1. No category

324
8 Eksamenstrening
8 Eksamens trening
Uten hjelpemidler
E1 (Kapittel 1)
Bruk en av kvadratsetningene til å bestemme verdien av produktet 995 š 995 .
(Eksamen høsten 2014)
E2 (Kapittel 1)
Bruk konjugatsetningen til å regne ut.
a
612 392
512 492
b 1997 ⋅ 2003 − 1993 ⋅ 2007
(Eksempeloppgave 2012)
E3 (Kapittel 1)
Skriv så enkelt som mulig.
a 2 (a + b )2 − 2 (a − b )2
b
a −4 ⋅ b 2 ⋅ a 3
(a
)
−3
⋅b
⋅ a0
(Eksamen våren 2014)
2
E4 (Kapittel 1)
a Skriv så enkelt som mulig.
a − 2b
2
+ 2
a − b a − b2
b Bruk konjugatsetningen til å bestemme 99 ⋅ 101.
c Hvis ( x + y ) = 100 og x 2 + y 2 = 60 , hva er da produktet x š y ?
(Eksamen våren 2012)
2
E5 (Kapittel 1)
Skriv så enkelt som mulig.
a (2x − 5)2 − (1 − x )(1 + x )
c
4 − 2x
x
− 2
3x + 6 3x − 12
b
2x
3x + 4
−
x − 4 2x − 8
d
19 + 3x
3
−
2
2x − 50 2x − 10
Uten hjelpemidler
E6 (Kapittel 1)
Nedenfor er det gitt tre påstander.
1) x 2 + 5x + 6 = 0 ⇒ x = −2
2) x 2 + 5x + 6 = 0 ⇐ x = −2
3) x 2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x = −2
Avgjør hvilken av påstandene som er riktig. Begrunn svaret.
(Eksempeloppgave 2012)
E7 (Kapittel 1 og 4)
92 ⋅ a2 ⋅ b 3
a Skriv så enkelt som mulig:
2
3ab 2
(
)
⎛a ⎞
⎛b ⎞
b Vis at: lg ⎜ 2 ⎟ + lg ⎜ ⎟ + lg (a + b ) = lg a2 + ab
b
⎝ ⎠
⎝ a⎠
2
2
(
)
2−3 ⋅ a0 ⋅ (a ⋅ b )2
2−4 ⋅ a −1 ⋅ b 2
⎛ a3 ⎞
d Skriv så enkelt som mulig: lg (a ⋅ b )2 − lg ⎜ 2 ⎟ + lg a ⋅ b 2
⎝b ⎠
c Skriv så enkelt som mulig:
(
(Eksamen høsten 2013 og våren 2013, noe endret)
E8 (Kapittel 1 og 4)
Skriv så enkelt som mulig.
a
a lg (ab )2 + 3lgb − lg ⎛⎜ 5 ⎞⎟
⎝b ⎠
b (2x + 3)2 − (2x − 1)(2x + 1) + ( x − 3)( x − 1)
(Eksamen høsten 2012)
E9 (Kapittel 1, 2 og 4)
Løs likningene.
a x ( x + 5) − 10 = 4
(Eksamen høsten 2013)
b 103x − 100 000 = 0
E10 (Kapittel 1, 2 og 4)
Løs likningene.
a 3x 2 = 18 − 3x
b 3 ⋅ 2x = 24
c 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 = 3x
(Eksempeloppgave 2012)
E11 (Kapittel 1, 2 og 4)
Løs likningene.
a 4−5x + 3 − 1 = 3
c 3 ⋅ 2x = 96
2
b 3x + x − 1 = 8
d 32x + 1 = 33 + 33 + 33
)
325
326
8 Eksamenstrening
E12 (Kapittel 2)
Løs likningene.
a
6x
4 x
−2 = +
5
5 2
b
x 1
3x
− ( x − 3) =
6 2
4
c
x x +6 4
−
+ =0
2
6
3
d
2⎛
3⎞
1
⎜ x + ⎟⎠ = x − 1
3⎝
4
6
a 3x 2 = 18 − 3x
b
2
3
6
+ 2
= 1+
x −1 x −1
x +1
c 2 ( x + 1)(2 − x ) = 0
d
(2x + 3)( x − 1) − ( x − 1)( x + 2) = 0
E13 (Kapittel 2)
Løs likningene.
E14 (Kapittel 2)
En bevegelse foregår langs en rett linje. Startfarten var v 0 , og akselerasjonen
er konstant lik a. Etter tiden t er farten v blitt v = v 0 + at .
a Bestem en formel for t uttrykt ved v, v0 og a.
b Hvor lang tid tar det før farten v er blitt 25 når akselerasjonen a = 3 og
startfarten v0 = 1?
(Eksamen høsten 2013)
E15 (Kapittel 2)
Vi har gitt sammenhengen a + ab + b 2 = 1.
Finn a uttrykt ved b. Skriv svaret så enkelt som mulig.
(Eksamen våren 2011)
E16 (Kapittel 2)
Harald kjøpte i alt 20 sekker med bjørkeved og granved. En sekk med
bjørkeved kostet 83 kr, og en sekk med granved kostet 65 kr. Til sammen
betalte han 1570 kr for sekkene.
Bestem hvor mange sekker med bjørkeved og hvor mange sekker med
granved Harald kjøpte.
(Eksamen høsten 2012)
E17 (Kapittel 2)
Løs likningssystemet.
2x = y − 4
4x 2 + 3y = 12
(Eksamen høsten 2014)
Uten hjelpemidler
E18 (Kapittel 2)
Løs likningssystemet.
y = 6 − x2
y + 4 = −3x
(Eksamen våren 2013)
E19 (kapittel 2)
Løs likningssystemet.
y = x 2 − 3x − 2
y + 2 = 2x
(Eksamen høsten 2010)
E20 (Kapittel 2)
Løs ulikhetene.
x −2
17
+ 2 > −4x +
a
3
3
c −2 ( x + 1)( x − 3) < 0
E21 (Kapittel 2 og 4)
Løs likningene.
a x 2 + 2x = 8
(Eksamen høsten 2012)
b −3x 2 − 6x + 6 ≤ 0
d 2x 2 f 72
b 3 ⋅ 3x = 27
c 2lg ( x + 1) = 4
E22 (Kapittel 2 og 4)
Sammenhengen mellom lydstyrken L og lydintensiteten I er gitt ved formelen
L = 10 ⋅ lgI + 120
Lag en formel for lydintensiteten I uttrykt ved lydstyrken L.
