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UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS-Xalapa
Programa Educativo de
Ingeniería Ambiental
Equation Chapter 1 Section 1
Modelamiento matemático de la
producción de biogás a partir de
lactosuero
TESIS
Que para acreditar la experiencia educativa de
Experiencia Recepcional
PRESENTA
Ethel Alejandra Bretón Velasco
Dr. Epifanio Morales Zárate
Asesor interno
M. en I.E Francisco Javier Pedreguera García
Co-asesor
Xalapa, Ver., Diciembre de 2014
10
Dedicatoria
A mi madre y a mi hijo.
Agradecimientos
A Dios, por darme las oportunidades que me ha dado en la vida.
Al Dr. Epifanio por brindarme la oportunidad, el apoyo y la paciencia para la
finalización de este trabajo.
Al Mtro. Samuel por abrirme las puertas del laboratorio y apoyarme cada vez que lo
necesitaba.
A la Mtra. Sandra Rocha, por su apoyo no solo académico sino personal, por
brindarme su apoyo y mostrarme lo mejor de su persona.
A mi madre, por también ser mi padre; por no claudicar, falsear o dudar ni un solo
día en tu vida. Gracias por enseñarme que a pesar de los altibajos de la vida uno
siempre debe salir adelante. Eres una gran persona.
A mi hijo, por darme la fuerza e inspiración diaria para seguir con mis sueños.
A mis abuelos maternos, porque sin ellos no tendría los grandes ejemplos familiares
que tengo. Por su apoyo, amor y grandes enseñanzas.
A Javier, por apoyarme en los malabares de la vida diaria. Te amo.
A mi familia, por siempre brindarnos ese apoyo incondicional.
A mis amigos, que siempre estuvieron conmigo en las buenas y en las malas, por
hacer este pasaje de mi vida inolvidable y divertido.
A mis compañeros, por hacer amena la estancia en esta universidad.
11
ÍNDICE
Introducción ..................................................................................................... 1
Capítulo 1. Antecedentes
1.1 Lactosuero ................................................................................................... 3
1.1.1. Clasificación de los lactosueros ......................................................... 4
1.1.2. Lactosuero ácido como contaminante................................................ 5
1.1.3. Usos y aplicaciones del lactosuero .................................................... 6
1.2. Detrito vacuno ............................................................................................. 7
1.2.1. Detrito vacuno como contaminante .................................................... 8
1.3. Producción de biogás a partir de lactosuero ............................................. 10
1.4. Modelamiento matemático ........................................................................ 12
Planteamiento del problema ............................................................................. 19
Justificación ...................................................................................................... 19
Objetivos .......................................................................................................... 20
Capítulo 2. Marco teórico
2.1. Digestión anaerobia .................................................................................. 21
2.1.1 Etapas de la digestión anaerobia ...................................................... 21
2.2. Parámetros de operación del proceso de digestión anaerobia.................. 25
2.3. Parámetros de control del proceso de digestión anaerobia....................... 26
2.4. Co-digestión anaerobia ............................................................................. 28
2.5. Modelado de reactores biológicos ............................................................. 30
2.5.1. Clasificación y aplicaciones ............................................................. 30
2.6. Fenómenos de transporte y reacción ........................................................ 35
2.6.1. Fenómenos de transporte en bioreactores heterogéneos................ 36
2.6.2. Fenómenos de transporte en bioreactores pseudohomogéneos ..... 39
2.7. Ecuación de diseño ................................................................................... 39
2.7.1 Cinética de reacción.......................................................................... 40
12
Capítulo 3. Desarrollo de modelos matemáticos
3.1. Modelos matemáticos para sistemas pseudohomogéneos ....................... 42
3.1.1. Reactores por lotes .......................................................................... 43
3.1.1.1. Reactores enzimáticos ....................................................... 44
3.1.1.2. Reactores con microorganismos ........................................ 45
3.1.2. Reactores continuos de tanque agitado ........................................... 46
3.1.2.1 Reactores enzimáticos ........................................................ 48
3.1.2.2. Reactores con microorganismos ........................................ 48
3.1.3. Reactores tubulares flujo pistón ....................................................... 49
3.1.3.1. Reactores enzimáticos ....................................................... 50
3.1.3.2. Reactores con microorganismos ........................................ 51
3.2. Modelos matemáticos para sistemas heterogéneos ................................. 52
3.2.1 Consideraciones básicas .................................................................. 52
3.2.2. Reactores por lotes .......................................................................... 56
3.2.2.1. Balance de materia para la fase líquida ............................. 56
3.2.2.2. Balance de materia para la fase sólida ............................... 56
3.2.2.3. Condiciones de frontera...................................................... 57
3.2.2.4. Reactores enzimáticos ....................................................... 58
3.2.2.5. Reactores con microorganismos ........................................ 59
3.2.3. Reactores continuos de tanque agitado ........................................... 61
3.2.3.1. Reactores enzimáticos ....................................................... 61
3.2.3.2. Reactores con microorganismos ........................................ 62
3.2.4. Reactores tubulares de flujo pistón .................................................. 63
3.2.4.1. Reactores enzimáticos ....................................................... 64
3.2.4.2. Reactores con microorganismos ........................................ 65
Capítulo 4. Discusión de los modelos
4.1. Comparación entre el modelo pseudohomogéneo y el modelo heterogéneo.
......................................................................................................................... 67
13
4.2. Relación entre los parámetros de los sistemas homogéneos y los
heterogéneos ............................................................................................. 68
4.3. Análisis de los fenómenos de transporte y reacción ................................. 70
Conclusiones .................................................................................................. 78
Bibliografía...................................................................................................... 79
14
Lista de Tablas
Tabla 1.1
Composición promedio de los lactosueros dulces y ácidos
4
derivados de la elaboración de quesos.
Tabla 1.2
Tabla 1.3
Tabla 1.4
Composición química (%) del estiércol de vaca lechera.
Modelos para crecimiento bacteriano
Modelos para crecimiento bacteriano incluyendo inhibición por
7
16
16
sustratos.
Tabla 1.5
Modelos para crecimiento bacteriano incluyendo inhibición por
17
productos.
Tabla 1.6
Influencia del valor del pH en el crecimiento bacteriano.
17
Tabla 2.1
Características de las bacterias hidrofílicas
23
Tabla 2.2
Características de las bacterias acidogénicas.
23
Tabla 2.3
Características de las bacterias acetogénicas.
24
15
Tabla 2.4
Características de las bacterias metanogénicas.
24
Tabla 2.5
Relación Temperatura-TRH
26
Tabla 2.6
Tratamiento de lactosuero por co-digestión anaerobia.
29
Tabla 2.7
Aplicaciones más comunes en los reactores biológicos en
34
Ingeniería Ambiental.
Lista de Figuras
Figura 2.1
Etapas de la biodigestión anaerobia
22
Figura 2.2
Bioreactores heterogéneos.
36
Figura 2.3
Fases presentes en un reactor heterogéneo.
37
Figura 2.4
Proceso de transporte y reacción en la partícula sólida con 38
microorganismos.
Figura 3.1
Reactor por lotes.
43
16
Figura 3.2
Reactor de tanque agitado con microorganismos suspendidos.
47
Figura 3.3
Reactor tubular de flujo pistón.
49
Figura 3.4
Elemento diferencial para realizar el balance de materia.
49
Figura 3.5
Reactor heterogéneo compuesto por una fase fluída y partículas 52
que contienen enzimas o microorganismos.
Figura 2.5
Contribuciones de entradas y salidas para el balance de materia 53
para la fase fluida en un reactor heterogéneo.
Figura 2.6
Relación entre las concentraciones en la superficie de la 54
partícula tanto del lado del fluido como del lado de la partícula.
Figura 2.7
Aplicación del balance de materia sobre la interfase.
55
Figura 4.1
Concentración de sustrato en la fase líquida U sL como una 74
función del número de Biot ( Bi s ) considerando  s  0.1,   0.1
Figura 4.2
Concentración de sustrato en la fase líquida U sL como una
75
función del número de Biot (  s ) considerando Bi s  1,   0.1
17
Figura 4.3
Concentración de sustrato en la fase líquida U sL como una
76
función del número de  considerando Bi s  1,  s  1
Figura 4.4
Concentración de sustrato en la fase líquida U sL como una
77
función del número de Biot (  s ) considerando Bi s  1,   0.1
18
RESUMEN
En este trabajo se plantearon modelos matemáticos para describir la
producción de biogás a partir de lactosuero mediante digestión anaerobia. Los
modelos se derivaron a partir de los principios básicos de balances de materia y de
fenómenos de transporte. Los desarrollos se hicieron para los tres tipos básicos de
reactores (lotes, tanque agitado y tubular) considerando sistemas tanto
pseudohomogéneo como heterogéneos. La característica básica de los reactores
pseudohomogéneo es que se desprecia el carácter multifásico del sistema y el
proceso es caracterizado por una sola concentración representativa. En cambio en
los reactores heterogéneos se plantean ecuaciones para cada una de las fases
involucradas. Además se consideró si las reacciones están catalizadas por enzimas
o si el reactor se inocula con microorganismos. Estos modelos son adecuados para
analizar el efecto de las condiciones de operación (temperatura, agitación, pH,
inhibición) y para determinar la influencia de los fenómenos de transporte y de
reacción.
19
INTRODUCCIÓN
En el municipio de Miahuatlán, Ver., se producen aproximadamente 35000
litros diarios de lactosuero, el cual es un líquido residual del proceso de elaboración
de quesos que tiene una alta carga orgánica y que se arroja a los cuerpos de agua
sin ningún tratamiento, originando un grave problema de contaminación. Este
problema de contaminación no sólo es con respecto al agua sino también con
respecto al aire si se considera que las excretas del ganado vacuno generan
grandes cantidades de gases de efecto invernadero que son arrojadas a la
atmósfera. A pesar de que se han propuesto diversas alternativas para solucionar
estos problemas de contaminación ambiental, aún persisten y por otro lado, aunque
el lactosuero es un producto que tiene diversas aplicaciones, en la mayor parte de
los casos los altos costos de inversión y de operación han hecho inviables las
propuestas.
Sin embargo, por otro lado, las características propias del lactosuero hacen
que su tratamiento en humedales por ejemplo, sea un proceso inestable y difícil de
operar, una opción de gran potencial para el aprovechamiento del lactosuero y en
consecuencia para disminuir su impacto ambiental, es utilizarlo como sustrato para
la producción de biogás por digestión anaerobia. Las características del lactosuero,
básicamente su alto contenido de lactosa, lo hacen un sustrato adecuado, sin
embargo, su tendencia a acidificar rápidamente es un problema importante.
En este sentido, el modelamiento matemático del proceso es una
herramienta útil para llevar a cabo el análisis de proceso y determinar el efecto de
las variables que influyen el proceso como la carga orgánica, la temperatura, el pH,
la agitación, el tipo de sustrato, etc. En la literatura se pueden encontrar diversos
modelos para este proceso; algunos modelos son simples y se utilizan básicamente
para determinar parámetros cinéticos; otros son demasiado complejos y requieren
de una gran cantidad de datos que deben ser determinados experimentalmente.
1
En este trabajo se plantearon modelos matemáticos para describir el proceso
de producción de biogás a partir de lactosuero bajo la premisa de una derivación no
complicada, basada en balances de materia y fenómenos de transporte, para
obtener ecuaciones en las cuales sea claro el significado físico de cada uno de los
términos que las componen y que permitan su fácil manipulación y aplicación a
diferentes situaciones. Además los modelos desarrollados no sólo se aplican al caso
del lactosuero, sino que son útiles para cualquier proceso de degradación biológica
de contaminantes (lagunas de aireación, humedales, lodos activados, procesos con
membranas, etc.).
2
CAPITULO1
ANTECEDENTES
El Municipio de Miahuatlán se encuentra ubicado en la zona montañosa
central de Veracruz a una altura de 1800 m sobre el nivel del mar. Limita al norte
con Landero y Coss, al este con Acatlán, al sur con Naolinco y al oeste con Tonayán.
Tiene una superficie de 29.4 km2 y una población de 4429 habitantes (INEGI, 2009).
La principal actividad económica en Miahuatlán es el procesamiento de la
leche para la obtención de queso y otros productos lácteos, lo que tiene como
resultado la generación de grandes cantidades de lactosuero como subproducto.
Diariamente en Miahuatlán se procesan poco más de 40,000 litros de leche (Seba,
2013). Se estima que por cada 10 litros de leche de vaca se pueden producir de 1
a 2 kg de queso y de 8 a 9 litros del suero, esto quiere decir que aproximadamente
se producen diariamente entre 32,000 y 36,000 litros de lactosuero, los cuales en
su mayoría son arrojados al drenaje.
1.1. Lactosuero
El lactosuero es un subproducto con gran potencial contaminante, generado
por la industria láctea. Es un líquido que se obtiene en el proceso de obtención del
queso al separar la cuajada (caseína) y la grasa. Sus principales componentes son
lactosa, proteína y algunos minerales (Guerrero y col., 2010).
3
1.1.1 Clasificación de los lactosueros
El lactosuero puede ser clasificado como ácido o dulce, según las
características fisicoquímicas que presente de acuerdo al proceso y al tipo de
materia prima con que se trabaje.
Suero ácido
El lactosuero ácido se obtiene cuando el coágulo se forma por acidificación
(Guerrero y col., 2010). En este grupo se encuentran los quesos que han sido
fabricados de pasta blanda, se hacen a partir de leche de vaca y/o de cabra y su pH
es menor a 4.5 (Callejas y col., 2011).
Suero dulce
El lactosuero dulce se obtiene cuando se realiza la coagulación enzimática
(Guerrero y col., 2010). Este suero proviene de la fabricación de quesos de pasta
cocida y prensada (vaca) y quesos de ovejas; tiene un pH mayor a 6 (Callejas y col.,
2011).
En la Tabla 1.1, se especifican y comparan las principales características de
los lactosueros dulce y el ácido.
Tabla1.1. Composición promedio de los lactosueros dulces y ácidos derivados de la
elaboración de quesos (Callejas y col., 2010).
Materia seca (MS)
Lactosa
Grasa Bruta
Proteína Bruta
Cenizas
Calcio
Fósforo (Fosfato g/L)
Potasio
Cloruros
Ácido láctico
pH
Lactosueros dulces
(g/kg de lactosuero).
55 - 75
40 - 50
0–5
9 – 14
4–6
0.4 - 0.6
0.4 – 0.7 (1.0 – 3.0)
1.4 – 1.6
2.0 – 2.2
0 – 0.3
>6
Lactosueros ácidos
(g/kg de lactosuero).
55 - 65
40 - 60
0-5
7 - 12
6-8
1.2 – 1.4
0.5 – 0.8 (2.0 – 4.5)
1.4 – 1.6
2.0 – 2.2
7 –8
<4.5
4
1.1.2. Lactosuero ácido como contaminante
El lactosuero ácido, debido a su contenido de materia orgánica y su grado de
acidez, es un sustrato con un gran potencial contaminante si no es manejado o se
