer till ursprungsvärdet.
Broar belastas sällan av jämna amplituder utan påverkas av hur tåget och bron är utformade. I
Figur 2.2(b) visas ett exempel på hur en bro i Tjäruträsk reagerar i nedböjning vid en
tågöverfart. Nedböjningen kan kopplas till spänningarna som uppstår, eftersom töjningarna
har ett linjärt samband med spänningen. Här syns tydligt att bron reagerar på loket och sedan
på vagnarna på olika sätt. (Paulsson, et al., 1996)
1,5
Lastcykel
Spänning, σ
1
0,5
0
-0,5
0
2
4
6
8
-1
-1,5
Tid
(a)
(b)
Figur 2.2 (a) Definition av en lastcykel. (b) Nedböjning från mätning på en bro vid Tjäruträsk från en
tågöverfart (Paulsson, et al., 1996).
2.3 Inspektion
Vid bärighetsutredningar är inspektioner ett bra verktyg som kan ge indikationer om det finns
några problem med bärigheten. Vid inspektioner granskas bron visuellt efter skador, till
exempel sprickor. Dessa sprickor kan vara tecken på utmattning. Det är svårt att se på en
spricka vad det underliggande problemet är, om det är utmattningen eller att brottgränsen har
uppnåtts (Gylltoft, 1994). Det är dock svårare att avgöra vid inspektioner hur armeringsstålet
har blivit utsatt då de är täckta av betong. Huvudinspektioner är de vanligaste inspektionerna
och görs var 6:e år. Om det framkommer misstankar om allvarligare skador påbörjas en
utredning som ska förklara varför skadan uppstått och om den är så allvarlig att det måste
åtgärdas omgående. (BaTMan, 2014)
6
3 Metod
3 METOD
I följande kapitel beskrivs utmattningsmodellerna, BBK04, EC och FIB, med tillhörande
metoder som har använts vid beräkningar. Det kommer även redovisas vilka underlag som
används och likheter och skillnader mellan modellerna.
3.1 Litteraturstudie
En studie av den aktuella litteraturen gjordes för att förstå bakgrunden av problematiken vid
utmattning och för att ta fram de fakta som behövdes för att genomföra examensarbetet.
3.2 Beräkning av utmattning
Dagens norm för bärighetsberäkningar är standarden Bärighetsberäkning av järnvägsbroar,
BVS 583.11. Standarden kommer att betecknas som BVS i resterande delar av rapporten.
Den bygger på BBK04 och BKR med anpassningar till befintliga järnvägsbroar.
I denna rapport har en kontroll av utmattningen genomförts på två exempelbroar med tre
olika modeller som grund; BBK04, EC och FIB. FIB är en modell som ska motsvara de
senaste rönen inom betongkonstruktion. Den tas fram av den internationella
betongföreningen ”Fédération internationale du béton”, FIB, (”International Federation of
Structural Concrete”).
Vid beräkningar enligt BBK04 har BVS följts fullt ut. För de två andra modellerna har BVS
utnyttjats till viss grad för att få en anpassning till befintliga konstruktioner eller som en
förenkling av beräkningsgången. Detta kan leda till att modellerna inte är helt jämförbara
med varandra. Nedan följer en beskrivning av de delar av modellerna som har använts vid
beräkningarna av utmattningskapacitet för exempelbroarna. I avsnittet om BVS nedan ges en
kommentar efter varje del om det även används vid kontrollerna enligt EC och FIB. Då inget
nämns används det avsnittet endast vid kontrollen enligt BBK04.
3.2.1 BVS bärighet
3.2.1.1 Spänningscykler
Enligt avsnitt 2.6 i BVS ska kollektivparametern 𝜅 väljas till 5/6 för malmbanan och 2/3 för
övriga banor. Kollektivparametern tar hänsyn till att cyklerna har olika spänningsvariationer,
både i storlek och i antal. Antalet spänningscykler ska för de olika banorna vara:
7
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Malmbanan:
106 spänningscykler för huvudbärverk med bestämmande längd över 12 m.
10 ∙ 106 spänningscykler för huvudbärverk med bestämmande längd under 12 m samt för
sekundärbärverk.
Övriga banor:
106 spänningscykler för huvudbärverk med bestämmande längd över 6 m.
10 ∙ 106 spänningscykler för huvudbärverk med bestämmande längd under 6 m samt för
sekundärbärverk.
Vid känt antal spänningscykler sätts kollektivparametern till 1, då det är på säkra sidan.
3.2.1.2 Materialparametrar
3.2.1.2.1 Betong
I BVS avsnitt 1.3 beskrivs hur hållfasthetsvärden ska väljas för befintliga byggnader. Om det
på ritningen anges ett K-värde på betongen, ska tryckhållfastheten väljas enligt BBK94.
Tabellen med K-värden enligt BBK94 redovisas även i BVS. Därefter ska de beroende på när
de var byggda justeras på två olika sätt, se följande ekvationer.
𝑓𝑐𝑐𝑘,𝑗𝑢𝑠𝑡 = 1,15𝑓𝑐𝑐𝑘 − 2
Broar byggda före 1986
(3.1)
𝑓𝑐𝑐𝑘,𝑗𝑢𝑠𝑡 = 1,15𝑓𝑐𝑐𝑘
Broar byggda från och med 1986
(3.2)
Justeringen genom multiplikation av 1,15 tar hänsyn till betongens ålder, vilket genom
undersökningar av äldre betongkonstruktioner har visat att de har högre hållfasthet, och -2
kompenserar för att innan 1986 användes 10 % -fraktilen och inte 5 % -fraktilen.
Draghållfastheten ska bestämmas från den justerade tryckhållfastheten genom linjär
interpolation mellan de närmsta K-värdena enligt BBK94.
Den karakteristiska elasticitetsmodulen väljs från den hållfasthetsklass som närmast
motsvarar den justerade tryckhållfastheten.
Om det på ritningen anges C-klasser ska hållfasthetsvärdena direkt väljas enligt BBK04.
De karakteristiska tryck- och draghållfastheterna i betongen väljs enligt BVS för alla 3
modellerna.
3.2.1.2.2 Armering
För armering anger BVS hållfasthetsvärden för både nya och gamla, klasser. För de specifika
utmattningshållfastheterna anges dock inga rekommendationer för äldre klasser. Då
utmattningshållfastheten inte påverkas till någon hög grad av draghållfastheten (Östlund,
1980), antas alla stänger i de studerade exempelbroarna vara i klass B500B.
8
3 Metod
3.2.1.3 Laster
Vid utmattning ska laster enligt BVS avsnitt 2.3.2.1.1 kontrolleras. Exempelbroarna är endast
kontrollerade mot tåglast D4, se figur 3.1. Det motsvarar den tyngsta tåglasten som kört på
bron enligt lasthistorik från Håkan Thun1.
Figur 3.1 Lastkonfiguration för D4.
där
𝑄 = 225 𝑘𝑁
Enligt BVS avsnitt 2.3.2.1.4 kan axellasterna fördelas på flera sliprar enligt Figur 3.2.
Sliprarna har vanligtvis ett avstånd på 0,6 m. Figur 3.3 visar hur axellasterna kan fördelas i
ballast.
Figur 3.2 Spridning av axellast på slipers. BVS fig. 2.5.
Figur 3.3 Spridning av axellast i ballast. BVS fig. 2.6.
Samma vagnskonfiguration, last och lastfördelning har använts för alla modellerna.
1
Thun, Håkan. 2014. Trafikverket. E-mail 10 dec.
9
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
3.2.1.4 Dynamikfaktor
Dynamikfaktorn beräknas enligt BVS avsnitt 2.3.2.1.5. Denna faktor tar hänsyn till att
trafiklasten ger upphov till högre last på grund av imperfektioner vid rörelse. Faktorn
multipliceras med trafiklasten för att få en ökad last på bron.
𝐷 = 1 + 𝜑 = 1 + 𝜑´ + 0,5𝜑´´
(3.3)
där
𝜑´ =
𝑘
𝑓ö𝑟 𝑘 < 0,76
1 − 𝑘 + 𝑘4
(3.4)
𝜑´ = 1,325 𝑓ö𝑟 𝑘 ≥ 0,76
(3.5)
där
𝑘=
𝑣
2 ∙ 𝐿 ∙ 𝑛0
𝜑´´ =
(3.6)
𝐿 2
𝐿 2
𝛼
𝑛0 ∙ 𝐿
−(
)
−(
)
∙ [56 ∙ 𝑒 100 + 50 ∙ (
− 1) ∙ 𝑒 100 ]
100
80
𝜑´´ ≥ 0
(3.7)
(3.8)
där
𝛼=
𝑣
𝑚
𝑑å 𝑣 ≤ 22
22
𝑠
(3.9)
𝑚
𝑠
(3.10)
𝛼 = 1,0 𝑑å 𝑣 > 22
Bestämmande längd beräknas enligt kap 3.2.1.5 nedan. Samma dynamikfaktor används till
alla modellerna.
3.2.1.5 Bestämmande längd
Enligt BVS avsnitt 2.3.2.1.6 ska bestämmande längden beräknas för plattrambroar enligt
följande tabell.
Tabell 3.1 Bestämmande längd enligt utdrag ur tabell 2.5 i BVS.
Konstruktionsdel
Bestämmande längd, Lbest
Plattrambro – i ett spann
Beaktas som en kontinuerlig bro med tre spann, där ramben
räknas som ett spann vardera. Bestämmande längden är
medelvärdet av alla tre spann multiplicerat med faktor 1,3.
Samma bestämmande längd används till alla modellerna.
10
3 Metod
3.2.1.6 Bromskrafter
Bromskraften uppkommer då tåglasten antas bromsa över bron och friktionen ger då en
horisontell last som angriper bron. Lasten antas vara en 1/7 av tåglasten som verkar i
vertikalled enligt BVS. Detta antas för samtliga modeller.
3.2.1.7 Jordtryck av överlast
Överlasten kommer ifrån tåglasten när den är placerad bredvid bron och trycker på jorden
som ger ett horisontellt tryck på brons ramben. Kraften beräknas som en utbredd, konstant,
last för olika tåglaster multiplicerat med ytan, p, som laster antas verka på. Överlasten
beräknas enligt BVS. Detta antas för samtliga modeller.
3.2.1.8 Lastkombinationer
I BVS definieras lastkombinationer som gäller för järnvägsbroar vid bärighetsberäkningar.
Dessa bygger på BKR, men är mer definierade för specifika laster. Dessa lastkombinationer
har antagits gälla även för EC och FIB för att förenkla beräkningarna. Enligt BVS ska
lastkombination C ligga till grund för utmattningsberäkningar.
3.2.1.9 Lastspridning
Då rälsen placeras på ballast, som för ner lasterna till huvudkonstruktionen, får en
lastspridning antas på 4,5 meter enligt BVS. Detta används för samtliga modeller.
3.2.1.10 Krypning
Betongen kryper över tid vilket ger en deformation i konstruktionen. Detta tas hänsyn till
genom att lägga till en extra töjning från krypningen. Detta antas för samtliga modeller.
𝜀𝑐𝑟 =
där
𝜑
𝜎
∙𝜑
𝐸𝑐
(3.11)
är kryptalet, vilket är 2,0 för permanenta laster, enligt BVS.
3.2.1.11 Skarv- och förankringslängder
För att kunna tillgodoräkna sig full kapacitet från armeringsjärnen måste de vara skarvade
och förankrade tillräckligt långt. Detta regleras enligt BVS och det används för samtliga
modeller. Då full förankring inte kan antas reduceras armeringsarean.
3.2.2 BBK04
Utmattningskapaciteten beräknas enligt två olika metoder för tryck och drag i betong och
armering, en enklare spänningskontroll och delskademetoden. För kontroll av skjuvning i
betong finns en enklare spänningskontroll. Betongen kontrolleras endast med den enklare
spänningskontrollen, eftersom betongbrott sällan uppstår på grund av utmattning. En översikt
av de olika kontrollerna finns i figur 3.4 nedan. En beskrivning av de enklare metoderna finns
i avsnitt 3.2.2.2 och delskadeanalysen beskrivs i avsnitt 3.2.5
11
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Tryck - Drag
Enkel
spänningskontroll
3.2.2.2.1
Delskademetoden
Betongens
utmattning
Skjuvning
BBK04
Armeringens
utmattning
Tryck - Drag
Enkel
spänningskontroll
3.2.2.2.3
Enkel
spänningskontroll
3.2.2.2.2
Delskademetoden
3.2.5
Figur 3.4 Översikt av de olika beräkningsmetoderna enligt BBK04. De gråmarkerade metoderna har ej
behandlats i detta examensarbete.
3.2.2.1 Materialparameterar
Vid utmattningsberäkningar för betong enligt BBK04 används dimensionerande
materialparametrar, som vid brottgränsberäkningar (Östlund, 1980). De dimensionerande
värdena beräknas med följande ekvation.
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝜂𝛾𝑚 𝛾𝑛
(3.12)
där
𝑓𝑐𝑘
𝜂
𝛾𝑚
𝛾𝑛
är den karakteristiska hållfastheten.
är en faktor som tar hänsyn till skillnaden på materialegenskaper mellan
prövning och verkligheten.
är en partialkoefficient för bärförmåga.
är en partialkoefficient för säkerhetsklass.
Följande koefficienter gäller vid brottgränstillstånd för betong och används i vidare
beräkningar.
𝜂𝛾𝑚 = 1,5
BKR Kap. 7:3121
Säkerhetsklassen bestäms också enligt brottgränstillstånd. I denna rapport behandlas endast
överbyggnader som anses vara i säkerhetsklass 3, vilket för både betong och armering ger:
𝛾𝑛 = 1,2
BKR Kap. 2:115
12
3 Metod
3.2.2.2 Utmattningskapacitet beräknat med enklare spänningskontroller
3.2.2.2.1 Utmattningskontroll för tryckt och dragen betong
Enligt BBK04 kontrolleras tryckt och dragen betong med hjälp av figur 3.5.
Figur 3.5 Diagram för bestämning av utmattningshållfasthet för betong. BBK04 Fig. 2.4.3.
Utnyttjandegraden för den största och minsta spänningen jämförs mot kurvor för olika antal
tillåtna lastcykler. Dessa kurvor bygger på Wöhlerkurvor för betong, som är framtagna
genom empiriska försök. Utnyttjandegraderna beräknas enligt följande ekvationer och sätts
in, som en punkt i diagrammet. Beroende på om de största och minsta spänningarna är i tryck
eller drag jämförs de med tryck- eller draghållfastheten för betongen.
𝜎1 𝜎2 𝜎1 𝜎2
;
;
;
𝑓𝑐𝑐 𝑓𝑐𝑐 𝑓𝑐𝑡 𝑓𝑐𝑡
(3.13)
där
𝜎1
𝜎2
är den maximala spänningen i betongen.
är den minimala spänningen i betongen i samma punkt.
Diagrammet är uppdelat i fyra kvadranter, där placeringen av punkten i diagrammet beror på
om de största och minsta spänningarna är båda i tryck, den ena i tryck och den andra i drag
13
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
eller båda i drag. Vid tryck-tryck används den högra, övre kvadranten, vid drag-drag den
vänstra, nedre och vid tryck-drag någon av de återstående. Om de beräknade värdena ligger
innanför den kurva som motsvarar det antalet cykler som valts som begränsande så anses
betongen ha tillräcklig utmattningskapacitet.
Vid böjning kontrolleras betongen i tryckzonen och då ska en reduktion av tryckhållfastheten,
𝑓𝑐𝑐 , göras. Diagrammet i figur 3.5 används för att ta fram reduktionen och det utförs genom
följande steg. Först dras en linje genom origo med en lutning som beror av kvoten mellan den
maximala spänningen och den minimala spänningen, se nedan.
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝜎𝑚𝑎𝑥
BBK04, Kap. 3.3
(3.14)
Vid beräkning av spänningarna, i ekvationen ovan, ska tvärsnittet antas vara osprucket och ha
en linjär fördelning. Därefter blir reduktionsfaktorn, u, värdet på den horisontella axeln vid
skärningspunkten mellan linjen och kurvan för det aktuella antalet cykler. Till exempel om
spänningsförhållandet mellan maximala och minimala spänningen är 0,5, ger detta en lutning
på 0,5 för linjen som går genom origo. Vid maximalt antal cykler på 106 blir
reduktionsfaktorn, 𝑢 = 0,7, se Figur 3.6.
Figur 3.6 Exempel på reduktionsfaktorn u.
14
3 Metod
3.2.2.2.2 Utmattningskontroll för dragen armering
Vid utmattningskontroll av dragen armering ska följande villkor uppfyllas:
𝜎1 − 𝜎2 ≤
Δ𝑓𝑠𝑡
𝛾𝑛
BBK04, Ekv. 2.5.3a
(3.15)
där
𝜎1
𝜎2
Δ𝑓𝑠𝑡
är maximala spänningen i armeringen.
är minimala spänningen i armeringen.
är maximalt tillåtna spänningsvidden.
Spänningsvidden, Δ𝑓𝑠𝑡 , bestäms enligt BBK04 tabell 2.5.3a. Den beror på antalet cykler, n,
och armeringstyp. I denna rapport kommer endast kamstänger B500B beräknas.
Tabell 3.2 𝚫𝒇𝒔𝒕 [MPa], Utdrag ur BBK04 tabell 2.5.3a.
n
Armering
4
B500B
Kamstänger
5
10
10
400
270
6∙105
106
2∙106
200
180
160
Vid bockade stänger ska spänningsvidden begränsas. Värdena i tabellen ovan ska då
multipliceras med följande ekvation:
∅
BBK04, Ekv. 2.5.3b
(3.16)
1 − 1,5 ∙
𝑟
där
∅
𝑟
är stångdiametern.
är krökningsradien.
Antalet lastcykler för valet av spänningsvidd beror på kollektivparametern, 𝜅, som bestäms
enligt BVS beskrivet ovan. Lastcyklerna reduceras enligt ekvationen nedan.
𝑛𝑓 = 𝜐 ∙ 𝑛
BBK04, Ekv. 2.5.3c
(3.17)
där
𝜐
beror av kollektivparametern, 𝜅, och bestäms enligt Tabell 3.3.
Tabell 3.3 𝝊 för olika värden på kollektivparametern, 𝜿. BBK04 tabell 2.5.3b.
𝜿
1
5/6
2/3
1/2
1/3
𝝊
1
0,60
0,30
0,10
0,03
15
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
3.2.2.2.3 Utmattningskontroll vid skjuvning
Kontroll mot utmattning vid skjuvning utförs ungefär som vid kontroll mot brott. Först
kontrolleras betongen mot den maximala tvärkraften och därefter armeringen mot den
återstående tvärkraften. Dock reduceras draghållfastheten, 𝑓𝑐𝑡 , i betongen och
spänningsvidden i armeringen jämförs mot Δ𝑓𝑠𝑡 istället för att den maximala spänningen
jämförs mot flytspänningen.
Följande villkor ska uppfyllas för att betongkapaciteten ska anses vara tillräcklig.
𝑉𝑅𝑑 ≥ 𝑉𝐸𝑑
(3.18)
där
𝑉𝑅𝑑
är beräknad enligt bilaga A, med en reducering av draghållfastheten, 𝑓𝑐𝑡 , enligt
nedan.
är den maximala tvärkraften vid snittet vid lastkombination C, (𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝐸𝑑 ).
𝑉𝐸𝑑
Den formella skjuvhållfastheten, 𝑓𝑉 , ska reduceras vid kontroll mot utmattning. Reduceringen
sätts in på draghållfastheten, 𝑓𝑐𝑡 , i ekvationen (A.3) i bilaga A. Faktorn för reduceringen
beräknas på liknande sätt som reduceringen av tryckhållfastheten vid böjning. Lutningen på
linjen tas fram av faktorn 𝑉𝑚𝑖𝑛 /𝑉𝑚𝑎𝑥 . Därefter tas reduktionen, u, fram från den horisontella
axeln vid skärningspunkten av linjen och kurvan för det aktuella antalet cykler, se exempel
Figur 3.6.
Då den maximala tvärkraften från utmattningslasterna, 𝑉𝐸𝑑 , överskrider kapaciteten anses
betongen gå till utmattningsbrott. Finns det tvärkraftsarmering kontrolleras dessa mot den del
av tvärkraften som överstiger betongkapaciteten, som då blir den maximala tvärkraften på
armeringen, 𝑉𝑠,𝑚𝑎𝑥 . Eftersom armering kontrolleras med spänningsvidder och inte endast en
maximal last, så antas förhållandet mellan största och minsta tvärkraften som påverkar
armeringen vara samma som den totala största och minsta tvärkraften, se beräkningsgång
nedan. Från tvärkraften beräknas sedan spänningen i armeringen enligt Bilaga A och
kontrolleras mot den maximalt tillåtna spänningsvidden, Δ𝑓𝑠𝑡 .
𝑘=
𝑉𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑚𝑎𝑥
(3.19)
𝑉𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 − 𝑉𝑅𝑑
(3.20)
𝑉𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝑘 ∙ 𝑉𝑠,𝑚𝑎𝑥
(3.21)
Δ𝑉𝑠 = 𝑉𝑠,𝑚𝑎𝑥 − 𝑉𝑠,𝑚𝑖𝑛
(3.22)
16
3 Metod
där
𝑘
𝑉𝑠,𝑚𝑎𝑥
är förhållandet mellan den totalt största, 𝑉𝑚𝑎𝑥 , och minsta, 𝑉𝑚𝑖𝑛 , tvärkraften.
är största tvärkraften som påverkar tvärkraftsarmeringen.
𝑉𝑠,𝑚𝑖𝑛
är den antagna minsta tvärkraften som påverkar tvärkraftsarmeringen.
Ekvationerna ovan bygger på spänningsberäkningar som redovisas i bilaga A. En alternativ
metod, som bygger på en fackverksmodell är också tillåten att använda, men då får inte
betongens bärförmåga utnyttjas vid beräkning av armeringen. Denna modell är samma som
används i EC och redovisas i bilaga A under EC. I beräkningar för BBK04 används den
första metoden.
3.2.3 Eurokod (EC)
Vid beräkningar av utmattning enligt EC finns det tre olika metoder för tryck och drag i både
betong och armering; enkel spänningskontroll, λ-metoden och delskademetoden. För kontroll
av skjuvning i betong finns endast en enkel spänningskontroll. Betongkontrollen har
begränsats till endast enkel spänningskontroll, på grund av att betongbrott orsakat av
utmattning sällan förekommer i broar. En beskrivning av de enklare spänningskontrollerna
finns i avsnitt 3.2.3.3 och delskadeanalysen beskrivs i avsnitt 3.2.5.
Enkel
spänningskontroll
3.2.3.3.2
Tryck - Drag
Betongens
utmattning
λ-metoden
Delskademetoden
Skjuvning
EC
Enkel
spänningskontroll
3.2.3.3.3
Enkel
spänningskontroll
3.2.3.3.4
Armeringens
utmattning
Tryck - Drag
λ-metoden
3.2.3.3.4
Delskademetoden
3.2.5
Figur 3.7 Översikt av de olika beräkningsmetoderna enligt EC. De gråmarkerade metoderna har ej
behandlats i detta examensarbete.
3.2.3.1 Materialparametrar för betong
Dimensionerande hållfastheter beräknas enligt följande ekvation.
17
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
𝑓𝑐𝑑 =
𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑘
𝛾𝐶
(3.23)
där
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝐶
𝛼𝑐
är den karakteristiska hållfastheten för betong.
är partialkoefficient för betong.
är en koefficient som beaktar långtidseffekter för tryck (c)- eller draghållfasthet
(t) och ogynnsamma effekter av det sätt lasten påförts.
Vid utmattning används följande koefficienter enligt EC.
𝛾𝐶,𝑓𝑎𝑡 = 1,5
EC Kap. 2.4.2.4 (1)
𝛼𝑐𝑐 = 1,0
EC, Kap. 3.1.6 (1)
𝛼𝑐𝑡 = 1,0
EC, Kap. 3.1.6 (2)
Enligt EC avsnitt 6.8.7 ska tryckhållfastheten räknas om enligt följande ekvation.
𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡 = 𝑘1 ∙ 𝛽𝑐𝑐 (𝑡0 ) ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (1 −
𝑓𝑐𝑘
)
250
(3.24)
där
𝛽𝑐𝑐 (𝑡0 )
𝑡0
är en koefficient som beror på betongens ålder.
är betongens ålder vid första pålastningstillfället i dagar.
𝑘1 = 0,85
EC, Kap. 6.8.7 (1)
Koefficienten beräknas enligt följande ekvation.
28 1⁄2
(𝑡
)
𝛽𝑐𝑐 0 = 𝑒𝑥𝑝 {𝑠 ∙ [1 − ( ) ]}
𝑡0
(3.25)
där
𝑠
är en koefficient som beror på cementtyp vilket antas vara normalhärdade. Det
ger ett värde på 𝑠 = 0,25.
18
3 Metod
3.2.3.2 Materialparametrar för armering
Dimensionerade drag- och tryckhållfastheten för armering beräknas enligt följande ekvation.
𝑓𝑦𝑑 =
där
𝑓𝑘
𝛾𝑆
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑆
(3.26)
är den karakteristiska hållfastheten för armering.
är partialkoefficient för armering.
Vid utmattning används följande partialkoefficient.
𝛾𝑆,𝑓𝑎𝑡 = 1,15
EC, Kap. 2.4.2.4 (1)
Elasticitetsmodulen för armering beräknas enligt följande ekvation.
𝐸𝑠𝑑 = 𝐸𝑠𝑘
(3.27)
Vid beräkning av utmattningskapacitet ger EC en Wöhlerkurva för armering av
hållfasthetsklass B500B. I Tabell 3.4 visas värdena för kurvan som är uppbyggd enligt Figur
3.8 för raka och bockade stänger. Spänningsvidden, Δ𝜎𝑅𝑠𝑘 , ska divideras med
partialkoefficienten, 𝛾𝑆,𝑓𝑎𝑡 .
Figur 3.8 Form på Wöhler-kurvan för armering enligt EC, Fig. 6.30.
Tabell 3.4 Parameterar till Wöhler-kurvor för armering enligt EC, Tab. 6.3N.
Armeringstyp
Raka och bockade stänger
Spänningsexponent
(1)
ΔσRsk (MPa)
N*
k1
k2
vid N* cykler
6
5
9
162,5
10
Givna värden på ΔσRsk gäller raka stänger. Värden för bockade stänger bör bestämmas med en
reduktionsfaktor ζ=0,35+0,026 D / ∅.
D är bockningsdiameter och ∅ är stångdiameter.
(1)
19
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Vid bockade stänger ska enligt tabellen ovan den tillåtna spänningsvidden, Δ𝜎𝑅𝑠𝑘 , reduceras
med följande faktor.
𝜁 = 0,35 + 0,026 ∙
𝐷
∅
(3.28)
där
𝐷
∅
är bockningsdiametern.
är stångdiametern.
3.2.3.3 Utmattningskapacitet beräknat med enklare spänningskontroller
3.2.3.3.1 Lastkombination
Enligt EC får lasterna beräknas med frekvent lastkombination i de enklare
spänningskontrollerna. Detta används inte i detta examensarbete utan alla laster är beräknade
med lastkombination C enligt BVS.
3.2.3.3.2 Betong i tryck eller drag
För en enklare kontroll av utmattningshållfastheten av tryckt betong så kan följande
kontrolleras enligt EC, Kap. 6.8.7 (2).
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛
≤ 0,5 + 0,45 ∙
𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡
𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡
(3.29)
≤ 0,9 𝑓ö𝑟 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎
(3.30)
≤ 0,8 𝑓ö𝑟 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎
(3.31)
där
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥
är den högsta spänningen i tvärsnittet (tryckspänning positiv).
