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25. 전기용량 (Capacitance)
• 축전기 (Capacitor)와 전기용량 (Capacitance)
q = CV C = q/V
25장 읽고 있자 ……
• 전기용량 계산하기 : 평행판 축전기, 원통형 축전기
• 축전기의 직렬연결과 병렬연결
• 축전기의 전기 퍼텐셜에너지와 에너지 밀도
A
++++
a
d
b
L
a
C
b
3
-----
≡
C
1
C
2
a
b
C
지난 시간에 …
Electric potential energy (U)
r
r r
r
r
U = −W = − ∫ Fq • ds = − ∫ qE • ds [J = N ⋅ m]
r
∞
∞
Electric potential (V) : 단위 전하당 U
r r
r
U
W
V ≡ = − = − ∫ E • ds [V(volt) = J/C]
∞
q
q
N
점 전하
연속 전하
V ÅÆ E
N
q
V = ∑ Vn =
∑
4
πε
n =1
o n =1 rn
V=
1
1
dq
4πε o ∫ r
r
r
⎡ ∂V
∂V
∂V
dV
E = − r ≡ −∇V = − ⎢
xˆ +
yˆ +
∂y
∂z
ds
⎣ ∂x
⎤
zˆ ⎥
⎦
축전기 (capacitor)
•
A capacitor is a device whose purpose is to store electrical
energy which can then be released in a controlled manner
during a short period of time.
•
A capacitor consists of 2 spatially separated conductors
which can be charged to +q and -q respectively.
축전기의 전기용량 (capacitance)
q
C ≡
V
⇔
q = CV
C : 전기용량 (축전기의 모양과 재료에 따라 정해짐)
전기용량의 단위 : 1 farad (F) = 1 coulomb/volt (C/V)
•실제로 쓰이는 단위:
▸micro-farad (μF) = 10-6 F
▸nano-farad (nF) = 10-9 F
▸pico-farad (pF) = 10-12 F
축전기 대전시키기
+q(t)
확인문제 1. 전기용량은 증가? 감소? 그대로?
(a) q 가 2배 될 때
Æ 그대로 !
(b) V 가 3배 될 때
-q(t)
25-3. 전기용량 계산하기
(1) 극판에 전하 q 가 있다고 가정
(2) Gauss 법칙 Æ E 계산
(3) E -> V 계산
(4) C = q/V
평행판 축전기
V = −∫
i
f
r r
+
d
E • ds = ∫ Eds = E ∫ ds = Ed
−
q εo A
C= =
V
d
0
극판 사이의 유전상수와
극판의 모양 (면적과 간격)에만 의존
Practical Application: Microphone
(“condenser”)
d
Current sensor
Battery
Moveable plate
Fixed plate
Sound waves incident
Æ pressure oscillations
Æ oscillating plate separation d
1
Æ oscillating capacitance ( C ~ )
d
Æ oscillating charge on plate
Æ oscillating current in wire ( I = dQ )
dt
Æ oscillating electrical signal
Question
• In each case below, a charge of +Q is placed on a solid
spherical conductor and a charge of -Q is placed on a
concentric conducting spherical shell.
– Let V1 be the potential difference between the spheres with (a1, b).
– Let V2 be the potential difference between the spheres with (a2, b).
– What is the relationship between V1 and V2? (Hint – think about
parallel plate capacitors.)
-Q
-Q
+Q
+Q
a1
b
(a) V1 < V2
(b) V1 = V2
a2
b
(c) V1 > V2
• What we have here are two spherical capacitors.
• Intuition: for parallel plate capacitors: V = (Q/C) = (Qd)/(Aε0).
Therefore you might expect that V1 > V2 since (b-a1) > (b-a2).
• In fact this is the case as we can show directly from the definition of V!
원통형 축전기
+
V = ∫ Eds =
−
C=
q
b
2πε o L ∫a
1
q
⎛b⎞
dr =
ln⎜ ⎟
r
2πε o L ⎝ a ⎠
q
L
= 2πε o
V
ln(b / a )
극판 사이의 유전상수
극판의 모양에만 의존
구형 축전기
+
q
−
4πε o
V = ∫ Eds =
C=
∫
b
a
q
1
dr =
2
r
4πε o
q
⎛ ab ⎞
= 4πε o ⎜
⎟
V
b
−
a
⎝
⎠
⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
⎝a b⎠
극판 사이의 유전상수
극판의 모양에만 의존
고립된 도체 구의 전기용량
C=
q
⎛ ab ⎞ b→∞
⎯→ C = 4πε o R (a = R)
= 4πε o ⎜
⎟ ⎯⎯
V
⎝b−a⎠
25-4. 축전기의 연결
동일전압 : V = V j
병렬연결
n
총 전하량 : q = ∑ q j
j =1
n
⎛ n
⎞
q = ∑ q j = ∑ C jV j = V ⎜⎜ ∑ C j ⎟⎟ = CeqV
j =1
j =1
⎝ j =1 ⎠
n
Ceq = ∑ C j
n
j =1
동일 전하량 : q = q j
n
총 전압 : V = ∑ V j
직렬연결
j =1
⎛ n 1
V = ∑V j = ∑
= q⎜ ∑
⎜ j =1 C
j =1
j =1 C j
j
⎝
n
n
qj
⎞ q
⎟=
⎟ C
eq
⎠
n
1
1
=∑
Ceq j =1 C j
질문
C
C
C
C
C
Configuration A
Configuration B
Configuration C
Three configurations are constructed using identical capacitors
Which of these configurations has the lowest overall capacitance?
a) Configuration A
b) Configuration B
c) Configuration C
질문
Two identical parallel plate
capacitors are shown in an endview in A) of the figure.
