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강의 주요 내용
(2) 롤링베어링의 수명계산식(p.326)
◆
베어링의 수명을 회전수로 나타내면,
L=(
C r
) ×10 6 ( rev)
P
여기서 r = 3 (ball bearing)
r = 10/3 (roller bearing)
◆
베어링의 수명을 시간으로 나타내면,
C r
6
) ×10
P
=
60×N
C r
(
) ×500×60×33.3
P
=
60×N
C r 33.3
= 500× (
) ×
P
N
r
= 500f h
(
L
Lh=
60×N
수명계수 f h = C
P
속도계수 f n =
◆
33.3
N
33.3
N
수명계수와 속도계수의 관계
fh= fn
◆
r
r
C
P
수명시간을 베어링하중 P, 기본 동정격하중 C, 회전수 N에서 직접 계산
Lh=
16667
C r (hr)
×(
)
N
P
▣ 코일스프링의 처짐 (비틀림moment만 고려)
비틀림각 θ = Tl
GI
dθ =
PD
R dα
2
=
GIP
=
에서
P
PD
πd
2G
32
⋅
4
D
dα
2
8P D 2
dα
πG d 4
3
dδ =
δ=
D
4P D
dθ =
dα
2
πG d 4
8P D 3
8P D 3 n
4 ⋅2πn =
4
Gd
πG d
P = kδ
(9.2.10)
에서 스프링 상수
k=
G d4
8 D 3n
(9.2.11)
※ 처짐 δ 의 기억
D
D
θ=
δ=
2
2
PD
⋅πDn
2
8P D 3 n
=
4
4
πd
Gd
G⋅
32
편리.
▣ 비틀림 코일 스프링
(그림 9.9) 의 하중 작용 → coil 의 평균지름 감소
M=PR (R: lever의 길이)
발생굽힘응력
σ= K
응력수정계수
K =
'
'
M
= K
Z
'
PR
Z
4 C 2 -C-1
4( C - 1)C
( C:
(9.4.1)
D
d
(스프링 지수))
(9.4.2)
원형단면 spring
↙ 외부작용 Torque
σ= K
'
PR
= K
πd3
32
32PR
πd3
'
(9.4.3)
한편 coil 의 회전각 θ 를 구하기 위해
δ
l
σ = E ε 에서 ε =
이므로, 미소 길이에 적용
d
dθ
2
d dθ
=
D
D dα
dα
2
정확한값은아님 ( 중립축의 길이 )
ε=
실제
아래 :
위
(
D
2
(
D
2
:
d
dθ
2
d
)dα
2
d
dθ
2
d
+
)dα
2
∴σ = E ⋅
식 (9.4.3) = 식 (9.4.4)
정리하면
dθ = K
적분하면
θ= K
'
= K
'
'
σ= K
'
d dθ
D dα
(9.4.4)
32PR
d dθ
3 =E
D
dα
π d
32PRD
dα
π d 4E
32PRD
2πn
4
πd E
64PRDn
dα
d 4E
(9.4.5)
coil의 전길이 l = nπD 이므로
θ= K
'
64lPR
π d 4E
(9.4.6)
PR → 스프링 전체에서 보면 비틀림 moment
T= k tθ
PR =
에서
π d 4E
θ
64 K ' l
→
비틀림 스프링 상수 ( k t )
▣ 후크의 유니버셜 커플링
⇨ 두축이 같은 평면상에 있으면서 그 중심선이 어느 각도를 이루고 있
을 때 사용되는 축이음
θA
: 원동측의 회전 각도
θB
: 종동측의 회전 각도
α
: 두축 중심선이 이루는 각도
구면삼각법(
(7.2.19)
tan θ B = tan θ A⋅ cos α
ω
dθ
→각속도비 φ = B
ωA
A
계산 ( ω A =
,
dt
ω B=
dθ B
dt