(Eksempeloppgave 2012)
E23 (Kapittel 2 og 5)
En rasjonal funksjon f er gitt ved
ax + b
f (x ) =
, Df = \ {1}
x −1
Grafen til f skjærer x-asken i x " 3 og y-aksen i y " 6.
a Bestem a og b.
b Tegn grafen til f.
(Eksamen våren 2014)
327
328
8 Eksamenstrening
E24 (kapittel 2 og 5)
ax + b
Grafen til funksjonen f ( x ) =
er tegnet nedenfor.
cx − 1
y
7
6
5
4
3
2
1
–6
–5
–4
–3
–2
–1
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
–2
–3
–4
–5
Bruk figuren til å bestemme verdiene til a, b og c.
(Eksamen høsten 2013)
E25 (Kapittel 2 og 3)
a Løs likningssystemet ved regning.
2y + x = 8
3y = 9 − x
b Marker grafområdet som er bestemt av ulikhetene
x ≥0
y ≥0
x + 2y ≤ 8
x + 3y ≤ 9
Et uttrykk er gitt ved S (x , y ) = 2x + 3y .
⎛ 5 11⎞
c Finn verdien av S(x , y) i punktet ⎜ , ⎟ .
⎝2 6⎠
d Finn den største verdien S(x , y) kan ha innenfor grafområdet du fant ovenfor.
E26 (Kapittel 3)
Vi har gitt ulikhetene
x ≥0
y ≥0
x + 2y ≤ 6
2x + y ≤ 6
Tegn ulikhetene i et koordinatsystem. Skraver det området som tilfredsstiller
alle ulikhetene.
Uten hjelpemidler
E27 (Kapittel 3)
Vi har gitt ulikhetene
x >0
y >0
x +y ≤3
3x + y ≤ 6
Tegn ulikhetene i et koordinatsystem. Skraver det området i
koordinatsystemet som tilfredsstiller alle ulikhetene.
(Eksamen høsten 2011)
E28 (Kapittel 3)
y
7
6
(0 , 6)
5
4
(2 , 4)
(0 , 3) 3
2
1
(6 , 0)
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7 x
a Finn ulikhetene som bestemmer det markerte grafområdet.
Et uttrykk er gitt ved S (x , y ) = 12x + 8 y .
b I hvilket punkt i grafområdet har S (x , y ) sin største verdi?
Et annet uttrykk er gitt ved Z (x , y ) = 12x + 12y .
c I hvilke punkter i grafområdet med heltallige koordinater har Z (x , y ) sin
største verdi?
E29 (kapittel 3)
1
a Tegn linjene y = −x + 5 og y = − x + 3 i samme koordinatsystem.
3
b Marker grafområdet til systemet av ulikheter:
1
y ≤ −x + 5
y ≤ − x +3
3
yy ≥≥00
x ≥0
c Et uttrykk er gitt ved Z(x , y) = y + 2x . Finn den største verdien Z(x , y) kan
ha når (x , y ) er med i grafområdet i oppgave b.
329
330
8 Eksamenstrening
E30 (Kapittel 4)
Løs likningene.
a 2lg x + 3 = 5
1
b 3lg x − lg ⎛⎜ ⎞⎟ = 8
⎝x⎠
c lg ( x + 2) + lg ( x − 2) = lg 5
d 2lg x = 10 − 3lg x
E31 (Kapittel 4)
Løs likningene.
x
a lg ⎛⎜ ⎞⎟ = 2
⎝ 2⎠
b lg x 2 − lg (3x ) = 2 − lg 3
c 4 + 3lg (x − 5) = 10
E32 (Kapittel 5)
2x − 4
Vi har gitt funksjonen f (x ) =
.
x −1
Tegn grafen til f for x ∈ −3 , 5 .
(Eksamen høsten 2010)
E33 (Kapittel 6)
Funksjonen f er gitt ved
2
f (x ) = − x 3 + x 2 + 2, Df = 3
a Bestem f e(x ) .
b Bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på
grafen til f.
c Regn ut f (3). Forklar ved hjelp av det du fant i oppgave b, at f bare har ett
nullpunkt.
(Eksamen høsten 2014)
E34 (Kapittel 6)
Funksjonen f er gitt ved
f (x ) = x 3 − x , Df = Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at f ′(x ) = 3x 2 − 1.
(Eksamen høsten 2014)
Uten hjelpemidler
E35 (Kapittel 6)
En bedrift produserer x enheter av en vare. Kostnadene K (i kroner) er gitt
ved K (x ) = 0,1x 2 − 10x + 20 000 .
Inntektene I (i kroner) er gitt ved I (x ) = p ⋅ x ,
der p er salgsprisen per enhet for varen.
a Vis at overskuddet O er gitt ved O (x ) = −0,1x 2 + (10 + p )x − 20 000.
b Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd dersom p " 140?
c For en bestemt salgspris p er overskuddet størst når bedriften
produserer og selger 2000 enheter. Hva er denne salgsprisen p?
(Eksamen våren 2014)
E36 (Kapittel 6)
En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per dag.
Fortjenesten F per enhet (målt i kroner) er gitt ved
F (x ) = −0,01x 2 + 0,3x + 120.
a Hvor mange enheter må bedriften produsere for at fortjenesten per enhet
skal bli størst mulig?
b Forklar at overskuddet O til bedriften per dag er gitt ved
O (x ) = x ⋅ F (x ).
c Bestem den produksjonsmengden som gjør overskuddet størst mulig.
Hvor stort er overskuddet da?
(Eksamen våren 2014)
E37 (Kapittel 6)
2
Funksjonen f er gitt ved f (x ) = x 3 + x 2 − 12x + 1.
3
a Bestem f e(x ) .
b Tegn fortegnslinje til f e(x ) . Bruk den til å avgjøre hvor grafen til f stiger,
og hvor den synker.
