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Fonctions analytiques
26/03/2015
W. Aschbacher (http ://aschbacher.univ-tln.fr/)
M65 L3 Cours du 2e semestre 2014 – 2015 (19x2h CM et 19x2h TD)
´
Licence Mathematiques
`
Table des matieres
1 Nombres complexes
1.1 Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
´
1.2 Applications lineaires
reelles
et complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
2 Calcul differentiel
complexe
´
2.1 Derivabilit
e´ complexe . . . . . . . . . . . .
´
´
´
2.2 Derivabilit
e´ complexe vs. derivabilit
e´ reelle
.
2.3 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . .
2.4 Holomorphie et conservation des angles . .
2.5 Fonctions biholomorphes . . . . . . . . . .
3
3
5
7
.
.
.
.
.
10
10
12
14
16
19
3 Notions de convergence
3.1 Convergence localement uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`
3.2 Criteres
de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.3 Series
normalement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
26
28
´
`
4 Series
entieres
`
4.1 Criteres
de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
`
4.2 Exemples de series
entieres
convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
`
4.3 Holomorphie des series
entieres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
34
36
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
´ ementaires
´
5 Fonctions transcendantes el
´
5.1 Fonction exponentielle et fonctions trigonometriques
. . . . . . . . . . . . . .
5.2 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
40
43
´
6 Calcul integral
complexe
´
6.1 Integrales
curvilignes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ es
´ gen
´ erales
´
6.2 Propriet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
50
52
54
´ emes
`
7 Theor
de Cauchy et analyticite´
´ eme
`
´
´ es
´
7.1 Theor
integral
de Cauchy pour des domaines etoil
. . . . . . . . . . .
´
7.2 Formule integrale
de Cauchy pour des disques . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Analyticite´ des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
60
62
65
´ es
´ fondamentales des fonctions holomorphes
8 Propriet
´ eme
`
8.1 Theor
d’identite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Estimations de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ emes
`
8.3 Theor
de convergence de Weierstrass . . . . . .
´ eme
`
8.4 Theor
de l’image ouverte et principe du maximum
.
.
.
.
68
68
70
72
73
´ isolees
´
´
9 Singularites
et fonctions meromorphes
´ isolees
´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 Singularites
´
9.2 Fonctions meromorphes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
76
81
´
10 Series
de Laurent
10.1 Fonctions holomorphes dans des couronnes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ es
´ des series
´
10.2 Propriet
de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
83
89
´
11 Calculs des residus
´
11.1 Courbes simplement fermees
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ eme
`
´
11.2 Theor
des residus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
´
´
11.3 Integration
reelle
par le calcul des residus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
93
96
99
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
Nombres complexes
1.1
Le corps des nombres complexes
´
Aﬁn de pouvoir deﬁnir
l’ensemble des nombres complexes, nous commenc¸ons par faire le
rappel suivant (pour la notion de groupe, cf. Rap. 1.12).
´ (a, b) �→
´
Deﬁnition
1.1 Un corps est un ensemble K muni d’une addition K×K → K, notee
´ (a, b) �→ ab, ayant les propriet
´ es
´ suivantes :
a + b, et d’une multiplication K × K → K, notee
´
´ 0.
(K1) K est un groupe abelien
p.r. a` l’addition avec l’identite´ notee
´
´ 1.
(K2) K \ {0} est un groupe abelien
p.r. a` la multiplication avec l’identite´ notee
(K3) a(b + c) = ab + ac et (a + b)c = ac + bc pour tout a, b, c ∈ K
´ e´ (K3) s’appelle la distributivite.
´
La propriet
`
´
´
´ e´ (K2) est moRemarque 1.2 La deuxieme
equation
dans (K3) est necessaire
si la propriet
´ p.ex., pour le cas d’un anneau, ou` K n’est qu’un semi-groupe p.r. a` la multiplication,
diﬁee,
`
´ es
´ (G2) et (G3) de Rap. 1.12 (attention aux differentes
´
c.-a-d.,
un groupe sans les propriet
´
´
deﬁnitions
qui existent dans la litterature
!).
´ toujours R le corps des nombres reels.
´
On notera
Le corps des nombres complexes est
´
´
construit en deﬁnissant
une addition et une multiplication sur le produit cartesien
R2 .
´
Deﬁnition
1.3 Pour tout z1 := (x1 , y1 ) et z2 := (x2 , y2 ) dans R2 , l’addition complexe R2 ×
´ z1 + z2 , est deﬁnie
´
R2 → R2 , notee
par
z1 + z2 := (x1 + x2 , y1 + y2 ),
´ z1 z2 , est deﬁnie
´
et la multiplication complexe R2 × R2 → R2 , notee
par
z1 z2 := (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
´
´
Le produit cartesien
R2 muni de ces deux operations
s’appelle les nombres complexes et
´
1 := (1, 0) et i := (0, 1) (Euler, 1777), et (x, y) := (x, −y)
est note´ C . En plus, on ecrira
s’appelle le conjugue´ de (x, y) ∈ C.
´ eme
`
Theor
1.4 C est un corps.
�
´
Demonstration
1.4 Cf. Exr. 1
Remarque 1.5
(a) Comme (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0) et (x1 , 0)(x2 , 0) = (x1 x2 , 0) pour tout x1 , x2 ∈ R,
´
l’application R → C, deﬁnie
par x �→ (x, 0), est un plongement de corps (cf. Rap.
3
1.14). On identiﬁera alors x et (x, 0). En plus, comme z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) pour tout
´
z = (x, y) ∈ C, nous ecrirons,
en utilisant cette identiﬁcation,
z = x + iy.
´
´
(b) Nous rappelons qu’un nombre complexe z = x + iy se represente
geometriquement
´
par un point dans le plan complexe (egalement
appele´ le plan de Argand-Gauss),
ˆ de
´
ou` la partie reelle
Re(z) := x et la partie imaginaire Im(z) := y jouent le role
´ cartesiennes.
´
coordonnees
´
(c) Nous rappelons egalement
qu’une suite de nombres complexes (zn )n∈N converge
vers un z ∈ C si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N t.q. |zn − z| < ε pour tout n ≥ N , ou,
`
�
´
`
pour tout z = x + iy, le module de z est deﬁni
par |z| := x2 + y 2 (c.-a-d.,
la norme
2
`
´
pour les limites (et les deﬁnitions,
p.ex. de la
euclidienne sur R ). Toutes les regles
ˆ
continuite´ d’une fonction), sont les memes
que dans R (en remplac¸ant |x| pour x ∈ R
par |z| pour z ∈ C).
´ 1.3 se fait dans la complexiﬁcation d’un
(d) Une construction similaire a` celle de Def.
´ V deﬁnissant
´
espace vectoriel reel
une structure d’espace vectoriel complexe sur le
´
produit cartesien
V × V par la multiplication par un scalaire complexe
(α + iβ) (x, y) := (αx − βy, βx + αy).
� ��
∈ V×V
´ 1.3 peut se faire sur R4 , ou` l’addition
(e) Une autre construction similaire a` celle de Def.
´ 1.1 est donnee
´ par l’addition vectorielle sur R4 . En plus, pour deﬁnir
´
de Def.
une
4
` de la maniere
` suivante :
multiplication sur R , on procede
3
4
Soit {eα }�
x, �y ∈ R3
α=0 la base canonique de R , et soient x0 , y0 ∈ R, les vecteurs �
3
4
4
4
4
´
et �x�e := i=1 xi ei ∈ R . Alors, la multiplication R × R → R est deﬁnie,
pour tout
4
x = x0 e0 + �x�e et y = y0 e0 + �y�e dans R , par
xy := (x0 y0 − �x · �y )e0 + (x0 �y + y0�x + �x ∧ �y )�e,
´
ou` �x · �y est le produit scalaire euclidien et �x ∧ �y le produit vectoriel. On peut veriﬁer
4
que R muni de cette addition et de cette multiplication est un corps gauche, c.`
a-d.,
un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication qui satisfont toutes les
´ es
´ de Def.
´ 1.1 sauf, en gen
´ eral,
´
propriet
la commutativite´ de la multiplication dans (K2)
´ 1.1. Ce corps gauche s’appelle les quaternions. En notant 1 := e0 , i := e1 ,
de Def.
´ ebre
`
j := e2 et k := e3 , on obtient la cel
formule des quaternions (Hamilton, 1843)
i2 = j2 = k2 = ijk = −1.
ˆ
D’autres nombres hypercomplexes peuvent etre
construits dans des dimensions
´ ees
´ (octonions [non commutatifs, non associatifs ; Graves, 1843], sed
´ enions
´
plus elev
[non commutatifs, non associatifs, non alternatifs], . . . ).
4
1.2
´
´
Applications lineaires
reelles
et complexes
´
Comme le corps C est non seulement un espace vectoriel sur C mais egalement
sur R (cf.
´
´
Rap. 1.15), il faut distinguer, parmi les applications lineaires
C → C, les applications lineaires
´ C-lineaires,
´
´
´ R-lineaires
´
´
complexes, appelees
et les applications lineaires
reelles,
appelees
(cf. Rap. 1.16).
´
´ le nombre z ∈ C sera note´ z = x + iy
Dorenavant,
si rien d’autre n’est explicitement indique,
pour x, y ∈ R.
Proposition 1.6
´
(a) Une application T : C → C est R-lineaire
ssi
T (z) = T (1)x + T (i)y.
(1)
´
´
Dans ce cas, on peut egalement
ecrire
T (z) = λz + µ¯
z,
ou` nous utilisons la notation
�
1�
T (1) − iT (i) ,
λ :=
2
µ :=
�
1�
T (1) + iT (i) .
2
(2)
(3)
´
´
(b) Une application R-lineaire
T : C → C est C-lineaire
ssi
T (i) = iT (1).
Dans ce cas, T a la forme T (z) = T (1)z pour tout z ∈ C.
´
Demonstration
1.6
` Rap. 1.16, l’application T : C → C est R-lineaire
´
(a) D’apres
ssi T (α1 z1 + α2 z2 ) =
α1 T (z1 ) + α2 T (z2 ) pour tout z1 , z2 ∈ C et tout α1 , α2 ∈ R.
⇒ : Pour tout z = x + iy = x · 1 + y · i ∈ C, on obtient
T (z) = xT (1) + yT (i).
⇐ : En utilisant (1), pour tout z1 , z2 ∈ C et tout α1 , α2 ∈ R, on obtient
T (α1 z1 + α2 z2 ) = T ((α1 x1 + α2 x2 ) + i(α1 y1 + α2 y2 ))
= (α1 x1 + α2 x2 )T (1) + (α1 y1 + α2 y2 )T (i)
= α1 (x1 T (1) + y1 T (i)) + α2 (x2 T (1) + y2 T (i))
= α1 T (z1 ) + α2 T (z2 ).
Finalement, nous obtenons (2) en calculant
λz + µ¯
z=
1
1
(T (1) − iT (i))(x + iy) + (T (1) + iT (i))(x − iy) = xT (1) + yT (i).
2
2
(b) Cf. Exr. 2
�
5
´
Dans ce cours, nous notons Mat(n, m, C) et Mat(n, m, R) les matrices n × m a` entrees
´
´
complexes respectivement reelles.
Si n = m, nous ecrirons
Mat(n, C) := Mat(n, n, C) et
Mat(n, R) := Mat(n, n, R).
�
�
a b
´
∈ Mat(2, R). Pour tout z = (x, y) ∈ C, l’application TA : C →
Deﬁnition
1.7 Soit A =
c d
´
C est deﬁnie
par
�
� � �
ax + by
x
.
=
TA (z) := A
cx + dy
y
´
´
ˆ
´ ees
´
La R-linearit
e´ et la C-linearit
e´ d’une application C → C peuvent etre
caracteris
de la
` suivante.
maniere
Proposition 1.8 Soit T : C → C.
´
(a) T est R-lineaire
ssi il existe A ∈ Mat(2, R) t.q. T = TA .
�
�
a b
´
(b) T est C-lineaire
ssi il existe A =
∈ Mat(2, R) t.q. T = TA et
c d
a = d,
b = −c.
´
Demonstration
1.8
(a) ⇒ : Posons a + ic := T (1) et b + id := T (i) avec a, b, c, d ∈ R. Alors, en utilisant Prop.
1.6 (a), on a, pour tout z ∈ C,
T (z) = T (x + iy)
Prop. 1.6 (a)
=
T (1)x + T (i)y = (a + ic)x + (b + id)y = (ax + by) + i(cx + dy),
�
�
a b
`
` Def.
´ 1.7, on a T = TA pour A :=
∈ Mat(2, R).
c.-a-d.,
d’apres
c d
�
�
a b
∈ Mat(2, R). Alors, comme
⇐ : Soit T = TA pour un A =
c d
��
�
��
�
b
a b 0
a
a b 1
,
=
,
T (i) =
=
T (1) =
d
c d 1
c
c d 0
on obtient, pour tout z ∈ C, que
�
��
�
� �
� �
a b x
ax + by
a
b
T (z) =
=
=x
+y
= xT (1) + yT (i).
c d y
cx + dy
c
d
` Prop. 1.6 (a), l’application T est R-lineaire.
´
Alors, d’apres
(b) Cf. Exr. 3
�
6
Remarque 1.9
´
´
(a) Nous resumons
qu’une application T : C → C est R-lineaire
:
T = TA pour un A ∈ Mat(2, R)
T (z) = T (1)x + T (i)y
T (z) = λz + µ¯
z
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
(4)
(5)
(6)
´
Les conditions equivalentes
(4), (5) et (6) trouveront plus tard leurs applications dans
´
´
´
la theorie
des fonctions derivables
f : C → C, ou` on ecrit
f = u + iv avec u, v : C ∼
=
2
´ ees
´ partielles reelles
´
R → R. A savoir, les deriv
∂x u,
∂y u,
∂x v,
∂y v,
´ de A dans (4), les deriv
´ ees
´ partielles complexes
correspondront aux entrees
∂x f,
∂y f,
´ ees
´
correspondront aux nombres T (1) et T (i) dans (5) et les deriv
∂z f,
∂z¯f,
correspondront aux nombres λ et µ dans (6).
´ ement
´
´
(b) Les conditions a = d et b = −c de Prop. 1.8 (b) expriment precis
les equations
`
de Cauchy-Riemann, c.-a-d.,
∂x u = ∂y v,
∂y u = −∂x v,
cf. Thm. 2.5 (c) ci-dessous.
´ ee
´ partielle p.r. a` x d’une fonction f , nous utiliseront les notations
(c) Pour la deriv
∂f
= ∂x f = f x .
∂x
1.3
Applications conformes
´
Dans la theorie
des fonctions analytiques du point de vue de B. Riemann, les applications
`
ˆ important (cf.
conformes, c.-a-d.,
les applications qui conservent les angles, jouent un role
´
la presentation).
´
`
´
Deﬁnition
1.10 Soit T : C → C une application R-lineaire
injective (c.-a-d.,
T (z) = 0 ssi
z = 0). L’application T s’appelle conforme si, pour tout w, z ∈ C, on a
|w||z|�T (w), T (z)� = |T (w)||T (z)|�w, z�,
(7)
´ C∼
ou` �w, z� := Re(w¯
z ) est le produit scalaire euclidien (dans l’espace vectoriel reel
= R2 ,
cf. Rap. 1.17). En outre, pour tout w, z ∈ C∗ := C \ {0}, l’angle entre w et z est l’unique
ϕ ∈ R avec 0 ≤ ϕ ≤ π t.q.
cos(ϕ) =
On notera parfois �(w, z) := ϕ .
7
�w, z�
.
|w||z|
´
´
´
Proposition 1.11 Soit T : C → C une application R-lineaire
injective. Alors, les enonc
es
´
suivants sont equivalents
:
(a) T est conforme.
(b) �(T (w), T (z)) = �(w, z) pour tout w, z ∈ C∗ (conservation des angles)
(c) Il existe a ∈ C∗ t.q. :
soit T (z) = az pour tout z ∈ C (similitude directe),
soit T (z) = a¯
z pour tout z ∈ C (similitude indirecte).
(d) Il existe s > 0 t.q. �T (w), T (z)� = s�w, z� pour tout w, z ∈ C.
´
Demonstration
1.11
´
(a) ⇔ (b) : Comme, pour tout w, z ∈ C∗ , on peut ecrire
�
�
�T (w), T (z)�
,
�(T (w), T (z)) = arccos
|T (w)||T (z)|
´ 1.10 fournit l’equivalence
´
on voit que Def.
(noter que T (z) �= 0 pour z �= 0 et que le module
´
`
de l’argument du arccos est plus petit ou egal
a` 1, c.-a-d.,
l’argument se trouve bel et bien
´
dans le domaine de deﬁnition
du arccos).
´
(a) ⇒ (c) : Comme T est injectif, on a a := T (1) ∈ C∗ . Alors, pour b := T (i)/a, on peut ecrire
´ 1.10
Def.
a) = |a|2 Re(b),
|T (i)||T (1)| �i, 1� = |i||1|�T (i), T (1)� = �ab, a� = Re(ab¯
��
=0
(1)
`
´
c.-a-d.,
b = ir pour un r ∈ R. Il en resulte
que T (z) = T (1)x + T (i)y = a(x + iry), d’ou`
�T (1), T (z)� = �a, a(x + iry)� = |a|2 x.
Alors, pour tout z ∈ C, nous obtenons
|x + iy||a|2 x = |1||z|�T (1), T (z)� = |T (1)||T (z)|�1, z� = |a||a(x + iry)|x,
d’ou` |x + iy| = |x + iry| pour tout z = x + iy ∈ C t.q. x �= 0. Si, en plus, y �= 0, on obtient alors
`
r = ±1, c.-a-d.,
T (z) = a(x ± iy).
Si on suppose qu’il existe z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 avec z1 , z2 ∈ C \ {x + iy ∈ C | xy = 0}
t.q. T (z1 ) = a(x1 + iy1 ) et T (z2 ) = a(x2 − iy2 ), on arrive a` une contradiction avec la condition
´ en utilisant la continuite´ de T .
(7). Les cas restants sont traites
(c) ⇒ (d) : Cf. Exr. 4
(d) ⇒ (a) : Cf. Exr. 4
�
8
Rappels
´ (g, h) �→ gh, ayant
Rappel 1.12 Un groupe est un ensemble G muni d’une multiplication G × G → G, notee
´ es
´ suivantes :
les propriet
´
(G1) g(hk) = (gh)k pour tout g, h, k ∈ G (associativite)
´ t.q. ge = eg = g pour tout g ∈ G.
(G2) Il existe e ∈ G (identite)
(G3) Pour tout g ∈ G, il existe h ∈ G (inverse) t.q. gh = hg = e (on note souvent g −1 := h).
´
Un groupe G s’appelle abelien
(ou commutatif) si gh = hg pour tout g, h ∈ G.
Rappel 1.13 Soient G et H des groupes. Un homomorphisme de groupes de G dans H est une application
´ e´ suivante (pour tout g, h ∈ G) :
Φ : G → H ayant la propriet
(HG) Φ(gh) = Φ(g)Φ(h)
´
Si l’application Φ est injectif, surjectif ou bijectif, elle s’appelle respectivement un monomorphisme, un epimorphisme ou un isomorphisme de groupes. Si Φ : G → H est un homomorphisme de groupes et eH l’identite´
de H, l’ensemble ker(Φ) := {g ∈ G | Φ(g) = eH } s’appelle le noyau de Φ.
Rappel 1.14 Soient R et S deux anneaux (cf. Rem. 1.2). Un homomorphisme d’anneaux de R dans S est
´ es
´ suivantes (pour tout a, b ∈ R) :
une application Φ : R → S ayant les propriet
(HA1) Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b)
(HA2) Φ(ab) = Φ(a)Φ(b)
`
´ e´ (G2) de Rap. 1.12 p.r. a` la multiplication, ou`
Si les deux anneaux sont unitaires, c.-a-d.,
s’ils ont la propriet
´ respectives, on demande en plus :
on note 1R et 1S les identites
(HA3) Φ(1R ) = 1S
Soient K et L deux corps. Tout homomorphisme d’anneaux Φ : K → L (qui satisfait donc (HA1)–(HA3)) est
injectif et s’appelle un plongement de corps.
Rappel 1.15 Soit K un corps. Un espace vectoriel sur K est un ensemble V muni d’une addition V × V → V,
´ (u, v) �→ u + v, et d’une multiplication par un scalaire K × V → V, notee
´ (λ, u) �→ λu, ayant les
notee
´ es
´ suivantes (pour tout λ, µ ∈ K et tout u, v ∈ V) :
propriet
´
´ 0.
(V1) V est un groupe abelien
p.r. a` l’addition avec l’identite´ notee
(V2) (λ + µ)u = (λu) + (µu)
(V3) (λµ)u = λ(µu)
(V4) 1u = u
(V5) λ(u + v) = (λu) + (λv) (distributivite´ (a` gauche))
ˆ
´
Rappel 1.16 Soient V et W deux espaces vectoriels sur le meme
corps K. Une application lineaire
de V
´ v �→ T v := T (v), ayant les propriet
´ es
´ suivantes (pour tout λ ∈ K
dans W est une application T : V → W, notee
et tout u, v ∈ V) :
´
(L1) T (u + v) = T u + T v (additivite)
´ eit
´ e)
´
(L2) T (λv) = λT v (homogen
Rappel 1.17 Soit V un espace vectoriel sur K. Un produit scalaire sur V est une application ( · , · ) : V ×V → K
´ es
´ suivantes (pour tout α ∈ K et tout u, v, w ∈ V) :
ayant les propriet
(PS1) (u, u) ≥ 0
(PS2) (u, u) = 0 ssi u = 0
(PS3) (u, v + w) = (u, v) + (u, w)
(PS4) (u, αv) = α(u, v) (attention a` la convention !)
(PS5) (u, v) = (v, u).
9
´
Calcul differentiel
complexe
2
´
´
´
La theorie
des fonctions analytiques est la theorie
des fonctions qui sont derivables
au sens
´
complexe. Il faut souligner que la derivabilit
e´ complexe est beaucoup plus qu’une simple
´
´
analogie de la derivabilit
e´ reelle.