)
식 (7.2.19)을 시간 t 에 대하여 미분
2
sec θ B
dθ B
dθ A
2
= sec θ A
⋅ cos α
dt
dt
∥
∥
ω
ω
B
1
=
cos 2 θ
( sec 2 θ =
A
2
2
sin θ + cos θ
= tan 2 θ + 1 )
2
cos θ
∴각속도비
ωB
=
ωA
sec 2 θ A
cosα
sec 2 θ B
2
=
sec θ A cosα
tan 2 θ B +1
2
=
=
sec θ A⋅ cos α
1 + tan 2 θ A⋅ cos 2 α
cos α
sin 2 θ A
cos θ A (1+
cos 2 α)
2
cos θ A
2
=
cos α
cos 2 θ A + sin 2 θ A cos 2 α
=
cos α
1 - sin θ A (1- cos 2 α)
=
cos α
2
2
1 - sin θ A sin α
2
(7.2.20)
원동측의 회전각( θ A )에 따른 각속도비의 변화
θA
φ=
ωB
ωA
0°
90°
180°
270°
360°
cos α
1
cos α
cos α
1
cos α
cos α
(min)
(max)
(그림 7-29) 참조 ( α = 30°,
α
ω
A
= 1000 rpm)
에 따른 각속도비의 변동폭 →
ε =
ωB
ωB
max
=
min
1
cos α
=
cos α
1
cos 2 α
α
= 5°→ ε = 1.008 (5°이하가 바람직)
α
= 10°→ ε = 1.031
등각속 유니버셜 커플링→ (그림 7-30)
→두축 A, B 가
중간축
φ =
ωB
ωA
C축의
=
C와 이루는 각도
fork가 동일한 평면 안에 위치
ωC
ωB
⋅
ωA
ωC
= 1
(7.2.22)
▣ 원판 클러치의 기본 설계
→
초기압력 균일, 사용후 바깥쪽 마모심함, PR = C 의 압력
분포
① 마모량(마찰일량에 비례한다고 생각)이 일정한 경우
마모량
∝ qv
, 즉 마모량 ∝ qRω
∴ qR = C (일정)
원판 사이의 수직력
P= ⌠
⌡
R
R
2
1
q(2πRdR) = ⌠
⌡
R
R
2
∴ C=
최대 압력
q
max
=
(7.3.8)
2πCdR =2πC( R 2 - R 1 )
1
P
2π( R 2 - R 1 )
C
P
=
R min
2π R 1 ( R 2 - R 1 )
(7.3.10)
∥
R
전달 T = ⌠
⌡
최종식
R
R
1
2
⇒
(μq⋅2πRdR) ⋅R
(7.3.11)
1
T =μPR =μP
D 1+ D
D
=μP
2
4
2
( P : 축방향으로 밀어붙이는힘)
▶ P가 마찰면의 평균반지름에 집중작용한 것으로 생각하면 된다.
여기서 P = π q( D 22 - D 21 ) 를 대입
4
➡
식 (7.3.13)
② 압력 q 가 일정한 경우
➡ 도심의 위치 : 평균 반지름 보다 약간 큼 ≒ D
2
T =μP
D
2
로 계산 가능
③ 원판클러치의 치수 계산
T =71620
H
D
( kg f ⋅㎝) = μ P
N
2
∴ H = μPDN
143240
접촉면수
Z
T=
μZPD
2
(7.3.17)
▣ 단식 블록 브레이크
(1) 평블록의 경우
; 구조 간단, 제동축에 굽힘 모멘트 작용 →너무 큰 회전력에
사용
못함
(그림 8.-2) 3 종류 → 레버의 치수
☆제동 토크
T=
μWD
2
a
b
=
3 ∼ 6 (최대 10 이하)
(W: block과 drum사이의 수직력)
① 내작용선형(우회전)
∑ M A=0
F a - Wb - μWc = 0
∴ F = W ( b + μc)
a
→
(8.2.2)