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛
är den lägsta tryckspänningen i den del av tvärsnittet där 𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 uppträder. Om
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 är en dragspänning bör 𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 sättas till 0.
𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡
är betongens dimensionerande hållfasthet, se ovan.
3.2.3.3.3 Skjuvning av betong
Betongen kontrolleras mot utmattning med följande villkor.
𝐹ö𝑟
𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑖𝑛
𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥
≥0
|𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥 |
|𝑉𝑅𝑑,𝑐 |
≤ 0,5 + 0,45 ∙
|𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑖𝑛 |
|𝑉𝑅𝑑,𝑐 |
≤{
0,9 𝑢𝑝𝑝 𝑡𝑖𝑙𝑙 𝐶50/60
0,8 𝑠𝑡ö𝑟𝑟𝑒 ä𝑛 𝐶50/60
20
EC Ekv. 6.78
(3.32)
3 Metod
𝐹ö𝑟
𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑖𝑛
𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥
<0
|𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥 |
|𝑉𝑅𝑑,𝑐 |
≤ 0,5 −
|𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑖𝑛 |
0,9 𝑢𝑝𝑝 𝑡𝑖𝑙𝑙 𝐶50/60
≤{
0,8
𝑠𝑡ö𝑟𝑟𝑒 ä𝑛 𝐶50/60
|𝑉𝑅𝑑,𝑐 |
EC Ekv. 6.79
där
𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥
är dimensioneringsvärde för största påförda tvärkraft i snittet.
𝑉𝐸𝑑,𝑚𝑖𝑛
är dimensioneringsvärde för minsta påförda tvärkraft i snittet.
𝑉𝑅𝑑,𝑐
är dimensioneringsvärde för tvärkraftskapaciteten enligt EC Ekv. 6.2.
(3.33)
Om skjuvarmering finns och betongen inte anses klara sig kontrolleras skjuvarmeringen
enligt bilaga A mot den totala spänningsvidden. Då antas betongen inte kunna ta någon last.
λ-metoden
Enligt kapitel 6.8.7 (101) i (Eurokod 2, del 2, 2005) får den så kallade λ-metoden användas
för kontroll av utmattning på broar av betong. Den bygger på att lasten multipliceras med en
reducerande faktor, 𝜆, som tar hänsyn till brospann, trafikmängd per år, livslängden och
antalet spår. Detta kommer inte att utföras i detta examensarbete då betongen sällan är
dimensionerade i utmattning.
3.2.3.3.4 Utmattning i armering
Spänningsvidden beräknas enligt bilaga A. Olika metoder används beroende på vilken last
armeringen ska ta, så som längsgående armering vid böjning och byglar vid tvärkraft.
Därefter kontrolleras spänningsvidden från lasten mot maximalt tillåtna spänningsvidden
beroende på metoden nedan.
Det finns två stycken enklare metoder för att beräkna utmattning i armeringsjärnen. I den
första jämförs spänningsvidden mot en konstant gräns. För icke-svetsade, dragna
armeringsstänger förutsätts ha tillräcklig utmattningshållfasthet om detta villkor uppfylls, EC,
Kap. 6.8.6 (1).
∆𝜎𝑠 ≤ 𝑘1
(3.34)
där
∆𝜎𝑠
är största spänningsvidden med frekvent lastkombination.
𝑘1 = 70𝑀𝑃𝑎
EC, Kap. 6.8.6 (1)
Den andra metoden är λ-metoden. Metoden bygger på att lasten multipliceras med en faktor,
λ. Faktorn tar hänsyn till brospannet, trafikmängden per år, livslängden och antalet spår.
21
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
𝛾𝐹,𝑓𝑎𝑡 ∙ ∆𝜎𝑠,𝑒𝑞𝑢 (𝑁 ∗ ) ≤
∆𝜎𝑅𝑠𝑘 (𝑁 ∗ )
𝛾𝑠,𝑓𝑎𝑡
(3.35)
där
𝛾𝐹,𝑓𝑎𝑡
𝛾𝑠,𝑓𝑎𝑡
∆𝜎𝑠,𝑒𝑞𝑢 (𝑁 ∗ )
∆𝜎𝑅𝑠𝑘 (𝑁 ∗ )
är en utmattningskoefficient med värdet 1.0.
är utmattningspartialkoefficienten för armingen, se avsnittet 3.2.3.2 ovan.
är skadeekvivalent spänningsvidd vid N* cykler. Beräknas enligt nedan.
är spänningsvidden vid N* cykler enligt Tabell 3.4 ovan.
𝑁*= 106
Beräkningar av ∆𝜎𝑠,𝑒𝑞𝑢 görs enligt SS-EN 1992-2, bilaga NN3.1 (Eurokod 2, del 2, 2005).
∆𝜎𝑠,𝑒𝑞𝑢 = 𝜆𝑠 ∙ 𝜙 ∙ ∆𝜎𝑠,71
(3.36)
där
λ𝑠
𝜙
∆𝜎𝑠,71
Korrektionsfaktor för att beräkna skadan från spänningsvidden och
dynamikfaktorn ovan. Beräknas enligt ekvation (3.36).
är den dynamikfaktorn beräknad enligt avsnittet 3.2.1.4 ovan.
är armeringens spänningsvidd som uppkommer från lastfall 7.1 med placering
som ger största påverkan. Placerad med maximalt på två spår.
𝜆𝑠 = 𝜆𝑠,1 ∙ 𝜆𝑠,2 ∙ 𝜆𝑠,3 ∙ 𝜆𝑠,4
(3.37)
där
𝜆𝑠,1
är en faktor som tar hänsyn till vilken typ av element som betraktas (till
exempel kontinuerlig, fritt upplagd balk) och vilken skada som tillför bron
beroende på vilken längd och area som den har.
är en faktor som tar hänsyn till mängden trafik på bron.
är en faktor som tar hänsyn till livslängden på bron.
är en faktor som tar hänsyn till om konstruktionen har mer än ett spår.
𝜆𝑠,2
𝜆𝑠,3
𝜆𝑠,4
𝜆𝑠,1 beräknas enligt följande ekvation med hjälp av interpolation mellan värden vid längden
på den kritiska influenslinjen, L, 2 och 20 m.
𝜆𝑠,1 (𝐿) = 𝜆𝑠,1 (2 𝑚) + [𝜆𝑠,1 (20 𝑚) − 𝜆𝑠,1 (2 𝑚)] ∙ (log 𝐿 − 0.3)
där
L
𝜆𝑠,1 (𝐿)
𝜆𝑠,1 (2 𝑚)
𝜆𝑠,1 (20 𝑚)
är längden av kritiska influenslinjen.
är 𝜆,1 vid längden 2 ≤ 𝐿 ≤ 20 meter.
är 𝜆,1 vid längden 2 meter.
är 𝜆,1 vid längden 20 meter.
22
(3.38)
3 Metod
Tabell 3.5 𝝀𝒔,𝟏 -värden för armering i en kontinuerlig balk (innerfack) och standard trafikvariation, S*,
utdrag ur (Eurokod 2, del 2, 2005) tabell NN.2.
L [m]
S*
≤𝟐
0.85
≥ 𝟐𝟎
0.70
𝜆𝑠,2 tar hänsyn till mängden trafik som rör sig över bron och beräknas enligt följande
ekvation.
(3.39)
𝑘2
𝑉𝑜𝑙
𝜆𝑠,2 = √
25 ∙ 106
där
𝑉𝑜𝑙
𝑘2
är mängden trafik (ton/år/spår).
är lutningen av S-N kurvan från Tabell 3.1 ovan.
𝜆𝑠,3 tar hänsyn till vilken livslängd som bron har blivit designad för och beräknas enligt
följande ekvation:
(3.40)
𝑘2 𝑁
𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠
𝜆𝑠,3 = √
100
där
𝑁𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠
𝑘2
är den designade livslängden på bron.
är lutningen av S-N kurvan från Tabell 3.1 ovan.
Faktorn 𝜆,4 tar hänsyn till om bron har flera spår. För en bro med ett spår gäller 𝜆,4 = 1.0.
Beräkningarna nedan gäller för en bro med två stycken spår.
𝑘2
𝜆𝑠,4 = √𝑛 + (1 − 𝑛) ∙ 𝑠1 𝑘2 + (1 − 𝑛) ∙ 𝑠2 𝑘2
𝑠1 =
∆𝜎1
;
∆𝜎1+2
𝑠2 =
∆𝜎2
∆𝜎1+2
(3.41)
(3.42)
där
𝑛
∆𝜎1 , ∆𝜎2
∆𝜎1+2
𝑘2
är proportionen med trafik som åker över bron samtidigt, kan sättas till 0.12.
är spänningsvidden som uppkommer av lastfall 7.1 för ett tåg i den sektion som
undersöks.
är spänningsvidden för samma sektion som ovan men med lastfall 7.1 på båda
spåren.
är lutningen av S-N kurvan från Tabell 3.1 ovan.
23
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
3.2.4 FIB model code 2010 (FIB)
FIB är uppbyggd av nivåer, så kallade Levels, vilka representerar olika noggrannhetsnivåer.
Vid beräkning av utmattningskapacitet av tryck och drag i betong och armering finns det
totalt fyra olika nivåer. I första nivån bedömas det om konstruktionen kommer utsättas för
utmattningslaster, om så inte är fallet ska ingen utmattningskontroll utföras. Sedan finns det
tre nivåer till, där nivå två kan jämföras med de enklare spänningskontrollerna enligt BBK04
och EC. Nivå fyra är en delskadeanalys, vilket i detta examensarbete endast utförs för att
kontrollera armeringen, på grund av att brott i betongen sällan uppstår av utmattning. Nivå tre
bygger på att ett verkligt antal spänningscykler kontrolleras mot hur många cykler materialet
klarar av. Liksom BBK och EC finns endast en kontroll mot skjuvning av betong. En
beskrivning av de enklare spänningskontrollerna finns nedan i avsnitt 3.2.4.3 och
delskadeanalysen beskrivs i avsnitt 3.2.5.
Level I
3.2.4.3.1
Tryck - Drag
Level II (Enkel
spänningskontroll)
3.2.4.3.1
Level III
3.2.4.3.1
Betongens
utmattning
Level IV
(Delskademetoden)
Skjuvning
FIB
Enkel
spänningskontroll
3.2.4.3.3
Level I
3.2.4.3.2
Armeringens
utmattning
Tryck - Drag
Level II (Enkel
spänningskontroll)
3.2.4.3.2
Level III
3.2.4.3.2
Level IV
(Delskademetoden)
3.2.5
Figur 3.9 Översikt av de olika beräkningsmetoderna enligt FIB. De gråmarkerade metoderna har ej
behandlats i detta examensarbete.
24
3 Metod
I FIB används en faktor för att ta hänsyn till osäkerheterna i funktionerna, se ekvation nedan.
1,1
𝛾𝐸𝑑 = {
1,0
𝑉𝑖𝑑 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑟ä𝑐𝑘𝑙𝑖𝑔𝑡 𝑛𝑜𝑔𝑔𝑟𝑎𝑛𝑛
𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣
𝑠𝑝ä𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑏𝑒𝑟ä𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔
FIB Kap. 4.5.2.3
Spänningsberäkningarna anses vara tillräckligt noggranna och eftersom ingen av
exempelbroarna har uppvisat några tecken på skador (BaTMan, 2014) sätts 𝛾𝐸𝑑 till 1.0.
Analysen är gjord tillsammans med Lennart Elfgren2.
3.2.4.1 Materialparametrar för betong
𝛾𝑐.𝑓𝑎𝑡 = 1,5
FIB Kap. 4.5.2.3
FIB beräknar tryckhållfastheten för utmattningskontroll, 𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡 , på samma sätt som EC.
𝑓𝑐𝑡𝑑,𝑓𝑎𝑡 =
𝑓𝑐𝑡𝑘,0.05
𝛾𝑐,𝑓𝑎𝑡
(3.43)
3.2.4.2 Materialparametrar för armering
𝛾𝑠,𝑓𝑎𝑡 = 1,15
FIB Kap. 4.5.2.3
Så som EC beskriver även FIB bärförmågan i armeringen med hjälp av Wöhlerkurvor. De
följer samma uppbyggnad som i EC, vilket kan ses i Figur 3.8, och Tabell 3.6 visar värdena
enligt FIB. Spänningsvidden, Δ𝜎𝑅𝑠𝑘 , bör divideras med partialkoefficienten, 𝛾𝑆,𝑓𝑎𝑡 .
Tabell 3.6 Parameterar till Wöhlerkurvor för armering. Utdrag ur FIB tabell 7.4-1
Armeringstyp
Spänningsexponent
ΔσRsk (MPa)(4)
N*
k1
k2
vid N*
cykler
vid 108
cykler
Raka och bockade stänger 𝑫 ≥ 𝟐𝟓 ∅
∅ ≤ 𝟏𝟔 𝒎𝒎
∅ ˃ 𝟏𝟔 𝒎𝒎(1)
106
106
5
5
9
9
210
160
125
95
Bockade stänger D ˂ 25 ∅ (2)
106
5
9
_(3)
_(3)
Värdena representerar en kurva för en stång med diametern ∅ = 40 mm. Vid mellanliggande
värden får linjärinterpolering användas.
(2)
I de fall där denna kurva ligger över den motsvarande kurvan för en rak stång används den kurvan
för en rak stång.
(3)
Värdena är den motsvarande raka stångens värde multiplicerat med faktorn 𝝃. Den beror på
𝑫
förhållandet mellan bockningsdiametern och stångdiametern: 𝝃 = 𝟎, 𝟑𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟔 ∙ ∅
(1)
(3)
2
I de fall då 𝚫𝝈𝑹𝒔𝒌 överskrider 𝒇𝒚𝒅 − 𝝈𝒎𝒊𝒏,𝝈𝒎𝒊𝒏, används 𝒇𝒚𝒅 − 𝝈𝒎𝒊𝒏 .
Elfgren, Lennart. 2015. Professor vid Luleå tekniska universitet. Möte 7 dec.
25
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Den tillåtna spänningsvidden, Δ𝜎𝑅𝑠𝑘 , ska reduceras för bockade stänger på samma sätt som
enligt EC, se även tabellen ovan.
𝜁 = 0,35 + 0,026 ∙
𝐷
∅
(3.44)
där
𝐷
∅
är bockningsdiametern.
är stångdiametern.
3.2.4.3 Utmattningsberäkningar med enklare spänningskontroller
Utmattningskontrollen kan enligt ovan utföras i fyra olika noggrannhetsnivåer. Nedan följer
en beskrivning av dem. Första nivå är kontrollen om utmattningslaster finns och sista nivån är
en kontroll genom delskadeanalys, vilket behandlas i avsnitt 3.2.5.
3.2.4.3.1 Betong
I den näst enklaste modellen, Level II, så ska följande villkor uppfyllas för tryckt betong.
𝛾𝐸𝑑 ∙ 𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜂𝑐 ≤ 0,45𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡
FIB Ekv. 7.4-4
(3.45)
där
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥
är den maximala tryckspänningen i betongen
𝜂𝑐
är en medelvärdesfaktor som tar hänsyn till påkänningsgradienten. Se ekvation
nedan.
𝜂𝑐 =
1
1,5 − 0,5 ∙
FIB Ekv. 7.4-2
|𝜎𝑐1 |
|𝜎𝑐2 |
(3.46)
där
𝜎𝑐1
𝜎𝑐2
är det minsta värdet på tryckspänning inom 300 mm från ytan vid relevant
lastkombination.
är det maximala värdet på tryckspänning inom 300 mm från ytan vid samma
lastkombination som ovan.
För dragen betong ska följande villkor uppfyllas.
𝛾𝐸𝑑 σct,max ≤ 0,33𝑓𝑐𝑡𝑑.𝑓𝑎𝑡
FIB Ekv. 7.4-5
26
(3.47)
3 Metod
där
𝜎𝑐𝑡,𝑚𝑎𝑥
är den största dragspänningen som uppstår i betongen.
𝑓𝑐𝑡𝑑.𝑓𝑎𝑡
är den dimensionerande referensdraghållfastheten vid utmattning.
𝑓𝑐𝑡𝑑.𝑓𝑎𝑡 =
𝑓𝑐𝑡𝑘
𝛾𝑐,𝑓𝑎𝑡
(3.48)
I nästa nivå, Level III, kan det verkliga antalet cykler, som har belastat konstruktionen eller
som kommer belasta konstruktionen användas. I denna rapport kontrolleras endast de cykler
som har belastat konstruktionen tidigare. Följande villkor ska uppfyllas i Level III.
𝑛≤𝑁
FIB Kap. 7.4.1.4
(3.49)
där
𝑛
𝑁
är antalet verkliga cykler
är antalet cykler till brott. Se nedan.
För betong utsatt för tryckspänningar beräknas antal kvarvarande spänningscykler, N, på
följande sätt enligt FIB Kap. 7.4.1.4:
För 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛 > 0,8 gäller 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,8
För 0 ≤ 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛 ≤ 0,8 gäller följande ekvationer.
Då log 𝑁1 ≤ 8 är log 𝑁 = log 𝑁1 gäller ekvation:
log 𝑁1 =
8
∙ (𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑎𝑥 − 1)
𝑌−1
(3.50)
Då log 𝑁1 > 8 är log 𝑁 = log 𝑁2 gäller ekvation:
log 𝑁2 = 8 +
8 ∙ ln(10)
𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑎𝑥 − 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛
∙ (𝑌 − 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛 ) ∙ log (
)
𝑌−1
𝑌 − 𝑆𝑐𝑑,min
(3.51)
där
𝑌=
0,45 + 1,8 ∙ 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛
2
1 + 1,8 ∙ 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛 − 0,3 ∙ 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛
𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑎𝑥 =
(3.52)
𝛾𝐸𝑑 ∙ 𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜂𝑐
𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡
(3.53)
27
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛 =
𝛾𝐸𝑑 ∙ 𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝜂𝑐
𝑓𝑐𝑑,𝑓𝑎𝑡
(3.54)
där
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛
är den minsta tryckspänningen.
𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑎𝑥
är den största tryckspänningsnivån.
𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑖𝑛
är den minsta tryckspänningsnivån.
Vid tryckt och dragen betong och då villkoret 𝜎𝑐𝑡,𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,026|𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 | uppfylls används
följande funktion.
log 𝑁 = 9(1 − 𝑆𝑐𝑑,𝑚𝑎𝑥 )
FIB Ekv. 7.4-8
(3.55)
Vid tryckt och dragen betong och då villkoret 𝜎𝑐𝑡,𝑚𝑎𝑥 > 0,026|𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 |, samt rent dragen
betong används följande funktion.
log 𝑁 = 12(1 − 𝑆𝑡𝑑,𝑚𝑎𝑥 )
𝑆𝑡𝑑,𝑚𝑎𝑥 =
FIB Ekv. 7.4-9
(3.56)
𝛾𝐸𝑑 ∙ 𝜎𝑐𝑡,𝑚𝑎𝑥
𝑓𝑐𝑡𝑑,𝑓𝑎𝑡
(3.57)
där
𝑆𝑡𝑑,𝑚𝑎𝑥
är den största dragspänningsnivån.
Vid redovisning av beräkningarna ovan från Level II och III i resultatet i avsnitt 5, kommer
nivåerna att benämnas FIB II respektive FIB III.
3.2.4.3.2 Armering
I Level II beräknas armering för 108 spänningscykler. För slakarmering ska följande villkor
uppfyllas.
𝛾𝐸𝑑 ∙ 𝑚𝑎𝑥∆𝜎𝑆𝑠 ≤
∆𝜎𝑅𝑠𝑘
𝛾𝑠,𝑓𝑎𝑡
FIB Ekv. 7.4-3
(3.58)
där
∆𝜎𝑆𝑠
∆𝜎𝑅𝑠𝑘
är den maximala spänningsvidden beräknad med
lastkombinationen.
är den karakteristiska utmattningshållfastheten för 𝑁 = 108
28
den
frekventa
3 Metod
I nästa nivå, Level III, kan som i betongen det verkliga antalet cykler utnyttjas. Då ska
följande villkor uppfyllas. Resultat av Level II och Level III kommer att benämnas FIBII
respektive FIB III i resultatet i avsnitt 5.
𝛾𝐸𝑑 ∙ 𝑚𝑎𝑥∆𝜎𝑆𝑠 ≤
∆𝜎𝑅𝑠𝑘 (𝑛)
𝛾𝑠,𝑓𝑎𝑡
FIB Ekv. 7.4-6
(3.59)
där
∆𝜎𝑅𝑠𝑘 (𝑛)
är den dimensionerande spänningsvidden vid det verkliga antalet cykler
framtaget från Wöhlerkurvan som bygger på Tabell 3.6.
3.2.4.3.3 Skjuvning i betong
Vid kontroll av skjuvning i betong finns det bara en nivå. Den bygger på att antalet verkliga
cykler, n, ska understiga antalet tillåtna cykler, N.
𝑛≤𝑁
FIB Kap. 7.4.1.6
(3.60)
Antalet tillåtna cykler beräknas enligt följande ekvation.
log 𝑁 = 10 (1 −
𝑉𝑚𝑎𝑥
)
𝑉𝑟𝑒𝑓
FIB Ekv. 7.4-11
(3.61)
där
𝑉𝑚𝑎𝑥
är den maximala tvärkraften under relevanta laster.
𝑉𝑟𝑒𝑓 = 𝑉𝑅𝑑,𝑐
Bärförmågan mot tvärkraft, 𝑉𝑅𝑑,𝑐 , beräknas enligt Bilaga A.
3.2.5 Delskademetoden
Alla tre koderna tillåter att delskadeanalys, som bygger på Palmgren – Miners
brottskadehypotes, används. Den i sig bygger på att spänningscyklerna oftast inte har en jämn
amplitud, utan har varierande amplituder, vilka ger olika stor påverkan på utmattningen. Ett
exempel på en tågöverfart visas i Figur 2.2 a). Till exempel kan delskademetoden användas
vid befintliga broar med känd mängd historisk tågtrafik, där axellasterna har ökat med tiden.
Då kan de lägre axellasternas påverkan mot utmattning minskas i jämförelse om maximal
axellast antas hela brons livslängd. Hypotesen summeras med följande villkor.
𝑗
𝑛𝑖
𝐷=∑
;
𝑁𝑖
(3.62)
𝐷≤1
𝑖=1
29
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
där
𝑗
𝐷
𝑛𝑖
𝑁𝑖
är antalet intervall med lika storlekar på amplituder.
är den totala skadan av utmattning.
är antalet cykler vid den i:te amplituden.
är antalet cykler materialet klarar vid den i:te amplituden. Beror på modell, se
nedan.
Bilaga 3 i BVS beskriver tillvägagångssättet vid delskadeberäkningar. Där anges att
persontåg kan bortses ifrån, endast godstrafik tas hänsyn till. Vid beräkning med delskador är
det svårt att bestämma hur många olika spänningsamplituder och antalet lastcykler som ska
användas. Det är väldigt tidskrävande att göra exakta beräkningar och i många fall nästan
omöjligt, då det är svårt att veta hur tågen har påverkat konstruktionen genom hela dess
livslängd. I BVS finns det förenklad lasthistoria för banorna i Sverige. Lasthistoriken för de
aktuella tidsperioderna för de beräknade exempelbroarna visas i Tabell 3.7 med
karakteristiska axellaster 𝑃𝑘 , medelvärde av axellasterna 𝑃𝑚 , antalet axlar per vagn, 𝐴, och
axellasten av vagnens egenvikt.
Tabell 3.7 Lasthistorik enligt BVS Bilaga 3 t. 1
År
1961-1980
1981-2000
2001-
𝑷𝒌
200
225
250
𝑷𝒎
160
180
200
𝑨
4
4
4
𝑷𝟎
50
50
50
Vid delskadeberäkningar ska följande vagnskonfiguration användas, se Figur 3.10. Den ska
anpassas till den längd som ger värsta fallet.
Figur 3.10 Vagnskonfiguration vid delskadeberäkning.
Beroende på vilken detalj och vilken slags bro som studeras bör olika antal cykler användas.
Enligt BVS kan tre olika antal cykler användas, antalet tågöverfarter 𝑛1𝑖 , antalet överfarter av
två närliggande boggier 𝑛2𝑖 eller antalet axelöverfarter 𝑛3𝑖 . Vid befintliga broar ska
beställaren, som i de flesta fall är Trafikverket, erhålla godsmängder, 𝐵𝑖 , för varje tidsperiod
30
3 Metod
för den aktuella bron. Godsmängden kan redovisas på två sätt. Antingen i enheten
nettotonkilometer/kilometer, vilket är godsmängd utan egenvikt av lok och vagnar, eller
bruttotonkilometer/kilometer, vilket är godsmängd med vagnens egenvikt. Då det redovisas
med nettotonkilometer/kilometer beräknas antalet cykler enligt följande ekvationer.
𝑛1𝑖 =
𝐵𝑖
(𝑃𝑚𝑖 − 𝑃0𝑖 ) ∙ 𝑎𝑖 ∙ 20
(3.63)
𝑛2𝑖 = 1,1
𝐵𝑖
(𝑃𝑚𝑖 − 𝑃0𝑖 ) ∙ 𝑎𝑖
(3.64)
𝑛3𝑖 = 1,1
𝐵𝑖
(𝑃𝑚𝑖 − 𝑃0𝑖 )
(3.65)
där
𝐵𝑖
är godsmängd.
𝑃𝑚𝑖
är axellastens medelvärde.
𝑃0𝑖
är axellast av vagnens egenvikt.
𝑎𝑖
är antalet axlar per vagn.
Faktorn 20 motsvarar antal vagnar per tåg och faktorn 1,1 tar hänsyn till loklasten.
Med godsmängd redovisad med bruttotonkilometer/kilometer beräknas antalet cykler enligt
följande ekvationer.
𝑛1𝑖 =
𝐵𝑖
𝑃𝑚𝑖 ∙ 𝑎𝑖 ∙ 20
(3.66)
𝑛2𝑖 =
𝐵𝑖
𝑃𝑚𝑖 ∙ 𝑎𝑖
(3.67)
𝑛3𝑖 =
𝐵𝑖
𝑃𝑚𝑖
(3.68)
Valet av antalet spänningscykler väljs beroende på hur tågöverfarten påverkar just den
studerade detaljen. Då huvudbärverk på längre broar studeras bör en tågöverfart användas
som en spänningscykel, eftersom det böjs ned av hela tåget och endast har små förändringar
under tågöverfarten. När sekundärverk studeras, som tvärbalkar, bör antalet axelöverfarterna
användas eftersom balken blir helt avlastad mellan axlarna. På broar kortare än 5 m avlastas
bron då vagnen står rakt över bron eftersom avståndet mellan de innersta axlarna är längre än
5 m. I detta fall bör antalet överfarter av två närliggande boggier användas.
Om D inte överstiger 1, kan återstående livslängd beräknas med samma indata som den
senaste lasthistoriken eller om beställaren har data för kommande trafikmängd. Detta har inte
utförts i detta arbete utan endast historisk trafikmängd har kontrollerats.
31
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
3.2.5.1 BBK04
Antalet cykler materialet klarar vid en spänningsvidd, Ni, beräknas med enligt avsnitt
3.2.2.2.2. Den pålagda spänningsvidden ska multipliceras med 𝛾𝑛 .
BBK04 anger inte en Wöhlerkurva för den maximala spänningsvidden, Δ𝑓𝑠𝑡 , så som EC och
FIB gör. Spänningsvidderna anges, som värden vid ett visst antal lastcykler, som vid
mellanliggande antal lastcykler kan interpoleras linjärt. Dessa värden har lagts in i ett
Wöhlerdiagram och en lutning har tagits fram. Denna lutning har antagits gälla även i fall
med lastcykler över 2 ∙ 106 och under 104 , vilka är de yttersta fallen som definieras.
Lutningen valdes till 5,77. I Figur 3.11 visas den antagna lutningen och de definierade
värdena för Δ𝑓𝑠𝑡 .
Figur 3.11 Diagram för antagen Wöhlerkurva för BBK04.
3.2.5.2 EC
Antalet cykler materialet klarar vid en spänningsvidd, Ni, beräknas med Wöhlerkurvorna,
som presenteras i avsnitt 3.2.3.2. Den pålagda spänningsvidden från aktuell tåglast ska
multipliceras med 𝛾𝐹,𝑓𝑎𝑡 (𝛾𝐹,𝑓𝑎𝑡 = 1,0).
3.2.5.3 FIB
Antalet cykler materialet klarar vid en spänningsvidd, Ni, beräknas med Wöhlerkurvorna,
som presenteras i avsnitt 3.2.4.2. Den pålagda spänningsvidden från aktuell tåglast ska
multipliceras med 𝛾𝐸𝑑 .
32
4 Beräkningar av exempelbroar
4 BERÄKNINGAR AV EXEMPELBROAR
I följande kapitel redovisas indata och avgränsningar för de två broar som har undersökts
med hänsyn till utmattning. Även underlag för delskadeanalysen presenteras.
4.1 Plattrambroar
Två plattrambroar har kontrollerats mot utmattning, bro 3500-2770-1 vid bandel Bromölla –
Sölvesborg byggd 1972 och bro 3500-4838-1 vid bandel Borlänge – Repbäcken byggd 1995.
Beräkningarna har utförts enligt avsnitt 3 och Bilaga A (spänningsviddsberäkningar).
Bärighetsberäkningar har sedan tidigare utförts av Reinertsen på uppdrag av Trafikverket på
de två broarna. De statikberäkningar som utfördes då ligger till grund för detta
examensarbete, genom att normalkrafter, tvärkrafter och moment är tagna från Reinertsens
beräkningar, som är gjorda i RM Bridge. (Reinertsen, 2015a), (Reinertsen, 2015b).
4.1.1 RM Bridge
För de statiska beräkningarna har Reinertsen använt programmet RM Bridge. Detta är ett
FEM-beräkningsprogram från Bentley, som är specifikt anpassat till broar. RM Bridge ger ett
resultat med de största och minsta normalkrafter, tvärkrafter och moment i varje snitt. RM
Bridge kontrollerar olika placeringar av de rörliga lasterna, i detta fall tåglasten, genom att
använda influenslinjer. Det hittar de lägen där tåglasten ger upphov till de största och minsta
krafterna och momenten.
4.1.2 Laster
De laster som har applicerats i modellerna i RM Bridge av Reinertsen följer de krav som
BVS ställer vid utmattningskontroller. De laster som är tagna hänsyn till är:

