1. No category

C4
Answers - Worksheet A
PARTIAL FRACTIONS
⇒ −12 = −6A ⇒ A = 2
⇒ −6 = 6B ⇒ B = −1
1
a x = −4
x=2
2
a 2 ≡ A(x + 3) + B(x + 1)
x = −1 ⇒ 2 = 2A
x = −3 ⇒ 2 = −2B
⇒ A=1
⇒ B = −1
c x + 1 ≡ A(x − 5) + B(x − 3)
x=3
⇒ 4 = −2A ⇒ A = −2
x=5
⇒ 6 = 2B
⇒ B=3
e
4x − 1
( x + 2)( x − 1)
A
x+2
≡
B
x −1
+
b x − 3 ≡ A(x − 1) + Bx
x=0
⇒ −3 = −A
x=1
a
8
( x − 1)( x + 3)
A
x −1
≡
f
B
x+3
+
8 ≡ A(x + 3) + B(x − 1)
x=1
⇒ 8 = 4A
x = −3 ⇒ 8 = −4B
∴
c
8
( x − 1)( x + 3)
10 x
( x + 4)( x − 1)
≡
2
x −1
A
x+4
≡
b
e
10 x
( x + 4)( x − 1)
x+2
( x − 1)( x − 4)
≡
8
x+4
A
x −1
≡
+
d
g
x+2
x − 5x + 4
2
3x + 2
( x − 6)( x + 4)
2
x−4
≡
f
≡
A
x−6
+
h
3x + 2 ≡ A(x + 4) + B(x − 6)
x=6
⇒ 20 = 10A
⇒ A=2
x = −4 ⇒ −10 = −10B ⇒ B = 1
∴
3x + 2
x 2 − 2 x − 24
≡
2
x−6
+
1
x+4
≡
A
x
≡
4
x+3
−
5x + 7
x2 + x
3
x+2
B
x +1
+
≡
7
x
−
4x + 6
( x + 3)( x − 3)
≡
A
x+3
∴
B
x+4
B
x+3
+
⇒ A=7
⇒ B = −2
2
x +1
+
B
x−3
4x + 6 ≡ A(x − 3) + B(x + 3)
x = −3 ⇒ −6 = −6A ⇒ A = 1
x=3
⇒ 18 = 6B ⇒ B = 3
1
x −1
−
A
x+2
≡
x −1
( x + 2)( x + 3)
5x + 7
x( x + 1)
∴
x + 2 ≡ A(x − 4) + B(x − 1)
x=1
⇒ 3 = −3A ⇒ A = −1
x=4
⇒ 6 = 3B
⇒ B=2
∴
B
x−3
+
5x + 7 ≡ A(x + 1) + Bx
x=0
x = −1 ⇒ 2 = −B
2
x −1
B
x−4
+
x −1
( x + 2)( x + 3)
∴
10x ≡ A(x − 1) + B(x + 4)
x = −4 ⇒ −40 = −5A ⇒ A = 8
x=1
⇒ 10 = 5B ⇒ B = 2
∴
A
x −1
≡
x − 1 ≡ A(x + 3) + B(x + 2)
x = −2
⇒ A = −3
x = −3 ⇒ −4 = −B ⇒ B = 4
2
x+3
B
x −1
+
x−9
( x − 1)( x − 3)
x − 9 ≡ A(x − 3) + B(x − 1)
x=1
⇒ −8 = −2A ⇒ A = 4
x=3
⇒ −6 = 2B ⇒ B = −3
⇒ A=2
⇒ B = −2
−
⇒ A=3
⇒ B = −2
d x + 10 ≡ A(2 − x) + B(1 + x)
x = −1 ⇒ 9 = 3A
⇒ A=3
x=2
⇒ 12 = 3B ⇒ B = 4
4x − 1 ≡ A(x − 1) + B(x + 2)
x = −2 ⇒ −9 = −3A ⇒ A = 3
x=1
⇒ 3 = 3B
⇒ B=1
3
⇒ −5 = −5A ⇒ A = 1
⇒ 10 = 52 B ⇒ B = 4
b x = −2
x = 12
4x + 6
x2 − 9
≡