le da un tratamiento adecuado. Su disposición en el suelo provoca la disminución
del rendimiento de las cosechas y la posible lixiviación hacia los mantos acuíferos,
convirtiéndose en un riesgo para la salud.
Las proteínas, grasa, lactosa y minerales hacen que su DBO y DQO tengan
valores muy altos (40,000 – 50,000 mg/L) (Seba, 2013; Parra, 2010); esto causa
efectos nocivos como: exceso en el consumo de oxígeno, eutrofización, toxicidad
en cuerpos de agua e impermeabilización en suelos (Córdoba, 2013). Los
lactosueros contienen nitrógeno soluble en agua, el cual es arrastrado hasta los
mantos freáticos y convirtiéndose en un peligro para la salud de los animales y
humanos (Valencia y Ramírez, 2009).
El lactosuero que se produce en Miahuatlán es del tipo ácido y es el principal
contaminante del municipio ya que prácticamente se descarga de forma directa sin
ningún tratamiento previo al río Naolinco y mantos acuíferos. Lo anterior provoca un
problema grave de contaminación debido a que los residuos contienen grandes
cantidades de carga orgánica, lo que implica que para su degradación se requiera
del oxígeno presente en el agua del río, lo que conlleva a que se vea afectada la
calidad del agua y por consecuencia hay afectaciones a la población y a las
especies vegetales y animales que viven de ella. Si se toma en cuenta que 100 L
de suero equivalen, desde un punto de vista de contaminantes, a 14 m 3 de aguas
negras (Comino, 2009), entonces en Miahuatlán, lo vertido al rio podría ser
equivalente a 5040 m3 diarios de aguas negras.
De acuerdo a lo antes mencionado, la falta de tratamientos para las aguas
residuales lácteas y las descargas directas de las industrias productoras de quesos
de la localidad de Miahuatlán a la microcuenca del río Naolinco ha provocado un
deterioro en la calidad de este cuerpo de agua, generación de malos olores, la
5
disminución de la transparencia, la degradación del ecosistema acuático y
problemas a la salud de la población. Todo lo anterior hace imperativo la búsqueda
e implementación de procesos que permitan el aprovechamiento del lactosuero para
evitar que sea arrojado al ambiente con las consecuencias que ya se han
puntualizado.
1.1.3. Usos y aplicaciones del lactosuero
Debido a las características del lactosuero, existe una amplia lista de usos y
aplicaciones que han sido investigados, evaluados y aplicados para la estabilización
de la materia orgánica, su aprovechamiento y reutilización en diferentes sectores
(Prazeres y col., 2012).
Sector alimentario
Sin ningún tratamiento previo, el lactosuero, puede ser suministrado en las
aguas que beben los animales de granja y también puede ser utilizado como
fertilizante agrícola pero con el inconveniente de que deja depósitos de alto
contenido salino (González, 1996).
Condensado o en polvo, la calidad se mantiene por mayor tiempo, se facilita
la manipulación y el transporte. En mezcla con melaza y harina de soya puede ser
utilizada en bajas cantidades como alimento para los humanos. Se ha reportado su
uso también en la formulación de leches reconstituidas, productos cárnicos,
panadería, confitería, horneados, bebidas, derivados lácteos, pastas y quesos
procesados (Valencia, 2008;Parzanese, 2013; Parra,2008;Vela, 2011).
También es posible la obtención de lactosa que es utilizada como
complemento en leches infantiles y como excipiente en productos farmacéuticos
(recubrimiento de medicamentos) (González, 1996; Quintana, 2011); así como en
alimentos dietéticos y dulces (Parzanese, 2013).
6
Sector industrial
El lactosuero como materia prima en el sector industrial, destaca
principalmente en la producción de 2-3, butanediol, exopolisacáridos,glicerol, y
ácidos orgánicos como el acético, láctico y propionico. Estas sustancias se obtienen
a partir de la fermentación (González, 2012; Parra, 2008).
Sector energético
A partir de la fermentación del lactosuero se puede obtener etanol
(Guimaraes y col, 2012; González, 2012). Este proceso fermentativo origina un
rendimiento de etanol en un rango de 75-85% del valor teórico, tomando en cuenta
que por cada 0.538 kg de etanol se necesita de 1 kg de lactosa metabolizada (Parra,
2008).
Debido a su alto contenido de lactosa, el lactosuero también representa un
enorme potencial para la producción de biogás por digestión anaerobia con algún
tipo de detrito. (Viquez, 2012).
1.2 Detrito vacuno
El estiércol es un subproducto inevitable de la producción de carne y leche
destinados al consumo humano y. Los grande volúmenes de estiércol bovino
generados diariamente tienen un importante impacto ambiental y económico
relacionado con los costos de traslado y almacenamiento (Weiss y St-Pierre, 2011).
En la Tabla 1.2, se presenta la composición química de las excretas bovinas en
base húmeda.
Tabla 1.2 Composición química (%) del estiércol de vaca lechera (García y col., 2009).
Materia
Nitrógeno Fósforo Potasio Calcio Magnesio Humedad pH
Orgánica
36.1
1.51
1.20
1.51
3.21
0.53
25.5
7.1
7
Generalmente, el estiércol bovino posee una relación carbono nitrógeno
(C/N) de 18 y un porcentaje de carbono (C) de 38% (Del Pino, 2009). La
composición química en cuanto a cantidad de carbono, nitrógeno y fósforo, y la
relación entre estos tres elementos, hacen del estiércol bovino un sustrato con gran
potencial energético y capacidad de reproducción microbiana.
Por otra parte, el valor casi neutro del estiércol bovino, lo hace un excelente
sustrato para ser mezclado con otros con pH ácido o alcalino, estabilizando así el
pH, factor de vital importancia para evitar la inhibición de determinados procesos
biológicos sensibles a valores distintos a la neutralidad (pH=7), tal como sucede con
la digestión anaerobia, particularmente en la metanogénesis.
1.2.1 Detrito vacuno como contaminante
El estiércol generado en los agro-ecosistemas ganaderos puede provocar
impactos ambientales negativos si no existe un control en el almacenamiento,
transporte o la aplicación, debido a la emisión de gases contaminantes hacia la
atmósfera y la acumulación de micro y macro nutrientes en el suelo y en los cuerpos
hídricos superficiales (Pinos y col., 2012).
El potencial contaminante de los residuos ganaderos viene determinado por
la materia orgánica, nitrógeno, fósforo, potasio y metales pesados, particularmente
cobre. Su uso inapropiado puede crear problemas tales como malos olores,
producción de nitratos y otros elementos contaminantes de las tierras y cuerpos de
agua. Por otro lado, los residuos ganaderos son portadores de poblaciones
microbianas que inciden negativamente en la salud humana y animal; ya que están
presentes bacterias, virus y hongos (Rodríguez, 2002).
La contaminación de la atmósfera provocada por el sector agropecuario está
compuesta principalmente por las emisiones de metano (CH4) y óxido nitroso (N2O),
provenientes en su mayoría de actividades pecuarias, tales como la fermentación
entérica y manejo de estiércol. La mayor parte de la contaminación por amoniaco
8
(NH3) de origen antropogénico, está dada por actividades pecuarias, excretas
almacenadas y aplicadas en la agricultura (Pérez, 2008).
En los últimos años se ha dado la intervención de un gran número de
organizaciones públicas para dar solución a los problemas de contaminación
presentes en el Municipio de Miahuatlán, Veracruz. En el 2010, la Universidad
Veracruzana, en colaboración con el Municipio de Miahuatlán, el COVECYT y el
CONACYT propuso implementar el “Programa para la restauración integral de la
microcuenca del río Naolinco, Veracruz”, que integra siete líneas de acción:
recuperación ambiental de la microcuenca; conservación y reforestación;
saneamiento de los recursos fluviales de la microcuenca; tratamiento de aguas
residuales de queserías de Miahuatlán; proyectos productivos sostenibles; cultura y
conciencia ambiental, y el fortalecimiento de grupos civiles y sociales locales
(Universo, 2010).
Simultáneamente, en marzo del 2010 las autoridades de Naolinco y
Miahuatlán firmaron un convenio con la Comisión de Agua del Estado de Veracruz
(CAEV) y con la Comisión Nacional del Agua (CONAGUA), en el que se acordó la
instalación de plantas de tratamiento, las cuales a la fecha, aún no han sido
construidas (Heraldo de Xalapa, 2011).
Seba (2013), realizó una evaluación de un sistema lagunar in situ a escala
piloto para el tratamiento de aguas residuales lácteas del municipio. Este sistema
de tratamiento constó de una trampa para grasas, una laguna aerobia, una laguna
anaerobia y, por último, un humedal con alcatraces. Aunque los humedales son una
opción económica y eficiente para tratar estas aguas, el proceso requiere de un
pretratamiento o dilución de los efluentes para obtener resultados adecuados
(Carvalho y col., 2013). La eliminación de materia orgánica puede ser aumentada si
previamente a la digestión anaerobia se aplica algún proceso fisicoquímico como
floculación, coagulación, precipitación y oxidación (Carvalho y col., 2013; Tezcan y
col., 2014; Prazeres, 2013). Córdoba (2013) propuso una metodología alternativa
9
para la utilización de lactosuero como materia prima en la elaboración de dulce de
leche, donde concluyen que el lactosuero dulce es una buena materia prima en este
proceso.
En la actualidad, el tratamiento de los lactosueros, principalmente por la alta
carga orgánica y acidez que posee, sigue siendo un problema importante para el
municipio de Miahuatlán. La falta de una técnica establecida que dé solución a la
contaminación por dicho sustrato, la ineficiencia de los programas ya establecidos
y la falta de programas que fomenten y apoyen a los productores, son evidentes.
1.3. Producción de biogás a partir de lactosuero
Aunque en Miahuatlán se producen entre 32000 y 36000 litros diarios de
lactosuero, debe considerarse que esta es la cantidad total producida por diversos
productores que en realidad producen, de forma individual, entre 2700 y 7000 litros
(Seba, 2013). En el caso de bajos volúmenes, el empleo de tecnologías de
recuperación de su valor, como es la extracción de proteína, recuperación de
lactosa o secado del suero, para otros usos agroindustriales, resulta difícil por los
costos de inversión (Saddoud, 2007, Aspasia, 2012). El uso más común en
queseras de menor tamaño es para alimentación animal (Kalyuzhnyi, 1997).
La fermentación anaerobia ha presentado resultados interesantes en el
tratamiento de lactosueros para disminuir su carga orgánica (Víquez, 2012; Seba
2013) y debido a su composición (lactosa, proteínas, grasas, y minerales) es una
opción viable para la producción de biogás. Teóricamente se producen 0.35 m3 de
CH4 por cada kg de DQO (Víquez, 2012). En el caso de Miahuatlán a partir de 36000
L de suero producido diariamente se podrían producir hasta 650 m 3 de metano (970
kg de biogás) lo que es equivalente a 400 litros de gasolina. Por otro lado, si se
considera que una vaca pueda producir 15 litros de leche diarios, entonces para
generar 36000 L de suero se requieren 2600 vacas que pueden producir hasta
130000 kg de excretas (Bavera, 2006) que pueden ser aprovechadas en la
10
biodigestión. Finalmente, además del biogás se producirá un lodo estabilizado que
puede utilizarse como acondicionador del suelo y fertilizante.
Los datos anteriores indican que la producción de biogás a partir de
lactosuero puede impactar de forma favorable en los ingresos de los productores y
en la disminución del impacto ambiental. Sin embargo, antes de invertir en un
biodigestor que convierta suero en energía, es necesario tomar en consideración
algunos aspectos sobre la naturaleza del lactosuero y su impacto sobre el procesos
de digestión anaerobia (Víquez, 2012).
Bajo condiciones anaerobias, la lactosa es rápidamente convertida en
pequeñas cadenas de ácidos grasos y debido a que el lactosuero tiene poca o nula
capacidad buffer, el pH cae rápidamente inhibiendo la actividad de las bacterias
metanogénicas lo que produce bajos rendimientos de gas con bajos contenidos de
metano. Para mantener un nivel óptimo de pH se han propuesto diversas
alternativas como la implementación de co-digestión del lactosuero con sustratos
que tengan suficiente capacidad buffer (Jasko, 2011).
Un elemento fundamental del proceso es el tipo de excreta utilizada.
Tradicionalmente se utiliza detrito vacuno, sin embargo, la excreta porcina puede
producir una mayor cantidad de biogás debido a su mayor contenido de lípidos y
bajo contenido de lignina (Viquez, 2012). Lo anterior no implica que se deba
agregar, por ejemplo, aceites en alta concentración porque esto podría favorecer la
formación de ácidos grasos volátiles lo que puede acidificar el sistema.
El proceso se puede llevar a cabo en reactores por lotes, en tanque continuos
de mezcla completa y en reactores de lecho empacado (Kalyuzhnyi, 1997; Saddoud,
2007; Jasko, 2011; Arroja y col., 2012; Aspasia 2012) y en todos los casos se han
obtenido altos rendimientos de biogás con respecto a la cantidad de lactosuero
alimentado. Los reactores por lotes se han empleado básicamente para estudios de
tratabilidad y para la determinación de parámetros cinéticos (Ergüden y col., 2001;
11
Yang y col., 2007; Kavacik y Tapaloglu, 2010; Comino y col., 2012, Bertin y col.,
2013; Diamantis y col., 2014; Gómez-Romero y col., 2014). Los rectores continuos
de mezcla completa tipo tanque también han sido utilizados en estudios de
tratabilidad, para la determinación de parámetros cinéticos y para analizar el efecto
de algunos parámetros de operación como el tiempo de retención (Yang y col.,
2003; Antonopoulou y col., 2008; Azbar y col., 2009; Bertin y col., 2013; Diamantis
y col., 2014; Hagen y col, 2014; Dareioti y col., 2015). Los arreglos de dos reactores
continuos en serie se han estudiado como una buena opción para evitar el problema
de que los ácidos grasos producidos y los microorganismos metanogénicos
estuvieran juntos como sucede en sistemas de un solo reactor (Aspasia, 2012,
Diamantis, y col., 2014, Dareioti y col., 2015, Rico y col., 2105). Los reactores
empacados de lecho empacado, han sido poco empleados para llevar a cabo
estudios de biodigestión de lactosuero (Patel y Madamwar, 1998), aunque si se ha
utilizado para estudiar la biodigestión anaerobia de otro tipo de residuos.
Finalmente, los reactores anaerobios de flujo ascendente (UASB) han sido
ampliamente empleados en el proceso de digestión anaerobia de lactosuero ya que
son capaces de tratar grandes volúmenes en menor tiempo (Ergüden y col., 2001;
Diamantis y col., 2014; Rico y col., 2015)
1.4. Modelamiento matemático
Como ya ha sido establecido, la producción de biogás a partir del lactosuero
representa una buena opción para enfrentar el problema de contaminación en la
zona de Miahuatlán ya que además de evitar su vertido en el rio, se podría contar
con una fuente de energía renovable que puede sustituir al gas natural y con ello se
puede disminuir la emisión de gases de efecto invernadero. Lo anterior puede ser
aún más significativo si se toma en cuenta el consumo de detrito vacuno en la
biodigestión del lactosuero.
12
Sin embargo, el uso de biodigestores para el tratamiento y aprovechamiento
del lactosuero no es común a gran escala debido a las bajas tasas de reacción y a
la inestabilidad del proceso debido a su alta carga orgánica, su baja alcalinidad, su
tendencia a acidificar con rapidez y el incremento de la viscosidad, entre otros
factores, lo que hace que el diseño y operación del biodigestor sea una tarea difícil
(Ergüden y col., 2001, Jasko, 2011; Aspasia, 2012). Para que el proceso sea
eficiente a gran escala es necesario contar con un diseño adecuado del bioreactor,
lo cual se verá reflejado en la inversión y los costos de operación. Lo anterior implica
el análisis profundo y detallado de los diversos factores de los cuales depende el
proceso como la relación de mezcla de lactosuero con excretas bovinas para su codigestión, el efecto de la temperatura, la presión, el grado de agitación y el pH, así
como aspectos fundamentales sobre los procesos de fenómenos de transporte y
reacción.
Para llevar a cabo lo anterior, el modelamiento matemático del proceso es
una herramienta fundamental para

