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Three-Phase Circuit
▪전력계통은 대부분 교류 방식 사용.
⇨ 주된 이유는 장거리에 전송할 때 손실을 줄이기 위해서 매우 높은 전압을 사용해야하는데
전압을 올리고 내리는데 교류가 훨씬 쉽기 때문이다.
▪교류방식으로 일관된 운영을 할 수 있다.
⇨ 전등, 전동력 등을 비롯해서 현재 부하의 대부분은 교류방식으로 되어 있기 때문에 발전
에서 배전까지 전 과정을 교류방식으로 통일해서 보다 합리적이고 경제적으로 운영할 수
있다.
• 다상 방식(Polyphase system)
인접해 있는 전원의 크기와 주파수가 같고 위상이 다른 경우.
▪대칭 n 상식 (Symmetric n phase system) : 위상이
▪비대칭 n 상식 (Asymmetric n phase system)
• 각 상의 임피던스 (phase impedance)
▪평형 부하 (balanced load)
▪불평형 부하 (unbalanced load)
➡
∙평형 n상 회로 (balanced n phase circuit)
대칭 n상 전원에 평형 n상 부하를 접속한 것.
∙불평형 n상 회로 (unbalanced n phase circuit)
2 π [rad]씩 다른 경우
n
[Notation]
∙ 전압
V ab : 마디 b에 대한 마디 a의 전압
마디 a: + ,
마디 b: -
V ad = V ab + V bc + V cd
= V ab + V bd
= V ad
[Ex]
V ab = V an + V nb
= V an - V bn
= 100-120∠- 120 o= 100
3
[ V]
∙전류
I ab : 마디 a에서 마디 b로 직 경로(direct path)를 따라 흐르는 전류
그 이외에는 이중 첨자를 사용하지 않는다.
[Ex]
I ab : 전류의 경로가 명백하므로 이중첨자를
사용할 수 있다.
I bc : 전류의 경로가 명백하지 않으므로
이중첨자를 사용할 수 없다,
•
단상 3선 방식(Single-Phase Three-wire System)
∙3개의 단자 a, b 및 n (neutral node)이 있으며,
단자 전압
V an = V nb = V 1 인 회로
⇨
V an 과
V nb 가 크기와 위상이 같기 때문에 단상
(single phase)라 한다.
∙ 가정에 공급되는 방식은 보통 단상 3선식으로
110 [VRMS]와 220 [VRMS]의 가전기기를 동시에
쓸 수 있게 되어있다.
[Ex] 2개의 동일한 부하를 연결한 단상 3선회로
Let
V an = V nb = V 1
I aA =
I bB =-
V an
V1
=
Z1
Z1
V nb
V1
=Z1
Z1
⇨
I aA =- I bB
⇨
I nN =- ( I aA + I bB ) = 0
∴ 중성선을 중심으로 대칭인 회로에서는 중성선에 흐르는 전류는 0이다.
•
중성선 nN을 중심으로 impedance가 대칭을 이루면 중성선에는 전류가 흐르지 않는다.
그러나 중성선을 중심으로 비대칭인 경우에는 중성선에 전류가 흐른다.
[Ex]
- 50
-3
ꀎ115 ꀏ ꀎ 54
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
0 ︳
=︳
- 50 170 + j10 - 100
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
ꀚ 115 ꀛ ꀚ - 3
- 100
104
ꀏꀎ I 1 ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I
︳
︳
2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
ꀛꀚ I 3 ꀛ
⇨
I 1 = 11.24 ∠ - 19.83
I 1 = 9.39 ∠ - 24.47
o
o
I 1 = 10.37 ∠ - 21.80
[ A RMS ]
o
⇨
I aA = I 1 = 11.24 ∠ - 19.83
o
I bB =- I 3 =- 10.37 ∠ - 21.80
o
o
I nN = I 3 - I 1 = 10.37 ∠- 21.80 -11.24 ∠- 19.83
o
= ( 9.63 - j13.85 )-( 10.58- j 3.81 )
o
=- 0.95- j 0.04 = 0.95 ∠ - 180 +2.41= 0.95 ∠ - 177.6
회로가 대칭이 아니므로 중성선에 전류가 흐른다.
o
•
평형 3상 Y-Y 방식
o
3개의 전원이 진폭과 주파수가 같고 위상만 120 씩 상차를 갖는다.
• 평형 3상이 성립될 조건
•
| V an | = | V bn | = | V cn |
V an + V bn + V cn = 0
정상순 (positive sequence)
V an = V p ∠0
역상순 (negative sequence)
o
V bn = V p ∠- 120
V an = V p ∠0
o
o
V cn = V p ∠- 240 = V p ∠120
o
V bn = V p ∠120
o
o
o
V cn = V p ∠240 = V p ∠ - 120
V an 이
o
V bn 보다 120 앞선다.
V an 이
o
V bn 보다 120 뒤진다.
V bn 이
o
V cn 보다 120 앞선다.
V bn 이
o
V cn 보다 120 뒤진다.
(note) 정상순을 사용하여 3상 회로를 해석한다.
o
(Note)
2π
3
[ rad] 의 벡터 오퍼레이터
a=e
j
2π
3
2π
2π
1
3
+ j sin
=- + j
3
3
2
2
= cos
⇨
∙ a2= e
∙
∙
∙
a2 =
j
4π
3
= cos
2
4π
4π
1
3
+ j sin
=- - j
3
3
2
2
2
a
a
= 3 = a-1
1
a
2
1+a+a = 0
a3= 1
3
3
+j
= 3
2
2
1-a2 =
∙
= 3
1-a =
∙
( cos
( cos
3
1
+j
2
2
π
π
+ j sin
6
6
3
3
= 3
-j
2
2
= 3
(
(
)=
3
1
-j
2
2
π
π
- j sin
6
6
)=
)
3∠
π
6
)
3 ∠-
π
6
⇨ 어느 벡터에 a를 곱한다는 것은 벡터의 크기는 변화가 없이 위상만
2π
3
하는 것이다.
➡
V bn = V p ∠ - 120 o= V p ∠ V cn = V p ∠120 o = V p ∠
2π
= a - 1 V an = a 2 V an = a 2 V p
3
2π
= a V an = a V p
3
∙ 상전류 (phase current)와 선전류 (line current)
Let 상전류 :
선전류 :
Ia ,
I aA ,
Ib ,
I bB ,
Ic
I cC
⇨
I a = I aA
I b = I bB
I c = I cC
(Note) 평형 3상 Y 회로에서 상전류와 선전류는 동일하다.
[ rad] 앞서게
▪ 상전압 (phase voltage)
V an = V p ∠0
o
o
2
2
V bn = V p ∠- 120 = a V an = a Vp
o
o
V cn = V p ∠ - 240 = V p ∠120 = a V an = a V p
▪ 선간전압 (line-to-line voltage) 또는 선전압 (line voltage)
V ab = V an + V nb == V an - V bn
= V an - a
2
2
V an = ( 1 - a ) V an
o
=
3 V an ∠ 30 =
3 V p ∠ 30
o
V bc = V bn + V nc == V bn - V cn
= V bn -a
2
2
V bn = ( 1 - a ) V bn
o
o
= 3 V bn ∠ 30 = 3 V p ∠- 120 + 30
= 3 V p ∠- 90
o
o
V ca = V cn + V na == V cn - V an
= V cn -a
2
2
V cn = ( 1 - a ) V cn
o
o
= 3 V cn ∠ 30 = 3 V p ∠- 240 + 30
= 3 V p ∠- 210
o
o
⇨
Let 선간전압의 크기
VL=
3 Vp
V ab = 3 V p ∠ 30 o = V L ∠ 30 o
V bc = 3 V p ∠ - 90 o= V L ∠ - 90 o
V ca = 3 V p ∠ - 210 o= V L ∠ - 210 o
(Note) 선간전압은 상전압 보다 크기가
o
3 배가 되며, 위상이 30 앞선다.