2.1
´
Derivabilit
e´ complexe
´ D designera
´
Dans ce cours, sans que rien d’autre ne soit explicitement indique,
toujours
un ouvert non vide dans C.
´
´
Deﬁnition
2.1 Une fonction f : D → C s’appelle C-derivable
au point c ∈ D s’il existe une
fonction g : D → C, continue au point c, t.q., pour tout z ∈ D, on a
f (z) = f (c) + (z − c)g(z).
Comme g est continue en c, la limite
df
f (c + h) − f (c)
(c) := lim
h→0
dz
h
´
´ ee
´ complexe de f p.r. a` z au point c ∈ D.
existe et est egale
a` g(c). Elle s’appelle la deriv
df
�
On notera souvent f (c) pour dz (c).
Exemple 2.2
´
(a) La fonction f : D := C → C, deﬁnie,
pour tout n ∈ N∗ et tout z ∈ C, par
f (z) := z n ,
´
est C-derivable
en tout point de C.
´
(b) La fonction f : D := C → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ C, par
f (z) := z¯,
´
n’est C-derivable
en aucun point de C.
´
(c) Les fonctions D := C → C, deﬁnies,
pour tout z ∈ C, par
z �→ Re(z), Im(z), |z|,
´
ne sont nulle part C-derivables
en C.
10
´
Demonstration
2.2
´
(a) Soit c ∈ C. Alors, nous pouvons ecrire
f (z) = cn + (z − c)g(z),
ou` la fonction g : C → C a la forme g(z) = z n−1 + cz n−2 + . . . + cn−2 z + cn−1 . Alors, on a
f � (c) = g(c) = ncn−1 ,
`
c.-a-d.,
on obtient (z n )� = nz n−1 .
(b) Cf. Exr. 5
´
´ en exercice au lecteur.
(c) La demonstration
est laissee
�
Remarque 2.3
(a) Pour une fonction f : D → C, nous utiliserons souvent la notation standard
f = u + iv,
´
ou` les fonctions u : D → R et v : D → R sont respectivement deﬁnies
par la partie
´
`
reelle
et imaginaire de f , c.-a-d.,
u := Re(f ),
v := Im(f ).
´
(b) Si la fonction f : D → C est C-derivable
au point c = a + ib (ou` a, b ∈ R), on a
f (c + h) − f (c)
f (c + ih) − f (c)
= lim
.
h→0
h→0
h
ih
f � (c) = lim
Alors, si on choisit h ∈ R (et si on fait l’identiﬁcation habituelle u(z) = u(x + iy) ∼
=
` analogue pour v), on obtient, d’une part,
u(x, y) et de maniere
u(a + h, b) − u(a, b)
v(a + h, b) − v(a, b)
+ i lim
= ux (c) + ivx (c).
h→0
h→0
h
h
f � (c) = lim
´
Mais, d’autre part, nous avons egalement
1
u(a, b + h) − u(a, b)
v(a, b + h) − v(a, b)
+ i lim
= (uy (c) + ivy (c)).
h→0
h→0
ih
ih
i
f � (c) = lim
´
´
´
Il en resulte
que, si f est C-derivable
au point c, alors la partie reelle
et imaginaire
´
´
de f satisfont les equations
differentielles
de Cauchy-Riemann (ECR) au point c,
`
c.-a-d.,
ux (c) = vy (c),
11
uy (c) = −vx (c).
2.2
´
´
´
Derivabilit
e´ complexe vs. derivabilit
e´ reelle
´
´
Nous rappelons la notion de derivabilit
e´ reelle
suivante.
´
Deﬁnition
2.4 Soient m, n ∈ N∗ et D un ouvert non vide de Rm . Une fonction f : D ⊆ Rm →
´
´
Rn s’appelle R-derivable
au point c ∈ D s’il existe une application R-lineaire
T : R m → Rn
t.q.
|f (c + h) − f (c) − T h|
= 0,
h→0
|h|
lim
´
´
T est unique et
ou` | · | representent
des normes dans Rm et Rn . L’application R-lineaire
´ Df (c) . En utilisant la notation
´
s’appelle la differentielle
de f au point c ∈ D et sera notee
´
f = (f1 , . . . , fn ) avec fi : D → R pour tout i ∈ {1, . . . , n}, la differentielle
s’identiﬁe a` la
matrice jacobienne
 ∂f1

∂f1
(c) . . . ∂x
(c)
∂x1
m

..  ∈ Mat(n, m, R).
Jf (c) :=  ...
. 
∂fn
(c)
∂x1
...
∂fn
(c)
∂xm
´
´
` suivante.
La derivabilit
e´ complexe peut se caracteriser
alors de la maniere
´
´ suivants sont equivalents
´
´ eme
`
Theor
2.5 Soit f : D → C et c ∈ D. Alors, les enonc
es
:
´
(a) f est C-derivable
en c.
´
´
´
(b) f est R-derivable
en c et la differentielle
Df (c) : C → C est C-lineaire.
´
(c) f est R-derivable
en c et pour f = u + iv les ECR sont satisfaites :
ux (c) = vy (c),
uy (c) = −vx (c).
´
Dans ces cas, nous pouvons ecrire
f � (c) = ux (c) + ivx (c) = vy (c) − iuy (c).
(8)
´
Demonstration
2.5
` Def.
´ 2.1, nous pouvons ecrire
´
(a) ⇔ (b) : D’apres
f (c + h) − f (c) − f � (c)h
= 0.
h→0
h
lim
´
et comme une application
Comme l’application h �→ f � (c)h est une application C-lineaire
2
2
´
´
` l’identiﬁcation habituelle R2 ∼
R-lineaire
R → R est C-lineaire
(apres
= C) ssi elle a la forme
´
z �→ az pour un a ∈ C, on obtient l’equivalence.
´
´ 1.7), ou`
(b) ⇔ (c) : La differentielle
Df (c) a la forme TA (cf. Def.
�
�
ux (c) uy (c)
.
(9)
A :=
vx (c) vy (c)
12
` Prop. 1.8 (b), TA est C-lineaire
´
D’apres
ssi ux (c) = vy (c) et uy (c) = −vx (c).
�
´ dans Rem. 2.3 (b).
Finalement, l’expression pour f (c) est donnee
�
Remarque 2.6
´
´
´
´
´ Elle
(a) Nous soulignons que la C-linearit
e´ de la differentielle
caracterise
la C-derivabilit
e.
est la raison profonde pour l’existence des ECR.
´
(b) Une condition sufﬁsante pour la C-derivabilit
e´ est la suivante :
´
Soient u, v : D → R des fonctions continument
partiellement derivables
en tout point
ˆ
de D (cf. Rap. 2.36) et soit, pour tout c ∈ D,
ux (c) = vy (c),
uy (c) = −vx (c).
´
Alors, f = u + iv est C-derivable
en tout point de D.
Exemple 2.7
´
pour tout (x, y) ∈ R2 , par
(a) Soient les fonctions u, v : R2 → R deﬁnies,
u(x, y) := ex cos y,
v(x, y) := ex sin y.
´
Alors, f := u + iv est C-derivable
en tout point de C.
´
pour tout (x, y) ∈ R2 , par
(b) Soient les fonctions u, v : R2 → R deﬁnies,
u(x, y) := x3 y 2 ,
v(x, y) := x2 y 3 .
´
En quels points de C, la fonction f := u + iv est-elle C-derivable
?
´
Demonstration
2.7
´
(a) Comme u et v sont partout continument
partiellement derivables
et comme les ECR
ˆ
`
sont satisfaites, c.-a-d.,
comme
ux (x, y) = ex cos y,
vx (x, y) = ex sin y,
uy (x, y) = −ex sin y,
vy (x, y) = ex cos y,
´
Rem. 2.6 (b) implique que f est C-derivable
en tout point de C.
(b) Cf. Exr. 6
�
´ es
´ suivantes.
En plus, nous avons les propriet
´
Proposition 2.8 Soit f = u + iv une fonction C-derivable
en D.
´
´
(a) Alors, le determinant
de sa matrice jacobienne est non negatif
en tout point de c ∈ D,
det(Jf (c)) ≥ 0.
13
´
(b) Soient u et v deux fois continument
partiellement derivables
en tout point de D. Alors,
ˆ
`
´
u et v sont des fonctions harmoniques, c.-a-d.,
des fonctions qui satsifont l’equation
de Laplace,
Δu = 0,
Δv = 0,
´
´
ou` Δ := ∂x2 + ∂y2 est l’operateur
differentiel
appele´ le laplacien.
�
´
Demonstration
2.8 Cf. Exr. 7
2.3
Fonctions holomorphes
´
´
A present,
nous allons introduire la notion fondamentale de la theorie
des fonctions analytiques.
´
´
Deﬁnition
2.9 Une fonction f : D → C s’appelle holomorphe dans D si f est C-derivable
en tout point de D.
Une fonction f : D → C s’appelle holomorphe au point c ∈ D s’il existe un voisinage ouvert
U ⊆ D du point c (cf. Rap. 2.37) t.q. (la restriction a` U de) f est holomorphe dans U .
Nous notons O(D) l’ensemble de toutes les fonctions holomorphes dans D (Cartan, 1952).
Une fonction f : D → C s’appelle antiholomorphe dans D si f¯ ∈ O(D).
Remarque 2.10
(a) L’ensemble des points en lesquels une fonction est holomorphe est toujours un ouvert
de C.
´
(b) Une fonction holomorphe au point c est C-derivable
en c. Par contre, une fonction
´
´ essairement
´
C-derivable
en c n’est pas nec
holomorphe en c.
´
Exemple : La fonction f de Ex. 2.7 (b) est C-derivable
partout sur les axes des
´ mais elle n’est holomorphe en aucun point de C.
coordonnees
`
´ ementaires
´
Les regles
de calcul el
sont les suivantes.
´ eme
`
Theor
2.11
(a) Soient f, g ∈ O(D) et a, b ∈ C. Alors, af + bg ∈ O(D) et f g ∈ O(D). En plus, on a
(af + bg)� = af � + bg � ,
(f g)� = f � g + f g � .
(b) Soient f ∈ O(D) et g ∈ O(D) t.q. g(z) �= 0 pour tout z ∈ D. Alors, f /g ∈ O(D) et on a
� ��
f
f �g − f g�
=
.
g
g2
(c) Soient g ∈ O(D) et f ∈ O(D � ) t.q. g(D) ⊆ D� . Alors, f ◦ g ∈ O(D) et on a
(f ◦ g)� = (f � ◦ g) g � .
14
´
´ en exercice au
´
Demonstration
2.11 La demonstration
se fait comme dans R et est laissee
lecteur.
�
Remarque 2.12
´
ˆ
(a) Les conditions de derivabilit
e´ peuvent etre
substantiellement affaiblies. On peut mon´
´
trer l’enonce suivant (Looman, 1923 ; Menchoff, 1935) :
`
´ eme
`
Theor
2.13 (Looman-Menchoff) Soit f ∈ C(D) (c.-a-d.,
f : D → C est continu)
´ ees
´ partielles ux , uy , vx et vy de f = u + iv existent partout
et supposons que les deriv
en D et que les ECR soient satisfaites partout en D. Alors, f ∈ O(D).
`
´
(b) Les regles
de derivation
de Thm. 2.11 impliquent que, pour tout D ⊆ C, l’ensemble
`
`
O(D) est une sous-algebre
complexe de l’algebre
complexe C(D) (cf. Rap. 2.38).
´
´
´ ees
´ partielles suivantes.
A present,
nous allons deﬁnir
les deriv
´
´
Deﬁnition
2.14 Soit f : D → C une fonction R-derivable
au point c ∈ D et soit T := Df (c)
´
´
´ ees
´
la differentielle
de f en c. Les deriv
partielles fx , fy , fz , fz¯ en c sont deﬁnies
par
fx (c) := T (1),
fy (c) := T (i),
1
fz := (T (1) − iT (i)),
2
1
fz¯ := (T (1) + iT (i)).
2
(10)
Remarque 2.15
´
´
(a) Soit f : D → C une fonction R-derivable
au point c ∈ D. Alors, la differentielle
Df (c)
´
´
est R-lineaire
et, pour tout h ∈ C, elle peut s’ecrire
dans les formes
(1)
(11)
Df (c)h = fx (c)Re(h) + fy (c)Im(h)
(2)
¯
= fz (c)h + fz¯(c)h
�
��
�
ux (c) uy (c) Re(h)
(9)
.
=
vx (c) vy (c) Im(h)
�
��
�
(12)
(13)
= Jf (c)
´
(b) Soit f : D → C une fonction R-derivable
au point c ∈ D. Alors, en utilisant (11) – (13),
´
nous pouvons ecrire,
qu’au point c,
fx = ux + ivx ,
fy = uy + ivy ,
1
fz = (fx − ify ),
2
1
fz¯ = (fx + ify ).
2
´
Nous remarquons que les equations
pour fz et fz¯ peuvent s’obtenir formellement
en remplac¸ant x et y respectivement par (z + z¯)/2 et (z − z¯)/(2i) dans f (x, y), par
` que z et z¯ sont des variables independantes
´
`
l’hypothese
et par la regle
(c) de Thm.
2.11.
15
´
´ mentionnee
´ dans (b), c.-a-d.,
`
´ que z
(c) Le calcul de Wirtinger developpe
l’idee
l’idee
´
et z¯ se comportent comme des variables independantes,
pour construire un calcul
´
´
differentiel
pour les operateurs
∂ :=
∂
,
∂z
∂
∂¯ :=
.
∂ z¯
´
Bien que ce calcul soit indispensable pour la theorie
des fonctions en plusieurs va´
riables complexes, il est sans importance pour la theorie
des fonctions analytiques en
une seule variable complexe.
´
Proposition 2.16 Soit f : D → C une fonction R-derivable
en D. Alors :
¯ = 0 en D. Dans ce cas, f � = ∂f en D.
(a) f ∈ O(D) ssi ∂f
�
¯ en D.
(b) f¯ ∈ O(D) ssi ∂f = 0 en D. Dans ce cas, f¯ = ∂f
�
´
Demonstration
2.16 Cf. Exr. 9
2.4
Holomorphie et conservation des angles
´
´
Deﬁnition
2.17 Soit f : D → C une fonction R-derivable
. La fonction f s’appelle conforme
´
au point c ∈ D (ou f conserve les angles au point c ∈ D) si la differentielle
Df (c) : C → C
´ 1.10).
est conforme (cf. Def.
f s’appelle conforme en D si f est conforme en tout point de D.
Une condition sufﬁsante pour qu’une fonction soit conforme est la suivante.
�
Proposition 2.18 Soit f ∈ O(D) et f � �= 0 en D ou soit f¯ ∈ O(D) et f¯ =
� 0 en D. Alors, f
est conforme en D.
´
Demonstration
2.18 Soit f ∈ O(D) et f � �= 0 en D. En utilisant Rem. 2.15 (a) et Prop. 2.16
´
(a), on peut ecrire
que, pour tout c ∈ D et tout h ∈ C,
¯ = fz (c)h = f � (c)h.
Df (c)h = fz (c)h + fz¯(c)h
` Prop. 1.11 (c), la differentielle
´
Alors, d’apres
Df (c) est conforme pour tout c ∈ D parce que
�
`
` analogue pour le cas d’une fonction
f (c) �= 0 pour tout c ∈ D. On procede
de maniere
`
antiholomorphe, c.-a-d., en utilisant Prop. 2.16 (b), on a, pour tout c ∈ D et tout h ∈ C,
¯ = fz¯(c)h
¯ = f¯� (c)h.
Df (c)h = fz (c)h + fz¯(c)h
´
´
En utilisant de nouveau Prop. 1.11 (c), on obtient l’enonc
e.
�
´
´
Aﬁn de demontrer
la reciproque
de Prop. 2.18, nous allons supposer que le domaine D est
connexe (cf. Rap. 2.39).
16
´
´ eme
`
Theor
2.19 Soit D connexe et f : D → C continument
partiellement derivable
en D.
ˆ
´
´ suivants sont equivalents
´
Alors, les enoc
es
:
(a) f est conforme en D.
(b) f ∈ O(D) et f � �= 0 en D ou f¯ ∈ O(D) et f¯ �= 0 en D.
�
´
Demonstration
2.19
´
(a) ⇒ (b) : Comme la fonction f est continument
partiellement derivable
en c ∈ D, elle est
ˆ
´
` Rem. 2.15 (a), sa differentielle
´
(continument)
R-derivable
en c (cf. Rap. 2.36 (e)) et, d’apres
ˆ
´
Df (c) : C → C s’ecrit,
pour tout h ∈ C, comme
¯
Df (c)h = fz (c)h + fz¯(c)h.
Comme f est conforme en D, Prop. 1.11 (c) implique que,
soit fz¯(c) = 0 et fz (c) �= 0,
soit fz¯(c) �= 0 et fz (c) = 0.
(14)
(15)
´
Alors, la fonction g : D → C, deﬁnie,
pour tout c ∈ D, par
g(c) :=
fz (c) − fz¯(c)
,
fz (c) + fz¯(c)
´
` que
est bien deﬁnie,
et nous avons g(D) = {−1, 1}. En utilisant Rem. 2.15 (b) et l’hypothese
´
f est continument
partiellement derivable,
on obtient que fz , fz¯ ∈ C(D) parce que
ˆ
1
fz¯ = (ux − vy + i(vx + uy )),
2
1
fz = (ux + vy + i(vx − uy )),
2
(16)
(17)
ˆ
et donc g ∈ C(D). Comme D est connexe, il s’ensuit que g doit etre
constant. Alors, soit
fz¯(c) = 0 et fz (c) �= 0 pour tout c ∈ D, soit fz¯(c) �= 0 et fz (c) = 0 pour tout c ∈ D. En utilisant
Prop. 2.16, on arrive a` la conclusion.
(b) ⇒ (a) : Cf. Prop. 2.18
�
Pour exclure de Thm. 2.19 les fonctions antiholomorphes (qui ne sont pas les bienvenues
´
dans la theorie
des fonctions analytiques), on introduit la notion suivante.
´
´
Deﬁnition
2.20 Soit f : D → C une fonction R-derivable
. On dit que f conserve l’orientation au point c ∈ D si
det(Jf (c)) > 0.
On dit que f conserve l’orientation en D si f conserve l’orientation en tout point de D (cf.
Rap. 2.40).
17
Remarque 2.21
` Prop. 2.8 (a), on a, pour tout f ∈ O(D),
(a) D’apres
det(Jf (c)) = |f � (c)|2 .
Alors, tout f ∈ O(D) t.q. f � (c) �= 0 conserve l’orientation en c.
(b) Soit f = u + iv antiholomorphe en D. Alors, en tout point de D, on a
�
�
ux uy
det(Jf ) = det
= ux vy − uy vx = −(u2x + vx2 ) = −|f � |2 ,
vx vy
ou` nous avons utilise´ les ECR pour f¯ (ce qui revient a` remplacer v par −v) et Thm.
2.5. Une fonction antiholomorphe ne conserve donc l’orientation nulle part en D.
´ eme
`
´
´
` B. Riemann qui caNous arrivons au theor
principal de l’approche geom
etrique
d’apres
´
´ ee
´ non nulle) par la conservation de la geom
´
´
racterise
une fonction holomorphe (de deriv
etrie
locale.
´
´
´
´ eme
`
Theor
2.22 Soit f : D → C continument
partiellement derivable
en D. Alors, les enoc
es
ˆ
´
suivants sont equivalents
:
(a) f ∈ O(D) et f � �= 0 en D
(b) f conserve les angles et l’orientation en D.
´
Demonstration
2.22
` Prop. 2.18 et l’orientation d’apres
` Rem. 2.21 (a).
(a) ⇒ (b) : f conserve les angles d’apres
´
(b) ⇒ (a) : Si f conserve les angles, on a (14) et (15) de Dem.
2.19. Mais si on suppose la
´
validite´ de (15) au point c ∈ D, l’equation
(17) et Rem. 2.21 (b) impliquent que det(Jf (c)) =
`
−|f � (c)|2 ce qui est en contradiction avec l’hypothese
que f conserve l’orientation en D.
` Prop. 2.16 (a). En utilisant Rem.
Alors, on a (14) en tout point de D, d’ou` f ∈ O(D) d’apres
�
2.21 (a) et la conservation de l’orientation, on obtient f �= 0 en D.
�
´
´
L’interpretation
geometrique
de la conservation des angles et de l’orientation est la suivante.
´
Proposition 2.23 Soit f : D → C une fonction continument
partiellement derivable
qui
ˆ
´
conserve les angles et l’orientation. En plus, soient γ, µ : [0, 1] → C des chemins derivables
t.q. γ(t) = µ(s) = c ∈ D et γ � (t), µ� (s) �= 0 pour des t, s ∈ [0, 1]. Alors, on a
�((f ◦ γ)� (t), (f ◦ µ)� (s)) = �(γ � (t), µ� (s)),
´
´
et le sens de la rotation de l’angle est preserv
e.
�
´
Demonstration
2.23 Cf. Exr. 10
18
Exemple 2.24
´
(a) Soit f : C∗ → C deﬁni
par f (z) := z 2 pour tout z ∈ C∗ . Alors, f est conforme en C∗ .
Quelle est l’image des droites x = a et y = b pour tout a, b ∈ R ?
´
pour tout z ∈ C∗ ,
(b) La fonction de (Blumenthal-) Joukovski J : C∗ → C est deﬁnie,
par
1
J(z) :=
2
�
1
z+
z
�
.
Alors, J est conforme en C∗ \ {−1, 1}. Quelle est l’image des axes partant de l’origine
´ a` l’origine ?
et des cercles centres
´
Demonstration
2.24
(a) Comme f = u + iv ∈ O(C∗ ) et f � (c) = 2c �= 0 pour tout c ∈ C∗ , la fonction f est
´
conforme en C∗ . En plus, les droites x = a et y = b pour tout a, b ∈ R sont envoyees
respectivement sur les paraboles
v 2 = 4a2 (a2 − u),
v 2 = 4b2 (b2 + u),
parce que u = Re(f ) = x2 − y 2 et v = Im(f ) = 2xy.