38 − x
(4 + x)(3 − x)
1
x+3
≡
3
x−3
+
A
4+ x
+
B
3− x
38 − x ≡ A(3 − x) + B(4 + x)
x = −4 ⇒ 42 = 7A ⇒ A = 6
x=3
⇒ 35 = 7B ⇒ B = 5
∴
 Solomon Press
38 − x
12 − x − x 2
≡
6
4+ x
+
5
3− x
PARTIAL FRACTIONS
C4
i
4x − 5
(2 x + 1)( x − 3)
A
2x + 1
≡
Answers - Worksheet A
B
x−3
+
4x − 5 ≡ A(x − 3) + B(2x + 1)
x = − 12 ⇒ −7 = − 72 A ⇒ A = 2
⇒ 7 = 7B
x=3
∴
k
m
4x − 5
(2 x + 1)( x − 3)
x +1
x(1 − 3 x)
≡
A
x
+
x = − 12
1
x−3
+
∴
B
1 − 3x
B
2x + 1
+
5
2
=
1 − 3x
(3 x + 4)(2 x + 1)
≡
5
2
1
2x + 1
A
2x − 1
≡
⇒ B=1
B
+
−
3
3x + 4
B
x+2
x + 1 ≡ A(1 − 3x) + Bx
x=0
⇒ A=1
5 ≡ A(x + 2) + B(2x − 1)
⇒ 5 = 52 A
⇒ A=2
x = 12
⇒
⇒ B=4
x = −2
x=
1
3
∴
x +1
x − 3x2
4
3
1
x
≡
2 x + 10
(4 x − 1)(2 x + 3)
x = − 32
∴
+
≡
1
3
=
B
4
1 − 3x
A
4x − 1
∴
+
B
2x + 3
⇒ 7 = −7B
2( x + 5)
8 x 2 + 10 x − 3
1 − 3x
(1 + x)(1 − 2 x)
≡
≡
A
1+ x
+
−
x=
∴
1
2
1 − 3x
1 − x − 2x2
a x=4
x = −3
x=1
b x=
⇒ − 12 =
1
3
x=2
x = −1
≡
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
c x = −5
⇒
x = −1
⇒
coeffs of x2 ⇒
d x=3
x = − 12
⇒
⇒
coeffs of x2 ⇒
3
2
4
3(1 + x)
x=3
1
2x + 3
∴
B
1 − 2x
4
3
B ⇒ B = − 13
−
1
3(1 − 2 x )
84 = 21A
−56 = 28B
−12 = −12C
⇒
⇒
⇒
A=4
B = −2
C=1
= − 209 A
⇒
A = −3
30 = 15B
−12 = 12C
⇒
⇒
B=2
C = −1
32 = 16A
12 = 4C
1=A+B
⇒
⇒
⇒
A=2
C=3
B = −1
196 = 49A
21 = − 72 C
⇒
⇒
A=4
C = −6
20 = 4A + 2B
⇒
B=2
20
3
≡
≡
2
2x − 1
A
x +1
+
⇒ B = −1
1
x+2
−
B
x−3
3x − 7 ≡ A(x − 3) + B(x + 1)
x = −1 ⇒ −10 = −4A ⇒ A =
⇒ B = −1
3
4x − 1
⇒ 5 = −5B
5
2
2 x + 3x − 2
3x − 7
( x + 1)( x − 3)
n
1 − 3x ≡ A(1 − 2x) + B(1 + x)
x = −1 ⇒ 4 = 3A
⇒ A=
4
⇒
5
(2 x − 1)( x + 2)
l
2x + 10 ≡ A(2x + 3) + B(4x − 1)
⇒ 21
= 72 A ⇒ A = 3
x = 14
2
o
A
3x + 4
≡
1 − 3x ≡ A(2x + 1) + B(3x + 4)
x = − 43 ⇒ 5 = − 53 A ⇒ A = −3
⇒ B=1
2
2x + 1
≡
1 − 3x
