ℝ ℚ ⅅ ℤ ℕ و و و و األعداد المجموعات
الفئة المستهدفة :جدع مشترك
المجموعات األعداد ℕو ℤو ⅅو ℚوℝ
علوم
الوحدة
المؤسسة:ثانوية المــجد
التأهيلية
مالحظة
العدد العشري له كتابة بعدد منتهي من األرقام على يمين الفاصلة .
نشاط
الكتابة » « a∈Eتعني aعنصر من Eنقرأ aتنتمي ل E
ضع عالمة ∈ أو ∉ في الخانة المناسبة
0
3
𝟑
-2
𝟐
32
𝟏
𝝿
𝟑
السنة الدراسية -2011 :
-3مجموعة االعداد الجدرية:
2,
5
2012
تعزيف --9
𝒂
ℚهي مجموعة األعداد الجذرية وتكتبℚ ={𝒃 / a∈ℤ ; b∈ℤ*}:
أمثلة وتطبيقات
ℕ
Z
ⅅ
𝟏
𝟐
𝟏
و
𝟑
𝟏
أعداد جدرية أي ∈ ℚ
𝟐
𝟏
و∈ℚ
𝟑
مهما يكن a/10n ∈ ⅅلدينا ( a/10n ∈ℚيكفي أن نأخد )b=10n
و منه :
Q
المعارف االساسية
بنخـــــال
- Iمجموعات األعداد
- 1مجموعات األعداد
ℚ⊂ⅅ⊂ℤ⊂ ℕ
ℚ∉ 𝟐
--4مجموعة العداد الحقيقية:
R
نشاط 1ص 25
- 1مجموعة االعداد الصحيحة النسبية :
تذكيز :
ℕهي مجموعة األعداد الصحيحة الطبيعية وتكتبℕ={0;1;2;3;…}:
تعزيف - ℤهي مجموعة األعداد الصحيحة النسبية وتكتبℤ ={… ;-3 ;-2 ;-1;0;1;2;3;…}:
مالحظة وتزميز
أ) إذا كان n∈ℕفإن -n∈ℤإذا كل عدد صحيح طبيعي هو عدد نسبي نقول إن المجموعة
ℕهي جزأ من المجموعة ℤأو المجموعة ℕضمن المجموعة ℤونكتب ℕ ⊂ ℤ
ب) إذا كان n∈ℕفإن -n∈ℤوبذالك يمكننا القول بأن المجموعة ℤهي مجموعة االعداد
الصحيحة الطبيعية ومقابالتها
- 2مجموعة االعداد العشرية:
𝒂
تعزيف ⅅ -هي مجموعة األعداد العشرية وتكتبⅅ ={𝟏𝟎𝐩 / a∈ℤ ; p∈ℕ}:أمثلة وتطبيقات
2/5∈ⅅ ; -33/10∈ⅅ ; 2,75∈ⅅ
تطبيقات
إعــداد ذ :عبد الفتاح
- 1نفترض أن 𝟐
𝒑
يكتب على شكل 𝐪 حيث pو qعددان صحيحان طبيعيان غير قابلين
لالختزال أي أن ( pو qأوليان فيما بينهما )
أ -تحقق من أن p2=2q2 :
ب -بين أن p2زوجي وإستنتج وجية p
2
ت -بين أن زوجي qوإستنتج زوجية q؟
ث -هل العددان pو qأوليان فيما بينهما ؟
ج -ما ذا يمكنك أن تستنتج ؟
–2أرسم مربع طول ضلعه 𝟐
ومستطيل طول وثره 𝟓
توجد مقادير ال يمكن التعبير عنها بأعداد جدرية مثل هذه المقادير نعبر عنها بأعداد الجدرية.
