Three-Phase Circuit ▪전력계통은 대부분 교류 방식 사용. ⇨ 주된 이유는 장거리에 전송할 때 손실을 줄이기 위해서 매우 높은 전압을 사용해야하는데 전압을 올리고 내리는데 교류가 훨씬 쉽기 때문이다. ▪교류방식으로 일관된 운영을 할 수 있다. ⇨ 전등, 전동력 등을 비롯해서 현재 부하의 대부분은 교류방식으로 되어 있기 때문에 발전 에서 배전까지 전 과정을 교류방식으로 통일해서 보다 합리적이고 경제적으로 운영할 수 있다. • 다상 방식(Polyphase system) 인접해 있는 전원의 크기와 주파수가 같고 위상이 다른 경우. ▪대칭 n 상식 (Symmetric n phase system) : 위상이 ▪비대칭 n 상식 (Asymmetric n phase system) • 각 상의 임피던스 (phase impedance) ▪평형 부하 (balanced load) ▪불평형 부하 (unbalanced load) ➡ ∙평형 n상 회로 (balanced n phase circuit) 대칭 n상 전원에 평형 n상 부하를 접속한 것. ∙불평형 n상 회로 (unbalanced n phase circuit) 2 π [rad]씩 다른 경우 n [Notation] ∙ 전압 V ab : 마디 b에 대한 마디 a의 전압 마디 a: + , 마디 b: - V ad = V ab + V bc + V cd = V ab + V bd = V ad [Ex] V ab = V an + V nb = V an - V bn = 100-120∠- 120 o= 100 3 [ V] ∙전류 I ab : 마디 a에서 마디 b로 직 경로(direct path)를 따라 흐르는 전류 그 이외에는 이중 첨자를 사용하지 않는다. [Ex] I ab : 전류의 경로가 명백하므로 이중첨자를 사용할 수 있다. I bc : 전류의 경로가 명백하지 않으므로 이중첨자를 사용할 수 없다, • 단상 3선 방식(Single-Phase Three-wire System) ∙3개의 단자 a, b 및 n (neutral node)이 있으며, 단자 전압 V an = V nb = V 1 인 회로 ⇨ V an 과 V nb 가 크기와 위상이 같기 때문에 단상 (single phase)라 한다. ∙ 가정에 공급되는 방식은 보통 단상 3선식으로 110 [VRMS]와 220 [VRMS]의 가전기기를 동시에 쓸 수 있게 되어있다. [Ex] 2개의 동일한 부하를 연결한 단상 3선회로 Let V an = V nb = V 1 I aA = I bB =- V an V1 = Z1 Z1 V nb V1 =Z1 Z1 ⇨ I aA =- I bB ⇨ I nN =- ( I aA + I bB ) = 0 ∴ 중성선을 중심으로 대칭인 회로에서는 중성선에 흐르는 전류는 0이다. • 중성선 nN을 중심으로 impedance가 대칭을 이루면 중성선에는 전류가 흐르지 않는다. 그러나 중성선을 중심으로 비대칭인 경우에는 중성선에 전류가 흐른다. [Ex] - 50 -3 ꀎ115 ꀏ ꀎ 54 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 0 ︳ =︳ - 50 170 + j10 - 100 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ 115 ꀛ ꀚ - 3 - 100 104 ꀏꀎ I 1 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ꀛꀚ I 3 ꀛ ⇨ I 1 = 11.24 ∠ - 19.83 I 1 = 9.39 ∠ - 24.47 o o I 1 = 10.37 ∠ - 21.80 [ A RMS ] o ⇨ I aA = I 1 = 11.24 ∠ - 19.83 o I bB =- I 3 =- 10.37 ∠ - 21.80 o o I nN = I 3 - I 1 = 10.37 ∠- 21.80 -11.24 ∠- 19.83 o = ( 9.63 - j13.85 )-( 10.58- j 3.81 ) o =- 0.95- j 0.04 = 0.95 ∠ - 180 +2.41= 0.95 ∠ - 177.6 회로가 대칭이 아니므로 중성선에 전류가 흐른다. o • 평형 3상 Y-Y 방식 o 3개의 전원이 진폭과 주파수가 같고 위상만 120 씩 상차를 갖는다. • 평형 3상이 성립될 조건 • | V an | = | V bn | = | V cn | V an + V bn + V cn = 0 정상순 (positive sequence) V an = V p ∠0 역상순 (negative sequence) o V bn = V p ∠- 120 V an = V p ∠0 o o V cn = V p ∠- 240 = V p ∠120 o V bn = V p ∠120 o o o V cn = V p ∠240 = V p ∠ - 120 V an 이 o V bn 보다 120 앞선다. V an 이 o V bn 보다 120 뒤진다. V bn 이 o V cn 보다 120 앞선다. V bn 이 o V cn 보다 120 뒤진다. (note) 정상순을 사용하여 3상 회로를 해석한다. o (Note) 2π 3 [ rad] 의 벡터 오퍼레이터 a=e j 2π 3 2π 2π 1 3 + j sin =- + j 3 3 2 2 = cos ⇨ ∙ a2= e ∙ ∙ ∙ a2 = j 4π 3 = cos 2 4π 4π 1 3 + j sin =- - j 3 3 2 2 2 a a = 3 = a-1 1 a 2 1+a+a = 0 a3= 1 3 3 +j = 3 2 2 1-a2 = ∙ = 3 1-a = ∙ ( cos ( cos 3 1 +j 2 2 π π + j sin 6 6 3 3 = 3 -j 2 2 = 3 ( ( )= 3 1 -j 2 2 π π - j sin 6 6 )= ) 3∠ π 6 ) 3 ∠- π 6 ⇨ 어느 벡터에 a를 곱한다는 것은 벡터의 크기는 변화가 없이 위상만 2π 3 하는 것이다. ➡ V bn = V p ∠ - 120 o= V p ∠ V cn = V p ∠120 o = V p ∠ 2π = a - 1 V an = a 2 V an = a 2 V p 3 2π = a V an = a V p 3 ∙ 상전류 (phase current)와 선전류 (line current) Let 상전류 : 선전류 : Ia , I aA , Ib , I bB , Ic I cC ⇨ I a = I aA I b = I bB I c = I cC (Note) 평형 3상 Y 회로에서 상전류와 선전류는 동일하다. [ rad] 앞서게 ▪ 상전압 (phase voltage) V an = V p ∠0 o o 2 2 V bn = V p ∠- 120 = a V an = a Vp o o V cn = V p ∠ - 240 = V p ∠120 = a V an = a V p ▪ 선간전압 (line-to-line voltage) 또는 선전압 (line voltage) V ab = V an + V nb == V an - V bn = V an - a 2 2 V an = ( 1 - a ) V an o = 3 V an ∠ 30 = 3 V p ∠ 30 o V bc = V bn + V nc == V bn - V cn = V bn -a 2 2 V bn = ( 1 - a ) V bn o o = 3 V bn ∠ 30 = 3 V p ∠- 120 + 30 = 3 V p ∠- 90 o o V ca = V cn + V na == V cn - V an = V cn -a 2 2 V cn = ( 1 - a ) V cn o o = 3 V cn ∠ 30 = 3 V p ∠- 240 + 30 = 3 V p ∠- 210 o o ⇨ Let 선간전압의 크기 VL= 3 Vp V ab = 3 V p ∠ 30 o = V L ∠ 30 o V bc = 3 V p ∠ - 90 o= V L ∠ - 90 o V ca = 3 V p ∠ - 210 o= V L ∠ - 210 o (Note) 선간전압은 상전압 보다 크기가 o 3 배가 되며, 위상이 30 앞선다. • 평형 3상 4선식 Y-Y 방식 (Balanced three-phase four-wire Y-Y connected system) 전원과 부하 모두 Y-결선으로 되어 있으며, 전원 전압이 평형전압이고 부하도 평형인 시스템. ∙ 선전류 By KVL I aA = V an Vp Vp o = ∠0 = Zp Zp Zp I bB = V bn Vp = ∠- 120 o= a 2 I aA Zp Zp I cC = V cn Vp = ∠- 240 o= a I aA Zp Zp ⇨ 2 I Nn = I aA + I bB + I cC = ( 1 + a +a ) I aA = 0 (Note) 전원과 부하가 평형인 3상 4선 Y-Y 결선에서 중성선에 전류가 흐르지 않는다. 중성선을 제거하여도 시스템에 아무런 영향을 미치지 않는다. (Note) 해석의 편의상 중성선이 존재한다고 가정하고 해석하는 것이 편리하다. 이 경우 3상 회로는 3개의 단상회로로 나누어 해석 할 수 있다. 