(3 x + 4)(2 x + 1)
j
 Solomon Press
⇒ 2 = 4B
3x − 7
x2 − 2x − 3
≡
5
2( x + 1)
⇒ B=
+
1
2( x − 3)
5
2
1
2
page 2
PARTIAL FRACTIONS
C4
5
Answers - Worksheet A
page 3
a 8x + 14 ≡ A(x + 1)(x + 3) + B(x − 2)(x + 3) + C(x − 2)(x + 1)
x=2
⇒
30 = 15A
⇒
A=2
x = −1
⇒
6 = −6B
⇒
B = −1
x = −3
⇒
−10 = 10C
⇒
C = −1
b 2x2 − 6x + 20 ≡ A(x + 2)(x − 6) + B(x + 1)(x − 6) + C(x + 1)(x + 2)
x = −1
⇒
28 = −7A
⇒
A = −4
x = −2
⇒
40 = 8B
⇒
B=5
x=6
⇒
56 = 56C
⇒
C=1
c 9x − 14 ≡ A(x − 1)2 + B(x + 4)(x − 1) + C(x + 4)
x = −4
⇒
−50 = 25A
⇒
A = −2
x=1
⇒
−5 = 5C
⇒
C = −1
0=A+B
⇒
B=2
coeffs of x2 ⇒
d 3x2 − 7x − 4 ≡ A(x − 2)2 + B(x − 3)(x − 2) + C(x − 3)
x=3
⇒
A=2
x=2
⇒
−6 = −C
⇒
C=6
3=A+B
⇒
B=1
coeffs of x2 ⇒
6
a
2x2 + 4
x( x − 1)( x − 4)
≡
A
x
+
B
x −1
C
x−4
+
2x2 + 4 ≡ A(x − 1)(x − 4) + Bx(x − 4) + Cx(x − 1)
x=0
⇒
4 = 4A
⇒
A=1
x=1
⇒
6 = −3B
⇒
B = −2
b
x=4
⇒
9
( x − 2)( x + 1)2
≡
⇒
36 = 12C
A
x−2
+
B
x +1
C=3
∴
2x2 + 4
x( x − 1)( x − 4)
≡
1
x
∴
9
( x − 2)( x + 1)2
≡
1
x−2
c
⇒
0=A+B
x 2 + 11x − 21
(2 x + 1)( x − 2)( x − 3)
≡
A
2x + 1
+
2
x −1
+
3
x−4
C
( x + 1)2
+
9 ≡ A(x + 1)2 + B(x − 2)(x + 1) + C(x − 2)
x=2
⇒
9 = 9A
⇒
A=1
x = −1
⇒
9 = −3C
⇒
C = −3
coeffs of x2 ⇒
−
B
x−2
+
B = −1
−
1
x +1
−
3
( x + 1)2
C
x−3
x2 + 11x − 21 ≡ A(x − 2)(x − 3) + B(2x + 1)(x − 3) + C(2x + 1)(x − 2)
⇒
− 105
= 354 A
⇒
A = −3
x = − 12
4
d
x=2
⇒
5 = −5B
⇒
B = −1
x=3
⇒
21 = 7C
⇒
C=3
10 x + 9
( x − 4)( x + 3) 2
≡
A
x−4
+
B
x+3
+
∴
x 2 + 11x − 21
(2 x + 1)( x − 2)( x − 3)
0=A+B
∴
10 x + 9
( x − 4)( x + 3) 2
3
x−3
−
3
2x + 1
−
1
x−2
C
( x + 3) 2
10x + 9 ≡ A(x + 3)2 + B(x − 4)(x + 3) + C(x − 4)
x=4
⇒
49 = 49A
⇒
A=1
x = −3
⇒
−21 = −7C
⇒
C=3
coeffs of x2 ⇒
≡
⇒
B = −1
 Solomon Press
≡
1
x−4
−
1
x+3
+
3
( x + 3) 2
PARTIAL FRACTIONS