Egentyngd
o Betong
o Ballast

Jordtryck

Överlast

Bromslast

Tåglaster, med dynamikfaktor
33
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
4.1.3 Dynamikfaktor
Dynamikfaktor har beräknats enligt avsnitt 3.2.14 och gav följande resultat.
Tabell 4.1 Dynamikfaktor
Bro
D
𝟐𝟕𝟕𝟎
1,533
𝟒𝟖𝟑𝟖
1,535
4.1.4 Utmattningsberäkningar
Broarna kontrolleras i längsled genom beräkning av en metersstrimla. På båda broarna har
kritiska snitt valts ut och kontrollerats enligt de beräkningssteg som beskrivs i avsnitt 3. I
snitten kontrolleras böjning, skjuvning och normalkraft. Mot böjning och normalkraft
kontrolleras den armering som ligger i dragzonen vid det maximala momentet och betongen
som ligger i tryckzonen vid det maximala momentet. Mot tvärkraft kontrolleras i första hand
betongen och sedan tvärarmeringen om sådan finns. Om tvärkraften byter tecken antas minsta
värdet vara noll.
4.1.4.1 Delskademetod
Lasthistorik enligt Tabell 4.2 användes vid delskadeanalysen. Då broarna byggdes mellan de
år som specificeras i tabellen, antas att godsmängden är jämnt fördelad mellan åren i
tidsperioderna.
Tabell 4.2 Lasthistorik för delskadeberäkning3
1961 – 1980
1981 – 2000
2001 – 2013
Stax(1) 22,5
𝑷𝒌 [kN]
200
225
225
𝑷𝒎 [kN]
160
180
180
𝑨 [axlar/vagn ]
4
4
4
𝑷𝟎 [kN]
50
50
50
𝑩𝒊 [tusenbruttoton]
exkl. tåg/lok
229 664
225 838
190 425
𝒏𝒕å𝒈 [antal cykler](2)
175956
153800
129683
𝒏𝒃𝒐𝒈 [antal cykler]
3871028
3383591
2853020
15484112
13534365
11412080
År
(2)
𝒏𝒂𝒙𝒆𝒍 [antal cykler]
(1)
(2)
(2)
Största axellast
Beräknats enligt avsnitt 3.2.5 ovan.
Båda broarna har ett kortare spann än avståndet mellan de två mittersta axlarna på en vagn.
Alltså kommer broarna vara obelastade vertikalt, av tåglasten, då vagnarna står mitt över
broarna.
3
Thun, Håkan; Trafikverket. 2014. E-mail 10 dec
34
4 Beräkningar av exempelbroar
Vid delskadeberäkningen gjordes två kontroller med två olika uppsättningar delskador,
kontroll 1 respektive kontroll 2. Båda kontrollerna är gjorda för att visa på två olika
noggrannhetsnivåer av delskademetoden, för att se hur stor skillnad det kan göra med olika
antal spänningscykler.
Kontroll 1
En delskada per tidsperiod enligt lasthistoriken beräknas, där den maximala spänningsvidden
och antalet överfarter av två närliggande boggier jämförs. Den maximala spänningsvidden
uppkommer av den största spänningen och den minsta spänningen som båda uppstår av
tåglasten.
Kontroll 2
I kontroll två antas att den minsta spänning, som uppstår av tåglasten, endast inträffar en gång
per tågöverfart. Då delas varje tidsperiod upp i två delskador. Den ena använder den största
spänningsvidden och antalet tågöverfarter. Den andra använder den spänningsvidd som
uppstår mellan en obelastad bro och den placeringen av tåglasten som ger upphov till den
största spänningen. Denna spänningsvidd jämförs mot antalet överfarter av två närliggande
boggier. Dessa delskador läggs sedan ihop och ger den totala delskadan.
4.1.5 Avgränsningar
Bron beräknas endast i längsled på grund av att belastningen antas påverka broarna mer i
längsled än tvärled och tidsbrist. Eftersom broarna är breda relativt sin längd antas sidolaster
ha en låg påverkan och bortses därmed ifrån. Broarna ligger inte i en kurva, därmed kan även
centrifugalkrafter bortses ifrån. Både på grund av bredden på broarna och att de inte ligger i
någon kurva, kommer vridningen endast påverka broarna marginellt och bortses därmed
ifrån.
35
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
4.2 Bro 3500-2770-1 vid bandel Bromölla – Sölvesborg, byggnadsår 1972
Figur 4.1 Vybild över bro 3500-2770-1, Bromölla – Sölvesborg. Hämtat från Batman (2014).
4.2.1 Bakgrund
Bron är en slakarmerad plattrambro, med en spännvidd på 4,0 m och en bredd på 5,8 m. Den
byggdes 1972 enligt 1960 års belastningsbestämmelser ihop med 1965 och 1968 års
bestämmelser för betongkonstruktioner. Enligt senaste inspektionen 2012-06-20 som är
registrerad i BaTMan finns det inga registrerade skador, sprickor i mitten av plattan eller vid
stöden. 1994 gjordes en pågjutning på kantbalkarna och på vingmurarna. I Bilaga E återfinns
de ursprungliga ritningarna.
4.2.2 Geometri och material
Broplattan har varierande höjd, där överkanten ökar mot mitten. I Figur 4.2 visas mått för
broplatta och ramben.
36
4 Beräkningar av exempelbroar
Figur 4.2 Elevation med mått av bro 3500-2770-1, Bromölla – Sölvesborg. Utdrag från ritning
4.2.2.1 Betong
Bron är byggd med betongklass K300.
4.2.2.2 Armering
Bron är slakarmerad med armering av hållfasthetsklass Ks40 och Ks60. I broplattan har all
armering en diameter på 16 mm. Figur 4.3 visar armeringen som finns i broplattan.
Figur 4.3 Armeringsritning av broplattan, bro 3500-2770-1, Bromölla – Sölvesborg. Utdrag från ritning.
37
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
4.2.3 Indata i RM Bridge
I Figur 4.4 och Figur 4.5 visas den geometri och systemmodell som har använts i RM Bridge.
Systemodellen är en ram där grundläggningen antas vara ledad. Broplattan är uppdelad i 16
element, med numren 101-116. Noderna i början och slutet av delarna är numrerade 101-117.
Rambenen är delade i 8 element där numreringen är uppbyggd på samma sätt som i
broplattan, men med startnummer 201 och 301. Överslagsberäkningar har gjorts för att
verifiera resultaten från RM Bridge, se bilaga G.
Figur 4.4 Systemskiss från RM Bridge för bro 3500-2770-1, Bromölla – Sölvesborg. (Reinertsen, 2015a)
Figur 4.5 Modell från RM-Bridge för bro 3500-2770-1, Bromölla – Sölvesborg. (Reinertsen, 2015a)
38
4 Beräkningar av exempelbroar
4.2.4 Beräknade snitt
Två snitt i plattan har kontrollerats. De valdes för att de är de mest utsatta snitten enligt
bärighetsutredningen gjord av Reinertsen (Reinertsen, 2015a). Snitt 1 är placerat precis vid
insida ramben där största tvärkraften och det största negativa momentet från det styva
rambenet uppstår och snitt 2 ligger 825 mm från mitten där enligt RM Bridge det största
positiva momentet uppstår, se Figur 4.6. Nedan följer en beskrivning av armeringen i de två
snitten, som baseras på Figur 4.3.
825 mm
Snitt 1
Snitt 2
Figur 4.6 Placering av kontrollerade snitt.
Snitt 1
I överkant ligger det två sorters armering med tillräcklig förankringslängd, med littra J122
och D106. J122 har diametern 16 mm och med centrumavstånd 250 mm. D106 har också
diametern 16 mm, men centrumavstånd 250 mm. I underkant en typ av armeringjärn, med
littra C121. Den har diametern 16 mm och centrumavstånd 180 mm. All armering är bockad
vid rambenen. Bockningsradien antas vara 64 mm för alla aktuella armeringsjärn.
Snitt 2
I överkant ligger samma armering, men D106 kan inte utnyttjas fullt på grund av att de inte är
fullt förankrade vid detta snitt. Andelen som kan utnyttjas är beräknad enligt
bärighetsutredningen av Reinertsen (Reinertsen, 2015a), med förankringslängder beräknade
enligt BBK04. I underkant ligger samma armering som i snitt 101.
Tabell 4.3 ger en sammanställning av geometri och total armeringsmängd i en metersstrimla
för de två snitten.
Tabell 4.3 Geometri och armering för snitt 1 och 2, bro 3500-2770-1, Bromölla – Sölvesborg.
Snitt
b
[mm]
h
[mm]
Ab
[mm2]
As_ök
[mm2]
As_uk
[mm2]
d
[mm]
d’
[mm]
As_byg
[mm2]
1
1000
360
3600
1608
1117
322
38
0
2
1000
385
3850
1048
1117
347
38
0
Fullständiga beräkningar för snitt 2 presenteras i Bilaga B och för resterande snitt kan
beräkningar efterfrågas.
39
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
4.3 Bro 3500-4838-1 vid bandel Borlänge – Repbäcken, byggnadsår 1995
Figur 4.7 Vybild av bro 3500-4838-1, Borlänge – Repbäcken, hämtad från Batman (2014).
4.3.1 Bakgrund
Bron 4838 Bro för SJ vid Griftegården, km 68+312 i Borlänge kommun är en plattramsbro
som går över en GC-väg. Bron har ett spann på 4 m och en bredd på 6,47 m och den byggdes
1995. Vid dimensionering användes Järnvägsbronorm BVH 541.2 utgåva 2-1993 från 1988,
Bronorm 88 del 2, 1993 års Brobrev 6. Till dessa gäller 1988 års BBK79 och 1960 års
cementbestämmelser och till sist BSK från år 1987.
Enligt den senaste inspektionen (2012-08-28) som är registrerat i BaTMan (2014) finns det
inga registrerade skador, sprickor i mitten på plattan eller vid stöden. Inga åtgärder är utförda
på bron. (BaTMan, 2014)
4.3.2 Geometri och material
I Figur 4.8 nedan redovisas en elevation med mått av bron. I Bilaga F återfinns de
ursprungliga ritningarna.
40
4 Beräkningar av exempelbroar
Figur 4.8 Elevation med mått av bro 3500-4838-1, Borlänge – Repbäcken. Utdrag från ritning.
4.3.2.1 Betong
Plattan har en konstant höjd på 370 mm med voter i hörnen på en radie av 500 mm. Voterna
försummas i beräkningarna.
Bron är byggd med betong med hållfasthetsklass K40. Hållfastvärden tas fram enligt BVS
och BBK 94.
Figur 4.9 Sektion med mått för bro 3500-4838-1, Borlänge – Repbäcken. Utdrag från ritning.
4.3.2.2 Armering
Bron är slakarmerad och skjuvarmerad med en hållfasthetsklass K500S och jämställs med
K500B för framtagning av hållfasthetsvärden. Generellt är plattan armerad med
41
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
armeringsdiametern 12 mm och centrumavståndet 200 mm i överkant och 270 mm i
underkant. Se vidare beskrivning av kritiska snittens armering i avsnitt 4.3.4 nedan.
Figur 4.10 Armeringsritning av broplattan, bro 3500-4838-1, Borlänge – Repbäcken. Utdrag från ritning.
4.3.3 Indata i RM Bridge
För beräkningar av moment, tvärkraft och normalkraft användes programmet RM Bridge där
förenklingar av tvärsnittet gjordes enligt Figur 4.11 nedan. Värdena hämtades från
bärighetsutredning utförd av Reinertsen (Reinertsen, 2015b).
Figur 4.11 Systemskiss från RM Bridge för bro 3500-4838-1, Borlänge – Repbäcken. (Reinertsen, 2015b)
42
4 Beräkningar av exempelbroar
I systemmodellen i RM Bridge är rambenen fast inspända i plattan och bottenplattan.
Bottenplattan är i sin tur modellerad med fjädrar mot marken. Bron är uppdelad på samma
sätt som för bro 2770, med 16 element i plattan och 8 element i rambenen.
Överslagsberäkningar, se bilaga G, har gjorts för att verifiera resultaten från RM Bridge.
Figur 4.12 Modell från RM-Bridge för bro 3500-4838-1, Borlänge – Repbäcken. (Reinertsen, 2015b)
4.3.4 Beräknade snitt
Tre snitt i plattan har kontrollerats. Dessa har antagits vara de mest kritiska snitten. Snitt 1 är
placerad vid insida rambenet där den högsta tvärkraften och det högsta negativa momentet
från det styva hörnet uppstår. Snitt 2 är placerat, så när rambenet som möjligt, men där ingen
tvärkraftsarmering är verksam. Snitt 3 är placerat där det högsta positiva momentet uppstår.
Nedan följer en beskrivning av armeringen i de tre snitten. Figur 4.13 nedan visar
positionerna på samtliga snitt.
4.3.4.1.1 Snitt 1
I överkant i snitt 1 har de medverkande armeringsjärnen littra B54, B53/B55. Samtliga har
full förankring. Armeringsjärnen är bockade med en radie på 64 mm och har diametern 12
mm. I underkant finns armeringsjärn med littra Q57 och S65. Järnen är bockade med en radie
på 64 mm och har diametern 12 mm.
Tvärkraftarmeringen, med littra G64, har diametern 10 mm och ligger på centrumavståndet
400 mm längs hela bredden av plattan. Lutningen på armeringen är 45° och har en
bockningsradie på 64 mm. I figur 4.13 nedan till höger visas lutningen på den antagna
skjuvsprickan. Lutningen har vinkeln 𝜃 = 32,33°, vilket är den minsta tillåtna vinkeln vid
beräkning av utmattning. Figuren visar hur många armeringsjärn, som medverkar i de olika
43
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
snitten. För snitt 1 kommer ett av bygeljärnen att medverka och i snitt 2 medverkar inga
armeringsjärn.
1
2
3
2
1
Figur 4.13 Placering av snitt och mängd tvärkraftsarmering i snitt 1 och 2.
4.3.4.1.2 Snitt 2 och 3
I överkant i snitt 2 är plattan armerad med armeringsjärn med littra B53, diametern 12 mm
och med ett centrumavstånd på 200mm. Snitt 3 är armerad med armeringsjärn med littra B53
och B54. Armeringen är fullt förankrad och är inte bockade.
Samtliga armeringsjärn som ligger i plattans underkant i snitt 2 och 3 har en diameter på 12
mm. Armeringsjärn, med littra A52, har ett centrumavstånd på 135 mm och armeringsjärn
med littra S51/S65 har ett centrumavstånd på 270 mm. Armeringen är fullt förankrad och är
inte bockade.
Tabell 4.4 Indata för beräknade snitt.
Snitt
h
[mm]
b
[mm]
Ab
[mm2]
As_ök
[mm2]
As_uk
[mm2]
d
[mm]
d’
[mm]
As_byg
[mm2]
1
1000
370
3700
848
838
329
41
196,3
2
1000
370
3700
816
1257
329
41
0
3
1000
370
3700
727
1257
329
41
0
I Bilaga C presenteras beräkningar för snitt 1 och för resterade snitt kan beräkningar
efterfrågas.
44
5 Resultat
5 RESULTAT
I följande kapitel redovisas resultatet från de beräkningar som har utförts med samtliga
beräkningsmodellerna för de två exempelbroarna. För båda broarna finns det även en
sammanfattande del.
5.1 Bro 3500-2770-1 vid bandel Bromölla – Sölvesborg, byggnadsår 1972
Nedan presenteras utnyttjandegraderna som har beräknats med hjälp av de olika metoderna
enligt avsnitt 3.2.
5.1.1 Enkla spänningskontroller
5.1.1.1 Böjning
Utnyttjandegraden för trycket i betongen visas i Tabell 5.1 för de olika modellerna. För
BBK04 visas resultatet i Figur 5.1.
Figur 5.1 Utmattningskontroll enligt BBK04.
45
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Tabell 5.1 Utnyttjandegrad för tryck i betong på grund av böjning, bro 2770.
Snitt
BBK04
EC
FIB II
FIB III
1
Ej OK
0,786
0,582
0,000
2
OK
0,684
0,508
0,000
Tabell 5.2 visar den maximalt tillåtna spänningsvidden i armeringen och i Tabell 5.3 visas
utnyttjandegraderna för de olika modellerna.
Tabell 5.2 Maximalt tillåten spänningsvidd,
ΔσRd [MPa], för drag i armering.
Snitt
BBK04
EC I
EC λ
FIB II
FIB III
1 och 2
83,3
70,0
78,8
60,7
81,1
Tabell 5.3 Utnyttjandegrad för drag i armering på grund av. böjning.
Snitt
BBK04
EC I
EC λ
FIB II
FIB III
1
2
2,210
2,253
2,630
2,682
1,734
1,768
3,036
3,096
2,270
2,315
5.1.1.2 Skjuvning
Tabell 5.4 visar bärförmågan mot skjuvning i betongen. Eftersom att bärförmågan reduceras i
BBK04 på grund av utmattning, vilket inte sker i EC eller FIB, visas även den oreducerade
bärförmågan inom parentes. Tabell 5.5 visar utnyttjandegraden i betongen mot skjuvning.
Tabell 5.4 Bärförmåga mot skjuvning i betong, VRdc [kN].
1
Snitt
BBK04
EC
FIB
1
88,7 (146,4)
156,3
217,5
2
78,5 (138,3)
143,3
199,8
Inom parantes är värdet utan reducering för utmattning.
Tabell 5.5 Utnyttjandegrad för skjuvning i betong.
Snitt
BBK04
EC
FIB
1
2
1,455
1,210
1,424
1,326
672,125
44,372
5.1.1.3 Delskademetoden
Vid delskadeanalysen utförs två kontroller, som är beskrivna i avsnitt 4.1.4.1. Kontroll 1 är
baserat på den största spänningsvidden, som uppstår mellan maximal och minimal last från
tåglast och antalet överfarter av två närliggande boggier. I kontroll 2 jämförs
spänningsvidden från kontroll 1 mot antalet tågöverfarter och sedan antalet överfarter av två
närliggande boggier mot en spänningsvidd beräknat med maximal last från variabel last och
minimal last från permanent last.
46
5 Resultat
Antalet lastcykler för tidsperioderna presenteras i Tabell 5.6.
Tabell 5.6 Antalet lastcykler
Två närliggande boggier
Tågöverfarter
1972-1980
1981-2000
2001-2013
Totalt
1 548 411
3 383 591
2 853 020
7 785 022
70 382
153 800
129 683
353 865
De beräknade spänningsvidderna för delskadeanalysen presenteras i Tabell 5.7 och Tabell
5.8. Vid böjning ger de olika modellerna, BBK04, EC och FIB, lika stora spänningsvidder
därför presenteras endast ett värde per tidsperiod i tabellerna nedan.
Tabell 5.7 Spänningsvidder från böjning för de olika tidsperioderna, snitt 1.
(1)
Var. spänningsvidd
Perm. spänningsvidd(2)
1972-1980
1981-2000
2001-2013
177,1 MPa
184,1 MPa
184,1 MPa
150,8 MPa
157,3 MPa
157,3 MPa
(1)
Spänningsvidd av maximal och minimal spänning från variabel last
(2)
Spänningsvidd mellan maximal spänning av variabel last och minimal spänning av permanent last
Tabell 5.8 Spänningsvidder från böjning för de olika tidsperioderna, snitt 2.
Var. spänningsvidd(1)
Perm. spänningsvidd(2)
(1)
(2)
1972-1980
1981-2000
2001-2013
173,9 MPa
161,9 MPa
187,8 MPa
161,9 MPa
187,8 MPa
175,7 MPa
Spänningsvidd av maximal och minimal spänning från variabel last
Spänningsvidd mellan maximal spänning av variabel last och minimal spänning av permanent last
Tabell 5.9 och Tabell 5.10 visar den totala delskadan för de två kontrollerna i snitt 1
respektive snitt 2.
Tabell 5.9 Total delskada (utnyttjandegrad) för drag i armering p.g.a. böjning, snitt 1.
BBK04
EC
FIB
Kontroll 1
366,228
521,848
144,782
Kontroll 2, del 1
16,647
23,720
6,581
Kontroll 2, del 2
147,395
236,969
65,745
Kontroll 2, totalt
164,042
260,690
72,326
Tabell 5.10 Total delskada (utnyttjandegrad) för drag i armering p.g.a. böjning, snitt 2.
BBK04
EC
FIB
Kontroll 1
396,316
558,228
154,875
Kontroll 2, del 1
18,014
25,374
7,040
Kontroll 2, del 2
269,853
399,912
110,952
Kontroll 2, totalt
287,867
425,286
117,992
47
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
5.1.2 Sammanfattning av resultaten
Med de enklare spänningskontrollerna klarar sig betongen i båda snitten mot böjning,
förutom enligt BBK04 i snitt 1. Modellerna har fallande utnyttjandegrad desto nyare de är.
FIB nivå III sticker ut genom att vara väldigt nära noll i utnyttjandegrad, se tabell 5.1.
Enligt alla tre modellers enklare spänningskontroller, har inte armeringen i något tillräcklig
kapacitet mot böjning. FIB nivå II ger mest konservativa resultat och λ-metoden från EC ger
lägst utnyttjandegrader. De övriga ligger på en relativt jämn nivå i denna bro. Se tabell 5.3.
Vid skjuvningskontrollen i betongen är inte kapaciteten tillräcklig i något av snitten. BBK04
och EC ligger på ungefär lika hög utnyttjandegrad. Kontrollen enligt FIB ger en mycket
högre utnyttjandegrad trots att bärförmågan, 𝑉𝑅𝑑𝑐 , är högst för FIB. Se tabell 5.4 och 5.5.
Delskademetoden ger mycket höga totala skador i armeringen. Utnyttjandegraderna är över
100 i alla utom ett fall, vilket är snitt 1 enligt FIB i kontroll 2. Enligt EC snitt 2 är
utnyttjandegraden 558,23, vilket är den högsta i denna bro. EC är mest konservativ i alla
kontroller och snitt med strax över två gånger så stor delskada som BBK04. FIB har ungefär
hälften så stor skada som BBK04.
Kontroll 2 ger lägre utnyttjandegrader än kontroll 1 i båda snitten. I snitt 1 är minskningen
mellan 50 % och 55 % och snitt 2 mellan 24 % och 27 %. BBK04 har den största
minskningen i båda snitten.
5.2 Bro 3500-4838-1 vid bandel Borlänge – Repbäcken, byggnadsår 1995
Resultat för utmattningsberäkningar av bro 4838 redovisas nedan med likadant upplägg som
för bro 2770 ovan.
5.2.1 Enkla spänningskontroller
Resultat för de enklare spänningskontrollerna presenteras nedan.
5.2.1.1 Böjning
Tabell 5.11 Utnyttjandegrad för tryck i betong p.g.a. böjning.
Snitt
BBK04
EC
FIB II
FIB III
1
OK
0,439
0,331
0,000
2
OK
0,359
0,296
0,000
3
OK
0,521
0,401
0,000
Tabell 5.12 visar den maximalt tillåtna spänningsvidden i dragarmeringen och i
Tabell 5.13 visas utnyttjandegraderna för de olika modellerna.
48
5 Resultat
Tabell 5.12 Maximalt tillåten spänningsvidd,
ΔσRd [MPa], drag i armering p.g.a. böjning.
Snitt
BBK04
EC I
EC λ
FIB II
FIB III
1
95,83
70,00
88,64
68,19
99,06
2 och 3
133,3
70
141,30
108,7
157,91
Tabell 5.13 Utnyttjandedrag för drag i armering p.g.a. böjning.
Snitt
BBK04
EC I
EC λ
FIB II
FIB III
1
1,83
2,54
1,47
2,57
1,77
2
0,933
1,776
0,65
1,14
0,79
3
1,139
2,169
0,80
1,40
0,96
5.2.1.2 Skjuvning
Tabell 5.14 visar bärförmågan mot skjuvning i betongen. Eftersom att bärförmågan reduceras
i BBK04 på grund av utmattning, vilket inte sker i EC eller FIB, visas även den oreducerade
bärförmågan inom parentes. Tabell 5.15 visar utnyttjandegraden i betongen mot skjuvning
och Tabell 5.16 visar utnyttjandegraden i armeringen på grund av skjuvningen.
Tabell 5.14 Bärförmåga, VRdc [kN], mot skjuvning i betong.
Snitt
(1)
BBK04
(1)
EC
FIB
150,13
214,51
1
109,53 (169,9)
2
107,3 (178,8) (1)
160,5
262,8
3
103,6 (178,5) (1)
168,9
247,9
Inom parantes är värdet utan reducering för utmattning.
Tabell 5.15 Utnyttjandegrad för skjuvning i betong.
Snitt
BBK04
EC
FIB
1
0,92
1,10
18,13
2
0,745
0,973
0,419
3
0,656
0,805
0,205
Tabell 5.16 Utnyttjandegrad av bygelarmering p.g.a. skjuvning i snitt 1.
Snitt 101
BBK04
EC I
EC λ
FIB II
FIB III
ΔσEd [MPa]
ΔσRd [MPa]
0,00
457,89
457,89
457,89
457,89
102,08
70,00
96,48
74,22
107,82
U
-
6,54
3,53
4,21
4,25
49
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
5.2.2 Delskademetoden
Delskademetoden är kontrollerad på samma sätt som för bro 3500-2770-1 ovan. Totala
delskadan är beräknad på armeringen. Antalet lastcykler för tidsperioderna presenteras i
Tabell 5.23.
Tabell 5.17 Antalet lastcykler
1995-2000
2001-2013
Totalt
Två närliggande boggier
845 898
2 853 020
3 698 918
Tågöverfarter
38 450
129 683
168 133
De beräknade spänningsvidderna för delskadeanalysen presenteras i Tabell 5.18 till Tabell
5.21.
Tabell 5.18 Spänningsvidder från böjning för de olika tidsperioderna, snitt 1.
Var. spänningsvidd(1)
Perm. spänningsvidd
(2)
1995-2000
2001-2013
175,5 MPa
175,5 MPa
164,7 MPa
164,7 MPa
(1)
Spänningsvidd av maximal och minimal spänning från variabel last
(2)
Spänningsvidd mellan maximal spänning av variabel last och minimal spänning av permanent last
Tabell 5.19 Spänningsvidder från skjuvning för de olika tidsperioderna, snitt 1.
1995-2000
(1)
Var. spänningsvidd
Perm. spänningsvidd
(2)
2001-2013
BBK
EC/FIB
BBK
EC/FIB
0 MPa
457,9 MPa
0 MPa
457,9 MPa
0 MPa
407,6 MPa
0 MPa
407,6 MPa
(1)
Spänningsvidd av maximal och minimal spänning från variabel last
(2)
Spänningsvidd mellan maximal spänning av variabel last och minimal spänning av permanent last
Tabell 5.20 Spänningsvidder från böjning för de olika tidsperioderna, snitt 2.
(1)
Var. spänningsvidd
Perm. spänningsvidd
(1)
(2)
(2)
1995-2000
2001-2013
124,3 MPa
124,3MPa
118,5 MPa
118,5 MPa
Spänningsvidd av maximal och minimal spänning från variabel last
Spänningsvidd mellan maximal spänning av variabel last och minimal spänning av permanent last
Tabell 5.21 Spänningsvidder från böjning för de olika tidsperioderna, snitt 3.
(1)
Var. spänningsvidd
Perm. spänningsvidd
(2)
1995-2000
2001-2013
151,9 MPa
151,9 MPa
147,2 MPa
147,2 MPa
(1)
Spänningsvidd av maximal och minimal spänning från variabel last
(2)
Spänningsvidd mellan maximal spänning av variabel last och minimal spänning av permanent last
50
5 Resultat
Tabell 5.22 Total delskada (utnyttjandegrad) för drag i armering p.g.a. böjning, snitt 1.
BBK04
EC
FIB
Kontroll 1
61,01
111,93
31,05
Kontroll 2, del 1
2,77
5,09
1,41
Kontroll 2, del 2
42,98
82,60
22,92
Kontroll 2, totalt
45,7
87,7
24,3
Tabell 5.23 Total delskada (utnyttjandegrad) för drag i bygelarmering p.g.a. skjuvning, snitt 1.
BBK04
EC
FIB
Kontroll 1
-
8905,41
2470,72
Kontroll 2, del 1
-
404,79
112,31
Kontroll 2, del 2
-
4977,11
1380,85
Kontroll 2, totalt
-
5381,9
1493,2
Tabell 5.24 Total delskada (utnyttjandegrad) för drag i armering p.g.a. böjning, snitt 2.
BBK04
EC
FIB
Kontroll 1
1,25
1,17
0,12
Kontroll 2, del 1
0,06
0,05
0,01
Kontroll 2, del 2
0,954
0,763
0,076
Kontroll 2, totalt
1,011
0,816
0,081
Tabell 5.25 Total delskada (utnyttjandegrad) för drag i armering p.g.a. böjning, snitt 3.
BBK04
EC
FIB
Kontroll 1
3,97
5,30
0,70
Kontroll 2, del 1
0,18
0,24
0,03
Kontroll 2, del 2
3,306
4,523
0,529
Kontroll 2, totalt
3,487
4,764
0,561
5.2.3 Sammanfattning av resultaten
Vid kontroll mot böjning klarar sig betongen i samtliga snitt. Som för bro 2770 är
utnyttjandegraderna är fallande desto nyare modellen är och FIB nivå III sticker även här ut
genom att vara väldigt nära noll i utnyttjandegrad. Se tabell 5.11.
I de enklare spänningskontrollerna av böjarmeringen, ligger snitt 1 för alla tre modeller över
1,0. λ-metoden från EC, är minst konservativa av alla modeller och EC I och FIB II är mest
konservativa och de har även nästa samma värde. Relationerna stämmer även för snitt 2 och
3, förutom att EC I och FIB II inte ligger nära varandra, utan FIB II har lägre
utnyttjandegrader. I snitt 2 och 3 är flera modeller både över och under 1,0. Se tabell 5.13.
51
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Utnyttjandegraderna i betongen mot skjuvning skiljer sig mot bro 2770. För snitt 2 och 3
ligger samtliga utnyttjandegrader under 1,0 men för snitt 1 ligger den bara under 1,0 för
BBK04 och sedan över 1 för EC och FIB. EC ligger strax över medan FIB är långt över 1
trots att den har en högre bärförmåga, 𝑉𝑅𝑑𝑐 , än EC och BBK04. Anmärkningsvärt är att i
snitt 2 och 3 är resultatet från FIB lägst, till skillnad från snitt 1 i denna bro och i bro 2770. Se
tabell 5.14 och 5.15.
Utnyttjandegraderna för skjuvarmeringen ligger på noll för BBK04 eftersom betongen klarar
utmattningen och därmed behövs ingen skjuvarmering enligt BBK04. För de enklare
spänningskontrollerna har λ-metoden från EC lägst utnyttjandegrad och därefter de båda FIB
metoderna och till sist har EC I högst utnyttjandegrad. Se tabell 5.16.
I snitt 1 ger delskadeanalysen, så som i bro 2770, väldigt höga delskador för böjarmeringen,
men framför allt för skjuvarmeringen där den högsta utnyttjandegraden nästan är 9000. FIB:s
skada är ungefär hälften så stor som BBK04 och en tredjedel av EC, som ger de högsta
delskadorna. Se tabell 5.22 och 5.23.
För snitt 2 och 3 ger delskademetoden har FIB en total skada under 1,0. För snitt 2 ligger
skadan runt 1,0 för de andra två modellerna och för snitt 3 är skadorna något högre, ungefär
mellan 3 och 5. Detta beror framförallt på högre påkänningar i snitt 3 eftersom armeringen
har samma utformning och mängd, som i snitt 2. Se tabell 5.24 och 5.25.
Skillnaderna mellan kontroll 1 och kontroll 2 i delskadeanalysen skiljer sig åt. Kontroll 2 ger
alltid en lägre delskada och ger som minst 10 % lägre skada, vilket är enligt EC i
dragarmeringen i snitt 3. Vid kontrollen av dragarmeringen mot böjning skiftar skillnaden
mellan 10 % och 30 %. Vid kontrollen av skjuvarmeringen är skillnaden 40 %.
52
6 Analys
6 ANALYS
I följande kapitel redovisas analysen som har utförts på resultaten. Även de faktorer som har
störst inverkan på resultatet kommer att redovisas.
I allmänhet gav lasterna höga spänningar i båda broarna. En jämförelse med handberäkningar
i bilaga G visar på liknade resultat vilket tyder på att värdena från RM bridge ligger på
rimliga nivåer. Handberäkningar visar också på att lasterna blir höga och att dessa är en viktig
faktor vid utmattningsberäkningar. Om spänningarna går att minska genom noggrannare
beräkningar påverkas utmattningskapaciteten. Det har inte gjorts i detta examensarbete, utan
fokus har legat vid utmattningskontrollerna.
6.1 Betong
6.1.1 Böjning
Skillnaderna i modellerna tyder på att de nyare modellerna ger lägre utnyttjandegrader i
fallande ordning. Nivå tre enligt FIB sticker ut genom att ge utnyttjandegrader väldigt nära
noll i alla snitt, se Tabell 5.1 och Tabell 5.11. Resultaten beror till viss del på att metoden
tillåter användning av verkliga antal cykler till skillnad från de andra, men i dessa broar är det
verkliga antalet cykler inte så mycket lägre än och till och med högre än det antagna antalet
cykler. Metoden i sig tillåter att fler cykler får lastas på broarna.
6.1.2 Skjuvning
BBK04 har, i alla snitt utom snitt 1 i bro 2770, lägre utnyttjandegrad än EC, se Tabell 5.5 och
Tabell 5.15. FIB ger väldigt olika resultat i olika snitt, allt från 0,2 till 672,1 i
utnyttjandegrad. Metoden verkar vara väldigt känslig och bör användas med försiktighet.
6.2 Armering
6.2.1 Enklare metoder
6.2.1.1 Böjning
Utnyttjandegraden överstiger 1 i alla snitt och beräknade med alla modeller förutom snitt 2 i
bro 4838. Snitt 2 ligger så nära stödet, som möjligt utan att kunna utnyttja någon
tvärkraftsarmering. Där är inte momentet högt och ger därmed inga höga spänningar i
dragarmeringen. BBK04 och 𝜆-metoden enligt EC ger överlag liknande och lägst
53
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
utnyttjandegrad. FIB nivå III är också något lägre överlag än FIB nivå II och den enklaste
metoden enligt EC. Dessa resultat kan ses i Tabell 5.3 och
Tabell 5.13.
6.2.1.2 Skjuvning
Vid analys av modellerna går det att konstatera att BBK04 har en stor fördel vid beräkning av
spänningarna i armeringen på grund av tvärkraft, eftersom betongens fulla bärförmåga får
utnyttjas. I EC antas att all tvärkraft måste tas upp av armeringen om inte betongen klarar
belastningen, vilket kräver mycket mer armering. Även vid tvärkraftsberäkningar enligt FIB
III är det tillåtet att tillgodoräkna sig betongens bärförmåga, se beräkningar bilaga C. Dock
ger armeringsberäkningarna att armering inte krävs för snitt 1 i bro 4838, trots att
utmattningsberäkningarna på betongen visar att den inte klarar sig utan armering. Vid vidare
beräkningar enligt FIB har detta inte utnyttjats utan armeringen har antagits behöva klara hela
tvärkraften.
Både EC och FIB ger väldigt höga utnyttjandegrader vid kontroll av skjuvarmeringen.
Speciellt då utnyttjandegraden för betong är strax över 1, som enligt EC då betongens
utnyttjandegrad ligger på 1,1 och att då behöva anta att betongen inte ger något bidrag alls
kan anses som konservativt.
6.2.2 Delskademetoden
Delskademetoden gav inte en lägre utnyttjandegrad än de enklare metoderna enligt
beräkningarna ovan. Detta var inte väntat, utan förhoppningen var att den högre
noggrannhetsgraden skulle ge ett mer gynnsamt resultat.
Resultaten för delskademetoden är i grunden beroende på de olika Wöhlerkurvorna. Figur 6.1
och Figur 6.2 visar Wöhlerkurvorna för de karakteristiska respektive dimensionerande
maximalt tillåtna spänningsvidderna för klass B500B, utan reduktion för bockning. FIB är
uppdelad i två stycken kurvor då modellen tillåter olika spänningsvidder beroende på
armeringsjärnens storlek. FIB16 gäller för armeringsjärn mindre och med en diameter på 16
mm och FIB40 är för armeringsjärn med en diameter på 40 mm. Med armeringsjärn i
storlekar mellan dessa kurvor får linjär interpolering användas.
EC och FIB följer samma mönster med två olika lutningar på kurvan, medan BBK04 har en
linjär form. Största inverkan ger denna skillnad vid låga spänningsvidder, då BBK04 ger en
mycket lägre hållfasthet. Vid samtliga lastcykler över 2 ∙ 106 är linjen för BBK04 ett
antagande, som beskrivs djupare i avsnitt 3.2.5.1. I diagrammen visas den antagna delen som
streckad. Den mest gynnsamma kurvan är för armeringsjärn med storleken 16 mm eller
mindre enligt FIB.
54
6 Analys
Figur 6.1 Wöhlerkurvor för de karakteristiska maximala spänningsvidderna. Den streckade delen av
BBKs kurva är antagen. De utsatta punkterna gäller för 10 6 lastcykler.
Figur 6.2 Wöhlerkurvor för de dimensionerande maximala spänningsvidderna. Den streckade delen av
BBKs kurva är antagen. De utsatta punkterna gäller för 106 lastcykler.
55
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
I resultaten i avsnitt 6 syns det tydligt att bockade armeringsjärn har lägre kapacitet. Till exempel kan
snitt 1 och snitt 3 på bro 4838 jämföras där det i båda snitten ligger armeringsjärn med diameter 12 mm,
men i snitt 1 är armeringen bockad, men inte i snitt 3, se
Tabell 5.22 och Tabell 5.25. Detta beror på att hållfastheten reduceras i alla modellerna då
armeringen är bockad. Reduceringen beräknas på olika sätt, där EC och FIB använder samma
funktion, från tabell 3.4 och 3.6, medan BBK04 använder en annan, se ekvation 3.16.
I följande diagram, figur 6.3–6.5, redovisar hur reduceringen påverkar den totala delskadan
beroende på olika armeringsdiametrar och bockningsradier. Diagrammen är baserade på snitt
1 på bro 2770, men där diametern eller bockningsradien ändras, medan de andra är konstant.
Figur 6.3 visar den totala delskadan då bockningsradien är konstant 64 mm och
armeringsdiametern ändras från 8 mm till 40 mm. FIB ger lägst delskada vid nästan alla
armeringsstorlekar, endast vid de allra största går den över EC. Ett armeringsjärn med den
storleken kan inte bockas till en bockningsradie på 64 mm. Anledningen till att FIB närmar
sig EC är att den reducerar hållfastheten vid större armeringsjärn. BBK04 ligger från början
mellan FIB och EC, men ökar drastiskt. Detta beror på skillnaden vid beräkningen av
reduktionen på grund av bockning.
Total delskada
BBK
EC
FIB
Ø8
Ø12
Ø16
Ø20
Ø24
Ø28
Ø32
Ø36
Ø40
Diameter [mm]
Figur 6.3 Jämförelse av delskador mellan modellerna med bockningsradie 64 mm.
Reduktionen beror inte endast på armeringsdiametern utan även av bockningsradien. Figur
6.4 visar den totala delskadan då diametern är konstant 16 mm och bockningsradien ändras.
Kurvorna ger liknande resultat som i diagrammet ovan, där EC och FIB ger något jämnare
resultat än BBK04, som ger väldigt höga resultat vid låga bockningsradier.
56
6 Analys
Total delskada
BBK
