RegneoppgaverAST1010,vår2017 (Sistoppdatert:29.03.2017) OBS:Ikkefåpanikkomduikkefårtiloppgavenemedengang,elleromdustårheltfast: • Iforelesningsnotatene1finnerduregneeksempler. • Dukanogsåfåhjelpmedellersjekkesvarenepåoppgaverigruppetimene (onsdag/torsdagfraogmed26./27.januar). • Ettergruppetimeneleggesløsningsforslagtilgamleoppgaverinnbakerstidette dokumentet2sammenmednyeoppgaver. • PS:Alleoppgaveneskalløsesutenhjelpemidler,slikatdetblirrealistiskøvelsetil eksamen. Oppgave1 Planeten Lars går i bane rundt stjernen sin med store halvakse lik 2 AU. Finn omløpstiden til denne planeten med Keplers 3. lov. Stjernen til planeten Lars har det dobbelte av Solens masse, så 𝑘 = 0.5 i dette solsystemet. Vis tydelig hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter. Oppgave2 Planeten Sara går i bane rundt stjernen sin med store halvakse lik 4 AU. Finn omløpstiden til denne planeten med Keplers 3. lov. Du kan anta at stjernen til planeten Sara har nøyaktig samme masse som solen (og mye større masse enn planeten). Vis også her hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter. Oppgave3 Kometen C/2016 U1 NEOWISE går i bane rundt Solen med en omløpsperiode lik 1 000 år. Finn store halvakse i banen til denne kometen med Keplers 3. lov. Vis nok en gang hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter. 1 https://www.uio.no/studier/emner/matnat/astro/AST1010/v17/timeplan/index.html#FOR 2 Oppdatertversjon: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/astro/AST1010/v17/undervisningsmateriale/regneoppgaver-ast1010.pdf Oppgave4 Planeten Lars viser seg å ha en masse på 3 jordmasser. Planetens radius er det dobbelte av jordens. Vis tydelig hvordan du regner ut tyngdeakselerasjonen på overflaten av planeten Lars med Newtons gravitasjonslov. Hint: Når vi oppgir svaret i jord-gravitasjoner (g), kan du sette gravitasjonskonstanten G = 1. Oppgave5 Den noe mindre planeten Lerkur har en masse på 3/4 jordmasser. Planetens radius er nøyaktig den samme som jordens. Vis tydelig hvordan du regner ut tyngdeakselerasjonen på overflaten av planeten Lerkur med Newtons gravitasjonslov. Husk riktig enhet i svaret. Oppgave6 I vårt eget solsystem har Mars en masse som er nesten dobbelt av Merkurs masse. Hvordan kan det ha seg at tyngdeakselerasjonen på Mars’ overflate er den samme som på Merkurs overflate? Hint: Se på svarene i oppgave 4 og 5. Det kan også lønne seg å se på denne tabellen: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ Oppgave7(utfordring) Med litt avrunding kan vi si at månens radius er ca. 1/4 av jordens3. Forklar hvorfor en måne som veier 1/16 jordmasse vil ha 1 g tyngdeakselerasjon på overflaten (Hint: Sett inn tallene i Newtons gravitasjonslov og sjekk4 at svaret blir 1). Når