facilitar la comprensión del proceso

ayudar en el diseño de nuevos procesos o en el mejoramiento de los existentes

ayudar en la comparación y selección de sustratos y mezclas de sustrato
apropiados

optimizar el funcionamiento de los procesos

realizar un análisis económico y ecológico
Aunque desde hace casi 30 años se han desarrollado modelos para la
digestión anaeróbica de sustancias orgánicas, el diseño de los bioreactores todavía
enfrenta problemas de operación, fenómenos de transporte y escalamiento y aún
es necesario entender las complejas interrelaciones de los diferentes parámetros y
su influencia en la biodigestión, lo que podría resultar en un proceso optimizado, o
simplemente para analizar la naturaleza biológica, química y física del proceso. El
modelo matemático ayudará en el diseño de experimentos para cuantificar las
13
variables necesarias para llevar a cabo lo anterior y es necesario para el desarrollo
de la tecnología adecuada para obtener productos de alto valor agregado..
Existe una gran variedad de modelos matemáticos para describir procesos
como el tratamiento de aguas residuales en humedales, biofiltros, filtros de lecho
escurrido y lagunas de aireación; la producción de materias primas y la producción
de biocombustibles a partir de sustratos de diversos orígenes (Revah y Ortiz, 2004;
Abdullaha, 2009; Robinson y Nigam, 2003). El gran número de parámetros
involucrados en el proceso de biodigestión complica el desarrollo de un modelo
entendible y útil, sin embargo, de acuerdo con Levenspiel (2002), inicialmente se
debe plantear el modelo más simple y posteriormente se debe ir agregando
complejidad conforme se vaya requiriendo. De acuerdo con Mata-Alvarez y col.
(2014), a pesar de la importancia de la codigestión, sólo en los últimos años se ha
observado un repunte en la publicación de modelos matemáticos y su aplicación en
la simulación del proceso con el fin de analizar la influencia de las condiciones de
operación, de los fenómenos de transporte y la reacción en el proceso de
biodigestión.
Con respecto al modelamiento del proceso de biodigestión en general, el
modelo ADM1 (Batstone, 2002) es un modelo complejo que es considerado como
el más completo para el análisis del proceso de digestión anaerobia. Es un modelo
homogéneo que, aunque inicialmente fue planteado sólo para la digestión de un
solo sustrato, puede ser modificado para procesos de codigestión (Ariso y col.,
2011). La implementación de este modelo requiere de una gran cantidad de
parámetros que deben ser determinados experimentalmente. Por otro lado, también
se han reportado modelos matemáticos menos complejos para el proceso en
reactores homogéneos por lotes, CSTR y UASB (Lubkena y col., 2007; Schön,
2009; Srisertpol y col., 2010; Colussi, 2012, Banerjee y Amaleshsirkar, 2012; Yu y
col., 2013, Parashar y col., 2014) y también para el proceso en reactores
heterogéneos (Leitao, 1996; Buffiere y col., 1998; Real-Olvera y col., 2009; Seddek
y col., 2013, Yu y col., 2013). Lyberatos y Skiadas (1999), Ergüder y col. (2001),
14
Saravana y col. (2006) y Yu y col. (2013), presentan amplias revisiones sobre los
diversos modelos reportados en la literatura tanto para reactores homogéneos como
reactores heterogéneos.
Con respecto al modelamiento matemático del proceso de digestión
anaerobia de lactosuero, los modelos matemáticos reportados en la literatura son
realmente pocos. Wang y Bajpai (1997) presentan el modelo de un CSTR
homogéneo y cuya principal característica es el planteamiento de expresiones
cinéticas complejas obtenidas a partir de lo denominan modelos cibernéticos
basados en las rutas metabólicas. Cinar y col., (2006) desarrollaron un modelo de
redes neuronales para un reactor sumergido de membrana. Este tipo de modelos
está basado en el análisis de bases de datos. La validación de este modelo con
datos experimentales demostró que era una herramienta robusta para analizar el
proceso. Gelegenis y Samarakou (2006) y Hublin y Zelic (2013) presentaron un
modelo homogéneo para un reactor por lotes que describe la codigestion de
lactosuero considerando la presencia de cinco tipos de bacterias y las diversas
etapas del proceso de digestión. La hidrólisis de lípidos, proteínas y celulosa fue
descrita mediante una cinética de primer orden; la fermentación de azúcar y
aminoácidos, la oxidación anaerobia de ácidos grasos y la acetogénesis y la
metanogénesis fueron descritas mediante cinéticas tipo Monod. El modelo fue
validado con datos experimentales. Agustriyanto y Fatmawati (2009) reportaron el
modelamiento de un CSTR homogéneo para la obtención de bioetanol
considerando inhibición por producto. Finalmente, el modelamiento de reactores por
lotes básicamente está relacionado con el desarrollo de estudios cinéticos,
(Najafpour y col., 2009; Aspasia y col., 2012).
Un aspecto fundamental en el planteamiento de los modelos matemáticos es
la cinética de reacción para el proceso global o para cada una de las etapas del
proceso. Gerber y Span (2008) presentan un análisis sobre la aplicación y
capacidades de diversos modelos cinéticos para tomar en cuenta el efecto del pH,
15
la temperatura y la inhibición. En las Tablas 1.3 a 1.6 se presentan dichas
expresiones
Tabla 1.3 Modelos para crecimiento bacteriano. (Gerber y Span, 2008).
S
   max 
Monod, 1949
KsS

Moser, 1958
Contois, 1959
Powell, 1967
Chen& Hashimoto, 1978
Bergter, 1983
Mitsdörffer, 1991
n
max 
S
n
KsS
S
1
  max 
K c  X 1
Kc X  S
S
(K  L  S ) 
4 L S 
   max 
 1  1 
2
2 L
( K  L  S ) 

S / Si
   max 
(1  K )  S
K
Si
S
   max 
 [1  exp(t / T )]
Ks  S
n
S
   max  n
n
S  (1  Kb  Gs  S )

max 
Tabla 1.4. Modelos para crecimiento bacteriano incluyendo el efecto de la
inhibición por sustrato. (Gerber y Span, 2008).
S
S
   max 
  max 
 Ki
Haldane, 1930
( S  K s )  (1  S / K i)
S  Ks S  Ki
Webb, 1963
   max 
   max 
Yano et al., 1966
S
n

i
(
S
/
)

S

1


K

i 
Ks
 i  1

   max 
Grant, 1967
Andrews, 1968
S  (1    S / K i )
(S  K s  S 2 / K i)
   max 
S
2
S  Ks S
Ki
1
S  Ki
  max 
1
S
1 K s 
S Ki
16
   max 
Aiba et al., 1968
   max 
Hill &Barth, 1977
S
 exp( S / K i )
Ks  S
S
S  K s  S / K i ,1  S  I / K i ,2
2


   max  1 SS 
Han &Levenspiel, 1988
n
*

S
S  K s  (1  S / S * )m
Tabla 1.5. Modelos para crecimiento bacteriano incluyendo inhibición por
productos (Gerber y Span, 2008).
Kp
S
   max 

Lerusalimsky, 1967
Ks  S K p  P
   max  K
Holzberg, et al., 1967
1
   max 
Aiba et al., 1968
 (P  K2 )
S
 exp   K  P 
Ks  S



S
a

P


   max, P  0 
Ks  S 
bP


S
   max  1 PP*  
S  K s  S 2 / Ki
Kp
Sn
   max 

n
Ks  S K p  Pm
Bazua&Wilke, 1977
Ghose y Tyagi, 1979
Moser, 1981 undBergter, 1983
S
 (1  K  P)
Ks  S
P
S
   max  (1  * )n 
P
S  K s  (1  P / P* )m

Dagley y Hinshelwood, 1983
Han y Levelspiel, 1988
Tabla 1.6. Influencia del valor del pH en el crecimiento bacteriano. (Gerber y Span,
2008).
  K0  K1  pH  K2  pH 2


 max

(1  OH / K H )  (1  OH  / KOH )
max( pH )

 max
1  K1 / H   K 2  H 
KH
   max 
KH  H 
17
   max 
KOH
KOH  OH 
En diversos modelos se ha sugerido que bajo ciertas circunstancias se
pueden considerar cinéticas de orden cero o de orden uno para las diversas etapas
del proceso (Saravanan, 2006; Gelegenis, 2006; Luo y col., 2012, Yu y col., 2013).
Es importante establecer que de acuerdo con Batstone (2006) el
modelamiento matemático del proceso de biodigestión es fundamental para el
diseño, análisis, operación y control del proceso, aspectos de los cuales dependen
los costos. Este autor recomienda el modelo ADM1 para cuestiones de análisis de
la operación y desarrollo de tecnología y puntualiza que para el diseño, es crítico el
modelamiento de los procesos que ocurren a nivel de partícula y de la hidráulica.
Por lo tanto, recomienda que la estructura del proceso a modelar sea simple (dos
etapas a lo más) pero el modelamiento de la hidráulica y de las partículas debe ser
lo más completo posible.
18
PLANTEAMIENTO DEL
PROBLEMA
La producción de lactosuero en la población de Miahuatlán ha generado un
grave problema de contaminación que requiere de soluciones urgentes. Aunque el
lactosuero se puede utilizar, por ejemplo, en la elaboración de productos
alimenticios de alto valor nutrimental, su utilización para la producción de biogás por
digestión anaerobia también tiene un gran potencial. Sin embargo, los fenómenos
involucrados requieren de herramientas que permitan un diseño más eficiente del
proceso que conduzca a tener bajos costos de operación y eficiencias altas de
eliminación del residuo y de producción de biogás. En este sentido, los modelos
matemáticos son una opción viable. Sin embargo,la mayor parte de los modelos
reportados en la literatura se enfocan en la determinación de las cinética, otros son
muy complejos con demasiados parámetros y en ningún caso se derivan de manera
rigurosa a partir de los principios básicos de balances de materia y fenómenos de
transporte.
JUSTIFICACIÓN
Contar con modelos matemáticos adecuados para describir el proceso de
digestión anaerobia de lactosuero para la producción de biogás, que permitan
analizar los procesos de transporte y reacción y que puedan ser una herramienta
poderosa para el diseño, operación, control y optimización y por consecuencia para
el desarrollo de la tecnología adecuada.
19
OBJETIVOS
Objetivo general
Plantear modelos matemáticos a partir de los principios básicos de balances de
materia y fenómenos de transporte para la descripción del proceso de producción
de biogás mediante digestión anaerobia y que permitan analizar el efecto de las
diversas variables involucradas.
Objetivos particulares

Plantear modelos matemáticos para la descripción del proceso de producción
de biogás en un sistema pseudohomogéneo.