하나의 등가 단상회로로부터 전압과 전류가 구해지면 다른 상에 대한 것은 120o의 상차만을 고려하면 된다. [Ex] V an = 100 ∠ 0 o [ V RMS ] V bn = 100 ∠ - 120 o [ V RMS ] V cn = 100 ∠ - 240 o [ V RMS ] 선저항 : R L = 1 [Ω ] 상 부하 : ZP= 3+j3 [Ω ] ∙ 한 상만 따로 분리시켜 해석 할 수 있다. I aA = = o V an 100 ∠ 0 = R L +Z P 4+j 3 100 ∠ 0 o o = 20 ∠ - 36.9 5 ∠ 36.9 o ⇨ I bB , o I cC 는 위상만 120 씩 차이가 나므로 o o o [ A RMS ] o o o [ A RMS ] I bB = 20 ∠ - 36.9 -120 = 20 ∠ - 156.9 I cC = 20 ∠ - 36.9 -240 = 20 ∠ - 276.9 평형 3상 Delta 회로 IaA a A Ia Vca Vab VCA Ic VAB IbB c B Ib Vbc b VBC IcC C ∙상전압(phase voltage) : V ab , V bc , V ca ∙선간전압 (line voltage) : V AB , V BC , V CA ∙상전류(phase current) : Ia , Ib , Ic ∙선전류(line current) : I aA , I bB , I cC ⇨ Delta 결선의 경우 상전압과 선간전압이 같다. V ab = V AB V bc = V BC V ca = V CA ⇨ 상전류와 선전류와의 관계 Let I a = I p ∠0 o o 2 2 I b = I p ∠ - 120 = a I a = a I p o o I c = I p ∠ - 240 = I p ∠120 = a I a = a I p ⇨ 선전류 I aA = I a - I c I bB = I b - I a I cC = I c - I b 따라서 I aA = I a - I c o = I p ∠0 -I p ∠- 240 o = I p -aI p = ( 1 - a ) I p = ( 3 ∠- π 6 )I = p 3 I p ∠ - 30 o (note) 1-a = 3 3 = 3 -j 2 2 ( cos = 3 ( 3 1 -j 2 2 π π - j sin 6 6 )= ) 3 ∠- π 6 I bB = I b - I a = I p ∠- 120 o-I p ∠0 o = a 2 I p -I p = ( a 2 -1 ) I p =-( 1 - a 2 ) I p =- ( 3∠ π 6 )I = p 3 I p ∠ - 180 o+30 o = 3 I p ∠ - 150 o (note) -1= 1 ∠ 180 o I cCB = I c - I b = I p ∠ - 240 o-I p ∠- 120 o = a 2 I p -a I p = a ( a - 1 ) I p ( = 1∠ 2π 3 )( 3 ∠- π 6 )I = p 3 I p ∠ 120 o - 30 o = 3 I p ∠ 90 o ➡ 선전류는 상전류보다 위상이 30o 뒤지고, 크기는 상전류보다 ⇨ Let 선전류의 크기: IL IL= 3 Ip 따라서 3 배가 된다. I aA = I L ∠ - 30 o I bB = I L ∠ - 150 o o I cC = I L ∠ - 270 = I L ∠ 90 o [Ex] △-△ 평형 3상회로에서 선전류가 30[A]이며 각 상의 부하 Z Δ = 3 + j 4 이다. ∙ 상전류: from IL= 3 Ip ∙ 부하의 상전압: ∙ 부하의 선간전압: ⇨ V p = | Z Δ| I p = Ip= 1 30 I = = 10 3 L 3 3 2 +4 2 ×17.3 = 86.5 [ V] V p = V L = 86.5 [ V] 3 = 17.3 [ A] 평형 3상 전원 및 부하의 등가변환 △⇦⇨ Y ⇦⇨ △-회로와 Y-회로가 등가 관계가 성립되기 위해서는 각 선간접압, 즉 단자전압이 동일해야하며 선전류 역시 동일해야 한다. △-회로 선간전압 Y-회로 선간전압 V AB = V ab - Z △ I a△ V AB = ( V an -Z Y I aY ) - ( V bn -Z Y I bY ) V BC = V bc - Z △ I b△ V BC = ( V bn - Z Y I bY ) - ( V cn - Z Y I cY ) V CA = V ca - Z △ I c△ V CA = ( V cn - Z Y I cY ) - ( V an - Z Y I aY ) 위 △-회로와 Y-회로가 등가관계를 이루기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다. V ab = V an - V bn Z △ I a△ = Z Y ( I aY - I bY ) V bc = V bn - V cn Z △ I b△ = Z Y ( I bY - I cY ) V ca = V cn - V an Z △ I c△ = Z Y ( I cY - I aY ) ꋮ 평형 3상 전원의 등가변환 Y-회로 상전압 V an , V bn , V cn 과 △-회로 상전압 V ab , V bc , V ca 는 각각 평형 3상이다. ⇨ △-회로 상전압 V ab , V bc , V ca 는 Y-회로 상전압 위상이 30o 앞서고 크기는 V an , V bn , V cn 보다 3 배된다. (note) Y-회로 ⇨ △-회로 2 ( =( =( V ab = V an - V bn = ( 1 - a ) V an = 2 V bc = V bn - V cn = ( 1 - a ) V bn 2 V ca = V cn - V an = ( 1 - a ) V cn π 6 )V π 3∠ ) V 6 π 3∠ ) V 6 3∠ an = 3 V P ∠ 30 o o o bn = 3 V P ∠ - 120 +30 = 3 V P ∠ - 90 cn = 3 V P ∠ 120 +30 = 3 V P ∠ 150 o o o o (note) △-회로 ⇨ Y-회로 V an = 1 1 o o V ab ∠- 30 = V ∠- 30 3 3 L V bn = 1 1 o o V bc ∠- 30 = V ∠- 150 3 3 L V cn = 1 1 1 o o o V ca ∠- 30 = V ∠- 270 = V ∠90 3 3 L 3 L ꋮ 평형 3상 부하의 등가변환 Z △ I a△ = Z Y ( I aY - I bY ) (a) Z △ I b△ = Z Y ( I bY - I cY ) (b) Z △ I c△ = Z Y ( I cY - I aY ) (c) 식 (a)와 식 (c)의 차로부터 Z △ ( I a△ - I c△ ) = Z Y ( 2 I aY - I bY - I cY ) 평형 3상 Y-회로에서 I aY + I bY + I cY = 0 가 되므로 다음과 같은 관계가 성립된다. Z △ ( I a△ - I c△ ) = 3 Z Y I aY 평형 3상 △-회로에서 I a△ - I c△ = I aA 가 되며 평형 3상 Y-회로에서는 상전류와 선전류가 동일 즉, I aY = I aA 이므로 다음과 같다. Z △ I aA = 3 Z Y I aA 따라서 Z△ = 3 ZY 또는 ZY = 1 Z 3 △ 3상 회로의 전력 ∙3상 회로의 전력은 그 결선방식이나 평형 또는 불평형에 관계없이 각 상의 전력을 단상에서와 같이 구한 후에 이들의 합을 구하면 된다. Let 상전압의 크기 : Va , Vb , Vc 상전류의 크기 : Ia , Ib , Ic 상전압과 상전류의 위상 차 : [Vrms] [Arms] θa , θb , θc (각 상의 부하 임피던스의 임피던스 각과 같다.) • 유효전력(평균전력) P 3∅ = V aI a cosθ a + V bI b cosθ b + V cI c cosθ c [W] • 무효전력 Q 3∅ = V aI a sinθ a + V bI b sinθ b + V cI c sinθ c [VAR] ꋮ 평형 3상 회로의 경우 상전압의 크기 : V a = V b= V c = V P 상전류의 크기 : I a = I b= I c= I P 상전압과 상전류의 위상 차 : [Vrms] [Arms] θa = θb= θc = θP ⇨ P 3∅ = 3 V p I p cos θ P = 3 P 1∅ [W] Q 3∅ = 3 V p I p sin θ P = 3 Q 1∅ [VAR] (note) 평형 3상 회로에서의 전력은 각 상에서의 유효전력 또는 무효전력의 3배가된다. ꋮ 평형 3상 회로의 전력을 선간전압과 선전류로 표시 ∙ Y-결선 Vp = 1 V 3 L Ip = IL [ V rms ] [ A rms ] ⇨ P 3∅ = 3 V p I p cos θ P = 3 1 V L I L cos θ P = 3 V L I L cos θ P 3 [ W] Q 3∅ = 3 V p I p sin θ P = 3 1 V L I L sin θ P = 3 [ VAR] 3 V L I L sin θ P ∙ △-결선 V p = VL Ip = 1 I 3 L [ V rms ] [ A rms ] ⇨ P 3∅ = 3 V p I p cos θ P = 3 V L 1 I cos θ P = 3 V L I L cos θ P 3 L [ W] Q 3∅ = 3 V p I p sin θ P = 3 V L 1 I sin θ P = 3 L [ VAR] 3 V L I L sin θ P 따라서 결선에 상관없이 P 3∅ = 3 V p I p cos θ P = 3 V L I L cos θ P [ W] Q 3∅ = 3 V p I p sin θ P = [ VAR] 이다. 단 위상차 3 V L I L sin θ P θ P 는 상전압과 상전류의 위상 차이다. ꋮ 평형 3상 회로의 순시전력 Let ∙ 상전압 va( t ) = 2 V p cos ω t vb( t ) = 2 V p cos ( ω t- 120 ) vc( t ) = 2 V p cos ( ω t+ 120 ) o [ V] o ∙ 상전류 ia( t ) = 2 I p cos ( ω t- θ p ) ib( t ) = 2 I p cos ( ω t- 120 o-θ p ) ic( t ) = 2 I p cos ( ω t+ 120 o-θ p ) [ A] ⇨ 전체 순시전력 p 3∅ ( t ) = p a ( t ) + p b ( t ) + p c ( t ) = va ( t ) i a ( t ) + vb ( t ) i b ( t ) + vc ( t ) i c ( t ) o o = 2 V p I p [ cos ω t cos ( ω t- θ p ) + cos ( ω t- 120 ) cos ( ω t- 120 -θ p ) o o + cos ( ω t+ 120 ) cos ( ω t+ 120 -θ p ) ] o o = V p I p [ 3 cos θ p + cos ( 2 ω t - θ p ) + cos ( 2 ω t+ 120 -θ p ) + cos ( 2 ω t - 120 -θ p ) ] 평형을 이루고 있으므로 그 합은 0이 된다. = 3 V p I p cos θ p (note) 삼각함수 정리 cos A cos B = 1 [ cos ( A - B) + cos ( A + B) ] 2 따라서 평형 3상 회로의 전체 순시전력은 시간에 관계없이 일정하며, 이 값은 평형 3상 회로의 유효전력과 같다. p 3∅ ( t ) = 3 V p I p cos θ P = P 3∅ 순시전력의 총합이 일정하게 되면 3상 전동기의 경우 일정한 회전력(torque)를 받기 때문에 진동 이 매우 작고 기동이 용이하다. 이와 같은 현상은 다상 회로에도 그대로 적용된다. ꋮ 복소전력 S 3∅ = P 3∅ + j Q 3∅ = 3 V p I p cos θ P + j 3 V p I p sin θ P = 3 ( V p I p cos θ P + j V p I p sin θ P ) = 3 S 1∅ 전체 복소전력은 각 상의 복소전력의 3배가 된다. ꋮ 피상전력 AP 3∅ = P23∅ + Q 23∅ = 2 ( 3 V p I p cos θ P ) + ( 3 V p I p sin θ P ) 2 = 3 Vp I p= 3 VL I L = 3 AP 1∅ 따라서 피상전력은 각상의 피상전력에 3배를 한 것과 같다. ꋮ 역률/무효율 P 3∅ 유효전력 P.F = 피상전력 = = cos θ P AP 3∅ Q 3∅ 무효전력 R.F = 피상전력 = = sin θ P AP 3∅ 따라서 평형 3상 회로에서 역률과 무효율은 각 상의 역률과 무효율과 같다. [Remark] ꋮ 전원의 경우 전원의 경우 △-결선을 사용하지 않는다. ∙ 전압이 완벽하게 평형을 이루지 않을 경우 세 상의 전압 합이 0이 되지 않기 때문에 △-결선을 환류하는 전류가 생겨 발전기를 가열하게 된다. ∙ Y-결선 발전기가 상전압이 더 낮기 때문에 절연이 더 용이해진다. ꋮ 부하의 경우 Y-결선보다 △-결선을 주로 사용한다. ∙△-결선의 경우, 부하들이 선로에 직접 연결되어 있으므로 각 상의 부하를 추가하거나 제거하기가 용이하다. (Y-결선의 경우는 중성점에는 연결할 수 없기 때문에 그렇게 안된다.) ∙상전류가 △인 경우가 Y인 경우보다 작다. ∙상전압은 △인 경우가 Y인 경우보다 크다. ⇨ △-결선은 중성선이 없으므로 3선 방식이 된다. [Ex] Y-△ 결선 Let V an = V p ∠ 0 o V bn = V p ∠ - 120 o V cn = V p ∠ 120 o Z △ = | Z △ |∠ θ Z ∙ 부하의 상전압 ( 전원 측의 선간전압과 같다.) V AB = V ab = 3 V p ∠ 30 o V BC = V bc = 3 V p ∠ - 90 V CA = V ca = 3 V p ∠ 150 o o △ 결선의 상전압이 Y-결선의 상전압 보다 크다. ∙ 부하의 상전류 여기서 I AB = V AB 3 Vp o o = ∠ 30 -θ Z= I p ∠ 30 -θ Z Z△ | Z△ | I BC = V BC 3 Vp = ∠ - 90 o-θ Z= I p ∠ - 90 o-θ Z Z△ | Z△ | I CA = V CA 3 Vp = ∠ 150 o -θ Z= I p ∠ 150 o -θ Z Z△ | Z△ | Ip= 3 Vp VL = | Z△ | | Z△ | ∙ 선전류 I aA = I AB - I CA = 3 I p ∠ - θ Z= I L ∠ - θ Z o o I bB = I BC - I AB = 3 I p ∠ - 120 -θ Z= I L ∠ - 120 -θ Z o o I cC = I CA - I BC = 3 I p ∠ 120 -θ Z= I L ∠ 120 -θ Z 여기서 I L = 3 I p ∙ 부하에서 소모하는 전력 P 1∅ = V L I p cos θ Z 여기서 Ip= IL 3 따라서 P 1∅ = VL IL cos θ Z 3 부하 전체가 소모하는 전력 P 3∅ = 3 P 1∅ = 3 VL IL cos θ Z = 3 3 V L I L cos θ Z [Ex] Let 선전압 : V L = 300 [ V rms ] △-결선 부하 : P.F. = 0.8 lagging △-결선 부하가 소모하는 전력 : 1200[W] ∙부하의 상전류 Ip 단상에서 300 [Vrms] 선전압에서 지상 p.f 0.8로 400[W] 전력 공급 From P 1∅ = V L I p cos θ Z ⇨ 400 = 300×I p×0.8 따라서 I p = 1.667 ∙ 부하 임피던스 Z△ From VL | Z△ | Ip= ⇨ | Z△ |= [ A rms ] VL 300 = 180 = 1.667 Ip θ Z = cos - 1 ( p.f ) = cos - 1 0.8 = 36.9 o 따라서 Z △ = | Z △ | ∠ θ Z = 180 ∠ 36.9 o ∙ Y-결선으로 등가 변환된 부하 [ Ω] ZY o ZY = ∙ 선전류 1 180 ∠ 36.9 = 60 ∠ 36.9 o Z = 3 3 △ IL IL= 3 Ip= 3×1.667 = 2.89 [ A rms ] [ Ω] [Ex] △-△ 회로 Let V ab = 180 ∠ 0 Z L = 11 o [ V rms ] [ Ω] Z △ = 21+j 72 [ Ω] △-△ 회로 ⇨ Y-Y 회로로 변환하여 구하면 쉽다. ⇨ ZY = V an = 1 1 Z = ( 21 + j 72 )= 7 + j 24 3 △ 3 1 3 o V ab ∠ - 30 = [ Ω] 180 o ∠ - 30 = 60 3 3 ∠ - 30 o [ V rms ] ⇨ 다음 회로와 같은 단상 회로로 취급하여 해석 할 수 있다. 여기서 ZT = ZL+ 1 Z = Z L + Z Y = 11 + ( 7 + j 24 ) = 18 + j 24 3 △ [ Ω] ∙ 선전류 I aA V an 60 3 ∠ - 30 o = ZT 18+j 24 I aA = = 60 3 ∠ - 30 o =2 o 30 ∠ 53.1 나머지 선전류 I bB , I cC 는 I bB = I aA ∠- 120 o= 2 I cC = I aA ∠ 120 o = 2 3 ∠ - 83.1 o [ A rms ] o I aA 와 120 의 위상차를 가지므로 다음과 같다. 3 ∠- 83.1 o-120 o= 2 3 ∠ - 83.1 o+120 o= 2 3 ∠- 203.1 o 3 ∠ 36.9 o ∙ 부하에서 소비되는 전력 P 1∅ = R | I aA | 2 = 18× ( 2 2 3 ) = 216 ⇨ P 3∅ = 3 P 1∅ = 3×216 = 648 [ W] [ W] [ A rms ] [ A rms ] [Ex] Y-Y 회로 Let 선전압 : V L = 200 부하 Z Y = 24 + j 7 : [ V rms ] [ Ω] ⇨ ∙ 상전압의 크기 Vp= 1 200 VL= 3 3 ∙ 선전류의 크기 (=상전류의 크기) Vp IL= Ip= = | ZY| 200 3 8 = = 4.6 2 2 3 24 +7 [ A rms ] ∙ 유효전력 P 3∅ = 3 P 1∅ = 3 ( R I 2p ) = 3 ×24× 2 ( 83 ) = 1536 [W] ∙ 무효전력 Q 3∅ = 3 Q 1∅ = 3 ( X I 2p ) = 3 ×7× 8 3 2 ( ) = 448 [VA R] ∙ 피상전력 AP 3∅ = 3 AP 1∅ = 3 ( V p I p ) = 3× 8 200 × 1600 3 3 [ VA] ∙ 역률 P.F. = P 3∅ P 1∅ R = = cos θ Z = = AP 3∅ AP 1∅ | Z Y| 24 24 = 2 2 25 24 +7 R.F. = Q 3∅ Q 1∅ X = = sin θ Z = = | Z Y| AP 3∅ AP 1∅ 7 7 = 2 2 25 24 +7 ∙ 무효률 [Remark] Impedance 등가변환 (△↔Y) ⇦⇨ • △-회로와 Y-회로를 등가 변환하기 위해서는 마디 a, b, c에서 본 임피던스가 같아야 한다. 마디 a-b : Z a + Z b = Z ab // ( Z bc + Z ca ) = Z ab ( Z bc + Z ca ) Z ab +Z bc+Z ca (1) 마디 b-c : Z b + Z c = Z bc // ( Z ab + Z ca ) = Z bc ( Z ab + Z ca ) Z ab +Z bc+Z ca (2) 마디 c-a : Z c + Z a = Z ca // ( Z ab + Z bc ) = Z ca ( Z ab + Z bc ) Z ab +Z bc+Z ca (3) ⇨ 식 [(1)+(2)+(3)]/2를 구하면 Z a + Z b +Z c= ⇨ Z ab Z bc +Z bc Z ca +Z ca Z ab Z ab +Z bc+Z ca (4) △→Y 변환 식 (4) - 식 (2) : Za= Z ca Z ab Z ab +Z bc + Z ca (5a) 식 (4) - 식 (3) : Zb= Z ab Z bc Z ab + Z bc +Z ca (5b) 식 (4) - 식 (1) : Zc= Z bc Z ca Z ab +Z bc + Z ca (5c) (note) △-결선을 Y-결선으로 변환하려면 △-결선 임피던스의 접속점에 접속되어 있는 양 임피던스를 곱하여 임피던스의 총합으로 나누면 된다. ⇨ Y→△ 변환 Z ab 에 대해정리 : Z ab = Z a 식 (5b)을 Z bc 에 대해정리 : Z bc 식 (5c)을 Z ca 에 대해정리 : Z ca ∙ 식 (5)에서 Z ab Z bc + +1 Z ca Z ca ( ) Z Z = Z 1+ + ( Z Z ) Z Z =Z +1+ (Z Z ) 식 (5a)을 a c bc ca ab ab ab ca bc bc (6a) (6b) (6c) Z a , Z b , Z c 의 관계를 구하면 Za Z ca = , Zb Z bc Zb Z ab = , Zc Z ca Zc Z bc = Za Z ab (7) ⇨ 식 (7)을 식 (6)에 대입하여 정리하면 Z ab = Z a Z b +Z b Z c + Z c Z a Zc (8a) Z bc = Z a Z b +Z b Z c + Z c Z a Za (8b) Z ca = Z a Z b +Z b Z c + Z c Z a Zb (8c) (note) Y-결선을 △-결선으로 변환하려면 2개씩 조합한 임피던스 곱의 합을 접속되어 있지 않은 임피던스로 나누어 얻는다. 3상 불평형 회로 ∙3상 교류에서는 대칭 3상 평형회로가 되도록 설계되어 유지되고 있으나 실제는 전원이 대칭이 라도 부하가 불평형인 경우도 있고 또한 사고시에는 전원이나 부하 다같이 불평형인 경우가 발생 한다. ⇨ ∙불평형 회로의 일반적 해법으로 대칭 좌표법을 사용. ∙간단한 불평형 회로에서는 키르히호프의 법칙을 사용하여 해석할 수 있다. 불평형 Y-Y 회로 ■ 중성점 접지식 Y-Y 회로 (3상 4선식 회로) ∙전원 V an , V bn , V cn 은 대칭 또는 비대칭일 수 있으며 부하 부하이다. 중성점 nN 사이에 임피던스 Z n 이 있다. ∙ 중성점 n을 기준인 영전위라 했을 때 중성점 N에서의 전위차를 I aA = ( V an - V Nn ) = ( V an - V Nn ) Y a Za I bB = ( V bn - V Nn ) = ( V bn - V Nn ) Y b Zb I cC = ( V cn - V Nn ) = ( V cn - V Nn ) Y c Zc I nN =- Z a , Z b , Z c 는 불평형 V Nn 이라 하자. V Nn =- Y n V Nn Zn I aA + I bB + I cC + I nN = 0 ⇨ ( V an - V Nn ) Y a + ( V bn - V Nn ) Y b + ( V cn - V Nn ) Y c -Y n V Nn = 0 따라서 중성점 전위 V Nn 은 다음과 같다. V Nn = Y a V an + Y b V bn + Y c V cn Y a +Y b + Y c + Y n (note) 위의 결과는 Millman의 정리를 사용하여 구할 수 있다. ⇨ V Nn 의 값이 구해지면 I aA , I bB , I cC , I nN 의 값을 구할 수 있다. ■ 중성점 비접지식 Y-Y 회로 (3상 3선식 회로) ∙3상 3선식 Y-Y회로는 3상 4선식 Y-Y회로에서 Z n = ∞ ( Y n = 0 ), I nN = 0 인 경우와 같으므로 이 조건을 3상 4선식 Y-Y 회로에 대입하여 구할 수 있다. I aA = ( V an - V Nn ) = ( V an - V Nn ) Y a Za I bB = ( V bn - V Nn ) = ( V bn - V Nn ) Y b Zb I cC = ( V cn - V Nn ) = ( V cn - V Nn ) Y c Zc I aA + I bB + I cC = 0 ⇨ ( V an - V Nn ) Y a + ( V bn - V Nn ) Y b + ( V cn - V Nn ) Y c = 0 따라서 중성점 전위 V Nn = V Nn 은 다음과 같다. Y a V an + Y b V bn + Y c V cn Y a+Y b+Y c (note) 전원이 대칭인 경우: V an = V p ∠ 0 o 라고 하면 V bn = a 2 V p , V cn = a V p 의 관계를 사용하여 계산하면 된다. [Ex] 대칭 3상 전원 V an , V bn , V cn 에 불평형 3상 부하 C a , C b , C c 의 정전용량을 접속하고 중성점 N을 접지했을 때 전원측 중성점 n에서의 대지전위 각주파수는 V n 을 구하라. ω 이다. ∙선전류의 합은 I aA + I bB + I cC = 0 으로 되며, I aA = j ω C a ( V an + V n ) I bB = j ω C b ( V bn + V n ) I cC = j ω C c ( V cn + V n ) 따라서 j ω C a ( V an + V n ) + j ω C b ( V bn + V n ) + j ω C c ( V cn + V n ) = 0 ⇨ Vn= C a V an + C b V bn + C c V cn C a+C b+C c (a) ∙전원이 3상 대칭이므로 V an = V p ∠ 0 o 라 하면 V bn = a 2 V p V cn = a V p 가 된다. 위 식을 식 (a)에 대입하여 정리하면 중성점에서의 전위는 다음과 같다. Vn= C a ( C a -C b ) + C b ( C b -C c ) + C c ( C c -C a ) Vp Ca+Cb+Cc 불평형 △ -Y 회로 ∙전원 임피던스가 극히 적을 때는 3상 단자 전압은 부하에 관계없이 거의 일정하게 된다. 이와 같이 부하에 관계없이 일정한 선간전압(△ 전압)을 갖는 전원에 불평형 Y-부하가 접속된 경우. ∙ 선간전압(△ 전압) 상호간에는 V ab + V bc =- V ca 의 관계가 있으므로 V ab + V bc + V ca = 0 가 된다. ∙ 그림에 키르히호프의 법칙을 적용하면 V ab = Z a I aA - Z b I bB V bc = Z b I bB -Z b I cC 0 = I aA + I bB + I cC ⇨ 0 ꀎZ a Z b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 0 Z b -Z c ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ1 1 1 ꀏꀎ I aA ꀏ ꀎ V ab ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I = V bc ︳ bB ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀛꀚ I cC ꀛ ꀚ 0 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ∙ 선전류 I aA = Z b ( V ab + V bc ) + Z c V ab Z c V ab -Z b V ca = Z a Z b +Z b Z c +Z c Z a △ I bB = Z a V bc -Z c V ab △ I cC = - Z b ( V bc + V ab ) - Z a V bc Z b V ca -Z a V bc = Z a Z b +Z b Z c +Z c Z a △ 여기서 △ = Z aZ b + Z bZ c + Z cZ a ∙ 부하의 상전압 V AN = Z a I aA V BN = Z b I bB V CN = Z c I cC 불평형 △ 부하 ∙부하의 상전류 I AB = V ab Z AB I BC = V bc Z BC I CA = V ca Z CA ∙ 선전류와 상전류와의 관계 I aA = I AB - I CA I bB = I BC - I AB I cC = I CA - I BC 0 = I aA + I bB + I cC ⇨ I aA = V ab V bc Z AB Z BC I bB = V bc V ab Z BC Z AB I cC = V ca V bc Z CA Z BC 대칭좌표법 (System of Symmetrical coordinate) •비대칭 n상 회로의 전압 또는 전류에 대해 n조의 대칭 전압 또는 대칭 전류로 분해하고, 이 분해된 전압 또는 전류에 대해서 계산하여 이것을 중첩하여 결과를 얻는 방법. ⇨ 불평등 3상 회로에 응용 •대칭 좌표법에서는 불평형 전압 또는 전류를 평형인 3 성분으로 분해하여 취급한다. ∙영상분(zero sequence component) : 각 상이 모두 동상이며 크기도 동일하다. ∙정상분(positive sequence component) : 상순이 a-b-c 인 대칭 3상 ∙역상분(negative sequence component) : 상순이 a-c-b 인 대칭 3상 영상분 정상분 역상분 ⇨ 영상분, 정상분, 역상분인 이 3 성분을 각 상마다 정상분을 기준으로 벡타적으로 합성하면 비대칭 전압 또는 전류가 되며, 이 3 성분을 총칭하여 대칭분이라고 한다. Let ∙영상분 : V a0 , V b0 , V c0 ∙정상분 : V a1 , V b1 , V c1 ∙역상분 : V a2 , V b2 , V c2 • 불평등 3상 전압을 V a , V b , V c 를 대칭분으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. V a = V a0 + V a1 + V a2 V b = V b0 + V b1 + V b2 V c = V c0 + V c1 + V c2 여기서 정상분 : V a1 , V b1 = a 2 V a1 , V c1 = a V a1 역상분 : V a2 , V b2 = a V a2 , V c1 = a 2 V a2 따라서 V a = V a0 + V a1 + V a2 (1) 2 (2) V b = V a0 +a V a1 +a V a2 (3) 2 V c = V a0 +a V a1 +a V a2 ⇨ ꀎ Va ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Vb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ Vc ꀏ ꀎ1 1 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀛ ꀚ1 a a ꀏꀎ V a0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V a1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀛꀚ V a2 ꀎ V a0 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ ︳ A = [ ] V a1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ V a2 ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ (Note) since 1 + a + a 2 = 0 ∙ V a0 = ? : 식(1) + 식(2) + 식(3) V a0 = ∙ 1 3 ( Va+ Vb+ Vc ) 2 V a1 = ? : 식(1) + a(식(2)) + a (식(3)) V a = V a0 + V a1 + V a2 3 2 2 a V b = a V a0 +a V a1 +a V a2 = a V a0 + V a1 +a V a2 2 2 3 4 2 a V c = a V a0 +a V a1 +a V a2 = a V a0 + V a1 +a V a2 ⇨ V a1 = ∙ 1 3 ( Va+a Vb+a2 Vc ) 2 V a2 = ? : 식(1) + a (식(2)) + a(식(3)) V a = V a0 + V a1 + V a2 a 2 V b = a 2 V a0 +a 4 V a1 +a 3 V a2 = a 2 V a0 +a V a1 + V a2 a V c = a V a0 +a 2 V a1 +a 3 V a2 = a V a0 +a 2 V a1 + V a2 ⇨ V a2 = 1 3 ( 2 Va+a Vb+a Vc ) 따라서 다음과 같은 관계가 성립한다. ꀎ V a0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V a1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ V a2 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎ V a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a Vb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ V c ꀛ ꀏ ꀎ Va ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ A = [ ] Vb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ Vc ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 여기서 ꀎ1 1 1 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ [ A ]= ︳ 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀚ1 a a ꀛ ꀎ1 1 1 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ -1 2 ︳ ︳ ︳ [ A ] =︳ 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ꀚ1 a a ꀛ [ A ] [ A ]-1=1 ꋯ 일반적으로 a상을 기준으로 다루는 경우가 대부분이므로 V a0 , V a1 , V a2 를 V 0 , V 1 , V 2 로 표시하는 경우가 대부분이다. (Note) 불평형율(unblanced factor) 불평형 3상 전압이나 전류에는 영상분과 역상분이 포함되는 경우가 일반적이므로 불평형의 정도 를 나타내는 척도로 불평형율을 사용하며, 이 값은 역상분과 정상분의 크기 비 정의한다. 