den virkelige tyngdeakselerasjonen på månens overflate viser seg å være 1/6 g, er månens masse da mindre eller større enn 1/16 jordmasse?5 3 Egentlig0.2724jord-radier(27,24%avjordensradius). & & & 4 Hjelpsombrøkregeltildenneoppgavensomduikketrengeråpuggetileksamen: ⋅ = ' ) '⋅) 5 Frivilligekstraoppgavefordesomikkefårnokutfordringer:Hvaveiermånenijordmasser (nårvibrukertilnærmingenpå1/4jord-radiussomioppgave7)? Oppgave8 DendominerendebølgelengdeniSolensspektererca.500nm(grøntlys). BrukWiensforskyvningslovtilåregneutdendominerendebølgelengdendersomvitidobler Solenstemperatur. Vistydelighvordandutenker/regneroghuskriktigenhetisvaret. Oppgave9 BrukWiensforskyvningslovtilåregneutdendominerendebølgelengdendersomvihalverer Solenstemperatur. Vistydelighvordandutenker/regneroghuskriktigenhetisvaret. Oppgave10 Solenstemperaturer5770K(ettalldubørhuske).Forågjøreregningenenklere,rundervi avtemperaturentil6000Kirestenavdenneoppgaven. BrukWiensforskyvningslovtilåregneuthvaSolenstemperaturvilleværtdersomden dominerendebølgelengdenhaddevært250nm(ultrafiolettstråling). Vistydelighvordandutenker/regneroghuskriktigenhetisvaret. Hvordanvilleensolmeddennetemperaturensettutforossmennesker? VillefargenpåhimmelenværtannerledesomSolenhaddehattdennetemperaturen? Oppgave11 BrukStefan-Boltzmannslovtilåregneutfluksentiletsortlegememedentemperaturpå1 K.Vistydeligutregning. Hvisduikkeerkomfortabelmedåhamedenukjentkonstant(𝜎)isvaret,kanduidenneog restenavoppgavenesette𝜎 = 1. Hvisdugjørdette,kandufålovtilådroppeenheterisvarenepåoppgaversombruker dennekonstanten,mendamåduherognå,idenneoppgaven,svarepåhvilkenmåleenhet vimålerfluksi.Ikkebareerdetviktigisegselv,menduvilogsåhabrukforåvitedettei oppgave14. (Hvisduderimotikkegjørdette,brukdennemåleenheteniallesvarenedinesomnormalt.) Oppgave12 BrukStefan-Boltzmannslovtilåregneutfluksentiletsortlegememedentemperaturpå3 K.Vistydeligutregning. Oppgave13 BrukStefan-Boltzmannslovtilåregneutfluksentiletsortlegememedentemperaturpå10 K.Vistydeligutregning. Oppgave14 Hvilketsortlegemestrålerutmesteffekt(målesiwatt)avdisse? Temperatur(K) Overflate(m2) Legeme1 1 81 Legeme2 3 1 Begrunnsvaret–forklartankegangendin. Oppgave15(frivilligutfordring–ikkepensum) Utleddenneformelenforenplanetstemperatursomvivisteiforelesningene6(hellerikke pensum): 𝑇-.'/01 = 𝑇23. ⋅ 𝑅23. 2𝑎 der𝑎eravstandenmellomsolenogplaneten(egentligstorehalvakse,menhertenkervien planetbanesomerheltsirkulær,slikatstorehalvakse=radius)og𝑅23. ersolensradius. BrukStefan-Boltzmannslovogfølgendeikke-pensum-formler: Solenstotaleutstrålteeffekt(fluksgangerareal)er: 𝐸23. = 𝐹23. ⋅ 4𝜋𝑅23. ; Fluksenmanfårienvissavstand(𝑎)frasolen: 𝐸23. 