Plantear modelos matemáticos para la descripción del proceso de producción
de biogás en un sistema heterogéneo.
20
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO
2.1. Digestión anaerobia
La digestión anaerobia es un proceso en donde las moléculas complejas de
la materia orgánica se estabilizan a moléculas más sencillas y es llevado a cabo por
microorganismos (bacterias) que se activan bajo condiciones anaeróbicas (en
ausencia de oxígeno). El proceso de digestión de la materia orgánica genera un gas
combustible rico en metano, llamado biogás y un residuo sólido valorizable, llamado
digestato. Es decir, permite la conversión de la materia orgánica (lípidos, glúcidos y
proteínas) en elementos simples (CH4, CO2, H2S y NH3) gracias a la acción de las
bacterias anaeróbicas (Delfosse, 2010).Entre los principales beneficios asociados
con la digestión anaerobia destacan:reducción significativa de malos olores,
mineralización, producción de energía renovable y reducción de gases de efecto
invernadero (IDAE, 2007).La digestión anaerobia, disminuye el potencial
contaminante de los excrementos de origen animal y humano, disminuyendo la
DQO y DBO hasta en un 90% (dependiendo de las condiciones de diseño y
operación).
2.1.1. Etapas de la digestión anaerobia
Los flujos de materiales pasan por muchos intermediarios y sus
transformaciones son generalmente agrupadas en cuatro fases: hidrolítica,
acidogénica, acetogénica y metanogénica (Figura 2.1); aunque existen autores que
toman la fase hidrolítica y acidogénica como una sola (Moletta, 1990); cada fase es
21
intervenida por bacterias particulares. Todas las moléculas que no son degradadas
para la producción de biogás y los residuos de estas reacciones son componentes
del digestato (Delfosse, 2010).
Figura 2.1 Etapas de la biodigestión anaerobia (Metcalf y Eddy, 1996)
Para hacer posibles algunas reacciones es necesaria la asociación sintrófica
de las bacterias acetogénicas y metanogénicas, creando agregados de bacterias de
estas diferentes poblaciones. La velocidad del proceso está limitada por la velocidad
de la etapa más lenta, la cual depende de la composición de cada residuo. Para
sustratos solubles, la fase limitante suele ser la metanogénesis y para los residuos
en que la materia orgánica está en forma de partículas, es la hidrólisis (IDAE, 2007).
Fase hidrolítica
En esta etapa ocurre la degradación de la materia orgánica compleja (lípidos,
polisacáridos y proteínas) en compuestos sencillos solubles (monómeros) por
enzimas extracelulares excretadas por bacterias fermentativas. Entre los principales
inhibidores del proceso se pueden destacar la concentración total de
22
ácidosgrasosvolátiles (AGV’s) y la concentración de oxígeno y nitrato, que afectan
a la población microbiana (Allen, 2010). En la Tabla 2.1 se resumen las
características básicas de las bacterias hidrolíticas.
Tabla 2.1 Características de las bacterias hidrolíticas(Delfosse, 2010).
Bacterias hidrolíticas
Características
Relativamente resistentes, tolerantes a
O2, productoras de exo-enzimas.
Rango óptimo de pH
4.5 – 6.3
Tiempo de división
Por hora (reproducción rápida).
Sensibilidad
Lignina (no degradable, retarda la
reacción).
Fase acidogénica
Los compuestos producidos en esta etapa experimentan la fermentación,
originando principalmente acetato, propionato, butirato y, en menor proporción
dióxido de carbono e hidrógeno (Walsh y col., 1988). Los principales inhibidores son
el hidrógeno y, en menor medida, el ácido acético junto con el pH (Allen, 2010).).
En la Tabla 2.2 se resumen las características básicas las bacterias acidogénicas.
Tabla 2.2 Características de las bacterias acidogénicas(Delfosse 2010).
Bacterias acidogénicas
Características
Bacterias sensibles al O2, participan en
general igualmente en la hidrólisis.
Rango óptimo de pH
4.5 – 6.3
Tiempo de división
Por hora (reproducción rápida).
Sensibilidad
H2S, NH3, sales, antibióticos.
Fase acetogénica
Las bacterias acetogénicas transforman los AGV’s y el H2 y CO2 en ácido
acético. En esta fase, participan dos tipos de bacterias:homoacetogénicas:
(consumen el H2 y CO2 para la formación de ácido acético) y acetogénicas: (que
producen acetato, dióxido de carbono e hidrógeno a partir de alcoholes, ácidos
grasos volátiles y compuestos aromáticos)
A pesar de que las bacterias acetogénicas producen H2, un exceso de este
resulta inhibitorio en su actividad, así como los ácidos grasos de cadena larga, el
23
pH y el propio ácido acético.Es indispensable la simbiosis de estas bacterias con
las consumidoras de H2 (metanogénicas) para garantizar una buena actividad
microbiana en el digestor. En la Tabla 2.3 se resumen las características básicas
las bacterias acetogénicas.
Tabla 2.3 Características de las bacterias acetogénicas(Delfosse 2010).
Bacterias acetogénicas
Características
Relativamente frágiles, sensibles a O2 y
productoras de H2.
Rango óptimo de pH
6.8 – 7.5
Tiempo de división
Por día (1-4 días; reproducción lenta).
Sensibilidad
H2 en exceso, H2S, NH3, sales,
antibióticos,
variaciones
de
temperatura.
Fase metanogénica
Última etapa de la degradación anaeróbica de la materia orgánica, realizada
por archeobacterias. Los sustratos como acetato, hidrógeno y dióxido de carbono
son convertidos a metano y agua. Intervienen dos tipos de bacterias: bacterias
metanogénicashidrogenofílicas (utilizan el hidrógeno producido para reducir el
dióxido de carbono a metano) y bacterias metanogénicasacetoclásticas:
(transforman acetato en metano). Estas últimas son responsables de hasta el 70%
de la producción de metano (Anzola y col., 2008). En la Tabla 2.4 se resumen las
características básicas las bacterias acetogénicas.
Tabla 2.4. Características de bacterias metanogénicas (Delfosse 2010).
Bacterias metanogénicas
Características
Arqueobacterias muy frágiles, muy
sensibles al O2, necesitan del Ni y
deben tener suficiente sustrato.
Rango óptimo de pH
6.8 – 7.5
Tiempo de división
Por día (5-15 días; reproducción lenta)
Sensibilidad
O2, variaciones de temperatura y pH,
Cu y sales.
24
La eficiencia para que se lleven a cabo todas las fases anteriormente
descritas para la digestión anaerobia, está regulada a partir de los parámetros de
control y operación del proceso.
2.2.Parámetros de operación del proceso de digestión anaerobia
Los parámetros de operación, son aquellos valores establecidos desde un
inicio, de las condiciones en las que estará trabajando el sistema de digestión
anaerobia. Entre los principales parámetros de operación destacan, la temperatura
dentro del sistema, el tiempo de retención hidráulico (TRH), la agitación y la carga
orgánica.
Temperatura
Para que se inicie el proceso se necesita una temperatura mínima de 4°C a
5°C y no se debe sobrepasar una máxima de alrededor de 70°C (Hilbert,s.f).El
reactor en el que se lleva a cabo la digestión anaerobia puede ser operado en tres
diferentes rangos de temperatura: psicrofílico (0 – 25°C), mesofílico (25 – 40°C) o
termofílico (<40°C).Los estudios demuestran que la digestión anaerobia en el rango
termofílico aumenta la velocidad de conversión (alta eficacia de eliminación de
sólidos orgánicos y de destrucción de organismos patógenos), reduciendo los
tiempos hidráulicos de retención y permitiendo altas velocidades de carga (ForsterCarneiro y col., 2007).
La mayoría de los digestores trabajan en condiciones mesofílicas y el proceso
se optimiza en el rango de 29°C y 36°C (Magaña y col., 2005; Indiverti y col., 2011).
El rango psicrofílico se considera poco viable debido al gran tamaño del reactor
necesario (Campos, 2001). Sin embargo, un estudio realizado en Tlaxcala donde
se utilizan como materia orgánica restos de la industria cunícola, demuestra que la
digestión anaerobia en condiciones psicrofílicas sí es viable (Martínez y col., 2011)
25
Agitación
Debe
mantenerse
homogenizado
el
contenido,
para
favorecer
la
transferencia de substrato a las bacterias o microorganismos, para mantener
concentraciones medias bajas de inhibidores y mantener una temperatura poco
variada en el volumen total del sistema.
Tiempo de retención hidráulica
Debe de ser exacto para que ocurra una eficiente producción de biogás y no
alcance un tiempo en el cual el reactor no presente actividad.El TRH está
influenciado principalmente por el tipo de sustrato y por la temperatura dentro del
digestor; a mayor temperatura, mayor velocidad y contenido de materia orgánica
degradada (Pedreguera, 2013). En la Tabla 2.5 se observa la relación aproximada
del TRH para cada régimen de temperatura:
Tabla 2.5 Relación temperatura – TRH. Citado por: (Predeguera, 2013) de (Ludwig, 1988).
Régimen
Psicrofílico
Mesofílico
Termofílico
THR
> 100 días
> 20 días
> 8 días
Carga orgánica
Se define como la cantidad de materia orgánica introducida en el digestor,
expresada normalmente en sólidos volátiles por unidad de volumen y tiempo (Agro
Waste).Es importante determinar la cantidad de materia orgánica que se cargará en
el digestor, de otra forma podría haber una desestabilización en el proceso (Veyna,
2007). Se debe encontrar un valor óptimo técnico/económico para cada instalación
y residuo a tratar (IDAE, 2007).
2.3. Parámetros de control del proceso de digestión anaerobia
Los parámetros de control son aquellos que deben considerarse y
mantenerse dentro de un rango bien establecido, principalmente para los que los
26
microorganismos dentro del caldo de fermentación trabajen adecuadamente para
que se lleve eficientemente el proceso sin que exista inhibición alguna. Los
principales parámetros de control se mencionarán y describirán a continuación.
pH
Haciendo énfasis en la fase metanogénica, que, como se mencionó
anteriormente, es la etapa en donde las bacterias son más sensibles al pH, este
debe ser mayor a 6. Se presentan problemas con valores menores de 6 y mayores
a 8.3. Debido a sus variaciones en el proceso originadas por las diferentes etapas
de la digestión anaerobia, es un parámetro que se debe monitorear y controlar
constantemente y mantenerse cerca de la neutralidad.El pH de un digestor
anaerobio está casi totalmente controlado por la asociación del H2CO3 y una base
fuerte, generalmente producto de la actividad de los AGVs y NH4+(Sanz, s.f).
Alcalinidad
Es un indicador de la capacidad que se tiene para neutralizar ácidos y es muy
útil en el control del pH. La medida de la alcalinidad se puede utilizar como
parámetro indicador de la estabilidad del proceso de degradación anaerobia.Es
recomendable una alcalinidad superior a 1.5 g/l CaCO3, para asegurar la capacidad
tampón y evitar la acidificación (IDAE,2007;Molina, 2007).
Relación Carbono / Nitrógeno (C:N)
El carbono y el nitrógeno son las principales fuentes de alimentación de las
bacterias metanogénicas. El carbono es utilizado como fuente de energía y el
nitrógeno para la formación de nuevas células (Magaña y col., 2006). La relación
óptima se considera en un rango de 20:1 a 30:1 (Veyna,2007). Cuando la relación
C/N es mayor a 35 el proceso se ralentiza por falta de nitrógeno disponible y las
bacterias deberán esperar la lisis por parte de ellas para poder disponer de
nitrógeno metabolizable de nuevo. Por el contrario, con una relación C/N menor de
8:1 se inhibe la actividad bacteriana debido a la formación de un excesivo contenido
de amonio (Backhus, s.f).
27
Ácidos grasos volátiles (AGV’s)
La concentración de ácidos volátiles puede llegar a acidificar el medio,
provocando un fallo en el proceso (Mosquera y col., 2012). Se clasifican como
AGV’s a los ácidos: acético, propiónico, i-butírico, n-butírico, i-valérico y n-valérico.
Son productos intermedios, provienen de la acidificación de hidratos de carbono y
otras moléculas (Molina, 2007).
2.4.Co-digestión anaerobia
Consiste en el tratamiento anaerobio conjunto de una mezcla homogénea
de 2 o más sustratos. Esta técnica brinda una mayor estabilidad en el proceso e
incrementa el potencial de producción de biogás (Bao y col., 2011).La principal
ventaja de la co-digestión está en aprovechar la sinergia de las mezclas y
compensar carencias de cada uno de los sustratos por separado; permite alcanzar
buenas producciones de biogás sin el detrimento de la eficacia del proceso
anaerobio (Oliva y Pereda, sf).El uso de un co-sustrato puede también ayudar a
establecer el contenido de agua requerida y contribuir con el efecto amortiguador
en el pH requerido en el sistema del proceso (Veyna, 2007).
Co-digestión anaerobia como tratamiento de los lactosueros
En el tratamiento del lactosuero, la co-digestión anaerobia en conjunto con
detrito vacuno es una buena opción debido a la buena complementariedad que
presentan estos sustratos; una de las principales características del estiércol bovino
es su potencial amortiguantedel pH, mismo que es muy necesario en el caso del
lactosuero ya que este presenta niveles de pH ácidos, lo que contribuye a la
inhibición del proceso. De la misma forma, el detrito bovino contiene los
microorganismos que llevan a cabo el proceso de digestión y producción de metano,
sin estos, el proceso simplemente no se llevaría a cabo. En la Tabla 2.6se presenta
un resumen del uso de la co-digestión anaerobia para el tratamiento del lactosuero.
28
Tabla 2.6. Tratamiento de lactosuero por co-digestión anaerobia
Tipo de
reactor
RAFA
Biodigestor
de dos
etapas
Batch
Biodigestor
tubular
Batch
Sistema de
dos etapas:
reactor de
lecho
empacado
flujo
ascendente
Batch y
fed-batch
Sistema de
dos etapas:
biofiltro
anaerobio y
reactor
UASB
Sustrato
Lodos
anaerobios
de PTAR y
lactosuero
Detrito
vacuno,
lactosuero
e inóculo
de digestor
batch
anaerobio
Barro
anaeróbico
extraído de
un tanque
Imhoff y
lactosuero
Estiércol de
vaca y
lactosuero
Desechos
lácticos y
estiércol de
cabra
Lactosuero
e inóculo
obtenido de
una planta
de biogás
Lactosuero,
estiércol de
vaca e
inóculo
bacteriano
Lodos
anaeróbico
s
granulados
de una
PTAR y
lactosuero
T (°C)
% de
remoción
DQO
TRH
(días)
pH
Biogás
producido
Fuente
15-22
85.65
2
7.31
-
Hernández
, 2005
-
-
53
7.4
64.7% de
metano
Jasko,
2011
Rodríguez,
R.
32-35
97
73
6.5
De 14 a 20
L/d con un
contenido
de metano
del 49-76%
-
76.6
16
-
8700 L/d
Víquez,
2012
35
-
15
7
82% de
metano
Magaña y
col., 2011
Patil y col.,
2012
-
96.5
12
66.5
Aproximada
mente 420
ml con un
contenido
de metano
del 52%
35
74
55
7.43
1919.7 L
50% de
metano
Comino y
col., (2009)
15-20
80
70
7
-
Parra,
2010
29
Observando los resultados reportados en los trabajos realizados, pueden
apreciarse altos porcentajes de remoción de DQO y una buena producción de
biogás cuyo contenido en metano permite su uso como fuente de energía renovable.
2.5.Modelado de reactores biológicos
Para diseñar un reactor biológico se debe entender la cinética de remoción
del sustrato por los diferentes tipos de microorganismos y las características
fundamentales de cada tipo de reactor. Los factores de los cuales depende la
elección del reactor son (Rittmman y McCarty, 2011):