마찰력 : f 라하면 f = μW
∴ F = f ( b + μc)
μa
좌회전 → 마찰력의 방향이 반대
② 외작용선형
우회전 Fa + μWc - Wb= 0
F=
W
( b - μc)
a
=
f
( b - μc)
μa
좌회전 Fa - μWc - Wb = 0
∴ F = W ( b + μc)
a
또는, F = f ( b + μc)
μa
(8.2.4)
→
(8.2.3)
③ 중작용선형 ( c = 0 )
Fa = Wb
f =μW
대입
∴ F = Wb
a
F=
(8.2.5)
fb
μa
내작용선형의 좌회전, 외작용선형의 우회전
⇒ c ⋎ b 이면 자동체결(self-locking)
μ
(2) V 블록의 경우 (쐐기형 단식 블록 브레이크) - ( p 364 )
V 홈 각도 : α
W : 블록을 밀어 붙이는 힘
W = 2( N sin
N=
α
α
+ μ *1 N cos
)
2
2
(8.2.6)
W
α
α
+ μ *1 cos
)
2( sin
2
2
(8.2.7)
⌙ 경사면의 마찰 계수
⌐
원주방향 마찰계수
브레이크의 제동력 f =2×μN
=
μ
μ
'
'
로 생각 ( 평블록으로 생각
μ
α
+μ
sin
2
∗
1 cos
α
2
W= μ 'W
(8.2.9)
: 외관 마찰 계수, 등가마찰 계수 ( ⋎μ
가능)
)
▣ 내확 브레이크
→복식 블록 브레이크가 변형된 형태 ( 그림 8-5, 8-6)
2. 내확 브레이크의 힘의 계산
W
1
F
1
, W 2 : 마찰면에 작용하는 수직력
, F 2 :브레이크 블록을 넓히는데 필요한 힘
μ
f
1
l
1
: 마찰계수
, f 2 :브레이크 제동력
, l2 , l3
: 그림의 치수
①우회전
∑ M 01 = F 1 l 1 - P 1 l 2 + μ P 1 l 3 = 0
∴ F 1 = P 1 (l 2 -μ l 3 )
l
1
∑ M 02 =- F 2 l 1 + P 2 l 2 +μ P 2 l 3 = 0
∴ F 2 = P 2 (l 2 + μl 3 )
l
1
②좌회전 → 동일한 방법으로 식 (8.3.3)이 유도.
3. 내확브레이크 제동 토크
브레이크의 제동력
f=f 1 + f 2 = μ W 1 +μ W
2
제동토크 T = f⋅ D = ( f 1 + f 2 ) D = μD ( W 1 + W 2 )
2
2
2
우회전의 경우 : 식 (8.3.1), (8.3.2)에서
W 1=
∴ f=
F 1l1
l 2 - μl 3
,
W 2=
μ F 1l1
μ F 2l1
+
l 2 - μl 3
l 2 + μl 3
F 2l1
l 2 +μl 3
(8.3.4)
제동 Torque
T=f
D
μD
=
2
2
F 1l1
( l -μl
2
3
+
F 2l1
l 2 + μl 3
)
좌회전의 경우(마찬가지로)
T=f
D
D
D
= ( f 1 + f 2)
= μ( W 1 + W 2 )
2
2
2
이 식에 식 (8.3.3)의 W1, W2의 값을 대입
⇨ 식 (8.3.8)
(8.3.7)
▣ 관의 강도
⇨ 얇은관과 두꺼운 관의 계산식이 다름(보통 부식여유 고려)
① 얇은 두께의 원통관
㉠ 원주방향의 강도
원통의 길이:l [ mm], 내압: p [ kg f /cm 2 ],원통의 안지름:D [ mm], 두께 :t [ mm]
p
⋅Dl
100
2tlσ 1 =
∴ σ1=
또
t=
Dp
200t
Dp
[ mm]
200σ 1
(10.1.5)
(10.1.6)
㉡ 축방향의 강도
πDtσ 2 =
p
πd 2
⋅
100
4
∴ σ2=
Dp
[ kg f /mm 2 ]
400t