C4
e
x2 + 4 x + 5
( x + 1)( x + 2) 2
A
x +1
≡
Answers - Worksheet A
B
x+2
+
page 4
C
( x + 2)2
+
x2 + 4x + 5 ≡ A(x + 2)2 + B(x + 1)(x + 2) + C(x + 1)
x = −1
⇒
A=2
x = −2
⇒
1 = −C
⇒
C = −1
coeffs of x2 ⇒
f
⇒
1=A+B
16 − 2 x
( x − 3)( x + 2)( x − 2)
A
x−3
≡
+
B
x+2
+
B = −1
∴
x2 + 4 x + 5
( x + 1)( x + 2) 2
≡
2
x +1
−
1
x+2
−
1
( x + 2)2
≡
2
x−3
+
1
x+2
−
3
x−2
C
x−2
16 − 2x ≡ A(x + 2)(x − 2) + B(x − 3)(x − 2) + C(x − 3)(x + 2)
x=3
⇒
10 = 5A
⇒
A=2
x = −2
⇒
20 = 20B
⇒
B=1
⇒
x=2
g
2 − 9x
( x − 3)(2 x − 1)2
⇒
12 = −4C
A
x−3
≡
+
B
2x − 1
+
C = −3
∴
16 − 2 x
( x − 3)( x 2 − 4)
∴
2 − 9x
( x − 3)(2 x − 1)2
C
(2 x − 1)2
2 − 9x ≡ A(2x − 1)2 + B(x − 3)(2x − 1) + C(x − 3)
x=3
⇒
−25 = 25A
⇒
A = −1
5
5
1
⇒
−2 = −2 C
⇒
C=1
x= 2
coeffs of x2 ⇒
h
3 + 24 x − 4 x 2
( x + 1)( x − 4)2
⇒
0 = 4A + 2B
A
x +1
≡
+
B
x−4
+
B=2
2
2x − 1
≡
+
1
(2 x − 1)2
−
1
x−3
C
( x − 4)2
3 + 24x − 4x2 ≡ A(x − 4)2 + B(x + 1)(x − 4) + C(x + 1)
x = −1
⇒
−25 = 25A
⇒
A = −1
x=4
⇒
35 = 5C
⇒
C=7
coeffs of x2 ⇒
i
9 x 2 − 2 x − 12
x( x + 3)( x − 2)
⇒
−4 = A + B
A
x
≡
+
B
x+3
+
B = −3
3 + 24 x − 4 x 2
( x + 1)( x − 4)2
≡
7
( x − 4)2
∴
9 x 2 − 2 x − 12
x3 + x 2 − 6 x
≡
2
x
+
5
x+3
∴
5 x 2 + 3 x − 20
x3 + 4 x 2
≡
2
x
−
5
x2
+
3
x+4
∴
13 − 3 x 2
(2 x + 3)( x − 1)2
1
2x + 3
−
2
x −1
∴
−
3
x−4
−
1
x +1
C
x−2
9x2 − 2x − 12 ≡ A(x + 3)(x − 2) + Bx(x − 2) + Cx(x + 3)
x=0
⇒
−12 = −6A
⇒
A=2
x = −3
⇒
75 = 15B
⇒
B=5
j
x=2
⇒
5 x 2 + 3 x − 20
x 2 ( x + 4)
≡
⇒
20 = 10C
A
x
+
B
x2
+
C=2
+
2
x−2
C
x+4
5x2 + 3x − 20 ≡ Ax(x + 4) + B(x + 4) + Cx2
x=0
⇒
−20 = 4B
⇒
B = −5
x = −4
⇒
48 = 16C
⇒
C=3
coeffs of x2 ⇒
k
13 − 3 x 2
(2 x + 3)( x − 1)2
≡
⇒
5=A+C
A
2x + 3
+
B
x −1
+
A=2
C
( x − 1) 2
13 − 3x2 ≡ A(x − 1)2 + B(2x + 3)(x − 1) + C(2x + 3)
25
⇒
= 254 A