(b) Cf. Exr. 11
�
2.5
Fonctions biholomorphes
´
Deﬁnition
2.25 Une fonction f ∈ O(D) s’appelle biholomorphe de D dans D � si D� :=
`
´
une reciproque
f (D) est un ouvert non vide dans C et si l’application f : D → D � possede
∼
f −1 : D� → D t.q. f −1 ∈ O(D� ). Dans ce cas, nous utiliserons la notation f : D → D� .
Remarque 2.26
(a) Une fonction biholomorphe est injective. Inversement, nous montrerons plus tard que
tout f ∈ O(D) injectif est biholomorphe de D dans f (D) (cf. Exr. 58).
∼
∼
∼
(b) Soient f : D → D� et g : D� → D�� . Alors, g ◦ f : D → D�� .
La formulation suivante est souvent utile.
Lemme 2.27 Soit f ∈ O(D), soit D � un ouvert non vide dans C et soit g ∈ O(D� ) t.q.
f (D) ⊆ D� ,
g(D� ) ⊆ D,
f ◦ g = 1D � ,
∼
Alors, f : D → D� .
19
g ◦ f = 1D .
�
´
Demonstration
2.27 Cf. Exr. 12
´
A present,
nous introduisons une classe de fonctions importante.
�
�
a b
´
∈ Mat(2, C).
Deﬁnition
2.28 Soit A :=
c d
´
Si c �= 0, la fonction homographique hA : DA → C, ou` DA := C \ {− dc }, est deﬁnie,
pour
tout z ∈ DA , par
hA (z) :=
az + b
.
cz + d
´
Si c = 0 et d �= 0, on pose DA := C, et l’application hA ∈ O(DA ) est deﬁnie
par hA (z) :=
(az + b)/d pour tout z ∈ DA .
Remarque 2.29
(a) Nous pouvons facilement calculer que
h�A (z) =
det(A)
.
(cz + d)2
Alors, si det(A) = 0, la fonction hA est constante sur DA (cf. Prop. 2.30 ci-dessous).
´
´
Par la suite, nous ne considererons
donc que des matrices dans le groupe lineaire
´
´ eral
´
gen
GL(2, C) deﬁni
par
GL(2, C) := {A ∈ Mat(2, C) | det(A) �= 0}.
(b) Pour tout A, B ∈ GL(2, C), on a (cf. Exr. 13)
hAB = hA ◦ hB .
En plus, nous notons que hA est l’identite´ ssi A = a1 pour un a ∈ C∗ .
´
Dans Rem. 2.29 (a), nous avons utilise´ l’enonc
e´ suivant.
Proposition 2.30 Soit D connexe et f ∈ O(D). Alors, f est constant en D ssi f � = 0 en D.
´
Demonstration
2.30
⇒ : Clair
⇐ : Pour f = u + iv, on a f � = ux + ivx et les ECR ux = vy et uy = −vx . Alors, on obtient
` la formule de Taylor d’ordre zero
´ (et l’existence des
ux = uy = vx = vy = 0 en D. D’apres
chemins polygonaux dans D), f est constant sur D parce que D est connexe.
�
Retournons maintenant aux fonctions homographiques.
�
�
a b
∼
´ eme
`
∈ GL(2, C) avec c �= 0. Alors, hA : DA → C \ { ac }.
Theor
2.31 Soit A :=
c d
´
´ par hA−1 .
En plus, la bijection reciproque
est donnee
20
` Ex. 2.2 (a) et Thm. 2.11 (b), on a hA ∈ O(DA ). Comme,
´
Demonstration
2.31 D’apres
` Rem. 2.29 (b), on a
d’apres
hA−1 ◦ hA = hA−1 A = 1DA ,
´ es
´ analogues de hA sur C \ { ac }, on arrive a` la conclusion.
et comme hA−1 a les propriet
�
`
Un cas important de ces fonctions homographiques est l’exemple suivant qui relie de maniere
´
`
biholomorphe le demi-plan superieur
ouvert H au disque unite´ ouvert E, c.-a-d.,
H := {z ∈ C | Im(z) > 0},
E := {z ∈ C | |z| < 1}.
Nous notons parfois ∂E := E \ E le bord de E.
´
Proposition
par
�2.32 La transformation de Cayley est la fonction homographique deﬁnie
�
1 −i
´ e´
C :=
∈ GL(2, C). Elle a la propriet
1 i
∼
hC : H → E.
´
´
Demonstration
2.32 Les fonctions homographiques deﬁnies
par C et C˜ := 2iC −1 ont la
forme
z−i
∈ O(C \ {−i}),
z+i
1+z
∈ O(C \ {1}).
hC˜ (z) = i
1−z
hC (z) =
˜ = 2i1, on obtient hC ◦ h ˜ = 1C\{1} et h ˜ ◦ hC = 1C\{−i} (cf. Rem. 2.29 (b)).
Comme C C˜ = CC
C
C
En plus, on calcule
4Im(z)
pour z �= −i,
|z + i|2
1 − |z|2
Im(hC˜ (z)) =
pour z �= 1,
|1 − z|2
1 − |hC (z)|2 =
`
d’ou` 1 − |hC (z)|2 > 0 pour Im(z) > 0 et Im(hC˜ (z)) > 0 pour |z| < 1, c.-a-d.,
on obtient
hC (H) ⊆ E et hC˜ (E) ⊆ H. Alors, en utilisant Lem. 2.27, on arrive a` la conclusion.
�
´
´ note´
Il existe egalement
une simple biholomorphie entre H et le plan complexe coupe,
C− := C \ {z ∈ C | Re(z) ≤ 0 et Im(z) = 0}.
´
Proposition 2.33 Soit q ∈ O(H) deﬁni
par q(z) := −z 2 pour tout z ∈ H. Alors, on a
∼
q : H → C− .
21
�
´
Demonstration
2.33 Cf. Exr. 14
´
Proposition 2.34 Soit p ∈ O(E) deﬁni
par p(z) :=
�
z+1
z−1
�2
pour tout z ∈ E. Alors, on a
∼
p : E → C− .
�
´
Demonstration
2.34 Cf. Exr. 14
Remarque 2.35
(a) On peut montrer qu’il n’existe pas d’application biholomorphe entre E et la totalite´ du
´ eme
`
plan complexe C (cf. Thm. 8.6, le theor
de Liouville).
´ eme
`
(b) Le theor
de l’application conforme (Riemann, 1851) assure que tout D �= C
simplement connexe est en relation biholomorphe avec E.
∼
(c) Toute application h : D → D s’appelle un automorphisme de D et l’ensemble des
´
automorphismes de D est note´ Aut(D). On peut montrer que, pour le groupe lineaire
´
´
special
SL(2, R), deﬁni
par
SL(2, R) := {A ∈ Mat(2, R) | det(A) = 1},
l’application
SL(2, R) → Aut(H),
A �→ hA ,
est un homomorphisme de groupes (de noyau {±1}, cf. Rap. 1.12). Par ailleurs, pour
`
´ eralis
´
´
le groupe unitaire gen
e´ special,
c.-a-d.,
pour le sous-groupe
�
��
�
a b
2
2
SU(1, 1) :=
∈ Mat(2, C) | |a| − |b| = 1
¯b a
¯
de SL(2, C) := {A ∈ Mat(2, C) | det(A) = 1}, l’application
SU(1, 1) → Aut(E),
A �→ hA ,
´
est egalement
un homomorphisme de groupes (de noyau {±1} ; en plus, l’application
˜
´
SL(2, R) → SU(1, 1), deﬁnie
par A �→ CAC/(2i)
est un isomorphisme de groupes).
22
Rappels
Rappel 2.36 Soient m, n ∈ N∗ et soit f : Rm → Rn . Nous rappelons les (non) implications suivantes :
´
´
(a) f est R-derivable
. ⇒ f est partiellement derivable.
´
´
(b) f est partiellement derivable.
� f est R-derivable
.
Exemple : f (x, y) := xy/(x2 + y 2 ) si (x, y) �= (0, 0), et f (x, y) := 0 si (x, y) = (0, 0)
´
(c) f est partiellement derivable.
� f est continu.
Exemple : cf. (b)
´ ees
´ directionnelles. � f est continu.
(d) f a toutes les deriv
Exemple : f (x, y) := x3 y 2 /(x6 + y 4 ) si (x, y) �= (0, 0), et f (x, y) := 0 si (x, y) = (0, 0)
´
´
R-derivable
. ⇔ f est continument
partiellement derivable.
(e) f est continument
ˆ
ˆ
´
(f) f est R-derivable
. ⇒ f est continu.
´
´
(g) f est R-derivable
. � f est continument
partiellement derivable.
ˆ
Rappel 2.37 Une partie U de D s’appelle un voisinage de x s’il existe un ouvert A t.q. x ∈ A ⊆ U .
`
Rappel 2.38 Une algebre
complexe est un espace vectoriel complexe A (cf. Rap. 1.15) muni d’une multipli´ (A, B) �→ AB, ayant les propriet
´ es
´ suivantes (pour tout α, β ∈ C et tout A, B, C ∈ A) :
cation A×A → A, notee
´
(A1) A(BC) = (AB)C (associativite)
´
(A2) (A + B)C = AC + BC et A(B + C) = AB + AC (distributivite)
(A3) αβ(AB) = (αA)(βB)
`
´
Une algebre
s’appelle abelienne
(ou commutative) si AB = BA. Un sous-espace vectoriel B de A t.q. (A1)–
`
(A3) sont satisfaits dans B s’appelle une sous-algebre
de A.
Rappel 2.39 Un ouvert non vide D dans C s’appelle connexe si, pour tout z, w ∈ D, il existe un chemin qui
`
relie z et w, c.-a-d.,
s’il existe γ ∈ C([0, 1], D) t.q. γ(0) = z et γ(1) = w.
´ et B et B � deux bases ordonnees
´ de V. On dit que B et B � ont la
Rappel 2.40 Soit V un espace vectoriel reel
´
ˆ
B ∼ B� .
meme
orientation si la transformation de bases TB,B� satisfait det(TB,B� ) > 0. Dans ce cas, on ecrit
�
´
´
et une classe d’equivalence
s’appelle une orientation de V.
La relation B ∼ B est une relation d’equivalence
On dit qu’un isomorphisme d’espaces vectoriels T : V → V conserve l’orientation si T envoie toute base B
sur une base B � t.q. B ∼ B � .
23
3
Notions de convergence
ˆ
´ er
´ es
´ en appliquant les
Mis a` part les polynomes
et les fonctions rationnelles qui sont gen
´
´ ementaires
´
operations
el
(de Thm. 2.11) un nombre ﬁni de fois, nous ne connaissons pas
´
encore des fonctions holomorphes interessantes.
Toutes les autres fonctions seront obte´
´
nues a` l’aide de limites (et donc par un nombre inﬁni d’operations).
Le point de depart
pour
les processus limites est la notion na¨ıve de la convergence ponctuelle.
´
Deﬁnition
3.1 On dit qu’une suite (fn )n∈N de fonction a` valeurs complexes fn : D → C
converge au point a ∈ D si la suite de nombres complexes (fn (a))n∈N converge dans C.
Soit A ⊆ D. On dit que la suite (fn )n∈N converge ponctuellement dans A si elle converge
´
en tout point de A. Dans ce cas, la fonction f : A → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ A, par
f (z) := lim fn (z),
n→∞
´
s’appelle la fonction limite de la suite (fn )n∈N dans A. On ecrira
f = lim fn .
n→∞
´
Nous savons de l’analyse reelle
que la fonction limite d’une suite ponctuellement conver´ es
´ desir
´ ees
´
´ eral.
´
gente n’a pas les propriet
en gen
P.ex., la limite ponctuelle d’une suite de
´ eral.
´
fonctions continues n’est plus continue en gen
´
Exemple : La suite fn : [0, 1] → R deﬁnie
par fn (x) := xn pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N∗ .
`
On peut exclure ce genre de problemes
en introduisant la notion de convergence locale´ 3.4 ci-dessous). Mais meme
ˆ
ment uniforme (cf. Def.
les suites qui converge localement
´
´
´
´ P.ex., la fonction liuniformement
sont problematiques
en ce qui concerne leur derivabilit
e.
´
´
´ eral.
´
mite d’une suite de fonctions derivables
n’est plus derivable
en gen
´ eme
`
Exemple : Theor
de Stone-Weierstrass (cf. Rap. 3.18).
´
Pour la theorie
des fonctions analytiques, la notion de convergence ponctuelle n’est pas
´ non plus.
appropriee
´ eme
`
´
Exemple : Le theor
de Runge (que nous ne demontrerons
pas dans ce cours) nous
ˆ
garantit qu’il existe des suites de polynomes
qui convergent ponctuellement dans C vers
´
´ eme
`
des fonctions limites discontinues (par contre, la demonstration
usuelle de ce theor
est
non constructive).
´
Il s’averera
que la notion de convergence localement uniforme est la notion de convergence
´ eme
`
optimale pour les suites de fonctions holomorphes (cf. Thm. 8.8, le theor
de convergence de Weierstrass).
3.1
Convergence localement uniforme
Par la suite, pour toute partie A ⊆ D de D, on supposera toujours que A est non vide.
´
Deﬁnition
3.2 Soit fn : D → C une suite de fonctions, A ⊆ D et f : A → C. On dit que
´
(fn )n∈N converge uniformement
vers f dans A si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N t.q., pour
24
tout z ∈ A et tout n ≥ N , on a
|fn (z) − f (z)| < ε.
´
dans A s’il existe f : A → C t.q. (fn )n∈N
On dit que (fn )n∈N converge uniformement
´
´ pour toutes les
converge uniformement
vers f dans A (cette fac¸on de parler sera utilisee
notions de convergence de cette section).
Si, pour une suite fn : D → C et A ⊆ D, la suite des sommes partielles
Sn :=
n
�
k=0
fk : D → C
´
´
´
converge uniformement
dans A, on dit que la serie
des fonctions fn converge uniformement
´
dans A. Sa fonction limite sera notee
∞
�
fn .
n=0
Remarque 3.3
(a) La convergence uniforme dans A (ou` N = N (ε)) implique la convergence ponctuelle
dans A (ou` N = N (ε, z)).
´
(b) Comme dans l’analyse reelle,
on introduit l’outil suivant :
Pour tout f : D → C et tout A ⊆ D, nous posons
|f |A := sup |f (z)|,
z∈A
´
ou` sup designe
le supremum (cf. Rap. 3.19). Soit V := {f : D → C | |f |A < ∞}. Alors,
| · |A : V → R est une semi-norme (cf. Rap. 3.20) sur l’espace vectoriel complexe V.
En plus, pour toute suite fn : D → C, on a :
´
fn converge uniformement
vers f dans A.
⇐⇒
lim |fn − f |A = 0
n→∞
´
(c) Soient fn , gn : D → C deux suites de fonctions qui convergent uniformement
dans A.
´
Alors, pour tout a, b ∈ C, la suite afn + bgn : D → C converge uniformement
dans A et
lim (afn + bgn ) = a lim fn + b lim gn .
n→∞
n→∞
n→∞
´ dans A, alors fn gn : D → C converge
En plus, si limn→∞ fn et limn→∞ gn sont bornes
´
uniformement
dans A et
lim (fn gn ) = (limn→∞ fn )(limn→∞ gn ).
n→∞
` de bornitude est necessaire.
´
Nous notons que l’hypothese
P.ex., si A =]0, 1[ et fn (x) :=
gn (x) := 1/x + 1/n et f (x) := g(x) := 1/x pour tout x ∈ A, on a |fn − f |A = |gn − g|A =
1/n, mais |fn gn − f g|A ≥ (fn gn − f g)(1/n2 ) = 2n + 1/n2 .
25
´
´
Beaucoup de suites de fonctions ou de series
de fonctions ne convergent pas uniformement
´
dans la totalite´ de leur domaine mais elles ne convergent que localement uniformement.
Exemple : Pour tout r > 0 et tout c ∈ C, nous posons
Br (c) := {z ∈ C | |z − c| < r}.
´
´
Si c = 0, nous ecrirons
souvent Br := Br (0). Soit r < 1. Alors, la suite fn : E → C, deﬁnie
n
∗
´
par fn (z) := z pour tout z ∈ E et tout n ∈ N , converge uniformement
dans Br ⊆ E vers la
´
fonction f : Br → C deﬁnie par f (z) := 0 pour tout z ∈ Br parce que |fn |Br = rn . Par contre,
cette convergence n’est pas uniforme dans E parce que, pour tout 0 < ε < 1 et tout n ≥ 1, il
existe c ∈ E t.q. |fn (c)| ≥ ε (p.ex. c = ε1/n ).
´
Deﬁnition
3.4 On dit qu’une suite de fonctions fn : D → C converge localement uni` un voisinage U ⊆ D t.q. (fn )n∈N converge
´
formement
dans D si tout point dans D possede
´
´
´
uniformement
dans U (la deﬁnition
pour la serie
est analogue).
Remarque 3.5
`
(a) Les regles
pour les limites se formulent comme dans Rem. 3.3 (c).
(b) La convergence uniforme implique naturellement la convergence localement uniforme.
(c) Comme discute´ dans l’introduction de ce chapitre, nous rappelons le fait suivant (cf.
´
le cours d’analyse reelle)
:
Proposition 3.6 Soit fn ∈ C(D) une suite de fonctions qui converge localement uni´
formement
dans D vers f : D → C. Alors, f ∈ C(D).
´
´ e´ suivante :
(d) Nous avons egalement
la propriet
Proposition 3.7 Soit fn : D → C une suite de fonctions qui converge localement
´
´
uniformement
dans D. Alors, elle converge uniformement
dans tout sous-ensemble
compact de D.
�
´
Demonstration
3.7 Cf. Exr. 16
3.2
`
Criteres
de convergence
´
Deﬁnition
3.8 Soit A ⊆ D une partie de D. Une suite de fonctions fn : D → C s’appelle
une suite de Cauchy dans A si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N t.q., pour tout m, n ≥ N ,
|fm − fn |A < ε.
` suivant.
Nous commenc¸ons par le critere
26
´
´ suivants
´ eme
`
Theor
3.9 Soit fn : D → C une suite de fonctions et A ⊆ D. Alors, les enonc
es
´
sont equivalents
:
´
(a) (fn )n∈N converge uniformement
dans A.
(b) (fn )n∈N est une suite de Cauchy dans A.
` s’appelle le critere
` de Cauchy (Cauchy, 1853).
Ce critere
´
Demonstration
3.9
(a) ⇒ (b) : Clair
(b) ⇒ (a) : Soit (fn )n∈N une suite de Cauchy dans A. Alors, comme, pour tout m, n ∈ N et
tout z ∈ A, on a
|fm (z) − fn (z)| ≤ |fm − fn |A ,
la suite des nombres complexes (fn (z))n∈N est une suite de Cauchy. Comme C est complet
`
(c.-a-d.,
toute suite de Cauchy dans C converge dans C), la suite (fn )n∈N converge ponc´
tuellement dans A vers la fonction limite f := limn→∞ fn . Ensuite, nous ecrivons
|fn (z) − f (z)| ≤ |fn (z) − fm (z)| + |fm (z) − f (z)|.
Comme (fn )n∈N est une suite de Cauchy dans A, on trouve que, pour tout ε > 0, il existe
N ∈ N t.q. |fn (z) − fm (z)| < ε/2 pour tout m, n ≥ N et tout z ∈ A. En plus, comme (fn )n∈N
converge ponctuellement dans A, pour tout z ∈ A, il existe m ∈ N (ou` m = m(z)) avec
m ≥ N t.q. |fm (z) − f (z)| < ε/2. Alors, on obtient |fn (z) − f (z)| < ε pour tout z ∈ A et tout
n ≥ N , d’ou` |fn − f |A < ε pour tout n ≥ N .
�
` de Cauchy pour les series
´
´
´
` de Cauchy
Le critere
est une consequence
immediate
du critere
pour les suites.
�
´
´ eme
`
Theor
3.10 Soit ∞
de la suite de fonctions fn : D → C et soit A ⊆ D.
n=0 fn la serie
´
´ suivants sont equivalents
´
Alors, les enonc
es
:
�∞
´
(a)
dans A.
n=0 fn converge uniformement
(b) Pour tout ε > 0, il existe N ∈ N t.q., pour tout n > m ≥ N et tout z ∈ A, on a
|fm+1 (z) + . . . + fn (z)| < ε.
` de Cauchy pour la convergence uniforme d’une serie
´
Le critere
de fonctions est rarement
` suivant est plus maniable.
utilise´ dans la pratique. Le critere
´ eme
`
Theor
3.11 Soit fn : D → C une suite de fonctions et A ⊆ D. En plus, soit (Mn )n∈N une
´
suite de nombres non negatifs
t.q.
|fn |A ≤ Mn pour tout n ∈ N, et
∞
�
n=0
Mn < ∞.
�∞
´
´
` s’appelle le critere
` de
Alors, la serie
dans A. Ce critere
n=0 fn converge uniformement
Weierstrass (Weierstrass, 1880).
�
´
Demonstration
3.11 Cf. Exr. 17
27
3.3
´
Series
normalement convergentes
´
´
`
Comme il existe des series
localement uniformement
convergentes qui divergent apres
´
rearrangement
de leurs termes (cf. Exr. 18), nous avons besoin d’une notion de conver´
´
´
`
gence pour les series
de fonctions qui elimine
de tels phenom
enes
et qui garantit que tout
´
´
´
´
rearrangement
de la serie
et toute sous-serie
convergent localement uniformement.
�∞
´
´
Deﬁnition
3.12 On dit qu’une serie
n=0 fn de fonctions fn : D → C converge normale`
ment dans D si tout point de D possede un voisinage U ⊆ D t.q.
∞
�
n=0
|fn |U < ∞.
(Baire, 1908)
´
Remarque 3.13 Nous notons que la notion de convergence normale n’est deﬁnie
que pour
´
les series
de fonctions et ne l’est pas pour les suites de fonctions.
´ es
´ suivantes.