(Eksamen våren 2013)
E38 (Kapittel 2, 5 og 6)
Funksjonen f er gitt ved f (x ) = −x 2 + 2x .
a Bestem nullpunktene til f.
b Tegn fortegnslinja til f e(x ). Bruk den til å finne eventuelle topp- eller
bunnpunkter på grafen til f.
c Tegn grafen til f når x ∈ −3 , 3 .
d Tegn grafen til g (x ) = 2x − 4 i samme koordinatsystem.
e Bestem skjæringspunktene mellom f og g ved regning.
(Eksamen våren 2012)
331
332
8 Eksamenstrening
E39 (Kapittel 5 og 6)
Vi har gitt funksjonen f. Fortegnslinja til f e(x ) er gitt ved
f’(x)
–2
3
0
0
x
a Bestem hvor grafen til f stiger og synker.
b Tegn en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut.
(Eksamen høsten 2011)
E40 (Kapittel 7)
Du kaster fem pengestykker.
a Hva er sannsynligheten for at du får to mynt?
b Hva er sannsynligheten for at du får minst tre mynt?
E41 (Kapittel 7)
a Skriv opp de seks første radene i Pascals talltrekant.
b Bruk talltrekanten til å bestemme 4 , 5 og 5 .
2 2
3
()() ()
c Bruk talltrekanten til å regne ut (a + b )4 og (a + b )5 .
E42 (Kapittel 7)
For å ta ut penger på et minibankkort må vi bruke en firesifret PIN-kode.
For å sikre en bankkonto er minibankene laget slik at om noen slår inn feil
PIN-kode tre ganger, avbrytes forsøket på å få ut penger.
a Anders oppdager at han har mistet bankkortet sitt. Hvor stor sannsynlighet er det for at en fremmed som får tak i kortet til Anders, skal kunne ta
ut penger på det?
b Anders har et reservekort. Han har glemt koden for det, men han vet at
han skal bruke sifrene 5, 7, 9 og 3. Hvor stor sjanse har Anders for å få ut
penger om vi vet at han prøver tilfeldig med disse sifrene?
E43 (Kapittel 7)
Et quizlag er med i en konkurranse. I første omgang får laget åtte spørsmål.
For hvert av de åtte spørsmålene er det gitt to svaralternativ, hvorav ett er
riktig.
a På hvor mange måter kan laget svare på de åtte spørsmålene?
I andre omgang får laget oppgitt seks mulige temaer, og de skal velge to av
dem.
b På hvor mange måter kan laget velge de to temaene?
Det er to gutter og to jenter på quizlaget. I tredje omgang skal bare to av dem
svare på spørsmålene.
c Laget bestemmer seg for å trekke lodd om hvem som skal svare.
Hva er sannsynligheten for at én gutt og én jente blir trukket ut?
Uten hjelpemidler
E44 (Kapittel 7)
Med bokstavene A, B, C og D skal vi lage en kode på tre bokstaver.
a Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom vi tillater at en bokstav kan
brukes flere ganger?
b Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver bokstav kan brukes bare
én gang?
c Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver av kodene skal
inneholde minst to like bokstaver?
(Eksamen høsten 2014)
E45 (Kapittel 7)
Nedenfor er det gitt et utsnitt av tre påfølgende rader av Pascals talltrekant.
....
21
x
....
....
y
2x
....
....
126
....
Bestem x og y ved å sette opp og løse et likningssystem.
(Eksamen høsten 2013, litt endret)
E46 (Kapittel 7)
a Skriv opp de ni første radene av Pascals talltrekant.
b Bruk Pascals talltrekant til å bestemme binomialkoeffisientene
2 , 3 , 5 og 8 .
0 1 2
3
()()() ()
Fra en gruppe med 3 gutter og 5 jenter skal det velges en komité på 3 elever
ved loddtrekning.
c Bestem sannsynligheten for at det blir 1 gutt og 2 jenter i komiteen.
Fra en gruppe med 8 elever skal det velges en komité. Du får vite at
komiteen kan settes sammen på 28 ulike måter.
d Hvor mange elever kan det være i komiteen?
(Eksamen våren 2013)
E47 (Kapittel 7)
a Regn ut binomialkoeffisienten 8 .
3
()
En gruppe på 8 elever består av like mange gutter som jenter. Vi trekker
tilfeldig ut 3 elever.
b Hva er sannsynligheten for å trekke ut 2 gutter og 1 jente?
c Hva er sannsynligheten for å trekke ut minst 1 jente?
(Eksamen våren 2011)
333
334
8 Eksamenstrening
Med hjelpemidler
E48 (Kapittel 1)
a Avgjør om implikasjonen nedenfor er riktig.
x 2 < 4 ⇒ x > −2
b Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig.
(Eksamen høsten 2013)
E49 (Kapittel 1)
Petter har satt opp tabellen nedenfor. Han tror han har funnet et mønster.
n
2
n
1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
Petter sier:
«Jeg tror at summen av to etterfølgende hele tall pluss kvadratet av det
minste av tallene er lik kvadratet av det største av tallene.»
a Velg to etterfølgende hele tall, og vis ved eksempel at Petters antakelse
er riktig for tallene du har valgt.
b Formuler Petters antakelse for to etterfølgende hele tall n og (n + 1) og
vis at den er riktig.
(Eksamen 1T høsten 2012, endret.)
E50 (Kapittel 1)
Sett inn korrekt symbol (⇒ eller ⇐ eller ⇔) i boksen slik at påstanden blir
riktig:
x2 − 9 = 0
x =3
Skriv av oppgaven på besvarelsen din, og forklar hvordan du tenker.
(Eksamen høsten 2011)
E51 (Kapittel 1, 2 og 4)
a Løs likningen 2 ⋅ 7x = 4 ⋅ 5x .
b Avgjør om implikasjonene nedenfor er riktige. Begrunn svarene dine.
1 x = 3 ∧ y = 7 ⇒ x + y = 10
2 ( x − 2) ⋅ x ⋅ ( x + 3) = 0 ⇒ x = −3
c Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig i noen av utsagnene i
oppgave b.
(Eksamen våren 2012)
Med hjelpemidler
E52 (Kapittel 1 og 2)
Tre bakere skal bake brød.
