1. No category

246. Väite: Luku 31 704 – 22 271 on jaollinen luvulla 71.
Todistus:
31704 − 22 271 ≡ 370⋅24 + 24 − 270⋅32 + 31 ≡ (370 ) 24 ⋅ 324 − (270 )32 ⋅ 231
≡ 124 ⋅ 324 − 132 ⋅ 231 ≡ 324 − 231
1 704
Luku 3
370 ≡ 1(mod 71), 270 ≡ 1(mod 71)
324 ≡ (312 ) 2 ≡ 62 ≡ 36(mod 71)
231 ≡ (215 ) 2 ⋅ 2 ≡ 37 2 ⋅ 2 ≡ 40(mod 71)
≡ 36 − 40 ≡ 67(mod 71)
– 22 271 ei ole jaollinen luvulla 71.
Laudatur 11 MAA11 ratkaisut kertausharjoituksiin
1. Peruskäsitteitä
247. a) ”Kissa a on harmaa” on avoin lause, koska sen totuusarvo riippuu muuttujan a
valinnasta.
b) ”Lotta-kissa on musta” on suljettu lause, koska sillä on tietty totuusarvo.
2
c) ” = 9 ” on suljettu lause, koska sillä on tietty totuusarvo (epätosi).
5
d) ” x 2 − 2 x ≥ 5 ” on avoin lause, koska sen totuusarvo riippuu muuttujan x valinnasta.
Vastaus: a) Avoin lause b) Suljettu lause c) Suljettu lause d) Avoin lause
248. p = ”Olen opiskelija.”, q = ”Olen töissä.”
a) ¬p = ”En ole opiskelija.”
b) ¬q = ”En ole töissä.”
c) ¬ p ∧ q = ”En ole opiskelija, ja olen töissä.”
d) p ⇒ ¬q = ”Jos olen opiskelija, niin en ole töissä.”
e) ¬p ⇔ q = ”En ole opiskelija ainoastaan jos olen töissä.”
Vastaus: a) ”En ole opiskelija.” b) ”En ole töissä.” c) ”En ole opiskelija, ja olen töissä.”
d) ”Jos olen opiskelija, niin en ole töissä.” e) ”En ole opiskelija ainoastaan jos olen töissä.”
249.
a) Lauseen p ⇒ ¬q pääkonnektiivi on implikaatio ( ⇒ ).
p ⇒ ¬q
p q ¬q
1 1 0
0
1 0 1
1
0 1 0
1
0 0 1
1
97
b) Lauseen ¬( p ∨ ¬q) pääkonnektiivi on negaatio ( ¬ ), joka on sulkeiden edessä.
p ∨ ¬q ¬( p ∨ ¬q)
p q ¬q
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
c) Lauseen p ∧ q ∨ r pääkonnektiivi on disjunktio ( ∨ ).
p∧q p∧q∨r
p
q r
1
1 1
1
1
1
1 0
1
1
1
0 1
0
1
1
0 0
0
0
0
1 1
0
1
0
1 0
0
0
0
0 1
0
1
0
0 0
0
0
250.
a) Lauseen p ∨ q ⇒ r pääkonnektiivi on implikaatio ( ⇒ ).
p∨q p∨q ⇒ r
p
q r
1
1 1
1
1
1
1 0
1
0
1
0 1
1
1
1
0 0
1
0
0
1 1
1
1
0
1 0
1
0
0
0 1
0
1
0
0 0
0
1
b) Lauseen p ⇔ q ∧ r pääkonnektiivi on ekvivalenssi ( ⇔ ).
q∧r p ⇔ q∧r
p
q r
1
1 1
1
1
1
1 0
0
0
1
0 1
0
0
1
0 0
0
0
0
1 1
1
0
0
1 0
0
1
0
0 1
0
1
0
0 0
0
1
98
c) Lauseen ( p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∧ q pääkonnektiivi on (viimeinen) konjunktio ( ∧ ).
p ∧¬q
p q ¬q ¬p
( p ∧ ¬q ) ∨ ¬ p
( p ∧ ¬q ) ∨ ¬ p ∧ q
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
251. a) p ∧ (q ∨ r )
q∨r
p
q r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
b) p ∨ (q ⇒ r )
q⇒r
p
q r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
p ∧ (q ∨ r )
1
1
1
0
0
0
0
0
p ∨ (q ⇒ r )
1
1
1
1
1
0
1
1
252. p = ”x = −3” ja q = ”6x = −18”
Lause q ⇒ p = ”Jos 6x = −18, niin x = −3.”
Lause on tosi, sillä jos 6 x = −18 ⇔ x =
−18
⇔ x = −3 .
6
Vastaus: ”Jos 6x = −18, niin x = −3.”, lause on tosi.
253. Merkitään p = ”Ranta on lähellä.”, q = ”Oikealle menevä tie vie rantaan.”
Herra 1: ”Ranta on lähellä tai oikealle menevä tie vie rantaan.” = p ∨ q
Herra 2: ”Ranta on lähellä ja oikealle menevä tie vie rantaan.” = p ∧ q
Herra 2: ”Jos ranta on lähellä, oikealle menevä tie johtaa rantaan.” = p ⇒ q
99
Laaditaan totuustaulu.
p q 1: p ∨ q 2: p∧q 2: p⇒q
1 1
1
1
1
1 0
1
0
0
0 1
1
0
1
0 0
0
0
1
b) Koska herra 2 ei voi puhua sekä totta että valetta, tulevat vain rivit 1 ja 2 kysymykseen.
Kummaltakin riviltä nähdään, että herra 1 puhuu totta, joten herra 2 valehtelee.
c) Rivi 2 on totuuden mukainen rivi, joten Liisan on valittava vasemmalle vievä tie.
Vastaus: b) Herra 1 puhuu totta ja herra 2 valehtelee. c) Liisan on valittava vasemmalle
menevä tie.
2. Tautologia
254. a) Väite: Lause ¬(¬ p ∨ ¬ q) ⇔ ( p ∧ q) on tautologia.
Todistus:
¬(¬ p ∨ ¬ q )
De Morganin laki
⇔ ¬(¬p ) ∧ ¬(¬q )
kaksoisnegaation laki
⇔ p∧q
Koska lauseet ¬(¬ p ∨ ¬ q) ja p ∧ q ovat ekvivalentit, niin lause
¬(¬ p ∨ ¬ q) ⇔ ( p ∧ q) on tautologia.
b) Väite: Lause [¬ p ⇒ (¬ q ∧ ¬ r )] ⇔ (q ∨ r ) ⇒ p on tautologia.
Todistus:
¬ p ⇒ (¬ q ∧ ¬ r )
kontrapositiolaki
⇔ [¬(¬q ∧ ¬r ) ⇒ ¬(¬p )]
⇔ {[¬(¬q ) ∨ ¬(¬r )] ⇒ ¬(¬p )}
De morganin laki
kaksoisnegaation laki
⇔ [(q ∨ r ) ⇒ p ]
Koska lauseet ¬ p ⇒ (¬ q ∧ ¬r ) ja (q ∨ r ) ⇒ p ovat ekvivalentit, niin lause
[¬ p ⇒ (¬ q ∧ ¬ r )] ⇔ (q ∨ r ) ⇒ p on tautologia.
255. [( p ∨ q ) ∧ ¬ p ] ⇒ p
Laaditaan totuustaulu.
¬p
p∨q
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
( p ∨ q ) ∧ ¬p
0
0
1
0
[( p ∨ q ) ∧ ¬ p ] ⇒ p
1
1
0
1
100
Koska lauseen [( p ∨ q ) ∧ ¬ p ] ⇒ p totuus ei ole riippumaton atomilauseiden totuusarvoista,
lause ei ole tautologia.
Vastaus: Lause ei ole tautologia.
256. [( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )
Laaditaan totuustaulu.
p q r p ⇒ q q ⇒ r ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )
1 1 1
1
1
1
1 1 0
0
0
0
1 0 1
0
1
0
1 0 0
0
1
0
0 1 1
1
1
1
0 1 0
1
0
0
0 0 1
1
1
1
0 0 0
1
1
1
p⇒r
1
0
1
0
1
1
1
1
[( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )
1
1
1
1
1
1
1
1
Koska lauseen [( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r ) totuusarvo on riippumaton atomilauseiden
totuusarvoista, lause on tautologia.
Vastaus: Lause on tautologia.
257. Osoitetaan, että [( p ∧ ¬r ) ⇒ ¬q] ⇔ [q ⇒ (¬p ∨ r )]
( p ∧ ¬ r) ⇒ ¬ q
kontrapositiolaki
⇔ [¬(¬q ) ⇒ ¬( p ∧ ¬r )]
De Morganin laki
⇔ {¬(¬q ) ⇒ [(¬p ∨ ¬(¬r )]}
kaksoisnegaation laki
ja
⇔ [q ⇒ (¬p ∨ r )]
q ⇒ (¬ p ∨ r ) ovat ekvivalentit.
258. Muodostetaan sellainen lause r lauseiden p ja q avulla, joka on tosi vain silloin, kun
lause p on tosi ja lause q on epätosi, ja muulloin lause on epätosi.
Totuustaulu
p
q
r
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
Lause p ⇒ q on epätosi, kun lause p on tosi ja lause q on epätosi, muulloin lause on tosi.
Kysytty lause on tämän lauseen negaatio, siis lause r voi olla r ⇔ ¬( p ⇒ q)
101
3. Predikaattilogiikka
259. Lause p( x) : x 2 + 1 = 2
Yhtälön ratkaisu (jos määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko)
x2 + 1 = 2
x2 = 1
x = ±1
a) Määrittelyjoukko on A = Z . Koska yhtälön molemmat ratkaisut kuuluvat
määrittelyjoukkoon, ne kelpaavat.
Ratkaisujoukko on {−1, 1}
b) Määrittelyjoukko on A = {−2, − 1, 0} . Ratkaisuista vain x = −1 kuuluu
määrittelyjoukkoon, joten ratkaisujoukko on {−1}.