EC
FIB
R 40
R 60
R 80
R 100
R 120
R 140
R 160
R 180
Bockningsradie [mm]
Figur 6.4 Jämförelse av delskador mellan modellerna med 𝝓 = 𝟏𝟔 𝒎𝒎.
Figur 6.5 visar den totala delskadan då diametern är konstant 12 mm och bockningsradien
ändras. Här är BBK04 ökning inte lika drastisk, vilket tyder på att resultaten är väldigt
beroende på storleken på armeringen.
Total delskada
BBK
EC
FIB
R 40
R 60
R 80
R 100
R 120
Bockningsraide [mm]
Figur 6.5 Jämförelse av delskador mellan modellerna med 𝝓 = 𝟏𝟐 𝒎𝒎.
57
R 140
R 160
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Följande diagram, figur 6.6–6.7, visar hur stor reduktionsfaktorn blir som beror av
bockningen för olika stora armeringsjärn. Diagrammen bygger på ekvationerna (3.16), (3.28)
och (3.44). Eftersom EC och FIB har samma funktion för reduktionen redovisas de ihop.
Diagrammen visar hur faktorn påverkas av armeringsdiametern och bockningsradien där den
ena eller andra är konstant. De konstanta värdena är valda för att representera relativt höga
eller låga värden. I Figur 6.6 ändras bockningsradien och i a) är diametern konstant 12 mm
och i b) 32 mm.
Reduktion p.g.a. bockning
1,0
0,8
0,8
0,6
BBK
0,4
EC/FIB
Reduktion
Reduktion
Reduktion p.g.a. bockning
1,0
0,2
0,6
BBK
0,4
EC/FIB
0,2
0,0
0,0
R20
R70
R120
R170
Bockningsradie [mm]
R20
R70
R120
R170
Bockningsradie [mm]
a)
b)
Figur 6.6 Reduktion på grund av. bockning med a) 𝝓 = 𝟏𝟐 𝒎𝒎 b) 𝝓 = 𝟑𝟐 𝒎𝒎.
I Figur 6.7 ändras istället armeringsdiametern och i a) är bockningsradien konstant 40 mm
och i b) 200 mm.
Reduktion p.g.a. bockning
BBK
0,8
Reduktion
1,0
EC/FIB
0,6
0,4
Reduktion p.g.a. bockning
0,8
Reduktion
1,0
0,2
0,6
BBK
0,4
EC/FIB
0,2
0,0
0,0
Ø10
Ø15
Ø20
Ø25
Diameter [mm]
Ø30
Ø10
Ø15
Ø20
Ø25
Diameter [mm]
Ø30
a)
b)
Figur 6.7 Reduktionen på grund av. bockning med a) 𝑹 = 𝟒𝟎 𝒎𝒎 b) 𝑹 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎.
Här syns anledningen att BBK ökar drastiskt vid vissa fall. Det beror på att reduktionen är
nära noll eller till och med går under noll i vissa lägen. Dock är det vid lägen, som är extrema
och knappt förekommer. Till exempel vid Figur 6.7 a) närmar sig reduktionen noll vid
diametern 20-25 mm. Så stora järn bockas inte med en bockningsradie på 40 mm. Framförallt
visar diagrammen att de olika funktionerna för reducering på grund av bockning, ger stora
58
6 Analys
utslag vid olika tillfällen beroende på vilken modell som följs. Därför påverkas den tillåtna
spänningsvidden olika i BBK04 och EC och FIB.
Utnyttjandegraderna som beräknats, i de mest utsatta snitten, är väldigt höga, vilket kan ses i
avsnitt 5.1.2 och 5.2.2. Detta är inte rimligt, då det inte finns några tecken på att bron skulle
ha några problem enligt tidigare inspektioner, BaTMan (2014). Det går även att se att kontroll
1 och 2 har relativt stora skillnader, även om det fortfarande inte ger resultat som säger att
utmattningskapaciteten är tillräcklig. Detta tyder på att antalet cykler har stor inverkan. Detta
syns även tydligt om del 1 och 2 i kontroll 2 jämförs med varandra. I del 1 är
spänningsvidden högre, men eftersom det jämförs mot antalet tågöverfarter och inte som i del
2 mot antalet överfarter av två närliggande boggier så blir resultaten mycket bättre. Del 1 ger
resultat som är mellan 6 % och 11 % av resultaten från del 2.
59
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
60
7 Diskussion & slutsats
7 DISKUSSION & SLUTSATS
I följande kapitel redovisas en diskussion och de slutsatser som har dragits av de utredningar
och resultat som är presenterat i examensarbetet. Även svar på forskningsfrågorna och
förslag till fortsatt arbete redovisas.
Många broar kan bli utdömda på grund av utmattning med de modeller och metoder som
används idag vid bärighetsberäkningar. Exempelbroarna har också detta problem vilket syns i
resultaten ovan. I arbetet har olika faktorer tagits fram, som påverkar utmattningskapaciteten i
befintliga broar med järnvägstrafik.
Vid utmattningskontroller ger storleken på spänningarna direkta utslag på kapaciteten av en
befintlig bro. Därför bör metoderna för spänningsberäkningarna ge så korrekta värden som
möjligt. Nedan följer några viktiga aspekter vid spänningsberäkningar.
Den dynamiska faktorn, vilken beror på hastigheten, påverkar beräkningarna av spänningarna
genom att öka den pålagda lasten. Hur stor påverkan hastigheten på ett tåg har, har
undersökts genom mätningar på deformation på Kallkällanbron i Luleå (Simonson, 2002). De
uppmätta deformationerna vid olika hastigheter jämfördes mot teoretiskt beräknade
deformationer som tar i beaktning den dynamiska faktorn. Ett av resultaten i rapporten är att
statisk och dynamisk last inte ger några märkbara skillnader på deformationen i fältmitt.
Detta kan tyda det på att den dynamiska effekten inte har så stor inverkan, som de teoretiska
beräkningarna antyder. I handberäkningarna i bilaga G visas att den dynamiska faktorn har
stor inverkan på spänningsvidden, som i sin tur har stor inverkar på den teoretiska
utmattningskapaciteten. Därför är detta en viktig faktor att undersöka vidare.
En annan viktig faktor som ger stor inverkan på spänningsvidderna är lasterna. De laster som
tas hänsyn till bör stämma väl överrens med verkligheten, speciellt vid kontroll av befintliga
broar. Troligtvis sker inte de värsta lastsituationerna vid varje lastcykel. Till exempel
påverkas många broar sällan av inbromsning eller acceleration. Vid utmattningskontroller där
varje tågöverfart räknas in borde en medellastsituation få utnyttjas för att ge mer realistiska
värden.
Spänningsfördelningen i en hel bro är relativt svårt att förutspå. Högst troligt finns det en
betydande samverkan mellan betongen och armeringen i ett osprucket tvärsnitt, som ingen av
de undersökta modellerna utnyttjar. Metoderna är ofta uppbyggda och verifierade på
61
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
empiriska försök av antingen betongen eller armeringen och är ofta utförda på små prover.
Det gör att 3D-effekterna, som uppstår i en hel bro, inte har undersökts tillräckligt och att
modellerna troligtvis inte tar i beaktning de verkliga effekterna.
I delskadeanalysen av armeringen märks det tydligt att antalet lastcykler och spänningsvidden
tillsammans har en stor inverkan på utnyttjandegraden. Detta visar hur viktigt det är att kunna
göra en korrekt analys av hur spänningsvidden varierar vid en tågöverfart. Det finns teorier
att broar inte hinner reagera på varje på- och avlastning. Till exempel att de två
exempelbroarna, som är korta plattrambroar, inte återgår till ursprungsläget mellan
boggierna, trots att de rent teoretisk är helt avlastade vertikalt. Dessa teorier bygger på att
betongen har en viss tröghet i materialet. Verifieras teorier skulle antalet axelöverfarter och
överfarter av två närliggande boggier inte behöva användas, utan antalet tågöverfarter skulle
alltid kunna väljas som antalet spänningscykler. Om detta skulle användas skulle
utmattingskapaciteten kunna ökas på många broar där fler antal cykler än antalet
tågöverfarter behöver användas. Detta syns tydligt i resultaten om del 1 och del 2 i kontroll 2
i delskadeanalysen jämförs. Del 1 ger en mycket lägre utnyttjandegrad eftersom antalet
lastcykler är antalet tågöverfart istället för en överfart av två närliggande boggier som
används i del 2, se mer i avsnitt 6.2.2.
7.1 Betong
Enligt resultaten från utmattningskontrollerna i detta arbete har betongen högre kapacitet än
armeringen i de två exempelbroarna. Eftersom broar väldigt sällan går till brott i betongen på
grund av utmattning borde utnyttjandegraderna relativt låga för att spegla verkligheten.
Resultatet ovan visade på utnyttjandegrader från 30 % till över 100 % för alla modeller utom
FIB nivå 3, där den blev nära noll i båda broarna. Denna verkar därmed stämma bäst överrens
med verkligheten. På grund av att få brott har uppmärksammats på riktiga broar, så har vi i
detta arbete valt att fokusera mest på armeringen.
7.2 Armering
Små ändringar, som på armeringsstorleken och bockningsradien, ger relativt stora utslag, där
stora armeringsjärn i kombination med små bockningsradier ger störst minskning av
utmattningskapaciteten. I projektet Sustainable Bridge har rekommendationer tagits fram för
hur befintliga broar ska utredas (SB-LRA, 2008). Där rekommenderas att bockning endast
ska ge en reduktion på vertikala tvärkraftsbyglar med större diameter än 16 mm och i övriga
fall bortses ifrån. Även i Tysklands version av EC får detta antagande användas vid
dimensionering (DIN-EN1992, 2013). Detta tyder på att reduktionen av bockning inte
behöver vara så hög, som de svenska normerna kräver.
Utmattningskapaciteten i armeringen beror till stor del av Wöhlerkurvorna, som definieras i
de olika modellerna. Kurvorna är framtagna genom tester på stål och på enskilda
62
7 Diskussion & slutsats
armeringsjärn. Troligtvis påverkas armeringen av att den är omgiven av betong, vilket inte
utnyttjas i de undersökta modellerna. Detta kan vara en orsak till att den teoretiska
kapaciteten är låg då den jämförs med verkligheten. Både i Sustainable Bridge projektets
rekommendationer och i den tyska versionen av EC får högre värden på den maximalt tillåtna
spänningsvidden utnyttjas. I tyska versionen av EC rekommenderas 175 MPa vid 106
lastcykler och i Sustainable Bridge projektet 170 MPa vid 2 ∙ 106 lastcykler. Detta kan
jämföras med EC värde vid 106 lastcykler som är 162,5 MPa.
I båda de studerade broarna uppgår utnyttjandegraden i armeringen över 1 i de fall där högst
spänning i broarna uppstår. Båda broarna är långt ifrån deras beräknade livslängd och ingen
av dem har tecken på att vara nära brott enligt inspektioner, som till exempel synliga
sprickor. Vid bärighetsberäkningarna som Reinertsen har utfört på de två exempelbroarna
ingick tre korta plattrambroar till. Alla dessa ska enligt Reinertsen ha problem med
utmattningskapaciteten, trots att ingen av broarna har några skador, enligt de senaste
inspektionerna. Detta tyder på att dagens beräkningsmodeller inte speglar verkligheten för
kortare rambroar.
7.3 Svar på forskningsfrågor
1. Hur kan utmattningskapaciteten för befintliga broar bestämmas?
Enligt nuvarande normer ska utmattningskapaciteten bestämmas enligt bärighetsberäkningar
av järnvägsbroar, BVS som bygger på BBK04. I avsnitt 3.2.1 och 3.2.2 ovan beskrivs
tillvägagångssättet mer djupgående.
2. Vilka faktorer har stor inverkan på utmattningskapaciteten vid utredningar av
befintliga broar?
Faktorer som har visats ha stor inverkan på utmattningskapaciteten är skillnaderna på tillåten
spänningsvidd, antalet spänningscykler, bockningsradien på armeringsjärnen och storleken på
armeringsjärnen. Lasterna och spänningsfördelningen är också viktiga faktorer. Om antingen
lasterna kan minskas eller en gynnsam spänningsfördelning kan verifieras så påverkas
resultatet tydligt. Mer om detta kan läsas i avsnitt 6.
3. På vilket sätt går det att öka den teoretiska utmattningskapaciteten?
De faktorer som angavs i fråga 2 kan undersökas vidare för att säkerställa vilken inverkan de
har på utmattningskapaciteten. En annan del är att utreda nyare modeller. I detta arbete har
FIB och EC valts som nyare modeller. I vissa fall har FIB gett en lägre utnyttjandegrad än
nuvarande normer vilket tyder på att nyare modeller ger en något högre kapacitet.
63
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
4. Finns det nya teorier som stämmer bättre överens med verkligheten?
De nya teorier som har undersökts i denna rapport är EC och FIB. I de flesta fall ger FIB ett
lägre värde på utnyttjandegraden än BBK04, som är dagens norm. Dock ger inte heller FIB
resultat där kapaciteten är tillräcklig för exempelbroarna. EC ger i de flesta fallen sämre
utmattningskapacitet än BBK04. Tidigare inspektioner tyder på att ingen av dessa broar har
något problem med utmattning.
7.4 Felkällor
Vid analys och beräkning av broar förenklas bron till en 2D systemskiss för att göra
beräkningar enklare, se Figur 4.4 och Figur 4.11 ovan. Detta leder till att modellen inte
stämmer överens med verkligheten. Det kan finnas stora möjligheter att öka kapaciteten om
modelleringen utförs i 3D, men detta är fortfarande tidskrävande och därmed dyrt.
Enligt BBK04 är Wöhlerkurvan inte definierad för mindre än 104 och inte för mer än 2∙106
antalet lastcykler. Över och under detta antal lastcykler har det antagits att Wöhlerkurvan är
fortsatt linjär, som den är inom det definierade området. Detta är ett antagande som
framförallt ger konservativa värden för lägre spänningsvidder.
Antagandet att vridningen inte har någon inverkan kommer från resonemanget att krafterna
sprider sig över plattan och därmed inte ger upphov några stora vridande spänningar. Detta
antagande kan vara missvisande.
EC och BBK04 skiljer sig till hur och på vilket sätt säkerhetsfaktorerna används. Till
exempel använder BBK04 en sänkande faktor på hållfasthetsvärdet på grund av
säkerhetsklass 3, medan EC istället har ökat storleken på lasterna och använder
säkerhetsfaktorn 1,0. Detta gör de olika modellerna svåra att jämföra. I detta arbete har
förenklingar gjorts, som till exempel att de pålagda lasterna är definierade enligt BBK04 även
för EC, vilket därmed kan ge något andra förhållanden mellan modellerna än om de hade
beräknats exakt efter vardera modell.
Enligt EC ska hänsyn tas till fler laster än enligt BBK04 vid kontroll av utmattning. I denna
rapport har bara hänsyn tagits till de laster BBK04 kräver. Alltså borde lasterna och därmed
spänningarna, varit högre för EC än BBK04.
Vid utmattningskontrollerna har samma lastkombination använts för alla olika modeller, trots
att vissa modeller tillåter andra lastkombinationer, som skulle ge lägre laster. Till exempel
tillåts att frekvent lastkombination används vid den enklare spänningskontrollen enligt EC.
Detta gör att resultaten för dessa modeller ger ett något högre värde än om den korrekta
lastkombinationen hade använts.
64
7 Diskussion & slutsats
FIB är relativt svårläst bland annat på grund av många olika författare, som i vissa fall
använder olika betäckningar och uttrycker sig på olika sätt. Även motstridiga uppgifter har
hittats. Detta har lett till val och förenklingar, som möjligtvis inte stämmer överrens med alla
författarnas uppsåt. Dessa val och förenklingar har gjorts i samråd med Lennart Elfgren.
7.5 Förslag till fortsatt arbete
Eftersom antalet lastcyklerna ger stora utslag på utnyttjandegraden vid delskadeanalyser bör
broarnas faktiska reaktion vid en tågöverfart studeras djupare. Framförallt bör det undersökas
hur snabbt en bro reagerar på lastpåläggning för att utesluta att fler lastcykler används än vad
den utsätts för. För att kunna undersöka detta behöver tester utföras på riktiga broar eller
möjligtvis större provkroppar, för att förstå hur hela betongkonstruktioner reagerar.
För att förstå hur spänningarna i armerad betong fördelar sig behövs tester utföras på hela
broar eller större testkroppar av armerad betong. Detta för att kunna förbättra och förenkla
möjligheterna att utföra 3D-modellering. Då skulle förmågan att sprida spänningarna i
armerad betong kunna utnyttjas och beräkningarna skulle spegla verkligheten bättre. Vid
dessa tester kan också den dynamiska effekten utredas vidare för att se om de modeller som
finns ger en rättvis bild av verkligheten eller om de behöver modifieras.
Eftersom en stor mängd lastcykler används vid utmattningskontroller, bör det undersökas om
det finns möjlighet att ta fram nya riktlinjer för vilka laster som ska tas hänsyn till. Idag
används samma lastkombination som vid bruksgränskontroller, trots att bruksgräns
kontrollerar ett specifikt fall där den värsta lastsituationen antas.
Vid kontroll av betongkapaciteten enligt FIB nivå III, där ett verkligt antal lastcykler
används, blir utnyttjandegraden väldigt låg. Eftersom utmattningsbrott i betongen sällan sker
i verkliga broar, bör denna metod undersökas vidare för att se om applikation i en framtida
svensk norm är möjlig.
Bockningsradien har stor inverkan på utmattningen enligt alla undersökta modeller, genom
att reducera armeringsjärnets bärförmåga om det är bockat. Nyare forskning, till exempel i
Sustainable Bridge projektet, där påverkan av bockningen har begränsats, bör undersökas
vidare för att bättre förstå hur stor inverkan bockningen har på utmattningskapaciteten. Även
underlagen till de högre tillåtna spänningsvidderna från Sustainable Bridge projektet och i
tyska versionen av EC bör undersökas.
Vidare forskning är viktig för att säkerställa att utmattningen kontrolleras enligt teorier som
stämmer väl överrens med verkligheten. Detta kan minska kostnaderna för samhället genom
att inte broar rivs eller förstärks i onödan.
65
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
66
8 Referenser
8 REFERENSER
Förkortningar
Beteckning
Förklaring
EC
BKR
BBK04
BBK94
FIB
BVS
BaTMan
Eurokod 2, Betongkonstruktioner (Eurokod 2, 2005)
Boverkets konstruktions regler (BKR, 2003)
Boverkets handbok om betongkonstruktioner, 2004 (BBK, 2004)
Boverkets handbok om betongkonstruktioner, 1994 (BBK, 1994)
FIB model code 2010 (Fib Model Code, 2012)
Bärighetsberäkning av järnvägsbroar (TRV Bärjvg, 2013)
Bridge and Tunnel Management, Trafikverkets databas för
information av broar och tunnlar. (BaTMan, 2014)
Referenser
BaTMan (2014) [webbplats]. Trafikverket. Hämtad 2014-10-10 från https://batman.vv.se
BBK 04 (2004): Boverkets Handbok om Betongkonstruktioner BBK04. Karlskrona 2004.
BBK 94 (1994): Boverkets Handbok om Betongkonstruktioner BBK94. Band 1 Konstruktion.
Boverket, Karlskrona 1994. ISBN 91-7332-686-0. Band 2 Material, Utförande och Kontroll.
Boverket, Karlskrona 1994. ISBN 91-7332-687-9.
BKR 03 (2003): Regelsamling för konstruktion – Boverkets konstruktionsregler BKR03.
Boverket, Karlskrona 2003. ISBN 91-7147-740-3.
DIN-EN1992 (2013):
Bemessung
Spannbetontragwerken, DIN-EN1992.
Konstruktionregeln.
und
Teil
Konstruktion von Stahlbeton1: Betonbrücken – Bemessung-
und
und
Elfgren, L., 2014. Fatigue design of Concrete Structures. Assessment of Railway Bridges.
Forskningsrapport, Luleå: Avdelningen för byggkonstruktion och produktion, Luleå tekniska
universitet. To be published.
Elfgren, L. & Gylltoft, K., 1997. Utmattningshållfasthet hos betongkonstruktioner, Skrift
90:10, Luleå: Avdelningen för Konstruktionsteknik, Tekniska Högskolan i Luleå.
67
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
Eurokod 2: Dimensionering av betongkonstruktioner, EN 1992. Del 1: Allmänna regler och
regler för byggnader; Del 2: Betongbroar.
Fib Model Code 2010 (2012): fib Model Code 2010, Final Draft – Volume 1 and 2. fib
Bulletins 65 and 66, 311 and 332 pp, 2012. Lausanne: International Federation of Structural
Concrete. ISBN 978-2-88394-105-2 and 978-2-88394-106-9 respectively.
Gylltoft, K., 1983. Fracture Mechanics Models for Fatigue in Concrete Structures, Luleå:
Tekniska Högskolan i Luleå.
Gylltoft, K., 1994. Betong Handboken, Material. 2nd ed. Stockholm: AB Svensk Byggtjänst
och Cementa AB.
Paulsson, B. et al., 1996. 30 ton på Malmbanan, Rapport 3.3 Infrastruktur. Forsknings- och
utvecklingsprojekt avseende betongbroars bärighet., Luleå: Banverket och Luleå tekniska
universitet.
Reinertsen (2015a): Bärighetsutredning av fem järnvägsbroar av typen plattramar –
Bärighetsutredning av Bro 2770 Bromölla – Sölvesborg. Bilaga A. Bärighetsberäkning.
Dokument 21100050-2770. Signatur PP/AE/JO, 34 sid + Bilaga A.A. Geometri och
armering; A.B. Beräkningsmodell i RM Bridge; A.C. Beräkningsmodell i RM Bridge; A.D.
Kapacitetskontroll, längsled; A.E Ritningsförteckning; A.F. Hastighetsnedsättning.
Preliminär version 2015-01-08.
Reinertsen (2015b): Bärighetsutredning av fem järnvägsbroar av typen plattramar –
Bärighetsutredning av Bro 4838 Griftesgården, Borlänge. Bilaga A. Bärighetsberäkning.
Dokument 21100050-4838. Signatur PP/AE/JO, 33 sid + Bilaga A.A. Geometri och
armering; A.B. Beräkningsmodell i RM Bridge; A.C. Beräkningsmodell i RM Bridge; A.D.
Kapacitetskontroll, längsled; A.E Ritningsförteckning. Preliminär version 2015-01-08.
SB9.2 (2007): Overall Project Guide, Sustainable Bridges - Assessment for Future Traffic
Demands and Longer Lives SB9.2. Available at www.sustainablebridges.net.
SB-LRA (2008): Load and Resistance Assessment of Railway Bridges. Guideline developed
in the EC-FP7 Projekt Sustainable Bridge, 428 sid. Available at www.sustainablebridges.net.
Simonson, A., 2002. Tillståndsbedömning av järnvägsbroar – Inverkan av dynamisk last på
trågbroar av betong. Examensarbete, Lueå: Avdelningen för konstuktionsteknik, Luleå
tekniska universitet.
Suresh, S., 1998. Fatigue of Materials. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press.
68
8 Referenser
TRV Bärjvg (2013): Bärighetsberäkning av järnvägsbroar. Utgåva 5, Standard BVS 583.11.
Diarienummer TRV2012/58673, 2013-01-01. 69 sid + 7 bilagor. Ersätter BV Bärighet (1996,
2000)
Thun, H., 2006. Assessment of Fatigue Resistance and Strength in Existing Concrete
Structures, Luleå: Institutionen för samhälsbyggnad och naturresurser, Luleå tekniska
universitet.
Thun, H., Ohlsson, U. & Elfgren, L., 2000. Fatigue Capacity of small Railway Concrete
Bridges, Luleå: European Rail Research Institute.
Östlund, L., 1980. Betong handbok - Konstruktion. 1st ed. Stockholm: AB Svensk byggtjänst.
69
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
70
9 Bilagor
9 BILAGOR
Följande bilagor återfinns nedan:
BILAGA A – Spänningsviddsberäkningar
BILAGA B – Exempel på utmattningsberäkningar för bro 3500-2700-1, Snitt 2
BILAGA C – Exempel på utmattningsberäkningar för bro 3500-4838-1, Snitt 1
BILAGA D – Mathcadskript - Delskadeberäkning
BILAGA E – Ritningar bro 3500-2770-1
BILAGA F – Ritningar bro 3500-4838-1
BILAGA G – Överslagsberäkningar av spänningar från moment
71
Utmattning av järnvägsbroar av armerad betong
Jämförande beräkningar för två befintliga plattrambroar
72
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
2015-01-09
A BILAGA A
A.1 Spänningsviddsberäkningar
Kontroller för utmattning har gjorts för böjning och normalkraft och tvärkraft.
Spänningsviddsberäkningarna för dessa enligt alla modeller presenteras nedan.
A.1.1 Böjning och normalkraft
Vid beräkning av kapaciteten mot böjning med normalkraft utgår de tre koderna från samma
förenklingar. Därför beräknas spänningarna i armeringsjärnen på samma sätt. Först
kontrolleras om tvärsnittet spricker, stadium I. Om det inte gör det antas betongen även var
verksam i dragzonen och spänningarna fördelas enligt Figur A.1. Om tvärsnittet överskrider
betongens dimensionerande draghållfasthet antas det spricka och hamnar då i stadium II. Då
antas betongen inte har någon verkan i dragzonen. I stadium II antas den tryckta betongen
inte nå den dimensionerande tryckhållfastheten utan har en triangulär spänningsfördelning. I
stadium III antas tryckhållfastheten uppnås i betongen, vilket leder till en omfördelning av
tryckspänningarna. I denna rapport antas att stadium III inte uppstår utan spänningarna
beräknas endast i stadium I och II. Då detta ger högre spänningar, ger det ett resultat på säkra
sidan.
Figur A.1 Spänningsfördelning i ett tvärsnitt som utsätts för böjning och normalkraft.
1
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
2015-01-09
A.2 Tvärkraft
A.2.1 BBK
Villkoret som ska uppfyllas för betong utan armering är:
där
≤
+
BBK Ekv. 3.7.3.1a
(A.1)
är den maximala lasten av utmattningslast.
är betongens tvärkraftskapacitet.
är inverkan av variabel effektiv höjd.
Betongkapaciteten beräknas enligt nedan.
där
=
BBK Ekv. 3.7.3.2a
(A.2)
är balklivets minsta bredd.
är effektiv höjd
är betongens formella skjuvhållfasthet, som beräknas enligt nedan.
där
= 0,30 ∙
1 + 50
1,4, ≤ 0,2
1,6 − , 0,2 <
=
1,3 − 0,4 , 0,5 <
0,9, 1,0 <
=
!"#
≤ 0,02
BBK04, Ekv. 3.7.3.2b
(A.3)
≤ 0,5
≤ 1,0
och
!"#
är minsta böjarmeringen i dragzonen i betraktad balkdel mellan momentets
nollpunkt och maximipunkt. Enligt BVS kan, för broar byggda enligt Bronorm
65 eller tidigare, den totala längsgående armeringen utnyttjas i As0.
Vid inverkan av normalkraft får en ökning av betongkapaciteten,
beräknas enligt nedan.
2
$,
utnyttjas. Denna
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
$
=
1,2%&
'
2015-01-09
(#
)
( *&
BBK Ekv. 3.7.3.4a
(A.4)
där
(#
(
+,- /
,
.
är nolltöjningsmomentet, dvs. det moment som tillsammans med spännkraften
respektive normalkraften skulle ge nollspänning i den tvärsnittskant där annars
dragspänning uppträder. (# bestäms för ett osprucket tvärsnitt.
är böjande moment av yttre last.
är minsta värdet på kvoten (# /( för alla snitt inom betraktad balkdel.
*&
Dock begränsas detta till:
där
+
≤
$
1*=
där
+ 0,31 *
(A.5)
2
/1,2%&
!3
2
!3
(A.6)
är normalkraft av yttrelast, (positiv i tryck)
är betongarean.
Vid en höjd som varierar över balken ska inverkan,
=
(
, beaktas.
tan %
(A.7)
där
%
är vinkeln på höjdskillnaden. Positiv då höjden ökar åt samma håll som
tvärkraften minskar.
, överskrider kapaciteten anses
Då den maximala tvärkraften från utmattningslasterna,
betongen gå till brott. Finns det tvärkraftsarmering kontrolleras dessa mot den del av
tvärkraften som överstiger betongkapaciteten. Spänningen i skjuvarmering beräknas genom
följande ekvation.
Δ1" =
där
!"
8
"
0,9
∙ 9 ∙ sin <8 + cos <? + !"
3
? sin <?
BBK Ekv. 3.7.4.2e
(A.8)
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
!"
!"
<8
<?
8
2015-01-09
är arean av ett bygelpar med fördelningen s.
är arean av det totala antalet uppbockade armeringsjärn i sprickan.
är den spetsiga vinkeln mot dragarmeringen för byglarna.
är den spetsiga vinkeln mot dragarmeringen för de uppbockade järnen.
?
A.2.2 EC
A.2.2.1 Tvärkraftsdimensionering
För tvärsnitt utan verksam tvärkraftsarmering ska följande villkor uppfyllas.
@
≤
A ,
(A.9)
där betongens bärförmåga,
= 'BA
A ,
C 100
,
A ,
D
, beräknas enligt följande ekvation.
8
E F
+ C8 1 $ )
> HI* & + C8 1 $ J
(A.10)
där
E
har enheten MPa
C =1+K
D
≤ 2,0 med d i mm
= 3 MN ≤ 0,02
L
O
!"D
1$=
2@
!
A ,
BA
?##
,
QR.
LS
är arean hos den dragna armeringen som når minst (P3 + ) bortom betraktat
snitt. P3 är förankringslängden.
är tvärsnittets minsta bredd [mm]
< 0,2
[(UV]
är normalkraft orsakad av yttre last (2@ positiv vid tryckkraft).
är betongtvärsnittets area [mm2].
är i [N]
= 0,18%
C8 = 0,15
I* & = 0,035C F⁄? ∙
8⁄?
E
Betongens kapacitet mot krossbrott i trycksträva.
4
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
A , ,EZ[""
där
I = 0,6 +1 −
= 0,5
\S]
2015-01-09
∙I∙
/
(A.11)
E _(UV
?^#
Med verksam tvärkraftsarmering och då tvärkraften, @ , överstiger betongens kapacitet
enligt ovan, så kontrolleras armeringen med följande villkor.
A
där
=
A ,"
!"
9
=
e
+
!"
∙`∙
9
+
a
∙ cot θ + cot α sin α
EC Ekv. 6.1
(A.12)
EC Ekv. 6.13
(A.13)
är arean för ett armeringsjärn.
är avståndet mellan skjuvjärnen.
` = 0,9
d
A ,"
är den antagna vinkeln på skjuvsprickan. Vid utmattningsberäkningar begränsas
den till ?
är den spetsiga vinkeln på armeringsjärnet.
är bidraget (eller avdraget) till tvärkraftskapaciteten från längsgående tryck och
dragzon vid varierande höjd. Nedan visas en approximativ beräkningsmetod
enligt betonghandbok ...
,
(@
Figur A.2 Schematisk bild över bidrag från varierande höjd.
=
tan %8
(A.14)
där
(@
är momentbelastningen (positiv vid dragen undersida).
5
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
%8
2015-01-09
är vinkeln mellan kraften från den tryckta zonen och det neutrala lagret.
(postitivt då tvärsnittets höjd ökar åt samma håll som tvärkraften minskar)
=
(@
tan %?
(A.15)
där
%?
är vinkeln mellan kraften från den dragna armeringen och det neutrala lagret.
(positivt då tvärsnittets höjd ökar åt samma håll som tvärkraften minskar)
Även vid tvärsnitt med skjuvarmering kontrolleras bärförmågan mot livkrossbrott. Den
beräknas enligt följande.
=e
A ,*fg
∙
∙`∙I∙
∙
där
e
cot d + cot e
1 + cot ? d
EC Ekv. 6.14
(A.16)
är en faktor som tar hänsyn till spänningen i tryckzonen från yttre belastning.
e
=
där
1$
k
i
'1 +
1$
),
1,25,
j
1$
i2,5 '1 −
),
h
0 < 1 $ ≤ 0,25
0,25
0,5
< l ≤ 0,5
(A.17)
< 1 $ ≤ 1,0
är medeltryckspänningen i betongen, med hänsyn till armeringen.
A.2.3 FIB
Tvärkraftsberäkningar för FIB görs enligt kapitel 7.3.3.
A.2.3.1 Tvärkraftsdimensionering utan skjuvarmering
Beräkningar av tvärkraftsdimensionering utan skjuvarmering kan beräknas på två olika sätt
enligt FIB, nivå I och nivå II. Det som skiljer sig åt är beräkningen av faktorn C .
För tvärsnitt utan verksam tvärkraftsarmering ska följande villkor uppfyllas.
@
≤
A ,
där betongens bärförmåga,
(A.18)
A ,
, beräknas enligt följande ekvation.
6
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
=C ∙
A ,
där
E
CI
m
%
E
∙`∙
; äpm
2015-01-09
E
≤ 8(UV
(A.19)
har enheten MPa
faktor som beräknas på två olika sätt enligt nivå I och nivå II nedan.
180
1000 + 1,25 ∙ `
A.2.3.1.1 Nivå I
C
.r
=
där
`
(A.20)
har enheten mm.
0,4
1300
∙
1 + 1500 ∙ sg 1000 + C t ∙ `
A.2.3.1.2 Nivå II
C
.rr
där
=
sg = 0 ≤
1
(@
∙'
+
2 ∙ u" ∙ !"
`
@
+
(A.21)
2@
) ≤ 0,003
2
Figur A.3 Definition av vw , FIB figur 7.3-9.
(@ &2@
ska läggas in som positiva.
7
(A.22)
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
2@
!"
t
2015-01-09
ska sättas in med tecken, drag som positivt och tryck som negativt.
armeringen i tryckzonens area.
C
t
=
32
16 +
t
≥ 0,75
(A.23)
maximala ballast diameter, antar 16 mm.
A.2.3.2 Tvärkraftsdimensionering med skjuvarmering
Beräkningar av tvärkraften enligt FIB, med skjuvarmering, kan utföras på fyra olika sätt, nivå
I till IV.
A.2.3.2.1 Nivå I och II
Nivå I och II är baserad på en generaliserad spänningsfältsmetod. Skillnaden mellan
metoderna är hur vinkeln bestäms.
A
=
A ,"
≤
A ,*fg
(A.24)
där bygelarmeringens bärförmåga beräknas enligt följande:
A ,"
=
där
!9|
{|
d _}
!"
∙`∙
{
a
∙ cot d* &
(A.25)
skjuvarmeringens area.
avstånd mellan byglar.
minsta tillåtna vinkel mellan skjuvsprickan och underkant balk.
För nivå I är d* & satt till 30° för armerade betong element. Vinkeln d* & bestäms enligt nedan
för nivå II. Nivå II behandlas i beräkningsrapporten.
sg
d* & = 20° + 10000 ∙ sg
beräknas enligt ekvation () ovan.
Bärförmågan begränsas till livkrossbrott,
A ,*fg
där
där
(A.26)
=C ∙
%
E
∙
A ,*fg ,
som beräknas enligt följande:
∙ ` ∙ sin d* & ∙ cos d* &
C = C• ∙ €\
(A.27)
(A.28)
8
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
E
där
sg
€\ = '
30
E
8/F
)
2015-01-09
≤ 1,0
(A.29)
har enheten MPa
C• =
1
≤ 0,65
1,2 + 55 ∙ s8
(A.30)
s8 = sg + sg + 0,002 ∙ cot ? d* &
(A.31)
beräknas enligt ekvation (A.22) ovan.
A.2.3.2.2 Nivå III
Nivå III bygger på en förenklad tryck-fält teori där betongen bärförmåga får adderas till
armeringens bärförmåga för att få den totala.
A
=
A ,"
+
A ,
<
A ,*fg
d* &
(A.32)
Betongens bärförmåga beräknas med ekvation (A.19) ovan tillsammans med C enligt nedan.
C =
A ,*fg
0,4
∙ •1 −
1 + 1500 ∙ sg
@
A ,*fg
d* &
‚
d* & beräknas enligt nivå II och sg enligt ekvation (A.22).
(A.33)
Exempel beräkningar kommer att utföras på nivå III men vid utmattningsberäkning kommer
nivå II användas.
A.2.3.2.3 Nivå IV
Behandlas inte i denna rapport.
9
Bilaga A - Spänningsviddsberäkningar
2015-01-09
10
2015-02-26
Utmattningsberäkning 2770 snitt 1
Dessa beräkningar är gjorda på snitt 101 vilken är där det maximala negativa momentet och tvärkraft uppkommer enligt
data från RM. Utmattningsberäkningarna är avgränsade till brobaneplattan. Utgår från BVS 583.11 fö r indata laster och
material parametrar. Utmattningen är beräknad enligt BBK, EC och FIB.
Material parametrar
Materialet är testat och beräknats enligt BVS.583.11. För testresultat se Bilaga A olof.
Betong Ks300
fcck := 21.5MPa
fcck.just := 1.15fcck − 2MPa = 22.725⋅ MPa
Draghållfastheten beräknas genom
interpolering mellan K-värdena från
BBK94 över och under fcck.just
fctk.just := fctk.u +
(fcck.just − fcck.u)⋅ ( fctk.ö − fctk.u)
fcck.ö − fcck.u
1 + φkryp
fctk.u := 1.6MPa
fctk.ö := 1.8MPa
För C20/25 som motsvarar fcck.just enl. BBK §2.4.
Framtaget enl. BVS 1.3.2.3
φkryp := 2
Eck
K35
fcck.ö := 25MPa
= 1.67⋅ MPa
Eck := 30GPa
Ec :=
K30
fcck.u := 21.5MPa
= 10⋅ GPa
Armering Ks40/60
Esk := 200GPa
Materialparametrar BKR
Betong
γcn := 1.2
γcm := 1.5
γcEm := 1.2
fcck.just
fccd.BH :=
= 12.625⋅ MPa
γcn⋅ γcm
fctk.just
fctd.BH :=
= 0.928⋅ MPa
γcn⋅ γcm
Armering
γsn := 1.2
γsm := 1.15
1
2015-02-26
Materialparametrar Eurokod 2
Betong
γC.Fat := 1.5
γCE := 1.2
fcck.just
fcd.EC :=
= 15.15⋅ MPa
γC.Fat
fctk.just
fctd.EC :=
= 1.113⋅ MPa
γC.Fat
Utmattning:
s := 0.25
För normalhärdande betong (EC2 3.1.2(6))
t0 := 36
t0 Antagen tid för första pålastning av utmattningslast
  28  0.5
 t0  
βcc := e     = 1.03
s⋅ 1− 
k1 := 0.85
Rekommenderat värde för N=10^6 cykler
fcck.just 