•
평형 3상 4선식 Y-Y 방식
(Balanced three-phase four-wire Y-Y connected system)
전원과 부하 모두 Y-결선으로 되어 있으며, 전원 전압이 평형전압이고 부하도 평형인 시스템.
∙ 선전류
By KVL
I aA =
V an
Vp
Vp
o
=
∠0 =
Zp
Zp
Zp
I bB =
V bn
Vp
=
∠- 120 o= a 2 I aA
Zp
Zp
I cC =
V cn
Vp
=
∠- 240 o= a I aA
Zp
Zp
⇨
2
I Nn = I aA + I bB + I cC = ( 1 + a +a ) I aA = 0
(Note) 전원과 부하가 평형인 3상 4선 Y-Y 결선에서 중성선에 전류가 흐르지 않는다.
중성선을 제거하여도 시스템에 아무런 영향을 미치지 않는다.
(Note) 해석의 편의상 중성선이 존재한다고 가정하고 해석하는 것이 편리하다.
이 경우 3상 회로는 3개의 단상회로로 나누어 해석 할 수 있다.
하나의 등가 단상회로로부터 전압과 전류가 구해지면 다른 상에 대한 것은 120o의
상차만을 고려하면 된다.
[Ex]
V an = 100 ∠ 0 o
[ V RMS ]
V bn = 100 ∠ - 120 o
[ V RMS ]
V cn = 100 ∠ - 240 o
[ V RMS ]
선저항 :
R L = 1 [Ω ]
상 부하 :
ZP= 3+j3 [Ω ]
∙ 한 상만 따로 분리시켜 해석 할 수 있다.
I aA =
=
o
V an
100 ∠ 0
=
R L +Z P
4+j 3
100 ∠ 0 o
o
= 20 ∠ - 36.9
5 ∠ 36.9 o
⇨
I bB ,
o
I cC 는 위상만 120 씩 차이가 나므로
o
o
o
[ A RMS ]
o
o
o
[ A RMS ]
I bB = 20 ∠ - 36.9 -120 = 20 ∠ - 156.9
I cC = 20 ∠ - 36.9 -240 = 20 ∠ - 276.9
평형 3상 Delta 회로
IaA
a
A
Ia
Vca
Vab
VCA
Ic
VAB
IbB
c
B
Ib
Vbc
b
VBC
IcC
C
∙상전압(phase voltage) :
V ab , V bc , V ca
∙선간전압 (line voltage) :
V AB , V BC , V CA
∙상전류(phase current) :
Ia , Ib , Ic
∙선전류(line current) :
I aA , I bB , I cC
⇨
Delta 결선의 경우 상전압과 선간전압이 같다.
V ab = V AB
V bc = V BC
V ca = V CA
⇨
상전류와 선전류와의 관계
Let
I a = I p ∠0
o
o
2
2
I b = I p ∠ - 120 = a I a = a I p
o
o
I c = I p ∠ - 240 = I p ∠120 = a I a = a I p
⇨ 선전류
I aA = I a - I c
I bB = I b - I a
I cC = I c - I b
따라서
I aA = I a - I c
o
= I p ∠0 -I p ∠- 240
o
= I p -aI p = ( 1 - a ) I p
=
(
3 ∠-
π
6
)I =
p
3 I p ∠ - 30
o
(note)
1-a =
3
3
= 3
-j
2
2
( cos
= 3
(
3
1
-j
2
2
π
π
- j sin
6
6
)=
)
3 ∠-
π
6
I bB = I b - I a
= I p ∠- 120 o-I p ∠0 o
= a 2 I p -I p = ( a 2 -1 ) I p =-( 1 - a 2 ) I p
=-
(
3∠
π
6
)I =
p
3 I p ∠ - 180 o+30 o
= 3 I p ∠ - 150 o
(note) -1= 1 ∠ 180 o
I cCB = I c - I b
= I p ∠ - 240 o-I p ∠- 120 o
= a 2 I p -a I p = a ( a - 1 ) I p
(
= 1∠
2π
3
)(
3 ∠-
π
6
)I =
p
3 I p ∠ 120 o - 30 o
= 3 I p ∠ 90 o
➡ 선전류는 상전류보다 위상이 30o 뒤지고, 크기는 상전류보다
⇨
Let
선전류의 크기:
IL
IL= 3 Ip
따라서
3 배가 된다.
I aA = I L ∠ - 30
o
I bB = I L ∠ - 150
o
o
I cC = I L ∠ - 270 = I L ∠ 90
o
[Ex] △-△ 평형 3상회로에서 선전류가 30[A]이며 각 상의 부하 Z Δ = 3 + j 4 이다.
∙ 상전류:
from
IL= 3 Ip
∙ 부하의 상전압:
∙ 부하의 선간전압:
⇨
V p = | Z Δ| I p =
Ip=
1
30
I =
= 10
3 L
3
3 2 +4 2 ×17.3 = 86.5 [ V]
V p = V L = 86.5 [ V]
3 = 17.3 [ A]
평형 3상 전원 및 부하의 등가변환
△⇦⇨ Y
⇦⇨
△-회로와 Y-회로가 등가 관계가 성립되기 위해서는 각 선간접압, 즉 단자전압이 동일해야하며
선전류 역시 동일해야 한다.
△-회로 선간전압
Y-회로 선간전압
V AB = V ab - Z △ I a△
V AB = ( V an -Z Y I aY ) - ( V bn -Z Y I bY )
V BC = V bc - Z △ I b△
V BC = ( V bn - Z Y I bY ) - ( V cn - Z Y I cY )
V CA = V ca - Z △ I c△
V CA = ( V cn - Z Y I cY ) - ( V an - Z Y I aY
)
위 △-회로와 Y-회로가 등가관계를 이루기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.
V ab = V an - V bn
Z △ I a△ = Z Y ( I aY - I bY )
V bc = V bn - V cn
Z △ I b△ = Z Y ( I bY - I cY )
V ca = V cn - V an
Z △ I c△ = Z Y ( I cY - I aY
)
ꋮ 평형 3상 전원의 등가변환
Y-회로 상전압
V an , V bn , V cn 과 △-회로 상전압
V ab , V bc , V ca 는 각각
평형 3상이다.
⇨ △-회로 상전압
V ab , V bc , V ca 는 Y-회로 상전압
위상이 30o 앞서고 크기는
V an , V bn , V cn 보다
3 배된다.
(note) Y-회로 ⇨ △-회로
2
(
=(
=(
V ab = V an - V bn = ( 1 - a ) V an =
2
V bc = V bn - V cn = ( 1 - a ) V bn
2
V ca = V cn - V an = ( 1 - a ) V cn
π
6
)V
π
3∠ ) V
6
π
3∠ ) V
6
3∠
an =
3 V P ∠ 30
o
o
o
bn =
3 V P ∠ - 120 +30 = 3 V P ∠ - 90
cn =
3 V P ∠ 120 +30 = 3 V P ∠ 150
o
o
o
o
(note) △-회로 ⇨ Y-회로
V an =
1
1
o
o
V ab ∠- 30 =
V ∠- 30
3
3 L
V bn =
1
1
o
o
V bc ∠- 30 =
V ∠- 150
3
3 L
V cn =
1
1
1
o
o
o
V ca ∠- 30 =
V ∠- 270 =
V ∠90
3
3 L
3 L
ꋮ 평형 3상 부하의 등가변환
Z △ I a△ = Z Y ( I aY - I bY )
(a)
Z △ I b△ = Z Y ( I bY - I cY )
(b)
Z △ I c△ = Z Y ( I cY - I aY )
(c)
식 (a)와 식 (c)의 차로부터
Z △ ( I a△ - I c△ ) = Z Y ( 2 I aY - I bY - I cY )
평형 3상 Y-회로에서
I aY + I bY + I cY = 0
가 되므로 다음과 같은 관계가 성립된다.