Vastaus: a) {−1, 1} b) {−1}
260. Lause p( x) : x > 1 ∧ x 2 ≤ 4
Lauseen ratkaisu (jos määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko)
x >1
ja
x2 ≤ 4
x >1
ja
x ≤2
x >1
Lukusuora
ja
−2≤ x ≤ 2
x>1
−2
1
2
x2 ≤ 4
x > 1 ∧ x2 ≤ 4
a) Kun määrittelyjoukko on A = Z , ratkaisuksi kelpaa vain luku 2.
b) Kun määrittelyjoukko on A = R , niin ratkaisuksi kelpaa puoliavoin väli ]1,2].
Vastaus: a) {2} b) ]1,2]
1
1
∈ \, ∉ Z .
2
2
b) Lause ∃x ∈ R : ( x ∈ Z) on tosi, sillä esimerkiksi 1 ∈ \ ja 1 ∈ Z .
c) Lause ∀x ∈ Z : ( x ∈ R) on tosi, sillä kokonaislukujen joukko sisältyy reaalilukujen
joukkoon.
d) Lause ∃x ∈ Z : ( x ∈ R) on tosi, sillä kokonaislukujen joukko sisältyy reaalilukujen
joukkoon.
261. a) Lause ∀x ∈ R : ( x ∈ Z) on epätosi, sillä esimerkiksi
Vastaus: a) Epätosi b) Tosi c) Tosi d) Tosi
102
⎛x
⎞
262. ∃x ∈ Z + : ∀y ∈ Z + : ⎜ = 1⎟
y
⎝
⎠
Lause on tosi, jos löytyy sellainen positiivinen kokonaisluku, joka jaettaessa millä tahansa
positiivisella kokonaisluvulla antaa osamääräksi 1. Tämä on mahdotonta, koska kahden
positiivisen kokonaisluvun osamäärä on yksi vain jos luvut ovat yhtä suuret. Lause on
epätosi.
Vastaus: Lause on epätosi.
263. Lause ∀x ∈ R :[ x = 2 ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 0]
Yhtälö x = 2 ⇔ ( x = −2 ∨ x = 2)
Tarkastellaan lauseen ∀x ∈ R :[ x = 2 ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 0] totuusarvoa, kun x ∈ \ .
Epätodeksi todistamiseen riittää vain yksi esimerkki.
Lasku
totuusarvo
lasku
totuusarvo
2
2
x
x =2
x = 2 x − 4x + 4 = 0
x − 4 x + 4 = 0 x = 2 ⇔ x2 − 4 x + 4 = 0
x ≠ ±2
−1 ≠ 2
0
(−1)2 − 4 ⋅ (−1) + 4 ≠ 0
0
1
x =−2
−2 = 2
1
(−2)2 − 4 ⋅ (−2) + 4 ≠ 0
0
0
x=2
2 =2
1
22 − 4 ⋅ 2 + 4 = 0
1
1
Lauseen totuusarvo ei ole riippumaton muuttujan x valinnasta, joten lause ei ole tautologia.
Vastaus: Ei ole
264. a) Lause ∀x ∈ R : ∃y ∈ R : x 2 − y 2 = 0 on tosi, jos jokaiselle reaaliluvulle x löytyy
ainakin yksi reaaliluku y siten, että x 2 − y 2 = 0 ⇔ x 2 = y 2 . Lause on tosi, sillä esimerkiksi
voidaan valita, että x = y .
b) Lause ∃y ∈ R : ∀x ∈ R : x 2 − y 2 = 0 on epätosi, koska x 2 − y 2 = 0 ⇔ x 2 = y 2 ja vain
samojen lukujen tai vastalukujen neliöt ovat yhtä suuret. Ei ole olemassa sellaista
reaalilukua, jonka neliö olisi yhtä suuri kuin minkä tahansa muun reaaliluvun neliö.
Vastaus: a) Tosi b) Epätosi
265. Lause ∀x ∈ \ : q ( x) on tosi.
a) ∀x ∈ \ : ¬q( x)
Jos lause q(x) kaikilla reaaliluvuilla, niin ei voi olla yhtään sellaista reaalilukua, jolle lause
q(x) ei olisi tosi. Näin ollen lauseen q(x) negaatio ei olla tosi millään reaaliluvulla. Voidaan
siis päätellä totuusarvo.
103
b) ∃x ∈ \ : q( x)
Jos lause q(x) kaikilla reaaliluvuilla, niin ei voi olla yhtään sellaista reaalilukua, jolle lause
q(x) ei olisi tosi. Näin ollen lause ∃x ∈ \ : q( x) on aina tosi. Voidaan siis päätellä
totuusarvo.
Vastaus: a) Voidaan b) Voidaan
4. Todistusmenetelmiä
266. Merkitään
p = ”Olio on hyönteinen”, q = ”Oliolla on 3 jalkaparia”
Päättelyn formalisointi
Hyönteisillä on 3 jalkaparia. Hämähäkillä on 4 jalkaparia. Tästä seuraa, että hämähäkki ei
ole hyönteinen. [( p ⇒ q) ∧ ¬q] ⇒ ¬p
Laaditaan totuustaulu lauseelle [( p ⇒ q) ∧ ¬q] ⇒ ¬p
p q ¬ p ¬ q p ⇒ q [( p ⇒ q ) ∧ ¬q ] [( p ⇒ q) ∧ ¬q] ⇒ ¬p
1 1 0
0
1
0
1 0 0
1
0
0
0 1 1
0
1
0
0 0 1
1
1
1
Koska lause on tautologia, päättely on oikea.
1
1
1
1
Vastaus: Päättely on oikea.
3
∨ x = 7)
8
Todistetaan ensin implikaatio vasemmalta oikealle ( ⇒ )
8x2 − 53x − 21 = 0
267. 8x2 − 53x − 21 = 0 ⇔ ( x = −
−(−53) ± (−53) 2 − 4 ⋅ 8 ⋅ (−21)
2 ⋅8
3
x1 = −
8
x2 = 7
Todistetaan implikaatio oikealta vasemmalle ( ⇐ )
3
Sijoitetaan x = −
8
x=
2
72 159
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
+
− 21 = 0
8 ⋅ ⎜ − ⎟ − 53 ⋅ ⎜ − ⎟ − 21 =
8
8
64
8
⎝
⎠
⎝
⎠
Sijoitetaan x = 7
8 ⋅ 72 − 53 ⋅ 7 − 21 = 0
Koska implikaatiot ovat kumpaankin suuntaan tosia, on ekvivalenssi tosi. ,
104
268. a) Oletus: n on pariton
Väite: 2n − 1 on pariton
Todistus: Merkitään n = 2k + 1
2n − 1 = 2(2k + 1) −1 = 4k + 3 = 4k + 2 + 1 = 2(2k + 1) + 1, joka on pariton.
b) Oletus: n on pariton
Väite: 2n − 1 on pariton
Todistus: Vastaväite: 2n − 1 on parillinen
Merkitään 2n − 1 = 2p, p ∈ ]
2n − 1 = 2p
2n = 2p +1
Päädyttiin ristiriitaan, koska yhtälön vasemmalla puolella on parillinen luku ja oikealla
puolella pariton, joten väite on oikea. ,
269. Oletus:
x < y ja a < b
Väite: x + a < y + b
Todistus:
x<y
+a
x +a < y + a < y + b
On osoitettu, että jos x < y ja a < b, niin x + a < y + b. ,
270.
Oletus: Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.
Väite: Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret
Todistus:
α
α
β
β
α
β
β
α
Kun kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kaksi muuta keskenään yhdensuuntaista suoraa,
muodostuu yhtä suuret samankohtaiset kulmat, jotka ovat suunnikkaan vastakkaiset kulmat.
,
271. x 2 + 2 x + 3 x + 2 3 ≥ 0
Vastaesimerkki
7
Sijoitetaan x = −
4
2
⎛ 7⎞
⎛ 7⎞
⎛ 7⎞
⎜ − 4 ⎟ + 2 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 3 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 2 3 = −0, 00448... < 0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Joten epäyhtälö ei ole tosi kaikilla reaaliluvuilla x.
Vastaus: Epäyhtälö ei ole tosi kaikilla reaaliluvuilla x.
105
272. a > b ⇒ a > b
Vastaesimerkki
Sijoitetaan a = −2 ja b = −1
−2 > −1 mutta −2 < −1
Vastaus: Lause on epätosi.
273. x > 3 ⇒ x + 1,9 − x 2 − 9 > 2
Vastaesimerkki
Sijoitetaan x = 48
48 + 1,9 − 482 − 9 = 1,993... < 2
Vastaus: Lause on epätosi.
274. a) ∀x ∈ \ : 2 x > x
Vastaesimerkki
Sijoitetaan x = 0
2⋅0 = 0 > 0
b) ∃x ∈ \ : − x 2 + x − 9 ≥ 0
Tutkitaan funktiota f ( x ) = − x 2 + x − 9
Nollakohdat
D = 12 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ ( −9) = −35 < 0
ei nollakohtia
Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa vain negatiivisia arvoja.
5. Alkuluvut
275.
a) 72 = 23 ⋅ 32
b) 198 = 2 ⋅ 32 ⋅ 11
c) 448 = 26 ⋅ 7
276.
a) 117 = 32 ⋅ 13
d) 1 125 = 32 ⋅ 53
g) 2 436 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 29
b) 638 = 2 ⋅ 11 ⋅ 29
c) 725 = 52 ⋅ 29
2
e) 1 425 =3 ⋅ 5 ⋅ 19
f) 2 110 = 2 ⋅ 5 ⋅ 211
h) 227 052 = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 ⋅ 17 ⋅ 53
277. Poistetaan luvusta 29 505 viimeinen numero 5 ja jäljelle jäävästä luvusta 2 950
vähennetään alkuperäinen viimeinen numero 5 kerrottuna kahdella eli 10
2 950 − 10 = 2 940
Toistetaan menettely luvulle 2 940
294 − 2 ⋅ 0 = 294
Toistetaan menettely luvulle 294
29 − 2 ⋅ 4 = 21
106
Koska luku 21 on jaollinen seitsemällä, on luku 294 jaollinen seitsemällä ja luku 2 940 sekä
alkuperäinen luku 29 505 jaollinen seitsemällä.