𝐹<// = 4𝜋𝑎; (dvs.atfluksenspresutoverpåoverflatenavenkulemedradius𝑎). Totaleffektsomplanetentarinn: 𝐸<// = 𝐹<// ⋅ 𝜋𝑅; (vitenkerheratdelenavplanetensomvendermotsolaerensirkelmedradius𝑅). Viantarperfektstrålingsbalanse–likemangewattinnsomut: 𝐸=1 = 𝐸<// ogplanetensutstråltesortlegeme-flukser(forenkuleformetplanet): 𝐸=1 𝐹-.'/01 = 4𝜋𝑅; OBS:DumåbrukeStefans-Boltzmannslovbådepåsolenogplaneten. Denneoppgavenerherkunforågienstørreutfordringtilstudentersomharerfaringmed matematikkogmanipuleringavformler.Jegvillealdrifinnepåågidettetileksamen,men håpeteratdesomharforkunnskapertildetvilfånoeinteressantåbrynesegpå.(Jegvil ogsålageløsningsforslagtildenneoppgaven,selvomdenerheltfrivillig.) 6 Idenopprinneligeforelesningen(våren2017)haddejegglemtfaktoren2inevneren,men detteernåblittoppdatert. Oppgave16 Hvaerparallaksentilenstjernesomer2pcunnajorden? Vistydeligutregningogbrukriktigenhetisvaret. Oppgave17 Hvaerparallaksentilenstjernesomer4pcunnajorden? Vistydeligutregningogbrukriktigenhetisvaret. Oppgave18 Hvorlangtunnajordenerenstjernesomharparallaksepå2buesekunder? Vistydeligutregningogbrukriktigenhetisvaret. Oppgave19 Hvorlangtunnajordenerenstjernesomharparallaksepå10buesekunder? Vistydeligutregningogbrukriktigenhetisvaret. Oppgave20(frivilligutfordring) Ifølgeformelen,hvorstorparallaksevinkelvilenstjernehahvisdener1AUunnaoss? Vistydeligutregningogoppgisvaretigrader. (Hint:Forågjøreregningenoverkommeligutenhjelpemidler,anbefalesdetåbrukeradianer >?@ tilåbegynnemed.Duvilogsåfåbrukforat ≈ 57,3.) ;A HvorforharikkeSolendenneparallaksennårSolener1AUunnaoss? (Hint1:Herkandethjelpeåtegneenfigur.PasspåatduikkeplassererSolentoforskjellige steder.Toavsideneidetsomgenereltbleenrettvinklettrekantvilherhasammelengde.) (Hint2:Nårviutledetparallakseformeleniforelesning,gjordevienantakelsesombare gjelderentypevinkler.Erdennematematiskeantakelsengyldigher?) Oppgave21 Engalakse50Mpcunnaossharenrødforskyvningsomtilsvarerenhastighetpå3000km/s. BrukHubbleslovogregnuthvorstorrødforskyvningshastighetdennegalaksenvillehattom denistedetvar100Mpcunnaoss. Vistydeligutregningoghuskriktigenhetisvaret. Oppgave22 Lysetshastigheterca.300000km/s.Hvorlangtunnamåengalakseværeforåbevegeseg meddennehastigheten?(Hint:Brukopplysningeneioppgave21ogHubbleslov.) Vistydeligutregningoghuskriktigenhetisvaret. Oppgave23 MeddagensverdiavHubble-parameteren(𝐻@ )fårviatuniversetsalderblirca.14milliarder år(viantaratuniversetutvidersegslikatgalaksenefjernersegfraossmedkonstant hastighet). Hvormyemindre/størrevilleHubble-parameterenhattdersomgalaksenehaddebeveget segdobbeltsårasktbortfraoss(medakkuratdesammeavstandene)? Vistydeligutregning. Oppgave24 HvorgammeltvilleuniversetværtmedHubble-parameterenvikomframtilioppgave23? Vistydeligutregningoghuskriktigenhetisvaret. Oppgave25 HvilkenverdivilvimåleforHubble-parameterennåruniverseterdobbeltsågammeltsom