1. No category

Priprave na MMO 2017 – 5. domača naloga
1. Naj bodo x1 , x2 , . . . , x2016 pozitivna realna števila z vsoto 2016. Dokaži neenakost
√
x1
x2
x2016
224
+√
+ ··· + √
≥
.
5
2026 − x1
2026 − x2
2026 − x2016
2. Dokaži, da za poljubna pozitivna števila x, y, z, w velja neenakost
x4 y + y 4 z + z 4 w + w4 x ≥ xyzw(x + y + z + w).
3. Naj bodo x, y, z nenegativna realna števila z vsoto 3. Poišči najmanjšo in največjo možno
vrednost izraza
x3 + y 3 + z 3 + 6xyz.
4. Dokaži, da za poljubna števila x, y, z ∈ [0, 1] velja neenakost
(1 − x)(1 − y)(1 − z) +
x
y
z
+
+
≤ 1.
y+z+1 z+x+1 x+y+1
Kdaj velja enakost?
Naloge rešujte samostojno. Pisne rešitve je potrebno poslati najkasneje do 14. 1. 2017 po pošti
na naslov DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v srednji šoli, Jadranska ulica 19, 1000 Ljubljana ali preko e-maila na naslov [email protected].
Rešitvam priložite tudi podpisano izjavo o samostojnem delu. Če boste pri reševanju nalog
uporabili kakšno literaturo (v tiskani ali elektronski obliki), navedite reference. Standardne
literature (knjige Altius, Citius, Fortius in e-revije Brihtnež) ni potrebno navajati.
Izjava o samostojnem delu
Spodaj podpisani(-a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ime in priimek) izjavljam, da sem
vse naloge reševal(-a) samostojno in brez pomoči drugih oseb.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (kraj in datum)
Podpis: