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Z-CUSUM 관리도의 설계
강해운, 강창욱
Z-CUSUM 관리도의 설계
The Design of Z-CUSUM Control Chart
강 해 운
강 창 욱
한양대학교
한양대학교
산업공학과
산업공학과
서울
서울
Abstract
CUSUM control charts are widely used in process with small shifts since they have
reasonable detection capability for small shifts. CUSUM control charts, however, are less
effective in detection for recurring cycles or frequent small shifts in process.
With Shewhart control charts, we have applied the variety of run rules to check the
stability of process in addition to the situations that some points fall outside the
control limits. In this paper, we propose the Z-CUSUM control chart.
Key-words : Z-CUSUM Control Chart, recurring cycle, small shift
1. 서 론 (Introduction)
일반적으로 CUSUM 관리도는 small shift가 자
주 발생하는 공정들이나 자기 상관이 존재하는
공정들에서 자주 이용된다. 그 이유는 CUSUM
관리도는 Shewhart 관리도처럼 각 샘플 데이터
들의 값을 타점하여 공정을 관리하지 않고 목
표 값에서부터 관측 값까지의 편차들의 누적
합을 이용하여 공정을 관리하기 때문이다. 따
라서, Shewhart 관리도에 비하여 small shift
를 빠르게 감지할 수 있고, 마찬가지로 자기상
관이 존재하는 공정에서도 이를 빠르게 감지할
수 있게 된다. 실제 산업 현장의 공정들에서
관리도를 적용할 경우 가장 공정의 상태를 잘
파악하고, 관리하기 위해서는 Shewhart 관리도
와 CUSUM (또는 EWMA), 기타 등등(자신의 공정
에 적합한 관리도)의 여러 관리도를 동시에 사
용함으로써 각 관리도의 장․단점을 최대한 활용
하여 공정을 관리하는 것이다. 그러나 이러한
공정들에서 공정의 장․단점을 파악하여 적절한
여러 관리도를 동시에 이용하여 공정을 파악하
고 관리한다는 것은 비용․ 시간․ 노동 등 여러
면에서 현실적으로 많은 문제점을 갖게 된다.
이에 CUSUM 관리도의 몇 가지 문제점을 제시하
였고, 이를 위한 ZCUSUM 관리도를 제시하였다.
2. 패선 발생 시 CUSUM 관리도의 문제점 인식
많은 공정들에서 우연원인 외에 산발적으로 이
상원인이 발생한다. 이러한 이상원인은 관리도
에서 적절하게 관리 및 감지되지 못하는 경우
가 많이 발생한다. 따라서 이상원인을 적절하
고 효율적으로 관리도 상에서 파악하는 것이
관리도의 사용 목적이다. 이러한 이상원인의
패턴 종류에는 여러 가지가 존재한다.
400
한국산업경영시스템학회 2003 추계학술대회 논문집, 2003. 10. 18
관리도들의 대표적 관리도인
Dale H. Besterfield(2001)은 패턴의 종류를
간략하게 5가지로 분류하였다.
Runs Rules Test의 Zone개념을 CUSUM 관리도에 적용
시키는 새로운 개념의 관리도이다. 위의 <그림 7>
에서는 이 논문에서 새롭게 제안하는 Z-CUSUM 관리
도의 기본적 개념을 보여주고 있다.
A . 순환 주기(Recurring cycles)
B . 두 개의 모집단(Two Populations)
C . 공정수준의 변화 또는 도약
(Change or Jump in level)
D . 공정수준의 추세 또는 일정한 변화
(Trend or steady change in level)
E . 실수( Error or Mistakes)
관리도에서
영역을
U p p e r
의 3 부분(A, B, C Zones)을 영역으로 설
C h a r t f o r c y c le s
C U S U M
5
5
Cumulative Sum
로 관리도를 관리할 경우, 각
정하고 있는 반면에 Z-CUSUM 관리도에서는 4 부분
(A, B, C, D Zones)을 영역으로 설정하고 있다.
새롭게 제안하는 Z-CUSUM 관리도는 기존의 CUSUM 관
리도의 small shift에 빠르게 감지하고, 자기상관이
존재하는 공정에서 효율적으로 공정을 관리 할 수
있다는 장점과 더불어 순환 주기나 빈번
위에서 제시한 다섯 가지 패턴 종류에 대한 각
각의 이상원인 중 본 ZCUSUM 관리도에서는 A
와 C 패턴의 이상원인에 초점을 맞추고 있
다
C U S U M
관리도에 적용되는
0
- 5
L o w e r
0
- 5
C U S U M
1 0
S u b g ro u p
2 0
3 0
N u m
b e r
<그림 1: 순환 주기 발생 시 CUSUM 관리도의 수행도>
<그림 1>과 <그림 2>에서 보는 바와 같이 특정
패턴이 발생하였을 경우 CUSUM 관리도가 제대
로 감지 못하는 것을 볼 수 있다.