fcd.fat := k1 ⋅ βcc ⋅ fcd.EC⋅  1 −
 = 12.058⋅ MPa
250MPa 

Armering
γS.Fat := 1.15
∆σRsk := 162.5MPa
Materialparametrar FIB model code
γEd := 1.0
Betong
γc.Fat := 1.5
fcd.fat.F :=
fck.0 ← 10MPa
= 12.058⋅ MPa
fcck.just 


fcck.just⋅  1 − 25⋅ f

ck.0 


0.85⋅ βcc ⋅
γc.Fat
Armering
γs.Fat := 1.15
Vid 10^8 cykler:
∆σRsk.F.16 := 125MPa
∆σRsk.F.40 := 95MPa
2
2015-02-26
1. Geometri
Bro 2770 är en plattrambro i ett spann. Beräkningar görs i längsled på en 1 m bred strimla med en lastfördelning på 4.5 m
enl BVS 4.1.2.6.2.
L := 4.4m
Brospann
Betong
b b := 1000mm
Tvärsnittets bredd
h b := 363.6364mm
Tvärsnittets höjd mitten av bron. Bör ändras vid kontroll
någon annanstans
h b1 := 365mm
Nästa snitts tvärsnittshöjd, (för uträkning av lutning)
x := 200mm
Snittets längd från x=0. (för uträkning av lutning)
x1 := 0.275m
Nästa snitts längd från x=0. (för uträkning av lutning)
2
Ab := bb ⋅ h b = 0.364 m
Iz :=
bb ⋅ h b
Tvärsnittets area
3
12
9
Tvärsnittets böjmotstånd
4
= 4.007 × 10 ⋅ mm
b ramben := 400mm
Bredden på rambenet
tb := 600mm
Tjocklek ballast, (uppmätt)
Armering
2
Aöksl := 1608mm
Längsgåendearmeringsarea för överkant balk som har
tillräcklig förankring.
2
Aöksl.min := 1608mm
Minsta längsgåendearmeringsarea för överkant balkdel,
med tillräcklig förankring.
2
Auksl := 1117mm
Längsgåendearmeringsarea för underkant balk, med
tillräcklig förankring.
2
Auksl.min := 1117mm
Minsta längsgåendearmeringsarea för underkant balkdel,
med tillräcklig förankring
2
mm
Asvb := 0
m
Bygelarmeringsarea per meter
3
2
As := Aöksl + Auksl = 2.725 × 10 ⋅ mm
Total längsgående armering i snittet
ϕÖK.UK := 16mm
Diameter på längsgående armering i platta, både överkant
och underkant
Rarm.ϕ16 := 64mm
sbyglar := 0mm
Radien på bockningen för längsgående armering som
bockas ned
Avståndet mellan byglarna
ct := 30mm
Täckande betongskikt


d := h b −  ct +
d t := ct +
ϕÖK.UK 
ϕÖK.UK
2
2
Avstånd mellan tryckt kant till dragarmeringens
tyngdpunkt
 = 0.326 m

= 0.038 m
Avstånd mellan tryckt kant till tryckarmeringens
tyngdpunkt
3
2015-02-26
Indata laster
De laster som bron utsätts för är permanenta-, över- och trafiklaster. Det permaneta- och överlasterna är lika stora över
brons hela livslängd. Trafiklasterna har där emot varierat i fyra olika perioder med skillnader som olika vagnar och
axelvikter. Detta ger olika stora moment, normarkraft och tvärkraft i alla snittet beroende på vilken tidsperiod som
beräknas.
Moment, normal- och tvärkrafterna som bron utsätts för beräknas i programmet RM. Programmet plockar därefter fram
max och min data för varje elemet (början och slut) då tåget är placerat olika. Då tex momentet är max så tar den även fram
det tillhörande normal- och tvärkraften för det max momentet. När det nedan i rapporten skrivs att tex. "Mz huvudlast" så
menas det att den visas det maximla och minimala momenet i snittet med de tillhörande normal- och tvärkrafterna när det
inträffar.
För kontroll av delskadeanalys behövs både det minsta variabla värdet och permanent last som minsta värde.
Laster för momentberäkning där Mz är det dimensionerande värdet
IndataMz.Var :=
TP 1 Var
TP 2 Var
TP 3 Var
IndataMz.Perm :=
Mzmax Mzmin
[kNm] [kNm]
-85,7
9,8
-89,0 10,5
-89,0 10,5
Mzmax
[kNm]
TP 1 Perm -85,7
TP 2 Perm -89,0
TP 3 Perm -89,0
Mzperm
[kNm]
-26,8
-26,8
-26,8
Nxmax Nxmin
[kN] [kN]
-55,5 -46,5
-57,5 -45,7
-57,5 -45,7
Vymax
[kN]
-114,3
-121,2
-121,2
Nxmax Nxperm
[kN] [kN]
-55,5 -34,0
-57,5 -34,0
-57,5 -34,0
Vymax
[kN]
-114,3
-121,2
-121,2
Vymin Mxmax Mxmin
[kN] [kNm] [kNm]
-67,7 -5,5
-3,6
-72,8 -6,1
-3,6
-72,8 -6,1
-3,6
Vyperm Mxmax Mxperm
[kN] [kNm] [kNm]
-45,6 -5,5
0,0
-45,6 -6,1
0,0
-45,6 -6,1
0,0
Laster för tvärkraftsberäkning där Vy är det dimensionerande värde
IndataVy.Var :=
IndataVy.Perm :=
Vymax
[kN]
TP 1 Var -144,5
TP 2 Var -154,8
TP 3 Var -154,8
Vymax
[kN]
TP 1 Perm -144,5
TP 2 Perm -154,8
TP 3 Perm -154,8
Vymin
[kN]
-28,5
-27,7
-27,7
Vyperm
[kN]
-45,6
-45,6
-45,6
Nmax
[kN]
-52,7
-53,7
-53,7
Nmin Mxmax Mxmin
[kN] [kNm] [kNm]
-45,7 -8,0
0,7
-45,7 -9,0
0,7
-45,7 -9,0
0,7
Mzmax Mzmin
[kNm] [kNm]
-70,1 9,8
-71,6 10,5
-71,6 10,5
Nmax Nxperm Mxmax Mxperm
[kN] [kN] [kNm] [kNm]
-52,7 -34,0 -8,0
0,0
-53,7 -34,0 -9,0
0,0
-53,7 -34,0 -9,0
0,0
4
Mzmax
[kNm]
-70,1
-71,6
-71,6
Mzperm
[kNm]
-26,8
-26,8
-26,8
2015-02-26
Trafiklast för reducering av tvärkraft vid stöd
VTrL :=
TP 1
TP 2
TP 3
x=0,20
[kN]
-470,4
-528,7
-528,7
x=1,10
[kN]
-344,0
-387,0
-387,0
x=1,35
[kN]
-306,0
-344,0
-344,0
5
2015-02-26
Utmattningsberäkningar allmänt
Använda referenser
Reference:Q:\Fack\Bro\Examensarbete\Utmattning i betongbroar\Beräkningar\Wöhlerkurvor.xmcd(R)
BBK04
Bestämmande längd
Ramben
Innerspann
L1 := 3.8m
L2 := 4.8m
Lbest := 1.3⋅
L1 ⋅ 2 + L2
3
= 5.373 m
BVS tabell 2.5
Tågtyp
Tågtyp := "Övriga"
5
κ :=
6
if Tågtyp = "Malmtåg"
BVS 2.6.2
2
if Tågtyp = "Övriga"
3
Hållfasthet
( )
∆fst n f :=
5
400MPa if n f < 10
5
270MPa if 10 ≤ nf < 6⋅ 10
5
200MPa if 6 ⋅ 10 ≤ n f < 10
6
180MPa if 10 ≤ nf < 2⋅ 10
5
6
6
6
160MPa if 2 ⋅ 10 ≤ n f
Lastcykler
Enligt BVS ska ett visst antal lastcykler kontrolleras beroende på faktorn κ och bestämmande längd, Lbest
n f :=
n←
6
10
if Lbest > 6m
6
10⋅ 10
υ←
6
= 3 × 10
BVS 2.6.2
otherwise
1 if κ >
5
6
0.6 if 1 > κ >
2
BBK04 tabell 2.5.3b
3
0.3 otherwise
nf ← n⋅ υ
nf
6
2015-02-26
Delskadeanalysen
Historisk lastdata från Håkan Thun mottaget över mail den 10/12 -14.
 229664 ⋅ 8 
20
 ⋅ 1000⋅ tonne⋅ g
B := 
 225838 
 190425 


 160 
Pm :=  180  kN
 
 180 
4 
a :=  4 
 
4 
Antalet axelpassager.
Antalet passager av två närliggande boggier.
n Tid.axel :=
n Tid.bog :=
for i ∈ 1 .. rows( B )
B
n Tid ← 1.1
i
for i ∈ 1 .. rows( B)
B
i
nTid ← 1.1
Pm
i
i
nTid
i
Pm ⋅ a
i i
n Tid
Antalet verkliga cykler, nTid
Tidsperiod 1
6193645
Tidsperiod 2
13534365
Tidsperiod 3
11412080
Tidsperiod 4
Antalet verkliga cykler, nTid
Tidsperiod 1
1548411
Tidsperiod 2
3383591
Tidsperiod 3
2853020
Tidsperiod 4
n Tid.axel
n Tid.bog
7
2015-02-26
Antalet passager av ett helt tåg.
n Tid.tåg :=
for i ∈ 1 .. rows( B)
B
nTid ←
i
i
Pm ⋅ a ⋅ 20
i i
n Tid
Antalet verkliga cykler, nTid
Tidsperiod 1
70382
Tidsperiod 2
153800
Tidsperiod 3
129683
Tidsperiod 4
n Tid.tåg
8
2015-02-26
Spänningsvidd för längsgående armering
Böjning och normalkraft (BN)
Teckenförklaring:
α :=
Esk
Ec
= 20
Aktuella laster
För beräkning av spänningar från böjning behövs max och min av de moment och normalkrafter som utsätter tvärsnittet.
 −85.7 
 9.8 
 −55.5 
 −46.5 
 −89 
 10.5 
 −57.5 
 −45.7 








−89 
10.5 
−57.5 
−45.7 




M z.max_BN.Mz =
⋅ kNm
M z.min_BN.Mz =
⋅ kNm
Nx.max_BN.Mz =
⋅ kN
N
=
⋅ kN
 −85.7 
 −26.8 
 −55.5  x.min_BN.Mz  −34 
 −89 
 −26.8 
 −57.5 
 −34 








 −89 
 −26.8 
 −57.5 
 −34 
9
2015-02-26
Kontroll stadium I
Beräkning av spänningar från Mmax
(
)
σmaxI M , Na :=
A1 ← Ab + ( α − 1 ) ⋅ As
Ast ←
Auksl if M > 0
Aöksl otherwise
Asc ←
Aöksl if M > 0
Auksl otherwise
d←
d if M > 0
hb − d t otherwise
dt ←
dt if M > 0
hb − d otherwise
xtp ←
Ib ←
hb
Ab ⋅
+ Ast⋅ ( α − 1 ) ⋅ d + Asc⋅ ( α − 1) ⋅ dt
2
Ab + Ast⋅ ( α − 1 ) + Asc⋅ ( α − 1 )
bb ⋅ h b
3
12
2
hb 

+ bb ⋅ h b ⋅  xtp −

2 

(
)
(
)
IAsd ← Ast⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d
IAst ← Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d t
2
2
I1 ← Ib + IAsd + IAst

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ h − x
σct ←
+
( b tp)
A1
Na
σcc ←
A1
I1

 hb

 M + Na⋅  − xtp

2
 ⋅ −x
+
( tp)
I1


 hb



M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na
 + 

 ⋅ d − x  ⋅ α
σs ←
( tp)
 A1
I1


SvarBBK ←
"Nej" if σct > fctd.BH
"Ja" otherwise
SvarEC ←
"Nej" if σct > fctd.EC
"Ja" otherwise
SvarFIB ←
"Nej" if σct > fctd.EC
"Ja" otherwise
 σct σcc σs


SvarBBK SvarEC SvarFIB 
 MPa MPa MPa

10
2015-02-26


Beräkning av spänningar från Mmin
(
)
σminI M , Na , M max , M min :=
A1 ← Ab + ( α − 1 ) ⋅ As
Ast ←
M max
M max
Auksl if
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
M max
M max
Aöksl if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
Asc ←
M max
M max
Aöksl if
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
M max
M max
Auksl if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
d←
M max
M max
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
d if
( h b − d t)
dt ←
dt if
M max
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
M max
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
M max
hb − d if
M max
M max
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
hb
Ab ⋅
+ Ast⋅ ( α − 1 ) ⋅ d + Asc⋅ ( α − 1) ⋅ dt
2
xtp ←
Ib ←
M max
if
Ab + Ast⋅ ( α − 1 ) + Asc⋅ ( α − 1 )
bb ⋅ h b
3
12
hb 

+ bb ⋅ h b ⋅  xtp −

2 

(
)
(
)2
IAsd ← Ast⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d
IAst ← Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d t
2
I1 ← Ib + IAsd + IAst
xcc ←
−xtp if
M max
M min
>0
h b − xtp otherwise
xct ←
−xtp if
M max
M min
<0
hb − xtp otherwise
xs ←
M max
<0
dt − xtp if
M min
d−x
otherwise
11
2
2015-02-26
d − xtp otherwise

 hb


M
+
N
⋅

−
x


a
tp
Na

2
 ⋅ x
σct ←
+
( ct)
A
I
1
1

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ x
σcc ←
+
( cc)
A
I
1
1


 hb




M
+
N
⋅

−
x


a
tp
 Na + 
2
 ⋅ x  ⋅ α
σs ←
( ct)
 A1
I1


σsprick ←
σct if σct > σcc
σcc otherwise
SvarBBK ←
"Nej" if σsprick > fctd.BH
"Ja" otherwise
SvarEC ←
"Nej" if σsprick > fctd.EC
"Ja" otherwise
SvarFIB ←
"Nej" if σsprick > fctd.EC
"Ja" otherwise
 σct σcc σs


SvarBBK SvarEC SvarFIB 
 MPa MPa MPa

Kontroll stadium II
Beräkning av spänningar från Mmax
(
)
12
2015-02-26
(
)
σIImax M , Na :=
Ast ←
Auksl if M > 0
Aöksl otherwise
Asc ←
Aöksl if M > 0
Auksl otherwise
d←
d if M > 0
h b − d t otherwise
dt ←
d t if M > 0
h b − d otherwise
i←1
x ← 0.3⋅ d
while x
AII ← b b ⋅ x + ( α − 1 ) ⋅ Asc + α⋅ Ast
xtp ←
b b ⋅ x⋅
x
2
+ Ast⋅ α⋅ d + Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ d t
AII
3
bb⋅ x
IbII ←
12
x
+ b b ⋅ x⋅  xtp − 
2

(
IAstII ← Ast⋅ α⋅ xtp − d
)
2
2
(
IAscII ← Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d t
)
2
III ← IbII + IAstII + IAscII
σcc ←
hb 

M − Na⋅  d −

2 

 bb⋅ x 

⋅d −
 2 
dt 


+ ( α − 1)  1 −  ⋅ Asc⋅ ( d − d t)

3
x


x
α⋅ Ast + ( α − 1 ) ⋅ Asc +
xny ← −
Na
σcc
bb
...
2
Na 

α⋅ Ast + ( α − 1) ⋅ Asc + σ 
α⋅ Ast⋅ d + ( α − 1 ) ⋅ Asc⋅ d t
cc 

+
+ 2⋅
bb
bb
2
break if x − xny ≤ 0.0001⋅ mm
return ( 1 1 0 ) if i > 1000000
i←i+1
x ← xny


 hb

M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ x − x
+
σcx ←
( tp)
A
I
II
II
13
2015-02-26
AII
III

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ −x
σc ←
+
( tp)
A
I
II


 Na +
σs ←
 AII

σ
 cx σc

 MPa MPa
II

 hb


 M + Na⋅  − xtp

2
 ⋅ d − x  ⋅ α
( tp)
III

σcc
σs xny 

MPa MPa m 
Beräkning av spänningar från Mmin
(
)
σIImin M , Na , M max , M min :=
M max
M max
Auksl if
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
Ast ←
M max
M max
Aöksl if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
M max
M max
Aöksl if
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
Asc ←
M max
M max
Auksl if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
d←
M max
M max
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
d if
( h b − dt)
dt ←
d t if
M max
if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
M min
M max
M max
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
x ← 0.3⋅ d
while x
AII ← b b ⋅ x + ( α − 1 ) ⋅ Asc + α⋅ Ast
b b ⋅ x⋅
x
2
+ Ast⋅ α⋅ d + Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ d t
AII
3
bb⋅ x
12
x
+ b b ⋅ x⋅  xtp − 
2

(
IAstII ← Ast⋅ α⋅ xtp − d
I
< 0 ∧ M max > 0
M max
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
i←1
IbII ←
M min
M max
h b − d if
xtp ←
M max
(
14
)
← A ⋅ (α − 1)⋅ x
2
2
−d
)
2
2015-02-26
(
IAscII ← Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d t
)
2
III ← IbII + IAstII + IAscII
σcc ←
hb 

M − Na⋅  d −

2 

 bb⋅ x 

⋅d −
 2 
dt 


 + ( α − 1)  1 −  ⋅ Asc⋅ ( d − d t)
3
x


x
α⋅ Ast + ( α − 1 ) ⋅ Asc +
xny ← −
Na
σcc
bb
...
2
Na 

α⋅ Ast + ( α − 1) ⋅ Asc + σ 
α⋅ Ast⋅ d + ( α − 1 ) ⋅ Asc⋅ d t
cc 

+
+ 2⋅
bb
bb
2
break if x − xny ≤ 0.0001⋅ mm
return ( 1 1 0 ) if i > 1000000
i←i+1
x ← xny
xcx ← x − xtp
xc ←
−xtp if
M max
M min
>0
h b − xtp otherwise
xs ←
M max
>0
d − xtp if
M min
d t − xtp otherwise

 hb

 M + Na⋅  − xtp

2
 ⋅ x
σcx ←
+
cx
AII
III
Na

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ x
σc ←
+
c
A
I
II

 Na +
σs ←
 AII

 σcx σc

 MPa MPa
II

 hb
 
 M + Na⋅  − xtp 

2
 ⋅ x  ⋅ α
s
III

σcc
σs xny 

MPa MPa m 
Resultat av Stadium I
Resultat av Stadium II
15
2015-02-26
 2.889
 3.001

3.001
ResultatmaxI = 
 2.889
 3.001

 3.001
−3.266 44.922 "Nej" "Nej" "Nej"

 −0 −4.561

 −0 −4.736
"Nej"


"Nej" 
−0 −4.736
ResultatmaxII = 
 −0 −4.561
"Nej" 

 −0 −4.736
"Nej"


"Nej" 
 −0 −4.736
−3.391 46.658 "Nej" "Nej"
−3.391 46.658 "Nej" "Nej"
−3.266 44.922 "Nej" "Nej"
−3.391 46.658 "Nej" "Nej"
−3.391 46.658 "Nej" "Nej"
 −0.452
 −0.474

−0.474
ResultatminI = 
 0.865
 0.865

 0.865
0.24
−9.032 "Ja" "Ja" "Ja"
0.268 −9.488 "Ja" "Ja"
0.268 −9.488 "Ja" "Ja"
−1.063 17.307 "Ja" "Ja"
−1.063 17.307 "Ja" "Ja"
−1.063 17.307 "Ja" "Ja"

"Ja" 

"Ja" 
"Ja" 

"Ja"

"Ja" 
 −0
 −0

−0
ResultatminII = 
 −0
 −0

 −0
4.561 168.132 0.115 
4.736 174.645 0.115 

4.736 174.645 0.115 
4.561 168.132 0.115 


4.736 174.645 0.115 
4.736 174.645 0.115
0.733 0.578 −8.82
0.16
0.62 −9.308 0.152 
0.86
0.62 −9.308 0.152 

−1.458 1.458 47.961 0.123 


−1.458 1.458 47.961 0.123 
−1.458 1.458 47.961 0.123
Totala spänningar från böjning och tryck
Spänningar enligt BBK
Betong
TP 1 Var
TP 2 Var
TP 3 Var
TP 1 Perm
TP 2 Perm
TP 3 Perm
σc.max [MPa]
-4,56
-4,74
-4,74
-4,56
-4,74
-4,74
Armering
σc.min [MPa]
0,24
0,27
0,27
-1,06
-1,06
-1,06
TP 1 Var
TP 2 Var
TP 3 Var
TP 1 Perm
TP 2 Perm
TP 3 Perm
σc_BN.BBK
σs_BN.BBK
MPa
MPa
σs.max [MPa]
168,1
174,6
174,6
168,1
174,6
174,6
σs.min [MPa]
-9,0
-9,5
-9,5
17,3
17,3
17,3
Spänningar enligt EC
Betong
TP 1 Var
TP 2 Var
TP 3 Var
TP 1 Perm
TP 2 Perm
TP 3 Perm
σc.max [MPa]
-4,56
-4,74
-4,74
-4,56
-4,74
-4,74
Armering
σc.min [MPa]
0,24
0,27
0,27
-1,06
-1,06
-1,06
TP 1 Var
TP 2 Var
TP 3 Var
TP 1 Perm
TP 2 Perm
TP 3 Perm
σc_BN.EC
σs_BN.EC
MPa
MPa
16

0.86
σs.max [MPa]
168,1
174,6
174,6
168,1
174,6
174,6
σs.min [MPa]
-9,0
-9,5
-9,5
17,3
17,3
17,3
2015-02-26
Spänningar enligt FIB
Betong
TP 1 Var
TP 2 Var
TP 3 Var
TP 1 Perm
TP 2 Perm
TP 3 Perm
Armering
σc.max [MPa]
-4,56
-4,74
-4,74
-4,56
-4,74
-4,74
σc.min [MPa]
0,24
0,27
0,27
-1,06
-1,06
-1,06
TP 1 Var
TP 2 Var
TP 3 Var
TP 1 Perm
TP 2 Perm
TP 3 Perm
σc_BN.FIB
σs_BN.FIB
MPa
MPa
σs.max [MPa]
168,1
174,6
174,6
168,1
174,6
174,6
Framtagning av σ1 och σ2 för FIB:
(
)
σc.12_BN σc_BN , σs_BN :=
d ⋅ σc_BN
kBN ←
σs_BN
σc_BN +
α
σc_BN ⋅ 300mm 

 σc_BN −
 if kBN > 300mm
kBN


σc.1_BN ←
0MPa
σc.2_BN ← σc_BN
( σc.1_BN
σc.2_BN
(
)
)
Betong
17
σs.min [MPa]
-9,0
-9,5
-9,5
17,3
17,3
17,3
2015-02-26
σc.12_FIB :=
for i ∈ 1 ..
(
rows σc_BN.FIB
)
2
A ← σc.12_BN σc_BN.FIB , σc_BN.FIB 
i, 1
i, 1

σ
←A
σ
←A
i, 1
i, 2

1, 1
1, 2
σ
TP 1 Var
TP 2 Var
TP 3 Var
σc.1_BN.Mz [MPa] σc.2_BN.Mz [MPa]
0,0
4,6
0,0
4,7
0,0
4,7
σc.12_FIB
MPa
18
2015-02-26
Summering spänningar
Enkla metoder
Vid de enkla metoderna kontrolleras endast spänningar från de värsta fallet, alltså det då både max och min beräknas med
de variabla lasterna (i de fall då de variabla minlasterna ger ett värre fall än de permanenta). Följande funktion tar ut endast
de spänningar som kommer från dessa.
rows( σ)
σvar( σ) := for i ∈ 1 ..
2
for j ∈ 1 .. cols( σ)
σvar ← σ
i, j
i, j
σvar
Betong
Armering
 −4.561 0.24 
σc_BBK := σvar( σc_BN.BBK) =  −4.736 0.268  ⋅ MPa


 −4.736 0.268 
 168.132 −9.032 
σs_BBK := σvar( σs_BN.BBK ) =  174.645 −9.488  ⋅ MPa


 174.645 −9.488 
 −4.561 0.24 
σc_EC := σvar( σc_BN.EC) =  −4.736 0.268  ⋅ MPa


 −4.736 0.268 
 168.132 −9.032 
σs_EC := σvar( σs_BN.EC) =  174.645 −9.488  ⋅ MPa


 174.645 −9.488 
 −4.561 0.24 
σc_FIB := σvar( σc_BN.FIB) =  −4.736 0.268  ⋅ MPa


 −4.736 0.268 
 168.132 −9.032 
σs_FIB := σvar( σs_BN.FIB) =  174.645 −9.488  ⋅ MPa


 174.645 −9.488 
Delskademetoden
I delskademetoden ska både fallet med min från variabla och fallet med permanenta minlaster kontrolleras, de delas dock
upp i två matriser. Först transformeras spänningsmatrisen för att passa funktioner längre ner.
∆σs.Del :=
〈1〉
〈2〉
A ← σs_BN.BBK
− σs_BN.BBK
〈1〉
〈2〉
B ← σs_BN.EC − σs_BN.EC
〈1〉
〈2〉
C ← σs_BN.FIB − σs_BN.FIB
for j ∈ 1 .. rows( A)
( T)
T
E
← (B )1 , j
2, j
T
E
← (C )1 , j
3, j
E
1, j
← A 1, j
E
19
2015-02-26
∆σs.Del.Var :=
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.Del
for j ∈ 1 ..
A
i, j
(
)
cols ∆σs.Del
∆σs.Del.Perm :=
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.Del
)
for j ∈ 1 ..
2
← ∆σs.Del
i, j
A
i, j
A
A
Maximala spänningsvidder för armeringen av variabla laster,
Δσs [MPa]
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
Tidsperiod 3
BBK04
177,2
184,1
184,1
Eurokod
177,2
184,1
184,1
Fib Model
177,2
184,1
184,1
∆σs.Del.Var
6
10
Maximala spänningsvidder för armeringen av perm laster,
Δσs [MPa]
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
Tidsperiod 3
BBK04
150,8
157,3
157,3
Eurokod
150,8
157,3
157,3
Fib Model
150,8
157,3
157,3
∆σs.Del.Perm
6
10
20
(
)
cols ∆σs.Del
)
2
← ∆σs.Del
i, j+
(
cols ∆σs.Del
2
)
2015-02-26
Utmattningsberäkningar Längsgående
Längsgående spänningar uppstår på grund av böjning. Betongen kontrolleras för tryck pga böjning och armeringen för
drag ÖK, UK.
Tryck i betong
BBK04
Vid beräkning av tryck i betongen ska tryckhållfastheten reduceras enligt BBK04. Reduceringen beräknas genom att ta fram
förhållandet mellan minsta och största spänningen vid kanten som utsätts för tryck. Detta förhållande sätts sedan in i löken
som en lutning. Där linjen skär antalet lastcykler tas reduceringen, u, fram. Vi väljer att alltid välja den största reduceringen
oberoende från vilken tidsperiod eller huvudlast som snittet kontrolleras mot. Antalet lastcykler sätts till 10 6 vilket är det
värsta fallet. Båda dessa förenklingar är på säkra sidan.
∆M :=
for i ∈ 1 ..
∆ ←
i
(
rows ResultatminI
)
 −0.073 
∆M =  −0.079 


 −0.079 
2
ResultatminI
i, 2
ResultatmaxI
(
i, 2
Vilket ger:
)
∆ := max ∆M = −0.073
∆
u := 0.46
21
2015-02-26
σf1 :=
σf2 :=
for i ∈ 1 .. rows σc_BBK
〈1〉 
σ
 c_BBK  i
〈1〉
σf1 ←
if  σc_BBK  < 0

i
i
fccd.BH⋅ u
〈1〉 
σ
 c_BBK  i
otherwise
fctd.BH
(
)
)
σf2
σf1
 −0.79 
σf1 =  −0.82 


 −0.82 
(
for i ∈ 1 .. rows σc_BBK
〈2〉 
σ
 c_BBK  i
〈2〉
σf2 ←
if  σc_BBK  < 0

i
i
fccd.BH⋅ u
〈2〉 
σ
 c_BBK  i
otherwise
fctd.BH
 0.26 
σf2 =  0.29 


 0.29 
Använd diagram nedan som kontroll. Två negativa tal betyder att kontrollen sker i Tryck-Tryck kvadranten. Två positiva
tal betyder att kontrollen sker i Dragning-Dragning kvadranten. Ett av vardera betyder att kontrollen sker i någon av de
två andra kvadranterna (Drag-tryck)
Punkten ligger inte inom kurvan för n > 10 6 lastcykler. Därmed är bärförmågan mot utmattning INTE OKEJ!
Res B_BBK := "Inte Okej!"
22
2015-02-26
Eurokod
Enkelkontroll
UBet_EC :=
(
for i ∈ 1 .. rows σc_EC
)
〈2〉
0 if − σc_EC  < 0
Ecd.min ←

i
i
〈2〉
− σc_EC 

Ecd.max ←
i
fcd.fat
i
A
← Ecd.max
i
A
← 0.5 + 0.45⋅ Ecd.min
i
1, i
2, i
otherwise
fcd.fat
〈1〉
− σc_EC 

i
A
Resultatc.Bet_EC :=
(
)
for j ∈ 1 .. cols UBet_EC
U
1, j
←
0.9 if fcck ≤ 50MPa
0.8 otherwise
R ←
j
"OK!" if UBet_EC
≤ UBet_EC
∧ UBet_EC
≤U
1, j
1, j
2, j
2, j
"INTE OK!" otherwise
R
 "OK!" 
Resultatc.Bet_EC =  "OK!" 


