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Chapter 13. 중력 (Gravitational Force)
중력
중력 potential energy
Kepler 법칙
uur
m1m2 $
F 12 = G 2 r
r
GMm
U =−
r
I: Elliptical motion
dA
=constant
dt
III: T 2 ∝ r 3
II:
Physics, Page 1
Newton 중력법칙
입자 1에 작용하는 힘 (중력)
uur
m1m2 $
F 12 = G 2 r
r
G = 6.67 ×10−11 N ⋅ m 2 / kg 2
= 6.67 ×10−11 m 3 / kg ⋅ s 2
입자 2에 작용하는 힘 (중력)
uur
uur
m1m2 $
F 21 = − F 12 = G 2 (− r )
r
Physics, Page 2
공 껍질정리 (Shell Theorem)
균일한 껍질 물질은 마치 모든 질량이
중심에 모여있는 것처럼 외부 입자를 끌어당긴다.
(질문)
사과와 지구가 당기는 힘의 크기는 서로 같다.
사과가 떨어질 때,
지구 표면에서 본 사과의 가속도와
사과 표면에서 본 지구의 가속도는 같은가?
Physics, Page 3
중력과 중첩원리
총 n 개의 입자가 함께 있을 때, 어느 하나의 입자가 나머지 입자로부터
받는 중력은 개개의 입자가 따로 있을 때 받는 중력을 더한 값과 같다
uur
uur
uur
uur
uur
F 1,net = F 12 + F 13 + F 13 + L + + F 1n
n uu
r
= ∑ F 1i
i =2
크기가 있는 물체가 입자 1에 작용하는 중력
uur
uur
F1 = ∫ d F
m1m2 $
=G 2 r
r
(단, r 은 질량중심간의 거리 벡터)
Physics, Page 4
지표면 근처에서의 중력
가정 : 지구는 질량이 M인 균일한 공, 자전운동 무시
지구중심에서 거리 r 인 곳에 있는 관성질량 m인 물체의 운동방정식
중력법칙
운동법칙
Mm ⎫
F =G 2 ⎪
GM
r ⎬ ⇒ ag = 2
r
F = ma g ⎪⎭
: 중력가속도
실제로는 위치마다 약간 다르다.
Physics, Page 5
지구의 자전에 의한 무게의 변화
Physics, Page 6
지구 내부에서의 중력
균일한 껍질은 내부에 있는 입자에 아무런 중력도 작용하지 않는다.
즉, 중력의 백터 합은 0 이다.
보기문제 13-4.
지구중심에서 거리 r 인 곳에 있는 질량 m 인 물체가 받는 중력?
단, 지구의 밀도는 균일하다고 하자.
물체가 받는 중력은, 반지름 r 인 공 속에 든 물질 M’ 에 의한 것이므로,
M’
따라서,
uur
r
F = −K r
와 같이 용수철에 매달린 것과 같이 왕복운동을 한다.
Physics, Page 7
중력 위치(퍼텐셜) 에너지
중력은 보존력 : 물체가 P에 이르는 동안 중력이 하는 일은 경로에 상관없이 모두 같다.(증명!)
지구에서 무한히 먼 곳에 정지해 있던 질량  인 물체가, 지름 방향으로
계속 인력을 받으며 중심으로부터 거리  인 곳  까지 가져오자.
중력이 한 일    만큼, 물체는 운동에너지를 얻고, 이는 중력 위치에너
지의 감소량과 같다. 즉, 지구에서  떨어진 곳에서의 중력 위치에너지는
무한히 먼 곳을 “0” 으로
중력의 유도 :
F =−
dU
d ⎛ GMm ⎞
GMm
= − ⎜−
=
−
⎟
dr
dr ⎝
r ⎠
r2
Physics, Page 8
지구 탈출속력
지면에서 위로 쏘아 올린 물체가 다시 떨어지지 않고 계속 솟아오르게 할 수 있는 초기속력
Key) 돌아온다 : 속도가 0되는 최고도달높이가 존재
Î 가까스로 탈출한다 : 무한대에서야 겨우 속도가 0 !
무한히 먼 곳에서의 중력 위치에너지는 0 이고, 운동에너지의 최소값은 0 이므로,
역학적 에너지 (운동에너지 + 중력 퍼텐셜 에너지) 보존에 의해,
Physics, Page 9
행성과 위성: Kepler 법칙
1. 궤도 법칙 : 태양계 행성의 궤도는 모두 태양을 한 초점으로 하는 타원
2. 면적 법칙 : 행성과 태양을 잇는 선이 단위 시간에 쓸어 가는 면적은 일정
dA
=일정
dt
3. 주기 법칙 : 행성의 주기의 제곱은 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례
T 2 ∝ r3
Physics, Page 10
* I. Newton
1665년 (23세)에 중력법칙 제안
Physics, Page 11
Physics, Page 12
Physics, Page 13
Physics, Page 14
Kepler 제 1 법칙 :
모든 태양계 행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원
이심률 (eccentricity) :
b2
e = 1− k 2
a
a : 긴 반지름, b : 짧은 반지름, k : 타원은 +1, 포물선은 0, 쌍곡선은 -1
Physics, Page 15
Kepler 제 2 법칙 :
dA
=일정
dt
행성과 태양을 잇는 선이 단위 시간에 쓸어 가는 면적은 일정
※ 실질적 내용은 각운동량 보존법칙
각운동량 보존법칙에 의해 일정해야 함.
Physics, Page 16
dA
=일정
dt
Physics, Page 17
2
3
T
∝
r
Kepler 제 3 법칙 :
행성의 주기의 제곱은 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례
태양의 중력을 받아 반지름 r 인 원을 따라 등속 원운동하는
행성의 운동방정식
따라서
Physics, Page 18
Summary
중력
중력 potential energy
Kepler 법칙
uur
m1m2 $
F 12 = G 2 r
r
GMm
U =−
r
I: Elliptical motion
dA
=constant
dt
III: T 2 ∝ r 3
II:
Physics, Page 19