Las propiedades físicas y químicas de los desechos que van a ser tratados

La concentración de los contaminantes

La presencia o ausencia de oxígeno

La eficiencia del tratamiento y la operabilidad requerida del sistema

Las condiciones climáticas

Los diferentes proceso biológicos que estarán involucrados en el proceso
global

La experiencia y habilidades de los operadores

Los costos de construcción y operación para diferentes configuraciones
2.5.1. Clasificación y aplicaciones
Para modelar el reactor es necesario considerar la configuración geométrica
(tanque o tubular), de operación (por lotes, en continuo, en régimen estacionario o
en transitorio), la forma en que los microorganismos o las enzimas estarán
contenidos dentro del reactor (suspendidos o inmovilizados) y las fases
consideradas (heterogéneos o pseudohomogéneos)
Las problemáticas ambientales actuales, los avances en áreas como la
ingeniería genética y el desarrollo de herramientas computacionales han llevado al
30
diseño de nuevas configuraciones de bioreactores: bioreactores de membrana,
fotobioreactores, bireactores secuenciales, etc. Sin embargo, estas nuevas
configuraciones
y otras
comúnmente
utilizadas
(lechos
fluidizados,
flujo
ascendente, etc.), se pueden considerar como variaciones de tres tipos básicos: por
lotes, tanques continuos de mezcla completa y tubulares (Fogler, 2006; Levenspiel,
1999; Rittmman y McCarty, 2011).
Bioreactores por lotes
Son los reactores de crecimiento suspendido más simples y su principal
característica es que no tienen corrientes de entrada ni de salida de materia. Se
utilizan básicamente para Investigación básica a escala de laboratorio y para llevar
a cabo estudios de tratabilidad. El equipo se carga con el material a ser tratado, los
microorganismos y los nutrientes requeridos, se aplica agitación para mantener en
suspensión el contenido y se introduce aire (oxígeno) si es necesario. Se deja que
se lleve a cabo la reacción durante cierto periodo de tiempo y finalmente se
descarga la mezcla resultante. La operación es en régimen transitorio y la
composición cambia con el tiempo, pero en cada instante de tiempo, la
concentración es uniforme por todo el reactor.
Bioreactores continuos de tanque agitado
En este tipo de reactores existe entrada y salida continua de materiales y la
agitación mantiene la composición uniforme (sustrato y microorganismos) de modo
que la composición de salida es la misma que la del interior del reactor. En este
caso, los microorganismos no necesariamente se introducen continuamente. Si se
opera correctamente, los microorganismos que crecen dentro del reactor deberían
reemplazar a los microorganismos que son removidos en la corriente de salida. Se
pueden operar en régimen transitorio o en régimen estacionario. Si se emplean para
cultivar microorganismos o para estudios básicos sobre fenómenos bioquímicos en
el laboratorio se denominan quimiostatos (Fogler, 2006).
31
Bioreactores continuos tubulares
También son reactores continuos (entrada y salida continua de materia) en
donde la concentración del sustrato y la de microorganismos cambian con la
posición a lo largo del reactor. Particularmente en los bioreactores de flujo pistón
(BPFR) se considera que un “tapón” de fluido (que se considera bien mezclado en
su interior) no se mezcla con el tapón que le antecede ni con el que lo precede, es
decir, básicamente se considera que no existe mezclado axial. En la práctica este
tipo de reactor es difícil de lograr porque el mezclado axial es inevitable. Se pueden
operar en régimen transitorio o en régimen estacionario.
Todos los reactores biológicos son básicamente multifásicos y por
consecuencia, heterogéneos, es decir, contienen 2 o más fases: una o dos fases
continuas (líquida y/o gaseosa) en la cual se encuentra el sustrato a degradar y los
microorganismos o enzimas que degradarán el sustrato. Los microorganismos o las
enzimas pueden estar suspendidos o inmovilizados en una fase sólida porosa o
pueden formar una biopelícula también sobre una fase sólida.
Bioreactores con células suspendidas
En el caso de los reactores enzimáticos1, estos podrían ser homogéneos si
la enzima es soluble, pero en muchas aplicaciones la enzima se encapsula y
entonces se tendrán al menos dos fases, la fase líquida y las capsulas suspendidas.
Si se trabaja con microorganismos, estos podrían formar cúmulos, aunque es
común tener una matriz sólida porosa suspendida en donde los microorganismos
pueden vivir. En el caso de los reactores para biodigestión con algún tipo de detrito,
este es la fase sólida suspendida que contiene a los microorganismos. En todos los
casos la suspensión se consigue mediante agitación la cual no siempre se obtiene
mediante agitadores sino también por la recirculación de fluido o por el burbujeo de
algún gas como el aire.
1
Las enzimas no son células sino proteínas que están contenidas dentro de las células, pero se incluyen en este
apartado únicamente por consideraciones de similitudes en la operación cuando el reactor se carga con enzimas
purificadas o extractos enzimáticos.
32
Bioreactores con biopelículas
En este caso los reactores más utilizados son los reactores tubulares de
lecho empacado con algún material poroso en donde los microorganismos se
encuentran formando una biopelícula. Este es el caso de los bioreactores de lecho
escurrido y los biofiltros (Revah y Ortiz, 2007). El material poroso de empaque
además de poder proporcionar nutrientes si es orgánico, evitará que los
microorganismos sean arrastrados fuera del reactor.
Como se ha mencionado anteriormente, los bioreactores son esencialmente
sistemas heterogéneos y el diseño preciso del equipo requiere de un completo
entendimiento de los fenómenos que ocurren a nivel microscópico en cada una de
las fases. Sin embargo, tradicionalmente el diseño, la determinación de cinéticas,
la implementación de un esquema de control o la determinación de la eficiencia de
reactor se basan en la consideración de un sistema pseudhomogéneo. La
consideración de que un sistema es heterogéneo o pseudohomogéneo determinará
si el bioreactor es modelado por una sola ecuación (reactor pseudohomogéneo) o
por dos o más ecuaciones (reactor heterogéneo).
Bioreactores heterogéneos
Contienen dos o más fases. En un bioreactor para la producción de biogás
se puede considera una fase líquida que contiene al sustrato que se va a degradar
y una fase sólida (detrito) en la cual se encuentran los microorganismos que
metabolizarán el contaminante. Un aspecto fundamental de los reactores
heterogéneos es que en cada una de las fases se llevan a cabo procesos diferentes,
lo que implica que cada fase debe ser modelada por separado. En el caso del
biodigestor, el sustrato sólo se mueve a través de la fase líquida pero no reacciona
ya que la eliminación del mismo se llevará a cabo en las partículas sólidas. Por lo
tanto, la ecuación que describa los procesos en la fase líquida sólo deberá incluir el
transporte (por convección) del sustrato y la ecuación que describa los procesos en
33
la fase sólida deberá incluir el transporte del sustrato (difusión) y la reacción. Ambas
ecuaciones deberán unirse mediante las condiciones de frontera adecuadas.
Bioreactores pseudohomogéneos
En este caso se considera que no es importante la naturaleza heterogénea
del sistema y que todo lo que suceda dentro del reactor puede ser caracterizado por
una sola concentración y por consecuencia por una sola ecuación como si sólo
existiera una sola fase. Es importante establecer que esta ecuación incluirá de
manera implícita información sobre la sobre la naturaleza heterogénea del sistema.
En la Tabla 2.7 se presenta las aplicaciones de los tres tipos básicos de
reactores en ingeniería ambiental.
Tabla 2.7. Aplicaciones más comunes de los reactores biológicos en ingeniería
Ambiental (Rittmman y McCarty, 2011)
REACTORES BÁSICOS
TIPO
USOS COMUNES
Por lotes
Pruebas de DBO, elevada eficiencia en la remoción de
componentes individuales de aguas residuales
Continuo de tanque Digestión anaerobia de lodos y residuos concentrados,
agitado
tratamiento de residuos industriales en lagunas de
aireación, estabilización de residuos municipales e
industriales, tratamiento de lodos activados aguas
residuales industriales y municipales
Tubulares
pistón
de
flujo Tratamiento de lodos activados de residuos municipales e
industriales, tratamiento de residuos industriales en
lagunas de aireación, estabilización de residuos
municipales e industriales, nitrificación, elevada eficiencia
en la remoción de componentes individuales de aguas
residuales
TIPO
Lecho empacado
REACTORES DE BIOPELÍCULA
USOS COMUNES
Tratamiento aerobio y anaerobio de aguas residuales
municipales e industriales, remoción de orgánicos ,
nitrificación, desnitrificación
Lecho fluidizado
34
Contactores
rotatorios
Tratamiento aeróbico de aguas residuales de baja
concentración de DBO, biodegradación de orgánicos
tóxicos, tratamiento anaerobio, desnitrificación
Tratamiento aerobio de aguas residuales industriales y
municipales, remoción de orgánicos, nitrificación
TIPOS
Con recirculación
En serie
En paralelo
Híbridos
ARREGLOS DE REACTORES
USOS COMUNES
Tratamiento aerobio y anaerobio de aguas residuales
municipales e industriales, con una concentración de DBO
baja o media, remoción de orgánicos, nitrificación,
desnitrificación
Remoción de DBO combinada con nitrificación o con
nitrificación y desnitrificación o combinada con remoción
biológica de fósforo, tratamiento staged anaerobio,
estabilización de pond, tratamientos aerobio y anaerobio
en forma secuencial
Formas combinadas de tratamiento tales como
remoción de orgánicos y nitrificación, o remoción
orgánicos, nitrificación y desnitrificación o remoción
orgánicos, nitrógeno y fósforo, tratamiento anaerobio
aguas residuales industriales
la
de
de
de
Secuencia
de Remoción eficiente de especies tales como orgánicos
reactores por lotes
peligrosos biodegradables, remoción combinada de
orgánicos, nitrógeno y fósforo; combinación de procesos
aerobios y anaerobios con los mismos microorganismos
2.6. Fenómenos de transporte y reacción
Como ya se ha mencionado, los procesos que se llevan a cabo en un
bioreactor son complejos y para lograr un diseño más preciso es necesario entender
todos los fenómenos involucrados. De particular interés para este trabajo son los
fenómenos de transporte y reacción. Los aspectos relacionados con el metabolismo
de los microorganismos quedan fuera del alcance de estos desarrollos pero es
35
importante establecer que su influencia está implícita básicamente en las cinéticas
de reacción.
2.6.1. Fenómenos de transporte en bioreactores heterogéneos.
Se ha establecido que en este tipo de reactores debido a que los procesos
que ocurren en cada una de las fases son diferentes, entonces se debe hacer una
descripción matemática para cada fase. En la Figura 2.2 se muestran los esquemas
de dos reactores con dos fases: una fase continua (fluido) y una fase sólida que
contiene a los microorganismo. La fase sólida puede estar suspendida o formando
una biopelícula.
Figura 2.2. Bioreactores heterogéneos
El sustrato A se alimenta al reactor en una solución líquida y se mueve a
través de esta fase hasta llegar a la superficie de las partículas sólidas. La
transferencia del sustrato a través de esta fase continua se debe a transporte
convectivo y por lo tanto está influenciado por la magnitud de la agitación, las
propiedades físicas del fluido como la viscosidad, la geometría las partículas y la
36
temperatura entre otros factores.La ecuación básica para transporte convectivo es
(Bird y col., 2000):

N A  km CAL  CAL
sup erficie de las partículas

(2.1)
en donde N A es el flux de A (moles/m2s), km es el coeficiente de transferencia de
masa (1/s), y C AL y CAL
sup erficie de las partículas
(moles/L) son las concentraciones en el seno
del fluido y en el fluido en la superficie de las partículas respectivamente. En la
Figura 2.3 se muestra al sustrato transfiriéndose a través de la fase continua hacia
la superficie de las partículas.
Figura 2.3. Fases presentes en un reactor heterogéneo.
Una vez que es sustrato A se transportó hasta la superficie de la partícula,
entonces ahora deberá transferirse hasta los sitios dentro de la partícula en donde
se encuentran los microorganismos que lo metabolizarán. En la Figura 2.4 se
esquematizan los procesos de transporte y reacción relacionados con las partículas
salidas que se describen a continuación (Levenspiel, 1999):
37
1. El sustrato se transporta desde el seno del fluido hasta el borde de la película de
líquido estancado que se encuentra rodeando a la partícula
2. El sustrato se difunde a través de la película de fluido estancado y llega hasta la
superficie de las partículas porosas
3. El sustrato se difunde a través de los poros de la partícula hasta los
microorganismos
4. El sustrato es metabolizado por los microorganismos
Película de fluido
Seno del fluido
2
3
4
1
Figura 2.4. Proceso de transporte y reacción en la partícula sólida con
microorganismos
El transporte del sustrato a través de la película de fluido estancado estará
dado por la ecuación (2.1). Para escribir los procesos que ocurren en la fase sólida
deben considerarse solamente los procesos que ocurren en ella, que en este caso
son los procesos de difusión (3) y reacción (4). Por lo tanto, en esta fase la
concentración de A cambiará con la posición dentro del sólido (será mayor en la
superficie y menor en el centro). La ecuación que describe estos procesos es la
ecuación de continuidad para el sustrato considerando que el transporte convectivo
a través de la fase sólida es depreciable (Bird y col., 2000)
38
C A
t

Acumulación
Def  2C A
Transporte difusivo

rA
(2.2)
Reacción
en donde Def (m2/s) es la difusividad efectiva de la partícula y  2 es el operador
Laplaciano que considera la dependencia de la concentración con respecto a la
posición dentro de la partícula2.
Tanto la ecuación que describe los procesos en la fase continua como la que
describe los procesos en la fase sólida deben acoplarse mediante las condiciones
de frontera adecuadas.
2.6.2. Fenómenos de transporte en bioreactores pseudohomogéneos
En este caso, al considerar que el proceso puede ser caracterizado por una
sola concentración y por lo tanto plantear que se puede suponer una sola fase
dentro del reactor, no se tendrán los problemas de fenómenos de transporte que si
se tienen para los reactores heterogéneos.
2.7. Ecuación de diseño
El diseño del bioreactor implica tres aspectos: la selección del tipo de
bioreactor, el dimensionamiento del equipo y la determinación de las condiciones
de operación (Levenspiel 2005). La selección del tipo de bioreactor dependerá de
la aplicación que se requiera y el dimensionamiento del equipo (cálculo del volumen
del reactor) y las condiciones de operación (temperatura, presión, tiempo de
reacción) de determinarán a partir de la solución de la ecuación de diseño del
reactor.
2
Para coordenadas rectangulares  
2

2
x
2


2
y
2


2
z
2
39
Para poder diseñar un bioreactor se debe tener información acerca de la
reacción (cinética, extensión, exotérmica, endotérmica, rapidez), de las fases
involucradas (cantidad y forma en que hacen contacto) y de la forma e intensidad
del mezclado que influirá sobre la capacidad de eliminación de calor y sobre la forma
en que se ponen en contacto los reactivos. A partir de la información anterior se
podrá plantear la ecuación de diseño que básicamente representa un balance de
materia para el sustrato y que en general tendrá la siguiente forma (Levenspiel,
1999)
condiciones de salida  f (condiciones de entrada, cinética, contacto)
(2.3)
La solución de la ecuación de diseño permitirá comparar diseños y
condiciones de operación y seleccionar el mejor reactor para una determinada
operación. Como se mencionó, esta ecuación es un balance de materia que se
puede desarrollar a partir de la siguiente ecuación:
 Velocidad   Velocidad   Velocidad  
Velocidad de
de

   de entrada de  -  de salida de    desaparición o 
 acumulación   reactivo   reactivo   consumo de reactivo 
 