불평형율 = 역상분의 크기 정상분의 크기 ×100 [%] [Ex] 평형3상 전압 평형 3상의 경우 Vb= a2 Va , Vc= a Va 가 되므로 ꀎ V0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ V2 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎ V a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a = Vb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ V c ꀛ ꀏ ꀎ1 1 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a2 = ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ1 a 2 a ꀛ ꀎ Va +a 2 Va + a Va ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ = ︳ Va + a 3 Va + a 3 Va ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 4 2 ꀚ Va + a Va +a Va 여기서 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ a3=1 4 2 2 2 V a + a V a + a V a = V a +a ( 1 + a ) V a | 3 = V a -a V a = 0 가 되므로 2 1 + a =- a ꀏꀎ V a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ a 2 Va ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀛꀚa V a ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀎ V0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ V2 ꀏ ꀎ 0 ꀏ ꀎ 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 3 V = Va ︳ ︳ ︳ a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ 0 ꀛ ꀚ 0 ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ⇨ 평형 3상 전압의 영상분 a상의 정상분은 V 0 및 역상분 V 2 는 0이 되므로 정상분만 남게되며, V a 이다. 대칭 3상회로는 대칭 좌표법에서는 정상분만의 특별한 경우라 할 수 있다. [Remark] 불평형 3상 Y-Y 회로의 경우, 비접지식 회로에서 영상분은 0이 되며, 중성점 접지식 회로(3상 4선식)에서는 영상분이 나타난다. (Proof) 3상 교류 ꀎ I0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ I2 I a , I b , I c 가 흐르고 있을 때, a상의 대칭분을 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎ I a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a Ib ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ 2 ꀚ1 a a ꀛꀚ I c ꀛ I 0 , I 1 , I 2 라 하면 ꀏ ꀎ I a + I b+ I c ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ = Ia +a I+a Ic ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀛ ꀚ I a +a I b +a I c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ (1) 비접지식 ꀎ I0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ I2 ⇨ ꀏ 0 ꀎ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ = ︳ Ia+a I+a Ic ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀛ ꀚ I a +a I b +a I c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ I 0 = 0 가 되어 영상분은 나타나지 않고 정상분과 역상분만이 나타난다. (2) 중성점 접지 회로 일반적으로 I a + I b + I c ≠0 가 되므로 ꀎ I0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ I2 ꀏ ꀎ I a + I b+ I c ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ = ︳ I a + a I b+ a I c ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀛ ꀚ I a +a I b +a I c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 영상분, 정상분, 역상분 모두 다 존재한다. ∙접지식일 경우 중성점 접지선에는 정상분과 역상분의 전류는 흐르지 않고 영상분의 합인 3 I 0 만 흐르게 된다. 이러한 경우는 3상 4선식의 중성선에도 해당된다. I a = I 0+ I 1+ I 2 2 I b = I 0+a I 1+a I 2 2 I c = I 0+a I 1+a I 2 위 식을 합하게 되면 Ia+ Ib+ Ic= 3 I0 가 되어 중성선에는 3배의 영상분 전류가 흐르게 된다. 불평형 전원의 Y-대칭분⇨△-대칭분 변환 Let V Ya , V Yb , V Yc Y-회로 전원 : V Y0 , V Y1 , V Y2 Y-회로 대칭분 : △ △ V△ a , Vb , Vc △-회로 전원 : △-회로 대칭분 : △ △ V△ 0 , V1 , V2 ∙ Y-회로의 대칭분 ꀎV Y0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V Y1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Y ꀚV 2 Y ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V Yb = 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚV Yc ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ∙ △-회로의 전원 Y Y ꀊV △ a = V a -V b ︳ ︳ ︳ ︳ Y Y ꀈV △ b = V b -V c ︳ ︳ ︳ ︳ △ ꀖV c = V Yc - V Ya ꀎV △ a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V△ b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ △ ꀚV c ꀏ ꀎ 1 -1 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 0 1 -1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ꀛ ꀚ- 1 0 Y ꀏꀎV a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V Yb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀛꀚV Yc ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ (note) ︳ 1 -1 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 0 1 -1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳- 1 0 1 ∙ △-회로의 대칭분 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ =0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 따라서 위 행렬에 대한 역행렬은 존재하지 않는다. ꀎV △ 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V△ 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ △ ꀚV 2 △ ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a V△ ︳ ︳ b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚV △ ꀛ c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀎ1 1 1 ꀏꀎ 1 - 1 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = ︳ 1 a a 0 1 -1 ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ- 1 0 1 Y ꀏꀎV a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Y ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ Vb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ Y ꀛꀚV c ꀎ1 1 1 ꀏꀎ 1 - 1 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = ︳ 1 a a 0 1 -1 ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ- 1 0 1 ꀏꀎ1 1 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳1 a 2 a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀛꀚ1 a a 2 0 0 ꀎ0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ =︳ 0 1-a2 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ0 0 1-a Y ꀏꀎV 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Y ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ Y ꀛꀚV 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ Y ꀏꀎV 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Y ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ Y ꀛꀚV 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 따라서 ꀊV △ 0 =0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ △ 2 Y ꀈV 1 = ( 1 - a ) V 1 = ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ △ ꀖV 2 = ( 1 - a ) V Y2 = ( ( j π 6 -j π 6 3e 3e )V Y 1 )V Y 2 ⇨ 불평형 Y-회로 전원의 대칭분을 △-회로 전원의 대칭분으로 변환할 때, ∙ 영상분 : V △ 0 =0 ∙ 정상분 : V △ 는 V Y1 보다 1 3 배 크며, 위상이 π 앞선다. 6 ∙ 역상분 : V △ 는 V Y2 보다 2 3 배 크며, 위상이 π 뒤진다. 6 중성점 접지식 불평형 Y-부하 ∙중성점 N이 접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각 V a , V b , V c 라하고 선전류를 대지전압 ⇨ I a , I b , I c 라 하자. 부하 V a , V b , V c 이 걸린다. Va= Za Ia , Vb= Zb Ib , Vc= Zc Ic 즉, ꀎ Va ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Vb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ Vc ꀏ ꀎZ a 0 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 0 Zb 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚ0 0 Zc ꀏꀎ I a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ Ib ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚ I c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ∙ Let V a , V b , V c 의 대칭분 : I a , I b , I c 의 대칭분 : ꀎ V0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ V2 V0 , V1 , V2 I0 , I1 , I2 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎ V a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Vb = 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ V c ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a 0 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a = ︳ 0 Zb 0 ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ 0 0 Z c ꀏꀎ I a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ Ib ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚ I c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ Z a , Z b , Z c 에도 각각 ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a 0 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a 0 Zb 0 = ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ 2 ꀚ1 a a ꀛꀚ 0 0 Z c ꀎ Z a + Z b +Z c ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ 2 ︳ = ︳ ︳Z a +a Z b +a Z c 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀚ Z a +a Z b +a Z c 원소들이 Z a + Z b +Z c , ꀎZ 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Z1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚZ 2 ꀏꀎ1 1 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ 2 ꀛꀚ1 a a 2 Z a +a Z b +a Z c Z a + Z b +Z c 2 Z a +a Z b +a Z c Z a + a 2 Z b +a Z c , ꀏꀎ I 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚ I 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 2 Z a +a Z b +a Z c ꀏꀎ I 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ Z a +a Z b +a Z c ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ Z a + Z b +Z c ꀛꀚ I 2 Z a + a Z b +a 2 Z c 의 형태이므로 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a ꀏ ꀎ Za+Zb+Zc ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 1 2 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a Z = Za+aZb+a Zc ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 2 ꀚ1 a a ꀛꀚZ c ꀛ ꀛ ꀚZ a + a Z b + a Z c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ⇨ ꀎ V0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ V2 ⇨ 불평형 임피던스 ꀏ ꀎZ 0 Z 2 Z 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = Z1 Z0 Z2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚZ 2 Z 1 Z 0 ꀏꀎ I 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚ I 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ Z a , Z b , Z c 도 전압, 전류와 같이 대칭분인 Z 0 , Z 1 , Z 2로 분해됨을 알 수 있다. (여기서 이 대칭분은 식을 간단히 표시한다는 것이지 물리적 의미는 존재하지 않는다. ) ⇨ 대칭분 V 0 , V 1 , V 2 이 구해지면, V a , V b , V c 를 구할 수 있다. [Remark] 평형 3 상 부하인 경우 평형3상 부하인 경우 : ꀎZ 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Z1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚZ 2 Za = Zb= Zc ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a ꀏ ꀎ Za+Zb+Zc ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 1 ︳ 2 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a