 "OK!" 
〈1〉
T
 0.757 
U
Bet_EC 

UB_EC :=
=  0.786 
〈2〉 

T
U
0.786 

Bet_EC


Fib model code
Enligt FIB model code får en faktor, ηc, användas för att reducera spänningsvidden i betongen. Faktorn beror på
maxspänningen och spänningen 300 mm ned i tvärsnittet. Vid drag 300 mm ned så sätts det till 0. Spänningarna σ1_F
(min) och σ2_F (max) beräknas ovan.
ηc :=
(
for i ∈ 1 .. rows σc.12_FIB
)
1
A ←
i
1.5 − 0.5⋅
 0.667 
ηc =  0.667 


 0.667 
〈1〉 
σ
c.12_FIB

i
〈2〉 
σ
 c.12_FIB  i
A
23
2015-02-26
Level II
(
ResultatB.FII :=
)
for i ∈ 1 .. rows σc_FIB
R ←
"OK!" if γEd⋅
i
〈1〉 
σ
c_FIB

 i ⋅ ηci < 0.45⋅ fcd.fat.F
"INTE OK!" otherwise
 "OK!" 
ResultatB.FII =  "OK!" 


 "OK!" 
R
(
UB_FII :=
)
for i ∈ 1 .. rows σc_FIB
〈1〉
γEd⋅  σc_FIB  ⋅ ηc

i i
U ←
i
0.45⋅ fcd.fat.F
 0.56 
UB_FII =  0.582 


 0.582 
U
Level III
I level III utnyttjar man ett känt antal cykler, n FII. Då jämförs antalet kända cykler mot hur många cykler till brott NFII.
Antalet kända cykler tas från delskadeberäkningen nedan.
(
rows nTid.bog
n FII.bog :=
∑
)
(
n Tid.bog = 7.785 × 10
n FII.tåg :=
i
i=1
)
rows nTid.tåg
6
∑
i =1
n Tid.tåg = 353865
i
n FII := n FII.bog
NFII :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows σc_FIB
ηc
〈1〉
i
Scd.max ← γEd⋅  σc_FIB  ⋅

i f
i
cd.fat.F
ηc
〈2〉
i
S ← γEd⋅  σc_FIB  ⋅
i

i f
cd.fat.F
Scd.min ←
i
S if S ≤ 0.8
i
i
0.8 otherwise
0.45 + 1.8⋅ Scd.min
i
Y ←
i
1 + 1.8⋅ Scd.min − 0.3⋅  Scd.min 
i
i

logN1 ←
i
8
Y −1
i
logNFII ←
2
⋅  Scd.max − 1

i

logN1 if logN1 ≤ 8
i
i
i
8+
 Scd.maxi − Scd.mini 
 otherwise
Y − Scd.min

i
i


8⋅ ln( 10)
⋅  Y − Scd.min  ⋅ log
Y −1  i
i

i
logNFII
i
NFII ← 10
i
NFII
24
2015-02-26
 1.713 × 1012 



12
NFII = 1.041 × 10 



12 
 1.041 × 10 
(
ResultatB.FIII :=
)
 "OK!" 
ResultatB.FIII =  "OK!" 


 "OK!" 
for i ∈ 1 .. rows σc_FIB
R ←
i
"OK!" if NFII > n FII
i
"INTE OK!" otherwise
R
UB_FIII :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows σc_FIB
U ←
i
 0.000005 
UB_FIII =  0.000007 


 0.000007 
n FII
NFII
i
U
25
2015-02-26
Drag i armering
Om det ligger olika sorters järn i samma snitt så kontrolleras den svagaste. De med lägst bärförmåga vid hänsyn till
utmattning är de med högst diameter och om de är bockade.
I detta fall är de järn som ligger i överkant de mest utsatta och de är nedbockade
Dimensioner
ϕ := ϕÖK.UK = 16⋅ mm
Rarm := Rarm.ϕ16 = 64⋅ mm
BBK04
 177.164 
〈1〉
〈2〉 
∆σs.BBK := σs_BBK − σs_BBK = 184.133  ⋅ MPa


 184.133 
Hållfasthet
Hållfastheten beräknas ut med hänsyn till antalet cykler, diameter o ch bocknin gsrad ien.
( )
∆fst n f = 160⋅ MPa
(
ϕ 
∆fst n f ⋅  1 − 1.5⋅
Rarm 


( )
)
∆fstd ϕ , R arm :=
( )
∆fst n f
γsn
(
γsn
if Rarm > 0
otherwise
)
∆fst_BBK := ∆fstd ϕ , R arm = 83.333⋅ MPa
Resultat
ResultatArm.B :=
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.BBK
R ←
i
)
(
)
"OK!" if ∆σs.BBK < ∆fstd ϕ , Rarm
i
"INTE OK!" otherwise
R
 2.126 
UArm_BBK :=
=  2.21 

∆fstd( ϕ , Rarm) 
 2.21 
∆σs.BBK
26
 "INTE OK!" 
ResultatArm.B =  "INTE OK!" 


 "INTE OK!" 
2015-02-26
Eurokod
 177.164 
〈1〉
〈2〉 
∆σs.EC := σs_EC − σs_EC = 184.133  ⋅ MPa


 184.133 
Enkel metod 1
Hållfasthet
∆σRsk_EC := 70MPa
Resultat
(
ResultatArm_EC :=
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.EC
R ←
i
)
"OK!" if ∆σs.EC < ∆σRsk_EC
i
"INTE OK!" otherwise
 "INTE OK!" 
ResultatArm_EC =  "INTE OK!" 


 "INTE OK!" 
R
 2.531 
UArm_EC :=
=  2.63 

∆σRsk_EC 
 2.63 
∆σs.EC
λ-metoden
Hållfasthet
För N=10^6:
(
)
∆σRsk.d ϕ , Rarm :=


R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
∆σRsk⋅ ( R )
γS.Fat
∆σRsk
γS.Fat
(
2Rarm 
ϕ


if R arm > 0mm
otherwise
)
∆σRsk_EC.λ := ∆σRsk.d ϕ , Rarm = 78.848⋅ MPa
λ-faktorer
λs.1_2m := 0.85
λs.1_20m := 0.7
L = 4.4 m
λs.1 := λs.1_2m + λs.1_20m − λs.1_2m ⋅  log
(
Vol := 13000000
k2 := 9
)
L
− 0.3 = 0.798

 m

 bruttoton 
 år 


Antagen framtida bruttoton/år enligt Håkan Thun
27
2015-02-26
k2
λs.2 :=
Vol
6
= 0.93
25⋅ 10
Nyears := 100
k2
λs.3 :=
Antagen designad livslängd
Nyears
100
=1
λs.4 := 1
λs := λs.1⋅ λs.2⋅ λs.3⋅ λs.4 = 0.743
Resultat
ResultatArm_EC.λ :=
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.EC
R ←
i
)
"OK!" if λs⋅ ∆σs.EC < ∆σRsk_EC.λ
i
"INTE OK!" otherwise
R
 1.668 
UArm_EC.λ :=
=  1.734 

∆σRsk_EC.λ 
 1.734 
λs⋅ ∆σs.EC
FIB model code
 177.164 
〈1〉
〈2〉 
∆σs.FIB := σs_FIB − σs_FIB = 184.133  ⋅ MPa


 184.133 
Hållfasthet
28
 "INTE OK!" 
=  "INTE OK!" 


 "INTE OK!" 
2015-02-26
∆σRsk.ϕ( ϕ) :=
ϕmax ← 40mm
ϕ16 ← 16mm
κ1 ← ϕmax − ϕ16
κ2 ← ∆σRsk.F.40 − ∆σRsk.F.16
∆σRsk.ϕ ←
∆σRsk.F.16 if ϕ ≤ 16mm
κ2
∆σRsk.F.16 + ϕ − ϕ16 ⋅
otherwise
κ1
(
∆σRsk.ϕ1 ←
)


R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
2Rarm 
ϕ


∆σRsk.ϕ⋅ R if Rarm > 0mm
∆σRsk.ϕ otherwise
∆σRsk.ϕ1
∆σRsk.ϕ( ϕ)
∆σRsk_FIBII :=
= 60.652⋅ MPa
γs.Fat⋅ γEd
Level II
ResultatArm_FII :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.FIB
R ←
i
"OK!" if γEd⋅ ∆σs.FIB <
i
∆σRsk.ϕ( ϕ)
"INTE OK!" otherwise
γs.Fat
 "INTE OK!" 
ResultatArm_FII =  "INTE OK!" 


 "INTE OK!" 
R
γEd⋅ ∆σs.FIB
UArm_FIBII :=
∆σRsk.ϕ( ϕ)
 2.921 
=  3.036 


 3.036 
γs.Fat
Level III
Här används en verklig mängd cykler från delskadeanalysen.
6
n FII = 7.79 × 10
Hållfastheten för det specifika antalet cykler tas fram från Wöhlerkurvor enligt FIB tabell 7.4-1 och figur 7.4-2:
29
2015-02-26
∆σRsk.ϕ.III :=
ϕmax ← 40mm
= 117.18⋅ MPa
ϕ16 ← 16mm
∆σRsk.F.16 ← 210MPa
∆σRsk.F.40 ← 160MPa
κ1 ← ϕmax − ϕ16
κ2 ← ∆σRsk.F.40 − ∆σRsk.F.16
∆σRsk.ϕ ←
∆σRsk.F.16 if ϕ ≤ 16mm
κ2
∆σRsk.F.16 + ϕ − ϕ16 ⋅
otherwise
κ1
(
)


R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
∆σRsk.ϕ1 ←
2Rarm 
ϕ


∆σRsk.ϕ⋅ R if Rarm > 0mm
∆σRsk.ϕ otherwise
∆σRsk.ϕ1
∆σRsk.FIII.n( ϕ) :=
k1 ← 5
k2 ← 9
6
Nx ← 10
log_∆σRsk.n ←
(
)
( )
−log n FII + log Nx
k1
(
)
( )
−log n FII + log Nx
k2
 ∆σRsk.ϕ.III 
 if n FII < Nx
Pa


+ log
 ∆σRsk.ϕ.III 
 otherwise
Pa


+ log
log_∆σRsk.n
∆σ ← 10
∆σ⋅ Pa
∆σRsk_FIBIII :=
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
γs.Fat⋅ γEd
= 81.12⋅ MPa
Resultat
ResultatArm_FIII :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.FIB
R ←
i
"OK!" if γEd⋅ ∆σs.FIB <
i
"INTE OK!" otherwise
R
(
)
30
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
γs.Fat
 "INTE OK!" 
ResultatArm_FIII =  "INTE OK!" 


 "INTE OK!" 
2015-02-26
UArm_FIBIII :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.FIB
U ←
i
 2.184 
UArm_FIBIII =  2.27 


 2.27 
γEd⋅ ∆σs.FIB
i
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
γs.Fat
U
Delskadeanalys
Hållfasthet vid N* (N6) från wöhlerkurvor för aktuella armeringsjärn:
Δfst/ΔσRsk
93,8 MPa
78,8 MPa
101,9 MPa
BBK
EC
FIB
 177.164 184.133 184.133 150.825 157.337
∆σs.Del =  177.164 184.133 184.133 150.825 157.337

 177.164 184.133 184.133 150.825 157.337

 ∆σs.Del.Var
, ϕ , Rarm
Pa


∆σRsk.ϕ.Del
6
10
Antalet cykler till brott för ovanstående spänningsvidder:
BBK04
Eurokod
Fib Model
TP 1, Var
25499
17461
62936
Antal cykler till brott, Nti
TP 2,Var TP 3, Var TP 1, Perm TP 2, Perm TP 3, Perm
20414
20414
64494
50545
50545
14398
14398
39047
31608
31608
51894
51894
140740
113925
113925
 ∆σs.Del

, ϕ , R arm
 Pa

Nti
Delskador för vardera tidsperiod:
BBK04
Eurokod
Fib Model
Delskador, DS - Var
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2 Tidsperiod 3
2,7602
7,5340
6,3526
4,0308
10,6823
9,0072
1,1183
2,9637
2,4990
 ∆σs.Del.Var

, ϕ , n Tid.tåg , Rarm
Pa


DS
31
2015-02-26
Delskador, DS - Perm
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2 Tidsperiod 3
24,0084
66,9419
56,4449
39,6550
107,0502
90,2640
11,0019
29,7001
25,0429
BBK04
Eurokod
Fib Model
 ∆σs.Del.Perm

, ϕ , n Tid.bog , Rarm
Pa


DS
Total delskada:
Antar maximal spänningsvidd, alltså med minvärde från tåglast, och antar att antalet cykler är antalet boggieöverfarter:
 ∆σs.Del.Var

DStot.Var.bog := DStot
, ϕ , n Tid.bog , Rarm
Pa


Total delskada
Var - Bog
BBK04
366,228
Eurokod
521,848
Fib Model
144,782
DStot.Var.bog
Antar att den maximala spänningsvidden uppstår en gång per tåg och spänningsvidden mellan permanentlast och maximal
variabellast uppstår vid varje boggieöverfart:
 ∆σs.Del.Var

, ϕ , n Tid.tåg , Rarm
Pa


 ∆σs.Del.Perm

DStot.Perm := DStot
, ϕ , nTid.bog , Rarm
Pa


DStot.Var := DStot
DStotal := DStot.Var + DStot.Perm
BBK04
Eurokod
Fib Model
( DStot.Var
Total delskada
Var - Tåg
Perm - Boggie
16,647
147,395
23,720
236,969
6,581
65,745
DStot.Perm DStotal
Totalt
164,042
260,690
72,326
)
32
2015-02-26
Lastberäkningar tvärgående
Aktuella laster
Vid beräkning av spänningar från skjuvning behövs tvärkraft, normalkraft och moment. Vid växlande tecken antas Vmin
vara 0 och absolutbeloppen används.
Vy.max_T.Vy :=
(
)
(
)
for i ∈ 1 .. rows Indata Vy.Var
〈1〉
A ←  IndataVy.Var 
i

i
A⋅ kN
Vy.min_T.Vy :=
for i ∈ 1 .. rows IndataVy.Var
A ←
i
〈1〉 
 Indata
Vy.Var  i

〈2〉 
 Indata
>0
Vy.Var  i if

〈2〉 
 Indata
Vy.Var  i

A ← 0 otherwise
i
A⋅ kN
〈3〉
Nx.max_T.Vy := IndataVy.Var ⋅ kN
〈4〉
Nx.min_T.Vy := IndataVy.Var ⋅ kN
〈3〉
M z.max_T.Vy := IndataVy.Var ⋅ kNm
〈4〉
M z.min_T.Vy := IndataVy.Var ⋅ kNm
Reducering av tvärkraft nära stöd
Tvärkraften när stöd kan reduceras då tvärkraften antas gå rakt ner till stödet 0,9d från stöd. Därför antas att trafiklasten
inte påverkar snitt nära stöd direkt ovanpå utan från ∆x från stödet. Skillnaden i trafiklasten mellan placering mitt på snittet
och placering ∆x från stöd dras från den maximala tvärkraften.
33
2015-02-26
Indatalasten från BV4 har inte kombinerats och ska dras ner till vad som påverkar en meter strimla:
γψ := 0.8
Snitt: x = 0.2 m
lsprid := 4.5m
Endast trafiklasten vid snittet, fördelad på enmetersstrimla.
(
VTrL_1 :=
)
for i ∈ 1 .. rows VTrL
VTrL kN
i, 1
A ←
i
lsprid
 83.627 
=  93.991  ⋅ kN x1 := 0m


 93.991 
⋅ b b ⋅ γψ
A
Endast trafiklasten vid snittet innan dit Q flyttas fördelad
på enmetersstrimla.
(
VTrL_2 :=
)
for i ∈ 1 .. rows VTrL
VTrL kN
i, 2
A ←
i
lsprid
 61.156 
=  68.8  ⋅ kN x2 := 1.1m


 68.8 
⋅ b b ⋅ γψ
A
Endast trafiklasten vid snittet efter dit Q flyttas fördelad på
enmetersstrimla.
(
VTrL_3 :=
)
for i ∈ 1 .. rows VTrL
VTrL kN
i, 3
A ←
i
lsprid
 54.4 
=  61.156  ⋅ kN x3 := 1.375m


 61.156 
⋅ b b ⋅ γψ
A
Spridning i ballast och balk:
S := 650mm
Avstånd mellan slipers, BVS
a := 200mm
Bredd slipers, BVS
tb = 600⋅ mm
Tjocklek på ballast, Uppmätt
∆l :=
S
2
+
a
2
+
tb − a
2
= 625⋅ mm
∆x := 0.9d + ∆l = 0.918 m
xQ := ∆x +
b ramben
2
Sträckan till den flyttade lasten Q från x=0. (Bredden på
rambenet läggs till.)
= 1.118 m
34
2015-02-26
Den reducverade tvärkraften från trafiklasten vid aktuellt snitt
 60.712 
VTrL_x :=
⋅ ( VTrL_3 − VTrL_2) + VTrL_2 =  68.298  ⋅ kN


x3 − x2
 68.298 
xQ − x2
Den reducerade totala tvärkraften i det aktuella snittet
 121.585 
Vmax.red1 := Vy.max_T.Vy − ( VTrL_1 − VTrL_x) =  129.107  ⋅ kN


 129.107 
Vy.max_T.Vy := Vmax.red1
BBK
Tvärkraftskapacitet beräkningar
Betongens formella skjuvhållfasthet BBK04 3.7.3.2:
 0.23 
=  0.21 

Vy.max_T.Vy 
 0.21 
Vy.min_T.Vy
35
2015-02-26
 0.62 
u Qywöhl :=  1 


 0.62 
As0_böj :=
(
)
if M z.max_T.Vy ≥ 0kNm
1
(
)
otherwise
min Auksl , Auksl.min
min Aöksl , Aöksl.min

ρV := min 0.02 ,

ξ :=
Minsta armeringsarean i balkdelen. Enligt BVS så får
äldre broar som är dimensionerade enligt bronorm 65
eller tidigare utnyttja all längsgående armering.
As0_böj 
bb ⋅ d
 = 0.005

1.4 if d ≤ 0.2m
= 1.274
 1.6 − d  if 0.2m < d ≤ 0.5m


m

 1.3 − 0.4⋅ d  if 0.5m < d ≤ 1.0m


m

BBK04 ekv. 3.7.3.2b
0.9 if d > 1.0m
 0.274 
fQyvd := 0.3ξ⋅ ( 1 + 50⋅ ρV) ⋅ u Qywöhl ⋅ fctd.BH =  0.442  ⋅ MPa


 0.274 
Betongens bärförmåga
 0.028 
η :=  0.027 


 0.027 
Vc.Rd_Vy :=
(
 91.657 
=  146.441  ⋅ kN


 91.713 
)
for i ∈ 1 .. rows Nx.min_T.Vy
Vc ← bb ⋅ d ⋅ fQyvd
i
i
Vp ←
i
Vy.max_T.Vy
i
σcm ←
i
1.2γsn
η
i
−Nx.min_T.Vy
i
Ab
0.3 σcm 

i

Vcw ← b b⋅ d ⋅ u Qywöhl ⋅ fctd.BH +

i
i
1.2γsn 


Vc.Rd_Vy ← min Vc + Vp , Vcw 
i
i
i
 i
Vc.Rd_Vy
Vc.Rd_Vy
36
2015-02-26
Bidrag från lutande tvärsnitt:
Vi.BBK :=
 −2.942 
=  −2.998  ⋅ kN


x − x1
 −2.998 
M z.max_T.Vy h b − hb1
d
 88.714 
VRd.c_BBK := Vc.Rd_Vy + Vi.BBK =  143.443  ⋅ kN


 88.715 
Resultatc_BH.T.Vy :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows Vy.max_T.Vy
∆V ← Vy.max_T.Vy −  Vc.Rd_Vy + Vi.BBK 
i
i
i
i

Resultatc_BH.T.Vy ←
i

 "Betongen klarar skjuvningen!" if ∆Vi < 0 


 "Armeringen behövs!" otherwise

Resultatc_BH.T.Vy
"Armeringen behövs!"



Resultatc_BH.T.Vy = "Betongen klarar skjuvningen!" 


"Armeringen behövs!"


 1.371 
UBV_BBK :=
=  0.9 

Vc.Rd_Vy + Vi.BBK 
 1.455 
Vy.max_T.Vy
37
2015-02-26
EC
Betongkontroll
(
)
Vc.Rd NEd , fcd :=
As ← Auksl if M z.max_BN.Mz > 0
1
As ← Aöksl otherwise

k ← min 2.0 , 1 +






200
1000⋅ d
m
−NEd 

σcp ← min 0.2⋅ fcd ,

Ab


k1 ← 0.15
As 

ρ1 ← min 0.02 ,

bb⋅ d


CRd.c ←
0.18
γC.Fat
1






3
fcck 

σcp  bb d 

Vc.Rd ← CRd.c⋅ k⋅  100⋅ ρ1 ⋅
 + k1 ⋅
⋅
⋅
N
MPa 
MPa mm mm


1
3
2
 fcck 

vmin ← 0.035⋅ k ⋅ 
 MPa 
σcp  b b d

Vc.Rd.min ←  vmin + k1 ⋅

⋅
N
MPa  mm mm

2
(
Vc.Rd ← max Vc.Rd , Vc.Rd.min
)
Vc.Rd
Inverkan av lutande tvärsnitt:
Vi.EC :=
 −2.942 
=  −2.998  ⋅ kN


x − x1
 −2.998 
M z.max_T.Vy hb − h b1
d
Den totala kapaciteten:
VRd.c_EC :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows Nx.max_T.Vy
A ← Vc.Rd Nx.min_T.Vy , fcd.EC + Vi.EC
i
i
i


A
(
)
38
 156.387 
=  156.331  ⋅ kN


 156.331 
2015-02-26
(
Resultatc_EC.Vy :=
)
for i ∈ 1 .. rows VRd.c_EC
UV_EC ←
i
Vy.max_T.Vy
i
VRd.c_EC
i
Vy.min_T.Vy
i
UVmin_EC ← 0.5 + 0.45⋅
i
VRd.c_EC
i
ResultatBetSkj ←
i
"OK! Skjuvarmering krävs ej" if UVmin_EC > UV_EC
i
i
"Skjuvarmering krävs" otherwise
U ←
i
UV_EC
i
UVmin_EC
i
( ResultatBetSkj U )
 "Skjuvarmering krävs" 
Resultatc_EC.Vy
=  "Skjuvarmering krävs" 

1, 1 
 "Skjuvarmering krävs" 
 1.336 
UBV_EC := Resultatc_EC.Vy
=  1.425 

1, 2 
 1.424 
FIB
Betongens bärförmåga
Level I
z := 0.9d
kv.I :=
180
1000 + 1.25⋅
= 0.132
z
mm
fcck
MPa z bb
VRd.c_FIB.T.Vy.I := kv.I⋅
⋅
⋅
⋅ N = 119.348 ⋅ kN
γc.Fat mm mm
Level II
AsFIB :=
Auksl if M z.max_T.Vy ≥ 0kNm
1
Aöksl otherwise
ε x :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows M z.max_T.Vy
Nx.min_T.Vy 
 Mz.max_T.Vyi
i


A ←
⋅
+ Vy.max_T.Vy +
i
2 ⋅ Esk⋅ AsFIB 
z
i
2

1
B ←
i
A if A ≤ 0.003
i
i
0.003 otherwise
B
39
 0.0004 
ε x =  0.0005 


 0.0005 
2015-02-26
d g := 16
32
kdg := max
, 0.75 = 1
16 + d g


 0.244 
kv.II :=
⋅
=  0.24 


1 + 1500⋅ ε x
z
1000 + kdg⋅
0.24 

mm
0.4
1300
fcck
 220.852 
VRd.c_FIB := kv.II⋅
⋅
⋅
⋅ N =  217.491  ⋅ kN


γc.Fat mm mm
 217.491 
MPa
bb
z
Utmattningskontroll
 220.852 
Vref := VRd.c_FIB =  217.491  ⋅ kN


 217.491 
 121.585 
Vy.max_T.Vy =  129.107  ⋅ kN


 129.107 
Vy.max_T.Vy 

logN := 10⋅  1 −

Vref


logN
NFIB := 10
 4.495 
=  4.064 


 4.064 
 31242 
=  11583 


 11583 
n FII = 7785022
Resultatc_FIB.Vy :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows NFIB
R ←
i
"OKEJ!" if n FII < NFIB
i
"INTE OKEJ!" otherwise
R
 249.183 
UBV_FIB :=
=  672.125 

NFIB 
 672.125 
n FII
40
 "INTE OKEJ!" 
Resultatc_FIB.Vy =  "INTE OKEJ!" 


 "INTE OKEJ!" 
2015-02-26
Sammanställning Resultat
Enkel kontroll
Betong i tryck
EC
0,786
FIB II
0,582
FIB III
0,000
BBK
83,3
2,210
EC
70,0
2,630
EC λ
78,8
1,734
FIB II
60,7
3,036
BBK
88,7
1,455
EC
156,3
1,424
FIB
217,5
672,125
ΔσEd
BBK
-
EC
-
FIB II
-
FIB III
-
ΔσRd
U
-
-
-
-
U
BBK
Inte Okej!
Armering i drag
ΔσRd
U
FIB III
81,1
2,270
Skjuvning
VRdc
U
Skjuvning, armering
Delskada
Delskada böjning, drag i armering
Var
Perm
Tot
BBK
16,647
147,395
164,042
EC
23,720
236,969
260,690
FIB
6,581
65,745
72,326
Delskada skjuvning, armering
Var
Perm
Tot
BBK
-
EC
-
FIB
-

∆fst_BBK ∆σRsk_EC ∆σRsk_EC.λ ∆σRsk_FIBII ∆σRsk_FIBIII
 Res B_BBK UB_EC UB_FII UB_FIII
k
k
k
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa

41
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
BILAGA C
Utmattningsberäkning 4838_med tvärkraftsarmering_Snitt 101
Dessa beräkningar är gjorde på snitt 101 vilket är snittet närmast kanten, maximal tvärkraft. Data hämtat från RM.
Utmattningsberäkningarna är avgränsade till broplattan. Utgår från BVS 583.11 för indata laster o ch material
parametrar. Utmattningen är beräknad enligt BKR, EC och FIB.
Material parametrar
Beräknats enligt BVS.583.11 .
Betong K40
K50
K45
fcck := 28.5MPa
fcck.ö := 35.5MPa
fcck.u := 32MPa
fcck.just := 1.15⋅ fcck = 32.775⋅ MPa
fctk.ö := 2.25MPa
fctk.u := 2.1MPa
Eck.ö := 34GPa
Eck.u := 33GPa
fctk.just := fctk.u +
Eck :=
(fcck.just − fcck.u)⋅ ( fctk.ö − fctk.u)
(fcck.ö − fcck.u)

Eck.just ← Eck.u +

Eck ←
= 2.133⋅ MPa
(fcck.just − fcck.u)⋅ ( Eck.ö − Eck.u)

(fcck.ö − fcck.u)