(10.1.7)
또
Dp
[ mm]
400σ 1
(10.1.8)
t=
▷ σ 1 = 2σ 2 이므로 원주응력에 의해 치수 결정
▷ 두께(t)와 압력(p)가 동일한 경우 → 지름(D)가 크면 큰 응력 발생
② 얇은 구형용기의 강도
∴ σ1= σ2=
Dp
400t
(10.1.9)
③ 관의 살두께 계산식
t=
Dp
DPS
DPS
DPS
=
→
→
+C
200σ 1
200σ
200ση
200ση
④ 내압 p1만을 받는 두꺼운 원통
▷ 두꺼운 원통 : 살두께가 내경의 10% 이상
(안쪽의 응력이 바깥쪽보다 훨씬 커짐)
▷ Lame' solution :
p 2r 32 (r 3 - r 31 )
p 1r 31 (r 32 - r 3 )
+
3
3
3
3
3
3
r (r 1 - r 2 )
r (r 1 - r 2 )
3
3
3
3
3
3
p 2r 2 (2r + r 1 )
p 1r 1 (2r + r 2 )
σt=
2r 3 (r 31 - r 32 )
2r 3 (r 31 - r 32 )
σr =
▷ p2 = 0인 경우
[σ
r max ] r = r 1 =-p 1
3
[σ
t max ] r = r 1
3
p 1 2r 1 +r 2
=
( 책오류)
2 r 32 -r 31
σ z⋅π( r 22 - r 21 ) = p⋅πr 21
→
식(10.1.12)
▣ 벨트의 접촉각
① 바로걸기
작은 풀리 :
θ 1 = 180- 2 φ
큰 풀리
θ 2 = 180+ 2 φ
sin φ =
:
R 2- R
C
φ = sin
-1
θ 1 = 180- 2 sin
-1
θ 2 = 180+ 2 sin
-1
1
이므로
R 2- R
C
R 2- R
C
R 2- R
C
1
= sin
-1
D 2- D
2C
1
= 180 -2 sin
-1
1
= 180 +2 sin
-1
1
D 2- D
2C
D 2- D
2C
⇨
θ 1 < 180〫,
⇨
벨트의 미끄럼을 적게 하려면 접촉각을 크게
θ 2 > 180〫
② 엇걸기 - 두 pulley 접촉각 동일
θ = 180 + 2 φ
sin φ =
R 1+ R
C
2
=
D 1+ D
2C
∴ θ = 180 + 2 φ
= 180 + 2 sin
-1
D 1+ D
2C
2
2
1
1
▣ 벨트의 길이 → 두께 무시
① 바로걸기 (교과서 그림 참조)
직선부 길이 : L1
작은풀리 접촉 길이 : L2
큰 풀리 접촉 길이 : L3
L = 2 ×L 1 + L 2 + L 3
L 1 = C cos φ
sin φ =
L 2 = ( π - 2φ) R 1 =
D
2
L 3 = ( π + 2φ) R 2 =
D
2
D 1- D
2
C
L = 2C cos φ +
= 2C cos φ +
C cos φ =
=
=C
※
D
2
1
( π - 2 φ)
2
( π + 2φ)
2
=
2
D 1- D
2C
( π + 2 φ) +
2
D
2
1
( π - 2 φ)
π
( D 1 + D 2 )+ ( D 2 - D 1 )φ
2
(11.1.9)
C 2-( R 2- R 1)2
(
1 -(
2
C -
D 2- D 1
2
D 2- D 1
2C
)
)
2
2
Taylor's series
( x - a)
2!
f( x) = f( a) + f '( a)( x - a) + f ''( a)
f( x) = f( 0) + f '( 0)( x) + f ''( 0)
f(x)= ( 1 -x)
1
2
2
+ f '''( a)
( x - a)
3!
3
+ ⋅⋅⋅
x2
x3
+ f '''( 0)
+ ⋅⋅⋅
2!
3!