Z △ ( I a△ - I c△ ) = 3 Z Y I aY
평형 3상 △-회로에서
I a△ - I c△ = I aA
가 되며 평형 3상 Y-회로에서는 상전류와 선전류가 동일 즉,
I aY = I aA
이므로 다음과 같다.
Z △ I aA = 3 Z Y I aA
따라서
Z△ = 3 ZY
또는
ZY =
1
Z
3 △
3상 회로의 전력
∙3상 회로의 전력은 그 결선방식이나 평형 또는 불평형에 관계없이 각 상의 전력을 단상에서와
같이 구한 후에 이들의 합을 구하면 된다.
Let
상전압의 크기 :
Va , Vb , Vc
상전류의 크기 :
Ia , Ib , Ic
상전압과 상전류의 위상 차 :
[Vrms]
[Arms]
θa , θb , θc
(각 상의 부하 임피던스의 임피던스 각과 같다.)
•
유효전력(평균전력)
P 3∅ = V aI a cosθ a + V bI b cosθ b + V cI c cosθ c [W]
•
무효전력
Q 3∅ = V aI a sinθ a + V bI b sinθ b + V cI c sinθ c [VAR]
ꋮ 평형 3상 회로의 경우
상전압의 크기 :
V a = V b= V c = V P
상전류의 크기 :
I a = I b= I c= I P
상전압과 상전류의 위상 차 :
[Vrms]
[Arms]
θa = θb= θc = θP
⇨
P 3∅ = 3 V p I p cos θ P = 3 P 1∅ [W]
Q 3∅ = 3 V p I p sin θ P = 3 Q 1∅ [VAR]
(note) 평형 3상 회로에서의 전력은 각 상에서의 유효전력 또는 무효전력의 3배가된다.
ꋮ 평형 3상 회로의 전력을 선간전압과 선전류로 표시
∙ Y-결선
Vp =
1
V
3 L
Ip = IL
[ V rms ]
[ A rms ]
⇨
P 3∅ = 3 V p I p cos θ P = 3
1
V L I L cos θ P = 3 V L I L cos θ P
3
[ W]
Q 3∅ = 3 V p I p sin θ P = 3
1
V L I L sin θ P =
3
[ VAR]
3 V L I L sin θ P
∙ △-결선
V p = VL
Ip =
1
I
3 L
[ V rms ]
[ A rms ]
⇨
P 3∅ = 3 V p I p cos θ P = 3 V L
1
I cos θ P = 3 V L I L cos θ P
3 L
[ W]
Q 3∅ = 3 V p I p sin θ P = 3 V L
1
I sin θ P =
3 L
[ VAR]
3 V L I L sin θ P
따라서 결선에 상관없이
P 3∅ = 3 V p I p cos θ P = 3 V L I L cos θ P
[ W]
Q 3∅ = 3 V p I p sin θ P =
[ VAR]
이다. 단 위상차
3 V L I L sin θ P
θ P 는 상전압과 상전류의 위상 차이다.
ꋮ 평형 3상 회로의 순시전력
Let
∙ 상전압
va( t ) =
2 V p cos ω t
vb( t ) =
2 V p cos ( ω t- 120 )
vc( t ) =
2 V p cos ( ω t+ 120 )
o
[ V]
o
∙ 상전류
ia( t ) =
2 I p cos ( ω t- θ p )
ib( t ) =
2 I p cos ( ω t- 120 o-θ p )
ic( t ) =
2 I p cos ( ω t+ 120 o-θ p )
[ A]
⇨ 전체 순시전력
p 3∅ ( t ) = p a ( t ) + p b ( t ) + p c ( t )
= va ( t ) i a ( t ) + vb ( t ) i b ( t ) + vc ( t ) i c ( t )
o
o
= 2 V p I p [ cos ω t cos ( ω t- θ p ) + cos ( ω t- 120 ) cos ( ω t- 120 -θ p )
o
o
+ cos ( ω t+ 120 ) cos ( ω t+ 120 -θ p )
]
o
o
= V p I p [ 3 cos θ p + cos ( 2 ω t - θ p ) + cos ( 2 ω t+ 120 -θ p ) + cos ( 2 ω t - 120 -θ p ) ]
평형을 이루고 있으므로 그 합은 0이 된다.
= 3 V p I p cos θ p
(note) 삼각함수 정리
cos A cos B =
1
[ cos ( A - B) + cos ( A + B) ]
2
따라서 평형 3상 회로의 전체 순시전력은 시간에 관계없이 일정하며, 이 값은 평형 3상 회로의
유효전력과 같다.
p 3∅ ( t ) = 3 V p I p cos θ P = P 3∅
순시전력의 총합이 일정하게 되면 3상 전동기의 경우 일정한 회전력(torque)를 받기 때문에 진동
이 매우 작고 기동이 용이하다. 이와 같은 현상은 다상 회로에도 그대로 적용된다.
ꋮ 복소전력
S 3∅ = P 3∅ + j Q 3∅
= 3 V p I p cos θ P + j 3 V p I p sin θ P
= 3 ( V p I p cos θ P + j V p I p sin θ P )
= 3 S 1∅
전체 복소전력은 각 상의 복소전력의 3배가 된다.
ꋮ 피상전력
AP 3∅ = P23∅ + Q 23∅
=
2
( 3 V p I p cos θ P ) + ( 3 V p I p sin θ P )
2
= 3 Vp I p= 3 VL I L
= 3 AP 1∅
따라서 피상전력은 각상의 피상전력에 3배를 한 것과 같다.
ꋮ 역률/무효율
P 3∅
유효전력
P.F = 피상전력 =
= cos θ P
AP 3∅
Q 3∅
무효전력
R.F = 피상전력 =
= sin θ P
AP 3∅
따라서 평형 3상 회로에서 역률과 무효율은 각 상의 역률과 무효율과 같다.
[Remark]
ꋮ 전원의 경우
전원의 경우 △-결선을 사용하지 않는다.
∙ 전압이 완벽하게 평형을 이루지 않을 경우 세 상의 전압 합이 0이 되지 않기 때문에
△-결선을 환류하는 전류가 생겨 발전기를 가열하게 된다.
∙ Y-결선 발전기가 상전압이 더 낮기 때문에 절연이 더 용이해진다.
ꋮ 부하의 경우
Y-결선보다 △-결선을 주로 사용한다.
∙△-결선의 경우, 부하들이 선로에 직접 연결되어 있으므로 각 상의 부하를 추가하거나
제거하기가 용이하다.
(Y-결선의 경우는 중성점에는 연결할 수 없기 때문에 그렇게 안된다.)
∙상전류가 △인 경우가 Y인 경우보다 작다.
∙상전압은 △인 경우가 Y인 경우보다 크다.
⇨ △-결선은 중성선이 없으므로 3선 방식이 된다.
[Ex] Y-△ 결선
Let
V an = V p ∠ 0 o
V bn = V p ∠ - 120 o
V cn = V p ∠ 120 o
Z △ = | Z △ |∠ θ Z
∙ 부하의 상전압 ( 전원 측의 선간전압과 같다.)
V AB = V ab = 3 V p ∠ 30
o
V BC = V bc = 3 V p ∠ - 90
V CA = V ca = 3 V p ∠ 150
o
o
△ 결선의 상전압이 Y-결선의 상전압 보다 크다.
∙ 부하의 상전류
여기서
I AB =
V AB
3 Vp
o
o
=
∠ 30 -θ Z= I p ∠ 30 -θ Z
Z△
| Z△ |
I BC =
V BC
3 Vp
=
∠ - 90 o-θ Z= I p ∠ - 90 o-θ Z
Z△
| Z△ |
I CA =
V CA
3 Vp
=
∠ 150 o -θ Z= I p ∠ 150 o -θ Z
Z△
| Z△ |
Ip=
3 Vp
VL
=
| Z△ |
| Z△ |
∙ 선전류
I aA = I AB - I CA = 3 I p ∠ - θ Z= I L ∠ - θ Z
o
o
I bB = I BC - I AB = 3 I p ∠ - 120 -θ Z= I L ∠ - 120 -θ Z
o
o
I cC = I CA - I BC = 3 I p ∠ 120 -θ Z= I L ∠ 120 -θ Z
여기서 I L = 3 I p
∙ 부하에서 소모하는 전력
P 1∅ = V L I p cos θ Z
여기서
Ip=
IL
3
따라서
P 1∅ =
VL IL
cos θ Z
3
부하 전체가 소모하는 전력
P 3∅ = 3 P 1∅ = 3
VL IL
cos θ Z =
3
3 V L I L cos θ Z
[Ex]
Let
선전압 :
V L = 300
[ V rms ]
△-결선 부하 : P.F. = 0.8 lagging
△-결선 부하가 소모하는 전력 : 1200[W]
∙부하의 상전류
Ip
단상에서 300 [Vrms] 선전압에서 지상 p.f 0.8로 400[W] 전력 공급
From
P 1∅ = V L I p cos θ Z
⇨
400 = 300×I p×0.8
따라서
I p = 1.667
∙ 부하 임피던스
Z△
From
VL
| Z△ |
Ip=
⇨ | Z△ |=
[ A rms ]
VL
300
= 180
=
1.667
Ip
θ Z = cos - 1 ( p.f ) = cos - 1 0.8 = 36.9 o
따라서
Z △ = | Z △ | ∠ θ Z = 180 ∠ 36.9 o
∙ Y-결선으로 등가 변환된 부하
[ Ω]
ZY
o
ZY =
∙ 선전류
1
180 ∠ 36.9
= 60 ∠ 36.9 o
Z =
3
3 △
IL
IL=
3 Ip=
3×1.667 = 2.89
[ A rms ]
[ Ω]
[Ex] △-△ 회로
Let
V ab = 180 ∠ 0
Z L = 11
o
[ V rms ]
[ Ω]
Z △ = 21+j 72
[ Ω]
△-△ 회로 ⇨ Y-Y 회로로 변환하여 구하면 쉽다.
⇨
ZY =
V an =
1
1
Z = ( 21 + j 72 )= 7 + j 24
3 △ 3
1
3
o
V ab ∠ - 30 =
[ Ω]
180
o
∠ - 30 = 60
3
3 ∠ - 30
o
[ V rms ]
⇨
다음 회로와 같은 단상 회로로 취급하여 해석 할 수 있다.
여기서
ZT = ZL+
1
Z = Z L + Z Y = 11 + ( 7 + j 24 ) = 18 + j 24
3 △
[ Ω]
∙ 선전류
I aA
V an
60 3 ∠ - 30 o
=
ZT
18+j 24
I aA =
=
60 3 ∠ - 30 o
=2
o
30 ∠ 53.1
나머지 선전류
I bB , I cC 는
I bB = I aA ∠- 120 o= 2
I cC = I aA ∠ 120 o = 2
3 ∠ - 83.1 o
[ A rms ]
o
I aA 와 120 의 위상차를 가지므로 다음과 같다.
3 ∠- 83.1 o-120 o= 2
3 ∠ - 83.1 o+120 o= 2
3 ∠- 203.1 o
3 ∠ 36.9 o
∙ 부하에서 소비되는 전력
P 1∅ = R | I aA | 2 = 18× ( 2
2
3 ) = 216
⇨
P 3∅ = 3 P 1∅ = 3×216 = 648
[ W]
[ W]
[ A rms ]
[ A rms ]
[Ex] Y-Y 회로
Let
선전압 :
V L = 200
부하
Z Y = 24 + j 7
:
[ V rms ]
[ Ω]
⇨
∙ 상전압의 크기
Vp=
1
200
VL=
3
3
∙ 선전류의 크기 (=상전류의 크기)
Vp
IL= Ip=
=
| ZY|
200
3
8
=
= 4.6
2
2
3
24 +7
[ A rms ]
∙ 유효전력
P 3∅ = 3 P 1∅ = 3 ( R I 2p ) = 3 ×24×
2
( 83 ) = 1536
[W]
∙ 무효전력
Q 3∅ = 3 Q 1∅ = 3 ( X I 2p ) = 3 ×7×
8
3
2
( ) = 448
[VA R]
∙ 피상전력
AP 3∅ = 3 AP 1∅ = 3 ( V p I p ) = 3×
8
200
×
1600
3
3
[ VA]
∙ 역률
P.F. =
P 3∅
P 1∅
R
=
= cos θ Z =
=
AP 3∅
AP 1∅
| Z Y|
24
24
=
2
2
25
24 +7
R.F. =
Q 3∅
Q 1∅
X
=
= sin θ Z =
=
| Z Y|
AP 3∅
AP 1∅
7
7
=
2
2
25
24 +7
∙ 무효률
[Remark]
Impedance 등가변환 (△↔Y)
⇦⇨
• △-회로와 Y-회로를 등가 변환하기 위해서는 마디 a, b, c에서 본 임피던스가 같아야 한다.
마디 a-b :
Z a + Z b = Z ab // ( Z bc + Z ca ) =
Z ab ( Z bc + Z ca )
Z ab +Z bc+Z ca
(1)
마디 b-c :
Z b + Z c = Z bc // ( Z ab + Z ca ) =
Z bc ( Z ab + Z ca )
Z ab +Z bc+Z ca
(2)
마디 c-a :
Z c + Z a = Z ca // ( Z ab + Z bc ) =
Z ca ( Z ab + Z bc )
Z ab +Z bc+Z ca
(3)
⇨
식 [(1)+(2)+(3)]/2를 구하면
Z a + Z b +Z c=
⇨
Z ab Z bc +Z bc Z ca +Z ca Z ab
Z ab +Z bc+Z ca
(4)
△→Y 변환
식 (4) - 식 (2) :
Za=
Z ca Z ab
Z ab +Z bc + Z ca
(5a)
식 (4) - 식 (3) :
Zb=
Z ab Z bc
Z ab + Z bc +Z ca
(5b)
식 (4) - 식 (1) :
Zc=
Z bc Z ca
Z ab +Z bc + Z ca
(5c)
(note) △-결선을 Y-결선으로 변환하려면 △-결선 임피던스의 접속점에 접속되어 있는
양 임피던스를 곱하여 임피던스의 총합으로 나누면 된다.