Eck.u if Eck.just − Eck.u < Eck.ö − Eck.just
Eck.ö otherwise
Eck = 33⋅ GPa
φkryp := 2
Ec :=
Eck
1 + φkryp
= 11⋅ GPa
Armering K500S
Esk := 200GPa
Materialparametrar BKR
α :=
Betong
γcn := 1.2
γcm := 1.5
fcck.just
fccd.BH :=
= 18.208⋅ MPa
γcn⋅ γcm
fctk.just
fctd.BH :=
= 1.185⋅ MPa
γcn⋅ γcm
Armering
γsn := 1.2
1 av 52
Esk
Ec
= 18.182
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Materialparametrar Eurokod 2
Betong
γC.Fat := 1.5
γCE := 1.2
fcck.just
fcd.EC :=
= 21.85⋅ MPa
γC.Fat
fctk.just
fctd.EC :=
= 1.422⋅ MPa
γC.Fat
Utmattning:
s := 0.25
För normalhärdande betong (EC2 3.1.2(6))
t0 := 28
t0 Antagen tid för första pålastning av utmattningslast
  28  
 t0  
βcc := e     = 1
s⋅ 1− 
0.5
k1 := 0.85
Rekommenderat värde för N=10^6 cykler
fcck.just 

fcd.fat := k1 ⋅ βcc ⋅ fcd.EC⋅  1 −
 = 16.138⋅ MPa
250MPa 

Armering
γS.Fat := 1.15
Esd.EC := Esk = 200⋅ GPa
∆σRsk := 162.5MPa
Materialparametrar FIB model code
γEd := 1.0
Betong
γc.Fat := 1.5
fcd.fat.F :=
fck.0 ← 10MPa
fcck.just 


fcck.just⋅  1 − 25⋅ f

ck.0 


0.85⋅ βcc ⋅
γc.Fat
Armering
γs.Fat := 1.15
Vid 10^8 cykler:
∆σRsk.F.16 := 125MPa
∆σRsk.F.40 := 95MPa
2 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
1. Geometri
L := 4360mm
Brospann
Betong
b b := 1000mm
bredd, räknas per meter
h b := 370mm
Tvärsnittets höjd
Lb := 4360mm
Längd, längsled
2
Ab := bb ⋅ h b = 0.37 m
Iz :=
bb ⋅ h b
12
3
= 4.221 × 10
Tvärsnittets area
−3
4
m
Trögh etsmo ment
3 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Armering
ϕ12 := 12mm
ϕ10 := 10mm
2
 ϕ12 
2
Aϕ.12 := 
 ⋅ π = 113.097⋅ mm
 2 
2
 ϕ10 
2
Aϕ.10 := 
 ⋅ π = 78.54⋅ mm
 2 
2
Längsgåendearmeringsarea för överkant balk
2
Längsgåendearmeringsarea för underkant balk
Aöksl := 848mm
Auksl := 838mm
2
Asvb := 196.3mm
Bygelarmeringsarea per meter
As := Aöksl + Auksl
2
As0_böj := 848mm
Minsta arean i balkdelen, måste kolla med M0 vart snittet
ligger och hämta arean från det snittet
tTB := 35mm
Täckande betongskikt på brobaneplatta enligt ritning.
ϕByglar := 10mm
Diameter på bygelarmeringen
Rarm.Byglar := 64mm
Radien på bockningen för byglarna
sbyglar := 200mm
Avståndet mellan byglarna
ϕ12
d := h b − tTB −
= 329⋅ mm
2
Avstånd mellan trycktkant till
dragarmeringenstyngdpunkt
d t := tTB +
ϕ12
2
= 41⋅ mm
z := 0.9⋅ d
θfat :=
Armeringsarean på underkant armering i drag
32.33⋅ 2π
360
1
cotθfat :=
= 1.58
tan θfat
( )
β1 :=
45⋅ 2 π
Spetsiga vinkeln mellan skjuvsprickan och underkant.
Omräknad till radianer.
Maximala vinkeln enligt EC 1992-1-1, Eq (6.65)
Bygelarmeringens spetsiga vinkel, omräknad till radianer
360
4 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Indata laster
De laster som bron utsätts för är permanenta-, över- och trafiklaster. Det permaneta- och överlasterna är lika stora över
brons hela livslängd. Trafiklasterna har där emot varierat i fyra olika perioder med skillnader som olika vagnar och
axelvikter. Detta ger olika stora moment, normarkraft och tvärkraft i alla snitt beroende på vilken tidsperiod som beräknas.
Moment, normal- och tvärkrafterna som bron utsätts för beräknas i programmet RM. Programmet plockar därefter fram
max och min data för varje elemet (början och slut) då tåget är placerat olika. Då tex momentet är max så tar den även fram
det tillhörande normal- och tvärkraften för det max momentet. När det nedan i rapporten skrivs att tex. "Mz huvudlast" så
menas det att den visar det maximla och minimala momenet i snittet med de tillhörande normal- och tvärkrafter när det
inträffar.
Laster för momentberäkning
IndataMz1 :=
Mzmax [kNm] Mzmin [kNm] Nxmax [kN] Nxmin [kN]
Tidsperiod 1
-50,5
-5,8
-36,4
-31,3
Tidsperiod 2
-50,5
-5,8
-36,4
-31,3
IndataMz2 :=
V ymax [kN] V ymin [kN]
Mxmax [kNm] Mxmin [kNm]
Tidsperiod 1
-82,1
-78,0
0,0
0,0
Tidsperiod 2
-82,1
-78,0
0,0
0,0
Laster för tvärkraftsberäkning
IndataVy1 :=
V ymax [kN] V ymin [kN]
Nmax [kN]
Nmin [kN]
Tidsperiod 1
-142,4
-37,1
-36,0
-31,3
Tidsperiod 2
-142,4
-37,1
-36,0
-31,3
IndataVy2 :=
Mxmax [kNm] Mxmin [kNm] Mzmax [kNm] Mzmin [kNm]
Tidsperiod 1
0,0
0,0
-39,9
-5,8
Tidsperiod 2
0,0
0,0
-39,9
-5,8
Trafiklast för reducering av tvärkraft vid stöd
Vred :=
x
0,180
1,363
1,635
V Tidsperiod 1 V Tidsperiod 2
-523,6
-332,0
-287,0
-523,6
-332,0
-287,0
5 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Utmattningsberäkningar allmänt
Använda referenser
Reference:P:\RE_STO\Fack\Bro\Examensarbete\Utmattning i betongbroar\Beräkningar\Wöhlerkurvor.xmcd(R)
BBK04
Bestämmande längd
Lr1 := 900mm + 1000mm + 1780mm −
379mm
2
Lr2 := 1000mm + 1000mm + 1625mm −
Lp := 4000mm +  2⋅
361mm
2
Ramben 2, till höger på ritning
2
360mm 

Ramben 1, till vänster på ritning


Spännvidd
 Lr1 + Lr2 + Lp 
 = 4.895 m
3


Lbest := 1.3
Tågtyp
Tågtyp := "Övriga"
5
κ :=
6
if Tågtyp = "Malmtåg"
BVS 2.6.2
2
if Tågtyp = "Övriga"
3
Hållfasthet
( )
∆fst n f :=
5
400MPa if n f < 10
5
270MPa if 10 ≤ nf < 6⋅ 10
5
200MPa if 6 ⋅ 10 ≤ n f < 10
6
180MPa if 10 ≤ nf < 2⋅ 10
5
6
6
6
160MPa if 2 ⋅ 10 ≤ n f
Lastcykler
Enligt BVS ska ett visst antal lastcykler kontrolleras beroende på faktorn κ och bestämmande längd, Lbest
n f :=
n←
6
10
if Lbest > 12m
6
10⋅ 10
υ←
6
= 3 × 10
BVS 2.6.2
otherwise
1 if κ >
5
6
0.6 if 1 > κ >
2
BBK04 tabell 2.5.3b
3
0.3 otherwise
nf ← n⋅ υ
nf
6 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Delskadeanalysen
Lastdata från Håkan Thun över mail den 10/12 -14.
Bron byggd 1995 därför innefattas i två perioder.
 225838 
 1000⋅ tonne⋅ g
4
B := 


 190425 
Pm :=
 180 
  kN
 180 
Antalet axelpassager för vardera tidsperiod.
n Tid.axel :=
for i ∈ 1 .. rows( B )
B
n Tid ← 1.1
i
P0 :=
 50 
  kN
 50 
a :=
4 
 
4 
Antalet passager av två närliggande boggier för vardera
tidsperiod.
n Tid.bog := for i ∈ 1 .. rows( B)
B
i
nTid ← 1.1
Pm
i
i
nTid
i
Pm ⋅ a
i i
n Tid
Antalet verkliga cykler, nTid
Tidsperiod 1
3383591
Tidsperiod 2
11412080
Tidsperiod 3
Tidsperiod 4
Antalet verkliga cykler, nTid
Tidsperiod 1
845898
Tidsperiod 2
2853020
Tidsperiod 3
Tidsperiod 4
n Tid.axel
n Tid.bog
7 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Antalet passager av två närliggande boggier för vardera
tidsperiod.
n Tid.tåg := for i ∈ 1 .. rows( B)
B
nTid ←
i
i
Pm ⋅ a ⋅ 20
i i
n Tid
Antalet verkliga cykler, nTid
Tidsperiod 1
38450
Tidsperiod 2
129683
Tidsperiod 3
Tidsperiod 4
n Tid.tåg
n Tid := n Tid.bog
8 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Spänningsvidd
Böjning och normalkraft (BN)
Teckenförklaring:
I beräkningarna nedan är beteckningarna som i figur ovan. Då M min har ett annat tecken än Mmax är beteckningarna kvar
trots att spänningarna byter tecken. Till exempel i fallet ovan på ovansidan betecknas alltid spänningen i betongen σcc
eftersom M max ger ett tryck på ovansidan, trots att det uppstår ett drag i betongen av M min.
Akutuella laster
〈1〉
M z.max_BN.Mz := IndataMz1 ⋅ kNm
〈3〉
Nx.max_BN.Mz := IndataMz1 ⋅ kN
〈2〉
M z.min_BN.Mz := IndataMz1 ⋅ kNm
〈4〉
Nx.min_BN.Mz := IndataMz1 ⋅ kN
9 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Kontroll stadium I
Beräkning av spänningar från Mmax
(
)
σmaxI M , Na :=
A1 ← Ab + ( α − 1 ) ⋅ As
Ast ←
Auksl if M > 0
Aöksl otherwise
Asc ←
Aöksl if M > 0
Auksl otherwise
d←
d if M > 0
hb − d t otherwise
dt ←
dt if M > 0
hb − d otherwise
xtp ←
Ib ←
hb
Ab ⋅
+ Ast⋅ ( α − 1 ) ⋅ d + Asc⋅ ( α − 1) ⋅ dt
2
Ab + Ast⋅ ( α − 1 ) + Asc⋅ ( α − 1 )
bb ⋅ h b
3
12
2
hb 

+ bb ⋅ h b ⋅  xtp −

2 

(
)
(
)
IAsd ← Ast⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d
IAst ← Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d t
2
2
I1 ← Ib + IAsd + IAst

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ h − x
σct ←
+
( b tp)
I
A
1
1

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ −x
σcc ←
+
( tp)
A
I
1
1


 hb



M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na
 + 

 ⋅ d − x  ⋅ α
σs ←
( tp)
 A1
I1


SvarBBK ←
"Nej" if σct > fctd.BH
"Ja" otherwise
SvarEC ←
"Nej" if σct > fctd.EC
"Ja" otherwise
SvarFIB ←
"Nej" if σct > fctd.EC
"Ja" otherwise
 σct σcc σs


SvarBBK SvarEC SvarFIB 
 MPa MPa MPa

10 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Beräkning av spänningar från Mmin
(
)
σminI M , Na , M max , M min :=
A1 ← Ab + ( α − 1 ) ⋅ As
Ast ←
M max
M max
Auksl if
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
M max
M max
Aöksl if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
Asc ←
M max
M max
Aöksl if
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
M max
M max
Auksl if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
d←
M max
d if
M min
( h b − d t)
dt ←
dt if
< 0 ∧ M max < 0
M max
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
M max
M max
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
M max
M max
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
Ab + Ast⋅ ( α − 1 ) + Asc⋅ ( α − 1 )
bb ⋅ h b
12
3
2
hb 

+ bb ⋅ h b ⋅  xtp −

2 

(
)
(
)
IAsd ← Ast⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d
IAst ← Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d t
2
2
I1 ← Ib + IAsd + IAst
xcc ←
−xtp if
M max
M min
>0
h b − xtp otherwise
−xtp if
M max
M min
<0
hb − xtp otherwise
xs ←
M min
hb
Ab ⋅
+ Ast⋅ ( α − 1 ) ⋅ d + Asc⋅ ( α − 1) ⋅ dt
2
xtp ←
xct ←
M max
M max
if
hb − d if
Ib ←
> 0 ∧ M max > 0 ∨
M max
<0
dt − xtp if
M min
d − xtp otherwise
11 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
d − xtp otherwise

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ x
σct ←
+
( ct)
I
A
1
1

 hb

 M + Na⋅  − xtp

2
 ⋅ x
σcc ←
+
( cc)
I1
A1
Na


 hb





M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na






σs ←
+
⋅ ( xct) ⋅ α
 A1

I1


σsprick ←
σct if σct > σcc
σcc otherwise
SvarBBK ←
"Nej" if σsprick > fctd.BH
"Ja" otherwise
SvarEC ←
"Nej" if σsprick > fctd.EC
"Ja" otherwise
SvarFIB ←
"Nej" if σsprick > fctd.EC
"Ja" otherwise
 σct σcc σs


SvarBBK SvarEC SvarFIB 
 MPa MPa MPa

12 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Kontroll stadium II
Beräkning av spänningar från Mmax
(
)
σIImax M , Na :=
Ast ←
Auksl if M > 0
Aöksl otherwise
Asc ←
Aöksl if M > 0
Auksl otherwise
d←
d if M > 0
h b − d t otherwise
dt ←
d t if M > 0
h b − d otherwise
i←1
x ← 0.3⋅ d
while x
AII ← b b ⋅ x + ( α − 1 ) ⋅ Asc + α⋅ Ast
xtp ←
b b ⋅ x⋅
x
2
+ Ast⋅ α⋅ d + Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ d t
AII
3
bb⋅ x
2
x

IbII ←
+ b b ⋅ x⋅  xtp − 
12
2

(
IAstII ← Ast⋅ α⋅ xtp − d
)
2
(
IAscII ← Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d t
)
2
III ← IbII + IAstII + IAscII
σcc ←
hb 

M − Na⋅  d −

2 

 bb⋅ x 

⋅d −
 2 
x

3


+ ( α − 1)  1 −
α⋅ Ast + ( α − 1 ) ⋅ Asc +
xny ← −
dt 

 ⋅ Asc⋅ ( d − d t)
x

Na
σcc
bb
...
2
Na 

α⋅ Ast + ( α − 1) ⋅ Asc + σ 
α⋅ Ast⋅ d + ( α − 1 ) ⋅ Asc⋅ d t
cc 

+
+ 2⋅
bb
bb
2
break if x − xny ≤ 0.0001⋅ mm
return ( 1 1 0 ) if i > 1000000
i←i+1
x ← xny
13 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
x ← xny

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ x − x
σcx ←
+
( tp)
AII
Na
σc ←
AII
III

 hb

 M + Na⋅  − xtp

2
 ⋅ −x
+
( tp)


 Na +
σs ←
 AII

 σcx σc

 MPa MPa
III

 hb


 M + Na⋅  − xtp

2
 ⋅ d − x  ⋅ α
( tp)
III

σcc
σs xny 

MPa MPa m 
14 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Beräkning av spänningar från Mmin
(
)
σIImin M , Na , M max , M min :=
M max
M max
Auksl if
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
Ast ←
M max
M max
Aöksl if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
M max
M max
Aöksl if
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
Asc ←
M max
M max
Auksl if
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
d←
M max
M max
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
d if
( h b − dt)
dt ←
d t if
M max
M max
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
if
M max
M max
> 0 ∧ M max > 0 ∨
< 0 ∧ M max < 0
M min
M min
h b − d if
M max
M max
> 0 ∧ M max < 0 ∨
< 0 ∧ M max > 0
M min
M min
i←1
x ← 0.3⋅ d
while x
AII ← b b ⋅ x + ( α − 1 ) ⋅ Asc + α⋅ Ast
xtp ←
b b ⋅ x⋅
x
2
AII
3
IbII ←
+ Ast⋅ α⋅ d + Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ d t
bb⋅ x
12
x
+ b b ⋅ x⋅  xtp − 
2

(
IAstII ← Ast⋅ α⋅ xtp − d
)
2
2
(
IAscII ← Asc⋅ ( α − 1 ) ⋅ xtp − d t
)
2
III ← IbII + IAstII + IAscII
σcc ←
hb 

M − Na⋅  d −

2 

 bb⋅ x 

⋅d −
 2 
dt 


+ ( α − 1)  1 −  ⋅ Asc⋅ ( d − d t)

3
x


x
α⋅ Ast + ( α − 1 ) ⋅ Asc +
xny ← −
bb
15 av 52
Na
σcc
...
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
b
2
Na 

α⋅ Ast + ( α − 1) ⋅ Asc + σ 
α⋅ Ast⋅ d + ( α − 1 ) ⋅ Asc⋅ d t
cc 

+
+ 2⋅
bb
2
break if x − xny ≤ 0.0001⋅ mm
return ( 1 1 0 ) if i > 1000000
i←i+1
x ← xny
xcx ← x − xtp
xc ←
−xtp if
M max
M min
>0
h b − xtp otherwise
xs ←
M max
>0
d − xtp if
M min
d t − xtp otherwise

 hb

 M + Na⋅  − xtp

2
 ⋅ x
σcx ←
+
cx
AII
III
Na

 hb


M
+
N
⋅
a  2 − xtp
Na


 ⋅ x
σc ←
+
c
AII

 Na +
σs ←
 AII

 σcx σc

 MPa MPa
III

 hb
 
 M + Na⋅  − xtp 

2
 ⋅ x  ⋅ α
s
III

σcc
σs xny 

MPa MPa m 
16 av 52
bb
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Resultat av Stadium I
Resultat av Stadium II
 1.847 −2.03 25.766 "Nej" "Nej" "Nej" 

 1.847 −2.03 25.766 "Nej" "Nej" "Nej" 
Res maxII = 
 0.144 −0.301 2.611 "Ja" "Ja" "Ja" 


 0.144 −0.301 2.611 "Ja" "Ja" "Ja" 
Res minII =
Res maxI = 
Res minI =
 0 −3.602 3.602 177.931 0.089 

 0 −3.602 3.602 177.931 0.089 
 −0 −0.399 0.399 7.16 0.166 


 −0 −0.399 0.399 7.16 0.166 
Totalt
Spänningar enligt BBK
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
σc.max [MPa]
-3,60
-3,60
σc.min [MPa]
-0,30
-0,30
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
σs.max [MPa]
177,9
177,9
σs.min [MPa]
2,6
2,6
σs.max [MPa]
177,9
177,9
σs.min [MPa]
2,6
2,6
σs.max [MPa]
177,9
177,9
σs.min [MPa]
2,6
2,6
σs_BN.BBK
σc_BN.BBK
MPa
MPa
Spänningar enligt EC
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
σc.max [MPa]
-3,60
-3,60
σc.min [MPa]
-0,30
-0,30
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
σs_BN.EC
σc_BN.EC
MPa
MPa
Spänningar enligt FIB
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
σc_BN.FIB
σc.max [MPa]
-3,60
-3,60
σc.min [MPa]
-0,30
-0,30
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
σs_BN.FIB
MPa
MPa
17 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Framtagning av σ1 och σ2 för FIB:
(
)
σc.12_BN σc_BN , σs_BN :=
d ⋅ σc_BN
kBN ←
σs_BN
σc_BN +
α
σc.1_BN ← σc_BN
σc.2_BN ←
( σc.1_BN
σc.12_BN.Mz :=
(
σc_BN ⋅ 300mm 

 σc_BN −
 if kBN > 300mm
kBN


0MPa
σc.2_BN
for i ∈ 1 .. rows σc_BN.FIB
)
)
A ← σc.12_BN σc_BN.FIB , σc_BN.FIB 
i, 1
i, 1

σ
←A
σ
←A
i, 1
i, 2

1, 1
1, 2
σ
σc.1_BN.Mz [MPa] σc.2_BN.Mz [MPa]
Tidsperiod 1
3,60
0,00
Tidsperiod 2
3,60
0,00
σc.12_BN.Mz
MPa
18 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Summering spänningar
Betong
Spänningar för tryck i betongen från böjning i den värsta tidsperioden. I detta snitt uppstår trycket i underkant.
BBK
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2 Mz huvud
σc.max [Mpa]
-3,60
-3,60 MPa
σc.min [Mpa]
-0,30
-0,30 MPa
σc.BBK
EC
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2 Mz huvud
σc.max [Mpa]
-3,60
-3,60 MPa
σc.min [Mpa]
-0,30
-0,30 MPa
σc.EC
FIB
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2 Mz huvud
σc.max [Mpa]
-3,60
-3,60 MPa
σc.min [Mpa]
-0,30
-0,30 MPa
σc.FIB
Framplockning av σ1 och σ2 för betongkontroll enligt fib model code. Samma huvudlast och tidsperiod som ovan
används.
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2 Mz huvud
σc.max [Mpa]
3,60
3,60 MPa
σc.min [Mpa]
0,00
0,00 MPa
σ12_F
19 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Längsgående armering
Spänningar i dragarmering som resultat av böjning. (Dragarmering vid M.max) I detta fall överkantsarmeringen
Enkla metoder
BBK
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
σs.max [Mpa]
177,93
177,93
σs.min [Mpa]
2,61
2,61
σs.BBK
EC
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
σs.max [Mpa]
177,93
177,93
σs.min [Mpa]
2,61
2,61
σs.EC
FIB
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
σs.max [Mpa]
177,93
177,93
σs.min [Mpa]
2,61
2,61
σs.FIB
Delskademetoden
Maximala spänningsvidder för armeringen, Δσs [MPa]
Metod
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
BBK04
175,32
175,32
Eurokod
175,32
175,32
Fib Model
175,32
175,32
∆σs.Del
6
10
20 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Utmattningsberäkningar Längsgående
Längsgående spänningar uppstår på grund av böjning. Betongen kontrolleras för tryck pga böjning och armeringen för
drag ÖK.
Tryck i betong
BBK04
Vid beräkning av tryck i betongen ska tryckhållfastheten reduceras enligt BBK04. Reduceringen beräknas genom att ta
fram förhållandet mellan minsta och största spänningen vid kanten som utsätts för tryck. Detta förhållande sätts sedan in i
löken som en lutning. Där linjen skär antalet lastcykler tas reduceringen, u, fram. Vi väljer att alltid välja den största
reduceringen oberoende från vilken tidsperiod eller huvudlast som snittet kontrolleras mot. Antalet lastcykler sätts till 10 6
vilket är det värsta fallet. Båda dessa förenklingar är på säkra sidan.
(
∆M :=
for i ∈ 1 .. rows Res minI
∆ ←
i
Res minI
 0.148 

 0.148 
=
i, 2
Res maxI
i, 2
∆
Vilket ger:
)
 0.148 
∆M = 

 0.148 
u := 0.62
21 av 52
(
)
∆ := min ∆M = 0.148
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
σf :=
(
2015-01-09
for i ∈ 1 .. cols σc.BBK
σf1 ←
i
)
σc.BBK MPa
3, i
fccd.BH⋅ u
σc.BBK ⋅ MPa
3, i
fctd.BH
σf2 ←
i
σc.BBK ⋅ MPa
4, i
fccd.BH⋅ u
σc.BBK ⋅ MPa
4, i
fctd.BH
A
← σf1
i
A
← σf2
i
i, 1
i, 2
A
BBK04 figur 2.4.5:
=
 −0.319 −0.027 


 −0.319 −0.027 
if σc.BBK < 0
3, i
otherwise
if σc.BBK < 0
4, i
otherwise
Använd diagram nedan som kontroll.
Två negativa tal betyder att kontrollen sker i Tryck-Tryck kvadranten
Två positiva tal betyder att kontrollen sker i Dragning-Dragning kvadranten
Ett av vardera betyder att kontrollen sker i någon av de två andra kvadranterna (Drag-tryck)
Punkten ligger inom kurvan för 10 6 lastcykler. Därmed är bärförmågan mot utmattning OKEJ!
22 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Eurokod
Enkelkontroll
UBet_EC :=
(
)
for i ∈ 1 .. cols σc.EC
Ecd.min ←
=
0 if −σc.EC < 0
4, i
−σc.EC
⋅ MPa
4, i
otherwise
fcd.fat
Ecd.max ←
−σc.EC ⋅ MPa
3, i
fcd.fat
A
← Ecd.max
A
← 0.5 + 0.45⋅ Ecd.min
1, i
2, i
 0.223 0.223 


 0.508 0.508 
A
Resultatc.Bet_EC :=
U←
0.9 if fcck ≤ 50MPa
0.8 otherwise
(
)
for i ∈ 1 .. cols UBet_EC
A ← "OK!" if UBet_EC ≤ UBet_EC ∧ UBet_EC ≤ U
i
1, i
2, i
2, i
"INTE OK!" otherwise
A
Resultatc.Bet_EC =
 "OK!" 


 "OK!" 
〈1〉
T
U
Bet_EC 
 0.439 

UB_EC :=
=
〈2〉  0.439 
T
U

 Bet_EC 
23 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Fib model code
Enligt FIB model code får en faktor, ηc, användas för att reducera spänningsvidden i betongen. Faktorn beror på
maxspänningen och spänningen 300 mm ned i tvärsnittet. Vid drag 300 mm ned så sätts det till 0. Spänningarna σ1_F
(min) och σ2_F (max) beräknas ovan.
ηc :=
(
for i ∈ 1 .. cols σ12_F
)
=
 0.667 


 0.667 
1
A ←
i
1.5 − 0.5⋅
σ12_F
4, i
σ12_F
3, i
A
Level II
(
ResultatB.FI :=
)
for i ∈ 1 .. cols σc.FIB
=
A ← "OK! " if γEd⋅ σc.FIB ⋅ MPa ⋅ ηc < 0.45⋅ fcd.fat.F
i
3, i
i
"INTE OK!" otherwise
A
UB_FI :=
(
)
for i ∈ 1 .. cols σc.FIB
A ←
i
γEd⋅ σc.FIB ⋅ MPa ⋅ ηc
3, i
i
=
 0.331 


 0.331 
0.45⋅ fcd.fat.F
A
24 av 52
 "OK! " 


 "OK! " 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Level III
I level III utnyttjar man ett känt antal cykler, n FII. Då jämförs antalet kända cykler mot hur många cykler till brott NFII.
Antalet kända cykler tas från delskadeberäkningen nedan.
(
rows nTid
n FII :=
∑
)
n Tid = 3698918
i
i =1
NFII :=
(
)
for i ∈ 1 .. cols σc.FIB
=
ηc
i
Scd.max ← γEd⋅ σc.FIB ⋅ MPa ⋅
i
3, i
fcd.fat.F
ηc
Scd.min ←
i
i
S ← γEd⋅ σc.FIB ⋅ MPa ⋅
4, i
fcd.fat.F
S if S ≤ 0.8
0.8 otherwise
0.45 + 1.8⋅ Scd.min
i
Y ←
i
1 + 1.8⋅ Scd.min − 0.3⋅  Scd.min 
i
i

logN1 ←
i
8
Y −1
i
logNFII ←
2
⋅  Scd.max − 1

i

logN1 if logN1 ≤ 8
i
i
i
 Scd.maxi − Scd.mini 
 otherwise
⋅  Y − Scd.min  ⋅ log
8+
Y − Scd.min
Y −1  i
i


i
i
i


8⋅ ln( 10)
logNFII
NFII ← 10
i
i
NFII
ResultatB.FII :=
(
for i ∈ 1 .. rows NFII
)
=
A ← "OK!" if NFII > n FII
i
i
A ← "INTE OK!" if NFII ≤ n FII
i
i
A
 3.898 × 10− 10 

UB_FII :=
=
NFII 
− 10 
 3.898 × 10 
n FII
25 av 52
 "OK!" 


 "OK!" 
 9.49 × 1015 



15 
 9.49 × 10 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Drag i armering
Drag i armering kontrolleras i ÖK. Om det ligger olika sorters järn i samma snitt så kontrolleras den svagaste. De med
lägst bärförmåga vid hänsyn till utmattning är de med högst diameter.
ÖK
Dimensioner
ϕ := ϕ12 = 12⋅ mm
Rarm := 64mm
BBK04
(
∆σs.BBK :=
for i ∈ 1 .. cols σs.BBK
)
=
∆σs.BBK ← σs.BBK MPa − σs.BBK MPa
i
3, i
4, i
 175.32  ⋅ MPa


 175.32 
∆σs.BBK
Hållfasthet
Hållfastheten beräknas ut med hänsyn till antalet cykler, diameter o ch bocknin gsrad ien.
( )
∆fst n f = 160⋅ MPa
(
ϕ 
∆fst n f ⋅  1 − 1.5⋅
Rarm 


( )
)
∆fstd ϕ , R arm :=
γsn
( )
∆fst n f
otherwise
γsn
(
if Rarm > 0
)
∆fst_BBK := ∆fstd ϕ , R arm = 95.833⋅ MPa
Resultat
ResultatArm.B := Res ←
(
)
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.BBK
=
(
)
A ← "OK!" if ∆σs.BBK < ∆fstd ϕ , Rarm
i
i
(
)
A ← "INTE OK" if ∆σs.BBK ≥ ∆fstd ϕ , Rarm
i
i
A
∆σs.BBK
 1.829 
UArm_BBK :=
=

∆fstd ϕ , Rarm
 1.829 
(
)
26 av 52
 "INTE OK" 


 "INTE OK" 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Eurokod
(
∆σs.EC :=
for i ∈ 1 .. cols σs.EC
)
=
∆σs.EC ← σs.EC MPa − σs.EC MPa
i
3, i
4, i
 175.32 

 ⋅ MPa
 175.32 
∆σs.EC
Enkel metod 1
Hållfasthet
∆σRsk_EC := 70MPa
Resultat
(
ResultatArm_EC :=
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.EC
)
=
(
)
A ← "OK!" if ∆σs.EC < ∆σRsk.d ϕ , Rarm
i
i
(
)
A ← "INTE OK" if ∆σs.EC ≥ ∆σRsk.d ϕ , Rarm
i
i
A
∆σs.EC
 2.539 
UArm_EC :=
=

∆σRsk.d ϕ , R arm
 2.539 
(
)
λ - Metoden
Hållfasthet
För N=10^6:
(
)
∆σRsk.d ϕ , Rarm :=

R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
2Rarm 

∆σRsk⋅ ( R )
γS.Fat
∆σRsk
γS.Fat
(
ϕ


if R arm > 0mm
otherwise
)
∆σRsk_EC.λ := ∆σRsk.d ϕ , Rarm = 88.645⋅ MPa
λ-faktorer
λs.1_2m := 0.85
λs.1_20m := 0.7
L = 4.36 m
L
λs.1 := λs.1_2m + λs.1_20m − λs.1_2m ⋅  log  − 0.3 = 0.799
m
(
)
 

27 av 52
 "INTE OK" 


 "INTE OK" 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
Vol := 13000000
k2 := 9
k2
λs.2 :=
Vol
6
2015-01-09
 bruttoton 
 år 


Antagen framtida bruttoton/år enligt Håkan Thun
= 0.93
25⋅ 10
Nyears := 100
k2
λs.3 :=
Nyears
100
Antagen designad livslängd
=1
λs.4 := 1
λs := λs.1⋅ λs.2⋅ λs.3⋅ λs.4 = 0.743
Resultat
ResultatArm_EC.λ :=
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.EC
R ←
i
)
 "INTE OK!" 

 "INTE OK!" 
=
"OK!" if λs⋅ ∆σs.EC < ∆σRsk_EC.λ
i
"INTE OK!" otherwise
R
λs⋅ ∆σs.EC
 1.47 
UArm_EC.λ :=
=

∆σRsk_EC.λ  1.47 
28 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
FIB model code
∆σs.FIB :=
(
)
for i ∈ 1 .. cols σs.FIB
=
∆σs.FIB ← σs.FIB MPa − σs.FIB MPa
i
3, i
4, i
 175.32 

 ⋅ MPa
 175.32 
∆σs.FIB
Hållfasthet
∆σRsk.ϕ( ϕ) :=
ϕmax ← 40mm
ϕ16 ← 16mm
κ1 ← ϕmax − ϕ16
κ2 ← ∆σRsk.F.40 − ∆σRsk.F.16
∆σRsk.ϕ ←
∆σRsk.F.16 if ϕ ≤ 16mm
κ2
∆σRsk.F.16 + ϕ − ϕ16 ⋅
otherwise
κ1
(
∆σRsk.ϕ1 ←
)


R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
2Rarm 
ϕ


∆σRsk.ϕ⋅ R if Rarm > 0mm
∆σRsk.ϕ otherwise
∆σRsk.ϕ1
∆σRsk.ϕ( ϕ)
∆σRsk_FIBII :=
= 68.188⋅ MPa
γs.Fat⋅ γEd
Level II
ResultatArm_FII :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.FIB
=
A ← "OK!" if γEd⋅ ∆σs.FIB <
i
i
∆σRsk.ϕ( ϕ)
γs.Fat
A ← "INTE OK" if γEd⋅ ∆σs.FIB ≥
i
i
A
γEd⋅ ∆σs.FIB  2.571 
UArm_FIBII :=
=

∆σRsk.ϕ( ϕ)
 2.571 
γs.Fat
29 av 52
∆σRsk.ϕ( ϕ)
γs.Fat
 "INTE OK" 


 "INTE OK" 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Level III
Här används en verklig mängd cykler från delskadeanalysen.
n FII = 3698918
Hållfastheten för det specifika antalet cykler tas fram från Wöhlerkurvor enligt FIB tabell 7.4-1 och figur 7.4-2:
∆σRsk.ϕ.III :=
ϕmax ← 40mm
= 131.74⋅ MPa
ϕ16 ← 16mm
∆σRsk.F.16 ← 210MPa
∆σRsk.F.40 ← 160MPa
κ1 ← ϕmax − ϕ16
κ2 ← ∆σRsk.F.40 − ∆σRsk.F.16
∆σRsk.ϕ ←
∆σRsk.F.16 if ϕ ≤ 16mm
κ2
∆σRsk.F.16 + ϕ − ϕ16 ⋅
otherwise
κ1
(
)

R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
∆σRsk.ϕ1 ←
2Rarm 

ϕ


∆σRsk.ϕ⋅ R if Rarm > 0mm
∆σRsk.ϕ otherwise
∆σRsk.ϕ1
∆σRsk.FIII.n( ϕ) :=
k1 ← 5
k2 ← 9
6
Nx ← 10
log_∆σRsk.n ←
(
)
( )
−log n FII + log Nx
(
k1
)
( )
−log n FII + log Nx
k2
log_∆σRsk.n
∆σ ← 10
∆σ⋅ Pa
∆σRsk_FIBIII :=
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
γs.Fat⋅ γEd
= 99.06⋅ MPa
Resultat
30 av 52
 ∆σRsk.ϕ.III 
 if n FII < Nx
Pa


+ log
 ∆σRsk.ϕ.III 
 otherwise
Pa


+ log
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
ResultatArm_FIII :=
2015-01-09
(
)
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.FIB
=
A ← "OK!" if γEd⋅ ∆σs.FIB <
i
i
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
A ← "INTE OK!" if γEd⋅ ∆σs.FIB ≥
i
i
A
γEd⋅ ∆σs.FIB
 1.77 
UArm_FIBIII :=
=

∆σRsk.FIII.n( ϕ)
 1.77 
γs.Fat
31 av 52
γs.Fat
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
γs.Fat
 "INTE OK!" 