 

 de reactivo  
(2.4)
En el caso de un bioreactorpseudohomogéneo, la ecuación anterior se
aplicaría sobre todo el reactor y en el caso de un reactor heterogéneo se aplicará
sobre todo el rector para derivar la ecuación para la fase continua y sobre un
elemento diferencial de volumen para la fase suspendida o inmovilizada.
2.7.1. Cinética de reacción
Un aspecto fundamental del diseño de bioreactores la rapidez a la que el
sustrato será consumido o a la que serán generados los microorganismos. Estos
procesos son influenciados por la temperatura, la concentración de sustrato y de
microorganismos y por factores como la inhibición por temperatura, pH o producto
40
etc. (Doran, 2002). En términos generales la expresión para la tasa de reacción
tiene la siguiente forma:
rA  f (T , CA )
(2.5)
y en una manera más explícita:
rA  k (T ) C An
moles
Ls
(2.6)
en donde k es la constante de velocidad de reacción y en la ecuación se ha hecho
énfasis en que este término incluye la dependencia de la temperatura, la cual puede
ser descrita mediante expresiones tipo Arrehnius (Doran 2002) y n es el orden de
reacción. De forma particular para reactores biológicos las expresiones cinéticas
más utilizadas son las de Michaelis-Menten para el caso de reactores enzimáticos
y de Monod para el caso de rectores con microorganismos. En el Capítulo 1 se
presentaron las cinéticas reportadas en la literatura para la biodigestión anaerobia.
41
CAPÍTULO 3
DESARROLLO DE LOS
MODELOS
MATEMÁTICOS
Como ya se ha establecido, los procesos de biodigestión de lactosuero se
puede llevar a cabo en reactores por lotes, continuos de tanque agitado y tubulares
de lecho empacado. Si los reactores son enzimáticos, el modelo matemático sólo
estará constituido por las ecuaciones diferenciales y/o algebraicas sólo para el
sustrato y para el producto ya que para este tipo de sistemas se considera que la
cantidad de enzima permanece constante. En el caso de reactores con
microorganismos, el modelo deberá incluir, además de las ecuaciones para el
sustrato y para el producto, una ecuación para los microorganismos. Esto se debe
a que el consumo de sustrato y la generación de productos dependen de la cantidad
de microorganismos contenidos en el reactor, los cuales al ser seres vivos, se
reproducen, se desarrollan y mueren.
3.1. Modelos matemáticos para sistemas pseudohomogéneos
Los modelos matemáticos más comúnmente utilizados en la literatura
corresponden a sistemas pseudohomogéneos, para los cuales el proceso es
42
caracterizado por una sola concentración y en donde se evita la naturaleza
heterogénea de estos sistemas multifásicos.
3.1.1. Reactores por lotes
Por definición un reactor por lotes no tiene corrientes de entrada ni salida de
materia y la concentración de todas las especies es función del tiempo (Figura 3.1).
En este caso se va a considerar un reactor de tanque perfectamente mezclado. La
suposición del mezclado perfecto implica que la concentración y la temperatura en
cualquier punto del reactor serán la misma, es decir, no serán una función de la
posición sino sólo del tiempo.
Para este reactor el balance de materia (2.4) se reduce
a


Velociad de
Velociad de   generación o   moles 
acumulación  consumo   L  s 


(3.1)
El término de acumulación implica el cambio de la
concentración con respeto al tiempo, es decir
Figura 3.1. Reactor por
lotes
Velociad de  V dC
 acumulación
 dt
A
(3.2)
en donde V es el volumen de la mezcla reaccionante (L) y CA es la concentración
de la especie A (moles/L). Por otro lado, la velocidad de generación (células o
productos) estará representado por la tasa de reacción
 Velociad de 
 generación o   V rA
 consumo 


(3.3)
Este término será negativo su se trata de la tasa de consumo y será positivo
si es la tasa de generación. Sustituyendo (3.2) y (3.3) en (3.1) se obtiene
43
dC A
 rA
dt
(3.4)
La expresión más utilizada para la tasa de reacción en este tipo de reactores
es la cinética de Michaelis-Menten
 rs 
max Cs
 moles 
 L  s 
K m  Cs
(3.5)
en donde max es la tasa máxima de reacción y K m es la constante de MichaelisMenten.
La ecuación (3.4) es la ecuación de diseño de un reactor por lotes
pseudohomogéneo, tanto para un reactor enzimático como para un reactor con
microorganismos. Matemáticamente es una ecuación diferencial de primer orden y
al integrarla se obtendrá una constante de integración que será determinada a partir
de la aplicación de una condición inicial.
3.1.1.1 Reactores enzimáticos
Como se estableció, en un reactor enzimático sólo es necesario escribir
ecuaciones para el sustrato (s) y para el producto (p). Por lo tanto en este caso el
modelo matemático es
dCs
  rs
dt
C.I . en t  0
dC p
dt
(3.6)
Cs  Cs 0
 rp
C.I . en t  0
(3.7)
(3.8)
Cp  Cp0
(3.10)
en donde Cs 0 y C p 0 son las concentraciones iniciales cargadas en el reactor.
44
3.1.1.2. Reactores con microorganismos
En este caso, además de las ecuaciones para el sustrato (s) y para el
producto (p), es necesario escribir la ecuación para los microorganismos. Por lo
tanto en este caso el modelo matemático es
dCs

dt
 rsp
 rm
Consumo para
formación
de producto
Consumo para
mantenimiento
de las céluals
C.I . en t  0
dC p
dt
 rp
C.I . en t  0
dCc

dt
Cs  Cs 0
rg
Generación
C.I . en t  0
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Cp  Cp0
 rd
(3.14)
(3.15)
Muerte
CC  Cc 0
(3.16)
La concentración de sustrato y producto dependerán de la concentración de
microorganismos en el reactor para los cuales se considerarán la tasa de
generación de células (rg) y la tasa de muerte (rd), por lo tanto, es necesario
establecer de las tasas de reacción de sustrato y producto en función de la tasa de
generación de células. Entonces la tasa de consumo de sustrato para formar
producto estará dada por (Fogler, 2006, Doran, 2013)
 rsp  Ysc rg
 moles de sustrato 


Ls
(3.17)
en donde Ysc ( g sustrato / g células) es el rendimiento producto/células. Si se supone
que rg viene dada por la ecuación de Monod, entonces:
45
 rg 
max Cs
K m  Cs
 moles de células 


Ls
Cc
(3.18)
en donde max es la tasa máxima de específica de crecimiento y K m es la constante
de Monod, y entonces la ecuación (3.18) se reescribiría como
 rsp  Ypc
max Cs
K m  Cs
Cc
(3.19)
La tasa de generación de producto en función de la tasa de generación de
microorganismos estará dada por
 rp  Ypc rg
 moles de producto 


Ls
(3.20)
La tasa de consumo de sustrato para mantenimiento de las células y tasa de
muerte de las células estarán dadas por
 rm  Ym Cc
(3.21)
 rd  kd Cc
(3.22)
en donde kd es la constante de muerte (1/s) y Ym está definido como (Fogler 2006)
Ym 
masa de sustrato consumido para mantenimiento
masa de células formadas  tiempo
(3.22)
3.1.2. Reactores continuos de tanque agitado
En un reactor continuo si se tienen corrientes de entrada y de salida de
materia. En este caso también se considera mezclado perfecto lo que significa que
46
la concentración y la temperatura en cualquier punto del reactor serán la misma, es
decir, no serán una función de la posición.
Considerar un reactor continuo de tanque agitado al cual se alimenta una
fase líquida con un flujo volumétrico F  L / min  y con una concentración de sustrato
C A0 (mol/L) y sale del reactor con el mismo flujo volumétrico pero con una
concentración C A que será menor que la concentración de alimentación.
F
CA0
F
CA
Figura 3.2. Reactor de tanque agitado con microorganismos suspendidos
La aplicación del balance de materia (2.4) a este reactor lleva a
V
dC A
dt
Acumulación

FC A0
Entrada al
reactor por flujo

FC A
Salida del
reactor por flujo

 moles 
 s 
Generación o
VrA
(3.23)
consumo
La ecuación (3.23) es la ecuación de diseño de un reactor continuo de tanque
agitado pseudohomogéneo, tanto para un reactor enzimático como para un reactor
con microorganismos. Matemáticamente también es una ecuación diferencial de
primer orden y al integrarla se obtendrá una constante de integración que será
determinada a partir de la aplicación de una condición inicial.
47
3.1.2.1. Reactores enzimáticos
Como se estableció, en un reactor enzimático sólo es necesario escribir
ecuaciones para el sustrato (s) y para el producto (p). Por lo tanto en este caso el
modelo matemático es
V
V
dCs
 FCs 0  FCs  V rs
dt
(3.24)
C.I . en t  0
(3.25)
dC p
dt
Cs  Cs 0
 FC p 0  FC p  V rp
C.I . en t  0
Cp  Cp0
(3.26)
(3.26)
3.1.2.2. Reactores con microorganismos
En este caso, además de las ecuaciones para el sustrato (s) y para el
producto (p), es necesario escribir la ecuación para los microorganismos. Por lo
tanto en este caso el modelo matemático es
V
dCs
 FCs 0  FCs  V  rsp  rm 
dt
(3.28)
C.I . en t  0
(3.29)
V
dC p
dt
 FC p 0  FC p  Vrp
C.I . en t  0
V
Cs  Cs 0
Cp  Cp0
(3.30)
(3.31)
dCc
 FCc 0  FCc  V  rg  rd 
dt
(3.32)
C.I . en t  0
(3.33)
Cc  Cc 0
48
Las tasas de generación y consumo de cada especie estarán dadas por las
mismas relaciones que para el reactor por lotes.
3.1.3. Reactores tubulares de flujo pistón
El reactor tubular de flujo pistón también es un reactor continuo que supone
que no existe mezclado axial a lo largo del reactor. En este caso la concentración y
la temperatura en cambian a lo largo del reactor y por lo tanto serán una función de
la posición.
Considerar un reactor continuo de flujo pistón de longitud L(m) y área de
sección transversal S(m2) al cual se alimenta una fase líquida con un flujo
volumétrico F  L / s  y con una concentración de sustrato C A0 (mol/L) y sale del
reactor con el mismo flujo volumétrico pero con una concentración C A que será
menor que la concentración de alimentación.
F
CA0
F
CA
Figura 3.3. Reactor tubular de flujo pistón
En este caso la aplicación del balance de materia (2.4) debe hacerse sobre
un elemento diferencial de volumen como el que se muestra en la Figura 3.4.
Figura 3.4. Elemento diferencial para realizar el balance de materia
Entonces, el balance de materia para el elemento diferencial es
49
z S
C A

t
Acumulación
FC A

z
Entrada al
reactor por flujo
FC A

z z
z S rA
Generación o
consumo
Salida del
reactor por flujo
 moles 
 s 
(3.34)
Dividiendo por el elemento de volumen y tomando el límite cuando z  0
se obtiene
 CA  CA
C A F
z
 lim 
t
S z 0 
z

z z

  ri


(3.35)
y tomando en cuenta la definición de derivada, la expresión anterior se reduce a
C A
F C A

 rA
t
S z
(3.36)
La ecuación (3.36) es la ecuación de diseño de un reactor tubular continuo
de flujo pistónpseudohomogéneo, tanto para un reactor enzimático como para un
reactor con microorganismos. Matemáticamente es una ecuación diferencial parcial
que al integrarla se obtendrándos constante de integración que serán determinadas
a partir de la aplicación de condiciones iniciales (con respecto al tiempo) y de
frontera (con respecto a la posición).
3.1.3.1. Reactores enzimáticos
En este caso el modelo matemático para el sustrato (s) y para el producto (p)
son
Cs
F Cs

 rs
t
S z
(3.37)
C.I . en t  0
Cs  Cs 0
(3.38)
C.F . en z  0
Cs  Cs 0
(3.39)
50
C p
t

F C p
 rp
S z
(3.40)
C.I . en t  0
Cp  Cp0
(3.41)
C.F . en z  0
Cp  Cp0
(3.42)
3.1.3.2.Reactores con microorganismos
En este caso el modelo matemático es
Cs
F Cs

  rsp  rm 
t
S z
(3.43)
C.I . en t  0
Cs  Cs 0
(3.44)
C.F . en z  0
Cs  Cs 0
(3.45)
C p
t

F C p
 rp
S z
(3.46)
C.I . en t  0
Cp  Cp0
(3.47)
C.F . en z  0
Cp  Cp0
(3.48)
Cc
F Cc

  rg  rd 
t
S z
(3.49)
C.I . en t  0
Cc  Cc 0
(3.50)
C.F . en z  0
Cc  Cc 0
(3.51)
Las tasas de generación y consumo de cada especie estarán dadas por las
mismas relaciones que para el reactor por lotes.
51
3.2. Modelos matemáticos para sistemas heterogéneos
En los reactores heterogéneos están presentes dos o más fases y en cada
fase los fenómenos de transporte y reacción pueden ser diferentes, además de que
la estructura, geometría y propiedades físicas y de transporte también serán
diferentes para cada fase. Lo anterior implica que se deban escribir ecuaciones para
cada especie en cada fase.
3.2.1. Consideraciones básicas
En la Figura 3.5 se muestra el esquema de un reactor en el que se tiene una
fase fluida que se alimenta al reactor y a través de la cual se mueve el reactivo A
pero no reacciona y partículas a través de las cuales el reactivo A se tiene que
transportar hasta llegar a los sitios en donde se encuentran las enzimas o los
microorganismos que metabolizarán dicha especie.
F
Partículas que contienen
enzimas o
microorganismos
CA0
F
CA
Figura 3.5. Reactor heterogéneo compuesto por una fase fluida y partículas que contienen
enzimas o microorganismos
52
La ecuación (2.4) se debe aplicar por separado tanto a la fase fluida como a
las partículas; se obtendrán dos ecuaciones que se acoplarán mediante las
condiciones de frontera adecuadas. En el caso particular de la fase fluida, es
importante hacer notar cuando se realiza el balance debe considerarse que la
especie A sale de esta fase para entrar a las partículas. En la Figura 2.5 se
esquematizan las contribuciones de entradas y salidas para el balance de materia
para la fase fluida.
Entrada
por flujo
Salida del líquido hacia
las partículas
Salida por
flujo
Figura 2.5. Contribuciones de entradas y salidas para el balance de materia para la fase
fluida en un reactor heterogéneo.
El flujo molar de A, nA (moles/s) que sale del fluido y entra a la partícula viene
dado por la siguiente expresión


