Tall-systemer
og
Logiske kretser
Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard
for Vitenfabrikken i Sandnes
4-bits elektrisk adderer
Regneenhet
med releer
Summen vises
på lampene
Tall A
Tall B
Vi vil se på:
• Ti-tall-systemet
• Fem-tall-systemet
• To-tall-systemet
• Seksten-tall-systemet
13
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Titall-systemet
13
23
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Femtall-systemet
1101
13
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Totall-systemet
På Abel-loftet finnes det kulerammer for tallsystemene.
Titall-systemet:
1
3
På Abel-loftet finnes det kulerammer for tallsystemene.
Femtall-systemet:
2
3
På Abel-loftet finnes det kulerammer for tallsystemene.
Totall-systemet:
1
1
0
1
Først ti-tall-systemet:
Vi kan bruke sifrene: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
104
Plassverdi → 10000
13
387
25 ==
i titallsystemet
103
1000
102
100
10
1
3
821
753
Fem-tall-systemet:
Vi kan bare bruke sifrene: 0, 1, 2, 3, 4
Plassverdi →
13
21
25
27
34
78
76543 ==
i titallsystemet
54
53
52
625
125
25
5
1
31
0142
34201
== 303
10
11
12
23
41
100
102
114
43
i femtallsystemet
Oppgaver
Fra titallsystemet til femtallsystemet:
7 = 5 + 2 = 12
19 = 15 + 4 = 34
33 = 25 + 5 + 3 = 113
Fra femtallsystemet til titallsystemet:
300 = 3·25 + 0·5 + 0·1 = 75
234 = 2·25 + 3·5 + 4·1 = 69
1321 = 1·125 + 3·25 + 2·5 + 1 = 211
To-tall-systemet:
(Det binære tall-systemet)
Vi kan bare bruke sifrene: 0 og 1
24
23
22
Plassverdi →
16
8
4
2
1
10
11
22
987654321 ==
1
01
10
10
01
i titallsystemet
===10110
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
10
11
1
i totallsystemet
Oppgaver
Fra titallsystemet til totallsystemet:
13 = 8 + 4 + 1 = 1101
25 = 16 + 8 + 1 = 11001
43 = 32 + 8 + 2 + 1 = 101011
Fra totallsystemet til titallsystemet:
101 = 4 + 1 = 5
10101 = 16 + 4 + 1 = 21
110011 = 32 + 16 + 2 + 1 = 51
1001100 = 64 + 8 + 4 = 76
Seksten-tall-systemet:
(Det heksadesimale tall-systemet)
(10) (11) (12) (13) (14) (15)
Vi må bruke 16 sifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Plassverdi →
20
29
43 ==
i titallsystemet
164
163
256
16
1
21
D
4
B
===14
1D
2B
i sekstentallsystemet
Mekanisk adderer
1E
11110
0
1
1
1
1
11110
Addisjon i totall-systemet
Titall-systemet:
Totall-systemet:
1
2
+3
=5
10
+ 11
= 101
Addisjon i totall-systemet
Titall-systemet:
Totall-systemet:
1 1 1
14
+ 7
= 21
1110
+ 111
= 10101
Oppgaver
Titall-systemet:
Totall-systemet:
1 1 1
7
+ 5
= 12
111
+ 101
= 1100
1 1 1
14
+ 6
= 20
1110
+ 110
= 10100
Når vi benytter totall-systemet kan sifrene 0 og 1
representeres ved brytere (releer) eller lamper:
Brytere: Bryter AV betyr 0
Bryter PÅ betyr 1
Lamper: Lampe avslått betyr 0
Lampe lyser betyr 1
Datamaskiner regner i totall-systemet
Elektrisk 4 bits adderer
3+2=?

0
0

0
1
1
0
1
0
(A+B =5)
(A=3)
(B=2)
Elektrisk 4 bits adderer
7+6=?



