1. No category

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011
Del 1
Tid: 2 timer
Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.
Oppgave 1 (18 poeng)
a) Deriver funksjonene
1)
f  x   2x 3  5x  3
f  x   6x 2  5
2) g  x  
g x  
3
x3
3  3x 2
x 
3 2

9x 2
9
 4
6
x
x
3) h  x   x 2  ln x
h x   2x  ln x  x 2 
h x   2x  ln x  x
1
x
b) I en aritmetisk tallfølge er a4  9 og a10  21 .
Bestem a15 .
a10  a4  10  4   d

21  9  6  d
a15  9  15  4   2  31

d
21  9
2
6
c) Forkort brøken
x 3  3x 2  13x  15
x 3
Hvis brøken lar seg forkorte, må x  3 være en faktor i telleren. Det er tilfelle hvis x  3 er et
nullpunkt i telleren. Jeg setter inn 3 i telleren.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 1
 3
3
 3   3  13   3  15  27  27  39  15
2
 54  54
0
Da vil polynomdivisjonen gå opp
x 3  3x 2  13x  15:  x  3   x 2  6 x  5
  x 3  3x 2 
 6 x 2  13x  15
  6 x 2  18 x 
5x  15
  5x  15
0
Det betyr at
x 3  3x 2  13x  15
 x 2  6x  5
 x  3
d) Forklar at den uendelige rekken nedenfor konvergerer. Bestem summen.
14
9
14 2
9


79 79 9
28
 81
28
2
81


14
 81 14  9 9
9
56
 729
56 2
729


28
 729 28  9 9
81
Dette viser at rekken er geometrisk, og siden kvotienten 1 
Summen av rekken er S 
7
2
1
9

2
 1 konvergerer rekken.
9
79
79 79


9
2
9

2
7
19  9
9
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 2
e) Løs likningen 2x
x
2
2
x 2 2 x
2
2 x
8
8
 2 x ln2  ln8
ln23
ln2
3 ln2
x 2  2x 
ln2
x 2  2x 
x 2  2x  3
x 2  2x  3  0
2  4  12
2
x 3 
x  1
x
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 3
f)
Vi har gitt sannsynlighetsfordelingen
x
0
1
2
3
P X  x
1
8
3
8
3
8
1
8
1) Finn forventningsverdien E  x 
n
E  X    xi  P  X  xi 
i 1
1
3
3
1
 0   1  2  3
8
8
8
8
3 6 3 12 3
   

8 8 8 8 2
2) Vis at variansen Var  x  
3
4
Var  X     xi     P  X  xi 
2
2
2
2
2
3 1  3 3 
3 3 
3 1

  0     1      2      3   
2
8
2
8
2
8
2 8







9 1 1 3 1 3 9 1
       
4 8 4 8 4 8 4 8
9  3  3  9 24 3



32
32 4
Tre gutter har tre ulike typer mynter med ulik verdi i lommene. Tabellen nedenfor viser
fordelingen av myntene.
Antall mynter
av type 2
Antall mynter
av type 3
Sum i kroner
Navn
Antall mynter
av type 1
Ola
3
2
4
120
Per
2
3
2
75
Inge
2
5
3
105
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 4
g) Regn ut verdien til de tre mynttypene ved å løse et likningssystem.
Jeg lar verdien av mynt av type 1 være x kroner, av type 2 y kroner og av type 3 z kroner.
Opplysningene i tabellen gir da likningssystemet
3x  2y  4 z  120 
2x  3y  2z  75 


2x  5y  3z  105 
Jeg løser likningssystemet og finner verdien av de tre mynttypene.
3
3 x  2y  4 z  120

y  60  x  2z
2

3

  5



2 x  3  60  2 x  2z   2z  75    x  4 z  105  5 x  8 z  210 



 2



3
  11


 11 x  14 z  390 

x

7
z


195
2
x

5
60

x

2
z

3
z

105



  2

2




5 x  8 z  210

8
x  42  z
5

8 
88
 
 

11  42  5 z   14 z  390    462  5 z  14 z  390   2310  88 z  70 z  1950   18 z  360  z  20


 
 
8
3
 x  42   20  10  y  60   10  2  20  60  15  40  5
5
2
Verdien av mynt av type 1 er 10 kroner, av type 2 er verdien 5 kroner og av type 3 er verdien
20 kroner.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 5
Oppgave 2 (6 poeng)
Trekanttallene er gitt ved formelen an 
nn  1
, der n er et naturlig tall.
2
a) Skriv opp de ti første trekanttallene.
a1 
a5 
a9 
1 1  1
2
5  5  1
2
9  9  1
2
1
a2 
 15
a6 
 45
2 2  1
2
6  6  1
3
 21
2
10 10  1
a10 
 55
2
a3 
a7 
3  3  1
2
7  7  1
2
6
a4 
 28
a8 
4  4  1
2
8  8  1
2
 10
 36
Inge påstår at summen av to «nabo-trekanttall» alltid er lik et kvadrattall.
b) Finn ut om dette gjelder for a14  a15 og for a20  a21 .
14 14  1  15 15  1 