La x være antall kilogram hvetemel som skal brukes.
a Baker nr. 1 tar halvparten av hvetemelet, pluss et halvt kilogram.
⎛ x 1⎞
⎛ x 1⎞
Forklar at baker nr. 1 tar ⎜ + ⎟ kg hvetemel, og at det er igjen ⎜ − ⎟
⎝ 2 2⎠
⎝ 2 2⎠
kg hvetemel.
b Baker nr. 2 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt
kilogram.
⎛ x 3⎞
⎛ x 1⎞
Forklar at baker nr. 2 tar ⎜ + ⎟ kg hvetemel, og at det er igjen ⎜ − ⎟
⎝ 4 4⎠
⎝ 4 4⎠
kg hvetemel.
c Baker nr. 3 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt
kilogram.
⎛ x 1⎞
Forklar at baker nr. 3 tar ⎜ + ⎟ kg hvetemel.
⎝ 8 8⎠
⎛ x 1⎞ ⎛ x 1 ⎞ ⎛ x 1 ⎞
d Forklar at ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ = x − 1
⎝ 2 2⎠ ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ 8 8 ⎠
Bestem x.
(Eksamen våren 2011)
E53 (Kapittel 2)
Likningen ax 2 + 2(a + 2)x + a = 0 er gitt. a er et tall (a ‘ ).
Bruk CAS til å finne for hvilke verdier av a likningen har
ä «QOºVQLQJ
ä WROºVQLQJHU
ä LQJHQOºVQLQJ
E54 (Kapittel 2)
Vi har gitt likningen
900 ⋅ 1,10x = 1500 ⋅ k x
Bestem k slik at x " 10 er en løsning av likningen.
(Eksamen høsten 2013)
E55 (Kapittel 2)
Bestem eksakt verdi for b slik at funksjonen f gitt ved f (x ) = 2x 2 + bx + 3
a har nullpunkter
b har bare ett nullpunkt
(Eksempeloppgave 2012)
E56 (Kapittel 2)
Bestem a slik at likningen x 2 + (a + 2) x + 3 = 0 bare har én løsning.
Bestem denne løsningen for x.
(Eksempeloppgave 2012)
335
336
8 Eksamenstrening
E57 (Kapittel 2)
Avstanden mellom byene A og B er 200 km.
ä (QELOVWDUWHUL$RJNMºUHUPRW%PHGIDUWHQNPK
ä 9LVHWWHULJDQJHQNORNNHLGHWELOHQL$VWDUWHU
ä (QDQQHQELOVWDUWHUL%PLQVHLQHUHRJNMºUHUPRW$PHGIDUWHQ
bNPK
ä /Dt være tiden klokka viser, målt i timer.
a Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å bestemme hvor
langt det er fra A til stedet der bilene møtes.
s = 60 ⋅ t
1
s = 200 − 40 ⎛⎜ t − ⎞⎟
⎝
3⎠
b Løs likningssystemet og bestem hvor langt fra A de møtes.
Anta at føreren av bilen som starter i B, ønsker at de skal møtes midt
mellom de to byene.
c Bestem hvilken fart bilen hans må ha, for at dette skal skje.
(Eksamen høsten 2014)
E58 (Kapittel 3)
En forhandler selger pukk og veigrus til de lokale entrepenørene.
ä +DQNDQLPSRUWHUHPDNVLPXPWYHLJUXVRJWSXNN
ä +DQNDQLPSRUWHUHWLOVDPPHQbP3 pukk og veigrus.
ä bP3 veigrus veier 1,60 t, og 1 m3 pukk veier 1,36 t.
La x være antall tonn veigrus som blir importert, og y antall tonn pukk.
a Forklar at opplysningene ovenfor gir oss følgende ulikheter:
0 ≤ x ≤ 900
0 ≤ y ≤ 1000
1,36x + 1,60y ≤ 2176
Forhandleren selger veigrus til 74 kr per tonn. Inntektene ved salg av
x tonn veigrus og y tonn pukk er gitt ved
F (x , y ) = 74x + 106y
b Hva er utsalgsprisen for pukk?
c Hvor mange tonn veigrus og pukk bør forhandleren kjøpe for å få størst
inntekter?
(Eksempeloppgave 2014)
Med hjelpemidler
E59 (kapittel 3)
En matbutikk lager to typer kjøttkaker. Tabellen nedenfor viser hvor mye
kjøttdeig og mel som går med til å lage 1 kg kjøttkaker for hver av de to
typene.
Kjøttkaketype
Kjøttdeig
Mel
A
0,40 kg
0,60 kg
B
0,80 kg
0,20 kg
Matbutikken har hver uke tilgang på 1000 kg kjøttdeig og 800 kg hvetemel.
La x være antall kilogram kjøttkaker av type A og y antall kilogram kjøttkaker
av type B som lages hver uke.
a Forklar at x og y må oppfylle ulikhetene nedenfor.
x ≥0
y ≥0
0,60x + 0,20y ≤ 800
0,40x + 0,80y ≤ 1000
Uilkhetene avgrenser et område. Marker dette området i et
koordinatsystem.
Prisen på kjøttkake av type A er 70 kr per kilogram. Prisen for type B er
110 kr per kilogram.
b Anta at butikken for solgt alle kjøttkakene. Hvor mye av hver type
kjøttkaker må de produsere for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
En uke er en av de ansatte i butikken syk. De klarer derfor ikke å produsere
mer enn 1500 kg kjøttkaker til sammen.
c Hvor mye av hver kjøttkaketype må de produsere denne uka for at
salgsinntektene skal bli størst mulig?
(Eksamen høsten 2014)
E60 (Kapittel 3)
Silje lager to typer syltetøy.
Type 1 inneholder 90 % bær og 10 % sukker.
Type 2 inneholder 40 % bær og 60 % sukker.
Syltetøyet skal fylles på glass, og et fullt glass skal inneholde 1 kg syltetøy.
Hun har 20 kg bær og 5 kg sukker som hun skal lage syltetøy av.
a Hvor mange glass av hver type må hun lage for å få brukt opp 20 kg bær
og 5 kg sukker?
b Hun kan selge syltetøy av type 1 for 80 kr per glass og syltetøy av type 2
for 40 kr per glass. Hvilken inntekt får hun i dette tilfellet?