تعزيف -األعداد الجذرية و الالجذرية تكون مجموعة تسمى مجموعة األعداد الحقيقية يرمز لها بℝ
نتيجة كل عدد جدري هو عدد حقيقي إذا لدينا الخالصة التالية:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ⊂ ℚ ⊂ ℝ
مهما يكن n∈ℤلدينا n=n/1=n/100 :إذا ℤجزء من ⅅنكتب ℤ ⊂ⅅ
1/3∉ⅅ
تمأرين 3:و1
-5ثمتيل المجموعة :R
نمثل المجموعة ℝعلى مستقيم مدرج حيث كل نقطة من هذا المستقيم تقبل عددا وحيد أفصوال لها
و 7و 6ص34:
الوحدة
العمليات في وخاصياتها
الجذور المزبعة
) 3قواعد عامة
- IIالعمليات في ℝو خاصياتها
) 1أنشطة نشاط – - 3 – 2ص 25و26
𝟐
B =(5-2-1)-1×(𝟓 -1)-2
- Aبسط التعابير التالية؟
;
)𝟐 + 𝟏 + 𝟏𝟎 ( 𝟐 -2
- Bنعتبر التعبيرين :
𝟏
𝟑 𝟒+
+
𝟏
𝟏
𝟏+
𝟐
𝟏
𝟏 𝟏+
𝟏+
𝟐
𝟏−
𝟏
𝟐 𝟑+
+
𝟏
𝟏𝟐+
=𝟗 − 𝟒 𝟓 ; A
=A
𝟓 C=2
– 𝟓 𝟐 B= 𝟔 +
أ -بين أن Aو Bعددان صحيحان طبيعيان ؟
ب -تحقق من أن
نشاط – 2-
المعارف االساسية
أ -أنشئ قطعة طولها 𝟕
A 𝟔 - 𝟏𝟎𝑩 =18
؟
ب -أحسب )2- 𝟓(2وبسط الكتابة 𝟓 𝟒 𝟗 −؟
64
8
16
32
دون حساب مطول بين أن 2 – 1 = 255(2 +1)(2 +1)(2 +1) :
2
333333 +4444442=5555552 ; 4999992+9999992=25×1010
(999999)2+(2000)2=(1000001)2
) 2الجمع و الضرب
أ -الجمع
الجمع تبادلي في . ℝلكل aو bمن ℝلدينا a+b=b+a :
الجمع تجميعي في . ℝلكل aو bو cمن ℝلدينا a+(b+c)= (a+b)+c:
0هو العنصر المحايد للجمع في ℝلكل aمن ℝلديناa+0=0+a=a :
لكل عدد حقيقي aمقابل هو –a+a=a+(-a)=0 : -a
ب -الطرح
ليكن aو bمن ℝلدينا a-b=a+(-b) :
ت -الضرب
الضرب تبادلي في . ℝلكل aو bمن ℝلدينا a×b=b×a :
الضرب تجميعي في . ℝلكل aو bو cمن ℝلدينا a(b×c)=(a×b)c :
1هو العنصر المحايد للضرب في ℝلكل من ℝلديناa×1=1×a=a :
لكل عدد حقيقي غير منعدم aمقلوب هوa×a-1=a-1×a=1 : 1/a :
الضرب توزيعي بالنسبة للجمع في : ℝلكل aو bو cمن ℝلدينا :
a(b+c)=ab+ac ; (b+c)a=ab+ac
𝟏
تطبيقات
𝒂
ت) الخارج :ليكن aمن ℝو bمن * ℝلدينا َ = a×𝒃:
𝐛
--------------------
لكل aو bو cو dمن ℝلدينا :
a=bتكافئ a+c=b+c
إذا كان a=bو c=dفإن a+c=b+d
إذا كان a=bو c=dفإن ac=bd
ab=0تكافئ a=0أو b=0
ab≠0تكافئ a≠0و b≠0
لكل aو bمن ℝو cو dو eمن * ℝلدينا:
a=b تكافئ , ac=bc
a/c=b/d تكافئ ad=bc
القوى
𝒄𝒃𝒂𝒅+
𝒃
𝒂
𝒅𝒄
𝒃𝒂
𝒅
𝒄
= +
𝒃
𝒂
= ×
𝒅𝒄
𝒆 𝒂
𝒅
= ×
𝒅
𝒄
𝒆
𝟏
𝒅
𝒂
𝒄
𝒅
𝒆
𝒄
=𝒅
𝒆
- IIIالجدور المزبعة
2