 7  15  15  8  15  7  8   15 15  152
2
2
20  20  1  21  21  1 
a20  a21 

 10  21  21 11  21 10  11   21  21  212
2
2
Dette gjelder for a14  a15 og for a20  a21
a14  a15 
c) Finn ut om an  an1 alltid er et kvadrattall.
n  n  1   n  1  n  1  1 

2
2
n  n  1    n  1  n  2 

2
 n  1  n  n  2 

2
n

1
2
  n  2 

2
n

1
  n  1  2

2
  n  1  n  1 
an  an1 
 n  1
2
Dette viser at summen av to «nabo-trekanttall» alltid er lik et kvadrattall.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 6
Del 2
Tid: 3 timer
Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater
kommunikasjon.
Oppgave 3 (9 poeng)
Vi skal undersøke kostnader og inntekter for en bedrift.
a) Forklar at overskuddet for bedriften er størst når grensekostnaden er lik grenseinntekten.
Grensekostnaden er økning i den totale kostnaden ved å produsere én ekstra enhet.
Grenseinntekten er økningen i inntekten ved salg av én ekstra enhet.
Når grensekostnaden er mindre enn grenseinntekten, vil økt produksjon gi ekstra overskudd, og
produksjonen bør økes.
Når grensekostnaden er større enn grenseinntekten, vil økt produksjon gi mindre overskudd, og
produksjonen bør minskes.
Det betyr at maksimalt overskudd oppnås når grensekostnaden er lik grenseinntekten
I bedriften er dagsproduksjonen av en vare x enheter. Kostnadene per enhet er gitt ved
E  x   0,15x  7 
2000
x
x 10,300
Etterspørselen etter varen er så stor at alt som produseres, blir solgt. Varen selges for 55 kroner per
enhet.
b) Finn funksjonsuttrykk for totalkostnaden K og inntekten I ved produksjon og salg av x enheter.
Totalkostnaden er lik kostnadene per enhet multiplisert med antall enheter som produseres.
K x  E x x
2000 

  0,15 x  7 
 x
x 

 0,15 x 2  7 x  2000
Inntekten er lik inntekten per enhet multiplisert med antall enheter som selges.
I  x   55x
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 7
c) Tegn grafene til funksjonene K og I i samme koordinatsystem.
Jeg tegner grafene i Geogebra.
d) Bruk grafene til å bestemme hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilken
produksjonsmengde som gir størst overskudd.
Jeg finner skjæringspunktene mellom grafene
i GeoGebra ved å bruke kommandoen
«Skjæring mellom to objekt»
Produksjonsmengder mellom 49 og 271
enheter gir overskudd.
(Se koordinatsystemet til høyre.)
Vi får størst overskudd når grenseinntekten og
grensekostnaden er like store.
Inntektsfunksjonen er lineær med stigningstall
lik 55. Det vil si at grenseinntekten er konstant
lik 55.
Jeg lager en glider, a , i GeoGebra. Ved å justere glideren ser jeg at stigningstallet til tangenten til
kostnadsfunksjonen i punktet  a,K  a   er lik 55 når a  160 .
Bedriften får størst overskudd når det produseres 160 enheter.
e) Bestem ved regning hvor mange enheter som må produseres og selges for at overskuddet skal bli
størst mulig.
Jeg definerer kostnadsfunksjonen og
inntektsfunksjonen i GeoGebra og løser likningen
K  x   I  x  .
Det må produseres og selges 160 enheter for at
overskuddet skal bli størst mulig.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 8
Oppgave 4 (4 poeng)
Tre påfølgende kvadrattall kan alltid skrives på formen n2 ,  n  1  og  n  2 .
2
2
Med for eksempel n  1 , får vi kvadrattallene 1 , 4 og 9 .
Summen av tre påfølgende kvadrattall er 365.
a) Sett opp en likning, løs denne og bestem n og de tre kvadrattallene.
Jeg løser likningen n2   n  1    n  2  365 i
2
2
GeoGebra. Tallet n er positivt.
n  10
De tre kvadrattallene er 100, 121 og 144.
Summen av to påfølgende kvadrattall er 365.
b) Bestem n og de to kvadrattallene.
Jeg løser likningen n2   n  1   365 i GeoGebra.
2
Tallet n er positivt.
n  13
De to kvadrattallene er 169 og 196.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 9
Oppgave 5 (4 poeng)
Vi har gitt rekken
3 9 27
1   
2 4 8
3
 
2
n1
a)
1) Bestem S10
Jeg bestemmer verdien av uttrykket
10
3
  1
2
S10  1   
3
1
2
i GeoGebra.
S10 
58025
 113,3
512
2) Finn et uttrykk for Sn
n
n
3
3
n
  1   1
2
2
3


Sn  1 

 2   2
3
1
2
1
2
2
b) Hvor mange ledd må vi minst ta med for at Sn skal overstige 1 000 000?
Jeg løser likningen
n
3
  1
2
1  
 1000000
3
1
2
i GeoGebra.
Vi må minst ha 33 ledd.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 10
Oppgave 6 (11 poeng)
Funksjonen f er gitt ved
1
f  x   33
 x 3 x 
3
1
Df 
,
a) Bestem nullpunktene til f ved regning.
Likningen f  x   0 når
Jeg løser likningen
1 3
x  3x   0 fordi 30  1  1  1  0 .