Forklar ved å bruke lineær optimering at dette er den største inntekten
hun kan oppnå.
Helsemyndighetene foreslår å øke sukkerprisen slik at syltetøy av type 2 blir
dyrest.
c Når Silje skal lage mer syltetøy, kjøper hun bær for 30 kr per kilogram.
Det skal koste 5 kr mer per glass å lage syltetøy av type 2 enn av type 1.
Undersøk hva prisen per kilogram sukker da må være.
(Eksamen høsten 2013)
337
338
8 Eksamenstrening
E61 (Kapittel 3)
En bedrift produserer to typer laksefôr, Godlaks og Gladlaks.
Begge fôrtypene inneholder stoffene A og B.
ä )RU§ODJHWRQQDYI¶UHW*RGODNVEODQGHVNJDYVWRIIHW$RJNJDY
stoffet B.
ä )RU§ODJHWRQQDYI¶UHW*ODGODNVEODQGHVNJDYVWRIIHW$RJNJ
av stoffet B.
ä %HGULIWHQNDQKYHUXNHI§NMºSWLQQWLOWRQQDYVWRIIHW$RJLQQWLOWRQQ
av stoffet B.
ä 'HQPDNVLPDOHSURGXNVMRQVPHQJGHQHULQQWLOWRQQODNVHI¶USHUXNH
ä %HGULIWHQSURGXVHUHUx tonn av fôret Godlaks og y tonn av fôret Gladlaks
hver uke.
a Forklar at x og y må oppfylle ulikhetene
x ≥ 0, y ≥ 0
0,3x + 0,6y ≤ 20
0,7x + 0,4 y ≤ 18
x + y ≤ 35
Marker det området som x og y må tilhøre i et koordinatsystem.
Bedriften selger hele produksjonen. Salgsprisen for fôret Godlaks er
5000 kr per tonn, mens fôret Gladlaks selges for 8500 kr per tonn.
b Hvor mye må bedriften produsere av hver fôrtype for at salgsinntekten
per uke skal bli størst mulig? Bestem denne salgsinntekten.
(Eksamen våren 2013)
E62 (Kapittel 3)
I denne oppgaven skal du bruke lineær optimering.
En leketøysfabrikk lager to populære leker, en dukke og en lekebil.
Fabrikken har tre avdelinger, én for produksjon, én for maling og én for
montering av lekene.
Nedenfor ser du en oversikt over nødvendig tidsbruk per leke og antall
arbeidstimer som kan brukes i hver av de tre avdelingene.
Avdeling
Antall arbeidstimer
per dukkke
Antall arbeidstimer per lekebil
Antall tilgjengelige
arbeidstimer i alt
Produksjon
0,5
0,25
700
Maling
1
0,25
1100
Montering
0,2
0,5
1200
Hver dukke kan selges for 900 kr, mens hver lekebil kan selges for 300 kr.
Vi forutsetter at alt som produseres, blir solgt.
a Hvor mange av hver leke vil du anbefale fabrikken å lage når de ønsker at
den totale inntekten skal bli så høy som mulig?
b Hva er den største inntekten fabrikken kan oppnå?
(Eksamen våren 2011)
Med hjelpemidler
E63 (Kapittel 3)
En ferje frakter personbiler og lastebiler. En personbil trenger et areal på
15 m2 når den står parkert på ferja, mens en lastebil trenger 50 m2.
Arealet av hele ferjedekket er 2100 m2.
En personbil veier i gjennomsnitt 1 t (tonn), og en lastebil veier 10 t.
Den samlede vekten av bilene på ferja må ikke overstige 250 t.
Det koster 106 kr for en personbil på denne ferjestrekningen, mens det
koster 603 kr for en lastebil.
La x være antall personbiler og y antall lastebiler om bord på ferja ved en
overfart.
a Sett opp ulikheter som avgrenser antall personbiler og lastebiler det er
mulig å ta med på ferja.
b Tegn grafer som illustrerer ulikhetene i et koordinatsystem. Marker på
figuren hvilket område som angir de mulige antallene av personbiler og
lastebiler.
c Sett opp et uttrykk som viser hvor stor inntekt ferjeselskapet har på en
overfart. Finn den fordelingen av personbiler og lastebiler som gir høyest
inntekt for selskapet. Hva er den største inntekten selskapet kan oppnå
på en overfart?
Det innføres nye regler. Av sikkerhetsgrunner er det ikke lenger tillatt å ta
med mer enn 14 lastebiler.
d Hva blir den høyeste inntekten som er mulig å oppnå på en overfart?
(Eksamen høsten 2010)
y
6
y3
5
4
y2
3
2
y1
1
1
2
3
E64 (Kapittel 3)
Et gruveselskap produserer tre typer mineraler: kobberkis, sinkblende og
blyglans.
Selskapet har to gruver, Dronningens gruve og Kongens gruve.
I Dronningens gruve produseres det daglig 3 tonn kobberkis, 1 tonn
sinkblende og 6 tonn blyglans.
I Kongens gruve produseres det daglig 6 tonn kobberkis, 1 tonn sinkblende
og 4 tonn blyglans.
Driftskostnadene per dag er 15 000 kr i Dronningens gruve og 10 000 kr i
Kongens gruve.
Gruveselskapet får en ordre på 18 tonn kobberkis, 5 tonn sinkblende og
24 tonn blyglans.
For å utføre ordren produserer selskapet x dager i
Dronningens gruve og y dager i Kongens gruve.
a På figuren er det tegnet tre rette linjer y 1, y 2 og y 3 . Bruk
figuren og finn likningen for hver av de tre rette linjene.
b Forklar hvilke opplysninger i den innledende teksten
som kan knyttes til hver av likningene.
c Bruk den innledende teksten til å begrunne i hvilket
område på figuren punktene (x , y ) kan ligge.
Tegn figur og skraver dette området.
d Hvor mange dager må selskapet produsere i hver gruve
for å få minst mulige kostnader?
e Vurder om det blir noe overskudd av mineraler når
selskapet produserer som i oppgave d.