deteridag? Vistydeligutregningoghuskriktigenhetisvaret. Oppgave26 Sammenlignoppgave9,16og25. Hvaerlikhetenmellomutregningeneidisseoppgavene? Hardetreformlenenoetilfellessomkangjøredemlettereåhusketileksamen? Løsningsforslagtilregneoppgavene (oppdateresettergruppetimenhvoroppgaveneblirgjennomgått) Oppgave1 Keplers3.lov: 𝑃; = 𝑘 ⋅ 𝑎> 𝑃 ⋅ 𝑃 = 𝑘 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 Setterinnopplysningenegittioppgaven: 𝑃 ⋅ 𝑃 = 0.5 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 𝑃 ⋅ 𝑃 = 0.5 ⋅ 8 𝑃 ⋅ 𝑃 = 4 Prøvermegframmed𝑃 = 1: 1 ⋅ 1 ≠ 4 Hvamed𝑃 = 2? 2 ⋅ 2 = 4 Serdermedatsvaretmåvære𝑃 = 2år(huskenheteneJ). Oppgave2 Viktig:StjernenherharsammemassesomSolen.Sidenverdienavkonstanten𝑘erbestemt avstjernensmasse(nårstjernenermyestørreennplaneten,iallefall),måviherhasamme verdiav𝑘somivårtegetsolsystem:𝑘 = 1. 𝑃; = 𝑘 ⋅ 𝑎> 𝑃; = 1 ⋅ 4> 𝑃; = 1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 𝑃; = 4 ⋅ 16 𝑃; = 64 Denneoppgavenkanløsesvidereakkuratsomoppgave1,medprøvingogfeiling.Menhvis dubeherskerkvadratrøtterogtredjerøttergodt,kanduvågedegutpåenmeravansert fremgangsmåte: 𝑃; = 64 Partallsrøtterharbådepositiveognegativeløsninger: 𝑃; = ± 64 𝑃 = ±8 Hvaskalvimenemedenomløpsperiodepå-8år?Denbestetolkningenjegkantenkemeg pådette,eratplanetengårmotsattveiavdetjordengjørrundtSolen.Menomløpsperioden måltpåenklokkeerakkuratdensammeogsåidettetilfellet–ibeggetilfellerblirden 𝑃 = 8år (Kommentar:Vikunneselvsagtfunnetennegativløsningogsåmedprøvingogfeiling, (−8) ⋅ (−8) = 64,menfordividetatomløpsperiodenskalværepositiverdetteenveldig unaturligløsningåprøve. Nårdutarrotenavhversidepåenlikning,skalimidlertidbeggefortegnmed,ogdubør derforargumenterehvorfordennegativeerufysisk/utenbetydning. Omduderimotprøverogfeilersomvigjordeioppgave1,trengerduikketenkepåå utelukkenegativeløsningertileksamen–deteringengrunntilåprøvemednegativtidi dettetilfellet.) Oppgave3 ErdetsnakkomSolen,er𝑘 = 1(iallefallsålengeenheteneerAUogår,ogdetvildevære påeksamen): 𝑃; = 𝑘 ⋅ 𝑎> 1000; = 1 ⋅ 𝑎> 1000 ⋅ 1000 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 1000000 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 Prøvermed𝑎 = 10: 1000000 ≠ 1000 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 Prøvermed𝑎 = 100: 1000000 = 100 ⋅ 100 ⋅ 100 Serdermedatsvaretmåvære𝑎 = 100AU(huskenheteneJ). Oppgave4 Newtonsgravitasjonslov: 𝑔= 𝐺⋅𝑀 𝑟; 𝑔= 1⋅𝑀 𝑟⋅𝑟 Setter𝐺 = 1: Setterinntallene(ijordmasserogjord-radier)forplanetenLars: 1⋅3 3 𝑔= = 2⋅2 4 PåoverflatenavplanetenLarsertyngdeakselerasjonen0,75g(75%avjordens). Oppgave5 Fraforrigeoppgave: 𝑔= 1⋅𝑀 𝑟⋅𝑟 Setterinntallene(ijordmasserogjord-radier)forplanetenLerkur: 3 1⋅ 4 = 1 ⋅ 0,75 = 0,75 𝑔= 1⋅1 1⋅1 PåoverflatenavplanetenLerkurertyngdeakselerasjonen0,75g(75%avjordens). Oppgave6 