⇨
Y→△ 변환
Z ab 에 대해정리 :
Z ab = Z a
식 (5b)을
Z bc 에 대해정리 :
Z bc
식 (5c)을 Z ca 에 대해정리 :
Z ca
∙ 식 (5)에서
Z ab
Z bc
+
+1
Z ca
Z ca
(
)
Z
Z
= Z 1+
+
( Z Z )
Z
Z
=Z
+1+
(Z
Z )
식 (5a)을
a
c
bc
ca
ab
ab
ab
ca
bc
bc
(6a)
(6b)
(6c)
Z a , Z b , Z c 의 관계를 구하면
Za
Z ca
=
,
Zb
Z bc
Zb
Z ab
=
,
Zc
Z ca
Zc
Z bc
=
Za
Z ab
(7)
⇨ 식 (7)을 식 (6)에 대입하여 정리하면
Z ab =
Z a Z b +Z b Z c + Z c Z a
Zc
(8a)
Z bc =
Z a Z b +Z b Z c + Z c Z a
Za
(8b)
Z ca =
Z a Z b +Z b Z c + Z c Z a
Zb
(8c)
(note) Y-결선을 △-결선으로 변환하려면 2개씩 조합한 임피던스 곱의 합을
접속되어 있지 않은 임피던스로 나누어 얻는다.
3상 불평형 회로
∙3상 교류에서는 대칭 3상 평형회로가 되도록 설계되어 유지되고 있으나 실제는 전원이 대칭이
라도 부하가 불평형인 경우도 있고 또한 사고시에는 전원이나 부하 다같이 불평형인 경우가 발생
한다.
⇨ ∙불평형 회로의 일반적 해법으로 대칭 좌표법을 사용.
∙간단한 불평형 회로에서는 키르히호프의 법칙을 사용하여 해석할 수 있다.
불평형 Y-Y 회로
￭ 중성점 접지식 Y-Y 회로 (3상 4선식 회로)
∙전원
V an , V bn , V cn 은 대칭 또는 비대칭일 수 있으며 부하
부하이다. 중성점 nN 사이에 임피던스
Z n 이 있다.
∙ 중성점 n을 기준인 영전위라 했을 때 중성점 N에서의 전위차를
I aA =
( V an - V Nn )
= ( V an - V Nn ) Y a
Za
I bB =
( V bn - V Nn )
= ( V bn - V Nn ) Y b
Zb
I cC =
( V cn - V Nn )
= ( V cn - V Nn ) Y c
Zc
I nN =-
Z a , Z b , Z c 는 불평형
V Nn 이라 하자.
V Nn
=- Y n V Nn
Zn
I aA + I bB + I cC + I nN = 0
⇨
(
V an - V Nn ) Y a + ( V bn - V Nn ) Y b + ( V cn - V Nn ) Y c -Y n V Nn = 0
따라서 중성점 전위
V Nn 은 다음과 같다.
V Nn =
Y a V an + Y b V bn + Y c V cn
Y a +Y b + Y c + Y n
(note) 위의 결과는 Millman의 정리를 사용하여 구할 수 있다.
⇨
V Nn 의 값이 구해지면
I aA , I bB , I cC , I nN 의 값을 구할 수 있다.
￭ 중성점 비접지식 Y-Y 회로 (3상 3선식 회로)
∙3상 3선식 Y-Y회로는 3상 4선식 Y-Y회로에서
Z n = ∞ ( Y n = 0 ), I nN = 0 인 경우와
같으므로 이 조건을 3상 4선식 Y-Y 회로에 대입하여 구할 수 있다.
I aA =
( V an - V Nn )
= ( V an - V Nn ) Y a
Za
I bB =
( V bn - V Nn )
= ( V bn - V Nn ) Y b
Zb
I cC =
( V cn - V Nn )
= ( V cn - V Nn ) Y c
Zc
I aA + I bB + I cC = 0
⇨
(
V an - V Nn ) Y a + ( V bn - V Nn ) Y b + ( V cn - V Nn ) Y c = 0
따라서 중성점 전위
V Nn =
V Nn 은 다음과 같다.
Y a V an + Y b V bn + Y c V cn
Y a+Y b+Y c
(note) 전원이 대칭인 경우:
V an = V p ∠ 0 o 라고 하면
V bn = a 2 V p , V cn = a V p 의
관계를 사용하여 계산하면 된다.
[Ex] 대칭 3상 전원
V an , V bn , V cn 에 불평형 3상 부하
C a , C b , C c 의 정전용량을
접속하고 중성점 N을 접지했을 때 전원측 중성점 n에서의 대지전위
각주파수는
V n 을 구하라.
ω 이다.
∙선전류의 합은
I aA + I bB + I cC = 0
으로 되며,
I aA = j ω C a ( V an + V n )
I bB = j ω C b ( V bn + V n )
I cC = j ω C c ( V cn + V n )
따라서
j ω C a ( V an + V n ) + j ω C b ( V bn + V n ) + j ω C c ( V cn + V n ) = 0
⇨
Vn=
C a V an + C b V bn + C c V cn
C a+C b+C c
(a)
∙전원이 3상 대칭이므로
V an = V p ∠ 0 o
라 하면
V bn = a 2 V p
V cn = a V p
가 된다. 위 식을 식 (a)에 대입하여 정리하면 중성점에서의 전위는 다음과 같다.
Vn=
C a ( C a -C b ) + C b ( C b -C c ) + C c ( C c -C a )
Vp
Ca+Cb+Cc
불평형 △ -Y 회로
∙전원 임피던스가 극히 적을 때는 3상 단자 전압은 부하에 관계없이 거의 일정하게 된다. 이와
같이 부하에 관계없이 일정한 선간전압(△ 전압)을 갖는 전원에 불평형 Y-부하가 접속된 경우.
∙ 선간전압(△ 전압) 상호간에는
V ab + V bc =- V ca
의 관계가 있으므로
V ab + V bc + V ca = 0
가 된다.
∙ 그림에 키르히호프의 법칙을 적용하면
V ab = Z a I aA - Z b I bB
V bc = Z b I bB -Z b I cC
0 = I aA + I bB + I cC
⇨
0
ꀎZ a Z b
︳
︳
︳
︳
︳
︳
0 Z b -Z c
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ1 1
1
ꀏꀎ I aA ꀏ ꀎ V ab
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I
=
V bc
︳
bB
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀛꀚ I cC ꀛ ꀚ 0
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
∙ 선전류
I aA =
Z b ( V ab + V bc ) + Z c V ab
Z c V ab -Z b V ca
=
Z a Z b +Z b Z c +Z c Z a
△
I bB =
Z a V bc -Z c V ab
△
I cC =
- Z b ( V bc + V ab ) - Z a V bc
Z b V ca -Z a V bc
=
Z a Z b +Z b Z c +Z c Z a
△
여기서
△ = Z aZ b + Z bZ c + Z cZ a
∙ 부하의 상전압
V AN = Z a I aA
V BN = Z b I bB
V CN = Z c I cC
불평형 △ 부하
∙부하의 상전류
I AB =
V ab
Z AB
I BC =
V bc
Z BC
I CA =
V ca
Z CA
∙ 선전류와 상전류와의 관계
I aA = I AB - I CA
I bB = I BC - I AB
I cC = I CA - I BC
0 = I aA + I bB + I cC
⇨
I aA =
V ab
V bc
Z AB
Z BC
I bB =
V bc
V ab
Z BC
Z AB
I cC =
V ca
V bc
Z CA
Z BC
대칭좌표법
(System of Symmetrical coordinate)
•비대칭 n상 회로의 전압 또는 전류에 대해 n조의 대칭 전압 또는 대칭 전류로 분해하고,
이 분해된 전압 또는 전류에 대해서 계산하여 이것을 중첩하여 결과를 얻는 방법.
⇨ 불평등 3상 회로에 응용
•대칭 좌표법에서는 불평형 전압 또는 전류를 평형인 3 성분으로 분해하여 취급한다.
∙영상분(zero sequence component) : 각 상이 모두 동상이며 크기도 동일하다.