1
,f '( x) = - ( 1 -x)
2
1
f ''( x) = - ( 1 - x)
4
-
3
2
,
f(x)
'''
-
1
2
3
= - ( 1 - x)
8
-
5
2
f( x) = 1 -
즉
( 1 - x)
1
2
1
1
3
xx 2x 3 - ⋅⋅⋅
2
8
48
=1-
x≪1
φ의
1
1
1
xx 2x 3 - ⋅⋅⋅
2
8
16
1
2
( 1 - x)
1
x
2
≒ 1-
각도가 작은 경우(축간거리가 큰 경우)
sin φ ≒ φ
D 2- D
2C
sin φ =
에서
1
D 2- D 1
2C
D 2- D 1
1
≒ C 12
2C
( D 2 - D 1) 2
= C 12
8C
C cos φ = C
1-
(
(
(
= 2C +
2
))
)
L = 2C cos φ +
= 2C 1 -
π
( D 1 + D 2 )+ ( D 2 - D 1 )φ
2
( D 2 - D 1) 2
D 2- D
π
+ ( D 1 + D 2 )+ ( D 2 - D 1 )
2
2
2C
8C
)
( D 2 - D 1) 2
π
( D 1 + D 2 )+
2
4C
② 엇걸기 (교과서 그림 참조)
L = 2 ×L 1 + L 2 + L 3
L 1 = C cos φ
sin φ =
1
2
)
(
(
D 2- D
2C
φ≒
L 2 = ( π + 2φ) R 1 =
D
2
L 3 = ( π + 2φ) R 2 =
D
2
D 1+ D
2
C
1
( π + 2 φ)
2
( π + 2φ)
2
=
D 1+ D
2C
2
(11.1.11)
1
L = 2C cos φ +
= 2C cos φ +
D
2
D
2
( π + 2 φ) +
1
( π + 2 φ)
π
( D 1 + D 2 )+ ( D 1 + D 2 )φ
2
(11.1.12)
C 2-( R 1+ R 2)2
C cos φ =
(
1 -(
2
=
C -
=C
φ의
2
D 1+ D 2
2
D 1+ D 2
2C
)
)
2
2
각도가 작은 경우(축간거리가 큰 경우)
sin φ ≒ φ
D 1+ D
2C
sin φ =
에서
2
D 1+ D 2
2C
D
1
1+ D 2
≒ C 12
2C
( D 1 + D 2) 2
= C 12
8C
C cos φ = C
1-
(
(
(
(
(
= 2C +
)
2
2
2
))
)
L = 2C cos φ +
= 2C 1 -
D 1+ D
2C
φ≒
π
( D 1 + D 2 )+ ( D 1 + D 2 )φ
2
( D 1 + D 2) 2
D 1+ D
π
+ ( D 1 + D 2 )+ ( D 1 + D 2 )
2
2
2C
8C
)
( D 1 + D 2) 2
π
( D 1 + D 2 )+
4C
2
(11.1.13)
2
▣ 체인의 기본 설계
1. 체인의 길이
링크의 수 : 정수 ( 홀수이면 offset 링크 사용)
바로걸기
sin φ =
D 2- D
2C
1
(D1, D2 : 피치원 지름)
π D 1= Z 1p
π D 2= Z 2p
L = 2C cos φ +
L n=
π
( D 2 + D 1 ) + ( D 2 - D 1 )φ
2
L
C
1
1
=2
cos φ + ( Z 1 + Z 2 )+ ( Z 2 - Z 1 )φ
p
p
2
π
또는 그림에서
L n=
=2
2C cos φ
π + 2φ
π - 2φ
+
Z 2+
Z
P
2π
2π
1
C
1
1
cos φ + ( Z 1 + Z 2 )+ ( Z 2 - Z 1 )φ
P
2
π
(정확한 식)
근사식
L = 2C +
π
( D 1 + D 2 )+
2
π D 1= Z 1p
L= L n p=2C +
∴
L n=
,
( D 2- D 1)
4C
π D 2= Z 2p
1
( Z 1 p+ Z 2 p) +
2
2C
1
+ ( Z 1+ Z 2)+
p
2
에서
2
Z 1p
π
D 1=
( Z 2- Z 1)
2
4C π
( Z 2- Z 1) 2 p
2
4π C
2
p
,
D 2=
2
(12.3.1)
Z 2p
π
대입
▣ 원추차 (원뿔차, 베벨 마찰차)
▷ 두축이 구름접촉하면서 어느 각도로 마주칠 때 사용
(외접, 내접 원추차 - 그림 13-13)
(1)회전비
ⅰ) 외접 원추마찰차 ( 그림 13-14)