Somoppgave4og5viser,harplaneteneLarsogLerkurakkuratsammetyngdeakselerasjon påoverflaten,selvomdeharforskjelligmasse.Detteskyldesatradientilplanetenogså spillerenrolle–detfinnes(uendelig)mangekombinasjoneravradiusogmassesomgir sammetyngdeakselerasjon. ForenutregningmedrealistisketallforMerkurogMars,senotatenetilforelesning8(jorda, månenogMars).Forholdetmellommasseog𝑟 ; erdetsammeforbeggeplanetene,noevi kansjekkevedåsepådatafraNASA-tabellenoggjøreenutregning.Atviistedenbrukte eksempel-planeteneLerkurogLarsvarforåfåenkleretall,somdetvivillefåttpåen eventuelleksamensoppgave. Oppgave7(utfordring) 𝑔= Setterinntallenegittioppgaven: 1⋅𝑀 𝑟⋅𝑟 1 16 𝑔= 1 1 ⋅ 4 4 1⋅ Brøkregel: 1 1 1 1⋅ 16 16 16 𝑔= = = = 1 1⋅1 1 1 4⋅4 16 16 1⋅ Detstemmeratenslikmånevillehattsammeoverflatetyngdekraftsomjorden:1g & Månensegentligetyngdekrafter6gangermindreenndette( g),såhvisviskalbrukeden ? sammeradien,måmånensegentligemasseværetilsvarende(6ganger)mindre. Heltnøyaktig(ekstrautfordringenifotnoten)ermånensegentligemasseda: 1 1 1 16 𝑀= = = 6 16 ⋅ 6 96 jordmasse–herbrukteviendaenbrøkregelsomduikketrengeråhusketileksamen.Dette erikkelangtunnamånensegentligemasse(dukanselvsjekkedetiNASA-tabellen,omdu insisterer)–enmernøyaktigmåneradiusistedetfor1/4avjordensvillegittetendamer nøyaktigresultat. Oppgave8 Wiensforskyvningslov: 𝑏 𝜆V'W = 𝑇 ForSolen: 𝜆V'W = Tidoblertemperaturen: 𝜆V'W = 𝑏 = 500nm 5770K 𝑏 500nm = = 50nm 10 ⋅ 5770K 10 Forklaring:Sidentemperaturenerinevneren,delervipå10nårtemperaturentidobles.Da blirdendominerendebølgelengden50nm. Oppgave9 Hvisviistedethalverertemperaturen: 𝑏 500nm 𝜆V'W = = = 1000nm 0,5 ⋅ 5770K 0,5 Forklaring:Nårvidelerpåenhalv,erdetdetsammesomådoble. Hvorfor?Fordihvisenhalvpersonskalfå500nm,måenhelfå1000nm. Oppgave10 Runderavsolenstemperatur(ikkeheltnøyaktig): 𝑏 𝜆V'W = = 500nm 6000K Hvaslagstemperaturvillegittoss250nm(halvpartenav500nm)somsvar? Foråfåhalvertsvaret,månevnerenværedobbeltsåstor(åhalvereerådelepå2): 𝑏 𝑏 500nm 𝜆V'W = = = = 250nm 12000K 2 ⋅ 6000K 2 Omsolenstemperaturhaddevært12000K,villeultrafiolettstrålingdominert.Mennesker kanikkeseultrafiolettstråling,menidetsynligespekteretvillefiolettogblåttlysdominert. Imidlertidsermenneskeøyetblåttbedreennfiolett,såenslikstjernevillesettblåutfor mennesker.Ensliksolvillesendtutmerfiolettennblåttlys,ogkortebølgelengderspres mestidetsynligespekteret.Vikanderforantaathimmelenvillehattetsterkereinnslagav fiolettenndetviseridag,menommenneskeøyetvilleklartåsetydeligforskjelleretåpent spørsmål.