(A+B = 13)
0
1
1
1
0
1
1
0
(A = 7)
(B = 6)
Vi vil nå bygge en liten datamaskin.
(en halv-adderer)
Halv-addereren kan utføre følgende fire små
regnestykker i totall-systemet:
1
0
+0
=0
1
+0
=1
0
+1
=1
1
+ 1
= 10
OG – krets
Pæra lyser bare når både A og B er PÅ.
A= 10
B= 01
10
Tabell:
A
B
AB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Symbol:
ELLER – krets
Pæra lyser når A eller B (eller begge) er PÅ.
A= 10
B= 01
Tabell:
A
B
AB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
10
Symbol:
Negasjons – krets
Pæra lyser når A er AV, og slukkes når A er PÅ.
A= 10
01
Tabell:
A
⌉A
0
1
1
0
Symbol:
Et rele er en bryter som styres av en elektromagnet.
I negasjonskretsen sendte releet videre motsatt
signal av det signalet som kom inn til spolen.
Ved å endre litt på releet kan vi få et rele som
sender videre samme signal:
Et rele er en bryter som styres av en elektromagnet.
I negasjonskretsen sendte releet videre motsatt
signal av det signalet som kom inn til spolen.
Ved å endre litt på releet kan vi få et rele som
sender videre samme signal:
A= 10
10
Halv-adderer
A+B= 
A=0
B=0
0
+ 0
= 00
0
0
Halv-adderer
A+B= 
A=0
B=0
0
+ 0
= 00
0
0
Halv-adderer
A+B= 
A=0
B=0
0
+ 0
= 00
0
0
Halv-adderer
A+B= 
A=0
B=0
0
+ 0
= 00
0
0
Halv-adderer
A+B= 
A=0
B=0
1
+ 0
= 01
0
0
Halv-adderer
A+B= 
A=1
B=0
1
+ 0
= 01
0
1
0
Halv-adderer
A+B= 
A=0
B=0
0
+ 1
= 01
0
0
Halv-adderer
A+B= 
A=0
B=1
0
+ 1
= 01
0
10
Halv-adderer
A+B= 
A=0
B=0
1
+ 1
= 10
0
0
Halv-adderer
A+B= 
A=1
B=1
1
+ 1
= 10
10
0
Symbolsk skjema for halv-adderer-krets
A= 1
1
B= 0
0
1
0
1
+ 0
= 01
1
1
0
1
1
0
A+B=
0 1
Symbolsk skjema for halv-adderer-krets
A= 0
0
B= 1
1
0
1
0
+ 1
= 01
1
1
0
1
1
0
A+B=
0 1
Symbolsk skjema for halv-adderer-krets
A= 1
1
B= 1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
+ 1
= 10
A+B=
1 0
Halv-adderer:
A
B
http://www.neuroproductions.be/logic-lab/
Signaltabell for halv-addereren
Signal inn
Signal ut
Tall A
Tall B
Mente M Siffer S
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Da releet trenger mer strøm enn lampen,
bør disse kobles i parallell i OG-kretsen.
Skjemaet på maskinen i utstillingen ser derfor slik ut:
Hvordan kan vi lage en maskin som kan
addere tall med flere sifre?
1
1 1
1110
+ 111
= 10101
Hvordan kan vi lage en maskin som kan
ta med mente-tallene i addisjonen?
For å kunne hente et mente-tall inn i en summering
trenger vi en full adderer som har tre innganger.
En full adderer kan lages av to halv-adderere og en eller-krets:
Full adderer
Mente inn
A=
B=
Halv
adderer
Siffer ut
Halv
adderer
Eller
Mente ut
Full-adderer
Addisjon av tall med flere bits
ABM
ABM
ABM
AB
1
+
= 1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
M S
M S
M S
M S
Full-adderere
Halv-adderer
4 bits adderer
To-bits adderer:
A1
B1
A2
B2
ABM
ABM
ABM
AB
1
+
= 1
8 bits
Full-adderere
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
M S
M S
M S
M S
radiorør
4 bits adderer
Halv-adderer
Framtida:
???