4
5
6 x
339
340
8 Eksamenstrening
E65 (Kapittel 4)
Sammenhengen mellom lydstyrke (L) og lydintensitet (I) er gitt ved
L = 10lg I + 120 .
a Finn lydstyrken når lydintensiteten er 106 :m2 (rolig samtale).
b Finn lydintensiteten når lydstyrken er 100 dB (diskotek).
c Ved et bord i et diskotek måles lydstyrken fra to høyttalere. Målingene
viser 80 dB og 110 dB. Hva er samlet lydstyrke fra de to høyttalerne?
E66 (Kapittel 4)
Den radioaktive nedbøren etter Tsjernobyl-ulykken våren 1986 skyldtes
radioaktivt cesium, som har en halveringstid på ca. 30 år.
Men mennesker og dyr som får dette stoffet i seg, skiller ut en del av det ved
vanlige biologiske prosesser. Den tid det tar å skille ut halvparten av et stoff,
kalles biologisk halveringstid.
Målenheten for radioaktivitet er becquerel, som skrives Bq. Vi tenker oss at
kjøttet på et dyr som har spist radioaktiv mat, har en radioaktivitet på
6000 Bq per kg. Vi forutsetter at dyret fra nå av bare spiser mat som er fri for
radioaktivitet, og vi regner med en biologisk halveringstid på 30 dager.
a Forklar at radioaktiviteten etter t dager er redusert til
t
6000 š 0,5 30 Bq per kg.
b Hvor lang tid tar det før strålingen blir mindre enn 600 Bq per kg?
E67 (Kapittel 4)
En forretning selger en bestemt type luer. Salget er avhengig av prisen p kr.
Ut fra erfaring antar forretningen at antall luer som vil bli solgt er gitt ved
funksjonen L, der L(p ) = 4200 − 1500lg(p ), p ∈ [200 , 500].
a Hvor mange luer regner forretningen med å selge hvis prisen er 450 kr?
b Hva er prisen hvis forretningen regner med å selge 600 luer?
c Finn et uttrykk for inntekten ved salget av luene.
d Bruk CAS til å finne hvilken pris forretningen bør velge for at inntekten
skal bli størst mulig.
Hva er inntekten da?
E68 (Kapittel 4)
Lysintensiteten i et vann er tilnærmet gitt ved funksjonen I (x ) = I0 ⋅ 10kx ,
der I0 er intensiteten av en lysstråle som treffer normalt på vannoverflata,
og x er vanndybden målt i meter.
a Lysintensiteten er halvert når vanndybden er 3,0 m.
Bruk CAS til å vise at k = −0,1.
b På hvilket dyp er intensiteten redusert med 60 %?
cx
⎛ 1⎞
c Lysintensiteten kan skrives på formen I (x ) = I0 ⋅ ⎜ ⎟ ,
⎝ 2⎠
der c er en konstant.
Bestem c.
Med hjelpemidler
E69 (Kapittel 4)
Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på x,
lgx
⎛x⎞
nn ⋅ ⎜ ⎟
= x n , x > 0, n > 0
⎝n⎠
a Vis at denne likningen kan omformes til
x lg x
x n
lg ⎛⎜ ⎞⎟
= lg ⎛⎜ ⎞⎟
⎝n⎠
⎝n⎠
b Vis at likningen videre kan skrives
(lg x − n ) ⋅ (lg x − lg n ) = 0
c Bruk likningen i oppgave b til å bestemme x uttrykt ved n.
(Eksamen våren 2014)
E70 (Kapittel 5)
For nøyaktig tre år siden satte Per inn 10 000 kr på en sparekonto.
Kontoen har en fast årlig rente på 4,0 %.
a Hvor mye penger har Per på sparekontoen i dag?
b Hvor mange år vil det gå fra han setter inn pengene, til han har 25 000 kr
på kontoen dersom han lar pengene bli stående på kontoen?
Per bestemmer seg for å sette inn mer penger på kontoen.
c Hvor mye penger må han sette inn på sparekontoen i dag for at det til
sammen skal stå 25 000 kr på kontoen om sju år?
(Eksamen høsten 2014)
E71 (Kapittel 5)
En vanntank har form som en rett kjegle. Tanken er
10,0 m høy. En pumpe fyller 18 m3 vann på tanken hver
time. Det tappes ikke noe vann ut av tanken. Tabellen
nedenfor viser vannstanden i tanken ved ulike tidspunkt.
Tid i timer
Vannstand i meter
1
2
4
6
8
10
3,3
4,2
5,2
6,0
6,6
7,1
a Sett punktene fra tabellen inn i et koordinatsystem med tiden langs
x-aksen og vannstanden langs y-aksen. Lag en potensfunksjon som
passer med tallene fra tabellen.
b Bestem hvor mange timer det går før tanken er full.
Hvor mye vann er det da i tanken?
Det skal bygges en ny tank med samme form, men høyere. Den nye tanken
skal romme 1000 m3.
c Hvor lang tid tar det for pumpa å fylle den nye tanken?
Hvor høy blir den nye tanken?
(Eksamen høsten 2014)
341
342
8 Eksamenstrening
E72 (Kapittel 5)
Figuren viser grafen til funksjonen f gitt ved
f (x ) = 6 −
1 2
x , Df = 2
y
D
A
C
B
x
Under grafen og over x-aksen er det skrevet inn et rektangel ABCD slik
figuren viser. Punktene A og B ligger på x-aksen, og C og D ligger på grafen.
Punktet B har førstekoordinaten x, der x # 0.
a Forklar at arealet F av rektanglet kan skrives som en funksjon av x gitt
ved F (x ) = 12x − x 3 .
Bestem Df .
b Det fins to verdier av x som gjør at arealet av rektanglet blir lik 9.
Bestem disse to verdiene.
c Bestem den verdien av x som gjør at arealet av rektanglet blir størst
mulig.
Hva blir det størst arealet?
d Bestem et uttrykk for omkretsen av rektanglet. Bestem den verdien av x
som gjør at omkretsen av rektanglet blir størst mulig. Kommenter svaret.
