1. No category

‫جامعة المرقب‬
‫كلية العلوم – زليتن‬
‫قسم الرياضيات‬
‫إرشادات حول االختبار األول في مقرر أسس الرياضيات‪II‬‬
‫* االختبااار ساايإو إ شاااع اى يعااال يااوم االثنااين المواف ا ‪ 0210/11/19‬بالقاعااة رقاام ‪ 126‬بمبن ا الإليااة ماان الساااعة‬
‫‪ 10:22‬إل الساعة ‪ 21:3:‬ظهرا‪.‬‬
‫* االختبار يشمل ما يم دراسته في العالقات‬
‫* االختبااار مإااو ماان ‪ 4‬أسااةلة لكاال سااتال يلتااور علا فقاريين و يعتمااع علا فهمااع للتعريدااات والقواعااع التااي درسااتها‬
‫بااالمقرر وكااسلع ساايإو ماان ضاامن األسااةلة بعااد األسااةلة الااوارد بالتمااارين واالمتلانااات السااابقة والملاضارات المع ااا‬
‫بالقاعة العراسية‪.‬‬
‫*بعااد أسااةلة هااسا االختبااار سااتإو ماان االنااوام التاليااة ماان االسااةلة‪ :‬أسااةلة المقااال – أسااةلة الاااوال وال ا – أسااةلة‬
‫االختيار من متععد – أسةلة التإميل‪.‬‬
‫‪ ‬فيما يلي مجموعة من األشياع التي يجب عليع معرفتها لتإو من المتدوقين في االختبار‪:‬‬
‫‪ .1‬معرفة األنوام الم تلدة ل رق البرها الرياضي واست عامها في برهنة بعد القوانين والقواعع‪.‬‬
‫‪ .0‬أ يست يع اللإم عل أ برها عبار ما مع ا صليح أو خاطئ ‪.‬‬
‫‪ .3‬فهم التعريدات المهمة مثل يعريف كل من‪ :‬العالقة – العالقة السايية‪ -‬ن اق العالقاة – ماع العالقاة – معإاو‬
‫العالق ااة –العالق ااة المقي ااع ‪ -‬يركي ااب العالق ااات‪ -‬ايل اااد ويق اااطع العالق ااات – عائل ااة العالق ااات – يعم اايم ايل اااد‬
‫ويق اااطع العالق ااات ‪ -‬العالق ااة العاكس ااة – العالق ااة المتماثل ااة – العالق ااة الناقل ااة – العالق ااة المت الد ااة – عالق ااة‬
‫التإافت‪ -‬صدوف التإافت وخواصاها‪ -‬عالقاة التريياب الجيئاي ‪ -‬العناار األصا ر ‪ -‬العناار األكبار ‪ -‬العناار‬
‫األص رر ‪ -‬العنار األعظمي‬
‫‪ .4‬أ يست يع برهنة جميع المبرهنات ال اصة بالعالقات والتي يم دراستها بالمنهج المقرر‪.‬‬
‫‪ .5‬اثبات أ عالقة جيئية من عالقة أخر ‪.‬‬
‫‪ .6‬اثبات أ عالقتين متساويتين باست عام طريقة فرض العنار‪.‬‬
‫‪ .7‬أ يست يع حل أسةلة االمتلانات السابقة وكسلع حل كل التمارين عل مواضيع العالقات‪.‬‬
‫أ‪.‬حممد أمحد محوده‬
‫‪Practice Exam1 in Fundamental of Mathematics‬‬
‫الزمن‪ :‬ساعة ونصف‬
‫أجب عن ‪ 4‬أسئلة فقط من األسئلة التالية‪:‬‬
‫س‪.1‬أ) ضع عالمة ( ‪ ) ‬أمام العبارة الصحيحة و عالمة ( × ) أمام العبارة الخاطئة‪.‬‬
‫‪.1‬إذا كان ‪ R  R  R‬فإن العالقة ‪ R‬تكون ناقلة‪.‬‬
‫‪ .2‬العالقة ‪ y ‬يقسم ‪ R  {( x, y) : x‬المعرفة على المجموعة }‪ {5,6,7,8‬تكون عالقة متخالفة‪.‬‬