أ -تعريف -العدد الحقيقي الموجب yالذي يحقق y =xيسمى الجدر المربع للعدد الموجبx
" y2=x ; y≥0
" *y= 𝒙 ; x ∈ℝ
نرمز للجدر المربع xب 𝒙
ب -نتائج –
ليكن xو yمن ℝ+
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙𝟐 = x
𝒙 2= x
= 𝒙 ; x =y
=
𝒙
𝒚
𝒙𝒚= 𝒙 𝒚
; )( y≠0
إذا كان xسالب فإن =- x
𝟐𝒙
ث -مالحظة – لكل عدد حقيقي موجب aيوجد عددان حقيقيان مربعهما يساوي aهما 𝒂 و𝒂 −
- IVالقوى
ج -تعاريف –
ليكن aمن ℝو nمن * ℕلدينا
a1=a
an=
a0=1
𝟏
a-n=𝒂𝒏
𝒂×…×𝒂×𝒂
العدد anيسمى قوة العدد aذات االس n
العدد a-nيسمى قوة العدد aذات االس –n
𝒏 مرة
ح -خاصيات –
n
n n
(ab) =a b
𝒏 𝒂
𝒃
*
لكل aو bمن ℝولكلnوmمنℤلدينا
𝒏𝒂
=
𝒏𝒃
تمأرين 23:و 22و 42و 29ص 67 :و 68
𝒏 𝟏
nm
𝒂
=a-n
n m
(a ) =a
𝒏𝒂
=an-m
anam=a(n+m)
𝒎𝒂
الوحدة
-Vمتطابقات هامة
القوى
ب -قوى العدد 10
تعريف
ليكن عددا صحيحا طبيعيا لدينا
; 𝟎 … 𝟎𝟎𝟎10 =1
10-n=𝟎. 𝟎𝟎 … 𝟎1
n
المعارف االساسية
𝒏 من االصفار
تطبيقات
𝒏 من االصفار
-2النشر و التعميل
نشر جداء هو تحويله إلى مجموع ,تعميل مجموع هو تحويله إلى جداء .
تطبيقات
تطبيقات
- Aليكن xعددا حقيقيا
- 1بين أن (x+1)(x+2)=x(x+3)+2
- 2نضع )a=(x+1)(x+2
أ -بين أن x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(a-1)2
ب -إستنتج أن
-A
مثال
; (2x+3)2- 4(x+1)2 ; 27a3-64
104=10000و 10- 2=0.01
x2+18x+81 ; x2-x+1/4
الكتابة العلمية لعدد عشري
ث)
أنشر ؟.
خاصية ( مقبولة )
)(2a+3)2 ; (3a+1)(2a-1
( 𝟓+1)( 𝟓+2)( 𝟓 +3)+1=9(2+ 𝟓)2
كل عدد عشري bموجب يكتب على شكل a .10 pحيث pعدد
صحيح نسبي و aعدد عشري يحقق . 1≤a<10 .وهذه الكتابة تسمى
- 3قاعدة أساسية في النشر و التعميل
بالكتابة العلمية للعدد b
لتكن aو bو cو dمن ℝ
أمثلة
النشر
الكتابة العلمية للعدد 0,0015هي 1,5 ×10-3و للعدد 56700هي
5,67×104
(𝒂 + 𝒃)(𝒄 + 𝒅)=ac+ad+bc+bd
مالحظة
إذا كان العدد سالبا فإن كتابته العلمية تكون على شكل - a .10p
التعميل
أمثلة
-0 ,00057=-5 ,7×10- 4 ; - 6750=- 6,75×103
)ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d
-Vمتطابقات هامة
)=(a+b)(c+d
-1متطابقات هامة
ليكن aو bمن ℝلدينا:
(a+b) 2 = a2+2ab+b2
(a- b)2= a2- 2ab+b2
(a+b)(a- b) =a2- b2
(a-b)(a2+ab+b2) =a3- b3
(a+b)(a2- ab+b2) = a3+ b3
تمارين رقم 24و 26و 27و 28و 29ص 35و 36
عمل ؟
© Copyright 2026