⇒
A=1
x = − 32
4
x=1
⇒
coeffs of x2 ⇒
10 = 5C
⇒
C=2
−3 = A + 2B
⇒
B = −2
 Solomon Press
≡
+
2
( x − 1) 2
PARTIAL FRACTIONS
C4
l
26 − x − x 2
( x − 1)( x + 3)( x + 5)
≡
Answers - Worksheet A
A
x −1
B
x+3
+
+
page 5
C
x+5
26 − x − x2 ≡ A(x + 3)(x + 5) + B(x − 1)(x + 5) + C(x − 1)(x + 3)
x=1
⇒
24 = 24A
⇒
A=1
x = −3
⇒
20 = −8B
⇒
B = − 52
⇒
x = −5
7
⇒
6 = 12C
C=
∴
1
2
26 − x − x 2
1
5
1
≡
−
+
( x − 1)( x + 3)( x + 5) x − 1 2( x + 3) 2( x + 5)
a x2 ≡ A(x − 2)(x − 6) + B(x − 6) + C(x − 2)
x=2
⇒
4 = −4B
⇒
B = −1
x=6
⇒
36 = 4C
⇒
C=9
⇒
A=1
coeffs of x2
b
x2 + 2x + 9
( x − 1)( x + 5)
B
x −1
≡A+
+
C
x+5
x2 + 2x + 9 ≡ A(x − 1)(x + 5) + B(x + 5) + C(x − 1)
x=1
⇒
12 = 6B
⇒
B=2
x = −5
⇒
24 = −6C
⇒
C = −4
⇒
A=1
coeffs of x2
8
a
x + 3
x2 + x − 2 x3 + 4x2 +
x3 + x2 −
3x2 +
3x2 +
−
0x
2x
2x
3x
x
− 2
− 2
− 6
+ 4
quotient: x + 3 remainder: −x + 4
b
x3 + 4 x 2 − 2
x2 + x − 2
4− x
( x + 2)( x − 1)
4− x
x2 + x − 2
B
x −1
≡x+3+
≡
A
x+2
+
4 − x ≡ A(x − 1) + B(x + 2)
x = −2 ⇒
6 = −3A
⇒
x=1
9
⇒
A = −2
⇒
3 = 3B
B=1
∴
x3 + 4 x 2 − 2
x2 + x − 2
≡x+3−
2
x+2
+
1
x −1
3
x−3
−
1
x +1
a (x − 3)(x + 1) = x2 − 2x − 3
2
x − 2x − 3
∴
1
x2 + 0x + 3
x2 − 2x − 3
2x + 6
x2 + 3
( x − 3)( x + 1)
≡1+
2x + 6
( x − 3)( x + 1)
≡
2x + 6
( x − 3)( x + 1)
A
x−3
+
B
x +1
2x + 6 ≡ A(x + 1) + B(x − 3)
x=3
⇒
12 = 4A
⇒
x = −1
⇒
4 = −4B
⇒
A=3
B = −1
∴
 Solomon Press
x2 + 3
( x − 3)( x + 1)
≡1+
PARTIAL FRACTIONS
C4
b
Answers - Worksheet A
x − 3
x − 4 x3 − 3x2 −
x3 + 0x2 −
2
− 3x +
2
− 3x +
2
∴
x3 − 3 x 2 − x + 2
≡x−
x2 − 4
A
3 x − 10
≡
( x + 2)( x − 2)
x+2
x
4x
3x
0x
3x
+ 2
+ 2
+ 12
− 10
3 x − 10
x2 − 4
B
x−2
3+
+
3x − 10 ≡ A(x − 2) + B(x + 2)
x = −2 ⇒
−16 = −4A ⇒
c
⇒
A=4
⇒
B = −1
−5x − 16 ≡ A(x + 4) + B(x + 2)
x = −2 ⇒
−6 = 2A