N A  a km  C AL  C AL superficie de 
la partícula 

(3.52)
en donde a es el área superficial de la partícula y km es el coeficiente convectivo de
transporte de masa. La ecuación (3.52) está basada en la suposición de la
existencia de una película de fluido estancado alrededor de la partícula que
representa la resistencia a la transferencia de masa. El espesor de esta película y
por consecuencia la resistencia al transporte disminuyen al aumentar la agitación y
la suposición del mezclado perfecto podría conducir a establecer que la
53
concentración en la superficie de la partícula es la misma que la del seno del fluido.
Sin embargo, en sistemas biológicos la agitación vigorosa puede provocar el
rompimiento de las células debido a los esfuerzos cortantes. Por lo tanto, la
ecuación (3.52) puede representar una situación más real en bioreactores.
Por otro lado, la concentración de A en la superficie de la partícula es una
cantidad que es imposible de medir, por lo que es preciso que no aparezca en la
ecuación de diseño y además debe relacionarse con la concentración de A en la
superficie de la partícula pero del lado de la partícula. Aunque ambas
concentraciones están localizadas en la misma superficie no necesariamente son
iguales. En la Figura 2.6 se ilustra esta situación.
Figura 2.6. Relación entre las concentraciones en la superficie de la partícula tanto del
lado del fluido como del lado de la partícula.
El reactivo A llega a la interfase (superficie divisora) entre el fluido y la
partícula y entonces tiene que penetrar en la partícula. En realidad la interfase no
tiene espesor pero en la Figura 2.6 se ha considerado que si para remarcar el hecho
de que ambas fases son de naturaleza química diferente.
Considérese por ejemplo el caso de microorganismos inmovilizados en
cápsulas de gel que se encuentran suspendidas en un caldo de fermentación. Para
que el reactivo A entre a las cápsulas primero debe solubilizarse en la interfase, así,
54
entre más soluble sea A en el gel, las concentraciones a ambos lados de la interfase
serán más parecidas. Entonces se puede establecer la siguiente relación
CAL superficie de   LP CAP superficie de
la partícula
(3.53)
la partícula
en donde  LP es la solubilidad de A en la partícula. Entre más parecidas sean
químicamente las fases,  LP será más cercano a 1. Si en lugar de una partícula de
gel se trata de una partícula sólida porosa, entonces
CAL superficie de  CAP superficie de
la partícula
(3.54)
la partícula
Finalmente, además de establecer una relación entre las concentraciones
superficiales en ambas fases, también es importante establecer una relación entre
el flujo de materia que llega a la superficie de la partícula y el flujo de materia que
entra a la partícula. Se mencionó que la interfase no tiene espesor por lo que no
puede haber acumulación3 de materia en dicha superficie.
La aplicación del balance de materia (2.4) (Figura 2.7) sobre la interfase
llevaría a
N AL Entra a la  N AP Sale de la
interfase
3
(3.55)
interfase
Por definición, la acumulación de materia sólo se puede tener en volúmenes
55
en donde N AL y N AP son el flux de A que llega entra a la interfase y el que sale de la
interfase respectivamente. Debe considerarse que A entra a la interfase por
transporte convectivo y que sale de la interfase por transporte difusivo.
3.2.2. Reactores por lotes
Al igual que en los reactores pseudohomogéneos, se considerarán tanto los
reactores enzimáticos como los reactores con microorganismos. Por lo tanto, los
modelos para los reactores enzimáticos estarán constituidos por las ecuaciones
para el sustrato y para el producto únicamente, mientras que para los rectores con
microorganismos se agregará la ecuación de las células.
3.2.2.1. Balance de materia para la fase líquida
Aunque por definición en un reactor por lotes no existen entradas ni salidas
de materia por flujo, debe recordarse que en el caso de reactores heterogéneos
habrá una salida de materia del fluido hacia las partículas, además no existe
reacción en la fase líquida. Con esto, la ecuación (2.4) aplicada para la fase líquida
será
 Velocidad 
Velocidad de salida
de

    de reactivo del líquido 
 acumulación 
 hacia las partículas 


de
reactivo


(3.56)
en donde la velocidad de salida de A hacia las partículas estará dada por la ecuación
(3.52). Por lo tanto, la ecuación (2.4) se reescribe como
V
dC AL
dt
Acumulación


  a km  C AL  C AL superficie de 
las particulas 

(3.57)
Transferencia de sustrato
del líquido a las particulas
3.2.2.2. Balance de materia para la fase sólida
En la fase sólida el sustrato llega a la superficie de las partículas y se empieza
a difundir hacia el centro de las mismas. Al mismo tiempo que se va difundiendo
56
también va siendo degradado. Por lo tanto en esta fase existe transporte y reacción
del sustrato a través de la toda la partícula. En este sentido, la concentración del
sustrato cambiará con la posición dentro del sólido (será mayor en la superficie y
menor en el centro). Este proceso estará descrito por la ecuación (2.2) que
considerando partículas esféricas de radio R se transforma en

C Ap
t
Acumulación
  Def
1   2 C Ap 
rA
r
 
r 2 r 
r 
Reacción
(3.58)
Difusión (transporte)
a traves de la partícula
en donde  es fracción de vacíos de las partículas y Def es la difusividad efectiva.
3.2.2.3. Condiciones de frontera
Para completar el modelo es necesario establecer las condiciones iniciales y
de frontera que permitirán acoplar los dos balances. Las condiciones iniciales serán
similares a las planteadas para los rectores pseudohomogéneos. La ecuación (3.58)
además de la condición inicial, requiere de las condiciones de frontera suficientes
para solucionar la ecuación. Con respecto a la coordenada radial, la ecuación (3.58)
es de segundo orden por lo que son necesarias dos condiciones de frontera.
La ecuación (3.53) es una de las condiciones de frontera para la superficie
de la partícula
CAL
r R
  LpCAP
r R
(3.59)
La ecuación (3.54) es otra condición de frontera para la superficie de la
partícula. Para plantear esta condición se toma en cuenta que A entra a la interfase
por convección y entonces este flux estará dado por la ecuación (2.1) y por otro
lado, A sale de la interfase por difusión y este flux estará dado por la ley de Fick
(Bird y col., 2000). Entonces la condición de frontera (3.54) se reescribe
57

km C  C
L
A
L
A r R

C AP
 Def
t

Flux que entra a la interfase
por convección
(3.60)
r R
Flux que sale de la interfase
por difusión
A la condición de frontera anterior se le conoce como continuidad del flux.
Este problema requiere de una condición de frontera más. Esta condición se
establece tomando en cuenta que en el centro de las partículas se tendrán una
concentración máxima de producto y células y una concentración mínima de
sustrato. Lo anterior se puede representar de forma general como
C A
t
en r  0
0
(3.61)
r 0
Máximo o mínimo
de la concentración
de A
3.2.2.4. Reactores enzimáticos
A partir de las ecuaciones desarrolladas anteriormente, el modelo
matemático para un reactor enzimático por lotes es:
Fase líquida
V

C.I . en t  0
V

(3.62)
Cs  Cs 0
(3.63)

(3.64)
Cp  Cp0
(3.65)
dCsL
 a km CsL  CsL
dt
dC pL
dt

 a km C pL  C pL
C.I . en t  0
r R
r R
Partículas

Csp
1   C p 
  Defs 2  r 2 s   rs
t
r r 
r 
(3.66)
58
CsP
0
t
en r  0
CsL
r R

km CsL  CsL

C pp
t
  Defp
s
  LP
CsP
r R

C pP
t
C pL

CsP
t
p
1   2 C p
r

r 2 r 
r
en r  R
en r  R
(3.68)
r R
  Defe
en r  0
r R
km C  C
L
p
(3.67)
(3.69)
r R

  rp

0
(3.71)
p
  LP
C pP
L
p rR
(3.70)
(3.72)
r R
  D
e
ef
C pP
t
(3.73)
r R
3.2.2.5. Reactores con microorganismos
Este modelo incluye además la ecuación para los microorganismos pero
debe tomarse en cuenta que estos sólo se encuentran en la fase sólida y no en la
fase líquida por lo que no habrá una ecuación para las células esta fase. Además,
los microorganismos no salen de la fase sólida para entrar en la fase líquida, por lo
que se establece que el flux de células en la superficie de la partícula es cero.
Fase líquida
V

C.I . en t  0
V

(3.74)
Cs  Cs 0
(3.75)

(3.76)
Cp  Cp0
(3.77)
dCsL
 a km CsL  CsL
dt
dC pL
dt

 a km C pL  C pL
C.I . en t  0
r R
r R
59
Partículas

Csp
1   C p 
  Defs 2  r 2 s    rsp  rm 
t
r r 
r 
CsP
0
t
en r  0
en r  R
CsL

en r  R
L
s
L
s rR

CsP
 D
t
p
1   2 C p

 D 2 r
t
r r 
r
C pP
en r  R
C pL
r R

en r  R

t
km C pL  C pL

(3.81)
r R

  rp

(3.82)
0
(3.83)
p
  LP
C pP
rR
(3.80)
r R
e
ef
p
ef
en r  0
(3.79)
s
  LP
CsP
r R
km C  C
C pp
(3.78)
(3.84)
r R
  Defe
C pP
t
(3.85)
r R
Ccp
1   C p 
  Defc 2  r 2 c   rg  rd
t
r r 
r 
CcP
0
t
en r  0
en r  R
en r  R
C pL
r R
 Defc
(3.87)
c
  LP
C pc
CcP
t
(3.86)
r R
0
(3.88)
(3.89)
r R
Los microorganismos no cruzan
la interfase hacia la fase líquida
En la condición de frontera (3.89) se estableció considerando que las células
no salen de la partícula hacia la fase líquida y por lo tanto su flux es cero, es decir:
60
en r  R
Ncp
r R
0
(3.90)
Debido a que el transporte dentro de la partícula es por difusión entonces el
flux estará dado por la ley de Fick:
Ccp
N  D
t
p
c
c
ef
(3.91)
Sustituyendo (3.91) en (3.90) se obtiene la condición de frontera (3.89)
3.2.3. Reactores continuos de tanque agitado
Para este tipo de reactor y para el tubular de flujo pistón las ecuaciones para
la partícula serán exactamente las mismas que para el reactor por lotes, así que
sólo es necesario plantear las ecuaciones para la fase líquida en cada caso.
La ecuación (2.4) aplicada para la fase líquida será en un reactor de tanque
agitado lleva a
V
dC A
dt
Acumulación

FC A0
Entrada al
reactor por flujo

FC A
Salida del
reactor por flujo


 a km  C AL  C AL superficie de  (3.91)
las particulas 

Transferencia de sustrato
del líquido a las particulas
3.2.3.1. Reactores enzimáticos
Fase líquida
V

dCs
 FCs 0  FCs  a km CsL  CsL
dt
C.I . en t  0
V
dC p
dt

Cs  Cs 0

 FC p 0  FC p  a km C pL  C pL
C.I . en t  0
r R
Cp  Cp0
(3.92)
(3.93)
r R

(3.94)
(3.95)
61
Partículas

Csp
1   C p 
  Defs 2  r 2 s   rs
t
r r 
r 
CsP
0
t
en r  0
CsL
r R

km CsL  CsL
s
  LP
CsP
r R

p
ef
en r  R
en r  R
C pL
C pP

km C  C
L
p
(3.99)
r R

  rp

(3.101)
p
  LP
C pP
L
p rR
(3.100)
0
t
r R
(3.98)
CsP
t
  Defe
en r  0
(3.97)
r R
p
1   2 C p

 D 2 r
t
r r 
r
C pp
(3.96)
(3.102)
r R
  D
e
ef
C pP
(3.103)
t
r R
3.2.3.2. Reactores con microorganismos
Fase líquida
V

dCs
 FCs 0  FCs  a km CsL  CsL
dt
C.I . en t  0
V
dC p
dt

Cs  Cs 0

 FC p 0  FC p  a km C pL  C pL
C.I . en t  0
r R
Cp  Cp0
(3.104)
(3.105)
r R

(3.106)
(3.107)
62
Partículas

Csp
1   C p 
  Defs 2  r 2 s    rsp  rm 
t
r r 
r 
CsP
0
t
en r  0
en r  R
CsL

en r  R
L
s
L
s rR

CsP
 D
t
p
1   2 C p

 D 2 r
t
r r 
r
C pP
en r  R
en r  R

t
C pL
r R

km C pL  C pL

(3.112)
0
(3.113)
(3.114)
r R
  Defe
C pP
t
Ccp
1   C p 
  Defc 2  r 2 c   rg  rd
t
r r 
r 
CcP
0
t
en r  0
en r  R
C pL
en r  R
 Defc
r R
(3.111)
r R

  rp

p
  LP
C pP
rR
(3.110)
r R
e
ef
p
ef
en r  0
(3.109)
s
  LP
CsP
r R
km C  C
C pp
(3.108)
r R
(3.116)
(3.117)
c
  LP
C pc
CcP
t
(3.115)
(3.118)
r R
0
(3.119)
r R
3.2.4. Reactores tubulares de flujo pistón
La ecuación (2.4) aplicada para la fase líquida será en un reactor de flujo
pistón lleva a

C A
F C A

 av km C AL  C AL
r R
t
S z

(3.120)
63
en donde av es el área superficial volumétrica (m).
3.2.4.1. Reactores enzimáticos
Fase líquida

Cs
F Cs

 av km CsL  CsL
r R
t
S z
C.I . en t  0
C p
t


Cs  Cs 0
F C p
 av km C pL  C pL
r R
S z

C.I . en t  0
Cp  Cp0
(3.121)
(3.122)

(3.123)
(3.124)
Partículas

Csp
1   C p 
  Defs 2  r 2 s   rs
t
r r 
r 
CsP
0
t
en r  0
CsL

r R
km C  C
L
s
s
  LP
CsP
L
s r R

(3.127)
CsP
 D
t
e
ef
p
ef
en r  0
en r  R
(3.126)
r R
p
1   2 C p

 D 2 r
t
r r 
r
C pp
C pL
C pP
t
r R
(3.125)
(3.128)
r R

  rp

0
p
  LP
C pP
(3.129)
(3.130)
r R
(3.131)
64

en r  R
km C  C
L
p
L
p rR
  D
e
ef
C pP
t
(3.132)
r R
3.2.4.2. Reactores con microorganismos
Fase líquida