∙정상분(positive sequence component) : 상순이 a-b-c 인 대칭 3상
∙역상분(negative sequence component) : 상순이 a-c-b 인 대칭 3상
영상분
정상분
역상분
⇨ 영상분, 정상분, 역상분인 이 3 성분을 각 상마다 정상분을 기준으로 벡타적으로
합성하면 비대칭 전압 또는 전류가 되며, 이 3 성분을 총칭하여 대칭분이라고 한다.
Let
∙영상분 :
V a0 , V b0 , V c0
∙정상분 :
V a1 , V b1 , V c1
∙역상분 :
V a2 , V b2 , V c2
• 불평등 3상 전압을
V a , V b , V c 를 대칭분으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
V a = V a0 + V a1 + V a2
V b = V b0 + V b1 + V b2
V c = V c0 + V c1 + V c2
여기서
정상분 :
V a1 ,
V b1 = a 2 V a1 ,
V c1 = a V a1
역상분 :
V a2 ,
V b2 = a V a2 ,
V c1 = a 2 V a2
따라서
V a = V a0 + V a1 + V a2
(1)
2
(2)
V b = V a0 +a V a1 +a V a2
(3)
2
V c = V a0 +a V a1 +a V a2
⇨
ꀎ Va
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Vb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ Vc
ꀏ ꀎ1 1 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
︳
︳
︳
︳
=
1 a a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
2
ꀛ ꀚ1 a a
ꀏꀎ V a0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V a1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀛꀚ V a2
ꀎ V a0
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
︳
︳
︳
︳
A
=
[
]
V a1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ V a2
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
(Note) since 1 + a + a 2 = 0
∙
V a0 = ? : 식(1) + 식(2) + 식(3)
V a0 =
∙
1
3
(
Va+ Vb+ Vc
)
2
V a1 = ? : 식(1) + a(식(2)) + a (식(3))
V a = V a0 + V a1 + V a2
3
2
2
a V b = a V a0 +a V a1 +a V a2 = a V a0 + V a1 +a V a2
2
2
3
4
2
a V c = a V a0 +a V a1 +a V a2 = a V a0 + V a1 +a V a2
⇨
V a1 =
∙
1
3
(
Va+a Vb+a2 Vc
)
2
V a2 = ? : 식(1) + a (식(2)) + a(식(3))
V a = V a0 + V a1 + V a2
a 2 V b = a 2 V a0 +a 4 V a1 +a 3 V a2 = a 2 V a0 +a V a1 + V a2
a V c = a V a0 +a 2 V a1 +a 3 V a2 = a V a0 +a 2 V a1 + V a2
⇨
V a2 =
1
3
(
2
Va+a Vb+a Vc
)
따라서 다음과 같은 관계가 성립한다.
ꀎ V a0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V a1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ V a2
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎ V a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
︳
︳
2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
1
a
a
Vb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ V c
ꀛ
ꀏ
ꀎ Va
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
A
=
[
]
Vb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ Vc
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
여기서
ꀎ1 1 1 ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
2 ︳
︳
︳
︳
[ A ]= ︳
1
a
a
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
ꀚ1 a a ꀛ
ꀎ1 1 1 ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
-1
2
︳
︳
︳
[ A ] =︳
1
a
a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2 ︳
ꀚ1 a a ꀛ
[ A ] [ A ]-1=1
ꋯ 일반적으로 a상을 기준으로 다루는 경우가 대부분이므로
V a0 , V a1 , V a2 를
V 0 , V 1 , V 2 로 표시하는 경우가 대부분이다.
(Note) 불평형율(unblanced factor)
불평형 3상 전압이나 전류에는 영상분과 역상분이 포함되는 경우가 일반적이므로 불평형의 정도
를 나타내는 척도로 불평형율을 사용하며, 이 값은 역상분과 정상분의 크기 비 정의한다.
불평형율 =
역상분의 크기
정상분의 크기 ×100
[%]
[Ex] 평형3상 전압
평형 3상의 경우
Vb= a2 Va , Vc= a Va
가 되므로
ꀎ V0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ V2
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎ V a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
a
a
=
Vb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ V c
ꀛ
ꀏ
ꀎ1 1 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 a a2
=
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ1 a 2 a
ꀛ
ꀎ Va +a 2 Va + a Va
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
= ︳
Va + a 3 Va + a 3 Va
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
4
2
ꀚ Va + a Va +a Va
여기서
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
a3=1
4
2
2
2
V a + a V a + a V a = V a +a ( 1 + a ) V a |
3
= V a -a V a = 0
가 되므로
2
1 + a =- a
ꀏꀎ V a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
a 2 Va
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀛꀚa V a
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀎ V0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ V2
ꀏ
ꀎ 0 ꀏ ꀎ 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
3
V
=
Va
︳
︳
︳
a
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
ꀚ 0 ꀛ ꀚ 0
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
⇨
평형 3상 전압의 영상분
a상의 정상분은
V 0 및 역상분
V 2 는 0이 되므로 정상분만 남게되며,
V a 이다.
대칭 3상회로는 대칭 좌표법에서는 정상분만의 특별한 경우라 할 수 있다.
[Remark] 불평형 3상 Y-Y 회로의 경우, 비접지식 회로에서 영상분은 0이 되며, 중성점
접지식 회로(3상 4선식)에서는 영상분이 나타난다.
(Proof) 3상 교류
ꀎ I0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ I2
I a , I b , I c 가 흐르고 있을 때, a상의 대칭분을
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎ I a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
1
a
a
Ib
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
2
ꀚ1 a
a ꀛꀚ I c
ꀛ
I 0 , I 1 , I 2 라 하면
ꀏ
ꀎ I a + I b+ I c
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
︳
2
︳
︳
︳
︳
=
Ia +a I+a Ic
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
ꀛ
ꀚ I a +a I b +a I c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
(1) 비접지식
ꀎ I0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ I2
⇨
ꀏ
0
ꀎ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
2
︳
︳
︳
= ︳
Ia+a I+a Ic
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
ꀛ
ꀚ I a +a I b +a I c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
I 0 = 0 가 되어 영상분은 나타나지 않고 정상분과 역상분만이 나타난다.
(2) 중성점 접지 회로
일반적으로
I a + I b + I c ≠0 가 되므로
ꀎ I0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ I2
ꀏ
ꀎ I a + I b+ I c
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
2
︳
︳
︳
= ︳
I a + a I b+ a I c
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
ꀛ
ꀚ I a +a I b +a I c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
영상분, 정상분, 역상분 모두 다 존재한다.
∙접지식일 경우 중성점 접지선에는 정상분과 역상분의 전류는 흐르지 않고 영상분의 합인
3 I 0 만 흐르게 된다. 이러한 경우는 3상 4선식의 중성선에도 해당된다.
I a = I 0+ I 1+ I 2
2
I b = I 0+a I 1+a I 2
2
I c = I 0+a I 1+a I 2
위 식을 합하게 되면
Ia+ Ib+ Ic= 3 I0
가 되어 중성선에는 3배의 영상분 전류가 흐르게 된다.
불평형 전원의 Y-대칭분⇨△-대칭분 변환
Let
V Ya , V Yb , V Yc
Y-회로 전원 :
V Y0 , V Y1 , V Y2
Y-회로 대칭분 :
△
△
V△
a , Vb , Vc
△-회로 전원 :
△-회로 대칭분 :
△
△
V△
0 , V1 , V2
∙ Y-회로의 대칭분
ꀎV Y0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V Y1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ Y
ꀚV 2
Y
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V Yb
=
1
a
a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚV Yc
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
∙ △-회로의 전원
Y
Y
ꀊV △
a = V a -V b
︳
︳
︳
︳
Y
Y
ꀈV △
b = V b -V c
︳
︳
︳
︳ △
ꀖV c = V Yc - V Ya
ꀎV △
a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V△
b
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ △
ꀚV c
ꀏ ꀎ 1 -1 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
0
1 -1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
1
ꀛ ꀚ- 1 0
Y
ꀏꀎV a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V Yb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀛꀚV Yc
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
(note)
︳ 1 -1 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
0
1 -1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳- 1 0
1
∙ △-회로의 대칭분
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
따라서 위 행렬에 대한 역행렬은 존재하지 않는다.