Vastaus: On jaollinen luvulla 7.
278. Luku ei ole jaollinen yhdellätoista, koska sen numeroista vuorotellen yhteen ja
vähennyslaskulla saatu luku 3 − 8 + 5 − 6 + 4 − 4 + 2 − 8 + 0 − 9 + 8 − 4 + 0 − 9 + 4 − 0 +
1 − 1 + 1 = −26 ei ole jaollinen yhdellätoista.
Vastaus: Ei ole jaollinen yhdellätoista.
279. 1 471 ≈ 38
Koska luku 1 373 ei ole jaollinen luvuilla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ja 37, se on
alkuluku.
Vastaus: Luku 1 471 on alkuluku.
280. a)
12 = 22 ⋅ 3
40 = 23 ⋅ 5
syt(12, 40) = 22 = 4
pyj (12,4 0) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
b)
8 = 23
90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5
126 = 2 ⋅ 32 ⋅ 7
syt(8, 90, 126) = 2
pyj (8, 90, 126) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2 520
Vastaus: a) 4 ja 120 b) 2 ja 2 520
281. a)
56 = 23 ⋅ 7
70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7
84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7
syt(56, 70, 84) = 2 ⋅ 7 = 14
pyj(56, 70, 84) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 840
b)
54 = 2 ⋅ 33
153 = 32 ⋅ 17
171 = 32 ⋅ 19
syt(54, 153, 171) = 32 = 9
pyj(54, 153, 171) = 2 ⋅ 33 ⋅ 17 ⋅ 19 = 17 442
Vastaus: a) 14 ja 840
b) 9 ja 17 442
107
282.
12 22 ⋅ 3 4
=
=
a)
87 3 ⋅ 29 29
253
11 ⋅ 23
11
=
=
b)
1173 3 ⋅17 ⋅ 23 51
c)
1 918 2 ⋅ 7 ⋅137 137
=
=
2996 22 ⋅ 7 ⋅107 214
Vastaus: a)
4
29
b)
11
51
c)
137
214
283. Oletus: n ∈ `
Väite: 5n3 + n on parillinen.
Todistus: Jaetaan todistus kahteen osaan.
1) n on parillinen
5n3 + n = n(5n2 + 1) tulo on parillinen, koska n on parillinen
2) n on pariton
5n3 + n on pariton, koska parittomien lukujen tulo on pariton ja parittomien lukujen summa
on parillinen. ,
6. Jaollisuus ja lukujärjestelmät
284. a) 123 874 = 11261 · 11 + 3
b) 123 874 = 6 519 · 19 + 13
Vastaus: Jakojäännös on a) 3 b) 13.
285. a) 4215 = 4 · 52 + 2 · 51 + 1 · 50 = 111
b) 11 101 1112 =1 · 27 + 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 239
c) 56,38 = 5 · 81 + 6 · 50 + 3 · 8–1 = 46,375
d) FF,A16 = 15 · 161 + 15 · 160 + 10 · 16–1 = 255,625
Vastaus: a) 111 b) 239 c) 46,375 d) 255,625
286. a) 291 = 5 · 58 + 1 = 5·(5 · 11 + 3) + 1 = 52 · 11 + 3 · 5 + 1 = 52·(2 · 5 + 1) + 3 · 5 + 1
= 2 · 53 + 1 · 52 + 3 · 51 + 1 · 50 = 2 1315
b) 291 = 2 · 145 + 1 = 2·(2 · 72 + 1) + 1 = 22 · 72 + 2 + 1 = 22 · 8 · 9 + 2 + 1
= 22 · 23 · 9 + 2 + 1 = 25·(2 · 4 + 1) + 2 + 1 = 28 + 25 + 2 + 1 = 100 100 0112
c) 291 = 16 · 18 + 3 = 16(1 · 16 + 2) + 3 = 1 · 162 + 2 · 16 + 3 =12316
Vastaus: a) 2 1315 b) 100 100 0112
c) 12316
108
287. a) 101 294 000 024·846 000 723 = (101 294·106 + 24)·(846 · 106 + 723)
= 85 694 724 · 1012 + 73 235 562 · 106 + 20 304 · 106 + 17 352
= 85 694 797 255 866 017 352
b) Jakolasku 987 654 321 123 456: 543
1818884569 288
543 987 654321123456
987 654 012
309123456
309123384
72
987 654 321 123 456: 543 = 1 818 884 569 288 jää 72
Vastaus: a) 85 694 797 255 866 017 352 b) 1 818 884 569 288 jää 72
288. a) 75 – 1 = (7 – 1)·2 801 =2·3·2 801
b) 113 + 1 = (11 + 1)·111 = 2 · 2 · 3 · 3 · 37 =22 · 32 · 37
c) 318 – 1 = (39 – 1)·(39 + 1) = [(33)3 – 1]·[(33)3 + 1] = (33 – 1)·757·(33 + 1)·703
= 26 · 757 · 28 · 703 = 2 · 13 · 757 · 2 · 2 · 7 · 19 · 37 = 23 · 7 · 13 · 19 · 37 · 757
Vastaus: a) 2·3·2 801 b) 22·32·37 c) 23·7·13·19·37·757
289. Tekijöihin jako 214 – 1 = (27 – 1)·(27 + 1) = 127 · 3 · 43
Luvun pienin tekijä on 3.
Luvun suurin tekijä on 127 · 43 = 5 461
Vastaus: Luvun 214 – 1 suurin tekijä, joka on pienempi kuin luku itse on 5 461.
290.
2
4
6
4 008 4 010 4 010 4 008
6 4 2
⋅
⋅
⋅ ... ⋅
⋅
=
⋅
⋅ ... ⋅ ⋅ ⋅ = 22 005
2 005 2 004 2 003
2
1
2 005 2 004
3 2 1
Vastaus: Luku alkutekijöinä on 2 2 005 .
291. Tekijöihin jako 222 + 1 = (211)2 + 2 · 211 + 1 – 2 · 211 = (211 + 1)2 – 212
= (211 + 1 + 26)·(211 + 1 – 26) = 2 113 · 1 985 = 2 113 · 5 · 397
Vastaus: Alkutekijät ovat 5, 397 ja 2 113.
292. Ykköset x
Kymmenet y
Sadat z
Luku 100z + 10y + x
109
Yhtälöryhmä
⎧ y = 3z
⎪
⎨x = y −1
⎪100 z + 10 y + x = 100 x + 10 y + z − 297
⎩
⎧ y = 3z
⎪
⎨x = y −1
⎪99 z − 99 x = −297
⎩
Ratkaisemalla yhtälöryhmä saadaan x = 5, y = 6 ja z = 2.
Vastaus: Luku on 265.
293. Ykköset x
Kymmenet y
Sadat z
Luku 100z + 10y + x, missä x, y, z ∈ `
Yhtälöryhmä
⎧ x + y + z = 10 y + x
⎨ 2
2
2
⎩ x + y + z = 118
⎧z = 9 y
⎨ 2
2
2
⎩ x + y + z = 118
Kun sijoitetaan ylempi yhtälö alempaan, saadaan x2 + 82y2 = 118. Koska x, y, z ∈ ` , niin
ainoa ratkaisu on y = 1 ja x = 6, jolloin z = 9.
Vastaus: Luku on 916.
294. Luku 1 on 10 – x, missä x on oikean käden ojentamatta jätettyjen sormien lukumäärä.
Luku 2 on 10 – y, missä y on vasemman käden ojentamatta jätettyjen sormien lukumäärä.
Lukujen tulo (10 – x)(10 – y) = 100 – 10y – 10x + xy = 10(10 – x – y) + xy
Edellä olevassa lausekkeessa xy on ojentamatta jääneiden sormien tulo.
Lisäksi ojennettujen sormien lukumäärä on 10 – x – y.
8. Eukleideen algoritmi
295. a) 36 = 1 · 28 + 8
28 = 3 · 8 + 4
8=2·4
syt(28, 36) = 4
b) 231 = 3 · 63 + 42
63 = 1 · 42 + 21
42 = 2 · 21
syt(63, 231) = 21
110
c) 1 013 = 1 · 735 + 278
735 = 2 · 278 + 179
278 = 1 · 179 + 99
179 = 1 · 99 + 80
99 = 1 · 80 + 19
80 = 4 · 19 + 4
19 = 4 · 4 + 3
4=1·3+1
3=3·1
syt(735, 1 013) = 1
Vastaus: a) 4 b) 21 c) 1
296. a) Lukujen 408 ja 425 suurin yhteinen tekijä
425 = 1 · 408 + 17
408 = 17 · 24
Supistetaan luvulla 17.
17)
408 24
=
425 25
b) Lukujen 1 456 ja 2 856 suurin yhteinen tekijä
2 856 = 1 · 1 456 + 1 400
1 456 = 1 · 1 400 + 56
1 400 = 25 · 56
Supistetaan luvulla 56.
56)
1456 26
=
2856 51
c) Lukujen 15 868 ja 24 760 suurin yhteinen tekijä
24 760 = 1 · 15 868 + 8 892
15 868 = 1 · 8 892 + 6 976
8 892 = 1 · 6 976 + 1 916
6 976 = 3 · 1 916 + 1 228
1 916 = 1 · 1 228 + 688
1 228 = 1 · 688 + 540
688 = 1 · 540 + 148
540 = 3 · 148 + 96
148 = 1 · 96 + 52
96 = 1 · 52 + 44
52 = 1 · 44 + 8
44 = 5 · 8 + 4
8=2·4
Supistetaan luvulla 4.