이러한 CUSUM 관리도의 문제점을 해결하기 위
하여 지난 논문에서는 Z-CUSUM 관리도를 제안
하였다. Z-CUSUM 관리도는 다음과 같은 방법에
의하여 설계가 된다.
한 small shift 대하여 향상된 감지
능력을 추가적으로 제공하여 준다.
‘Z-Runs Rules'은 기본적으로 H = 5.0 & K = 0.5
( = 1, shifts size = 1.0 , K=
)를 기준으
로 제안되었고,
관리도에서
적용되었던 확률(
본 논문에서 제시하는 Z-CUSUM 관리도는 Shewhart
= 0.0027 )을 기준으로 하여 시
뮤레이션을 통해 얻어진 확률 값을 기준으로 하였
다.
3. Z-CUSUM 관리도의 설계
각 Run Rule들은
= 0.0027의 적용은
관리도에서 ARL을
370.4로 설정하기 위하여 적용하였으며, 이 논문에
서도 Z-CUSUM 관리도에 동일한 ARL을 설정하기 위하
여 동일한 값을 기준으로 사용하였다.
401
Z-CUSUM 관리도의 설계
강해운, 강창욱
관리도에서의 데이터들은 정규분포를 따르며 각
데이터들은 독립이라는 가정을 전제로 하고 있다.
따라서, 각각의 ’Runs Rules'의 항목의 확률을 구
할 수 있지만 CUSUM 관리도는 특정 분포함수를 가정
하지 않기 때문에 ’Runs Rules'의 항목의 확률을
구하기가 힘들다. 하지만 Data의 양이 많아질수록
그에 따른 확률 값이 일정 수준의 근사값에 수렴할
것이다. 따라서 충분한 시뮤레이션을 이용하여 특정
근사 값에 수렴하는가에 대한 전반적 분석을 하고,
확률 값이 수렴할 경우 이에 대한 확률 값을 계산하
였다.
C U S U M
리도를 설계한 이유는 다음과 같다.
일반적으로 CUSUM에서는 H = 4.0 과 H = 5.0을 주로
사용한다.
DOUGLAS C.MONGOMERY(2001, p415)의 저서에서는 k =
0.5일때의 H = 4.0, H =5.0일때의 ARL의 수행도에
관하여 언급하고 있다.
결과적으로 ARL0에서는 H = 5.0 일때 465로 168인 H
= 4.0 일때 보다 수행도가 좋음을 알 수 있으며,
ARL1일때에는 H = 4.0 일때 수행도가 조금 더 좋음
을 알 수 있다.
C h a r t f o r s _ s h if t s
U p p e r C U S U M
Cumulative Sum
5
5
0
-5
-5
L o w e r C U S U M
0
1 0
2 0
3 0
S u b g ro u p
4 0
5 0
N u m b e r
<그림 2: 빈번한 small shift 발생 시 CUSUM 관리도의 수행도>
Z - C U S U M c o n tr o l c h a r t
5
Cumulative Sum
3 .7 5
2 .5
1 .2 5
0
- 1 .2 5
- 2 .5
- 3 .7 5
-5
Upper C US UM
5
A (z o n e )
B (z o n e )
C (z o n e )
D (z o n e )
D (z o n e )
C (z o n e )
B (z o n e )
A (z o n e )
-5
Lower C US UM
0
10
20
S u b g ro u p N u m b e r
<그림 3: Z-CUSUM 관리도의 기본 개념(Basic Concept) >
관리도에서 ARL을 370.4로 설정하기 위하여 ARL
Z-CUSUM 관리도에서 H = 5.0를 기준으로 하여 관
0에서 수행도가 370.4에 좀 더 가까운 H= 5.0일 때
402
한국산업경영시스템학회 2003 추계학술대회 논문집, 2003. 10. 18
의 Z-CUSUM 관리도를 설계하였다.
Hawkins(1993a)에 의하여 이와 관련된 연구 결과가
보고되어져 있다.