ꀎV △
0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V△
1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ △
ꀚV 2
△
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
1
a
a
V△
︳
︳
b
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚV △
ꀛ
c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎ 1 - 1 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
= ︳
1
a
a
0
1 -1
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ- 1 0
1
Y
ꀏꀎV a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ Y
︳
︳︳
︳
︳
︳
Vb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳ Y
ꀛꀚV c
ꀎ1 1 1 ꀏꀎ 1 - 1 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
= ︳
1
a
a
0
1 -1
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ- 1 0
1
ꀏꀎ1 1 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳1 a 2 a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀛꀚ1 a a 2
0
0
ꀎ0
︳
︳
︳
︳
︳
=︳
0 1-a2
0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ0
0
1-a
Y
ꀏꀎV 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ Y
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳ Y
ꀛꀚV 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
Y
ꀏꀎV 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ Y
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳ Y
ꀛꀚV 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
따라서
ꀊV △
0 =0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ △
2
Y
ꀈV 1 = ( 1 - a ) V 1 =
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ △
ꀖV 2 = ( 1 - a ) V Y2 =
(
(
j
π
6
-j
π
6
3e
3e
)V
Y
1
)V
Y
2
⇨ 불평형 Y-회로 전원의 대칭분을 △-회로 전원의 대칭분으로 변환할 때,
∙ 영상분 : V △
0 =0
∙ 정상분 : V △
는 V Y1 보다
1
3 배 크며, 위상이
π 앞선다.
6
∙ 역상분 : V △
는 V Y2 보다
2
3 배 크며, 위상이
π 뒤진다.
6
중성점 접지식 불평형 Y-부하
∙중성점 N이 접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각
V a , V b , V c 라하고 선전류를
대지전압
⇨
I a , I b , I c 라 하자. 부하
V a , V b , V c 이 걸린다.
Va= Za Ia ,
Vb= Zb Ib ,
Vc= Zc Ic
즉,
ꀎ Va
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Vb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ Vc
ꀏ ꀎZ a 0 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
0 Zb 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
ꀛ ꀚ0 0 Zc
ꀏꀎ I a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
Ib
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚ I c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
∙ Let
V a , V b , V c 의 대칭분 :
I a , I b , I c 의 대칭분 :
ꀎ V0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ V2
V0 , V1 , V2
I0 , I1 , I2
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎ V a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Vb
=
1
a
a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ V c
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a 0 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
a
a
= ︳
0 Zb 0
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ 0 0 Z c
ꀏꀎ I a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
Ib
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚ I c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
Z a , Z b , Z c 에도 각각
ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a 0 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
a
a
0 Zb 0
= ︳
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
2
ꀚ1 a a ꀛꀚ 0 0 Z c
ꀎ Z a + Z b +Z c
︳
︳
︳
1 ︳
︳
2
︳
= ︳
︳Z a +a Z b +a Z c
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
ꀚ Z a +a Z b +a Z c
원소들이
Z a + Z b +Z c ,
ꀎZ 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Z1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚZ 2
ꀏꀎ1 1 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
︳
︳
︳
︳
1 a a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
2
ꀛꀚ1 a a
2
Z a +a Z b +a Z c
Z a + Z b +Z c
2
Z a +a Z b +a Z c
Z a + a 2 Z b +a Z c ,
ꀏꀎ I 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚ I 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
2
Z a +a Z b +a Z c ꀏꀎ I 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
︳
︳
︳
Z a +a Z b +a Z c ︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
Z a + Z b +Z c
ꀛꀚ I 2
Z a + a Z b +a 2 Z c 의 형태이므로
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a ꀏ
ꀎ Za+Zb+Zc
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
1
2 ︳
2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
1
a
a
Z
=
Za+aZb+a Zc
︳
︳
︳
︳
︳
︳
b
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳ ︳
︳
︳
2
2
ꀚ1 a a ꀛꀚZ c ꀛ
ꀛ
ꀚZ a + a Z b + a Z c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
⇨
ꀎ V0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ V2
⇨ 불평형 임피던스
ꀏ ꀎZ 0 Z 2 Z 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
Z1 Z0 Z2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
ꀛ ꀚZ 2 Z 1 Z 0
ꀏꀎ I 0
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚ I 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
Z a , Z b , Z c 도 전압, 전류와 같이 대칭분인
Z 0 , Z 1 , Z 2로
분해됨을 알 수 있다. (여기서 이 대칭분은 식을 간단히 표시한다는 것이지
물리적 의미는 존재하지 않는다. )
⇨ 대칭분
V 0 , V 1 , V 2 이 구해지면,
V a , V b , V c 를 구할 수 있다.
[Remark] 평형 3 상 부하인 경우
평형3상 부하인 경우 :
ꀎZ 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Z1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚZ 2
Za = Zb= Zc
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a ꀏ
ꀎ Za+Zb+Zc
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
1 ︳
2 ︳
2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
1
a
a
Z
=
Za+aZb+a Zc
︳
︳
︳
︳
︳
︳
b
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳ ︳
︳
︳
2
2
ꀚ1 a a ꀛꀚZ c ꀛ
ꀛ
ꀚZ a + a Z b + a Z c
3 Za
ꀎ
︳
︳
︳
1 ︳
︳Z a ( 1 +a + a 2 )
= ︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
ꀚZ a ( 1 + a + a )
ꀏ
ꀎ3 Z a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
︳
︳ 0
=
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ 0
ꀛ
ꀏ ꀎZ a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳0
=
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
ꀛ ꀚ0
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
⇨
ꀎ V0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ V2
ꀏ ꀎZ a 0 0 ꀏꀎ I 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
0
Z
0
I1
︳
︳
︳
︳
a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳ ︳
ꀛ ꀚ 0 0 Z a ꀛꀚ I 2
ꀏ ꀎZ a I 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
Za I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
ꀛ ꀚZ a I 2
ꀏ ꀎZ 0 I 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
Z0 I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
ꀛ ꀚZ 0 I 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
V0=Z0 I0 , V1=Z0 I1 , V2=Z0 I2
[Remark] Admittance 표현
∙중성점 N이 접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각
V a , V b , V c 라하고 선전류를
Ya=
⇨
Ia= Ya Va ,
1
,
Za
I a , I b , I c 라 하자.