‫‪ .3‬ليكن ‪ R‬عالقة على المجموعة غير الخالية ‪ A‬فإذا كان ‪ R  R  R‬فإن العالقة ‪ R‬تكون عاكسة وناقلة‬
‫ب) إذا كانت ‪ R‬عالقة على المجموعة ‪ A‬برهن أن ‪ R‬عالقة متخالفة إذا وإذا كان فقط ‪R  R 1  I A‬‬
‫س‪.0‬أ) ليكن ‪ R‬عالقة على المجموعة ‪ X‬برهن أن ‪ R  R 1‬هي أصغر عالقة متماثلة محتوية على ‪ R‬ثم برهن‬
‫أن ‪ R  R 1‬هي أكبر عالقة متماثلة محتواه في ‪R‬‬
‫ب) إذا كانت ‪ R‬عالقة على المجموعة ‪ A‬برهن أن ‪ R‬عالقة متخالفة إذا وإذا كان فقط ‪R  R 1  I A‬‬
‫س‪.3‬أ) ضع خط تحت اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المذكورة أمام كل عبارة‪:‬‬
‫‪.1‬العالقة }‪ R  {( x, y) : x  y‬المعرفة على مجموعة األعداد الحقيقية ‪ ‬تكون‪:‬‬
‫} متماثلة – عاكسة – متخالفة – الشيء مما ذكر {‬
‫‪ .2‬إذا كان ‪ R  R 1  ‬فإن ‪ R 1‬تكون عالقة‪ } :‬ليست عاكسة – متماثلة – متخالفة ‪ -‬الشيء مما ذكر {‬
‫‪ .3‬العالقة } ‪y‬‬
‫تقبل‬
‫القسمة على ‪ R  {( x, y) : x‬المعرفة على المجموعة }‪ A  {2,4,8,16‬تكون عالقة‪:‬‬
‫‪‬‬
‫غير عاكسة – ال انعاكسية – متماثلة – تكافؤ – ترتيب حدي – ال شيء مما ذكر‬
‫‪‬‬
‫ب‪ .‬أكمل الفراغات التالية بما يناسبها‪:‬‬
‫‪.1‬العالقة ‪ R‬ليست عاكسة على المجموعة ‪ A‬إذا كان‪............................‬‬
‫‪ .2‬تعريف عالقة الترتيب الجزئي هو‪........................‬‬
‫‪ R .3‬عالقة ترتيب جزئي على المجموعة غير الخالية ‪ A‬إذا وإذا كان فقط ‪ R  R  ........‬و ‪R  R 1  .....‬‬
‫‪3 4 5‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ A  {2 , , , ,......,‬فإن‪:‬‬
‫‪.4‬إذا كانت }‪,.......‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Min A  ..........، Max A  ....... ، inf A  ....... ، sup A  ........‬‬
‫س‪.4‬أ) وضح ما إذا كان برهان العبارة التالية صحيح أو خاطئ مع تصويب الخطأ ( إن وجد )‪:‬‬
‫* إذا كان كالً من ‪ Q ، R‬عالقة ناقلة فإن ‪ R  Q‬عالقة ناقلة‪.‬‬
‫‪let ( x, y)  R  Q , ( y, z)  R  Q‬‬
‫البرهان‪:‬‬
‫‪ ( x, y )  R and ( x, y )  Q , ( y, z )  R and ( y, z )  Q‬‬
‫‪ ( x, y )  R , ( y , z )  Q‬‬
‫‪ ( x, z )  R  Q‬‬
‫ب) إذا كانت ‪ R i iI‬عائلة عالقات برهن أن‪dom (R i )  (dom R i ) :‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫س‪.5‬أ) اثبت أن العالقة ‪ h  Z ‬‬
‫‪ R  ( x, y ) :‬المعرفة على مجموعة األعداد الصحيحة ‪ Z‬تكون عالقة‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تكافؤ ثم أوجد صفوف التكافؤ‪.‬‬
‫ب) عرف صف التكافؤ ‪،‬ثم برهن أنه إذا كانت ‪ R‬عالقة تكافؤ على المجموعة غير الخالية ‪ A‬حيث ‪ a, b  A‬فإن‪:‬‬
‫]‪ [a]  [b‬إذا وإذا كان فقط ‪(a, b)  R‬‬
‫أ‪.‬حممد أمحد محوده‬