 "INTE OK!" 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Delskadeanalys
Hålfasthet från wöhlerkurvor för aktuella armeringsjärn:
Δfst/ΔσRsk
107,8 MPa
88,6 MPa
114,6 MPa
BBK
EC
FIB
 ∆σs.Del

, ϕ , Rarm
 Pa

∆σRsk.ϕ.Del
10
6
Antalet cykler till brott för ovanstående spänningsvidder:
Antal cykler till brott, Nti
Metod
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
BBK04
60625
60625
Eurokod
33046
33046
Fib Model
119110
119110
 ∆σs.Del

, ϕ , R arm
 Pa

Nti
Delskador för vardera tidsperiod:
Metod
BBK04
Eurokod
Fib Model
Delskador, DS
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
13,9529
47,0598
25,5977
86,3352
7,1018
23,9529
 ∆σs.Del

, ϕ , n Tid , Rarm
 Pa

DS
Total delskada:
 ∆σs.Del

DStotalt := DStot
, ϕ , n Tid , Rarm
 Pa

Total delskada
BBK04
Eurokod
Fib Model
61,013
111,933
31,055
 ∆σs.Del

, ϕ , n Tid , Rarm
 Pa

DStot
32 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Tvärgående armering (T)
Tvärkraft
Qy huvud
Vy.max_T.Vy :=
Vy.min_T.Vy :=
(
for i ∈ 1 .. rows Indata Vy1
〈1〉
A ←  IndataVy1 
i

i
A⋅ kN
(
for i ∈ 1 .. rows IndataVy1
A ←
i
)
)
 Indata 〈1〉 
Vy1  i

 Indata 〈2〉  if
>0
Vy1  i

 Indata 〈2〉 
Vy1  i

A ← 0 otherwise
i
A⋅ kN
〈3〉
Nx.max_T.Vy := IndataVy1 ⋅ kN
〈4〉
Nx.min_T.Vy := IndataVy1 ⋅ kN
〈3〉
M z.max_T.Vy := IndataVy2 ⋅ kNm
〈4〉
M z.min_T.Vy := IndataVy2 ⋅ kNm
Reducering av tvärkraft nära stöd
Tvärkraften när stöd kan reduceras då tvärkraften antas gå rakt ner till stödet 0,9d från stöd. Därför antas att trafiklasten
inte påverkar snitt nära stöd direkt ovanpå utan från ∆x från stödet. Skillnaden i trafiklasten mellan placering mitt på snittet
och placering ∆x från stöd dras från den maximala tvärkraften.
Indatalasten från BV4 har inte kombinerats och ska dras ner till vad som påverkar en meter strimla:
33 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
γψ := 0.8
lsprid := 4.5m
(
Vred_1 :=
for i ∈ 1 .. cols Vred
)
Vred kN
1, i
Vred_1 ←
i
lsprid
Snitt:
x1 := 0.180m
⋅ b b ⋅ γψ
x2 := 1.363m
Vred_1
(
Vred_2 :=
for i ∈ 1 .. cols Vred
)
Vred kN
2, i
Vred_2 ←
i
lsprid
x3 := 1.635m
⋅ b b ⋅ γψ
Vred_2
(
Vred_3 :=
for i ∈ 1 .. cols Vred
)
Vred kN
3, i
Vred_3 ←
i
lsprid
⋅ b b ⋅ γψ
Vred_3
Spridning i ballast:
S := 650mm
c/c avstånd mellan sliprar
a := 200mm
Bredd sliper
tb := 650mm
Höjd på ballast
rvot := 500mm
b r := 360mm
Radie på voten
∆l :=
S
2
+
a
2
+
Bredd ramben
tb − a
2
+
br
2
= 830⋅ mm
∆x := 0.9d + ∆l + rvot = 1.626 m
xl := ∆x = 1.626 m
Tvärkraften från trafiklasten vid aktuellt snitt
xl − x2
 51.284  ⋅ kN
Vred_x.l :=
⋅ ( Vred_3 − Vred_2) + Vred_2 = 

x3 − x2
 51.284 
Den reducerade tvärkraften i det aktuella snittet
 100.613  ⋅ kN
Vmax.red := Vy.max_T.Vy − Vred_1 − Vred_x.l = 

 100.613 
(
)
 37.055  ⋅ kN
Vmin := Vy.min_T.Vy = 

 37.055 
Vy.max_T.Vy := Vmax.red
34 av 52
 142.413  ⋅ kN
Vy.max_T.Vy = 

 142.413 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
BBK
Tvärkraftskapacitet beräkningar
Betongens formella skjuvhållfasthet BBK04 3.7.3.2:
Vmin
Vy.min_T.Vy
Vmax
Vy.max_T.Vy
=
 0.368 


 0.368 
u Qywöhl := 0.64

ρV := min 0.02 ,

As0_böj 
bb ⋅ d


35 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
ξ :=
2015-01-09
1.4 if d ≤ 0.2m
 1.6 − d  if 0.2m < d ≤ 0.5m


m

 1.3 − 0.4⋅ d  if 0.5m < d ≤ 1.0m


m

BBK04 ekv. 3.7.3.2b
0.9 if d > 1.0m
(
)
fQyvd := 0.3ξ⋅ 1 + 50⋅ ρV ⋅ u Qywöhl ⋅ fctd.BH
η1.2.3 :=
Betongens bärförmåga
Vc.Rd_Vy :=
Vc ← b b⋅ d ⋅ fQyvd
=
(
)
for i ∈ 1 .. rows Nx.min_T.Vy
 109.53 

 ⋅ kN
 109.53 
ni D4
Balkdel 1 0,0303
Balkdel 2 0,0192
Balkdel 3 0,0303
η ← η1.2.3
i
1, 3
Vp ←
i
Vy.max_T.Vy
i
1.2γsn
σcm ←
i
η
i
−Nx.min_T.Vy
i
Ab
0.3 σcm 

i

Vcw ← b b⋅ d ⋅ u Qywöhl ⋅ fctd.BH +

i
1.2γsn 


Vc.Rd_Vy ← min Vc + Vp , Vcw 
i
i
i

Vc.Rd_Vy
Vc.Rd_Vy
Bidrag från lutande tvärsnitt:
Lb
0mm
xi.BBK :=
yi.BBK :=
2
2
Vi.BBK :=
M z.max_T.Vy yi.BBK
d
xi.BBK
=
 0  ⋅ kN
 
0
 109.53  ⋅ kN
VRd.c_BBK := Vc.Rd_Vy + Vi.BBK = 

 109.53 
Resultatc_BH.T.Vy :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows Vy.max_T.Vy
∆V ← Vy.max_T.Vy −  Vc.Rd_Vy + Vi.BBK 
i
i
i
i

Resultatc_BH.T.Vy ←
i

 "Betongen klarar skjuvningen!" if ∆Vi < 0 


 "Armeringen behövs!" otherwise

Resultatc_BH.T.Vy
36 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
UBV_BBK :=
2015-01-09
(
)
for i ∈ 1 .. rows Vy.max_T.Vy
U ←
i
Vy.max_T.Vy
i
Vc.Rd_Vy + Vi.BBK
i
i
U
 "Betongen klarar skjuvningen!" 

 "Betongen klarar skjuvningen!" 
Resultatc_BH.T.Vy = 
 0.919 
UBV_BBK = 

 0.919 
Armeringens bärförmåga
∆Vs_Vy :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows Vy.max_T.Vy
τ ←
i
Vy.min_T.Vy
i
Vy.max_T.Vy
i
∆Vs_Vy ←
i
Vy.max_T.Vy −  Vc.Rd_Vy + Vi.BBK  ( 1 − τi) if Vy.max_T.Vy > Vc.Rd_Vy + V
i 
i
i
i
i


∆Vs_Vy ← 0.0000000000001kN otherwise
i
∆Vs_Vy
σs.by_BBK :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows Vy.max_T.Vy
τ ←
i
Vy.min_T.Vy
i
Vy.max_T.Vy
i
∆Vs_Vy
i
∆σs_Vy ←
i
Asvb⋅ sin β1
( )
σs.max ←
i
∆σs_Vy
i
(1 − τi)
σs.min ← τ ⋅ σs.max
i
i
i
A
← σs.max
i
A
← σs.min
i
i, 1
i, 2
A
σs.max_EC.T.Vy [MPa] σs.min_EC.T.Vy [MPa]
Tidsperiod 1
0,0
0,0
Tidsperiod 2
0,0
0,0
σs.by_BBK
MPa
37 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Eurokod (EC)
Tvärkraftskapacitet beräkningar
(
)
Vc.Rd NEd , fcd :=
As ← Auksl if M z.max_BN.Mz > 0
1
As ← Aöksl otherwise

k ← min 2.0 , 1 +


200
1000⋅ d
m




−NEd 

σcp ← min 0.2⋅ fcd ,

Ab


k1 ← 0.15
As 

ρ1 ← min 0.02 ,

bb⋅ d


CRd.c ←
0.18
γC.Fat
1






3
fcck 

σcp  bb d 

Vc.Rd ← CRd.c⋅ k⋅  100⋅ ρ1 ⋅
 + k1 ⋅
⋅
⋅
N
MPa 
MPa mm mm


1
3
2
 fcck 

vmin ← 0.035⋅ k ⋅ 
 MPa 
σcp  b b d

Vc.Rd.min ←  vmin + k1 ⋅

⋅
N
MPa  mm mm

2
(
Vc.Rd ← max Vc.Rd , Vc.Rd.min
)
Vc.Rd
Inverkan av lutande tvärsnitt:
yi.EC :=
Vi.EC :=
Lb
xi.EC :=
2
0mm
2
M z.max_T.Vy yi.EC
d
xi.EC
=
 0  ⋅ kN
 
0 
Total bärförmåga:
VRd.c_EC :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows Nx.max_T.Vy
=
A ← Vc.Rd Nx.min_T.Vy , fcd.EC + Vi.EC
i
i
i


A
38 av 52
 150.126  ⋅ kN


 150.126 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
(
Resultatc_EC.Vy :=
)
for i ∈ 1 .. rows VRd.c_EC
UV_EC ←
i
Vy.max_T.Vy
i
VRd.c_EC
i
Vy.min_T.Vy
i
UVmin_EC ← 0.5 + 0.45⋅
i
VRd.c_EC
i
ResultatBetSkj ←
i
"OK! Skjuvarmering krävs ej" if UVmin_EC > UV_EC
i
i
"Skjuvarmering krävs" otherwise
U ←
i
UV_EC
i
UVmin_EC
i
( ResultatBetSkj U )
Resultatc_EC.Vy
1, 1
=
 "Skjuvarmering krävs" 


 "Skjuvarmering krävs" 
 1.097 
UBV_EC := Resultatc_EC.Vy
=

1 , 2  1.097 
ARMERINGS Spänningar
(
)
σs_T.EC Vmax , Vmin , Asvb , d , cotθ :=
Vmax
σmax_T ←
Asvb⋅ sin β1
( )
2
Asvb = 196.3⋅ mm
Vmin
σmin_T ←
Asvb⋅ sin β1
( σmax_T
σs.by_EC :=
(
for i ∈ 1 .. rows IndataVy1
σmin_T
)
( )
)
A ← σs_T.EC Vy.max_T.Vy , Vy.min_T.Vy , Asvb , d , cotθfat
i
i

Res
i, 1
Res
i, 2

←A
1, 1
←A
1, 2
Res
σs.max_EC.T.Vy [MPa] σs.min_EC.T.Vy [MPa]
Tidsperiod 1
724,9
267,0
Tidsperiod 2
724,9
267,0
σs.by_EC
MPa
39 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
FIB
Level I
kv.I :=
180
1000 + 1.25⋅
= 0.131
z
fcck
mm
MPa
= 5.339
Level II
ε x :=
(
 0.00065 

 0.00065 
)
for i ∈ 1 .. rows M z.max_T.Vy
As ←
=
Auksl if M z.max_T.Vy ≥ 0kNm
i
Aöksl otherwise
Nx.min_T.Vy 
 Mz.max_T.Vyi
i


A ←
⋅
+ Vy.max_T.Vy +
i
2 ⋅ Esk⋅ As 
z
i
2

1
B ←
i
A if A ≤ 0.003
i
i
0.003 otherwise
B
d g := 16
32
kdg := max
, 0.75 = 1
16 + d g


1300
0.4
 0.204 
kv.II :=
⋅
=

z
0.204 
1 + 1500⋅ ε x

1000 + kdg⋅
mm
BETONGENS BÄRFÖRMÅGA
kv := kv.II
fcck
MPa z b b
 214.509  ⋅ kN
VRd.c_FIB := kv⋅
⋅
⋅
⋅N = 

γc.Fat mm mm
 214.509 
 214.509  ⋅ kN
Vref := VRd.c_FIB = 

 214.509 
 100.613  ⋅ kN
Vy.max_T.Vy = 

 100.613 
40 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1

logN := 10⋅  1 −
Vy.max_T.Vy 
logN
 5.31 

=
  5.31 
Vref

NFIB := 10
2015-01-09
=
 203994 


 203994 
Resultatc_FIB.Vy :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows NFIB
R ←
i
"OKEJ!" if n FII < NFIB
i
"INTE OKEJ!" otherwise
R
Resultatc_FIB.Vy =
 "INTE OKEJ!" 


 "INTE OKEJ!" 
n FII
 18.132 
UBV_FIB :=
=

NFIB  18.132 
ARMERINGEN
Level II
 3.295 × 10− 3 

ε 1 := ε x + ( εx + 0.002) ⋅ cot( β1) = 

− 3
 3.295 × 10 
1

kε := min 0.65 ,
1.2 + 55⋅ ε1 


2
1



3
30  


ηfc := min 1.0 ,
=1
  fcck  
 
 
  MPa  
kc := kε ⋅ ηfc = 0.65
 26.473 
θmin := 20 + 10000⋅ ε x = 

 26.473 
41 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
(
VRd.max.θ.min_FIB :=
)
for i ∈ 1 .. rows θmin
=
fcck
⋅ b ⋅ z⋅ sin θmin ⋅ cos θmin
A ← kc⋅
i
γc.Fat b
(
) (
)
 1.624 × 103 

 ⋅ kN

3
 1.624 × 10 
A
(
)
σs_T.FIB Vmax , Vmin , Asvb , d , cotθ :=
Vmax
σmax_T ←
Asvb⋅ sin β1
( )
Vmin
σmin_T ←
Asvb⋅ sin β1
( σmax_T
σs.by_FIB :=
(
for i ∈ 1 .. rows IndataVy1
σmin_T
)
( )
)
A ← σs_T.FIB Vy.max_T.Vy , Vy.min_T.Vy , Asvb , d , cotθfat
i
i

Res
i, 1
Res
i, 2

←A
1, 1
←A
1, 2
Res
σs.max_EC.T.Vy [MPa] σs.min_EC.T.Vy [MPa]
Tidsperiod 1
724,9
267,0
Tidsperiod 2
724,9
267,0
σs.by_FIB
MPa
Level III
kv :=
(
)
for i ∈ 1 .. rows Vy.max_T.Vy
A ←
i

0.4
1 + 1500⋅ εx
i
⋅1 −


=


VRd.max.θ.min_FIB 
i
 0.19 


 0.19 
Vy.max_T.Vy
i
A
fcck
MPa z b b
 200.62  ⋅ kN
VRd.c_FIB.T.Vy := kv⋅
⋅
⋅
⋅N = 

γc.Fat mm mm
 200.62 
 −100.007  ⋅ kN
Vs := Vy.max_T.Vy − VRd.c_FIB.T.Vy = 

 −100.007 
Enligt denna beräkning behövs en armering. Försätter med data från Level II i utmattningsberäkningarna.
42 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
43 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Sammanfattning
Spänningen från tvärkraften tas i byglarna.
BBK
σs.max_BH.Vy [MPa] σs.min_BH.Vy [MPa]
Tidsperiod 1
0,00
0,00
Tidsperiod 2
0,00
0,00
σs.by_BBK
MPa
EC
(
)
σs.by σs_EC.T , Resultatc_EC :=
(
for i ∈ 1 .. rows Resultatc_EC
(
)
)
for j ∈ 1 .. cols σs_EC.T
σs.by ← σs_EC.T
if Resultatc_EC = "INTE OKEJ!"
i, j
i, j
i
σs.by ← 0MPa otherwise
i, j
σs.by
(
)
σs.by_EC := σs.by σs.by_EC , Resultats_EC.T.Vy
σs.max_EC.Vy [MPa] σs.min_EC.Vy [MPa]
Tidsperiod 1
724,85
266,96
Tidsperiod 2
724,85
266,96
σs.by_EC
MPa
FIB
σs.max_EC.Vy [MPa] σs.min_EC.Vy [MPa]
Tidsperiod 1
724,85
266,96
Tidsperiod 2
724,85
266,96
σs.by_FIB
MPa
44 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Tvärgående armering
Byglar
Enkla metoder
BBK
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
σs.max [Mpa]
0,00
0,00
σs.min [Mpa]
0,00
0,00
σs.by_BBK_E
EC
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
σs.max [Mpa]
724,85
724,85
σs.min [Mpa]
266,96
266,96
σs.by_EC_E
FIB
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
σs.max [Mpa]
724,85
724,85
σs.min [Mpa]
266,96
266,96
σs.by_FIB_E
Delskademetoden
Maximala spänningsvidder för armeringen, Δσs [MPa]
Metod
Tidsperiod 1
Tidsperiod 2
BBK04
0,00
0,00
Eurokod
457,89
457,89
Fib Model
457,89
457,89
∆σs.Del.by
6
10
45 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Utmattningsberäkningar Tvärgående
Vid beräkning av utmattningskapaciteten mot skjuvning kontrolleras först vad betongen klarar utan armering. Denna
beräkning har gjorts ovan.(avsnitt?) I BBK får man utnyttja betongens bärförmåga även om den överskrids och
betongen måste antas sprucken. Enligt Eurokod får inte detta göras utan all skjuvning måste antas tas i armeringen om
bärförmågan i betongen överskrids. Nedan följer beräkningar för olika armeringsjärn:
Armering Byglar
Dimensioner armeringsjärn
ϕ := ϕByglar = 10⋅ mm
Rarm := Rarm.Byglar = 64⋅ mm
BBK
(
∆σs_BH :=
for i ∈ 1 .. cols σs.by_BBK_E
)
∆σs_BH ← σs.by_BBK_E MPa − σs.by_BBK_E
i
3, i
4, i
 7.204 × 10− 13 
 ⋅ MPa
=

− 13 
 7.204 × 10 
MPa
∆σs_BH
Hållfastheter
(
)
∆fstd ϕ , R arm = 102.083⋅ MPa
Resultat
(
ResultatArm.B :=
for i ∈ 1 .. rows ∆σs_BH
)
=
(
)
A ← "OK!" if ∆σs_BH < ∆fstd ϕ , R arm
i
i
(
 "OK!" 


 "OK!" 
)
A ← "INTE OK" if ∆σs_BH ≥ ∆fstd ϕ , R arm
i
i
A
 7.057 × 10− 15 

UArm.B :=
=
− 15 
∆fstd( ϕ , Rarm) 
 7.057 × 10 
∆σs_BH
Eurokod
∆σsV_EC :=
(
)
for i ∈ 1 .. cols σs.by_EC_E
=
∆σsV_EC ← σs.by_EC_E MPa − σs.by_EC_E MPa
i
3, i
4, i
∆σsV_EC
Enkel metod 1
Hållfasthet
∆σRskV_EC := 70MPa
46 av 52
 457.894  ⋅ MPa


 457.894 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Resultat
(
ResultatArm_EC :=
)
for i ∈ 1 .. rows ∆σsV_EC
=
A ← "OK!" if ∆σsV_EC < ∆σRskV_EC
i
i
 "INTE OK" 


 "INTE OK" 
A ← "INTE OK" if ∆σsV_EC ≥ ∆σRskV_EC
i
i
A
∆σsV_EC
 6.541 
UArm.by_EC :=
=

∆σRskV_EC  6.541 
λ - Metoden
∆σArmV_EC.λ := ∆σsV_EC
Hållfasthet
(
)
∆σRsk.d ϕ , Rarm :=

R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
2Rarm 

∆σRsk⋅ ( R )
γS.Fat


if R arm > 0mm
γS.Fat
∆σRsk
ϕ
otherwise
(
)
∆σRskV_EC.λ := ∆σRsk.d ϕ , Rarm = 96.483⋅ MPa
Resultat
ResultatArm_EC.λ :=
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs.EC
R ←
i
)
=
"OK!" if λs⋅ ∆σsV_EC < ∆σRskV_EC.λ
i
 "INTE OK!" 


 "INTE OK!" 
"INTE OK!" otherwise
R
λs⋅ ∆σsV_EC
 3.527 
UArmV_EC.λ :=
=

∆σRskV_EC.λ  3.527 
FIB model code
∆σs_F :=
(
)
for i ∈ 1 .. cols σs.by_FIB_E
=
∆σs_F ← σs.by_FIB_E MPa − σs.by_FIB_E MPa
i
3, i
4, i
∆σs_F
Hållfasthet
Level II
(
)
47 av 52
 457.894  ⋅ MPa


 457.894 
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
∆σRskV_FIBII :=
ResultatArm_FII :=
(∆σRsk.ϕ(ϕ))
γs.Fat⋅ γEd
2015-01-09
= 74.217⋅ MPa
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs_F
 "INTE OK" 

 "INTE OK" 
)
=
A ← "OK!" if γEd⋅ ∆σs_F <
i
i
∆σRsk.ϕ( ϕ)
γs.Fat
A ← "INTE OK" if γEd⋅ ∆σs_F ≥
i
i
∆σRsk.ϕ( ϕ)
γs.Fat
A
UArmV_FIBII :=
γEd⋅ ∆σs_F
∆σRsk.F.16
if ϕ ≤ 16mm
 4.213 

 4.213 
=
γs.Fat
γEd⋅ ∆σs_F
∆σRsk.F.40
otherwise
γs.Fat
∆σArmV_FIBII := ∆σs_F
48 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Level III
Här används en verklig mängd cykler från delskadeanalysen.
n FII = 3698918
Hållfastheten för det specifika antalet cykler tas fram från Wöhlerkurvor enligt FIB tabell 7.4-1 och figur 7.4-2:
∆σRsk.ϕ.III :=
ϕmax ← 40mm
= 143.388 ⋅ MPa
ϕ16 ← 16mm
∆σRsk.F.16 ← 210MPa
∆σRsk.F.40 ← 160MPa
κ1 ← ϕmax − ϕ16
κ2 ← ∆σRsk.F.40 − ∆σRsk.F.16
∆σRsk.ϕ ←
∆σRsk.F.16 if ϕ ≤ 16mm
κ2
∆σRsk.F.16 + ϕ − ϕ16 ⋅
otherwise
κ1
(
)


R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
∆σRsk.ϕ1 ←
2Rarm 
ϕ


∆σRsk.ϕ⋅ R if Rarm > 0mm
∆σRsk.ϕ otherwise
∆σRsk.ϕ1
∆σRsk.FIII.n( ϕ) :=
k1 ← 5
k2 ← 9
6
Nx ← 10
log_∆σRsk.n ←
(
)
( )
−log n FII + log Nx
(
k1
)
( )
−log n FII + log Nx
k2
log_∆σRsk.n
∆σ ← 10
∆σ⋅ Pa
∆σRskV_FIBIII :=
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
γs.Fat⋅ γEd
= 107.819 ⋅ MPa
Resultat
∆σArmV_FIBIII := ∆σs_F
49 av 52
 ∆σRsk.ϕ.III 
 if n FII < Nx
Pa


+ log
 ∆σRsk.ϕ.III 
 otherwise
Pa


+ log
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
ResultatArm_FIII :=
2015-01-09
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs_F
)
=
A ← "OK!" if γEd⋅ ∆σs_F <
i
i
 "INTE OK!" 


 "INTE OK!" 
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
A ← "INTE OK!" if γEd⋅ ∆σs_F ≥
i
i
γs.Fat
∆σRsk.FIII.n( ϕ)
γs.Fat
A
γEd⋅ ∆σs_F
 4.247 
US_FIII :=
=

∆σRsk.FIII.n( ϕ)
 4.247 
UArmV_FIBIII := US_FIII
γs.Fat
50 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Delskadeanalys
Hålfasthet från wöhlerkurvor för aktuella armeringsjärn:
Δfst/ΔσRsk
114,8 MPa
96,5 MPa
124,7 MPa
BBK
EC
FIB
 ∆σs.Del.by
∆σRsk.ϕ.Del


Pa
10

, ϕ , Rarm
6
Antalet cykler till brott för ovanstående spänningsvidder:
Antal cykler till brott, Nti
Metod
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
BBK04
0
0
Eurokod
103
103
Fib Model
230
230
 ∆σs.Del.by
Nti

Pa

, ϕ , R arm

Delskador för vardera tidsperiod:
Metod
BBK04
Eurokod
Fib Model
Delskador, DS
Tidsperiod 1 Tidsperiod 2
0,0000
0,0000
2036,5594
6868,8496
565,0247
1905,6992
 ∆σs.Del.by

, ϕ , n Tid , Rarm
Pa


DS
Total delskada:
Total delskada
BBK04
Eurokod
Fib Model
0,000
8905,409
2470,724
 ∆σs.Del.by

, ϕ , n Tid , Rarm
Pa


DStot
 ∆σs.Del.by
DStotaltV := DStot

Pa


, ϕ , nTid , R arm
0




3
=  8.905 × 10 

3
 2.471 × 10 
51 av 52
BILAGA C_Bro 4838_Snitt 1
2015-01-09
Sammanställning Resultat
Enkel kontroll
Betong i tryck
EC
0,439
FIB I
0,331
FIB II
0,000
BBK
95,83
1,83
EC
70,00
2,54
EC λ
88,64
1,47
FIB I
68,19
2,57
FIB II
99,06
1,77
BBK
109,53
0,92
EC
150,13
1,10
FIB
214,51
18,13
ΔσEd
BBK
0,00
EC
457,89
EC λ
457,89
FIB I
457,89
FIB II
457,89
ΔσRd
U
102,08
0,00
70,00
6,54
96,48
3,53
74,22
4,21
107,82
4,25
U
BBK
-
Armering i drag
ΔσRd
U
Skjuvning
VRdc
U
Skjuvning, armering
Delskada
Delskada böjning, drag i armering
Var
BBK
61,01
EC
111,93
FIB
31,05
Delskada skjuvning, armering
Var
BBK
0,00
EC
8905,41
FIB
2470,72

∆fst_BBK ∆σRsk_EC ∆σRsk_EC.λ ∆σRsk_FIBII ∆σRsk_FIBIII
 "-" UB_EC UB_FI UB_FII
UArm_BBK
k
k
k
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa

52 av 52
BILAGA D_Mathcad script Beräkning av Delskada
2015-01-23
BILAGA D
Delskadeanalys
Rutinen tar in spänningsvidder och ger ut antalet cykler till brott, delskada per tidsperiod, total
delskada
Indata:
Spänningsvidder, för vardera tidsperiod och metod:
Utdata:
Antalet cykler till brott, för vardera tidsperiod och metod
Delskadan per tidsperiod för vardera metod
Totla delskada för vardera metod:
Wöhlerkurvor
i
j
=
=
Tidsperiod
Metod (1-BBK04, 2-Eurokod, 3-Fib model)
Funktionen för hur många cykler en viss spänningsvidd klarar:
(
)
( ( )
(
) ) + log(Nx) if ∆σs > ∆σRsk
k2 ⋅ ( −log ( ∆σs) + log( ∆σRsk) ) + log( Nx) otherwise
log_NF( ∆σs , k1 , k2 , ∆σRsk , ∆σRsk.ϕ , Nx) := k1 ⋅ ( −log( ∆σs) + log ( ∆σRsk.ϕ) ) + log( Nx) if ∆σs > ∆σ
k2 ⋅ ( −log( ∆σs) + log ( ∆σRsk.ϕ) ) + log( Nx) otherwise
log_N ∆σs , k1 , k2 , ∆σRsk , Nx :=
k1 ⋅ −log ∆σs + log ∆σRsk
 180
Värden för varje
metod:
⋅ 10 
6
 1.2 


6

162.5
⋅
10
 k :=
∆σRsk.D :=
 1.15  1


 210⋅ 106 
 1.15⋅ 1.0 
 5.765 
 5 


 5 
 5.765 
k2 :=  9 


 9 
Tar ut max antal cykler för en spänningsvidd och ∆σRsk.ϕ :
(
)
1 av 4
6
Nx := 10
BILAGA D_Mathcad script Beräkning av Delskada
(
)
A1 ∆σs , ϕ , Rarm :=
2015-01-23
for i ∈ 1
(
for j ∈ 1 .. cols ∆σs
)
ϕ 
∆σRsk.D ⋅  1 − 1.5⋅
if Rarm > 0
i
Rarm 


∆σRsk.BBK ←
∆σRsk.D otherwise
i
log_N∆σs

Nti ← 10
i, j
i,j
, k1 , k2 , ∆σRsk.BBK , Nx
i
i

Nti
Nti
for i ∈ 2
(
for j ∈ 1 .. cols ∆σs
)


R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
∆σRsk.EC ←
2Rarm 


ϕ
∆σRsk.D ⋅ R if Rarm > 0
i
∆σRsk.D otherwise
i
log_N∆σs

Nti ← 10
i, j
i,j
, k1 , k2 , ∆σRsk.EC , N x
i
i

Nti
Nti
for i ∈ 3
(
)
for j ∈ 1 .. cols ∆σs
if ϕ ≤ 16mm
∆σRsk.FIB.D ← ∆σRsk.D
i
∆σRsk.FIB ←


R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅
2R arm 


ϕ
∆σRsk.FIB.D⋅ R if Rarm > 0
∆σRsk.FIB.D otherwise
log_N∆σs
Nti ← 10
i, j

Nti
otherwise
ϕmax ← 40mm
2 av 4
i,j
, k1 , k2 , ∆σRsk.FIB , Nx
i
i

BILAGA D_Mathcad script Beräkning av Delskada
2015-01-23
max
ϕ16 ← 16mm
6
160 ⋅ 10
∆σRsk.40 ←
1.15⋅ 1.0
6
210 ⋅ 10
∆σRsk.16 ←
1.15⋅ 1.0
κ1 ← ϕmax − ϕ16
κ2 ← ∆σRsk.40 − ∆σRsk.16
κ2
∆σRsk.FIB.D ← ∆σRsk.16 + ϕ − ϕ16 ⋅
κ1
(
∆σRsk.FIB ←
)

R ← min 1 , 0.35 + 0.026⋅

2R arm 


ϕ
∆σRsk.FIB.D⋅ R if Rarm > 0
∆σRsk.FIB.D otherwise
log_N∆σs
Nti ← 10
i, j

Nti
Nti
 ∆σRsk.BBK 


∆σRsk ←  ∆σRsk.EC 
 ∆σ

 Rsk.FIB 
( Nti
(
)
∆σRsk
(
)
)
Nti ∆σs , ϕ , Rarm := A1 ∆σs , ϕ , Rarm 1 , 1
(
)
(
)
∆σRsk.ϕ.Del ∆σs , ϕ , Rarm := A1 ∆σs , ϕ , Rarm 1 , 2
3 av 4
i,j
, k1 , k2 , ∆σRsk.FIB , Nx
i
i

BILAGA D_Mathcad script Beräkning av Delskada
2015-01-23
Delskada per tidsperiod
(
)
DS ∆σs , ϕ , n Tid , Rarm :=
(
)
for i ∈ 1 .. cols ∆σs
(
)
for j ∈ 1 .. rows ∆σs
(
)T
NtiT ← Nti ∆σs , ϕ , Rarm
n Tid
i
DST ←
i, j
NtiT
i, j
T
DS ← DST
DS
DS
Total delskada
(
)
DStot ∆σs , ϕ , n Tid , Rarm :=
(
for i ∈ 1 .. rows ∆σs
(
cols ∆σs
DS1 ←
i
∑
)
)
(
)
DS ∆σs , ϕ , n Tid , R arm i , j
j =1
DS1
4 av 4
Bilaga E – Ritningar för bro 3500-2770-1
2015-01-23
BILAGA E
Ritningar för bro 3500-2770-1
GÅNG OCH CYKELTUNNEL UNDER SJ BANDELEN BROMÖLASÖLVESBORG KM 28+926
Blad 2: Sammanställning
Blad 3: Mått, armering
1
Bilaga E – Ritningar för bro 3500-4838-1
2015-01-23
BILAGA F
Ritningar för bro 3500-4838-1
BORLÄNGE-REPBÄCKEN PLANSKILD KORSNING FÖR GC-VÄG VID N
GRIFLEGÅRDEN KM 68+312 BORLÄNGE KOMMUN
Blad: 2 – Mått
Blad: 3 – Armering I
1