원추각 α , β ,
축각 θ
ω
n
( 평균지름 )
D
B
B
A
속비 ε =
=
=
ωA
nA
D B ( 평균지름 )
축각
=
2 OP sin α
sin α
=
sin β
2 OP sin β
(13.3.1)
θ= α+β
ε=
sin α
sin ( θ - α)
전개후
tan α
에 대해 정리
⇨
식(13.3.2)
ε=
sin β
sin ( θ - β)
전개후
tan β
에 대해 정리
⇨
식(13.3.3)
▶
두 원추 꼭지각을 축각과 속비로부터 계산 가능
축각 θ = 90°
→
nB
nA
tan α =
,
tan β =
nA
nB
(13.3.4)
ii) 내접 원추 마찰차 (그림 13-15)
축각
ε=
θ= α
(큰 원추각) - β (작은 원추각)
ωB
nB
sin α
=
=
sin β
ωA
nA
마찬가지 방법으로 tan α =
tan β =
sin θ
nB
- cos θ
nA
축각 θ = 90°
→
sin θ
nA
cos θ nB
(13.3.5)
(13.3.6)
tan α =
nB
nA
,
tan β =
nA
nB
(13.3.7)
1. 원추차의 계산
(1) 전달 마력
P sin α = Q
A
Q
A
∴ P=
sinα
마찬가지로
P=
QB
sin β
접선 속도 ( 평균치)
v = rω =
D
A
D A 2π n
2×1000
60
A
=
π DA n
60000
A
=
π DB n
60000
, D B : 원추차 평균지름( mm )
교과서 : D B =
D B1 + D B2
2
마찰에 의한 접선력
= μP = μ
전달 마력
⇨
QA
QB
=μ
sinα
sinβ
식 (13.3.11), (13.3.12)
H
PS =
μ Q Av
μ Q Bv
μPv
=
=
75
75 sin α
75 sin β
H
KW =
μPv
102
※전달 T =μP
D
2
B
=
μQA D
2 sin α
B
=
μQB D
2 sin β
B
B
▣ 이의 크기
이의 크기를 나타내는 기준 : 원주피치, 모듈, 지름피치
(1) 원주피치 : 이의 간격을 피치원의 원주방향으로 측정한 원호의 길이
∴ p=
pZ = πD
πD
Z
일반적으로 D와 Z는 유리수이므로 p는 무리수
⇨ 즉 p 가 유리수가 되도록 p 결정
π
(이의 크기를 결정하는 기준으로 많이 사용 않음)
(2) 모듈 : 피치원의 지름을 잇수로 나눈 값(유리수)
m=
D
p
=
Z
π
∴ p = πm
⇨ 미터계를 쓰는 나라의 이의 크기 단위
(3) 지름피치 : 잇수를 피치원의 지름(in)로 나눈 값
pd=
Z
π
=
D
p
⇨
인치계를 쓰는 나라의 이의 크기 단위
잇수 Z, 지름 D(mm)일 때,
pd=
Z
1
= 25.4×
D/25.4
m
표 14-3, 표 13-4
⇨
모듈과 지름피치의 표준치
▣ 스퍼기어(평기어)의 치형 규정
기어의 호환성을 위해 기준랙(그림 14-9)의 형상을 규정
: (이두께) = p = πm ≒1.5708 m
2
2
h k : (이끝높이,adendum) = m
기준랙의 피치선
ck
t
: (이끝틈새) ≥0.25
m
이상
hf
h
D0
: (이뿌리높이, dedendum) = h k+ c k≥1.25m
이상
: (총이높이) = h k+ h f ≥2.25m 이상
: (바깥지름) = D + 2h k = mZ + 2m = m( Z + 2)
D0
25.4
①module m = D = p =
=
Z
π
p d ( 지름피치 )
Z+2
② 지름피치( p d
)
P d=
③ 원주 피치 ( P )
④ 바깥지름 (
D
0
25.4
m
P = πm =
)
D0
πD
=π
Z
Z+2
D 0 = 2h k+ D =2m + Zm = ( Z +2)m =
( Z + 2)D
Z
D 0 = 2m+ D
⑤ 피치원 지름 (
D
⑥ 이뿌리원 지름 (
)
D
D = mZ =
r
D 0Z
PZ
=
π
Z+2
)
D r = D-2h f= D - 2( m + c k )
⑦ 중심거리
C= R1+R2 =
Z1+Z2
1
1
( D 1 + D 2 ) = ( mZ 1 + mZ 2 ) =
m
2
2
2