Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Modéle d’Urnes Généralisé avec Tirages
Multiples et Addition Aléatoire
Rafik Aguech
Nabil Lasmar
Faculté des Sciences de Monastir
March 20, 2015
Olfa Selmi
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Plan
1
Introduction
2
Modéle de Renforcement Opposé.
3
Modéle d’Auto Renforcement
Auto Renforcement
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Introduction
• Une urne contient initialement W0 boules blanches et B0
boules bleues.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Introduction
• Une urne contient initialement W0 boules blanches et B0
boules bleues.
• Un tirage sans remise de s ≥ 2 boules dans l’urne est
effectué.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Introduction
• Une urne contient initialement W0 boules blanches et B0
boules bleues.
• Un tirage sans remise de s ≥ 2 boules dans l’urne est
effectué.
• Soit w le nombre de boules blanches de l’échantition
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Introduction
• Une urne contient initialement W0 boules blanches et B0
boules bleues.
• Un tirage sans remise de s ≥ 2 boules dans l’urne est
effectué.
• Soit w le nombre de boules blanches de l’échantition
• On remet l’ensemble des boules dans l’urne avec
(s − w)X boules blanches et wX boules bleues (resp wX
boules blanches et (s − w)X boules bleues) où X est une
variable aléatoire á valeurs dans N,
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Introduction
• Une urne contient initialement W0 boules blanches et B0
boules bleues.
• Un tirage sans remise de s ≥ 2 boules dans l’urne est
effectué.
• Soit w le nombre de boules blanches de l’échantition
• On remet l’ensemble des boules dans l’urne avec
(s − w)X boules blanches et wX boules bleues (resp wX
boules blanches et (s − w)X boules bleues) où X est une
variable aléatoire á valeurs dans N,
• On note Wn (resp Tn ) le nombre de boules blanches ( resp
le nombre P
total de boules) après n tirages de l’urne. Alors
Tn = T0 + nk =1 sXk où X1 , . . . , Xn sont des copies
indépendantes de X .
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Introduction
• (Fn )n≥0 la filtration engendrée par les n premiers tirages.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Introduction
• (Fn )n≥0 la filtration engendrée par les n premiers tirages.
• ξn+1 le compte des boules 0 W 0 dans l’échantillion numéro
n, ainsi ξn+1 sachant Fn est hypergeomètrique;
P(ξn+1 = j|Fn ) =
et
E(ξn+1 ) = sE
Wn
j
Tn −Wn
s−j
Tn
s
W n
Tn
.
.
(1)
(2)
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Le Modèle de Renforcements Opposés
La dynamique de ce modèle est donnée par cette relation de
récurrence:
Wn = Wn−1 + (s − ξn )Xn
(3)
Espérance et Variance
On établit que l’espérance et la variance de Wn vérifient
E(Wn ) =
Var (Wn ) =
√
sµ
n + o( n ln(n))
2
√
s(s + 1)σ 2 + sµ2
n + o( n ln(n)).
12
(4)
(5)
On utilise des inégalités maximales de Kolmogorov (M.
Longnecker and R. J. Serfling.(1977), Billingsley) pour établir la
loi forte des grands nombres.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Loi Forte des Grands Nombres
Le nombre de boules blanches après n tirages vérifie presque
sûrement:
√
sµ
Wn =
n + o( n ln(n)),
(6)
2
et par la suite
ln(n) Wn
1
= +o √
, (presque sûrement).
Tn
2
n
Soit I un sous ensemble fini de {1, n − 1}. Alors
E(
ln(n) Wn
1
|ξi = si , Xi = ki , i ∈ I) = + o √
Tn
2
n
(7)
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Définition
•Le coefficient α− mélange de deux tribus G1 et G2 est définit
par
α(G1 , G2 ) = sup {|P(A ∩ B) − P(A)P(B)|A ∈ G1 , B) ∈ G2 }
• En terme des fonctions mesurables;
α(G1 , G2 ) = sup {|Cov (u, v ))|, 0 ≤ u, v ≤ 1 σ(u) ⊂ G1 , σ(v ) ⊂ G2 }
•Une suite de v.a (Xn )n≥0 est dite α−mélangeante si la suite
α(n) =: sup{α(σ(Xj , 0 ≤ j ≤ k ), σ(Xj , j ≥ k + n))}
k ≥0
converge vers 0.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Lemme
La suite ((s − ξn )Xn )n≥1 est α−mélangeante, plus précisement
on a
ln(n)
α(n) = o( √ ).
(8)
n
esquisse de la démonstration
Soit i1 < . . . ir ≤ k < ` ≤ ir +1 < . . . < im pour tout couple (p, h)
tels que 1 ≤ p ≤ h ≤ m, (sα )p≤α≤h ∈ [0, s] et (kα )p≤α≤h ∈ N on
pose
wp,h = P(ξih Xih = sh kh |ξiα Xiα = sα kα , (p ≤ α ≤ h))
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés

wp,h =
X
E
k |sh kh
avec
sh (k ) =
sh kh
k .(x)n
Wih −1 Bih −1 sh (k ) s−sh (k )
|ξiα Xiα
Tih −1 s
Auto Renforcement

= sα kα , p ≤ α ≤ h  pk
= x(x − 1) . . . (x − n + 1) = x n −
(Wih −1 )sh (k ) (Bih −1 )s−sh (k )
(Tih −1 )s
n
2
x n−1 + . . .,
ln(ih − 1)
P
))
= 2−s (1 + o( √
ih − 1
ln(n)
= 2−s (1 + o( √ )).
n
Alors
ln(n)
|wr +1,h − w1,h | = o( √ ).
n
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Soit u = 1(ξiα Xiα =sα kα ,1≤α≤r ) et v = 1(ξiα Xiα =sα kα , r +1≤α≤m)
|Cov (u, v )| ≤
m
X
ln(n) .
|wr +1,h − w1,h | = o p
(n)
h=r +1
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Convergence en loi
• Dans le cas où X = C est constante le nombre total des
boules Tn est déterministe: H. Mahmoud, M. Kuba et A.
Panholzer (2013) ont déterminé la loi limite de
n)
√
en utilisant la méthode des moments.
Wn∗ = Wn −E(W
n
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Convergence en loi
• Dans le cas où X = C est constante le nombre total des
boules Tn est déterministe: H. Mahmoud, M. Kuba et A.
Panholzer (2013) ont déterminé la loi limite de
n)
√
en utilisant la méthode des moments.
Wn∗ = Wn −E(W
n
• Ils ont donné aussi une alternative en utilisant le TLC pour
les Martingales.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Une manière pour elucider la loi limite de Wn∗ est de
l’approximer en loi par une somme de variables aléatoires
indépendantes.
On suppose désormais que E(X 4 ) < ∞ et on pose pour tout
i ∈ [1, n] :
(s − ξi )Xi − (s − E(ξi ))µ
.
Yni =
σn
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Technique des Blocks de Bernstein
Cette méthode consiste à décomposer l’intervalle [1, n] en des
’grands blocks’ et ’petits blocks’ tels que la somme des Yni pour
i appartenant à l’union des petits blocks converge en loi vers 0
tandis que la somme des Yni pour i dans l’union des grands
blocs approche Wn ∗ en loi.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
h 1 i
7
n4
n
Soit qn = ln(n)
, pn = [n 8 ln(n)] et kn tels que kn = [ pn +q
]. On
n
note pour chaque i ∈ [1, kn ],
ipn +(i−1)qn
i(pn +qn )
X
ζni =
Ynj et Zni =
j=(i−1)(pn +qn )+1
Ainsi Wn ∗ =
Pkn
i=1 ζni
+
Pkn
i=1 Zni
X
j=ipn +(i−1)qn +1
+
Pn
j=kn +1 Ynj .
Ynj .
(9)
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Pn
Une estimation de Var ( ki=1
Zni ) :
3
|Cov (Zni , Znj )| ≤
n− 4 8s2 (σ 2 + µ2 )qn2
=o
.
n
ln(n)2
D’une manière similaire
kn
X
i=1
Var (Zni ) ≤
5
kn qn2
= o(n− 8 ).
n
Introduction
Ainsi
on a
Le Modèle de Renforcement Opposés
Pkn
i=1 Zni
Auto Renforcement
converge en loi vers 0 et d’après cette estimation
kX
n +1
Var (
i=1
ζni ) −→ 1.
(10)
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Lemme
Il existe une suite de variables aléatoires mutuellement
Loi
indépendantes ζ˜n1 , . . . , ζ˜nkn telles que pour chaque i : ζ˜ni = ζni
Pkn +1 ˜
Loi
et que
ζni − ζni −→ 0.
i=1
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Preuve
• En effet il suffit de démontrer que
∆n = E(e−it
P kn
j=1 ζnj
)−
Qkn
j=1 E(e
−itζnj )
vérifie |∆n | −→ 0.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Preuve
• En effet il suffit de démontrer que
∆n = E(e−it
P kn
j=1 ζnj
• On pose πrn =
|∆n | ≤
)−
Pkn
i=r
Qkn
j=1 E(e
vérifie |∆n | −→ 0.