Each has a capacitance of C.
If the two are joined together as shown in B), forming a
single capacitor, what will be the final capacitance?
a) C/2
b) C
c) 2C
Examples:
Combinations of Capacitors
a
≡
C3
b
C1
a
C2
b
C
C3 is in series with the parallel combination on C1 and C2. i.e.,
1 1
1
= +
C C3 C1 + C2
⇒
C 3 (C1 + C 2 )
C=
C1 + C 2 + C 3
질문
A circuit consists of three unequal capacitors C1, C2, and C3 which are
connected to a battery of emf Ε. The capacitors obtain charges Q1 Q2,
Q3, and have voltages across their plates V1, V2, and V3.
Ceq is the equivalent capacitance of the circuit.
Check all of the following that
apply:
a) Q1= Q2
b) Q2= Q3
e) V1 < V2
f) Ceq > C1
c) V2= V3
d) E = V1
질문
• What is the equivalent capacitance, Ceq, of the
combination shown?
o
Ceq
C
C
C
o
(b) Ceq = (2/3)C
(a) Ceq = (3/2)C
C
C
1 1 1
= +
C1 C C
C
≡
C
C1 =
2
(c) Ceq = 3C
C1
C
C 3
Ceq = C + = C
2 2
25-5. 전기장에 저장된 퍼텐셜에너지
축전기의 퍼텐셜에너지
축전기에 전하 q‘ 가 채워져 있어 두 전극의 전위차가 V‘ 일 때,
전하 dq‘ 를 더 채우는데 드는 에너지
q'
dW = V ' dq ' = dq'
C
따라서, 빈 축전기에 전하를 q 까지 채우는데 드는 에너지 Æ 저장된 퍼텐셜에너지
W =∫
q
0
에너지 밀도
q'
q2 1
dq ' =
= CV 2
C
2C 2
q2 1
U=
= CV 2
2C 2
: 단위 부피당 퍼텐셜 에너지
U ⎛1
1 ⎛V ⎞
2⎞ 1
u=
= ⎜ CV ⎟
= εo⎜ ⎟
Ad ⎝ 2
⎠ Ad 2 ⎝ d ⎠
C = ε0
A
d
2
1
u = ε0E2
2
E = Vd
25-6. 유전체를 넣은 축전기
1837년 Michel Faraday 실험 :
평판 축전기의 전극 사이에 끼워 넣는 물질에 따라 전기용량이 달라짐.
C
κC
q = CV
V=
증가
감소
증가
κ : 유전상수 (dielectric constant)
ε 0 → κε 0
E=
유전율 변화
E
σ
σ
→ E= 0
→ E=
κ
ε0
κε 0
전기장 감소
q
C
25-7. 유전체 : 원자의 관점
극성 유전체
비극성 유전체
영구
전기 쌍극자
모멘트
유도
전기 쌍극자
모멘트
r
v r
E = E0 + E '
E’
즉, 진공 중 보다
Electric field
감소
25-8. 유전체와 Gauss 법칙
κε 0
ε0
r r
q = ε 0 ∫ E ⋅ dA = ε 0 E0 A
r r
q − q ' = ε 0 ∫ E ⋅ dA = ε 0 EA
q
E0 =
ε0 A
전기장 감소 E =
E=
E0
κ
=
q − q'
ε0 A
q
κε 0 A
유전체에서의 Gauss 법칙
r r
ε 0 ∫ κE ⋅ dA = q
q − q' =
q
κ
⎛ 1⎞
q' = q⎜1 − ⎟ q 감소
⎝ κ⎠
일반화된 Gauss 법칙
r r
ε 0 ∫ κE ⋅ dA = q
r
r
D = κε 0 E
: 전기변위 (electric displacement)
r r
∫ D ⋅ dA = q
전하는 도체표면의 자유전하만 고려하면 된다.
κ가
상수가 아닌 (즉, 위치에 따라 다른) 일반적인 경우도 성립한다.
25. Summary
전기용량 (capacitance)
C ≡
q
V
-Q
A
++++
d
----Parallel Plates
A
C∝
d
Gauss 법칙
r
-Q
+Q
a
a
+Q
b
Cylindrical
C∝
b
L
L
ln( b / a )
r r
ε 0 ∫ κE ⋅ dA = q
Spherical
ab
C∝
b−a