⇒
A = −3
x=2
page 6
−4 = 4B
∴
x3 − 3 x 2 − x + 2
x2 − 4
∴
2x2 + 7 x
x2 + 6x + 8
∴
3( x + 1)( x − 1)
( x − 4)( x + 5)
≡x−3+
4
x+2
3
x+2
2
x+4
−
2
x2 + 6x + 8 2x2 + 7x + 0
2x2 + 12x + 16
− 5x − 16
∴
2x2 + 7 x
≡
x2 + 6x + 8
−5 x − 16
( x + 2)( x + 4)
x = −4
−5 x − 16
x2 + 6x + 8
A
B
+
x+2
x+4
2+
≡
⇒
4 = −2B
⇒
B = −2
≡2−
−
d 3(x + 1)(x − 1) = 3x2 − 3
(x − 4)(x + 5) = x2 + x − 20
3
2
x + x − 20 3x + 0x − 3
3x2 + 3x − 60
− 3x + 57
2
∴
3( x + 1)( x − 1)
( x − 4)( x + 5)
≡3+
57 − 3 x
( x − 4)( x + 5)
≡
A
x−4
57 − 3 x
( x − 4)( x + 5)
+
B
x+5
57 − 3x ≡ A(x + 5) + B(x − 4)
x=4
⇒
45 = 9A
⇒
x = −5
⇒
72 = −9B
⇒
A=5
B = −8
 Solomon Press
≡3+
5
x−4
−
8
x+5
1
x−2
PARTIAL FRACTIONS
C4
e
Answers - Worksheet A
3x −
5
3
x + 4x + 3 3x + 7x2 + 0x
3x3 + 12x2 + 9x
2
− 5x − 9x
2
− 5x − 20x
11x
2
∴
3 x3 + 7 x 2 + 4
x2 + 4x + 3
11x + 19
( x + 1)( x + 3)
f
⇒
+ 4
+ 4
− 15
+ 19
11x + 19
x2 + 4x + 3
B
x+3
≡ 3x − 5 +
≡
A
x +1
+
11x + 19 ≡ A(x + 3) + B(x + 1)
x = −1 ⇒
8 = 2A
⇒
x = −3
page 7
−14 = −2B ⇒
A=4
B=7
∴
3 x3 + 7 x 2 + 4
x2 + 4x + 3
∴
4 x2 − 7 x + 5
2x2 − 7 x + 3
∴
2x2
x − 2x − 3
≡ 3x − 5 +
4
x +1
+
7
x+3
2
2x2 − 7x + 3 4x2 − 7x + 5
2x2 − 14x + 6
7x − 1
∴
4 x2 − 7 x + 5
7x −1
≡2+ 2
2x − 7x + 3
2x2 − 7 x + 3
A
7x −1
B
≡
+
(2 x − 1)( x − 3)
2x − 1
x−3
7x − 1 ≡ A(x − 3) + B(2x − 1)
5
x = 12
⇒
= − 52 A ⇒
2
x=3
g
⇒
20 = 5B
⇒
A = −1
B=4
≡2−
1
2x − 1
+
4
x−3
1
2( x + 1)
+
9
2( x − 3)
2
2
x2 − 2x − 3 2x + 0x + 0
2x2 − 4x − 6
4x + 6
∴
2x2
4x + 6
≡2+ 2
2
x − 2x − 3
x − 2x − 3
A
4x + 6
B
≡
+
( x + 1)( x − 3)
x +1
x−3
4x + 6 ≡ A(x − 3) + B(x + 1)
x = −1 ⇒
2 = −4A
⇒
x=3
⇒
18 = 4B
⇒
A = − 12
B=
9
2
 Solomon Press
2
≡2−
PARTIAL FRACTIONS
C4
h
Answers - Worksheet A
x
x3 − 6x2 + 6x + 1
x3 − 6x2 + 5x
x + 1
2