(Eksamen høsten 2013)
E73 (Kapittel 5)
Kostnadene f, målt i kroner, ved å produsere en bestemt vare er gitt ved
funksjonen
f (x ) = 30,4x + 2000
der x er antall hundre produserte enheter. For eksempel svarer x " 20 til
2000 enheter.
Produsenten selger hele produksjonen. Prisen per enhet er 500 kr.
a Forklar at inntektsfunksjonen g er gitt ved g (x ) " 500x .
Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem når x ∈ [0 , 22].
b Bestem hvor mange enheter som må produseres og selges for at driften
skal gå i balanse.
c Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd.
Hvor stort er dette overskuddet?
Med hjelpemidler
E74 (Kapittel 5 og 6)
Vi har funksjonen f (x ) = 0,5x 2 − 2x + 1,5.
a Grafen til f har en tangent t i punktet (1 , f (1)).
Hva er stigningstallet for tangenten?
1
En annen funksjon g er gitt ved g (x ) = x 3 − ax 2 + 2 , der a er en konstant.
2
b Tangenten til grafen til g i punktet (1, g (1)) er parallell med tangenten t
i oppgave a.
Bestem verdien for a.
c Tegn i samme koordinatsystem grafen til f og grafen til g med den verdien
du fant for a i oppgave b.
Hva kan du si om grafene i punktene med x-koordinat 1?
E75 (Kapittel 5 og 6)
Et bakeri lager x kaker per dag, i tillegg til andre bakervarer. Bakeriet har
funnet at de totale kostnadene K (x ) i kroner ved kakeproduksjonen avhenger
av antall kaker, slik tabellen viser.
Antall kaker x
0
50
90
150
180
250
Totale kostnader K(x)
0
900
1000
1100
1500
4400
a Bruk regresjon til å bestemme en polynomfunksjon av tredje grad som
passer best mulig med tallene i tabellen.
I resten av oppgaven vil vi bruke kostnadsfunksjonen K gitt ved
K (x ) = 0,001x 3 − 0,3x 2 + 30x , x ∈ [0 , 250]
Bakeriet selger alle kakene for 15 kr per stykk. Inntektsfunksjonen I er da
gitt ved
I (x ) " 15x
b Tegn grafene til K og I i samme koordinatsystem.
Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilke som gir
underskudd.
c Bruk derivasjon til å bestemme hvor mange kaker som bør produseres
dersom overskuddet skal bli størst mulig.
Hva er det største overskuddet bakeriet kan oppnå per dag når vi bare ser
på kakeproduksjonen?
Som et ekstra tilbud til kundene vurderer bakeriet å sette ned prisen
per kake.
d La prisen per kake være p kr. Bestem den minste verdien p kan ha
dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og
inntekter.
Hvor mange kaker bør lages og selges per dag når p har denne verdien?
(Eksamen høsten 2013)
343
344
8 Eksamenstrening
E76 (Kapittel 2, 5 og 6)
En bedrift har funnet at de samlede kostnadene f ved å produsere x enheter
av en vare er gitt ved f (x ) = 55 + 0,01x 2 .
a De samlede kostnadene må ikke overstige 200. Hvor mange enheter kan
bedriften da høyst produsere?
b Hele produksjonen blir solgt. Salgsinntekten g er gitt ved g (x ) " 1,6x .
Hvilke produksjonsmengder gir overskudd for bedriften?
Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?
Hvor stort er dette overskuddet?
Hvis prisen per enhet er p, kan salgsinntekten skrives som h(x ) = p ⋅ x .
Bedriften vil undersøke hvor lavt prisen kan settes dersom det skal være
mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter.
y
f
h
T
x
c Forklar at vi kan bestemme denne minsteprisen når grafen til h tangerer
grafen til f. Se figuren.
Det kan vises at den minste prisen som vil gi balanse, er p ~ 1,48.
d Forklar at prisen er minst når p = f ′(a), der a er førstekoordinaten til
tangeringspunktet T på figuren. Bruk dette til å bestemme hvor mange
enheter det produseres og selges når prisen er minst.
e Likningen f (x ) " h(x ) kan omformes til 0,01x 2 − px + 55 = 0.
Bestem den verdien for p som gjør at denne likningen har bare én
løsning. Forklar hvorfor denne verdien er den minste prisen som vil gi
balanse.
(Eksamen våren 2013)
E77 (Kapittel 5 og 6)
En produsent skal lage en rett, lukket sylinder.
Høyden h og diameteren d kan variere, men d + h = 6 .
Vi setter radius i sylinderen lik x.
Vis at volumet V av sylinderen da kan skrives som
V (x ) = 6πx 2 − 2πx 3.
Med hjelpemidler
E78 (Kapittel 5 og 6)
En bedrift selger en vare og ønsker å finne en optimal pris per enhet. De har
foretatt en markedsanalyse og funnet ut at når prisen er p kr per enhet, får
de solgt x enheter slik tabellen nedenfor viser.
Pris p
12
16
20
24
28
32
36
Antall solgte enheter x
1153
1001
839
690
490
380
190
a Bruk regresjon til å finne en modell for antall solgte enheter som
funksjon av prisen p.
Videre i oppgaven går vi ut fra følgende modell for antall solgte enheter:
x = −40p + 1600
når prisen er p kr per enhet.
Bedriften ønsker å sette prisen så høyt som mulig, men ikke høyere enn at
de får solgt alle enhetene de produserer.
b Vis at inntektene ved salg av x enheter er I (x ) = −0,025x 2 + 40x .
Bedriften har kommet fram til at kostnadene ved å produsere x enheter er
K (x ) = 0,002x 2 + 10x + 4000, x ∈ 0 , 1200 .
c Avgjør om bedriften får overskudd dersom de produserer og selger
1000 enheter.
d Tegn grafene til K og I i samme koordinatsystem.
e Vis at overskuddet ved produksjon av x enheter er gitt ved
O (x ) = −0,027x 2 + 30x − 4000 .
f Hva må prisen per enhet være for at overskuddet skal bli størst mulig?
(Eksamen våren 2012)
E79 (Kapittel 5 og 6)
Funksjonen f er gitt ved f (x ) = ax 3 − bx − 2 .
Grafen til f har et toppunkt i (2 , f (2)) og en tangent med stigningstall 2 i
punktet (1, f (1)) .