<표 1: 중심선의 한 쪽 영역에 연속적인 N개 발생 할 평균 확률>
Center line의 한 쪽 영역에 연속적인 N개의 점들
13
14
15
16
0.00381151
0.00307576
0.00258527
0.00204703
N의 개수
<표 2: 중심선의 한 쪽 영역에 연속적으로 N개의 증가 또는 감소가 발생 할 평균 확률>
연속적으로 N개의 증가 (Upper)
4
N의 개수
5
연속적으로 N개의 감소 (Lower)
6
4
5
6
확률(Probability) 0.00617349 0.00214198 0.0006275 0.00620529 0.00201717 0.00058448
<표 3; 각 Zone에 처음으로 Sample이 타점 될 평균 확률>
Upper Z-CUSUM
영역(Zone)
확률
D
C
B
Lower Z-CUSUM
A
D
C
B
A
0.869279 0.126324 0.00434946 0.00004754 0.869899 0.12579 0.00427473 0.00003627
<표 4: 한쪽 영역에서 반대쪽 영역으로 타점 될 평균 확률>
D (Zone)
반대
영역
확률
D
C
B
C (Zone)
A
D
C
B
0.698 0.155 0.022 0.004 0.074 0.039 0.0023
6
8
0
9
0
4
54
B (Zone)
A
D
0.000193
C
B
0 0.00202 0.00047
A (Zone)
A
0.0000080
3
D C
0
0
B
0.0000158 0.0000012
또한, ARL0 가 주어졌을 경우 H와 K 값에 관한 연구
결과
또한
많은
연구가
이루어져왔으며,
4. Heuristic 접근에 의한
403
A
Z-CUSUM 관리도의
Z-CUSUM 관리도의 설계
강해운, 강창욱
RUN RULES의 발견
Z-CUSUM 관리도에서 제안한 Run Rules 들은
시뮬레이션을 이용한 Heuristic 접근 방법을
이용하였다.
그 이유로는 다음과 같다.
CUSUM 관리도에 실제로 one-sided CUSUM 관리
도에서 타점되는 통계량들은 아래에서 보는 바
와 같이 C i 통계량이다.
+
C+
i = max{0, x i - (µ0 + K ) + C i − 1 }
−
C−
i = max{0, (µ0 − K ) - x i + C i − 1 }
.그동안 C i 통계량에 대한 연구가 많이 이루어
져 왔다.
DOUGLAS C.MONGOMERY(2001)는
C i 통계량들은 평
균(mean) 0을 갖는 랜덤 보행을 한다고 언급하
였다.
따라서, 이러한 C i 통계량의 값이 특정한 분포
를 따르지 않고 랜덤한 값을 같기 때문에 통계
적인 접근은 사실상 힘들다.
하지만 공정이 안정되었을 경우 C i 통계량에의
확률값들은 수렴된 확률값을 갖게 될 것이며,
이러한
확률값을
찾기
위한
방법으로
Heuristic 접근에 의한 방법을 사용하였다.
일반적으로 Heuristic 접근은 현재 많이 사용
되고 있는 데이터 마이닝이나 다양한 알고리즘
개발에 사용되고 있는 접근 방법이기도 하다.
따라서, 우리가 Z-CUSUM 관리도에서 관심을 주
어야 할 부분은 Z-CUSUM 관리도가 CUSUM 관리
도에서의 문제점을 보완하여 어느정도의 수행
도를 보이느냐에 좀 더 초점을 맞출 필요가 있
다.
<표1>, <표 2>, <표 3>, <표 4>에서는 Z-CUSUM
관리도에서 Heuristic 접근 방법에 의하여 제
안하였던 Run Rules의 각각의 확률값을
보이고 있다.
5. 결 론
본 논문에서는 이전 논문에서 제안한 Z-CUSUM
관리도의 설계 방법 및 Z-CUSUM 관리도에서 제
안하는 Run Rules의 제안 원리 및 접근 방법에
대하여 논하였다.
이제까지 연구되어진 통계적 공정관리를 위한
관리도에는 수많은 관리도가 제안되었으며, 현
재에도 수많은 관리도가 제안되어지고 있다.
하지만 공정이 복잡하여지고, 현실적으로 이를
위한 관리도의 제안 있어서 사용되는 통계적
근거 및 원리는 이러한 현실적 공정 상황을 모
두 반영하기에는 접근이 힘들게 되었다.
따라서, Heurisitic 접근 방법이 현재 많이 사
용되어 지고 있으며, 현실적 적용에도 많은 부
분 발생하는 문제점을 해결하여 주는 방법론으
로서 사용되고 있다.
우리가 가장 중요시하고 관심을 가져야 할 부
분은 방법론의 문제라기 보다는 현실 세계에서
의 효율성 및 실용성의 문제일 것이다.
또한, 앞으로 좀 더 진전된 Z-CUSUM 관리도에
대한 연구가 필요하며, 더 많은 Run Rules에
대한 연구가 필요하다.
참고문헌
[1]
[2]
[3]
[4]
404
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