x − 6x + 5
x3 − 6 x 2 + 6 x + 1
x +1
≡x+ 2
2
x − 6x + 5
x − 6x + 5
A
x +1
B
≡
+
( x − 1)( x − 5)
x −1
x−5
∴
x + 1 ≡ A(x − 5) + B(x − 1)
x=1
⇒
2 = −4A
⇒
⇒
x=5
i
6 = 4B
A = − 12
⇒
3x +
4
3x2 − 4x − 4 9x3 + 0x2 − 27x
9x3 − 12x2 − 12x
12x2 − 15x
12x2 − 16x
x
B=
∴
x3 − 6 x 2 + 6 x + 1
x2 − 6x + 5
∴
9 x3 − 27 x − 2
3x 2 − 4 x − 4
≡x−
1
2( x − 1)
+
3
2( x − 5)
− 2
− 2
− 16
+ 14
x + 14 ≡ A(x − 2) + B(3x + 2)
40
x = − 23 ⇒
= − 83 A ⇒
3
a
3
2
9 x3 − 27 x − 2
x + 14
≡ 3x + 4 + 2
2
3x − 4 x − 4
3x − 4 x − 4
A
x + 14
B
≡
+
(3 x + 2)( x − 2)
3x + 2
x−2
∴
10
page 8
x=2
⇒
x+5
( x − 1)(2 x + 1)
≡
16 = 8B
A
x −1
+
⇒
B
2x + 1
A = −5
B=2
11
2
x −1
3
2x + 1
−
SP:
6
(2 x + 1)2
6
(2 x + 1)2
−
−
b x = −1 ∴ y =
2
( x − 1) 2
2
( x − 1) 2
2
x−2
1
2
f(x) = (x − 1)−1 + 3(x + 2)−1 − 2(x + 2)−2
f ′(x) = −(x − 1)−2 − 3(x + 2)−2 + 4(x + 2)−3
grad = − 14 − 3 + 4 =
=0
6(x − 1)2 − 2(2x + 1)2 = 0
∴ y−
2
1
2
=
3
4
(x + 1)
x + 10x − 2 = 0
4y − 2 = 3x + 3
−10 ± 100 + 8
2
3x − 4y + 5 = 0
x=
+
x=1
⇒ 9 = 9A
⇒ A=1
x = −2 ⇒ 6 = −3C ⇒ C = −2
coeffs x2 ⇒ 4 = A + B ⇒ B = 3
b f ′(x) = −2(x − 1)−2 + 3(2x + 1)−2 × 2
=
5
3x + 2
a x(4x + 5) ≡ A(x + 2)2 + B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1)
x + 5 ≡ A(2x + 1) + B(x − 1)
x=1
⇒ 6 = 3A
⇒ A=2
x = − 12 ⇒ 92 = − 32 B ⇒ B = −3
∴ f(x) =
≡ 3x + 4 −
x = −5 ± 3 3
 Solomon Press
3
4
C4
1
22 ≡ A(x + 4) + B(2x − 3)
⇒
22 = 112 A
x = 32
⇒
A=4
⇒
⇒
B = −2
x = −4
2
22 = −11B
x + 5 ≡ A(x − 3)2 + B(x + 1)(x − 3) + C(x + 1)
x = −1
⇒
4 = 16A
⇒
A=
x=3
⇒
coeffs of x2 ⇒
3
⇒
⇒
8 = 4C
0=A+B
1
4
C=2
B = − 14
4x2 − 16x − 7 ≡ A(2x − 1)(x − 4) + B(x − 4) + C(2x − 1)
x=4
⇒
−7 = 7C
⇒
C = −1
7
1
⇒
−14 = − 2 B
⇒
B=4
x= 2
coeffs of x2 ⇒
4
Answers - Worksheet B
PARTIAL FRACTIONS
⇒
4 = 2A
A=2