(Itilleggvillehimmelenværtmyelysere,fordienvarmerestjernestrålermer.) Oppgave11 Stefan-Boltzmannslov: Setterinn𝑇 = 1K: 𝐹 = 𝜎 ∙ 𝑇 ] = 𝜎 ∙ 𝑇 ∙ 𝑇 ∙ 𝑇 ∙ 𝑇 𝐹 = 𝜎 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 𝜎 Fluksenbliraltsålikkonstanten𝜎W/m2. Alternativt,omdusetter𝜎 = 1,blirfluksenlik1. Måleenhetenforflukserwattperkvadratmeter. Oppgave12 Setterinn𝑇 = 3K: 𝐹 = 𝜎 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 𝐹 = 𝜎 ∙ 9 ∙ 9 𝐹 = 𝜎 ∙ 81 Herbliraltsåfluksenhele81gangerstørre:81 ∙ 𝜎W/m2(eller81omdusatte𝜎 = 1). Oppgave13 Setterinn𝑇 = 10K: 𝐹 = 𝜎 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 𝐹 = 𝜎 ∙ 100 ∙ 100 𝐹 = 𝜎 ∙ 10000 Herblirfluksentitusengangerstørre:10000 ∙ 𝜎W/m2(eller10000omdusatte𝜎 = 1). Oppgave14 Detteerlegemeneioppgave11og12,somvialleredeharregnetutfluksenfor: Temperatur(K) Overflate(m2) Fluks(W/m2) Effekt(W) Legeme1 1 81 1 81 Legeme2 3 1 81 81 Vifinnerdentotaleeffekten(W)vedågangesammenfluks(W/m2)medareal(m2). Detvisersegatdetlille,littvarmerelegemetstrålerutlikemyeeffektsomdetsvære,litt kalderelegemet(detmåmyearealtilforåkompensereforenlitentemperaturendring). Oppgave15(frivilligutfordring–ikkepensum) Stefam-Boltzmannslovforplaneten: ] 𝐹-.'/01 = 𝜎 ∙ 𝑇-.'/01 𝑇-.'/01 = Bruker𝐹-.'/01 = _`a ]Ab c ^ 𝐹-.'/01 𝜎 : 𝑇-.'/01 = ^ 𝐸=1 = 4𝜋𝑅; 𝜎 ^ 𝐸<// 4𝜋𝑅; 𝜎 (pga.strålingsbalanse).Videreutnytterviat𝐸<// = 𝐹<// ⋅ 𝜋𝑅; : 𝑇-.'/01 = ^ 𝐹<// ⋅ 𝜋𝑅; = 4𝜋𝑅; 𝜎 ^ 𝐹<// 4𝜎 _ ogsiden𝐹<// = defc : ]A' 𝑇-.'/01 = ^ 𝐸23. 4𝜋𝑎; ∙ 4𝜎 Men𝐸23. = 𝐹23. ⋅ 4𝜋𝑅23. ; : 𝑇-.'/01 = ^ 𝐹23. ⋅ 4𝜋𝑅23. ; = 4𝜋𝑎; ∙ 4𝜎 ^ 𝐹23. ⋅ 𝑅23. ; 𝑎; ∙ 4𝜎 ] BrukernåStefan-BoltzmannslovforSolen(𝐹23. = 𝜎 ∙ 𝑇23. ): 𝑇-.'/01 = ^ ] 𝜎 ∙ 𝑇23. ⋅ 𝑅23. ; = 𝑎; ∙ 4𝜎 ^ ] ^ 𝑇23. ⋅ 𝑅23. ; 𝑅23. ; = 𝑇23. ⋅ 𝑎; ∙ 4 𝑎; ∙ 2; ^ Utnyttertilsluttat 𝑥 ; = 𝑥 ;/] = 𝑥 &/; = 𝑥: 𝑇-.'/01 = 𝑇23. ⋅ 𝑅23. 2𝑎 hvilketskullebevises. Detviharfunnetuteraltsåatenplanetblirvarmerejovarmeresolener,jonærmeresolen dener,ogjostørresolener(enstørresolmedsammetemperatursenderutmertotal effekt,ogvildermedgjøreplanetenevarmere). Oppgave16 Parallakseformelen: Setterinn𝑑 = 2pc: 1 𝑑= 𝑝 1 2= 𝑝 Hvaskalmandele1påforåfå2somsvar(seogsåoppgave9)? 2 1 = 1 0,5 Nåravstandeneroppgittiparsec,erparallaksevinkelenibuesekunder.Enstjerne2pcunna jordenharenparallaksevinkelpå0,5buesekunder. Oppgave17 Setterinn𝑑 = 4pc: 1 4= 𝑝 Hvaskalmandele1påforåfå4somsvar? 4 1 = 1 0,25 Enstjerne4pcunnajordenharenparallaksevinkelpå0,25buesekunder. Oppgave18 Parallakseformelen: Setterinn𝑝 = 2buesekunder: 1 𝑑= 𝑝 1 𝑑= 2 Nårparallaksevinkeleneroppgittibuesekunder,eravstandeniparsec.Enstjernemed parallaksevinkel2buesekunderer0,5pcunnajorden. Oppgave19 Setterinn𝑝 = 10buesekunder: 𝑑= 1 10 Enstjernemedparallaksevinkel10buesekunderer0.1pcunnajorden. Oppgave20(frivilligutfordring) Setterinn𝑑 = 1AU: Serat 1 1= 𝑝 1 1= 1 mensidenavstandenvargittiAU,måparallaksevinkelenværeoppgittiradianer.Forå regnedetteomtilgrader: 360∘ 1𝑟𝑎𝑑 = ≈ 57,3∘ 2𝜋 Vifårenparallaksevinkelpå57,3gradermedparallakseformelenher. AtSolenikkehardenneparallaksevinkeleneråpenbart,forenenkelfigurvilviseatSolen flytterseg90graderpåetkvartår.