4)
15868 3967
=
24 760 6190
Vastaus: a)
3967
24
26
b)
c)
25
51
6190
111
297. a) 98 = 1 · 78 + 20
78 = 3 · 20 + 18
20 = 1 · 18 + 2
18 = 9 · 2
Syt(78, 98) = 2
Lineaarikombinaatio 2 = 20 – 18 = 20 – (78 – 3·20) = 4 · 20 – 78 = 4·(98 – 78) – 78
= 4 · 98 – 5 · 78
Vastaus: Suurin yhteinen tekijä 2 ja lineaarikombinaatio on 2 = 4 · 98 – 5 · 78
298. 3 892 = 1 · 3 164 + 728
3 164 = 4 · 728 + 252
728 = 2 · 252 + 224
252 = 1 · 224 + 28
224 = 8 · 28
syt(3 164, 3 892) = 28
Lineaarikombinaatio 28 = 252 – 224 = 252 – (728 – 2 · 252) = 3 · 252 – 728
= 3·(3 164 – 4 · 724) – 728 = 3 · 3 164 – 13 · 724
= 3 · 3 164 – 13·(3 892 – 3 164) = 16 · 3 164 – 13·3 892
Vastaus: Suurin yhteinen tekijä 28 ja lineaarikombinaatio on 28 = 16 · 3 164 – 13 · 3 892
299. a) Diofantoksen yhtälö x – 3y = 1
Haetaan lukujen 1 ja 3 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
3=3·1
Lineaarikombinaatio 1 = 1 · 1 + 0
1·1–3·0=1
Yksityisratkaisu x0 = 1 ja y0 = 0
Yleinen ratkaisu
b
−3
⎧
⎪ x = x0 + n ⋅ syt(a, b) = 1 + n 1 = 1 − 3n = 1 + 3n
⎪
⎨
a
1
⎪y = y − n⋅
= 0 − n = − n = n, n ∈ ]
0
⎪⎩
syt(a, b)
1
b) Diofantoksen yhtälö 13x – 25y = 18
Haetaan lukujen 13 ja 25 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
25 = 1 · 13 + 12
13 = 1 · 12 + 1
12 = 12 · 1
Syt(13, 25) = 1 = 13 – 12 = 13 – (25 – 13) = 2 · 13 – 25
13 · 2 – 25 · 1 = 1 |·18
13 · 36 – 25 · 18 = 18
|13x – 25y = 18
Yksityisratkaisu x0 = 36 ja y0 = 18
112
Yleinen ratkaisu
b
−25
⎧
⎪ x = x0 + n ⋅ syt(a, b) = 36 + n 1 = 36 − 25n = 11 + 25n
⎪
⎨
13
a
⎪y = y − n⋅
= 18 − n = 18 − 13n = 5 + 13n, n ∈ ]
0
syt(a, b)
1
⎩⎪
c) Diofantoksen yhtälö 14x – 6y = 1
Haetaan lukujen 6 ja 14 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
14 = 2 · 6 + 2
6=3·2
Syt(6, 14) = 2 = 14 – 2 · 6
14 · 1 – 6 · 2 = 2
Koska yhtälön vasemmalle puolelle pitäsi saada pariton luku, joka on mahdotonta, niin
yhtälöllä ei ole ratkaisua.
⎧ x = 1 + 3n
⎧ x = 11 + 25n
b) ⎨
Vastaus: a) ⎨
y
=
n
,
n
∈
]
⎩
⎩ y = 5 + 13n, n ∈ ]
c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua.
300. Diofantoksen yhtälö 10x + 8y = 36
Haetaan lukujen 8 ja 10 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
10 = 1 · 8 + 2
8=4·2
Syt(8, 10) = 2 = 10 – 8
10 · 1 + 8·(–1) = 2 |·18
10 · 18 + 8·(–18) = 36
|10x + 8y = 36
Yksityisratkaisu x0 = 18 ja y0 = –18
Yleinen ratkaisu
8
b
⎧
⎪ x = x0 + n ⋅ syt(a, b) = 18 + n 2 = 18 + 4n = 2 + 4n
⎪
⎨
10
a
⎪y = y − n⋅
= −18 − n = −18 − 5n = 2 + 5n, n ∈ ]
0
syt(a, b)
2
⎩⎪
⎧ x = 2 + 4n
Vastaus: Kaikki ratkaisut ovat ⎨
.
⎩ y = 2 + 5 n, n ∈ ]
301. Yhtälön x2 – y2 = 15 kokonaislukuratkaisut
Yhtälön vasemmalla puolen oleva luku 15 voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti:
15 = 1 · 15 = 15 · 1 = –1·(–15) = –15·(–1) = 3 · 5 = 5 · 3 = –3·(–5) = –5·(–3)
Täten yhtälön oikealla puolella olevan lausekkeen x2 – y2 = (x – y) (x + y) tekijöiden pitää
olla samat kuin yhtälön oikealla puolen olevat tekijät. Saadaan kahdeksan yhtälöparia ja
niille ratkaisut
113
⎧x − y = 1
⎨
⎩ x + y = 15
⎧x = 8
⎨
⎩y = 7
⎧ x − y = 15
⎨
⎩x + y = 1
⎧ x − y = −1
⎨
⎩ x + y = −15
⎧x = 8
⎨
⎩ y = −7
⎧ x = −8
⎨
⎩ y = −7
⎧ x − y = −15
⎨
⎩ x + y = −1
⎧ x = −8
⎨
⎩y = 7
⎧x − y = 3
⎨
⎩x + y = 5
⎧x − y = 5
⎨
⎩x + y = 3
⎧ x − y = −3
⎨
⎩ x + y = −5
⎧x = 4
⎨
⎩y =1
⎧x = 4
⎨
⎩ y = −1
⎧ x = −4
⎨
⎩ y = −1
⎧ x − y = −5
⎨
⎩ x + y = −3
⎧ x = −4
⎨
⎩y =1
⎧ x = −8 ⎧ x = − 8 ⎧ x = 4 ⎧ x = 4
⎧x = 8 ⎧x = 8
, ⎨
, ⎨
, ⎨
, ⎨
, ⎨
,
Vastaus: Ratkaisuja ovat ⎨
⎩ y = 7 ⎩ y = −7 ⎩ y = −7 ⎩ y = 7 ⎩ y = 1 ⎩ y = − 1
⎧ x = −4
⎧ x = −4
tai ⎨
.
⎨
⎩ y = −1
⎩y =1
302. Kolmen litran astioita x kpl
Viiden litran astioita y kpl
Marjoja oli 31 litraa
Saadaan Diofantoksen yhtälö 3x + 5y = 31
Haetaan lukujen 3 ja 5 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
5=1·3+2
3=1·2+1
2=2·1
Syt(3, 5) = 1 = 3 – 1 · 2 = 3 –1·(5 – 1 · 3) = 2 · 3 – 1 · 5
3 · 2 + 5·(–1) = 1 |·31
3 · 62 + 5·(–31) = 31
|3x + 5y = 31
Yksityisratkaisu x0 = 62 ja y0 = –31
Yleinen ratkaisu
5
b
⎧
⎪ x = x0 + n ⋅ syt(a, b) = 62 + n 1 = 62 + 5n = 2 + 5n
⎪
⎨
a
3
⎪y = y − n⋅
= −31 − n = 5 − 3n, n ∈ ]
0
⎪⎩
syt(a, b)
1
Koska x ≥ 0, niin 2 + 5n ≥ 0 eli n ≥ –0,4
114
Koska y ≥ 0, niin 5 – 3n ≥ 0 eli n ≤ 1,66…
Kokonaisluvut, jotka toteuttavat ehdot ovat 0 ja 1.
Sijoittamalla n = 0, saadaan x = 2 ja y = 5.
Sijoittamalla n = 1, saadaan x = 7 ja y = 2.
Näistä pienempi pussien määrä saadaan kun n = 0.
Vastaus: Anni tarvitsi vähintään 2 kolmen litran ja 5 viiden litran astiaa.
9. Kokonaislukujen kongruenssi
303. a) 32 ≡ 6(mod 5) on epätosi, sillä 32 – 6 = 26 = 5 · 5 + 1 eli 5 | (32 – 6)
b) −25 ≡ 11(mod 6) on tosi, sillä –25 – 11 = –36 = –6 · 6 eli 6| (–25 – 11)
c) 73 ≡ 3(mod 7) on tosi, sillä 73 – 3 = 70 = 10 · 7 eli 7| (73 – 3)
Vastaus: Lause on a) epätosi b) tosi c) tosi.
304. a) 2 157 = 196 · 11 + 1, joten jakojäännös on 1
a) 12 132 = 1 102 · 11 + 10, joten jakojäännös on 10
a) 10 273 = 933 · 11 + 10, joten jakojäännös on 10
Vastaus: Jakojäännös on a) 1 b) 10 c) 10.
305. Vuonna 2005 jouluaatto oli lauantai
a) Päivästä 24.12.1991 päivään 24.12.2005 päiviä on 14 · 365 + 4 = 5 114
Lasketaan kongruenssi modulo 7.
5 114 ≡ 730 · 7 + 4 ≡ 4(mod 7)
24.12.1991 oli tiistai.
b) Päivästä 2.12.1900 päivään 6.12.2005 päiviä on 105 · 365 + 26 = 38 351
Lasketaan kongruenssi modulo 7.
38 351 ≡ 5 478 · 7 + 5 ≡ 5(mod 7)
6.12.1939 oli maanantai.
c) Päivästä 24.12.1600 päivään 6.12.2005 päiviä on 405 · 365 + 98 = 147 923
Lasketaan kongruenssi modulo 7.
147 923 ≡ 21 131 · 7 + 6 ≡ 6(mod 7)
6.12.1917 oli sunnuntai.
Vastaus: Viikonpäivä oli a) tiistai b) maanantai c) sunnuntai.
306. Vuonna 2005 jouluaatto oli lauantai.
a) Päivästä 24.12.2005 päivään 24.12.2025 päiviä on 20 · 365 + 5 = 7 305
Lasketaan kongruenssi modulo 7.