3
1 3
 x  3x   0 i GeoGebra
3
Nullpunktene til f er x  0 , x  1,73 og x  1,73
b) Tegn grafen til f . Forklar hvorfor grafen til f ligger over linjen y  1 .
1
Uttrykket 3 3
 x 3 3 x 
1
er alltid positivt. Det betyr at 33
Da må grafen til f  x   3

1 3
x 3 x
3

 x 3 3 x 
 1 alltid må være større enn 1 .
 1 alltid ligge over linjen y  1.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 11
1
c) Bruk kjerneregelen og vis ved regning at f  x    x 2  1   ln3  33
f x  3

1 3
x 3 x
3

3
3 x

1 3
 x  3x 
3
1
u   3x 2  3   x 2  1
3
f   x   f   u   u
x
3 x
u
f   u   3u  ln3
1
3
1
f  u   3u  1
f  x   33
x

 ln3   x 2  1 
1
f   x    x 2  1   ln3  3 3
x
3
3 x

d) Bestem ved regning for hvilke verdier av x grafen til f vokser, og for hvilke verdier av x grafen
avtar. Bestem ved regning topp- og bunnpunkter på grafen til f .
Jeg definerer f  x  i GeoGebra og regner ut den deriverte. Utregninger i GeoGeoGebra viser at
den deriverte er null for x  1 , og for x  1 .
Den deriverte er positiv, det vil si at grafen vokser når x  1 og når x  1
Den deriverte er negativ, det vil si at grafen avtar når  1  x  1
Det betyr videre at
Grafen til f har toppunkt  1, f  1    1, 1,08 
Grafen til f har bunnpunkt 1, f 1   1, 0,52
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 12
e) Bruk digitale hjelpemidler til å finne en positiv verdi for a slik at
a
 f  x  dx  0
0
Jeg definerer a som en glider i GeoGebra og finner integralet fra 0 til a . Jeg justerer glideren
inntil arealet blir lik 0.
a
 f  x  dx  0 når a  2,23
0
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 13
Oppgave 7 (8 poeng)
Ved et helsestudio registrerte de kroppsvekten til alle de 320 kundene.
Gjennomsnittsvekten var 79,2 kg med et standardavvik på 6,4 kg. Vi antar at kroppsvekten er
normalfordelt.
a)
1) Hvor stor andel av kundene veide mellom 75,0 kg og 85,0 kg?
Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Jeg velger normalfordeling, setter
forventningsverdien  til 79,2 og standardavviket  til 6,4. Jeg velger intervall med
nedre grense 75,0 og øvre grense 85,0.
Sannsynlighetskalkulatoren viser at 56,2 % av kundene veier mellom 75,0 kg og 85,0 kg.
2) Hvor stor andel av kundene veide over 100,0 kg?
Jeg velger nå høyresidig sannsynlighet med 100,0 poeng som nedre grense.
Sannsynlighetskalkulatoren viser at 0,06 % av kundene veier over 100,0 kg.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 14
Helsestudioet vil undersøke om treningen påvirker kroppsvekten. De veier derfor 30 tilfeldig valgte
kunder etter en periode med jevnlig trening. Gjennomsnittsvekten for disse 30 kundene er 76,0 kg. Vi
antar at standardavviket er uendret.
b) Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen.
Nullhypotesen, H0 : Treningen har ikke påvirket kroppsvekten. Gjennomsnittsvekten er uendret.
Alternativ hypotese, H1 : Treningen har ført til at kundenes gjennomsnittsvekt har gått ned.
c) Undersøk om det er grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene i helsestudioet har
gått ned. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
Vi antar at nullhypotesen fortsatt gjelder, at gjennomsnittsvekten til kundene er normalfordelt
med forventningsverdi 79,2 kg og med standardavvik på 6,4 kg.
Da er gjennomsnittsvekten til en stikkprøve med 30 kunder også normalfordelt med
6,4
 1,17 kg.
forventningsverdi lik 79,2 kg og med standardavvik på
30
Normalfordelingsfunksjonen gir P - verdien
P  Gjennomsnittsvekten  76,0   0,003  0,3%
Det betyr at det bare er 0,3 % sannsynlig at gjennomsnittsvekten på 76,0 kg til de 30 kundene ble
oppnådd rent tilfeldig.
P - verdien på 0,3 % er mindre enn signifikansnivået på 5 % og gir dermed grunnlag for å forkaste
nullhypotesen.
Det er altså grunn til å si at treningen har ført til at kundenes gjennomsnittsvekt har gått ned.
Eksamen REA3028 Matematikk S2, Våren 2011
Side 15