La convergence normale implique les propriet
�
´
de fonctions fn : D → C qui converge normaleProposition 3.14 Soit ∞
n=0 fn une serie
ment dans D. Alors :
�∞
´
(a)
fn converge localement uniformement
dans D.
�n=0
∞
(b)
n=0 fn ∈ C(D) si fn ∈ C(D) pour tout n ∈ N
�
´
(c) Toute sous-serie
de ∞
n=0 fn converge normalement dans D.
´
Demonstration
3.14
´
` de Weierstrass (cf. Thm.
(a) Comme la serie
converge normalement dans D, le critere
` un voisinage U ⊆ D t.q. la serie
´ converge
3.11) implique que tout point de D possede
´
` Def.
´ 3.4, elle converge localement uniformement
´
uniformement
dans U . Alors, d’apres
dans D.
´
(b) La continuite´ de la fonction limite est une consequence
de (a) et de Prop. 3.6.
(c) Clair
�
´
´ e´
Comme demande´ au debut
de cette section, cette notion de convergence a la propriet
´ ee
´ suivante.
desir
�
´
´ eme
`
Theor
3.15 Soit ∞
de fonctions fn : D → C qui converge normalement
n=0 fn une serie
´
dans D. Alors, pour toute bijection σ : N → N, la serie
∞
�
fσ(n)
n=0
ˆ
converge normalement dans D. En plus, les fonctions limites sont les memes.
28
´
´
Demonstration
3.15 Comme la�serie
converge normalement dans D, tout point de D
∞
` un voisinage U ⊆ D t.q. n=0 |fn |U < ∞. Alors, d’apres
` le theor
´ eme
`
´
possede
de rearrangement
(cf. Rap. 3.21), on a, pour toute bijection σ : N → N,
∞
�
n=0
�∞
|fσ(n) |U < ∞,
`
´
´
c.-a-d.,
la serie
normalement dans D. Comme |fσ(n) (z)| ≤
n=0 fσ(n) converge
�∞egalement
´
|fσ(n) |U pour tout z ∈ U , la serie
n=0 fσ(n) (z) converge absolument pour tout z ∈ U . Il en
´
resulte
que, pour tout z ∈ D,
∞
�
fσ(n) (z) =
n=0
∞
�
fn (z).
n=0
�
Remarque 3.16
�∞
�∞
´
´
(a) �
Si les series
n=0 fn et
n=0 gn convergent normalement dans D, alors, la serie
∞
bgn ) converge normalement dans D pour tout a, b ∈ C.
n=0 (afn +�
`
´
´
En plus, si ∞
produit, c.-a-d.,
une serie
dans laquelle h0 , h1 , . . .
n=0 hn est une serie
`
parcourent les produits fk gl pour tout k, l ∈ N exactement une fois
de maniere
�(mais
n
quelconque comme, p.ex., dans le produit de Cauchy, o�
u` hn := �
k=0 fn−k gk ), alors,
�
∞
∞
∞
h
converge
normalement
dans
D
vers
le
produit
(
f
)
(
n=0 n
n=0 n
n=0 gn ).
´
´
(b) Une serie
qui converge�localement uniformement
ne converge pas normalement en
∞
n
´ eral
´ (p.ex., la serie
´
gen
n=0 (−1) /(z − n) pour tout z ∈ C \ N).
�∞
�∞
(c)
n=0 fn converge normalement dans D ssi
n=0 |fn |K < ∞ pour tout compact K ⊆
D.
(d) La convergence localement uniforme et absolue ponctuelle n’est pas sufﬁsante pour
impliquer la convergence normale (Saeki, 1991).
´
L’enonc
e´ suivant est souvent utile dans la pratique.
Proposition 3.17 Soit c ∈ C et s > 0 et soit (fn )n∈N une suite de fonctions fn : Bs (c) → C
t.q., pour tout r > 0 avec r < s, on a
∞
�
n=0
Alors,
�∞
n=0
|fn |Br (c) < ∞.
fn converge normalement dans Bs (c).
�
´
Demonstration
3.17 Cf. Exr. 20
29
Rappels
ˆ
´ eme
`
Rappel 3.18 (Theor
de Stone-Weierstrass) Pour tout f ∈ C([0, 1], R), il existe une suite de polynomes
´
qui converge uniformement
vers f sur [0, 1].
´ de R. Le supremum (ou la borne superieure)
´
Rappel 3.19 Soit A une partie non vide et majoree
de A, note´
´ ayant les propriet
´ es
´ suivantes :
sup(A), est le nombre reel
(S1) sup(A) ≥ a pour tout a ∈ A
(S2) Pour tout ε > 0, il existe a ∈ A t.q. a > sup(A) − ε.
´ on ecrit
´
Si A n’est pas majore,
sup(A) = ∞.
´ es
´
Rappel 3.20 Une semi-norme sur un espace vectoriel V est une application p : V → R ayant les propriet
suivantes :
(SN1) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) pour tout x, y ∈ V
(SN2) p(λx) = |λ| p(x) pour tout x ∈ V et tout λ ∈ C
´ e´ (SN1) s’appelle l’inegalit
´
´ eit
´ e´ positive. Si, en plus, p a la
La propriet
e´ triangulaire et (SN2) l’homogen
´ e´ de separation,
`
´
propriet
c.-a-d.,
(SN3) si p(x) = 0, alors x = 0,
la semi-norme p s’appelle une norme sur V.
´ de nombres complexes converge absolument ssi tout
´ eme
`
´
Rappel 3.21 (Theor
de rearrangement)
Une serie
´
´
ˆ
rearrangement
de cette serie
converge. En plus, dans ce cas, les limites sont les memes.
30
4
´
`
Series
entieres
´
´
Le series
de fonctions les plus importantes dans la theorie
des fonctions analytiques sont
´
`
´
`
les series
entieres.
Nous commenc¸ons par etudier
des criteres
pour leur convergence.
´
´
de fonctions
Deﬁnition
4.1 Soit c ∈ C et an ∈ C pour tout n ∈ N. La serie
∞
�
n=0
an (z − c)n
´
´
` (formelle) �
´
s’appelle une serie
entiere
de centre c et a` coefﬁcients
an . On dit qu’une serie
n
` converge s’il existe z0 �= c t.q. ∞
a
(z
−
c)
converge.
entiere
n=0 n 0
´
`
`
Remarque
4.2 Les series
entieres
de centre c forment une algebre
sur C, ou,
` pour f (z) :=
�∞
�
∞
n
n
´
a
(z
−
c)
et
g(z)
:=
b
(z
−
c)
,
on
d
eﬁnit
n=0 n
n=0 n
(f + g)(z) :=
∞
�
n=0
et pn :=
4.1
�n
k=0
n
(an + bn )(z − c) ,
(f g)(z) :=
∞
�
n=0
pn (z − c)n ,
an−k bk est le produit de Cauchy.
`
Criteres
de convergence
´
` (Abel, 1826). Sans que rien d’autre ne soit
A present,
nous formulons notre premier critere
´ nous supposons toujours que c ∈ C et an ∈ C pour tout n ∈ N.
explicitement indique,
Proposition 4.3 (Lemme d’Abel) Soient s, M > 0 t.q., pour tout n ∈ N, on a
|an |sn ≤ M.
´
`
Alors, la serie
entiere
∞
�
n=0
an (z − c)n converge normalement dans Bs (c).
´ eralit
´
´ nous supposons que c = 0. Soit 0 < r <
´
Demonstration
4.3 Sans restriction de gen
e,
s et posons q := r/s. Alors, pour tout n ∈ N, on a
|an z n |Br = sup |an z n | = |an |rn = |an |sn q n ≤ M q n .
z∈Br
Comme
�∞
n=0
´
´
´
´
q n < ∞ parce que 0 < q < 1 (serie
geom
etrique),
on peut ecrire
∞
�
n=0
n
|an z |Br ≤ M
∞
�
n=0
q n < ∞.
Alors, en utilisant Prop. 3.17, on arrive a` la conclusion.
31
�
´
`
Corollaire 4.4 La serie
entiere
normalement dans B|z0 | .
�∞
n=0
an z n converge au point z0 �= 0. Alors, elle converge
�
´
Demonstration
4.4 Cf. Exr. 21
´
´ ement
´
´ entiere
`
Par la suite, nous voulons etudier
plus precis
le domaine dans lequel une serie
converge normalement.
�
n
´
` et soit
´ eme
`
entiere
Theor
4.5 Soit ∞
n=0 an (z − c) une serie
R := sup{t ≥ 0 | il existe M > 0 t.q. |an |tn ≤ M pour tout n ∈ N}.
(18)
Alors :
´
` converge normalement dans BR (c).
(a) La serie
entiere
´
` diverge en tout point de C \ BR (c).
(b) La serie
entiere
Le nombre 0 ≤ R < ∞ s’appelle le rayon de convergence et BR (c) le disque de conver´
`
´ on ecrira
´
gence de la serie
entiere.
Si (18) n’est pas borne,
R = ∞.
´
´
Demonstration
4.5 Si R = 0, on a rien a` demontrer.
Soit donc R > 0, et posons c = 0 et
n
A := {t ≥ 0 | il existe M > 0 t.q. |an |t ≤ M pour tout n ∈ N}.
` (18), il existe t0 ∈ A t.q. s < t0 , c.-a-d.,
`
(a) Soit 0 < s < R. Alors, d’apres
il existe M0 > 0
` le lemme d’Abel (cf. Prop.
t.q. |an |sn ≤ |an |tn0 ≤ M0 pour tout n ∈ N. Alors, d’apres
´
4.3), la serie
converge normalement dans Bs . En utilisant Prop. 3.17, on trouve que
´
la serie
converge normalement dans BR .
´ Alors, la serie
´
(b) Pour tout z ∈ C t.q. |z| > R, la suite |an ||z|n n’est pas bornee.
diverge.
�
´
`
´
Remarque 4.6 Les series
entieres
sont les series
de fonctions continues normalement
` Prop. 3.14 (b), la fonction limite est continue dans
convergentes les plus simples. D’apres
BR (c).
`
´
Par la suite, nous discutons des criteres
pour la determination
du rayon de convergence.
�∞
n
´ par
´ entiere
`
Proposition 4.7 Le rayon de convergence de la serie
n=0 an (z − c) est donne
la formule de Cauchy-Hadamard,
R=
1
,
lim sup |an |1/n
´
´
´
ou` lim sup designe
la limite superieure
(cf. Rap. 4.19). On ecrira
1/0 := ∞ et 1/∞ := 0.
`
´
1/r >
Demonstration
4.7 Soit L := 1/(lim sup |an |1/n ) et soit r ∈ R t.q. 0 < r < L, c.-a-d.,
1/n
`
´
´
´
lim sup |an | . Alors, d’apres les proprietes de la limite superieure (cf. Rap. 4.19), il existe
`
N ∈ N t.q. |an |1/n ≤ 1/r pour tout n ≥ N , c.-a-d.,
pour tout n ≥ N , on a
|an |rn ≤ 1.
32
´
´
En utilisant (18), il en resulte
que r ≤ R. Comme 0 < r < L etait
quelconque, on trouve
1/n
`
L ≤ R. Ensuite, soit s ∈ R t.q. L < s, c.-a-d.,
1/s < lim sup |an | . Alors, on a |an |1/n > 1/s
`
pour un nombre inﬁni de n, c.-a-d.,
pour un nombre inﬁni de n, on a
|an |sn > 1.
´
on a s ≥ R et donc, R ≤ L.
Comme la suite (|an |sn )n∈N ne converge pas vers zero,
�
Exemple 4.8 En utilisant la formule de Cauchy-Hadamard (cf. Prop. 4.7), on trouve pour les
´
`
series
entieres
∞
�
n=1
n n
n z ,
∞
�
n
z ,
n=0
∞
�
1 n
z ,
n
n
n=0
respectivement R = 0 et BR = ∅, R = 1 et BR = E, et R = ∞ et BR = C.
` utile dans la pratique. Le critere
`
La formule de Cauchy-Hadamard n’est pas toujours tres
´ e´ est vraie pour presque tout n ∈ N si
suivant est plus maniable. On dira qu’une propriet
elle est vraie pour tout n ∈ N sauf un nombre ﬁni d’entre eux.
�
n
´
` a` coefﬁcients
´
Proposition 4.9 Soit ∞
entiere
an �= 0 pour presque
n=0 an (z − c) une serie
tout n ∈ N et de rayon de convergence R. Alors, on a
�
�
�
�
� an �
� an �
�
�
�.
�
lim inf �
≤ R ≤ lim sup �
an+1 �
an+1 �
´
`
`
Si la limite existe (ou si elle est egale
a` +∞), on a la regle
de d’Alembert, c.-a-d.,
�
�
� an �
�.
R = lim ��
n→∞ an+1 �
´
Demonstration
4.9 Posons S := lim inf |an /an+1 | et T := lim sup |an /an+1 |. Soit d’abord
` les propriet
´ es
´ de la limite inferieure,
´
0 < s < S. D’apres
il existe N ∈ N t.q., pour tout n ≥ N ,
|an+1 |s < |an |.
`
´
´
la suite (|an |sn )n∈N est bornee.
Il en resulte
que |aN +l |sN +l ≤ |aN |sN pour tout l ∈ N, c.-a-d.,
Alors, on a s ≤ R et donc, S ≤ R.
Soit maintenant T < t < ∞. Alors, il existe M ∈ N t.q., pour tout n ≥ M , on a
|an | ≤ |an+1 |t.
´
Il en resulte
que |aM |tM ≤ |aM +l |tM +l pour tout l ∈ N. Comme |aM |tM > 0, la suite (|an |tn )n∈N
´ et donc, t ≥ R et R ≤ T .
ne converge pas vers zero
�
33
4.2
´
`
Exemples de series
entieres
convergentes
´
´
Dans cette section, nous determinerons
les disques de convergence de quelques series
importantes.
´
´
´
´
Proposition 4.10 La serie
exponentielle et les series
trigonometriques,
deﬁnies
par
z
e :=
∞
�
zn
n=0
n!
,
cos(z) :=
∞
�
(−1)n
n=0
(2n)!
2n
z ,
∞
�
(−1)n 2n+1
z
sin(z) :=
,
(2n + 1)!
n=0
ont toutes les trois un rayon de convergence inﬁni. En plus, elles satisfont la formule d’Euler,
`
c.-a-d.,
pour tout z ∈ C, on a
eiz = cos(z) + i sin(z).
�
´
Demonstration
4.10 Cf. Exr. 22
´
´
´
Proposition 4.11 La serie
logarithmique et la serie
arc tangente, deﬁnies
par
λ(z) :=
∞
�
(−1)n+1
n=1
n
zn,
a(z) :=
∞
�
(−1)n+1
n=1
2n − 1
z 2n−1 ,
´
ont toutes les deux un rayon de convergence qui est egal
a` 1.
´
´
Demonstration
4.11 Pour la serie
logarithmique, on calcule
�
�
�
�
� an �
1
�
�
R = lim �
= 1.
= lim 1 +
n→∞ an+1 �
n→∞
n
�
�∞
�
2n−1
n
´
/(2n − 1) est une sous-serie
de ∞
En plus, ∞
n=1 |z|
n=1 |z| /n et
n=1 1/(2n − 1) = ∞
(pour z = i).
�
´
` suivante.
Finalement, nous introduisons la serie
entiere
´
´
Proposition 4.12 Pour tout σ ∈ C, les coefﬁcients
binomiaux sont deﬁnis
par
�
� �
1,
n = 0,
σ
:= σ(σ−1)...(σ−n+1)
n
, n ∈ N∗ .
n!
´
´
Pour tout σ ∈ C, la serie
binomiale est deﬁnie
par
∞ � �
�
σ n
z .
bσ (z) :=
n
n=0
´
Si σ ∈ C \ N, le rayon de convergence est egal
a` 1.
34
�
´
Demonstration
4.12 Cf. Exr. 23
Remarque 4.13
� �
ˆ
de Newton
(a) Si σ ∈ N, on a nσ = 0 pour tout n > σ et on obtient la formule du binome
σ
`
bσ (z) = (1 + z) pour tout z ∈ C, c.-a-d.,
pour tout z ∈ C et tout σ ∈ N, on a
σ
(1 + z) =
σ � �
�
σ
n=0
n
zn.
� �
´
` inﬁnie.
(b) Si σ ∈ C \ N, on a nσ �= 0 pour tout n ∈ N et on obtient une serie
entiere
Exemple : Pour σ = −1, on trouve, pour tout |z| < 1, que
b−1 (z) =
∞
�
(−1)n z n =
n=0
1
.
1+z
Remarque 4.14
(a) En ce qui concerne le comportement de convergence sur le bord du disque de
convergence, tous les cas sont possibles.
´ on a convergence
Exemples : Sur
du cercle unite,
partout pour la
�∞ absolue
�∞le bord
n
2
n
´
`
z
/n
,
convergence
nulle
part
pour
z
,
et
convergence
et
serie
entiere
n=1
n=0
�∞
n+1 n
divergence pour n=1 (−1) z /n (aux points z = ±1).
´
` dont un nombre inﬁni de coefﬁcients
´
´
(b) Une serie
lacuniaire est une serie
entiere
sont
´
´
`
egales
a` zero,
c.-a-d.
∞
�
an k z n k ,
k=0
ou` ank ∈ C∗ et nk < nk+1 pour tout k ∈ N avec nk + 1 < nk+1 un nombre inﬁni de
`
`
fois. Dans ce cas, on ne peut plus utiliser la regle
de d’Alembert, c.-a-d.,
la suite
´ eral.
´
(ank /ank+1 )k∈N ne fournit plus le rayon de convergence en gen
�∞ 2n 2n
2n
´
`
Exemple : Pour la serie
entiere
et a2n+1 = 0 pour tout
n=0 2 z , on a a2n = 2
n ∈ N. Alors, on obtient a2n /a2n+2 = 1/4 pendant que la formule de Cachy-Hadamard
fournit R = 1/2.
´
Les lacunes sont egalement
d’une grande importance p.r. a` l’existence d’un prolon´ eme
`
gement analytique au-dela` du disque de convergence (cf. le theor
des lacunes
de Ostrowski-Hadamard).
35
4.3
´
`
Holomorphie des series
entieres
´
´ que les series
´
`
´
Nous savons du calcul differentiel
reel
entieres
reelles
convergentes sont
´
´
´
indeﬁniment derivables et qu’il est permis d’intervertir sommation et derivation. Dans le calcul complexe, on a la situation analogue suivante.
�
n
´
` dont le rayon de convergence est
entiere
Proposition 4.15 Soit ∞
n=0 an (z − c) une serie
´
´
egal
a` R. Alors, les series
∞
�
(a)
nan (z − c)n−1 ,
n=1
(b)
∞
�
n=0
1
an (z − c)n+1 ,
n+1
´
´
ˆ
obtenues formellement par la derivation
et l’integration
terme a` terme, ont le meme
rayon de
convergence R.
´
Demonstration
4.15
´
` formellement deriv
´ ee,
´
(a) Soit R1 le rayon de convergence de la serie
entiere
R1 = sup{t ≥ 0 | il existe M > 0 t.q. n|an |tn−1 ≤ M pour tout n ∈ N∗ }.
Comme |an |tn−1 ≤ n|an |tn−1 pour tout t ≥ 0 et tout n ∈ N∗ , on a R1 ≤ R. Aﬁn de
´
montrer que R1 ≥ R, il sufﬁt (comme dans Dem.
4.7) de montrer que, pour tout
` la deﬁnition
´
r < R, on a r ≤ R1 . Soit donc r < R et s t.q. r < s < R. Alors, d’apres
de
´ En plus, pour tout n ∈ N, on a
R, la suite (|an |sn )n∈N est bornee.
n|an |rn−1 =
|an |sn n
nq ,
r
ou` nous avons pose´ q := r/s. Alors, comme (nq n )n∈N est une suite qui converge vers
´
´
´ parce que 0 < q < 1, la suite (n|an |rn−1 )n∈N∗ converge egalement
vers zero,
et
zero
´
donc r ≤ R1 . Il en resulte
que R ≤ R1 et, ﬁnalement, on a R = R1 .
´
` formellement integr
´ ee.
´ D’apres
`
entiere
(b) Soit R2 le rayon de convergence de la serie
´
´
(a), R2 est egal
au rayon de convergence de la serie
�
�
∞
�
1
d
n+1
an (z − c)
,
dz n + 1
n=0 �
��
�
= an (z−c)n
et, alors, R2 = R.
�
´
` est
Dans Prop. 4.15, nous n’avons pas montre´ que la fonction limite de la serie
entiere
holomorphe.
36
´ eme
`
Theor
4.16 Soit
´
egal
a` R. Alors :
�∞
n=0
´
` dont le rayon de convergence est
an (z − c)n une serie
entiere
´
´
(a) La fonction limite f est indeﬁniment
C-derivable
dans BR (c).
(b) Pour tout z ∈ BR (c) et tout k ∈ N, on a
f
(k)
� �
∞
�
n
(z) =
k!
an (z − c)n−k .
k
n=k
´
`
Notamment, pour tout k ∈ N, on a la formule de Taylor pour les coefﬁcients,
c.-a-d.,
ak =
f (k) (c)
.
k!
´
Demonstration
4.16 Nous pouvons nous restreindre au cas k = 1 parce qu’on peut obtenir
´ eral
´
´
le cas gen
par iteration.
Nous voulons montrer que la fonction h : B := BR (c) → C,
´
deﬁnie,
pour tout z ∈ B, par
h(z) :=
∞
�
n=1
nan (z − c)n−1 ,
´ e´ que f � = h. Pour ce faire, soit b ∈ B (et c = 0). Si nous posons, pour tout z ∈ C
a la propriet
et tout n ∈ N∗ ,
qn (z) :=
n
�
z n−k bk−1 ,
k=1
´
nous pouvons ecrire
z n − bn = (z − b)qn (z), d’ou,
` pour tout z ∈ B, on a
f (z) − f (b) =
Si nous posons g(z) :=
�∞
n=1
∞
�
n=1
an (z n − bn ) = (z − b)
∞
�
an qn (z).
n=1
an qn (z) pour tout z ∈ B, on obtient, pour tout z ∈ B,
f (z) = f (b) + (z − b)g(z)
et
g(b) =
∞
�
nan bn−1 = h(b).
n=1
` Def.