ζni , on a
kn
kn Y
kn
h−1
h
Y
Y
X
Y
E(eitζnj )E( eitζnj )
E(eitζnj )E(
eitζnj ) −
j=h+1
h=1 j=1
≤
−itζnj )
j=1
kn X
E(eitπh+1,n eitζnh ) − E(eitπh+1,n )E(eitζnh )
h=1
5
≤ 4kn α(qn ) = o(n− 16 ln(n))
j=h
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Théorème Central Limite:
On montre que la suite (ζ˜ni )1≤i≤kn vérifie les conditions du TLC:
On vérifie la condition de Lindeberg
kn
X
P
E(ζnj2 1|ζnj |>ε ) −→ 0.
j=1
On montre que
Pkn
4
i=1 E(ζni )
−→ 0 :
(11)
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
ipn +(i−1)pn
X
(s − ξj )Xj
=: Hn = Wipn +(i−1)qn − W(i−1)pn +(i−1)qn
j=(i−1)(pn +qn )+1
p.s
=
√
pn + o( pn ln(pn )).
La suite pn−2 (ln(pn ))−4 (Hn − E(Hn ))4 est uniformément
intégrable alors on a;
kn
1 X
pn2 kn ln(pn )4
4
E((H
−
E(H
))
)
=
o(
)
n
n
n2
n2
i=1
1
= o(n− 8 ln(n)4 ).
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Théoréme:
Soit Wn le nombre de boules blanches pour un modèle d’urnes
géneralisées alors
s(s + 1)σ 2 + sµ2 Wn − E(Wn ) D
√
−→ N 0,
.
12
n
(12)
En particulier si, W0 = B0 on a:
s(s + 1)σ 2 + sµ2 Wn − sµn
D
√ 2 −→ N 0,
.
12
n
Etendre ce résultat dans le cas où E(X r ) = ∞ avec r ≥ 0.
(13)
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Modèle d’Auto Renforcement
La dynamique du modèle est décrite par une équation recursive
Wn+1 = Wn + Xn+1 ξn+1
(14)
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Théorème
Wn p.s
−→ W∞ où W∞ est une variable aléatoire non dégenerée.
n
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Remarque
Lorsque X est constante, M.R Chen et M. Kuba(2012) ont
déterminés les valeurs exactes des moments de W∞ .
Théorème
On suppose que X est a support borné. Alors la loi de W∞ est
absolument continue.
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. On définit la suite
d’événements
Ω` := {W` ≥ sA, et, T` − W` ≥ sA}
avec |X | ≤ A. On
Pa P(∪`≥0 Ω` ) = 1. Soit (pc )c la loi de X ,
dn = min{W0 + Pnk =1 ck ik , ck ∈ Supp(X ), 0 ≤ ik ≤ s} et
Dn = max{W0 + nk =1 ck ik , ck ∈ Supp(X ), 0 ≤ ik ≤ s}. Tout
revient a demontrer que W∞ est absolument continue surs
chaque Ω` .
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Lemme (Wei 2005)
Il existe une constante positive κ telle que pour tout
c ∈ Supp(X), n ≥ ` + 1, d1 ≤ j ≤ D` et k ≤ Dn on a
s
X
i=0
P(Wn+1 = j + k + ic|Wn = j + k ) ≤ pc (1 −
1
κ
+ 2 ). (15)
n n
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Preuve
Soit un,k (c) =
Ps
i=0 P(Wn+1
= j + k + ic|Wn = j + k ). On a
−1
s X
j +k
Tn − j − k
Tn
un,k (c) = pc
i
s−i
s
i=0
−1 s
Tn
Ts
T
1 − s − 2c s−1
= pc
( n +
Tn + . . .)( n
s
s!
(s − 1)!
s!
(1 − s) s−1
1
1
a.s
+ . . .)−1 = pc (1 − + O( 2 ))
+
T
2(s − 1)! n
n
n
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
Preuve du Théorème
Soit v`,n = max0≤k ≤dn {P(Wn = j + k |W` = j)}. On a
v`+n+1 ≤ (1 −
1
κ
+ 2 )v`+n
n n
On obtient ainsi pour tout n ≥ ` + 1,
v`+n+1 ≤
n Y
i=`
i
1−
X1
1
κ
C(`)
+ 2 ≤ exp(−
)≤
.
i
i
n
i
i=`
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Auto Renforcement
ε
Soit ε > 0 et δ = C(`)
. Soit x1 < x10 ≤ x2 < x20 ≤ . . . ≤ xr < xr0
P
une famille de réels tels que ri=1 |xi0 − xi | ≤ δ. D’aprés le
lemme de Fatou on a
r
X
P({xi ≤ W∞ ≤
xi0 }
∩ Ω`,j ) ≤
i=1
≤
r
X
i=1
r
X
limP(xi ≤
Wn
≤ xi0 |W` = j)P(Ω
n
lim(((xi0 − xi )n + 1)
i=1
≤
r
X
i=1
(xi0 − xi )C(`) = ε.
C(`)
)
n
Introduction
Le Modèle de Renforcement Opposés
Merci.
Auto Renforcement