7 305 ≡ 1 043 · 7 + 4 ≡ 4(mod 7)
24.12.2025 on keskiviikko.
b) Päivästä 24.12.2005 päivään 24.12.2100 päiviä on 95 · 365 + 23 = 34 698
Lasketaan kongruenssi modulo 7.
34 698 ≡ 4 956 · 7 + 6 ≡ 6(mod 7)
24.12.2100 on sunnuntai.
115
c) Päivästä 24.12.2005 päivään 24.12.3000 päiviä on 995 · 365 + 241 = 363 416
Lasketaan kongruenssi modulo 7.
363 416 ≡ 51 916 · 7 + 4 ≡ 4(mod 7)
24.12.3000 on keskiviikko.
Vastaus: Viikonpäivä on a) keskiviikko b) perjantai c) keskiviikko.
307. a) 2 x ≡ 1(mod 7)
2x – 1 = 7y
2x – 7y = 1
Haetaan lukujen 2 ja 7 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
7=3·2+1
2=2·1
Syt(2, 7) = 1 = 7 – 3 · 2
2 · (–3) – 7 · (–1) = 1
|2x – 7y = 1
Yksityisratkaisu x0 = –3 ja y0 = –1
Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu
b
−7
= −3 + n
= −3 − 7 n = 4 + 7 n , n ∈ ]
x = x0 + n ⋅
syt(a, b)
1
b)
15 x ≡ 16(mod17)
15x – 17y = 16
Haetaan lukujen 15 ja 17 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
17 = 1 · 15 + 2
15 = 7 · 2 + 1
2=2·1
Syt(15, 17) = 1 = 15 – 7·2 = 15 – 7·(17 – 1 · 15) = 8 · 15 – 7 · 17
15 · 8 – 17 · 7 = 1 |·16
15 · 128 – 17 · 112 = 16 |15x – 17y = 16
Yksityisratkaisu x0 = 128 ja y0 = 112
Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu
b
−17
= 128 + n
= 128 − 17n = 9 + 17 n, n ∈ ]
x = x0 + n ⋅
syt(a, b)
1
Vastaus: a) x = 4 + 7n, n ∈ ] a) x = 9 + 17n, n ∈ ]
308. a) 24 x ≡ 3(mod 45)
24x – 3 = 45y
24x – 45y = 3
Haetaan lukujen 24 ja 45 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
45 = 1 · 24 + 21
24 = 1 · 21 + 3
21 = 7 · 3
Syt(24, 45) = 3 = 24 – 21 = 24 – (45 – 24) = 2 · 24 – 45
24 · 2 – 45 · 1 = 3
|24x – 45y = 3
Yksityisratkaisu x0 = 2 ja y0 = 1
Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu
b
−45
= 2+n
= 2 − 45n = 2 + 45n, n ∈ ]
x = x0 + n ⋅
syt(a, b)
1
116
17 x ≡ 15(mod 51)
b)
17x – 51y = 15
Haetaan lukujen 17 ja 51 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
51 = 3 · 17
Syt(17, 51) = 17
Koska syt(17, 51) ei ole luvun 15 moninkerta, niin Diofantoksen yhtälöllä ei ole ratkaisua.
Täten myös korgruenssiyhtälöllä ei ole ratkaisua.
Vastaus: a) x = 2 + 45n, n ∈ ] b) Ei ratkaisua.
309. a) 12 x + 4 ≡ 3(mod 35)
12x + 4 – 3 = 35y
12x – 35y = –1 |:(–1)
35y – 12x = 1
Haetaan lukujen 12 ja 35 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
35 = 2 · 12 + 11
12 = 1 · 11 + 1
11 = 11 · 1
Syt(12, 35) = 1 = 12 – 11 = 12 – (35 – 2 · 12) = 3 · 12 – 35
35 · (–1) – 12 · (–3) = 1
|12x – 35y = 1
Yksityisratkaisu x0 = –3 ja y0 = –1
Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu
b
35
= −3 + n = 32 + 35n, n ∈ ]
x = x0 + n ⋅
syt(a, b)
1
Pienin positiivinen ratkaisu on 32.
19 x + 13 ≡ 18(mod 55)
b)
19x + 13 – 18 = 55y
19x – 55y = 5
Haetaan lukujen 19 ja 55 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
55 = 2 · 19 + 17
19 = 1 · 17 + 2
17 = 8 · 2 + 1
2=2·1
Syt(19, 55) = 1 = 17 – 8 · 2 = 17 – 8· (19 – 17) = 9 · 17 – 8 · 19 = 9·(55 – 2 · 19) – 8 · 19
= 9 · 55 – 26 · 19
19 · (–26) – 55 · 9 = 1 |·5
19 · (–130) – 55 · 45 = 5
|24x – 45y = 3
Yksityisratkaisu x0 = –130 ja y0 = 45
Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu
b
−55
= −130 + n
= −130 − 55n = 35 + 55n, n ∈ ]
x = x0 + n ⋅
syt(a, b)
1
Pienin positiivinen ratkaisu on 35.
Vastaus: Pienin positiivinen ratkaisu on a) 32 b) 35.
117
310.
5 247 ⋅ 7 25 + 31021 ⋅1014 ≡ 9 ⋅ 583 ⋅ 7 25 + (3446 ⋅ 9 + 7) ⋅1014
≡ 0 + 7 ⋅10
14
5 247 ≡ 0(mod 9),31021 ≡ 7(mod 9)
10 ≡ 1(mod 9)
≡ 7 ⋅114
≡ 7(mod 9)
Vastaus: Jakojäännös on 7.
311. Luvun kaksi viimeistä numeroa saadaan laskemalla kongruenssi modulo 100.
a) Luvun kaksi viimeistä numeroa
3387 ≡ 36⋅64 + 3 ≡ (36 )64 ⋅ 33 36 ≡ 729 ≡ 29(mod100)
≡ 2964 ⋅ 27 ≡ 294⋅16 ⋅ 27 ≡ (294 )16 ⋅ 27
≡ 8116 ⋅ 27 ≡ 814⋅4 ⋅ 27 ≡ (814 ) 4 ⋅ 27
≡ 214 ⋅ 27
294 ≡ 81(mod100)
814 ≡ 21(mod100)
214 ≡ 81(mod100)
≡ 81 ⋅ 27 ≡ 87(mod100)
Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat 87.
3387 = 2129⋅3 = (3129 )3 = (3,537055373 ⋅1061 )3 = 3, 5370553733 ⋅10183 ≈ 44, 25 ⋅10183
Luvun kaksi ensimmäistä numeroa ovat 44.
b)
991032 ≡ 991032
99 ≡ −1(mod100)
≡ (−1)1032 ≡ 1(mod100)
Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat 01.
991032 = 9950⋅20 + 32 = (9950 ) 20 ⋅ 9932 = (6, 050060672 ⋅1099 ) 20 ⋅ 7, 249803359 ⋅1063
= 6, 05006067220 ⋅101980 ⋅ 7, 249803359 ⋅1063
= 4,317124756 ⋅1015 ⋅101980 ⋅ 7, 249803359 ⋅1063
≈ 31, 298 ⋅102 058
Luvun kaksi ensimmäistä numeroa ovat 31.
Vastaus: Luvun kaksi ensimmäistä ja viimeistä numeroa ovat a) 44 ja 87 b) 31 ja 01
10. Jäännösluokat
312. a) 5 + 146 = 151 = 12 · 12 + 7
Kello näyttää 7.
b) 5 + 1 428 = 1 433 = 119 · 12 + 5
Kello näyttää 5.
c) 5 + 21 432 = 21 437 = 1 786 · 12 + 5
Kello näyttää 5.
Vastaus: Kaappikello näyttää kellonaikaa a) 7 b) 5 c) 5.
118
313. –34 = –12 · 3 + 2
–23 = –8 · 3 + 1
–12 = –4 · 3
2=0·3+2
16 = 5 · 3 + 1
18 = 6 · 3
26 = 8 · 3 + 2
Vastaus: Samaan jäännösluokkaan kuuluvut –12 ja 18 tai –23 ja 16 tai –34, 2 tai 26.
314. Lasketaan joukossa ]13 .
a) [8] + [12] = [20] = [7]
b) [9] ⋅ [7] = [63] = [11]
c) [5]·([2] + [6]) + [8]·[6] = [5]·[8] + [48] = [40] + [48] = [88] = [10]
Vastaus: a) [7] b) [11] c) [10]
315. Laaditaan yhteenlasku- ja ketolaskutaulukko jäännösluokassa ] 7
Yhteenlaskutaulukko jäännösluokassa ] 7
+
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[1]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[2]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[1]
[3]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[1]
[2]
[4]
[4]
[5]
[6]
[0]
[1]
[2]
[3]
[5]
[5]
[6]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[6]
[6]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Kertolaskutaulukko jäännösluokassa ] 7
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
⋅
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[2]
[0]
[2]
[4]
[6]
[1]
[3]
[0]
[3]
[6]
[2]
[5]
[4]
[0]
[4]
[1]
[5]
[2]
[5]
[0]
[5]
[3]
[1]
[6]
[6]
[0]
[6]
[5]
[4]
[3]
[5]
[0]
[5]
[3]
[1]
[6]
[4]
[2]
[6]
[0]
[6]
[5]
[4]
[3]
[2]
[1]
Ratkaistaan yhtälö [2][x] = [1]. Katsotaan kertolaskutaulukon riviä [2]. Haetaan riviltä alkio
[1]. Tällöin [x] = 4.
Vastaus: [x] = 4
316. Katsotaan vastaus edellisen tehtävän taulukoista.
Alkion [4] vasta-alkio on [3], sillä [4] + [3] = 0.
Alkion [4] käänteisalkio on [2], sillä [4]·[2] = 1.
Vastaus: Alkion [4] vasta-alkio on [3] ja käänteisalkio on [2].
119
317. Luvun [15] ja sen vasta-alkion [x] summa on [0] lukujoukossa ] 37 , joten se toteuttaa
yhtälön [15] + [x] = 0.