´ 2.1, il sufﬁt alors de montrer que g est continu au point b ∈ B. Comme, pour
D’apres
tout |b| < r < R, on a |an qn |Br ≤ n|an |rn−1 , on obtient
∞
�
n=1
|an qn |Br ≤
∞
�
n=1
n|an |rn−1 < ∞,
´
` Prop. 3.17, la serie
´
ou` la convergence
est une consequence
de Prop. 4.15 (a). D’apres
�
`
de fonctions ∞
a
q
converge
normalement
dans
B
et
donc,
d’apr
es
Prop.
3.14
(b),
la
n=1 n n
fonction g est continue en B.
�
37
Exemple 4.17
´
´
´
´
(a) La serie
geom
etrique
deﬁnie,
pour tout z ∈ E, par
∞
�
zn,
n=0
´
a un rayon de convergence qui est egal
a` 1. Alors, comme
4.16 implique que, pour tout z ∈ E et tout k ∈ N, on a
∞ � �
�
n n−k
1
=
z .
k+1
k
(1 − z)
n=k
�∞
n=0
z n = 1/(1 − z), Thm.
` Thm. 4.16, la serie
´
(b) D’apres
exponentielle (cf. Prop. 4.10) satisfait ez ∈ O(C), et on
´
peut ecrire,
pour tout z ∈ C,
� �
∞
d z �
n 1 n−1
e =
z
1!
= ez .
dz
n!
1
n=1 �
��
�
1
= (n−1)!
´
(c) Les fonctions trigonometriques
(cf. Prop. 4.10) sont dans O(C), et on trouve, pour
tout z ∈ C,
d
d
sin(z) = cos(z),
cos(z) = − sin(z).
dz
dz
´
(d) La serie
logarithmique (cf. Prop. 4.11) est dans O(E), et on a, pour tout z ∈ E,
λ� (z) =
∞
�
(−z)n =
n=0
1
.
1+z
´
(e) La serie
arc tangente (cf. Prop. 4.11) est dans O(E), et on a, pour tout z ∈ E,
�
a (z) =
∞
�
(−1)n−1 (z 2 )n−1 =
n=1
1
.
1 + z2
´
(f) La serie
binomiale (cf. Prop. 4.12) est dans O(E) pour tout σ ∈ C, et on a, pour tout
z ∈ E (cf. Exr. 23),
σ
b�σ (z) = σbσ−1 (z) =
bσ (z).
1+z
´
´ entre
Remarque 4.18 Les series
exponentielles, logarithmiques et binomiales sont reliees
`
elles, c.-a-d.,
pour tout z ∈ E et tout σ ∈ C, on a
bσ (z) = eσλ(z) .
Notamment, pour σ = 1, on a, pour tout z ∈ E, que
eλ(z) = 1 + z.
�
´
Demonstration
4.18 Cf. Exr. 24
38
Rappels
´
´ La limite superieure
´
Rappel 4.19 Soit (an )n∈N une suite reelle
majoree.
de cette suite, note´ lim sup an , est
´ ayant les propriet
´ es
´ suivantes :
le nombre reel
Pour tout ε > 0,
(LS1) an > lim sup an − ε pour un nombre inﬁni de n, et
(LS2) an > lim sup an + ε pour un nombre ﬁni de n.
´ on ecrit
´
Si (an )n∈N n’est pas majore,
lim sup an = ∞.
39
´ ementaires
´
Fonctions transcendantes el
5
Dans ce chapitre, nous discuterons les fonctions transcendantes classiques. Pour ce faire,
nous commenc¸ons par une des fonctions les plus importantes, la fonction exponentielle,
´
´ par son equation
´
´
qui, comme nous verrons, est non seulement determin
ee
differentielle
´ eme
`
mais aussi par son theor
d’addition.
5.1
´
Fonction exponentielle et fonctions trigonometriques
´
La fonction holomorphe non rationnelle la plus importante est la fonction limite de la serie
exponentielle de Prop. 4.10 qu’on appelera la fonction exponentielle. Nous commenc¸ons
´
par remarquer qu’elle n’a pas de zeros.
´
Proposition 5.1 La fonction exponentielle n’a pas de zeros
dans C. En plus, pour tout z ∈ C,
´
on peut ecrire
1
= e−z .
ez
´
´
Demonstration
5.1 La fonction f ∈ O(C), deﬁnie
par f (z) := ez e−z pour tout z ∈ C, a la
´ e´ que, pour tout z ∈ C,
propriet
f � (z) = ez e−z + ez (−1)e−z = 0.
` Prop. 2.30, la fonction f est constante dans C. Comme e0 = 1, on a f (0) = 1,
Alors, d’apres
et donc, pour tout z ∈ C,
1 = f (0) = f (z) = ez e−z .
�
ˆ
´ ee
´ par l’equation
´
´
La fonction exponentielle peut etre
caracteris
differentielle
suivante.
´
´ suivants sont equivalents
´
´ eme
`
Theor
5.2 Soit D connexe et f ∈ O(D). Alors, les enonc
es
:
(a) Il existe a, b ∈ C t.q. f (z) = aebz pour tout z ∈ D.
(b) Il existe b ∈ C t.q. f � (z) = bf (z) pour tout z ∈ D.
�
´
Demonstration
5.2 Cf. Exr. 26
Remarque 5.3
(a) Nous notons comme corollaire de Thm. 5.2 que, si f ∈ O(C) satisfait
�
f � (z) = f (z) pour tout z ∈ C,
f (0) = 1,
alors, on a f (z) = ez pour tout z ∈ C.
40
(b) Comme la fonction f (z) = ex cos(y) + iex sin(y) de Ex. 2.7 (a) satisfait les conditions
`
de (a), c.-a-d.,
comme f (0) = 1 et
f � (z) = ux (x, y) + ivx (x, y) = ex cos(y) + iex sin(y) = f (z),
on obtient que f (z) = ez pour tout z ∈ C, d’ou,
` pour tout x, y ∈ R, on a
ex+iy = ex cos(y) + iex sin(y).
´
´
´ eme
`
A present,
nous enonc
¸ ons le theor
d’addition suivant.
´ eme
`
Theor
5.4 Pour tout z, w ∈ C, on a
ez ew = ez+w .
´ La fonction fw ∈ O(C), deﬁnie,
´
´
Demonstration
5.4 Soit w ∈ C ﬁxe.
pour tout z ∈ C, par
fw (z) := ez+w ,
` Thm. 5.2, il
´
´
satisfait l’equation
differentielle
fw� (z) = fw (z) pour tout z ∈ C. Alors, d’apres
z
existe a ∈ C t.q. fw (z) = ae pour tout z ∈ C. En plus, pour z = 0, on a fw (0) = ew = a.
�
´
´ e´
Ensuite, nous passons a` la caracterisation
de la fonction exponentielle par sa propriet
d’addition de Thm. 5.4.
´ eme
`
Theor
5.5 Soit D connexe, 0 ∈ D et soit f ∈ O(D) avec f (0) �= 0 t.q., pour tout w, z, w +
z ∈ D, on a
f (w + z) = f (w)f (z).
(19)
Alors, il existe r > 0 t.q., pour tout z ∈ Br (0) ⊆ D, on a
�
f (z) = ef (0)z .
´
Demonstration
5.5 Soit r > 0 sufﬁsamment petit t.q., pour tout z, w ∈ Br ⊆ D, on a
´
z + w ∈ D. Ensuite, en derivant
(19) p.r. a` w, on obtient, pour tout w ∈ Br ,
f � (w + z) = f � (w)f (z),
ˆ a` f (0) �= 0
d’ou,
` pour w = 0 et b := f � (0), on obtient f � (z) = bf (z) pour tout z ∈ Br . Grace
` Thm. 5.2, on
et f (w + z) = f (w)f (z) pour tout w, z ∈ Br , on obtient f (0) = 1. Alors, d’apres
arrive a` la conclusion.
�
Remarque 5.6
´ eme
`
´
(a) A l’aide du theor
d’identite´ (que nous demontrerons
plus tard, cf. Thm. 8.1), on
f � (0)z
aura que f (z) = e
dans la totalite´ de D.
41
´ les theor
´ emes
`
´
(b) Comme dans le cas reel,
d’addition pour les fonctions trigonometriques
´
s’ecrivent,
pour tout w, z ∈ C, comme
cos(w + z) = cos(w) cos(z) − sin(w) sin(z),
sin(w + z) = sin(w) cos(z) + cos(w) sin(z).
Par la suite, nous utiliserons souvent la notation exp(z) := ez pour tout z ∈ C. La fonction
´ es
´ supplementaires
´
exponentielle a les propriet
suivantes (cf. Rap. 1.13).
´
de groupes
Proposition 5.7 La fonction exponentielle exp : C → C∗ est un epimorphisme
du groupe additif (C, +) dans le groupe multiplicatif (C, ·). En plus, son noyau est donne´ par
ker(exp) = 2πiZ.
(20)
` Thm. 5.4, l’ap` Prop. 5.1, on a exp(C) ⊆ C∗ . Ensuite, d’apres
´
Demonstration
5.7 D’apres
plication exp est un homomorphisme de groupes entre (C, +) et (C, ·).
Aﬁn de montrer que exp est surjectif, nous utilisons la forme polaire d’un nombre complexe
´ par
w ∈ C∗ donnee
w = |w| eiϕ ,
´
` et en posant z := ln(|w|) + iϕ,
ou` |w| > 0 et ϕ ∈ R. En ecrivant
un w ∈ C∗ de cette maniere
nous pouvons calculer que
ez = eln(|w|)+iϕ = eln(|w|) eiϕ = |w| eiϕ = w,
ou` nous avons utilise´ Thm. 5.4 et le fait que ez pour z ∈ R est la fonction exponentielle et ln
´ erien
´
le logarithme nep
usuel (du cours d’analyse). Alors, exp est surjectif.
Finalement, nous voulons montrer que ker(exp) = 2πiZ :
ker(exp) ⊆ 2πiZ : Soit x + iy ∈ ker(exp) (ou` x, y ∈ R). Alors, on a
1 = ex+iy = ex eiy = ex (cos(y) + i sin(y)).
´
Il en resulte
que, d’une part, 1 = ex | cos(y) + i sin(y)| = ex , d’ou` x = 0. D’autre part, on obtient
cos(y) = 1 et donc y ∈ 2πZ.
ker(exp) ⊇ 2πiZ : Pour tout m ∈ Z, en utilisant la formule d’Euler, on trouve e2πim =
cos(2πm) + i sin(2πm) = 1.
�
Remarque 5.8
`
`
´
´
(a) Une fonction f : C → C s’appelle periodique
si f possede
une periode,
c.-a-d.,
s’il
existe ω ∈ C∗ t.q., pour tout z ∈ C, on a
f (z + ω) = f (z).
42
´
En plus, nous deﬁnissons
´
de f } ∪ {0}.
per(f ) := {ω ∈ C∗ | ω est une periode
´
Alors, nous pouvons ecrire
per(exp) = ker(exp) = 2πiZ,
(21)
parce que, pour tout ω ∈ C∗ t.q. ez+ω = ez eω = ez pour tout z ∈ C, on obtient eω = 1 et
donc ω ∈ ker(exp).
´ e´ (21) constitue la plus grande difference
´
La propriet
entre la fonction exponentielle
´
complexe et reelle,
a` savoir,
ker(exp) ∩ R = {0},
`
´
c.-a-d.,
la fonction exponentielle reelle
admet toute valeur positive exactement une
fois pendant que la fonction exponentielle complexe admet toute valeur dans C∗ un
´
nombre inﬁni denombrable
de fois.
´
(b) En utilisant (a), on peut facilement determiner
l’image de la fonction exponentielle en
´
decomposant
le plan complexe en bandes de la forme
Sm := {z ∈ C | 2mπ ≤ Im(z) < 2(m + 1)π},
´
ou` m ∈ Z. La fonction exponentielle deﬁnit
une bijection entre chaque bande et C∗ ,
exp : Sm → C∗ .
´
´ es
´ suivantes (cf. Exr. 28) :
(c) Les fonctions trigonometriques
ont les propriet
´
Elles admettent toute valeur dans C un nombre inﬁni denombrable
de fois. En plus,
´
´
l’ensemble des zeros
de sin et de cos est respectivement egal
a`
{mπ | m ∈ Z},
{(m + 12 )π | m ∈ Z}.
Finalement, on a per(sin) = per(cos) = 2πZ.
5.2
Fonctions logarithmiques
´
Deﬁnition
5.9 Soit D connexe. Une fonction f ∈ O(D) s’appelle une fonction logarithmique dans D si, pour tout z ∈ D, on a
ef (z) = z.
´
Remarque 5.10 Comme la fonction exponentielle n’a pas de zeros
dans C (cf. Prop. 5.1),
D ne peut contenir l’origine.
43
Si on connaˆıt une fonction logarithmique dans D, on peut trouver toutes les autres fonctions
logarithmiques comme suit.
Proposition 5.11 Soit D connexe, f ∈ O(D) une fonction logarithmique dans D et soit
´
´ suivants dont equivalents
´
g : D → C. Alors, les enoc
es
:
(a) g est une fonction logarithmique dans D.
(b) g = f + 2πim pour un m ∈ Z
´
Demonstration
5.11
`
(a) ⇒ (b) : Pour tout z ∈ D, on a exp(f (z)) = exp(g(z)), c.-a-d.,
exp(f (z) − g(z)) = 1 et donc
f (z) − g(z) ∈ ker(exp) = 2πiZ.
Alors, comme f − g ∈ C(D) et comme D est connexe, on obtient que f − g est constant
`
dans D, c.-a-d.,
il existe m ∈ Z t.q. f (z) = g(z) + 2πim pour tout z ∈ D.
(b) ⇒ (a) : On a g ∈ O(D) et, pour tout z ∈ D, on a en plus
eg(z) = ef (z)+2πim = ef (z) e2πim = z.
�
´ ees
´ par leur premiere
` deriv
´ ee.
´
Les fonctions logarithmiques sont caracteris
´
´ suivants sont equivalents
´
Proposition 5.12 Soit D connexe et f ∈ O(D). Alors, les enoc
es
:
(a) f est une fonction logarithmique dans D.
(b) Il existe a ∈ D t.q. exp(f (a)) = a et, pour tout z ∈ D, on a
1
f � (z) = .
z
´
Demonstration
5.12
´
´
(a) ⇒ (b) : En derivant l’equation
exp(f (z)) = z p.r. a` z, on trouve f � (z) exp(f (z)) = 1 et donc
f � (z) = 1/z.
(b) ⇒ (a) : Soit g(z) := z exp(−f (z)) pour tout z ∈ D. Alors, on obtient, pour tout z ∈ D,
g � (z) = e−f (z) − zf � (z)e−f (z) = 0.
`
Comme D est connexe, Prop. 2.30 implique que g est constant dans D, c.-a-d.,
il existe
c ∈ C∗ t.q. c exp(f (z)) = z pour tout z ∈ D. Comme exp(f (a)) = a, on trouve c = 1.
�
Le premier exemple d’une fonction logarithmique est le suivant.
´
Exemple 5.13 La fonction λ1 : B1 (1) → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ B1 (1), par
λ1 (z) :=
∞
�
(−1)n+1
n=1
n
(z − 1)n ,
(22)
est une fonction logarithmique dans B1 (1).
�
´
Demonstration
5.13 Cf. Exr. 29
44
Remarque 5.14
´
´ eralise
´
´
(a) L’enonc
e´ de Ex. 5.13 se gen
immediatement
comme suit :
`
Soit a ∈ C∗ et b ∈ C un logarithme de a, c.-a-d.,
b satisfait exp(b) = a. Alors, la
´
fonction λa,b : B|a| (a) → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ B|a| (a), par
�z �
λa,b (z) := b + λ1
,
a
est une fonction logarithmique dans B|a| (a).
(b) Pour tout z ∈ E, nous avons l’estimation
|λ1 (1 + z) − z| ≤
1 |z|2
.
2 1 − |z|
´
Demonstration
5.14
(a) Cf. Exr. 29
´
´
´
´
(b) En utilisant (22) et la serie
geom
etrique,
on peut ecrire
�∞ �
�
∞
∞
�� (−1)n+1 �
� �
|z|2 � n 1 |z|2
|z|n
�
�
zn − z� ≤
≤
.
|z| =
|λ1 (1 + z) − z| = �
�
�
n
n
2
2
1
−
|z|
n=1
n=2
n=0
�
En fait, il sufﬁt d’exiger la continuite´ pour qu’une fonction logarithmique soit holomorphe.
Proposition 5.15 Soit D connexe, f ∈ C(D) et exp(f (z)) = z pour tout z ∈ D. Alors,
`
f ∈ O(D), c.-a-d.,
f est une fonction logarithmique dans D.
´
Demonstration
5.15 Soit a ∈ D (et donc, a �= 0), b un logarithme de a et λa,b ∈ O(B|a| (a))
´
la fonction logarithmique de Rem. 5.14 (a). Alors, on peut ecrire
exp(f (z) − λa,b (z)) = 1 pour
` Prop. 5.7, on trouve, pour tout z ∈ D ∩ B|a| (a),
tout z ∈ D ∩ B|a| (a), et donc, d’apres
f (z) − λa,b (z) ∈ ker(exp) = 2πiZ.
Comme f − λa,b est continu, il existe un voisinage U ⊆ D ∩ B|a| (a) de a et un m ∈ Z t.q.
`
f (z) = λa,b (z) + 2πim pour tout z ∈ U , c.-a-d.,
f est holomorphe au point a.
�
´
ˆ important par la
A present,
nous introduisons une fonction logarithmique qui jouera un role
suite.
´
´
Deﬁnition
5.16 La fonction log : C− → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ C− , par
log(z) := ln(|z|) + iϕ,
´
ou` nous avons utilise´ la representation
unique z = |z| exp(iϕ) t.q. |z| > 0 et
−π < ϕ < π.
´
´ erien
´
En plus, ln designe
le logarithme nep
usuel. La fonction log s’appelle la branche principale du logarithme.
45
´ eme
`
Theor
5.17
(a) La branche principale du logarithme est une fonction logarithmique dans C− .
(b) log(z) = λ1 (z) pour tout z ∈ B1 (1)
´
Demonstration
5.17
(a) Nous commenc¸ons par noter que les fonctions z �→ ln(|z|) et z �→ iϕ (ou` z = |z|eiϕ
`
avec |z| > 0 et −π < ϕ < π) sont continues dans C− , c.-a-d.,
on a log ∈ C(C− ). En
−
plus, pour tout z ∈ C , on a
elog(z) = eln(|z|)+iϕ = eln(|z|) eiϕ = |z|eiϕ = z.
` Prop. 5.15, on trouve que log ∈ O(C− ) et donc, que log est une fonction
Alors, d’apres
logarithmique dans C− .
` Ex. 5.13, λ1 ∈ O(B1 (1)) est une fonction logarithmique dans B1 (1) ⊆ C− .
(b) D’apres
` Prop. 5.11, il existe m ∈ Z t.q., pour tout z ∈ B1 (1),
Alors, d’apres
log(z) = λ1 (z) + 2πim.
Comme log(1) = 0 et λ1 (1) = 0, on obtient m = 0.
�
Remarque 5.18
` Prop. 5.11, toutes les fonctions logarithmiques dans C− sont de la forme
(a) D’apres
log +2πim,
m ∈ Z.
Si m �= 0, elles s’appellent les branches secondaires du logarithme.
´ negatif
´
(b) Le choix de la coupure le long de l’axe reel
est une convention. Nous aurions
´egalement pu choisir une coupure le long d’une autre demi-droite partant de l’origine.
Par contre, il n’existe pas de fonctions logarithmiques dans C∗ parce qu’une telle
fonction devrait co¨ıncider dans C− avec une des branches log +2πim pour m ∈ Z et
ˆ
´ negatif.
´
ne pourrait donc pas etre
continue sur l’axe reel
´ es
´ de la branche principale du logarithme.
Par la suite, nous discuterons quelques propriet
Proposition 5.19
(a) Soient w, z, wz ∈ C− et soient w = |w| exp(iϕ) et z = |z| exp(iψ) avec −π < ϕ, ψ < π.
Alors :
log(wz) = log(w) + log(z)
⇐⇒
−π < ϕ + ψ < π
(23)
´
Notamment, l’equation
dans (23) est vraie pour tout w, z ∈ C qui satisfont Re(w) > 0
et Re(z) > 0.
46
(b) Pour tout m ∈ Z, soit
Gm := {z ∈ C | (2m − 1)π < Im(z) < (2m + 1)π}.
Alors, pour tout z ∈ Gm , nous avons
log(ez ) = z − 2πim.
(c) Nous avons la biholomorphie
∼
exp : G0 → C− ,
´
´
et la bijection reciproque
est egale
a` la branche principale du logarithme.
´
Demonstration
5.19
`
´
(a) Comme, par hypothese,
wz ∈ C− , on peut ecrire
wz = |wz| exp(iχ), ou` −π < χ < π.
´
D’autre part, on a egalement
wz = |w||z| exp(i(ϕ + ψ)) et donc, i(χ − (ϕ + ψ)) ∈
ker(exp) = 2πiZ. Comme −2π < ϕ + ψ < 2π, il existe m ∈ {−1, 0, 1} t.q.
χ = ϕ + ψ + 2πm.
´
´
Il en resulte
qu’on peut ecrire
log(wz) = ln(|wz|) + iχ = ln(|w|) + iϕ + ln(|z|) + iψ +2πim.
�
��
� � ��
= log(w)
(24)
= log(z)
` log(wz) = log(w) + log(z) et (24) implique m = 0, c.-a-d.,
`
⇒ : L’hypothese
on trouve
−π < χ = ϕ + ψ < π.
` l’hypothese,
`
⇐ : D’apres
on a −π < ϕ+ψ < π. Alors, comme −π < χ = ϕ+ψ+2πm <
π, on obtient m = 0 et donc, en utilisant (24), on trouve log(wz) = log(w) + log(z).
`
(b) Comme ex+iy = ex cos(y) + iex sin(y) ∈ C \ C− ssi cos(y) ≤ 0 et sin(y) = 0, c.-a-d.,
ssi
´
y = (2m + 1)π pour m ∈ Z, la fonction log ◦ exp est bien deﬁnie dans le domaine
�
Gm .
D := C \ {z ∈ C | Im(z) = (2m + 1)π pour m ∈ Z} =
m∈Z
´
ez = ex ei(y−2mπ) et on a −π <
Ensuite, pour tout z = x + iy ∈ Gm , on peut ecrire
y − 2mπ < π. Alors, on obtient, pour tout z ∈ Gm ,
log(ez ) = ln(ex ) + i(y − 2mπ) = z − 2πim.
` (b), on a log(ez ) = z pour tout z ∈ G0 . D’autre part, d’apres
` Thm.
(c) D’une part, d’apres
log(z)
−
−
5.17, on a e
= z pour tout z ∈ C . Comme log(C ) ⊆ G0 et exp(G0 ) ⊆ C− , Lem.
´
2.27 implique que exp : G0 → C− est biholomorphe ayant la reciproque
log.
�
Finalement, nous allons introduire les fonctions puissances.
47
´
Deﬁnition
5.20 Soit D connexe, f ∈ O(D) une fonction logarithmique dans D et soit σ ∈ C.
´
La fonction pσ : D → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ D, par
pσ (z) := eσf (z) ,
s’appelle la fonction puissance (p.r. a` f et) a` exposant σ.
Proposition 5.21 Soit D connexe, f ∈ O(D) une fonction logarithmique dans D et soient
´ es
´ suivantes :
σ, τ ∈ C. Alors, les fonctions puissances ont les propriet
(a) pσ ∈ O(D)
(b) p�σ = σpσ−1
(c) pσ pτ = pσ+τ
(d) pn (z) = z n pour tout z ∈ D et tout n ∈ N
´
Demonstration
5.21
(a) En utilisant Thm. 2.11 (c), f ∈ O(D) et exp ∈ O(C), on a pσ ∈ O(D).
(b) En utilisant Thm. 2.11 (c), on calcule que, pour tout z ∈ D,
p�σ (z) =
d σf (z)
1
1
e
= σf � (z)eσf (z) = σ eσf (z) = σ f (z) eσf (z) = σe(σ−1)f (z) = σpσ−1 (z).
dz
z
e
(c) Pour tout z ∈ D, on a
pσ (z)pτ (z) = eσf (z) eτ f (z) = e(σ+τ )f (z) = pσ+τ (z).
´
(d) Pour tout n ∈ N et tout z ∈ D, on peut ecrire,
pn (z) = enf (z) = (ef (z) )n = z n .
�
´
Deﬁnition
5.22 Pour le cas particulier de D = C− et f = log, la fonction puissance est
´ pour tout z ∈ C− et tout σ ∈ C,
notee,
z σ := eσ log(z) .
Remarque 5.23
(a) Pour tout σ ∈ C, on a 1σ = 1. En plus, on a (Euler, 1746)
ii ∈ R.
´ 5.22, les propriet
´ es
´ de Prop. 5.21 s’ecrivent
´
(b) Dans le cas de Def.
comme
(z σ )� = σz σ−1 ,
z σ z τ = z σ+τ .
En plus, pour tout z ∈ C− et tout σ ∈ C, on a l’estimation
|z σ | ≤ |z|Re(σ) eπ|Im(σ)| .
48
(c) Pour tout z ∈ E et tout σ ∈ C, on a la formule de Newton-Abel,
σ
(1 + z) =
∞ � �
�
σ
n=0
n
zn.
´
(d) La serie
de fonctions
∞
�
1
ζ(z) :=
nz
n=1
´
converge uniformement
dans {z ∈ C | Re(z) ≥ 1 + ε} pour tout ε > 0. En plus, elle
converge normalement dans {z ∈ C | Re(z) > 1}. La fonction ζ s’appelle la fonction
ζ de Riemann.
�
´
Demonstration
5.23 Cf. Exr. 33, 34
49
6
´
Calcul integral
complexe
´
`
´
Nous sommes sur le point de passer a` l’etude
de la troisieme
approche de la theorie
des
` l’approche geom
´ e´
fonctions analytiques, a` savoir l’approche analytique de Cauchy (apres
´
´ edents).
´
trique de Riemann et l’approche algebrique
de Weierstrass dans les chapitres prec
´
´
´
Pour ce faire, nous commenc¸ons par developper
la notion d’integration
pour pouvoir integrer
le long de chemins dans le plan complexe.
6.1
´
Integrales
curvilignes complexes
´
´
´
Pour la theorie
classique des fonctions analytiques que nous etudions,
il sufﬁt de considerer
´
des chemins qui sont continument
derivables
par morceaux.
ˆ
´ I designera
´
Si rien d’autre n’est explicitement indique,
toujours un intervalle de la forme
I := [a, b], ou` a, b ∈ R et a < b.
´
Deﬁnition
6.1 Une application continue γ : I → C s’appelle un chemin dans C ayant γ(a)
´
´ Un chemin s’appelle ferme´ si
comme point de depart
et γ(b) comme point d’arrivee.
γ(a) = γ(b). Soient γ1 ∈ C(I1 ) et γ2 ∈ C(I2 ) des chemins t.q.
γ1 (b1 ) = γ2 (a2 ).
´ γ1 + γ2 , est le chemin dans C(I) qui est deﬁni
´
par
La somme des chemins γ1 et γ2 , notee
I := [a1 , b1 + (b2 − a2 )],
et, pour tout t ∈ I, par
(γ1 + γ2 )(t) :=
�
γ1 (t),
γ2 (t + a2 − b1 ),
t ∈ [a1 , b1 ],
t ∈ [b1 , b1 + (b2 − a2 )],
` analogue pour la somme d’un nombre ﬁni quelconque de chemins.
et de maniere
´
Un chemin γ ∈ C(I) s’appelle continument
ˆ
derivable
par morceaux s’il existe n ∈ N∗ et
des chemins γi ∈ C 1 (Ii ) pour tout i ∈ {1, . . . , n} t.q.
γ = γ1 + . . . + γ n .
´
Un chemin continument
derivable
par morceaux est appele´ une courbe.
ˆ
´
Remarque 6.2 En d’autres termes, une courbe est une fonction continument
derivable
par
ˆ
`
morceaux γ : [a, b] → C, c.-a-d.,
γ ∈ C([a, b]) et il existe des points a1 , . . . , an+1 ∈ R avec
a = a1 < a2 < . . . < an < an+1 = b t.q., pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on a
γi := γ �[ai ,ai+1 ] ∈ C 1 ([ai , ai+1 ]).
50
Exemple 6.3
´
(a) Le chemin constant egal
a` z0 ∈ C est donne´ par γ(t) := z0 pour tout t ∈ I.
´
(b) Le segment entre z0 ∈ C et z1 ∈ C est le chemin γ : [0, 1] → C, deﬁni,
pour tout
t ∈ [0, 1], par
γ(t) := (1 − t)z0 + tz1 .
´
Il sera egalement
note´ [z0 , z1 ] .
(c) Pour tout c ∈ C et tout r > 0, le chemin γ : [0, 2π] → C qui parcourt le bord du cercle
´
Br (c) dans le sens positif est deﬁni,
pour tout t ∈ [0, 2π], par
γ(t) := c + reit .
´
´
A present,
nous arrivons a` la deﬁnition
principale.
´ |γ| := γ(I) , et soit f ∈
´
Deﬁnition
6.4 Soit γ ∈ C 1 (I) une courbe dont l’image sera notee
´
´
C(|γ|). L’ integrale
curviligne de f le long de la courbe γ est deﬁnie
par
�
dz f (z) :=
γ
�
b
dt f (γ(t))γ � (t),
a
´
ou,
` pour tout g ∈ C(I) a` valeurs complexes, on deﬁnit
� b
� b
� b
dt g(t) :=
dt Re(g(t)) + i
dt Im(g(t)).
a
a
a
´ de plusieurs morceaux et f ∈ C(|γ|), on deﬁnit
´
Si γ = γ1 + . . . + γn est une courbe constituee
�
n �
�
dz f (z) :=
dz f (z).
γ
i=1
γi
´
´
Remarque 6.5 L’integrale
curviligne le long d’une courbe est bien deﬁnie
parce que, d’une
´
´
part, on peut montrer que l’integrale
ne depend
pas de la somme des chemins choisie
´
qui constituent la courbe. D’autre part, γi est continument
derivable
et |γi | ⊆ |γ| pour tout
ˆ
i ∈ {1, . . . , n}.
´
´
Les integrales
suivantes sont fondamentales pour la theorie
des fonctions analytiques.
´ eme
`
Theor
6.6 Soit c ∈ C, m ∈ Z et r > 0. Alors, on a
�
∂Br (c)
dz (z − c)m =
�
0,
2πi,
m �= −1,
m = −1,
�
�
ou` nous utilisons la notation ∂Br (c) := γ et le chemin γ ∈ C 1 ([0, 2π]) est donne´ par γ(t) :=
c + r exp(it) pour tout t ∈ [0, 2π] (cf. Ex. 6.3 (c)).
51
´ 6.4, nous calculons
´
Demonstration
6.6 En utilisant Def.
� 2π
� 2π
�
� 2π
m
m �
m imt
it
m+1
dz (z − c) =
dt (γ(t) − c) γ (t) =
dt r e ire = r
i
dt ei(m+1)t
∂Br (c)
0
0
0


m = −1,
2πi, �
�
2π
m+1
= r
ei(m+1)t , m �= −1.

 m+1 � �� 0�
=0
�
´ 6.4 ne depend
´
´
Par la suite, nous nous convaincrons que Def.
pas du parametrage
du chemin.
´
´
Deﬁnition
6.7 Deux courbes γ1 ∈ C 1 (I1 ) et γ2 ∈ C 1 (I2 ) sont dites equivalentes
s’il existe
´
une bijection continument
derivable
ϕ : I2 → I1 avec ϕ� > 0 t.q.
ˆ
γ2 = γ1 ◦ ϕ.
´
Proposition 6.8 Soient γ1 ∈ C 1 (I1 ) et γ2 ∈ C 1 (I2 ) deux courbes equivalentes
et f ∈ C(|γ1 |).
Alors, on a
�
�
dz f (z) =
dz f (z).
γ1
γ2
�
´
Demonstration
6.8 Cf. Exr. 36
6.2
´ es
´ gen
´ erales
´
Propriet
´
`
Pour les integrales
curvilignes complexes, nous avons les regles
de calcul suivants.
Proposition 6.9
(a) Soit γ : I → C une courbe. Alors, pour tout a, b ∈ C et tout f, g ∈ C(|γ|), on a
�
�
�
dz (af (z) + bg(z)) = a dz f (z) + b dz g(z).
γ
γ
γ
´
(b) Soit γ1 : I1 → C une courbe et γ2 : I2 → C une courbe dont le point de depart
est le
´ de γ1 . Alors, pour tout f ∈ C(|γ1 + γ2 |), on a
point d’arrivee
�
�
�
dz f (z) =
dz f (z) +
dz f (z).
γ1 +γ2
γ1
γ2
´
(c) Soit γ ∈ C(I) et soit ψ : I → I deﬁni
par ψ(t) := a + b − t pour tout t ∈ I. La
´ −γ , s’appelle le chemin inverse.
´
composition γ ◦ ψ , notee
´ et f ∈ C(|γ|). Alors, on a
Soit γ une courbe, −γ la courbe inversee
�
�
dz f (z) = − dz f (z).
−γ
γ
52
(d) Soit g : D1 → D2 holomorphe, g � continu, γ2 une courbe dans D2 et γ1 := g ◦ γ2 . Alors,
´
pour tout f ∈ C(|γ1 |), on a la formule de l’ integration
par changement de variable
�
�
dz f (z) =
dz f (g(z))g � (z).
γ1
γ2
´
Demonstration
6.9
(a) – (b) Clair
(c) – (d) Cf. Exr. 38
�
´
Nous rappelons la notion suivante du cours d’analyse reelle.
´
Deﬁnition
6.10 Pour une courbe γ ∈ C 1 (I), le nombre
� b
dt |γ � (t)|
L(γ) :=
a
s’appelle la longueur (euclidienne) de γ. Si la courbe consiste en plusieurs morceaux γ =
´
γ1 + . . . + γn pour n ∈ N∗ , on deﬁnit
L(γ) :=
n
�
L(γi ).
i=1
Pour toute courbe γ : I → C et tout f ∈ C(|γ|), nous utiliserons la notation
|f |γ := max |f (γ(t))|.
t∈[a,b]
` souvent utilisee
´ par la suite.
L’estimation suivante sera tres
Proposition 6.11 Soit γ une courbe et f ∈ C(|γ|). Alors, on a l’estimation standard pour
´
les integrales
curvilignes
�
��
�
�
� dz f (z)� ≤ |f |γ L(γ).
�
�
γ
´
´
Demonstration
6.11 Supposons d’abord que γ ∈ C 1 (I). Alors, on peut ecrire
� �� b
� � b
��
� �
�
�
� dz f (z)� = �
dt f (γ(t))γ � (t)�� ≤
dt |f (γ(t))| |γ � (t)|.
� �
�
� ��
γ
a
a
≤ |f |γ
Pour une courbe qui consiste en plusieurs morceaux γ = γ1 + . . . + γn pour n ∈ N∗ , on a
�
� �� n �
�
��
n ��
n
� �
� ��
� �
�
�
�
�
�
� dz f (z)� = �
dz f (z)� ≤
|f |γi L(γi ).
� �
� dz f (z)� ≤
�
��
�
γ
i=1 γi
i=1 � γi ��
i=1
�
≤ |f |γ
≤|f |γi L(γi )
53
�
´
´ suivants.
En utilisant l’estimation standard, nous pouvons montrer les enonc
es
Proposition 6.12 Soit γ : I → C une courbe et (fn )n∈N ⊆ C(|γ|) une suite de fonctions qui
´
converge uniformement
dans |γ| vers une fonction f : |γ| → C. Alors, on a
lim
n→∞
�
dz fn (z) =
γ
�
dz f (z).
γ
` (la gen
´ eralisation
´
´
Demonstration
6.12 Nous remarquons d’abord que, d’apres
a` une partie
non vide quelconque de C de) Prop. 3.6, la fonction limite satisfait f ∈ C(|γ|) et donc,
´
´
l’integrale
curviligne de f le long de γ est bien deﬁnie.
Ensuite, en utilisant l’estimation
standard (cf. Prop. 6.11), on obtient
��
� ��
�
�
�
� �
�
� dz fn (z) − dz f (z)� = � dz [fn (z) − f (z)]� ≤ |fn − f |γ L(γ).
�
� �
�
γ
γ
γ
` Rem. 3.3 (b), on a
Alors, comme, d’apres
|fn − f |γ = max |fn (γ(t)) − f (γ(t))| = sup |fn (z) − f (z)| = |fn − f ||γ| ,
t∈[a,b]
z∈|γ|
´
vers f dans |γ|, nous arrivons a` la concluet comme la suite (fn )n∈N converge uniformement
sion.
�
�
´ de fonctions fn ∈ C(|γ|) qui converge
Remarque 6.13 Soit γ une courbe et ∞
n=0 fn une serie
´
uniformement dans |γ| vers une fonction limite f : |γ| → C. Alors, on a
∞ �
�
n=0
6.3
dz fn (z) =
γ
�
dz f (z).
γ
Primitives
´ eral,
´
´
´
En gen
une integrale
curviligne complexe le long d’une courbe γ depend
non seulement
´
´ de γ mais aussi du parcours de γ entre ces deux
du point de depart
et du point d’arrivee
´
`
points. A present,
nous discutons des criteres
qui garantissent que la valeur d’une telle
´
´
´
´
integrale
ne depend
que des points de depart
et d’arrivee.
´
Deﬁnition
6.14 Soit f ∈ C(D). Une fonction F : D → C s’appelle une primitive de f dans
`
´
D si F ∈ O(D) et F � = f dans D. On dit que f est C-integrable
dans D si f possede
une
primitive dans D.
´
´ suivants sont equivalents
´
´ eme
`
Theor
6.15 Soient f ∈ C(D) et F : D → C. Alors, les enonc
es
:
(a) F est une primitive de f dans D.
54
´
(b) Pour tout w, z ∈ D et toute toute courbe γ dans D de point de depart
w et de point
´ z, on a
d’arrivee
�
γ
dζ f (ζ) = F (z) − F (w).
´
Demonstration
6.15
´
´ z
(a) ⇒ (b) : Soit d’abord γ ∈ C 1 (I) une courbe de point de depart
w et de point d’arrivee
´
qui consiste en un seul morceau. Alors, on peut ecrire
� b
� b
� b
�
d
�
�
�
dζ f (ζ) =
dt f (γ(t))γ (t) =
dt F (γ(t))γ (t) =
dt F (γ(t))
dt
a
a
a
γ
= F (γ(b)) − F (γ(a)) = F (z) − F (w).
Si γ est une courbe qui consiste en plusieurs morceaux γ = γ1 + . . . + γn pour un n ∈ N∗ , on
´
peut ecrire
�
dζ f (ζ) =
γ
n �
�
i=1
dζ f (ζ) =
γi
= F (z) − F (w),
n
�
i=1
[F (γi (bi )) − F (γi (ai ))] = F (γn (bn )) − F (γ1 (a1 ))
´ 6.1) et
ou` nous avons utilise´ que γi (bi ) = γi+1 (ai+1 ) pour tout i ∈ {1, . . . , n − 1} (cf. Def.
γ1 (a1 ) = w et γn (an ) = z.
´
(b) ⇒ (a) : Nous voulons montrer qu’en tout point c ∈ D, la fonction F est C-derivable
et
�
F (c) = f (c). Soit donc c ∈ D et r > 0 t.q. Br (c) ⊆ D, et nous notons B := Br (c). En utilisant
`
´
l’hypothese,
nous pouvons ecrire
que, pour tout z ∈ B,
�
F (z) = F (c) +
dζ f (ζ),
[c,z]
ou` nous rappelons que la courbe [c, z] est le segment entre c et z (cf. Ex. 6.3 (b)). Si nous
´
deﬁnissons
la fonction G : B → C par
�
�
1
dζ f (ζ), z ∈ B \ {c},
z−c [c,z]
G(z) :=
f (c),
z = c,
nous obtenons que, pour tout z ∈ B,
F (z) = F (c) + (z − c) G(z).
´
Aﬁn de montrer que F est C-derivable
au point c ∈ D, il nous reste a` montrer que G est
´ 2.1). Pour ce faire, nous remarquons que, pour tout z ∈ B \ {c}, on a
continu en c (cf. Def.
�
1
G(z) − G(c) =
dζ (f (ζ) − f (c)) ,
z − c [c,z]
55
�
´
parce que [c,z] dζ = z − c. En utilisant l’estimation standard (cf. Prop. 6.11), on peut ecrire
que, pour tout z ∈ B \ {c},
|G(z) − G(c)| ≤
1
|f − f (c)|[c,z] L([c, z]) ≤ sup |f (ξ) − f (c)|.
� �� ξ∈Br (c)
|z − c|
= |z−c|
Alors, comme f ∈ C(D), on a limr→0+ |f − f (c)|Br (c) = 0 et donc, G est continu en c. En plus,
` Def.
´ 2.1, on obtient F � (c) = G(c) = f (c).
d’apres
�
Exemple 6.16
(a) Soit m ∈ Z et m �= −1. Comme la fonction f (z) := z m a la primitive F (z) := z m+1 /(m+
´ dans C∗ , on a
1) dans C∗ , Thm. 6.15 fournit que, pour toute courbe γ fermee
�
�
1 �
γ(b)m+1 − γ(a)m+1 = 0,
dz z m =
m+1
γ
ce qui est a` comparer avec Thm. 6.6.
�∞
n
´ entiere
`
` �une primitive dans son disque de conver(b) Toute serie
n=0 an (z −c) possede
∞
an
n+1
´ par la serie
´
`
gence qui est donnee
entiere
(cf. Thm. 4.16).
n=0 n+1 (z − c)
`
(c) Si F ∈ O(D) et F � = 0 dans D, alors F est localement constant dans D, c.-a-d.,
pour tout c ∈ D, il existe un voisinage U ⊆ D de c t.q. F est constant dans U (cf. Exr.
39).
(d) Soient F1 , F2 ∈ O(D) deux primitives de f ∈ C(D). Alors, comme (F1 − F2 )� = f − f =
0 dans D, on obtient que F1 − F2 est localement constant dans D.
´
´
` de C-integrabilit
´
´ eraux.
´
A present,
nous enonc
¸ ons un critere
e´ pour des domaines connexes gen
´
´ suivants sont equivalents
´
Proposition 6.17 Soit D connexe et f ∈ C(D). Alors, les enonc
es
:
´
(a) f est C-integrable
dans D.
´ γ dans D, on a
(b) Pour toute courbe fermee
�
dz f (z) = 0.
γ
´
Demonstration
6.17
´
`
(a) ⇒ (b) : Comme f est C-integrable,
il existe F ∈ O(D) t.q. F � = f dans D. Alors, d’apres
´ γ dans D, on a
Thm. 6.15, pour toute courbe fermee
�
dz f (z) = F (γ(b)) − F (γ(a)) = 0.
γ
(b) ⇒ (a) : Soit c ∈ D ﬁxe´ et, pour tout z ∈ D, soit γz une courbe dans D de c a` z (comme
`
D est connexe, il existe toujours un chemin polygonal, c.-a-d.,
une courbe, qui relie deux
points entre eux).
56
D
z
��
γz
�
�
γw
�
w
c
´
En plus, soit F : D → C deﬁni,
pour tout z ∈ D, par
�
dζ f (ζ).
F (z) :=
γz
Alors, pour tout w, z ∈ D et toute courbe γ de w a` z, la courbe γw + γ − γz est une courbe
´ dans D, d’ou`
fermee
�
�
�
�
�
0=
dζ f (ζ) =
dζ f (ζ) + dζ f (ζ) −
dζ f (ζ) = F (w) + dζ f (ζ) − F (z).
γw +γ−γz
γw
γ
γz
γ
´
`
Il en resulte
que F satisfait la condition (b) de Thm. 6.15, c.-a-d.,
F est une primitive de f
dans D.
�
´
` important pour
La condition (b) de Prop. 6.17 n’est pas veriﬁable
dans la pratique. Il est tres
ˆ
l’approche de Cauchy que cette condition puisse etre
substantiellement affaiblie pour des
´
domaines connexes speciaux.
´
´
Deﬁnition
6.18 Un sous-ensemble M ⊆ C s’appelle etoil
e´ s’il existe z1 ∈ M t.q., pour tout
z ∈ M , on a
|[z1 , z]| ⊆ M.
Le point z1 s’appelle un centre de M .
�
M
z
��
�
z1
��
��
��
��
57
��
Exemple 6.19
´ e´ (nous rappelons qu’un sous-ensemble M de C
(a) Tout ensemble convexe M est etoil
s’appelle convexe si |[w, z]| ⊆ M pour tout w, z ∈ M ). En plus, chaque point de M est
un centre de M .
´ e.
´ Un point z ∈ C est un centre de C− ssi z ∈ R∗+ .
(b) L’ensemble C− est etoil
´ e.
´
(c) L’ensemble C∗ n’est pas etoil
´ e´ est connexe.
(d) Tout ensemble etoil
´ e,
´ il sufﬁt de se restreindre aux bords de triangles.
Nous montrerons que, si D est etoil
´
Deﬁnition
6.20 Soient z1 , z2 , z3 ∈ C. L’ensemble compact
Δ := {z1 + s(z2 − z1 ) + t(z3 − z1 ) | s, t ≥ 0 et s + t ≤ 1}
= {t1 z1 + t2 z2 + t3 z3 | t1 , t2 , t3 ≥ 0 et t1 + t2 + t3 ≤ 1}
´ suivante, appelee
´ le bord
s’appelle un triangle de sommets z1 , z2 , z3 ∈ C. La courbe fermee
ˆ es
´ du triangle et sera notee
´
du triangle, parcourt les cot
∂Δ := [z1 , z2 ] + [z2 , z3 ] + [z3 , z1 ].
z1
�
�
z
��
�� 3
Δ
��
z2
´
` suivant, une version substantiellement affaiblie du critere
`
Nous arrivons a` present
au critere
´
´ eral
´ de Prop. 6.17.
de C-integrabilit
e´ gen
´ e´ et z1 un centre de D. En plus,
´ eme
`
` de C-integrabilit
´
´ Soit D etoil
Theor
6.21 (Critere
e)
soit f ∈ C(D) et, pour tout triangle Δ ⊆ D de sommet z1 , soit
�
dz f (z) = 0.
∂Δ
´
´
Alors, f est C-integrable
dans D et la fonction F : D → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ D, par
�
dζ f (ζ),
F (z) :=
[z1 ,z]
est une primitive de f dans D.
58
´ e,
´ on a |[z1 , z]| ⊆
´
Demonstration
6.21 Nous commenc¸ons par noter que, comme D est etoil
´
´ Comme D est un ouvert
D pour tout z ∈ D et donc, F est bien deﬁni.
Ensuite, soit c ∈ D ﬁxe.
de C, il existe r > 0 t.q. Br (c) ⊆ D. Alors, pour tout z ∈ Br (c), le triangle Δ aux sommets z1 ,
c et z satisfait Δ ⊆ D.
D
z
r ��
��
��
��
c
Δ
�
z1
�
` l’hypothese,
`
Comme, d’apres
on a ∂Δ dz f (z) = 0, on obtient
�
�
�
�
0=
dζ f (ζ) +
dζ f (ζ) +
dζ f (ζ) = F (c) +
[z1 ,c]
[c,z]
[z,z1 ]
[c,z]
dζ f (ζ) − F (z).
´
´
´
Alors, en procedant
comme dans Dem.
6.15 (b) ⇒ (a), on obtient que F est C-derivable
en
�
c et que F (c) = f (c).
�
59
7
´ emes
`
Theor
de Cauchy et analyticite´
` de l’integration
´
´
L’ere
complexe debute
avec Cauchy. C’est pour c¸a que presque tous les
´
´
´
resultats
importants de cette theorie
portent son nom. Dans ce chapitre, nous demontrerons
´ emes
`
´
les theor
principaux de Cauchy dans leur forme la plus simple et nous etudierons
quelque-unes de leurs applications importantes.
7.1
´ eme
`
´
´
´
Theor
integral
de Cauchy pour des domaines etoil
es
Nous commenc¸ons par le lemme de Goursat (Goursat, 1883 [rectangles] ; Pringsheim, 1901
[triangles]).
Proposition 7.1 (Lemme de Goursat) Soit f ∈ O(D) et Δ un triangle dans D. Alors, on a
�
dz f (z) = 0.
∂Δ
´
Demonstration
7.1 On remarque d’abord que, pour tout triangle Δ dans D, on a
(25)
max |w − z| ≤ L(∂Δ).
w,z∈Δ
´ er
´ es
´ par les segments reliant les
En plus, si on note Δi pour i ∈ {1, . . . , 4} les triangles gen
ˆ es
´ de Δ, on a egalement,
´
trois milieux des cot
pour tout i ∈ {1, . . . , 4},
L(∂Δi ) =
L(∂Δ)
.
2
(26)
��z2
��
Δ
Δ2
Δ3
z3 �
Δ1
Δ4
�
�
z1
Alors, en utilisant la notation a(Δ) :=
a(Δ) =
�
∂Δ
4 �
�
i=1
´
dz f (z) et Prop. 6.9 (b), on peut ecrire
dz f (z) =
∂Δi
4
�
a(Δi ),
i=1
ˆ es
´ interieures
´
´ Ensuite, soit Δ(1) le
ou` les cot
sont parcourues deux fois en sens oppose.
triangle parmi les triangles Δ1 , . . . , Δ4 qui satisfait, pour tout i ∈ {1, . . . , 4},
|a(Δi )| ≤ |a(Δ(1) )|,
60
d’ou` nous obtenons alors que
|a(Δ)| ≤
4
�
i=1
|a(Δi )| ≤ 4|a(Δ(1) )|.
´
En procedant
pour Δ(1) comme pour Δ, on obtient un triangle Δ(2) t.q.
|a(Δ)| ≤ 4|a(Δ(1) )| ≤ 42 |a(Δ(2) )|.
`
En continuant de cette maniere,
nous obtenons une suite de triangles Δ(1) ⊇ Δ(2) ⊇ . . . ⊇
(n)
´ es
´ que, pour tout n ∈ N∗ ,
Δ ⊇ . . . ayant les propriet
|a(Δ)| ≤ 4n |a(Δ(n) )|,
1
L(∂Δ(n) ) = n L(∂Δ).
2
(27)
(28)
��z2
��
Δ
z3 �
�
�
z1
�
En plus, l’intersection n∈N∗ Δ(n) ne contient qu’un seul point c ∈ D (cf. le principe de
` l’hypothese,
`
l’emboˆıtement des intervalles du cours d’analyse). Alors, comme, d’apres
f ∈
O(D), il existe g ∈ C(D) t.q., pour tout z ∈ D, on a
f (z) = f (c) + (z − c)[f � (c) + g(z)],
g(c) = 0.
Ensuite, en utilisant Prop. 6.17, on a, pour tout n ∈ N∗ ,
�
dz f (c) = 0,
∂Δ(n)
�
dz f � (c)(z − c) = 0,
∂Δ(n)
´
d’ou` il resulte
que, pour tout n ∈ N∗ ,
a(Δ
(n)
)=
�
∂Δ(n)
dz (z − c)g(z).
´ e´ geom
´
´
L’estimation standard (cf. Prop. 6.11) et la propriet
etrique
(25) impliquent alors que,
pour tout n ∈ N∗ ,
|a(Δ(n) )| ≤ max |(z − c)g(z)| L(∂Δ(n) ) ≤ L(∂Δ(n) )2 |g|∂Δ(n) .
z∈∂Δ(n)
61
(29)
´
En utilisant (27), (28) et (29), nous pouvons ecrire
que, pour tout n ∈ N∗ ,
(27)
(29)
(28)
|a(Δ)| ≤ 4n |a(Δ(n) )| ≤ 4n L(∂Δ(n) )2 |g|∂Δ(n) ≤
4n
L(∂Δ)2 |g|∂Δ(n) .
22n
(30)
Comme g ∈ C(D) et g(c) = 0, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 t.q. |g|Bδ (c) ≤ ε. En plus, pour
ce δ, il existe N ∈ N t.q. Δ(n) ⊆ Bδ (c) pour tout n ≥ N et donc, on obtient, pour tout n ≥ N ,
|g|∂Δ(n) ≤ ε.
Alors, en utilisant (30), on trouve que
|a(Δ)| ≤ L(∂Δ)2 ε.
Comme ε > 0 est quelconque, on arrive a` a(Δ) = 0.
�
´
´ eme
`
Nous arrivons a` present
a` l’illustre theor
suivant.
´ e´ et f ∈ O(D). Alors, f est
´ eme
`
´ eme
`
´
Theor
7.2 (Theor
integral
de Cauchy) Soit D etoil
´
´
C-integrable
dans D. Notamment, si z1 est un centre de D, la fonction F : D → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ D, par
�
F (z) :=
dζ f (ζ),
(31)
[z1 ,z]
´ dans D, on a
est une primitive de f dans D. En plus, pour toute courbe fermee
�
dz f (z) = 0.
(32)
γ
` le lemme de Goursat (cf. Prop. 7.1), on a, pour tout triangle
´
Demonstration
7.2 D’apres
Δ ⊆ D,
�
dz f (z) = 0.
∂Δ
` de C-integrabilit
´
´ es
´ (cf. Thm. 6.21), on obient
En utilisant le critere
e´ pour les domaines etoil
´
que f est C-integrable
et que la fonction F de (31) est une primitive de f dans D. Ensuite,
`
`
´
´ eraux
´
d’apres le critere de C-integrabilit
e´ pour des domaines connexes gen
(cf. Prop. 6.17),
´
on obtient egalement
(32).
�
7.2
´
Formule integrale
de Cauchy pour des disques
´ eme
`
´
La forme du theor
integral
de Cauchy de Thm. 7.2 n’est pas encore sufﬁsant pour en
´
´
´ eme
`
deduire
la formule integrale
de Cauchy ci-dessous. Nous avons besoin du theor
suivant.
62
´ e´ et c un centre de
´ eme
`
´ eme
`
´
´ eralis
´
´ Soit D etoil
Theor
7.3 (Theor
integral
de Cauchy gen
e)
´
D. En plus, soit f ∈ C(D) et f ∈ O(D \ {c}). Alors, f est C-integrable
dans D.
´
La demonstration
de Thm. 7.3 est identique a` celle de Thm. 7.2 si le lemme de Goursat de
Prop. 7.1 est remplace´ par la proposition suivante.
´ eralis
´
´ Soit c ∈ D, et soit f ∈ C(D) et f ∈
Proposition 7.4 (Lemme de Goursat gen
e)
O(D \ {c}). Alors, pour tout triangle Δ ⊆ D de sommet c, on a
�
dz f (z) = 0.
∂Δ
´
Demonstration
7.4 Soit Δ un triangle dans D de sommet c, et soit un point donne´ sur
ˆ es
´ de Δ qui constituent le sommet c deﬁnissant
´
chacune des deux cot
ainsi les trois triangles
Δ1 , Δ2 et Δ3 .
D
c
��
��
��
Δ
Δ1
Δ3
Δ2
�
�
´
En integrant
le long du bord de Δ, on obtient
�
dz f (z) =
∂Δ
3 �
�
i=1
Prop. 7.1
dz f (z)
∂Δi
=
�
dz f (z),
∂Δ1
´
ou` nous avons d’abord utilise´ que les integrales
le long des deux chemins qui constituent
ˆ es
´ communes de Δ1 et Δ2 et de Δ2 et Δ3 s’annulent, et ensuite le lemme de Goursat
les cot
` l’estimation standard, on peut ﬁnalement ecrire
´
pour les triangles Δ2 et Δ3 . D’apres
que
�
��
�
�
� ≤ |f |∂Δ L(∂Δ1 ),
�
dz
f
(z)
�
�
∂Δ
ˆ
et L(∂Δ1 ) peut etre
choisi arbitrairement petit.
�
´ eme
`
Remarque 7.5 On verra plus tard dans le theor
de prolongement de Riemann que Thm.
´ eralisation
´
´
7.3 n’est pas une gen
veritable
de Thm. 7.2. En effet, pour tout f ∈ C(D) qui est
t.q. f ∈ O(D \ {c}), on aura f ∈ O(D).
´
` cel
´ ebre
`
´
A present,
nous arrivons a` la tres
formule integrale
de Cauchy pour les disques
(Cauchy, 1831).
63
´ eme
`
´
Theor
7.6 (Formule integrale
de Cauchy) Soit f ∈ O(D). En plus, soient c ∈ D et
r > 0 t.q. Br (c) ⊆ D. Alors, pour tout z ∈ Br (c), on a
1
f (z) =
2πi
�
f (ζ)
.
ζ −z
dζ
∂Br (c)
´ En plus, soit la fonction g : D → C
´
Demonstration
7.6 Posons B := Br (c) et soit z ∈ B ﬁxe.
´
deﬁnie,
pour tout ζ ∈ D, par
�
f (ζ)−f (z)
, ζ ∈ D \ {z},
ζ−z
g(ζ) :=
�
f (z),
ζ = z.
Comme f ∈ O(D), on a g ∈ C(D) et g ∈ O(D \ {z}). En plus, comme B ⊆ D, il existe s > r
˜ := Bs (c) ⊆ D.
t.q. B
D
s
r
z
c
˜ est etoil
´ e,
´ d’apres
` le theor
´ eme
`
´
´ eralis
´
Alors, comme B
integral
de Cauchy gen
e´ (cf. Thm. 7.3),
˜ est C-integrable
´
la restriction de g a` B
et, pour tout z ∈ B, on a
�
�
�
f (ζ)
1
− f (z)
dζ
.
0=
dζ g(ζ) =
dζ
ζ −z
ζ −z
∂B
∂B
∂B
� ��
=: h(ζ)
`
´
Aﬁn de calculer la deuxieme
integrale,
soit ε > 0 t.q. Bε (z) ⊆ B, et soient les courbes
´
γ1 , . . . , γ4 , α, β deﬁnies
comme dans la ﬁgure suivante :
α
r
γ4
�
γ2
z
�
�
ε
β
64
γ3
γ1
c
Γ2
Γ1
´
En plus, nous deﬁnissons
les courbes Γ1 := γ1 + α + γ3 + β et Γ2 := −β + γ4 − α + γ2 , et
−
´ eme
`
´
nous posons z ± C := {z ± w | w ∈ C− }. Alors, comme h ∈ O(z + C− ), le theor
integral
de Cauchy (cf. Thm. 7.2) nous fournit
�
dζ h(ζ) = 0.
Γ1
�
` analogue, on a Γ2 dζ h(ζ) = 0 en appliquant Thm. 7.2 sur le domaine etoil
´ e´
De maniere
−
z − C . Alors, on trouve
�
�
�
�
�
dζ h(ζ) +
dζ h(ζ) =
dζ h(ζ) =
dζ h(ζ) −
dζ h(ζ),
0=
Γ1
Γ2
Γ1 +Γ2
∂B
∂Bε (z)
d’ou,
` en utilisant Thm. 6.6, on arrive a`
�
dζ h(ζ) =
∂B
�
Thm. 6.6
dζ h(ζ)
=
2πi.
∂Bε (z)
�
Remarque 7.7
`
´
(a) Nous notons que toutes les valeurs de f a` l’interieur
du disque Br (c) sont complete´
´ par les valeurs de f sur le bord du disque.
ment determin
ees
´
ˆ d’un pa(b) Dans l’expression sous l’integrale,
la variable z n’apparaˆıt que dans le role
`
´ a` la fonction f .
rametre
et n’est plus liee
´
´
(c) La formule integrale
de Cauchy s’applique egalement
a` d’autres domaines que le
´
´ eralisation
´
`
disque. On etudiera
une gen
importante ci-apres.
7.3
Analyticite´ des fonctions holomorphes
´
´
´
´
A present,
nous deﬁnissons
la notion d’analyticite´ qui s’averera
equivalente
a` celle d’holomorphie.
´
Deﬁnition
7.8 Soit c ∈ D et r > 0 t.q. B := Br (c) ⊆ D. Une fonction f : D → C s’appelle
´
` qui converge dans B vers (la restriction a`
analytique dans B s’il existe une serie
entiere
` Thm. 4.16, f est indeﬁniment
´
´
B de) f . Dans ce cas, d’apres
C-derivable
dans B et ses
´
´ par la formule de Taylor, c.-a-d.,
`
coefﬁcients
sont donnes
pour tout z ∈ B, on a
f (z) =
∞
�
f (n) (c)
n=0
n!
(z − c)n .
´
´
Cette serie,
qui est normalement convergente dans B, s’appelle la serie
de Taylor de la
fonction f au point c.
65
´
´
Une des consequences
les plus importantes de la formule integrale
de Cauchy sera l’analyticite´ des fonctions holomorphes. Nous commenc¸ons par la proposition suivante.
´
Proposition 7.9 (Lemme de developpement)
Soit γ une courbe dans C et f ∈ C(|γ|), et
´
soit F : C \ |γ| → C deﬁni,
pour tout z ∈ C \ |γ|, par
�
1
f (ζ)
F (z) :=
.
dζ
2πi γ
ζ −z
´
`
Alors, F ∈ O(C \ |γ|). En plus, pour tout c ∈ C \ |γ|, la serie
entiere
�
∞
�
1
f (ζ)
an (z − c)n avec an :=
dζ
,
n+1
2πi
(ζ
−
c)
γ
n=0
converge vers F dans tout disque centre´ a` c qui n’intersecte pas |γ|. Finalement, F est
´
´
indeﬁniment
C-derivable
dans C \ |γ| et, pour tout z ∈ C \ |γ| et tout k ∈ N, on a
�
k!
f (ζ)
(k)
F (z) =
dζ
.
2πi γ
(ζ − z)k+1
´
Demonstration
7.9 Soit c ∈ C \ |γ| et r > 0 t.q. B := Br (c) satisfait B ∩ |γ| = ∅. En utilisant
`
Ex. 4.17 (a), c.-a-d.,
que, pour tout w ∈ E et tout k ∈ N,
∞ � �
�
n n−k
1
w ,
=
(33)
k+1
k
(1 − w)
n=k
pour la variable w = (z − c)/(ζ − c) ∈ E, ou` z ∈ B et ζ ∈ |γ|, on a, pour tout z ∈ B, tout
ζ ∈ |γ| et tout k ∈ N,
∞ � �
�
n (z − c)n−k
1
=
.
(ζ − z)k+1 n=k k (ζ − c)n+1
´
que,
En notant gk (ζ) := f (ζ)/(ζ − z)k+1 pour tout ζ ∈ |γ| et tout k ∈ N, on peut alors ecrire
pour tout z ∈ B,
� �
�
�
∞
�
k!
f (ζ)
1
n
gn (ζ)(z − c)n−k .
dζ
=
dζ
k!
(34)
k+1
k
2πi γ
(ζ − z)
2πi γ
n=k
Comme |ζ − c| ≥ r pour tout ζ ∈ |γ|, on a |gn |γ ≤ |f |γ /rn+1 , et donc,
max |gn (ζ)(z − c)n−k | ≤
ζ∈|γ|
1
rk+1
|f |γ q n−k ,
ou` nous avons pose´ q := |z − c|/r. En utilisant que 0 ≤ q < 1 pour tout z ∈ B et (33), on
´
´
obtient que la serie
des fonctions dans (34) converge uniformement
en ζ dans |γ| pour tout
´ Alors, d’apres
` Rem. 6.13, on peut intervertir la sommation et l’integration
´
z ∈ B ﬁxe.
et on
obtient que, pour tout k ∈ N,
� �
�
�
∞
�
k!
f (ζ)
n
1
f (ζ)
n−k
an (z − c)
dζ
=
k!
avec an :=
dζ
.
k+1
k
2πi γ
(ζ − z)
2πi γ
(ζ − c)n+1
n=k
66
` Thm. 4.16, F est
Alors, le cas k = 0 implique que F est analytique dans B. En plus, d’apres
´
´
indeﬁniment
C-derivable
dans B et, pour tout z ∈ B et tout k ∈ N, on a
F
(k)
� �
∞
�
n
an (z − c)n−k .
(z) =
k!
k
n=k
´
´
Comme B est quelconque dans C \ |γ|, on arrive a` l’enonc
e.
�
Pour tout c ∈ D, nous notons dc (∂D) := inf z∈∂D |c − z| > 0 la distance de c au bord
∂D := D \ D de D (si D = C, nous posons dc (∂C) := ∞). Pour D �= C, le nombre dc (∂D),
que nous noterons souvent d := dc (∂D), est le plus grand rayon t.q. Bd (c) ⊆ D. En plus,
nous remarquons que ∂Bd (c) ∩ ∂D �= ∅.
´ eme
`
´
´
´ edent.
´
Le theor
suivant est une consequence
directe du lemme de developpement
prec
´ eme
`
´ eme
`
Theor
7.10 (Theor
de Cauchy-Taylor) Soient f ∈ O(D) et c ∈ D. Alors, f est
´
analytique dans Bd (c) ⊆ D. En plus, pour tout 0 < r < d, les coefﬁcients
de Taylor de f
´
s’ecrivent
comme
1
f (n) (c)
=
an =
n!
2πi
�
dζ
∂Br (c)
f (ζ)
.
(ζ − c)n+1
(35)
´
´
Notamment, f est indeﬁniment
C-derivable
dans D et, pour tout z ∈ Br (c) et tout n ∈ N,
nous avons
f
(n)
n!