Y b=
1
,
Zb
Ib= Yb Vb ,
Yc=
1
Zc
Ic= Yc Vc
즉,
ꀎ Ia
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Ib
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ Ic
ꀏ ꀎY a 0
0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=︳
0 Yb 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
0 Yc
ꀛ ꀚ0
ꀏꀎ V a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ V
︳
︳
︳
b
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀛꀚ V c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
∙ Let
V a , V b , V c 의 대칭분 :
I a , I b , I c 의 대칭분 :
ꀎ I0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ I2
V0 , V1 , V2
I0 , I1 , I2
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎ I a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
1
︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
Ib
1
a
a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ I c
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
0
ꀎ1 1 1 ꀏꀎY a 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
︳1 a a 2 ︳
︳
︳
= ︳
0 Yb 0
︳
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ 0
0 Yc
ꀏꀎ V a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Vb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚ V c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
0
ꀎ1 1 1 ꀏꀎY a 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
1 ︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
1 a a ︳
0 Yb 0
= ︳
︳
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
2
ꀚ1 a a ꀛꀚ 0
0 Yc
ꀎ Y a + Y b +Y c
︳
︳
︳
1 ︳
︳
2
︳
= ︳
︳Y a +a Y b +a Y c
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
ꀚ Y a +a Y b +a Y c
원소들이
Y a + Y b +Y c ,
ꀎY 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Y1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚY 2
ꀏꀎ1 1 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
︳
︳
︳
︳
1 a a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
2
ꀛꀚ1 a a
2
Y a +a Y b +a Y c
Y a + Y b +Y c
2
Y a +a Y b +a Y c
Y a + a 2 Y b +a Y c ,
ꀏꀎ V 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚ V 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
2
Y a +a Y b +a Y c ꀏꀎ V 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
︳
︳
︳
Y a +a Y b +a Y c ︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
Y a + Y b +Y c
ꀛꀚ V 2
Y a + a Y b +a 2 Y c 의 형태이므로
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎY a ꀏ
ꀎ Ya+Yb+Yc
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
1
2 ︳
2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
1
a
a
Y
=
Ya+aYb+a Yc
︳
︳
︳
︳
︳
︳
b
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
2
2
ꀚ1 a a ꀛꀚY c ꀛ
ꀛ
ꀚY a + a Y b + a Y c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
⇨
ꀎ I0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚ I2
⇨ 불평형 임피던스
ꀏ ꀎY 0 Y 2 Y 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
Y1 Y0 Y2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
ꀛ ꀚY 2 Y 1 Y 0
ꀏꀎ V 0
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚ V 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
Y a , Y b , Y c 도 전압, 전류와 같이 대칭분인
Y 0 , Y 1 , Y 2로
분해됨을 알 수 있다. (여기서 이 대칭분은 식을 간단히 표시한다는 것이지
물리적 의미는 존재하지 않는다. )
⇨ 대칭분
I 0 , I 1 , I 2 이 구해지면,
I a , I b , I c 를 구할 수 있다.
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
중성점 비접지식 불평형 Y-부하
∙중성점 N이 비접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각
V a , V b , V c 라하고 선전류를
I a , I b , I c 라 하자.
⇨
부하
Z a , Z b , Z c 의 중성점은 비접지로 불평형 부하이므로 중성점 N은 임의의
전압
V N 을 갖게된다 이때
부하
p
p
p
Z a , Z b , Z c 에 걸리는 전압 V a , V b , V c 는
다음과 같다.
V pa = V a - V N= Z a I a
V pb = V b - V N= Z b I b
V pc = V c - V N= Z c I c
∙ 중성점 비접지식에서는
따라서 영상분
I a + I b +I c= 0 이다.
I 0 = 0 이다.
∙상전압 대칭분
ꀎV p0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V p1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ p
ꀚV 2
p
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
︳
2 ︳
p ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
1
a
a
V
︳
︳
b
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ p ︳
︳
2
ꀚ
1
a
a
ꀛ
V
ꀛ
ꀚ c ꀛ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a -V N
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
= ︳
1
a
a
V b -V N
︳
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚV c -V N
V a +V b+ V c -3 V N
ꀏ
ꀎ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
︳
= ︳
V a +a V b + a 2 V c -( 1 +a + a 2 ) V N
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
2
ꀛ
ꀚV a +a V b + a V c -( 1 +a +a ) V N
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀎV a +V b+ V c -3 V N
︳
︳
︳
1 ︳
2
︳
V a +a V b + a V c
= ︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
ꀚ V a +a V b + a V c
ꀏ ꀎV 0 -V N
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
︳
ꀛ ꀚ V2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
(1)
(note) 대지전압의 대칭분
ꀎV 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚV 2
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a ꀏ
ꀎ V a +V b+ V c
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
1 ︳
2 ︳
2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
a
a
=
V
=
V a +a V b + a V c
︳
︳
︳
︳
︳
︳
b
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
2
2
ꀚ1 a a ꀛꀚV c ꀛ
ꀛ
ꀚV a +a V b + a V c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
∙ 부하 임피던스 전압의 대칭분을 선전류 대칭분으로 나타내면 다음과 같다.
ꀎV p0
︳
︳
︳
︳
︳
p
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ p
ꀚV 2
p
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
︳
︳
2 ︳
p ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1
a
a
=
V
︳
︳
b ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
2
p ︳
ꀚ
ꀛ
1
a
a
V
ꀚ c ꀛ
ꀛ
ꀎV pa
︳
︳
︳
︳
︳
p
︳
︳
Vb
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ p
ꀚV c
ꀏ ꀎZ a 0 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
0 Zb 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
ꀛ ꀚ0 0 Zc
여기서
ꀏꀎI a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Ib
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚI c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
가 되므로
ꀎV p0
︳
︳
︳
︳
︳
p
︳
︳
︳
︳V 1
︳
︳
︳
︳
︳ p
ꀚV 2
ꀏ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a 0 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
1 ︳
︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
1
a
a
0 Zb 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
2
ꀚ1 a a ꀛꀚ 0 0 Z c
ꀛ
ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a 0 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
1 ︳
2 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
0 Zb 0
= ︳
1
a
a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
3 ︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ 0 0 Z c
위 식을 정리하여 Z 0 = Z a + Z b +Z c ,
ꀏ ꀎZ 0 Z 2 Z 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
Z1 Z0 Z2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
ꀛ ꀚZ 2 Z 1 Z 0
ꀏꀎI 0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
I1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀛꀚI 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀏꀎ1 1 1
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳1 a 2 a
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
2
ꀛꀚ1 a a
Z 1 = Z a+ a 2 Z b +a Z c ,
대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.
ꀎV p0
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
V p1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ p
ꀚV 2
ꀏꀎI a
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Ib
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
ꀛꀚI c
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
ꀏꀎI 0
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳I 1
︳
︳
︳
︳︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳︳
︳
ꀛꀚI 2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
Z 2 = Z a+ a Z b +a 2 Z c 를
여기서 영상분
ꀎV p0
︳
︳
︳
︳
︳
p
︳
︳
V1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ p
ꀚV 2
I 0 = 0 이므로
ꀏ ꀎZ 2 Z 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
=
Z0 Z2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ ︳
ꀛ ꀚZ 1 Z 0
ꀏ
︳
︳
ꀎI 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ꀚI 2
ꀛ
ꀏ
︳
︳
︳
︳
ꀛ
(2)
식 (1)과 식 (2)는 등가관계이므로
ꀎZ 2 Z 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
Z0 Z2
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀚZ 1 Z 0
ꀏ
︳
︳
︳ꀎI 1
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳ꀚI 2
ꀛ
ꀎV 0 -V N
︳
ꀏ ︳
︳
︳
︳
︳
=
V1
︳
︳
︳ ︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ ︳
︳
ꀚ V2
ꀏ
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
︳
ꀛ
⇨
Z 2 I 1 + Z 1 I 2 = V 0 -V N
Z 0 I 1 +Z 2 I 2 = V 1
Z 1 I 1 +Z 0 I 2 = V 2
위 식을 풀면
I1 =
Z 0 V 1 -Z 2 V 2
Z 20 -Z 1 Z 2
I2 =
Z 0 V 2 -Z 1 V 1
2
Z 0 -Z 1 Z 2
2
VN =
⇨
(3)
2
2
( Z 0 -Z 1 Z 2 ) V 0 + ( Z 1 -Z 2 Z 0 ) V 1 + ( Z 2 -Z 0 Z 1 ) V 2
Z 20 -Z 1 Z 2
I 1 , I 2 의 값이 구해지면
I 0 = 0 이므로 식 (3)에 의해서
I a , I b , I c 를 구할 수 있다.