a f(1) = 3 + 11 + 8 − 4 = 18
f(−1) = −3 + 11 − 8 − 4 = −4
f(2) = 24 + 44 + 16 − 4 = 80
f(−2) = −24 + 44 − 16 − 4 = 0
∴ (x + 2) is a factor
3x2 + 5x
x + 2 3x3 + 11x2
3x3 + 6x2
5x2
5x2
− 2
+ 8x − 4
+ 8x
+ 10x
− 2x − 4
− 2x − 4
∴ f(x) = (x + 2)(3x2 + 5x − 2)
= (3x − 1)(x + 2)2
b
x + 16
f ( x)
≡
A
3x − 1
+
B
x+2
+
C
( x + 2)2
x + 16 ≡ A(x + 2)2 + B(3x − 1)(x + 2) + C(3x − 1)
49
⇒
= 499 A
⇒
A=3
x = 13
3
x = −2
⇒
2
coeffs of x ⇒
∴
5
x + 16
f ( x)
1
x(2 x − 1)2
≡
3
3x − 1
≡
A
x
+
⇒
⇒
14 = −7C
0 = A + 3B
−
B
2x − 1
1
x+2
+
−
2
( x + 2)2
C = −2
B = −1
C
(2 x − 1)2
1 ≡ A(2x − 1)2 + Bx(2x − 1) + Cx
x=0
⇒
1
1
⇒
1= 2C
⇒
x= 2
A=1
C=2
coeffs of x2 ⇒
B = −2
∴ f(x) =
1
x
−
0 = 4A + 2B ⇒
2
2x − 1
+
2
(2 x − 1)2
 Solomon Press
PARTIAL FRACTIONS
C4
6
Answers - Worksheet B
x −
2
x2 + 7x + 10 x3 + 5x2 − 2x
x3 + 7x2 + 10x
2
− 2x − 12x
2
− 2x − 14x
2x
≡
− 19
− 20
+ 1
2x + 1
x + 7 x + 10
C
B
+
x+2
x+5
∴ f(x) ≡ x − 2 +
2x + 1
( x + 2)( x + 5)
− 19
2
2x + 1 ≡ B(x + 5) + C(x + 2)
x = −2 ⇒
−3 = 3B
⇒
x = −5 ⇒
−9 = −3C ⇒
7
∴ f(x) ≡ x − 2 −
1
x+2
+
3
x+5
4
( x + 1)( x − 1)
A
x +1
+
B
x −1
a
≡
4 ≡ A(x − 1) + B(x + 1)
x = −1 ⇒
4 = −2A
x=1
⇒
4 = 2B
∴ f(x) ≡
b
2
x −1
−
2 + 5x − x2
( x − 4)( x − 2)( x − 1)
B = −1
C=3
[ A = −2, B = −1, C = 3 ]
⇒
⇒
A = −2
B=2
2
x +1
≡
A
x−4
+
B
x−2
+
C
x −1
2 + 5x − x2 ≡ A(x − 2)(x − 1) + B(x − 4)(x − 1) + C(x − 4)(x − 2)
x=4
⇒
6 = 6A
⇒
A=1
x=2
⇒
8 = −2B
⇒
B = −4
x=1
⇒
6 = 3C
⇒
C=2
∴ g(x) ≡
c
1
x−4
−
4
x−2
+
2
x −1
2
2
1
4
2
−
=
−
+
x −1
x +1
x−4
x−2
x −1
4
1
2
−
−
=0
x−2
x−4
x +1
4( x − 4)( x + 1) − ( x − 2)( x + 1) − 2( x − 2)( x − 4)
( x − 2)( x − 4)( x + 1)
=0
4(x2 − 3x − 4) − (x2 − x − 2) − 2(x2 − 6x + 8) = 0
x2 + x − 30 = 0
(x + 6)(x − 5) = 0
x = −6, 5
 Solomon Press
page 2