(IdettetilfelletvilTOavvinkleneitrekantenbli90 grader,ogdensisteblir0grader:Trekantenvårbliregentligbaretolinjeroppåhverandre. Jegerforlattilåtegnedet,mendereskjønnerforhåpentligvistegningalikevel.) OmviistedentegnerenfigurmedTOsoler,hvorjordagåribanerundtdeneneogden andreer1AUunna7,fårvienparallaksevinkelpå45grader.Selvomdetteerurealistisk fysisksett,erdettenærmerehvordanparallakseformelenermentåbrukes,menvifår fortsattikkeriktigsvar–hvorfor? Denmatematiskeårsakenertilnærmingenvibruktetilåutledeparallakseformelenbare fungerernårvinkelen(gittiradianer)ersværtliten: sin 𝑝 ≈ 𝑝 Envinkelpåenhelradian(57,3grader)erdefinitivtingenlitenvinkel,derforerdetingen grunntilåforventeatformelenskalgietfornuftigsvarforgjenstandersånærtjorden. 7 Iallefalltilåbegynnemed,nårJordenogdetosoleneerpålinje.NårJordenogdeto solenedannerenlikebeinttrekantvilavstandenhaøkttilca.1,42AU(kanvisesmed Pytagoras’formel).Forfjernestjernermedenmyemindreparallaksevinkelvilenslikendring iavstandværeubetydeligliten–endaengrunntilåinsisterepåsmåvinkler. Oppgave21 Hubbleslov: Setterinntallenegittioppgaven: Hvaskjernåravstandendobles? 𝑣 = 𝐻@ ⋅ 𝑑 3000 = 𝐻@ ⋅ 50 𝑣 = 𝐻@ ⋅ 100 Siden𝐻@ eruforandret,måhastighetenogsådobles: 6000 = 𝐻@ ⋅ 100 Engalakse100Mpcunnaossvildahaenhastighetpå6000km/s. (OBS:Detgåranåregneutat𝐻@ = 60km/sperMpc,mendetteerikkestrengttatt nødvendigforåløseoppgaven.Detholderådoblepåhversideavlikhetstegnet.Ogdetskal nevnesatdenreelleverdienernoehøyere,ca.67,74km/sperMpcifølgePlanck-satellitten.) Oppgave22 Setterinntallenegittioppgaven: Sammenlignermedoppgave21: 300000 = 𝐻@ ⋅ 𝑑 3000 = 𝐻@ ⋅ 50 Denvenstresidener100-doblet,såvimå100-dobledenhøyresidenogså: 300000 = 𝐻@ ⋅ 5000 Meddenneverdienav𝐻@ liggerenslikgalakse5000Mpcunnaoss.(Denreelleavstandener noelaveremedenmerrealistiskverdiav𝐻@ .) Oppgave23 Hubbleslov: 𝑣 = 𝐻@ ⋅ 𝑑 Dobleshastighetenmåviogsådoblepådenandresidenavlikhetstegnet: 2 ⋅ 𝑣 = 2 ⋅ 𝐻@ ⋅ 𝑑 𝑑skalværeuendret,sådennyeHubble-parameterenmåværelik2 ⋅ 𝐻@ ,detvilsiendobling avHubble-parameteren. Oppgave24 Universetsaldermedkonstantehastigheter: 𝑡@ = 1 𝐻@ DoblerHubble-parametereniforholdtildagensverdi(seoppgave23): 1 1 𝑡= = ⋅ 𝑡@ 2 ⋅ 𝐻@ 2 Idettetilfelletfåruniversethalvpartenavdagensalder,ca.7milliarderår. Oppgave25 Dobleruniversetsalder: 2 ⋅ 𝑡@ = 1 𝐻 MeddagensHubble-parametermåtteviogsådobletdenandresiden: 2 2 ⋅ 𝑡@ = 𝐻@ Såvikansammenlignedetohøyresideneover: 1 2 = 𝐻 𝐻@ Halverertellerognevnerpåhøyreside: 1 1 = 𝐻 0,5 ⋅ 𝐻@ hvilketbetyrat: 𝐻 = 0,5 ⋅ 𝐻@ Sånåruniverseter28milliarderårgammelt,erHubble-parameterenhalvpartenavdagens. Oppgave26 Ialleoppgavenehalverervinevneren(𝑇, 𝑝, 𝐻),slikatsvaret(𝜆V'W , 𝑑, 𝑡)blirdoblet. Wienslov,parallakseformelenogHubblesloverallepådensammeformen! (SelvomWienslovharenkonstantsomikkeer1itellerenpåhøyreside.)
© Copyright 2024