Käänteisalkio on [x] = –[15] = [22].
Luvun [15] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa ] 37 , joten se toteuttaa
kongruenssin 15x ≡ 1(mod 37).
15x – 37y = 1
Haetaan lukujen 15 ja 37 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
37 = 2 · 15 + 7
15 = 2 · 7 + 1
7=7·1
Syt(15, 37) = 1 = 15 – 2·7 = 15 – 2·(37 – 2 · 15) = 5 · 15 – 2 · 37
Täten [5]·[15] – [2]·[37] = [1] | [37] = [0]
[5]·[15] = 1
Luvun [15] käänteisalkio on [5].
Vastaus: Luvun [15] vasta-alkio on [22] ja käänteisalkio on [5].
318. Ratkaistaan yhtälö [15][x] = [4] lukujoukossa ] 23 .
[15][x] = [4]
15 x ≡ 4(mod 23)
15x – 23y = 4
Haetaan lukujen 15 ja 23 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
23 = 1 · 15 + 8
15 = 1 · 8 + 7
8=1·7+1
7=7·1
Syt(15, 23) = 1 = 8 – 7 = 8 – (15 – 8) = 2 · 8 – 15 = 2·(23 – 15) – 15 = 2 · 23 – 3 · 15
15 · (–3) – 23 · (–2) = 1 |·4
15 · (–12) – 23 · (–8) = 4
|15x – 23y = 4
Yksityisratkaisu x0 = –12 ja y0 = –8
Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu
b
−23
= −12 + n
= −12 − 23n = 11 + 23n, n ∈ ]
x = x0 + n ⋅
syt(a, b)
1
Yhtälön ratkaisu
[15][x] = [4]
[x] = [11]
Vastaus: [x] = [11]
120
319. Caesar’in yhteenlaskumenetelmässä käytetään 29 kirjainta ja avaimena on k = 9.
a) Viestin ”Kaunis iltapäivä” salaus.
Viesti
Koodi Salauskoodi Salaus
K
10
19
T
a
0
9
j
u
20
0
a
n
13
22
x
i
8
17
r
s
18
27
ö
28
8
i
i
8
17
r
l
11
20
u
t
19
28
a
0
9
j
p
15
24
z
ä
26
6
g
i
8
17
r
v
21
1
b
ä
26
6
g
b) Salausavain k = 9
Purkuavain k = –9
Viestin ” ru jzgrbgjaärxty” purku:
Salaus
Koodi Purkukoodi
r
17
8
u
20
11
28
19
j
9
0
z
24
15
g
6
26
r
17
8
b
1
21
g
6
26
j
9
0
a
0
20
ä
26
17
r
17
8
x
22
13
t
19
10
y
23
14
Viesti
i
l
t
a
p
ä
i
v
ä
a
u
r
i
n
k
o
Vastaus: a) Salattu viesti on ”Tjaxröiru jzgrbg”. b) Purettu viesti on ”iltapäiväaurinko”.
121
320. a) Viesti on salattu Caesar’in kertolaskumenetelmällä käyttäen 29 merkkiä (aakkoset
ja välilyönti), sekä avaimena k = 19. Salakirjoitetaan viesti ”Hyvää huomenta”.
Salaus Salauskoodi Koodi
Viesti
H
7
17
R
y
23
2
c
v
21
22
x
ä
26
1
b
ä
26
1
b
28
10
k
h
7
17
r
u
20
3
d
o
14
5
f
m
12
25
å
e
4
18
s
n
13
15
p
t
19
13
n
a
0
0
a
b) Viesti on salattu Caesar’in kertolaskumenetelmällä käyttäen 29 merkkiä (aakkoset ja
välilyönti), sekä avaimena k = 19. Avaa viesti ” ru jzgrbgjaärxty”.
Viestin kirjain [x]
Salattu viestin kirjain [y]
Salaus [19] ·[x] = [y] |·[19]–1
[x] = [19]–1 · [y]
Määritetään alkion [19] käänteisalkio lukujoukossa ] 29
Luvun [19] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa ] 29 , joten se toteuttaa
kongruenssin 19x ≡ 1(mod 29).
19x – 29y = 1
Haetaan lukujen 9 ja 29 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
29 = 1 · 19 + 10
19 = 1 · 10 + 9
10 = 1 · 9 + 1
9=9·1
Syt(19, 29) = 1 = 10 – 9 = 10 – (19 – 10) = 2 · 10 – 19 = 2·(29 – 19) – 19 = 2 · 29 – 3 · 19
Täten [2]·[29] – [3]·[19] = [1] | [29] = [0]
–[3]·[19] = 1
Luvun [19] käänteisalkio on [–3] = [26]
122
Purkuavaain k–1= 26
Salaus Salauskoodi
y
23
a
0
g
6
a
0
q
16
h
7
e
4
ä
26
f
5
h
7
n
13
d
3
y
23
n
13
a
0
k
10
ä
26
a
0
k
10
å
25
a
0
n
13
s
18
å
25
a
0
n
13
h
7
h
7
q
16
q
16
a
0
a
0
Koodi
18
0
11
0
10
8
17
9
14
8
19
20
18
19
0
28
9
0
28
12
0
19
4
12
0
19
8
8
10
10
0
0
Viesti
s
a
l
a
k
i
r
j
o
i
t
u
s
t
a
j
a
m
a
t
e
m
a
t
i
i
k
k
a
a
Vastaus: a) Salattu viesti on ”Rcxbbkrdfåspna”. b) Purettu viesti on ”salakirjoitusta ja
matematiikkaa”
11. Mielenkiintoisia lukuteorian ongelmia
321. Koska 1 001 = 7·11·13, niin 21 001 – 1 ei ole Mersennen alkuluku.
Vastaus: Ei ole.
123
322. Luku 200 neljän neliön summana
200 = 10 · 20 = (1 + 9)·(4 + 16) = (12 + 32)·(22 + 42)
= 12 · 22 + 12 · 42 + 32 · 22 + 32 · 42 = 22 + 42 + 62 + 122
Vastaus: Luku 5 780 on neljän neliön summana 22 + 42 + 62 + 122.
323. Lasketaan 12522(mod 53).
12522 ≡ 1252⋅10 + 2 ≡ (1252 )10 ⋅122 1252 ≡ 1(mod 53)
≡ 110 ⋅144 ≡ 144 ≡ 38(mod 53)
Vastaus: Ei ole.
324. Tuhatta suurempia alkulukukaksosia ovat esimerkiksi 1 019 ja 1 021, 1 031 ja 1 033
sekä 1 049 ja 1 051 jne…
Vastaus: 1 019 ja 1 021.
325. Lasketaan 3 269·30463 modulo 47.
3 269 ⋅ 30463 ≡ (69 ⋅ 47 + 26) ⋅ 3046⋅10 + 3 3269 ≡ 26(mod 47)
≡ 26 ⋅ (3046 )10 ⋅ 303
3046 ≡ 1(mod 47)
≡ 26 ⋅110 ⋅ 27 000 ≡ 702 000 ≡ 14936 ⋅ 47 + 8 ≡ 8(mod 47)
Vastaus: Jakojäännös on 8.
326. Lasketaan 57529 – 13 444·21 432 modulo 107.
57529 − 13444 ⋅ 21432 ≡ 57106⋅5 −1 − (125 ⋅107 + 69) ⋅ (200 ⋅107 + 32)
≡ (57106 )5 ⋅ 57 −1 − 69 ⋅ 32
13444 ≡ 69(mod107)
21432 ≡ 32(mod107)
57106 ≡ 1(mod107)
≡ 15 ⋅ 57 −1 − 2 208 ≡ 57 −1 − (20 ⋅107 + 68)
2 208 ≡ 68(mod107)
−1
≡ 57 − 68(mod107)
Lasketaan luvun 57 käänteisalkio lukujoukossa ] 107 .
Luvun [57] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa ] 107 , joten se toteuttaa
kongruenssin 57x ≡ 1(mod 107).
57x – 107y = 1
Haetaan lukujen 57 ja 107 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
107 = 1 · 57 + 50
57 = 1 · 50 + 7
50 = 7 · 7 + 1
7=7·1
Syt(57, 107) = 1 = 50 – 7 · 7 = 50 – 7·(57 – 50) = 8 · 50 – 7 · 57 = 8·(107 – 57) – 7 · 57
= 8 · 107 – 15 · 57
Täten [8]·[107] – [15]·[57] = [1] | [107] = [0]
[–15]·[57] = 1
Luvun [57] käänteisalkio on [–15] = [92].
124
Jatketaan kongruenssin laskemista.
57529 − 12 344 ⋅ 21432 ≡ 57 −1 − 68 57 −1 = 92
≡ 92 − 68 ≡ 24(mod 107)
Vastaus: Jakojäännös on 24.
Harjoituskoe 1
1. a) Lause ¬p ⇒ p ∨ q
p∨q
¬p ⇒ p ∨ q
p q ¬p
1 1 0
1
1
1 0 0
1
1
0 1 1
1
1
0 0 1
0
0
Koska lauseen ¬p ⇒ p ∨ q totuusarvo ei ole riippumaton atomilauseiden totuusarvoista,
lause ei ole tautologia.
b) Merkitään p = ”Jukka menee Pori Jazziin.”, q = ”Jukka menee Ruisrockiin.”, r = ”Jukka
menee Rauma Bluesiin.”
Jos hän menee Poriin, eikä mene Raumalle, niin hän menee Ruisrockiin. = ( p ∧ ¬r ) ⇒ q
Hän menee Ruisrockiin jos ja vain jos hän menee Raumalle. = q ⇔ r
Jos Jukka menee Raumalle, niin hän menee myös Poriin. = r ⇒ p
Laaditaan totuustaulu
p q r ¬ r p ∧ ¬r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
( p ∧ ¬r ) ⇒ q
1
1
1
0
0
1
1
1
q⇔r
r⇒ p
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
Koska vain rivillä 1 kaikki totuusarvot ovat samoja, Jukka menee kaikkiin (Pori Jazz,
Ruisrock ja Rauma Blues).
Vastaus: a) Lause ei ole tautologia. b) Jukka menee kaikkiin.
125
2. a) Lukujen 1 134 ja 154 751 suurin yhteinen tekijä
Käytetään Eukleideen algoritmia
154 751 = 136 ⋅1 134 + 527
1 134 = 2 ⋅ 527 + 80
527 = 6 ⋅ 80 + 47
80 = 1 ⋅ 47 + 33
47 = 1 ⋅ 33 + 14
33 = 2 ⋅14 + 5
14 = 2 ⋅ 5 + 4
5 = 1⋅ 4 + 1
4 = 4 ⋅1 + 0
syt(1 134, 154 751) = 1
b) syt(a, b) ⋅ pyj(a, b) = a ⋅ b
pyj(1 134,154 751) =
1 134 ⋅154 751
1 134 ⋅154 751
=
= 175 487 634
syt(1 134,154 751)
1
Vastaus: a) syt(1 134, 154 751) = 1 b) pyj(1 134,154 751) = 175 487 634
3. a D b : joko a mutta ei b, tai sitten, joko ei a tai b.
a D b ⇔ [(a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∨ b)]
a b ¬b
a ∧ ¬ b ¬a
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
¬a ∧ b
0
0
1
0
a D b ⇔ [(a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∨ b)]
1
1
1
0
Vastaus: a D b ⇔ [(a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∨ b)] , a D b on epätosi vain jos molemmat ovat , muuten
tosi.
4. a)
13 ≡ 6 (mod 7), 132 = 169 ≡ 1(mod 7)
1313 ≡ (132 )6 ⋅13
≡ 16 ⋅ 6
≡ 6 (mod 7)
Jakojäännös on siis 6
126
b) 72 x + 5 y = 3
Haetaan syt(72, 5) Eukleideen algoritmilla:
72 = 14 ⋅ 5 + 2
5 = 2⋅ 2 +1
2 = 2 ⋅1
syt(72, 5) = 1
Lausutaan syt(72, 5) = 1 lukujen 72 ja 5 lineaarikombinaationa.
Koska Eukleideen algoritmissa 5=2 ⋅ 2 + 1, niin
1 = 5− 2⋅2
72 = 14 ⋅ 5 + 2 ⇔ 2 = 72 − 14 ⋅ 5
1 = 5 − 2 ⋅ (72 − 14 ⋅ 5)
1 = 5 − 2 ⋅ 72 + 28 ⋅ 5
1 = −2 ⋅ 72 + 29 ⋅ 5
Yhtälön 72 x + 5 y = 1 eräs ratkaisu on x = −2 ja y = 29
Yhtälön 72 x + 5 y = 3 yksi ratkaisu
72 x + 5 y = 1
⋅3
72 x ⋅ 3 + 5 y ⋅ 3 = 1 ⋅ 3
x = −2, y = 29
72 ⋅ (−2) ⋅ 3 + 5 ⋅ 29 ⋅ 3 = 3
72 ⋅ (−6) + 5 ⋅ 87 = 3
Yksi yhtälön 72 x + 5 y = 3 ratkaisu on x = −6 ja y = 87 .
Vastaus: a) Jakojäännös 6 b) x = −6 ja y = 87
5. a)
2 x ≡ 5 (mod 5)
2x − 5 = 5 y
2x − 5 y = 5
Ratkaistaan Diofantoksen yhtälön 2 x − 5 y = 5 ratkaisu.
Lukujen 2 ja 5 suurin yhteinen tekijä
5 = 2 ⋅ 2 +1
2 = 2 ⋅1
syt(5, 2)=1
Lineaarikombinaatio 1 = 5 − 2 ⋅ 2 ⇔ −2 ⋅ 2 + 5 ⋅ (−1) = 1 , joten yhtälön 2 x − 5 y = 1 eräs
ratkaisu on x = −2, y = −1
2x − 5 y = 1
⋅5
2 x ⋅ 5 − 5 y ⋅ 5 = 1⋅ 5
x = −2, y = −1
2 ⋅ (−2) ⋅ 5 + 5 ⋅ (−1) ⋅ 5 = 5
2 ⋅ (−10) + 5 ⋅ (−5) = 5
127
Diofantoksen yhtälön ax + by = −c kaikista ratkaisuista tarvitaan vain x ja x0 = −10
x = x0 + n ⋅
b
−5
= −10 + n ⋅
= 10 − 5n
syt (a, b)
1
b) 9 x ≡ 2(mod 7)
9 x ≡ 2(mod 7)
9x − 2 = 7 y
9x − 7 y = 2
Ratkaistaan Diofantoksen yhtälön 9 x − 7 y = 2 ratkaisu.
Lukujen 7 ja 9 suurin yhteinen tekijä
9 = 1⋅ 7 + 2
7 = 3⋅ 2 +1
2 = 2 ⋅1
syt(9, 7)=1
Lineaarikombinaatio
1 = 7 − 3⋅ 2
= 7 − 3 ⋅ (9 − 1 ⋅ 7)
= 7 − 3⋅9 + 3⋅ 7
= −3 ⋅ 9 + 4 ⋅ 7
joten yhtälön 9 x − 7 y = 1 eräs ratkaisu on x = −3, y = −4
9x − 7 y = 1
⋅2
9 x ⋅ 2 − 7 y ⋅ 2 = 1⋅ 2
x = −3, y = −4
9 ⋅ (−3) ⋅ 2 + 7 ⋅ (−4) ⋅ 2 = 2
9 ⋅ (−6) + 7 ⋅ (−8) = 2
Diofantoksen yhtälön ax + by = −c kaikista ratkaisuista tarvitaan vain x ja x0 = −6
x = x0 + n ⋅
b
−7
= −6 + n ⋅
= −6 − 7 n
syt (a, b)
1
6. Z 2 = {[0], [1]}
Yhteenlasku
[0] + [0] = [0 + 0] = [0]
[0] + [1] = [0 + 1] = [1]
[1] + [0] = [1 + 0] = [1]
[1] + [1] = [1 + 1] = [2] = [0]
+
[0]
[0] [0]
[1] [1]
[1]
[1]
[0]
128
Kertolasku
[0] ⋅ [0] = [0
[0] ⋅ [1] = [0
[1] ⋅ [0] = [1
[1] ⋅ [1] = [1
[0]
⋅
[0] [0]
[1] [0]
⋅
⋅
⋅
⋅
0] = [0]
1] = [0]
0] = [0]
1] = [1]
[1]
[0]
[1]
7. a)
1. 2 kissaa menee
2. 1 kissa palaa
3. 1 koira menee
4. 1 kissa palaa
5. 2 kissaa menee
6. 1 kissa palaa
7. 1 koira menee
8. 1 kissa palaa
9. 2 kissaa menee
Eli jokaista koiraa kohden tarvitaan 2 kissaa, sitten vielä kissojen paluut: 4 ⋅ 2 + 1 = 9.
b) Jokaiselle koiralle tarvitaan 4 reissua ja 2 kissaa
2 kissaa
1 kissa
1 koira
1 kissa
Jos koiria on n kappaletta reissuja tarvitaan 4n. Tämän jälkeen haetaan kissat.
Rannalla 2 kissaa, niin lisää tulee yksi matka (paluu)
Rannalla 3 kissaa, niin 1 paluu ja sitten sekä meno että paluu
Rannalla 4 kissa, niin 1 paluu ja sitten 2 kertaa sekä meno että paluu
Eli aina, kun kissojen määrä luvusta kaksi kasvaa yhdellä, matkojen määrä kasvaa kahdella.
Kissojen määrä kasvaa kahdella matkojen määrä kasvaa 2 ⋅ 2 = 4 :llä.
Näin ollen näyttää siltä, että jos rannalla on n koiraa ja n kissaa, matkoja on
koirat 4n
kissat 1+ 2(n − 2)
yhteensä 4n + 1 + 2(n − 2) = 6n − 3
Osoitetaan oikeakasi induktiolla.
Väite: Matkoja 6n − 3 kappaletta, kun kissoja ja koiria on n kappaletta ja n ≥ 2
Todistus:
Alkuaskel: Osoitetaan, että väite on tosi, kun n = 2.
129
Matkoja 6n − 3 = 6 ⋅ 2 − 3 = 9 kappaletta, mikä pitää tehtävän a-kohdan perusteella
paikkansa.
Induktioaskel
Induktio-oletus: Väite on tosi, kun n = k , k > 2 .
Matkoja tarvitaan 6k − 3 kappaletta
Induktio väite : Jos väite on tosi n:n arvolla k, niin se on tosi n:n arvolla k + 1
Matkoja tarvitaan 6(k + 1) − 3 = 6k + 3 kappaletta
Todistus: Induktio-oletuksen mukaan k koiraa ja k kissaa pääsee leirille tekemällä
6k − 3 matkaa.
Tämän jälkeen vastarannalla on vielä yksi koira ja yksi kissa.
Yksi kissa lähtee, koiraan menee saarelle (2 matkaa)
Yksi kissa lähtee, 2 kissaa palaa (2 matkaa)
Yksi kissa lähtee 2 kissaa palaa (2 matkaa)
Matkojen määrä: 6k − 3 + 2 + 2+ 2 = 6k +3.
Joten induktio-oletuksesta seuraa induktio väite.
Koska alkuaskel ja induktioaskel on todistettu, niin alkuperäinen väite pitää paikkansa.
8. Jokainen positiivinen kokonaisluku on muotoa 4q, 4q + 1, 4q + 2 tai 4q + 3 , q ∈ ] +
Olkoon s mielivaltainen kakkosta suurempi alkuluku.
s ≠ 4q , sillä alkuluku ei ole jaollinen luvulla 4 = 2 ⋅ 2
s ≠ 2q + 4 , sillä s = 2q + 4 = 2(q + 2) , eli jaollinen luvulla kaksi.
