gcd og lcm– forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015
Største felles divisor. (eng: greatest common divisor)
La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor
for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
Dette betegnes ofte med gcd(a,b)
OBS! gcd(a,b) er alltid et positivt tall!
Største felles divisor (gcd) ved hjelp av primtallsfaktorisering.
Finn primtallsfaktoriseringen til a og b. Da vil gcd(a, b) være
produktet av de primtallsfaktorene som går opp i både a og b.
Hvis et primtall p forekommer m ganger i a og n gangere i b,
så tas det med så mange ganger som det minste tallet av m
og n.
Eksempel 1
Eksempel 2
1
gcd og lcm– forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015
Eksempel 3
gcd ved hjelp av Euklids algoritme:
Husk definisjonen av kvotient og rest:
Hvis a og b er til hele tall med b > 0, så finnes entydige hele
tall slik at
a = q∙b + r,
0≤r<b
Setning.
La b > 0. Da er gcd(a, b) = gcd( b, r).
Bevis. La c være et heltall som går opp i både a og b,
dvs. a = c∙x og b = c∙y. Vi har da at
r = a - q∙b = (c∙x - c∙y∙b) = c(x - y∙b).
Vi ser at c er faktor i r, dvs. c går opp i r.
Omvendt, la c være et heltall som går opp i både b og r. Da vil
c også gå opp i a siden a = q∙b + r.
Eksempel på bruk av skjema for Euklids algoritme.
2
gcd og lcm– forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015
Litt større eksempel:
Tilsvarende java-metode:
(NB! Her går vi ut av løkka når b = 0. Da har a allerede blitt tilordnet verdien til b og derfor
returnerer vi a. )
Relativt primiske tall
To heltall a og b ( der ikke begge er 0) kalles relativt primiske
hvis gcd( a,b ) = 1, dvs. de ingen felles faktorer forskjellig fra
1.
NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal være
Relativt primiske tall.
3
gcd og lcm– forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015
Eksempel.
a = 40 og b = 21.
Siden gcd(40,21) = 1 er tallene 40 og 21 relativt primiske.
Parvis relativt primiske.
Tre eller flere heltall kalles for parvis relativt primiske hvis to
og to av dem er relativt primiske.
Eksempel
a = 21, b = 22, c = 25
gcd( 21, 22) = 1, gcd( 22, 25) = 1 og gcd( 21, 25 ) = 1.
Tallene 21, 22 og 25 er derfor parvis relativt primiske.
Minste felles multiplum (least common multiple – lcm)
Minste felles multiplum for to positive heltall er det minste
positive heltallet som begge går opp i.
Formel gcd(a,b) og lcm(a,b):
Hvis gcd( a, b) er største felles divisor for a og b og lcm (a, b)
er minste felles multiplum for a og b, så er
ab  gcd( a, b)  lcm(a, b)
a > 0, b > 0
4
gcd og lcm– forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015
5