Z = Za+aZb+a Zc ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 2 ꀚ1 a a ꀛꀚZ c ꀛ ꀛ ꀚZ a + a Z b + a Z c 3 Za ꀎ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳Z a ( 1 +a + a 2 ) = ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀚZ a ( 1 + a + a ) ꀏ ꀎ3 Z a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 0 = ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ 0 ꀛ ꀏ ꀎZ a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳0 = ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚ0 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ⇨ ꀎ V0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ V2 ꀏ ꀎZ a 0 0 ꀏꀎ I 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 0 Z 0 I1 ︳ ︳ ︳ ︳ a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚ 0 0 Z a ꀛꀚ I 2 ꀏ ꀎZ a I 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = Za I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚZ a I 2 ꀏ ꀎZ 0 I 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = Z0 I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚZ 0 I 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ V0=Z0 I0 , V1=Z0 I1 , V2=Z0 I2 [Remark] Admittance 표현 ∙중성점 N이 접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각 V a , V b , V c 라하고 선전류를 Ya= ⇨ Ia= Ya Va , 1 , Za I a , I b , I c 라 하자. Y b= 1 , Zb Ib= Yb Vb , Yc= 1 Zc Ic= Yc Vc 즉, ꀎ Ia ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Ib ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ Ic ꀏ ꀎY a 0 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ =︳ 0 Yb 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 0 Yc ꀛ ꀚ0 ꀏꀎ V a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V ︳ ︳ ︳ b ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀛꀚ V c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ∙ Let V a , V b , V c 의 대칭분 : I a , I b , I c 의 대칭분 : ꀎ I0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ I2 V0 , V1 , V2 I0 , I1 , I2 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎ I a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = Ib 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ I c ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 0 ꀎ1 1 1 ꀏꀎY a 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ ︳1 a a 2 ︳ ︳ ︳ = ︳ 0 Yb 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ 0 0 Yc ꀏꀎ V a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Vb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚ V c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 0 ꀎ1 1 1 ꀏꀎY a 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a ︳ 0 Yb 0 = ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ 2 ꀚ1 a a ꀛꀚ 0 0 Yc ꀎ Y a + Y b +Y c ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ 2 ︳ = ︳ ︳Y a +a Y b +a Y c 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀚ Y a +a Y b +a Y c 원소들이 Y a + Y b +Y c , ꀎY 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Y1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚY 2 ꀏꀎ1 1 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ 2 ꀛꀚ1 a a 2 Y a +a Y b +a Y c Y a + Y b +Y c 2 Y a +a Y b +a Y c Y a + a 2 Y b +a Y c , ꀏꀎ V 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚ V 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 2 Y a +a Y b +a Y c ꀏꀎ V 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ Y a +a Y b +a Y c ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ Y a + Y b +Y c ꀛꀚ V 2 Y a + a Y b +a 2 Y c 의 형태이므로 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎY a ꀏ ꀎ Ya+Yb+Yc ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 1 2 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a Y = Ya+aYb+a Yc ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ 2 2 ꀚ1 a a ꀛꀚY c ꀛ ꀛ ꀚY a + a Y b + a Y c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ⇨ ꀎ I0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚ I2 ⇨ 불평형 임피던스 ꀏ ꀎY 0 Y 2 Y 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = Y1 Y0 Y2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚY 2 Y 1 Y 0 ꀏꀎ V 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚ V 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ Y a , Y b , Y c 도 전압, 전류와 같이 대칭분인 Y 0 , Y 1 , Y 2로 분해됨을 알 수 있다. (여기서 이 대칭분은 식을 간단히 표시한다는 것이지 물리적 의미는 존재하지 않는다. ) ⇨ 대칭분 I 0 , I 1 , I 2 이 구해지면, I a , I b , I c 를 구할 수 있다. ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 중성점 비접지식 불평형 Y-부하 ∙중성점 N이 비접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각 V a , V b , V c 라하고 선전류를 I a , I b , I c 라 하자. ⇨ 부하 Z a , Z b , Z c 의 중성점은 비접지로 불평형 부하이므로 중성점 N은 임의의 전압 V N 을 갖게된다 이때 부하 p p p Z a , Z b , Z c 에 걸리는 전압 V a , V b , V c 는 다음과 같다. V pa = V a - V N= Z a I a V pb = V b - V N= Z b I b V pc = V c - V N= Z c I c ∙ 중성점 비접지식에서는 따라서 영상분 I a + I b +I c= 0 이다. I 0 = 0 이다. ∙상전압 대칭분 ꀎV p0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V p1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ꀚV 2 p ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ︳ p ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a V ︳ ︳ b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ︳ ︳ 2 ꀚ 1 a a ꀛ V ꀛ ꀚ c ꀛ ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a -V N ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = ︳ 1 a a V b -V N ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚV c -V N V a +V b+ V c -3 V N ꀏ ꀎ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ ︳ = ︳ V a +a V b + a 2 V c -( 1 +a + a 2 ) V N ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 2 ꀛ ꀚV a +a V b + a V c -( 1 +a +a ) V N ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀎV a +V b+ V c -3 V N ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ V a +a V b + a V c = ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ꀚ V a +a V b + a V c ꀏ ꀎV 0 -V N ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚ V2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ (1) (note) 대지전압의 대칭분 ꀎV 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚV 2 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a ꀏ ꀎ V a +V b+ V c ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 1 ︳ 2 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a = V = V a +a V b + a V c ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ 2 2 ꀚ1 a a ꀛꀚV c ꀛ ꀛ ꀚV a +a V b + a V c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ∙ 부하 임피던스 전압의 대칭분을 선전류 대칭분으로 나타내면 다음과 같다. ꀎV p0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ꀚV 2 p ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎV a ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ ︳ ︳ 2 ︳ p ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 a a = V ︳ ︳ b ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 2 p ︳ ꀚ ꀛ 1 a a V ꀚ c ꀛ ꀛ ꀎV pa ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ︳ ︳ Vb ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ꀚV c ꀏ ꀎZ a 0 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 0 Zb 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚ0 0 Zc 여기서 ꀏꀎI a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Ib ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚI c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ 가 되므로 ꀎV p0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ︳ ︳ ︳ ︳V 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ꀚV 2 ꀏ ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a 0 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = 1 a a 0 Zb 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ 2 ꀚ1 a a ꀛꀚ 0 0 Z c ꀛ ꀎ1 1 1 ꀏꀎZ a 0 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ 1 ︳ 2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 0 Zb 0 = ︳ 1 a a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ 3 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀚ1 a 2 a ꀛꀚ 0 0 Z c 위 식을 정리하여 Z 0 = Z a + Z b +Z c , ꀏ ꀎZ 0 Z 2 Z 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = Z1 Z0 Z2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚZ 2 Z 1 Z 0 ꀏꀎI 0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ I1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀛꀚI 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀏꀎ1 1 1 ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳1 a 2 a ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ 2 ꀛꀚ1 a a Z 1 = Z a+ a 2 Z b +a Z c , 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다. ꀎV p0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ V p1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ꀚV 2 ꀏꀎI a ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Ib ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ꀛꀚI c ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀏꀎI 0 ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳I 1 ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳︳ ︳ ꀛꀚI 2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ Z 2 = Z a+ a Z b +a 2 Z c 를 여기서 영상분 ꀎV p0 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ︳ ︳ V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ p ꀚV 2 I 0 = 0 이므로 ꀏ ꀎZ 2 Z 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = Z0 Z2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ꀚZ 1 Z 0 ꀏ ︳ ︳ ꀎI 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ꀚI 2 ꀛ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ (2) 식 (1)과 식 (2)는 등가관계이므로 ꀎZ 2 Z 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ Z0 Z2 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀚZ 1 Z 0 ꀏ ︳ ︳ ︳ꀎI 1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ꀚI 2 ꀛ ꀎV 0 -V N ︳ ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ = V1 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ︳ ︳ ꀚ V2 ꀏ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ꀛ ⇨ Z 2 I 1 + Z 1 I 2 = V 0 -V N Z 0 I 1 +Z 2 I 2 = V 1 Z 1 I 1 +Z 0 I 2 = V 2 위 식을 풀면 I1 = Z 0 V 1 -Z 2 V 2 Z 20 -Z 1 Z 2 I2 = Z 0 V 2 -Z 1 V 1 2 Z 0 -Z 1 Z 2 2 VN = ⇨ (3) 2 2 ( Z 0 -Z 1 Z 2 ) V 0 + ( Z 1 -Z 2 Z 0 ) V 1 + ( Z 2 -Z 0 Z 1 ) V 2 Z 20 -Z 1 Z 2 I 1 , I 2 의 값이 구해지면 I 0 = 0 이므로 식 (3)에 의해서 I a , I b , I c 를 구할 수 있다.
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