Näin ollen s = 4q + 1 tai s = 4q + 3 .
Jos s = 4q +1, se yhtä suurempi kuin neljällä jaollinen luku 4q
Jos s = 4q + 3, se on yhtä pienempi kuin neljällä jaollinen luku 4q + 4 = 4(q + 1)
Harjoituskoe 2
1. a) 1235 = 1 ⋅ 52 + 2 ⋅ 51 + 3 = 3810
b) 101 = 26 + 25 + 22 + 1 = 11001012
Vastaus: a) 3810 b) 11001012
2.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
¬q
0
0
1
1
0
0
1
1
p ∨ ¬q
1
1
1
1
0
0
1
1
r
1
0
1
0
1
0
1
0
(p ∨ ¬ q) ⇒ r
1
0
1
0
1
1
1
0
130
3.
a) 76 – 1 = (73 + 1)(73 − 1) = 344 ⋅ 342 = 23 ⋅ 43 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 19 = 24 ⋅ 32 ⋅ 19 ⋅ 43
b) 236 – 1 = (218 + 1)( 218 − 1) = 262 145 ⋅ 262 143 = 5 ⋅ 13 ⋅ 37 ⋅ 109 ⋅ 33 ⋅ 7 ⋅ 19 ⋅ 73
= 33 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 37 ⋅ 73 ⋅ 109
Vastaus: a) 24 ⋅ 32 ⋅ 19 ⋅ 43 b) 33 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 37 ⋅ 73 ⋅ 109
4.
p
1
1
0
0
q ¬p ¬q
1 0
0
0 0
1
1 1
0
0 1
1
5.
+
[0]
[1]
[2]
[0]
[0]
[1]
[2]
[1]
[1]
[2]
[0]
[2]
[2]
[0]
[1]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[2]
[0]
[2]
[1]
⋅
[0]
[1]
[2]
[2][x] = [1]
p∨q
0
1
1
0
p ∧ ¬q
¬p∧q
0
1
0
0
0
0
1
0
( p ∧ ¬q ) ∨ ( ¬ p ∧ q )
0
1
1
0
jäännösluokassa ] 3
Kertolaskutaulukosta nähdään ,että yhtälön ratkaisu on [x] = [2]
Vastaus: [x] = [2]
6. a)
5 x ≡ 2(mod 8)
x 5 x ≡ 2(mod 8)
0
5 ⋅ 0 = 0 ≡ 2(mod 8)
1
5 ⋅1 = 5 ≡ 2(mod 8)
2
5 ⋅ 2 = 10 ≡ 2(mod 8)
3
5 ⋅ 3 = 15 ≡ 2(mod 8)
4
5 ⋅ 4 = 20 ≡ 2(mod 8)
5
5 ⋅ 5 = 25 ≡ 2(mod 8)
6
5 ⋅ 6 = 30 ≡ 2(mod 8)
7
5 ⋅ 7 = 35 ≡ 2(mod 8)
Taulukosta nähdään, että x = 2 + 8n, n ∈ ]
131
b)
2 x ≡ 1(mod 9)
x 2 x ≡ 1(mod 9)
0
2 ⋅ 0 = 0 ≡ 1(mod 9)
1
2 ⋅1 = 1 ≡ 1(mod 9)
2
2 ⋅ 2 = 4 ≡ 1(mod 9)
3
2 ⋅ 3 = 6 ≡ 1(mod 9)
4
2 ⋅ 4 = 8 ≡ 1(mod 9)
5
2 ⋅ 5 = 10 ≡ 1(mod 9)
6
2 ⋅ 6 = 12 ≡ 1(mod 9)
7
2 ⋅ 7 = 14 ≡ 1(mod 9)
8
2 ⋅ 8 = 16 ≡ 1(mod 9)
Taulukosta nähdään, että x = 5 + 9n, n ∈ ]
Vastaus: a) x = 2 + 8n, n ∈ ]
b) x = 5 + 9n, n ∈ ]
7. 12x + 7y = 220
syt(7, 12) = 1
1 = 7 − 1⋅ 6
= 7 − 1 ⋅ (4 ⋅ 12−(6 ⋅ 7)
= 7 −4 ⋅ 12 + 6 ⋅ 7
= 7 ⋅ 7 −4 ⋅ 12
7 ⋅ 7 − 4 ⋅ 12 = 1
⋅ 220
1 540 ⋅ 7 − 880 ⋅ 12 = 220
x0 = −880
y0 = 1 540
7
⎧
⎪⎪ x = −880 + n ⋅ 1 = −880 + 7 n
,n∈]
⎨
⎪ y = 1540 − n ⋅ 12 = 1540 − 12n
1
⎩⎪
⎧ x = −880 + 7 n
Vastaus : ⎨
,n∈]
⎩ y = 1540 − 12n
132
8. a)
(n − 2) 2 + (n − 1) 2 + n 2 + (n + 1) 2 + (n + 2) 2 = n 2 − 4n + 4 + n 2 − 2n + 1 + n 2 + n 2 + 2n + 1 + n 2 + 4n + 4
= 5n 2 + 10 = 5(n 2 + 2)
Joten viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa on jaollinen luvulla 5. ,
b) Oletus: Viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa on 5(n2 + 2).
Väite: Viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa ei voi olla minkään
luonnollisen luvun neliö.
Todistus: Jotta 5(n2 + 2) olisi luonnollisen luvun neliö, olisi luvun n2 + 2 tekijänä oltava
luku 5. Tämä on mahdotonta, koska silloin luvun n2 viimeinen numero pitäisi olla 3, mutta
mahdollisia numeroita ovat vain:
02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
Joten viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa ei voi olla minkään
luonnollisen luvun neliö. ,
Harjoituskoe 3
1. Jaetaan tekijöihin.
a) 120 = 10 · 12 = 2 · 5 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3 · 5
168 = 4 · 42 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 3 · 7
264 = 4 · 66 = 2 · 2 · 2 · 3 · 11 = 23 · 3 · 11
pyj(120, 168, 264) = 23·3·5·7·11 = 9 240
b) 297 = 9 · 33 = 3 · 3 · 3 · 11
352 = 4 · 88 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11 = 25 · 11
syt(297, 352) = 11
Vastaus: a) Suurin yhteinen tekijä on 9 240. b) Pienin yhteinen jaettava on 11.
2. Taulukoidaan lause L: ( A ⇒ B ∨ C ) ⇔ [¬A ∧ ¬B ∧ ¬C ] .
A ⇒ B ∨ C ¬A ¬B
¬C
A B C B∨C
1 1 1 1
1
0
0
0
1 1 0 1
1
0
0
1
1 0 1 1
1
0
1
0
1 0 0 0
0
0
1
1
0 1 1 1
1
1
0
0
0 1 0 1
1
1
0
1
0 0 1 1
1
1
1
0
0 0 0 0
1
1
1
1
Vastaus: Lause ei ole tautologia.
133
¬A ∧ ¬B
0
0
0
0
0
0
1
1
¬A ∧ ¬B ∧ ¬ C
0
0
0
0
0
0
0
1
L
0
0
0
1
0
0
0
1
3.
235k = 1647
2k 2 + 3k + 5 = 1⋅ 7 2 + 6 ⋅ 71 + 4 ⋅ 7 0
2k 2 + 3k + 5 = 95
2k 2 + 3k − 90 = 0
k = 6 tai k = −7,5
Vastaus: 6-järjestelmässä
Ei käy, k > 0
4. Ensimmäinen alkuluku a = 2n + 1, missä n ∈ ]
Toinen alkuluku b = 2m + 1, missä m ∈ ]
Alkulukujen tulo ab =(2n + 1)·(2m + 1) = 4mn + 2n + 2m + 1 = 2·(2mn + m + n) + 1
Tulo on pariton, koska 2mn + m + n ∈ ] , kun m ∈ ] ja n ∈ ] .
Tällöin luku 2·(2mn + m + n) on parillinen ja siihen kun lisätään 1 saadaan pariton luku.
5. Määrätään Eukleideen algoritmilla syt(25 568, 13 630)
25 568 = 1 · 13 630 + 11 938
13 630 = 1 · 11 938 + 1 692
11 938 = 7 · 1 692 + 94
1 692 = 18 · 94
Jakoyhtälöiden viimeinen jakojäännös on syt(25 568, 13 630) = 94. Kertoimien määritys
94 = 11 938 – 7 · 1 692 = 11 938 – 7·(13 630 – 11 938) = 8 · 11 938 – 7 · 13 630
= 8·(25 568 – 13 630) – 7 · 13 630 = 8·25 568 – 15 · 13 630
Vastaus: syt(25 568, 13 630) = 94 sekä x = 8 ja y = –15.
6.
27 x ≡ 3 (mod 16)
27x – 16y = 3
Haetaan lukujen 16 ja 27 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
27 = 1 · 16 + 11
16 = 1 · 11 + 5
11 = 2 · 5 + 1
5=5·1
Syt(16, 27) = 1 = 11 – 2 · 5 = 11 – 2·(16 – 11) = 3 · 11 – 2 · 16 = 3·(27 – 16) – 2 · 16
= 3 · 27 – 5 · 16
27 · 3 – 16 · 5 = 1 |·3
27 · 9 – 16 · 15 = 3 |27x – 16y = 3
Yksityisratkaisu x0 = 9 ja y0 = 15
Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu
b
−16
= 9+n
= 9 + 16n, n ∈ ]
x = x0 + n ⋅
syt(a, b)
1
Vastaus: x = 9 + 16n, n ∈ ]
7. 1251·(562 + 55) = 771 867 = 59 374 · 13 + 5
Vastaus: Jakojäännös on 5.
134
8. Suoritetaan jakolasku 123 456 789 101 112:24 jakokulmassa.
5144 032879 213
24 123456 789101112
123456 768
21101112
21101112
0
Koska jakojäännös on nolla, niin kello on 9.00.
Vastaus: Kello on 9.00.
135