Cs
F Cs

 av km CsL  CsL
r R
t
S z
C.I . en t  0
C p

t

(3.133)
Cs  Cs 0
(3.134)
F C p
 av km C pL  C pL
r R
S z

C.I . en t  0

(3.135)
Cp  Cp0
(3.136)
Partículas

Csp
1   C p 
  Defs 2  r 2 s    rsp  rm 
t
r r 
r 
en r  0
en r  R

en r  R

CsP
0
t
r R
km CsL  CsL
C pp
t
CsL
  Defp
en r  R
C pL
rR

C pP
t
r R
(3.138)
s
  LP
CsP
CsP
t

  rp

0
p
  LP
C pP
(3.139)
r R
  Defe
p
1   2 C p
r

r 2 r 
r
en r  0
(3.137)
(3.140)
r R
(3.141)
(3.142)
r R
(3.143)
65
en r  R


km C  C
L
p
L
p rR
  D
e
ef
C pP
t
Ccp
1   C p 
  Defc 2  r 2 c   rg  rd
t
r r 
r 
CcP
0
t
en r  0
C pL
en r  R
CcP
D
t
r R
r R
0
c
ef
r R
(3.145)
(3.146)
c
  LP
C pc
en r  R
(3.144)
(3.147)
(3.148)
r R
66
CAPÍTULO 4
DISCUSIÓN DE LOS
MODELOS
4.1. Comparación entre el modelo pseudohomogéneo y el modelo
heterogéneo
A continuación se harán algunas precisiones acerca de las características de
los modelos pseudohomogéneos y heterogéneos. Por facilidad este análisis se hará
inicialmente para el reactor enzimático por lotes. Las ecuaciones derivadas para un
reactor por lotes tanto pseudohomogéneo como heterogéneo son
Reactor enzimáticopor lotes pseudohomogéneo
dCs
  rs
dt
C.I . en t  0
dC p
dt
(3.6)
Cs  Cs 0
 rp
C.I . en t  0
(3.7)
(3.8)
Cp  Cp0
(3.10)

(3.62)
Reactor enzimático por lotes heterogéneo
Fase líquida
V

dCsL
 a km CsL  CsL
dt
r R
67
C.I . en t  0
V
dC pL
dt
Cs  Cs 0
(3.63)

(3.64)
Cp  Cp0
(3.65)

 a km C pL  C pL
C.I . en t  0
r R
Partículas

Csp
1   C p 
  Defs 2  r 2 s   rs
t
r r 
r 
CsP
0
t
en r  0
CsL
r R

km CsL  CsL

C pp
t
  Defp
s
  LP
CsP
r R

  Defe
C pP
en r  0
en r  R
C pL

t
r R
km C  C
L
p
(3.67)
(3.68)
r R
CsP
t
p
1   2 C p
r

r 2 r 
r
en r  R
(3.66)
(3.69)
r R

  rp

0
(3.71)
p
  LP
C pP
L
p rR
(3.70)
(3.72)
r R
  D
e
ef
C pP
t
(3.73)
r R
4.2. Relación entre los parámetros de los sistemas homogéneos y
los heterogéneos
Un aspecto fundamental al comparar estos dos modelos, es establecer la
naturaleza de las variables involucradas. En este sentido debe aclararse que las
68
concentraciones de cada especie para el modelo pseudohomogéneo no son del
mismo tipo que las de modelo heterogéneo y deberá contener información de cada
una de las fases que representa.
Por otro lado deberá entenderse que aunque el sistema heterogéneo
inicialmente se planteó como constituido por dos fases, la fase liquida y las
partículas, en realidad son tres fases ya que las partículas son en sí un sistema
heterogéneo formado por una matriz sólida y huecos donde están las enzimas o en
el caso de cápsulas de gel, estas también son un sistema heterogéneo formado por
el mismo gel y las enzimas. Por lo tanto, la ecuación para las partículas también
representa un modelo pseudohomogéneo y la concentración de estas ecuaciones
es una concentración representativa que deberá contener información acerca de las
concentraciones en la matriz sólida y en el líquido que está en los espacios vacíos.
Los modelos pseudohomogéneos también se denominan de medio efectivo
y los coeficientes involucrados en estos sistemas también se denominan así
(difusividad efectiva, conductividad térmica efectiva, viscosidad efectiva, etc.). Los
coeficientes de medio efectivo contienen información acerca de la estructura el
sistema heterogéneo. Así por ejemplo, la difusividad efectiva de las partículas puede
definirse como (Lobo, 1997)
Def 
 DAi

(4.1)
en donde  es la fracción de vacíos en la partícula, DAi es la difusividad molecular
en la fase i y  es la tortuosidad que es una medida de la uniformidad de la
estructura de la partícula.
Otro aspecto fundamental que tiene que considerarse es la relación entre las
expresiones cinéticas de reacción. Considérese la cinética de Michaelis-Menten.
Tanto para el sistema homogéneo como para el heterogéneo las expresiones serán
similares, sin embargo, la constante de Michaelis-Menten y la tasa máxima de
69
reacción no serán las mismas para ambos sistemas. Los valores reportados en la
literatura corresponden básicamente sistemas heterogéneos.
4.3. Análisis de los fenómenos de transporte y reacción
Adimensionalizar las ecuaciones tiene como ventajas trabajar con variables
cuyo rango generalmente es entre 0 y 1 y la obtención de números adimensionales
que permiten llevar a cabo un análisis sobre los procesos de transporte y reacción.
Sustituyendo las condiciones (3.68) y (3.72) en (3.62) y (3.64) el modelo para el
reactor enzimático heterogéneo se reescribe como
Fluido

dCsL
s
 a km CsL   LP
CsP
dt
V
C.I . en t  0
dC pL
V
dt
r R

Cs  Cs 0

p
 a km C pL   LP
C pP
C.I . en t  0
r R
(3.62)
(3.63)

Cp  Cp0
(3.64)
(3.65)
Partículas
p
Csp
s 1   2 Cs 

  Def 2  r
  rs
t
r r 
r 
CsP
0
r
en r  0

s
km CsL   LP
CsP

C pp
t
  Defp
r R

  Defe
en r  0
C pP
t
(3.67)
CsP
t
p
1   2 C p
r

r 2 r 
r
0
(3.66)
(3.69)
r R

  rp

(3.70)
(3.71)
70
en r  R

km C   C
L
p
p
LP
P
p r R
  D
e
ef
C pP
t
(3.73)
r R
Por simplificación se considerarán cinéticas de primer orden tanto para el
sustrato como para el producto. Anteriormente se ha establecido que este tipo de
cinética ha sido reportada en la literatura para describir la etapa de la hidrólisis o de
la fermentación de los azúcares y ácidos grasos.
rs  ksCsp
 rp  k pC pp
(4.2)
Considerando las siguientes variables adimensionales
CL
U  ss *,
 LPCA
L
s
Cp
U  s* ,
CA
p
A
U 
L
p
C pL
 C
p
LP
*
p
,
U 
p
p
C pp
C
*
p
,
 t
Def
R
2
,

r
R
las ecuaciones (3.62) a (3.73) se reescriben como
Fluido

dU sL
  U sL  U pp
 1
d
C.I . en   0
dU pL
d

U sL  U sL0
  U pL  U pp
C.I . en   0

 1

U pL  U pL0
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Partículas
U sp 1   2 U sp 
2
p
 2

   sU s

  
 
en   0
U sP
0
r
(4.7)
(4.8)
71

Bi U  U
s
L
s
P
s r R
U pp
1 
 2

 
 2 U pp
 


U pP
en   0
en   1


U sp



Bi U  U
p
L
p
(4.9)
 1

2
p
   pU p

(4.10)
0
(4.11)
p
p r R

U pp

(4.12)
 1
En las ecuaciones anteriores se han definido los siguientes parámetros

a km R 2
VDef
k R2
s  s s
 Def
Bi s 
s
 LP
km R
Defs

Defp
Defs
p 
Bi s 
k p R2
 Defp
p
 LP
km R
Defp
en donde  s y  p son los módulos de Thiele y relacionan los procesos de
transporte y de reacción dentro de la partícula y Bi s y Bi p son los números de Biot
modificados y relacionan los procesos de transporte dentro y fuera de la partícula.
Valores bajos del módulo de Thiele indican que no existen problemas de transporte
de materia en el interior de la partícula y que el proceso gobernante es la reacción.
Por otro lado, valores bajos del número de Biot indican que el transporte de materia
en el exterior de la partícula es lento pero que la transferencia de masa en el interior
de la partícula es muy eficiente y que la concentración de sustrato será homogénea.
Para ejemplificar lo anterior se resuelven las ecuaciones correspondientes al
sustrato:
72

dU sL
  U sL  U pp
 1
d
Fluido
C.I . en   0
Partículas

(4.3)
U sL  U sL0
U sp 1   2 U sp 
2
p
 2

   sU s

  
 
en   0

Bi s U sL  U sP
r R

(4.4)
(4.7)
U sP
0
r
(4.8)
U sp

(4.9)

 1
La solución del problema (4.7) a (4.9) se puede obtener por el método de
transformada de Laplace y se puede obtener una solución simplificada
considerando un proceso pseudoestacionario para la partícula (el tiempo en el que
se llevan a cabo los procesos en la partícula son muy rápidos con respecto a los
proceso en la fase fluida). En este caso las ecuaciones que deben resolverse son:

dU sL
  U sL  U sp
 1
d
Fluido
C.I . en   0
Partículas

(4.13)
U sL  U sL0
(4.14)
1 d  2 dU sp 
2
p
0 2

   sU s
 d 
d 
(4.17)
dU sP
0
dr
en   0

Bi s U sL  U sP
   dUd
(4.18)
p
s
r R
(4.19)
 1
La solución del problema (4.17)-(4.19) es la siguiente (Morales-Zárate, 2009)
73
U sp 
Bi s sinh( s ) L
Us
M
 s
(4.20)
en donde
M  cosh   s    Bi s  1
senh   s 
s
(4.21)
y por lo tanto
U sp
 1

Bi s sinh( s ) L
Us
M
s
(4.22)
Las ecuaciones (4.13) y (4.14) junto con (4.22) se resuelven con POLYMATH
simulando diferentes condiciones de operación.
1.05
Bi = 10
1
Bi = 1
0.9
0.85
L
Us (adimensional)
0.95
Bi = 0.1
0.8
0.75
0.7
0
20
40
60
80
100
t (Adimensional)
Figura 4.1. Concentración de sustrato en la fase líquida U sL como una función del número
de Biot ( Bi ) considerando  s  0.1,   0.1
s
En la Figura 4.1 se presentan los resultados de la simulación para diversos
valores del número de Biot para un valor de  s  0.1 . Este valor del módulo de Thiele
74
implica que el proceso de degradación del sustrato es eficiente ya que no existen
problemas de transporte de masa en su interior. Por otro lado para Bi s  0.1 se
observa un alto consumo de sustrato y para Bi s  10 se observa un bajo consumo
de sustrato. Esto se debe a que para números de Biot bajos el sustrato se difunde
sin problemas hasta donde se encuentra la enzima en donde será degradado. Por
el contrario, para valores altos del número de Biot existen serios problemas de
difusión de materia en la partícula.
1
USAV
US
USPS
s
L
U (Adimensional)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100

150
200
250
(Adimensional)
Figura 4.2. Comparación entre la concentración en el fluido (US) y las concentraciones
promedio (USAV) y superficial (USPS) en la partícula para Bi s  0.1,   1,   0.1
Como se mencionó anteriormente, el número de Biot permite analizar el
proceso de transferencia de masa fuera de las partículas. En este sentido, aunque
valores bajos de Bi s implica que no hay problemas de transferencia de masa en el
interior de las partículas, también se puede establecer que no hay buena
transferencia del soluto hacia las partículas. Si este fuera el caso, entonces las
concentraciones promedio y superficial del sustrato en la partícula serían muy
75
similares, pero la concentración en el seno del líquido sería muy diferente de la
concentración en la superficie de la partícula. Lo anterior queda demostrado en la
Figura 4.2 donde se muestra una comparación entre la concentración en el seno del
líquido (US) y las concentraciones promedio (USAV) en la partícula y en la superficie
de la misma (UPS). Los problemas externos de transporte de masa están
relacionados entre otras cosas con el grado de agitación y con las propiedades
reológicas del líquido. Por el contrario valores altos Bi s aunque implicarían
problemas de transporte en el interior de la partícula, también significarían que no
se tienen problemas externos de transferencia de masa, por lo que la concentración
del fluido y de la superficie de la partícula serían más cercanas. Lo anterior se puede
observar en la Figura 4.3.
1
USAV
US
USPS
0.8
0.7
s
L
U (Adimensional)
0.9
0.6
0.5
0.4
0
50
100

150
200
250
(Adimensional)
Figura 4.3. Comparación entre la concentración en el fluido (US) y las concentraciones
promedio (USAV) y superficial (USPS) en la partícula para Bi s  10,   1,   0.1
76
1
s=0.1
L
Us (Adimensional)
0.8
0.6
s=1
0.4
s=10
0.2
0
0
20
40
60
80
100
(Adimensional)
Figura 4.4. Concentración de sustrato en la fase líquida U sL como una función del número
de Biot (  s ) considerando Bi s  1,   0.1
En la Figura 4.4 se presentan los resultados de la simulación para diversos
valores del número del módulo de Thiele para un valor de Bi s  1 . Este valor del
número de Biot implica los problemas de transferencia de masa son de la misma
importancia tanto en el interior como en el exterior de la partícula. Se observa que
para  s  0.1 se observa un bajo consumo de sustrato y para  s  10 se observa
un alto consumo de sustrato. Lo anterior estaría en conflicto con el concepto del
módulo de Thiele que se ha explicado. Sin embargo, también debe considerarse el
efecto del parámetro  que está relacionado con el área superficial de las partículas
y debe recordarse que entre mayor sea el área mayor será la cantidad que entre de
sustrato a las partículas. En la Figura 4.3 se observa este efecto.
77
CONCLUSIONES
En el municipio de Miahuatlán, Ver., existe un problema grave de
contaminación debido a la descarga en los cuerpos de agua de grandes volúmenes
de lactosuero sin tratamiento previo y por la generación de excretas de ganado
vacuno.
La utilización del lactosuero para producir biogás mediante digestión
anaerobia es una alternativa de gran potencial. Sin embargo, las características del
lactosuero hacen que el proceso sea muy inestable y difícil de operar y controlar.
El análisis de cómo influyen en el proceso parámetros como la temperatura,
la carga orgánica, el pH puede llevarse a cabo mediante el modelamiento
matemático del proceso.
Se desarrollaron modelos matemáticos que describen el proceso basados en
balances de materia y fenómenos de transporte. Los modelos se plantearon para
los tres tipos básicos de reactores considerando sistemas enzimáticos y sistemas
inoculados con microorganismos. Además se desarrollaron modelos homogéneos
y pseudohomogéneo.
Los modelos obtenidos son adecuados para analizar la influencia de los
procesos de transporte y reacción
78
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