Bestem de eksakte verdiene for a og b.
E80 (kapittel 5 og 6)
Vi har gitt funksjonen f (x ) = 2x 3 − 9x 2 + 12x .
1
a Tegn grafen til f når x ∈ − , 3 .
2
b Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1, 2] .
Marker denne på figuren i oppgave a.
1
c Finn den momentane vekstfarten når x " . Marker den på figuren
2
i oppgave a.
d Tegn fortegnslinja til f e(x ) og bruk den til å finne hvor grafen til f stiger,
og hvor grafen til f synker.
e Løs likningen f ′(x ) = 0. Bestem topp- og bunnpunktet på grafen til f.
f Vis ved regning at likningen f (x ) " 0 bare har løsningen x " 0.
(Eksamen høsten 2010)
345
346
8 Eksamenstrening
E81 (Kapittel 7)
Thea er en ivrig fluefisker. Av erfaring vet hun at sannsynligheten for at det
biter fisk når hun kaster ut en flue, er 10 %. Vi antar at fiskene biter
uavhengig av hverandre. En dag kaster Thea ut flua 30 ganger.
a Hva er sannsynligheten for at det biter fisk akkurat 3 ganger?
b Hva er sannsynligheten for at det biter fisk minst 3 ganger?
En annen dag Thea er ute og fisker, ønsker hun at det skal være minst 80 %
sannsynlighet for at hun får minst tre fisker.
c Hvor mange ganger må Thea kaste ut flua?
E82 (Kapittel 7)
På en fest er det 10 gutter og 12 jenter. Etter festen blir 8 av festdeltakerne
trukket ut tilfeldig for å rydde.
a Hva er sannsynligheten for at 6 jenter blir trukket ut?
b Hva er sannsynligheten for at minst 3 gutter blir trukket ut?
c To av guttene er veldig gode venner. Hva er sannsynligheten for at de to
gode vennene blir trukket ut sammen med seks jenter?
E83 (Kapittel 7)
I et lokallag av Natur og Ungdom er det 12 gutter og 16 jenter. Lokallaget
skal sende fire representanter til årsmøtet i fylkeslaget. Siden alle
medlemmene gjerne vil være med på årsmøtet, blir de enige om å trekke
lodd om hvem som skal representere lokallaget.
a Hva er sannsynligheten for at lokallaget blir representert med to gutter
og to jenter?
b Hva er sannsynligheten for at lokallaget blir representert med én gutt og
tre jenter?
c Hva er sannsynligheten for at lokallaget blir representert med minst én
av hvert kjønn?
I et annet lokallag av Natur og Ungdom er det 10 medlemmer.
Dette lokallaget velger to representanter til årsmøtet ved loddtrekning.
5
Sannsynligheten er for at lokallaget velger én gutt og én jente som
9
representanter til årsmøtet.
d Hvor mange gutter er det i lokallaget?
E84 (Kapittel 7)
Abelkonkurransen er en matematikkonkurranse i skolen. Den består av
20 spørsmål der hvert spørsmål har 5 svaralternativer. Vi vil i dette tilfellet
trekke ut våre 20 svar helt tilfeldig uten å løse oppgavene.
a Begrunn hvorfor vi kan se på denne trekningen som et binomisk forsøk.
b Bestem sannsynligheten for å få akkurat 5 rette svar.
c Bestem sannsynligheten for å få minst 5 rette hvis vi trekker ut svarene
tilfeldig.
(Eksempeloppgave 2014)
Med hjelpemidler
E85 (Kapittel 7)
Sommeren 2013 viste en undersøkelse at 3 av 4 som har tatt lærerutdanning,
arbeidet som lærer. I en ny undersøkelse blir 20 personer som har tatt
lærerutdanning, kontaktet.
a Bestem sannsynligheten for at akkurat 15 av dem arbeider som lærer.
b Bestem sannsynligheten for at flere enn 15 arbeider som lærer.
Det blir bestemt at flere personer med lærerutdanning skal kontaktes.
c Hvor mange personer må delta i undersøkelsen for at sannsynligheten
skal være større enn 95 % for at minst 25 av dem arbeider som lærer?
(Eksamen våren 2014)
E86 (Kapittel 7)
En epledyrker har funnet ut at 80 % av eplene han plukker, har god nok
kvalitet til at de kan selges til vanlig forbruk. Resten går til produksjon av
eplesaft, syltetøy og liknende.
a En dag plukker han 70 epler. Bestem sannsynligheten for at akkurat 60 av
dem kan selges til vanlig forbruk.
b Bestem sannsynligheten for at minst 60 av disse eplene kan selges til
vanlig forbruk.
Epledyrkeren selger epler fra en kasse som inneholder 80 epler av sort A og
100 epler av sort B. Eplene er lagt tilfeldig ned i kassa.
c En kunde kjøper 20 epler. Bestem sannsynligheten for at kunden får
akkurat 10 av hver sort når eplene trekkes ut tilfeldig.
(Eksamen våren 2013)
E87 (Kapittel 7)
En fabrikk produserer lyspærer. Fabrikken garanterer at det er 75 %
sannsynlighet for at en lyspære vil lyse i 1000 h (timer). En kunde kjøper
20 slike lyspærer.
a Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 lyspærer lyser når det er gått
1000 h.
b Bestem sannsynligheten for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 h.
Kunden ønsker at det skal være en sannsynlighet på 95 % eller mer for at
minst 15 av 20 lyspærer fremdeles lyser når det er gått 1000 h.
c Bestem hvilken sannsynlighet hver lyspære da må ha for å lyse i 1000 h.
(Eksamen høsten 2013)
E88 (Kapittel 7)
Et utleiefirma har 20 kajakker på lager. Av dem er sju gule, åtte røde og fem
hvite. Maria og tre venner vil leie hver sin kajakk. Firmaet velger ut fire
kajakker tilfeldig fra lageret.
a Bestem sannsynligheten for at Maria og vennene får utdelt to gule, én rød
og én hvit kajakk.
b Bestem sannsynligheten for at firmaet velger ut fire gule kajakker.
c Bestem sannsynligheten for at ingen av de fire kajakkene er gule.
(Eksamen høsten 2012)
347