(z) =
2πi
�
dζ
∂Br (c)
f (ζ)
.
(ζ − z)n+1
(36)
` la formule integrale
´
´
Demonstration
7.10 Comme f ∈ O(D), d’apres
de Cauchy (cf. Thm.
7.6), on a, pour tout disque B := Br (c) t.q. 0 < r < d et tout z ∈ B, que
�
f (ζ)
1
dζ
.
f (z) =
2πi ∂B
ζ −z
´
Alors, le lemme de developpement
(cf. Prop. 7.9) applique´ au cas de F := f et γ := ∂B
´
implique que f est analytique dans B avec les coefﬁcients
de Taylor (35). Comme tout choix
ˆ
´
`
´
de 0 < r < d produit la meme
serie
entiere,
la serie
converge vers f dans la totalite´ de
´
´ ees,
´
`
´
Bd (c). Les formules integrales
de Cauchy pour les deriv
c.-a-d.,
(36), sont egalement
´
une consequence directe de Prop. 7.9.
�
67
´ es
´ fondamentales des fonctions holomorphes
Propriet
8
´
´
Le calcul integral
complexe atteint son point culminant dans la formule integrale
de Cauchy
´ eme
`
et le theor
de Cauchy-Taylor.
´
Nous allons constater la force de ces resultats
qui donnent lieu a` un grand nombre de
´ es
´ fondamentales des fonctions holomorphes.
propriet
8.1
´ eme
`
Theor
d’identite´
´ es
´ les plus utiles dans la pratique est la suivante.
Une des propriet
´ eme
`
´ eme
`
´ Soit D connexe et soient f, g ∈ O(D). Alors, les
Theor
8.1 (Theor
d’identite)
´
´ suivants sont equivalents
´
enonc
es
:
(a) f = g
`
(b) L’ensemble de coˆıncidence {z ∈ D | f (z) = g(z)} possede
un point d’accumulation
dans D.
(c) Il existe c ∈ D t.q. f (n) (c) = g (n) (c) pour tout n ∈ N.
´
Demonstration
8.1
(a) ⇒ (b) : Clair
` l’hypothese,
`
(b) ⇒ (c) : Soit h := f − g ∈ O(D). D’apres
l’ensemble M := {z ∈ D | h(z) = 0}
`
possede
un point d’accumulation c ∈ D. Supposons maintenant qu’il existe m ∈ N t.q.
(m)
` le theor
´ eme
`
h (c) �= 0 et soit m0 ∈ N le plus petit de ces m. Alors, d’apres
de CauchyTaylor (cf. Thm. 7.10), on a, pour tout r > 0 t.q. Br (c) ⊆ D, que
h(z) = (z − c)m0 h0 (z),
�
ou` h0 (z) := n≥m0 h(n) (c)(z − c)n−m0 /n! ∈ O(D) et h0 (c) �= 0. Comme h0 est continu, il existe
´
ˆ
un voisinage U ⊆ Br (c) de c t.q. h0 (z) �= 0 pour tout z ∈ U . Il en resulte
que c ne peut etre
`
un point d’accumulation de M , et nous arrivons a` une contradiction avec l’hypothese.
D
r
c
U
` le theor
´ eme
`
(c) ⇒ (a) : Soit h := f − g ∈ O(D). Comme, d’apres
de Cauchy-Taylor (cf. Thm.
(n)
7.10), on a h ∈ O(D) pour tout n ∈ N, l’ensemble
Sn := {z ∈ D | h(n) (z) = 0}
68
´
est une sous-ensemble ferme´ de D (parce que l’image reciproque
par une fonction continue
´ cf. le cours de topologie). Alors, l’ensemble
d’un ensemble ferme´ est fermee,
S :=
∞
�
Sn
n=0
´
est egalement
un sous-ensemble ferme´ de D (parce que l’intersection d’un nombre quel´ est fermee,
´ cf. le cours de topologie).
conque d’ensemble fermes
´
Mais S est egalement un sous-ensemble ouvert de D. Pour montrer cela, soit z0 ∈ S. Alors,
´
` le theor
´ eme
`
de Taylor de
d’apres
de Cauchy-Taylor, pour tout r > 0 t.q. Br (z0 ) ⊆ D, la serie
(n)
´
´ dans Br (z0 ), d’ou` on obtient que h = 0 en Br (z0 ) pour tout n ∈ N,
h en z0 est egale
a` zero
`
c.-a-d.,
Br (z0 ) ⊆ S et S est donc un ouvert.
´ ouvert et non vide (car
Comme D est connexe et comme S est un sous-ensemble ferme,
´ d’un
c ∈ S) de D, on obtient que S = D (parce que toute partie a` la fois ouverte et fermee
´
´
espace topologique connexe X est vide ou egale
a` X, cf. le cours de topologie). Il en resulte
que f = g.
�
Remarque 8.2
(a) Pour la direction ”(c) ⇒ (a)” de Thm. 8.1, la connexite´ de D est indispensable.
Exemple : Soit D := B1 (−2) ∪ B1 (2), et soient f (z) := 0 pour tout z ∈ D et
�
0, z ∈ B1 (−2),
g(z) :=
1, z ∈ B1 (2).
Alors, les fonctions f, g ∈ O(D) satisfont (b) et (c) de Thm. 8.1, mais f �= g dans D.
´
´
(b) On peut montrer que l’equivalence
”(b) ⇔ (c)” de Thm. 8.1 est egalement
vraie pour
´
des domaines D qui ne sont pas necessairement
connexes.
` Thm. 8.1, si D est connexe, une fonction f ∈ O(D) est entierement
`
´
(c) D’apres
determi´ par ses valeurs sur de ”tres
` petites” parties de D, comme, p.ex., sur un bout
nee
´
´ es
´ analytiques
arbitrairement court d’un chemin dans D. Il sufﬁt de veriﬁer
les propriet
de f sur ce bout parce qu’elles se prolongent automatiquement sur la totalite´ de D
(principe de permanence).
Exemple 8.3
´ eme
`
(a) Illustrons le principe de permanence par l’exemple du theor
d’addition de la fonction exponentielle (cf. Thm. 5.4) :
´
Soient f, g : C × C → C deﬁnis,
pour tout w, z ∈ C, par
f (w, z) := ew+z ,
g(w, z) := ew ez .
´ f (a, · ), g(a, · ) ∈ O(C) et comme f (a, x) = g(a, x) pour
Comme, pour tout a ∈ R ﬁxe,
tout x ∈ R, Thm. 8.1 implique que, pour tout z ∈ C,
f (a, z) = g(a, z).
69
´ Comme f ( ·, z), g( ·, z) ∈ O(C) et comme f (a, z) = g(a, z)
Ensuite, soit z ∈ C ﬁxe.
pour tout a ∈ R, on obtient f (w, z) = g(w, z) pour tout w ∈ C, d’ou,
` pour tout w, z ∈ C,
f (w, z) = g(w, z).
(b) Soit D connexe, soit ]a, b[ ⊆ D avec a, b ∈ R et a < b et soit f : ]a, b[ → R. Alors, Thm.
8.1 implique qu’il existe au plus un F ∈ O(D) t.q., pour tout x ∈ ]a, b[ ,
F (x) = f (x).
(c) Soient c ∈ C et r > 0, et soit f ∈ O(Br (c)) une fonction qui n’est pas identiquement
nulle dans Br (c). Alors, soit f (c) �= 0, soit il existe n0 ∈ N∗ t.q.
f (n) (c) = 0
f (n0 ) (c) �= 0.
pour tout 0 ≤ n ≤ n0 − 1,
Le nombre n0 s’appelle l’ordre de f en c.
8.2
Estimations de Cauchy
Les estimations suivantes sont souvent utiles dans la pratique.
´ eme
`
Theor
8.4 (Estimations de Cauchy) Soit f ∈ O(D) et soient c ∈ D et r > 0 t.q. B ⊆ D,
ou` B := Br (c). Alors, pour tout z ∈ B et tout n ∈ N, on a
|f (n) (z)| ≤
n!r
|f |∂B .
dz (∂B)n+1
´ eme
`
´
Demonstration
8.4 Le theor
de Cauchy-Taylor (cf. Thm. 7.10) implique que, pour tout
z ∈ B,
�
n!
f (ζ)
(n)
dζ
.
f (z) =
2πi ∂B
(ζ − z)n+1
´
En utilisant l’estimation standard (cf. Prop. 6.11), on obtient l’enonc
e´ parce que
|f (n) (z)| ≤
|f (ζ)|
n!
sup
2πr,
2π ζ∈∂B |ζ − z|n+1
et parce que |ζ − z| ≥ dz (∂B) = inf ζ∈∂B |ζ − z|.
70
�
Remarque 8.5
´
`
´
(a) On peut specialiser
l’estimation de Thm. 8.4, c.-a-d.,
on peut ecrire
que, pour tout
0 < s < r et tout z ∈ Br−s (c),
|f (n) (z)| ≤
n!r
|f |∂B .
sn+1
´
` dans un disque de convergence de centre c et
Si f est donne´ par une serie
entiere
´
de rayon R > r, la limite s → r nous fournit une estimation des coefﬁcients
de Taylor,
´ les inegalit
`
´
´ de Cauchy (Cauchy, 1835), c.-a-d.,
appelee
es
pour tout n ∈ N, on a
|an | ≤
|f |∂B
.
rn
(b) Par un argument de recouvrement, on peut montrer les estimations de Cauchy pour
des compacts :
Soit K une partie compacte dans D. Alors, pour tout voisinage compact L ⊆ D de K
`
(c.-a-d.,
L �= K) et tout n ∈ N, il existe Mn > 0 t.q., pour tout f ∈ O(D),
|f (n) |K ≤ Mn |f |L .
´
´ ebre
`
´ eme
`
A present,
nous arrivons au cel
theor
suivant (Cauchy, 1844).
`
´ eme
`
´ eme
`
`
Theor
8.6 (Theor
de Liouville) Soit f : C → C une fonction entiere,
c.-a-d.,
une
´ f est constant.
fonction f ∈ O(C). Alors, si f est borne,
` le theor
´ eme
`
´
´
Demonstration
8.6 D’apres
de Cauchy-Taylor (cf. Thm. 7.10), la serie
de Tay´
´
lor de f au point 0 ∈ C converge partout dans C. Alors, les inegalites de Cauchy (cf. Rem.
´
8.5 (a)) nous permettent d’ecrire
que, pour tout r > 0 et tout n ∈ N,
|an |rn ≤ max |f (z)|.
z∈∂B
´ il existe M > 0 t.q. |f (z)| ≤ M pour tout z ∈ C, d’ou` on obtient que,
Comme f est borne,
pour tout r > 0 et tout n ∈ N,
|an | ≤
M
.
rn
`
on arrive a`
Alors, en prenant la limite r → ∞, on trouve an = 0 pour tout n ∈ N∗ , c.-a-d.,
f (z) = a0 pour tout z ∈ C.
�
Remarque 8.7 Si f : C → E est holomorphe, alors f est constant. Notamment, il n’existe
∼
pas d’application biholomorphe E → C (cf. Rem. 2.35 (a)).
71
8.3
´ emes
`
Theor
de convergence de Weierstrass
´
Contrairement a` la situation dans l’analyse reelle,
nous verrons qu’il est toujours possible
´
´
dans l’analyse complexe d’intervertir les operations
de sommation et de derivation
au cas
ou` la convergence est localement uniforme.
´ eme
`
´ eme
`
Theor
8.8 (Theor
de convergence de Weierstrass) Soit fn ∈ O(D) une suite de
´
fonctions qui converge localement uniformement
dans D vers f : D → C. Alors :
(a) f ∈ O(D)
� (k) �
´
(b) Pour tout k ∈ N, la suite fn n∈N converge localement uniformement
dans D vers
(k)
f .
´
´ dans la demonstration
´
La deﬁnition
suivante sera utilisee
de Thm. 8.8.
´
´
Deﬁnition
8.9 Une fonction f ∈ C(D) s’appelle localement C-integrable
dans D si, pour
tout c ∈ D, il existe un voisinage ouvert U ⊆ D de c t.q. (la restriction a` U de) f est C´
´ 6.14). Si f est localement C-integrable,
´
´
integrable
dans U (cf. Def.
on dit egalement
que f
satisfait la condition de Morera.
´
Demonstration
8.8
` Prop. 3.6, on a f ∈ C(D). Ensuite, pour tout triangle Δ ⊆ D, Prop. 3.7 et
(a) D’apres
Prop. 6.12 fournissent
�
�
dz f (z) = lim
dz fn (z),
n→∞ ∂Δ
∂Δ
�
��
�
=0
`
´
ˆ au lemme de Goursat (cf. Prop. 7.1). D’apres
`
ou` la deuxieme
integrale
est nulle grace
` de C-integrabilit
´
´ es
´ (cf. Thm. 6.21), pour tout c ∈ D,
le critere
e´ pour les domaines etoil
`
il existe r > 0 avec Br (c) ⊆ D et F ∈ O(Br (c)) t.q. F � = f dans Br (c), c.-a-d.,
f
´ eme
`
satisfait la condition de Morera. Finalement, en utilisant le theor
de Cauchy-Taylor
´
´
(cf. Thm. 7.10), on obtient que F est indeﬁniment C-derivable en c ce qui implique que
f ∈ O(D).
´
´
(b) Il sufﬁt de demontrer
l’enonc
e´ (b) pour k = 1. Soit c ∈ D et soit r > 0 t.q. Br (c) ⊆ D.
` les estimations de Cauchy pour des compacts (cf. Rem. 8.5 (b)), il
Alors, d’apres
existe M > 0 t.q., pour tout n ∈ N,
|fn� − f � |K ≤ M |fn − f |L ,
` Prop. 3.7, on a
ou` K := Br/2 (c) ⊆ D et L := B3r/4 (c) ⊆ D. Comme, d’apres
´
´
limn→∞ |fn − f |L = 0, on arrive a` l’enonc
e.
�
72
Remarque 8.10
´ 8.8 (a) est contenue une implication appelee
´ le theor
´ eme
`
(a) Dans Dem.
de Morera :
Si f ∈ C(D) satisfait la condition de Morera, alors f ∈ O(D).
(b) Nous avons le diagramme suivant :
f (z) =
1
2πi
´ [Thm.7.9]
Lemme de dev.
�
dζ
∂B
f (ζ)
ζ−z
Formule int. de Cauchy [Thm.7.6]
Goursat [Thm.7.1]
�
�
↓
f analytique
�
f ∈ O(D)
´
∞-derivable
[Thm.4.16]
�
Morera [Rem.8.10 (a)]
�
∂Δ
dζ f (ζ) = 0
` de C-int. [Thm.6.21]
↓ Critere
f loc. C-int.
´
(c) Thm. 8.8 s’applique naturellement directement aux series
de fonctions. Mais on peut
´egalement montrer le theor
´ eme
`
´
de Weierstrass pour des series
normalement
convergentes :
�∞
´
Si la serie
n=0 fn avec fn ∈ O(D) converge normalement vers f ∈ O(D), alors la
�∞ (k)
(k)
´
serie
pour tout k ∈ N.
n=0 fn converge normalement dans D vers f
8.4
´ eme
`
Theor
de l’image ouverte et principe du maximum
´
Deﬁnition
8.11 Une fonction f : D → C s’appelle ouverte si l’image f (U ) est ouverte pour
tout ouvert U ⊆ D.
´
´ eme
`
Aﬁn de pouvoir enoncer
le theor
important suivant, nous disons qu’une fonction f : D →
C est localement constante au point c ∈ D s’il existe un voisinage de c dans lequel f est
constant (cf. Ex. 6.16 (c)).
´ eme
`
´ eme
`
Theor
8.12 (Theor
de l’image ouverte) Soit f ∈ O(D) nulle part localement
constant en D. Alors, f est ouvert.
´
Dans la demonstration
de Thm. 8.12, nous utiliserons la proposition suivante qui fournit un
` pour l’existence de zeros
´
critere
d’une fonction holomorphe.
Proposition 8.13 Soit f ∈ O(D) et soient c ∈ D et r > 0 t.q. Br (c) ⊆ D. Alors, si
min |f (z)| > |f (c)|,
z∈∂Br (c)
(37)
il existe z0 ∈ Br (c) t.q. f (z0 ) = 0.
´
´
Demonstration
8.13 Supposons que f n’a pas de zeros
dans B := Br (c). Alors, il existe
´
un voisinage ouvert U ⊆ D de B t.q. f n’a pas de zeros dans U (si on suppose qu’il n’existe
` le theor
´ eme
`
pas de tel voisinage, d’apres
de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite (zn )n∈N
73
avec f (zn ) = 0 pour tout n ∈ N et un a ∈ ∂B t.q. limn→∞ zn = a, d’ou` f (a) = 0 parce que
´
f ∈ C(D) ce qui est en contradiction avec (37), cf. egalement
Exr. 51). Alors, la fonction
´
` les
g : U → C, deﬁnie
par g(z) := 1/f (z) pour tout z ∈ U , est holomorphe dans U . D’apres
´
estimations de Cauchy (cf. Thm. 8.4 et Exr. 45 (b)), on peut donc ecrire
que
1
= |g(c)|
|f (c)|
Thm. 8.4
≤
|g|∂B = max |g(z)| = max
z∈∂B
z∈∂B
1
1
=
,
|f (z)|
minz∈∂B |f (z)|
�
ce qui est en contradiction avec (37).
´
Demonstration
8.12 Soit U ⊆ D un ouvert et c ∈ U . Comme f n’est pas localement
constant en c, il existe r > 0 avec B ⊆ U , ou` B := Br (c), t.q.
f (c) ∈
/ f (∂B),
parce que, si on suppose le contraire, il existe une suite (zn )n∈N avec zn ∈ ∂B1/n (c) t.q.
`
f (zn ) = f (c) si n est sufﬁsamment grand, c.-a-d.,
il existe r0 > 0 t.q. c est un point d’accu` le theor
´ eme
`
´ f
d’identite,
mulation de l’ensemble {z ∈ Br0 (c) | f (z) = f (c)} et donc, d’apres
est constant dans Br0 (c). Alors, on a
2δ := min |f (z) − f (c)| > 0.
z∈∂B
´
que |f (z) − w| ≥ |f (z) − f (c)| − |w − f (c)| > δ pour
Ensuite, soit w ∈ Bδ (f (c)). Il en resulte
tout z ∈ ∂B, et donc,
min |f (z) − w| > δ > |f (c) − w|.
z∈∂B
f(z)
2δ
δ
f(c)
w
` Prop. 8.13 appliquee
´ a` f (z) − w, on obtient l’existence d’un point z0 ∈ B t.q.
Alors, d’apres
`
w = f (z0 ), c.-a-d.,
l’ensemble f (U ) est un ouvert parce que
Bδ (f (c)) ⊆ f (B) ⊆ f (U ).
�
´ eme
`
´ eme
`
Le theor
de l’image ouverte implique directement le theor
important suivant.
74
´ eme
`
Theor
8.14 (Principe du maximum) Soit D connexe et f ∈ O(D). En plus, soit c ∈ D
`
et U ⊆ D un voisinage de c t.q. f a un maximum local en c, c.-a-d.,
t.q.
|f (c)| = |f |U .
Alors, f est constant dans D.
` l’hypothese,
`
´
Demonstration
8.14 D’apres
on a
f (U ) ⊆ {w ∈ C | |w| ≤ |f (c)|},
et donc, f (U ) n’est pas un voisinage de f (c).
f(c)
f(U)
` le theor
´ eme
`
Alors, d’apres
de l’image ouverte (cf. Thm. 8.12), f est quelque part localement
`
constant en D, c.-a-d.,
il existe z0 ∈ D et un voisinage U ⊆ D de z0 t.q. f est constant dans
−1
U . Alors, comme f (f (z0 )) est non vide, ouvert (parce que f est constant dans U ) et ferme´
´
(parce que f est continu et parce que l’image reciproque
par une fonction continue d’un
−1
´ cf. le cours de topologie), on obtient f (f (z0 )) = D (parce que toute partie
ferme´ est ferme,
´ d’un espace topologique connexe X est vide ou egale
´
a` la fois ouverte et fermee
a` X, cf. le
`
cours de topologie), c.-a-d.,
f est constant.
�
Le principe du maximum est souvent utilise´ dans la forme suivante.
´ eme
`
´ Soit D connexe et borne´ et soit
Theor
8.15 (Principe du maximum pour des bornes)
`
f ∈ C(D) ∩ O(D). Alors, |f | admet son maximum sur le bord de D, c.-a-d.,
pour tout z ∈ D,
on a
|f (z)| ≤ |f |∂D .
´
Demonstration
8.15 Comme |f | ∈ C(D) et D est compact, |f | admet un maximum dans
ˆ
D. Si f n’est pas constant, le maximum ne peut etre
dans D.
�
75
´ isolees
´
´
Singularites
et fonctions meromorphes
9
´
´ isolees
´ des fonctions hoContrairement a` la situation dans l’analyse reelle,
les singularites
ˆ
´ de maniere
` simple.
lomorphes peuvent etre
classiﬁees
9.1
´ isolees
´
Singularites
´ D \ c au lieu de D \ {c}.
Pour tout c ∈ D, nous utiliserons souvent la notation simpliﬁee
´
Deﬁnition
9.1
´ de f si
(a) Pour une fonction f : D → C, un point c ∈ D s’appelle une singularite´ isolee
f ∈ O(D \ c).
`
(b) On dit que la fonction f ∈ O(D \ c) possede
un prolongement holomorphe en c
´
s’il existe f˜ ∈ O(D) t.q. f˜ = f dans D \ c (un prolongement continu est deﬁni
de
` analogue).
maniere
´ c ∈ D de f ∈ O(D \ c) s’appelle effac¸able si f possede
`
(c) Une singularite´ isolee
un
prolongement holomorphe en c.
Exemple 9.2
´
(a) La fonction f ∈ O(C \ 1), deﬁnie,
pour tout z ∈ C \ 1, par
f (z) :=
a une singularite´ effac¸able en 1.
z2 − 1
,
z−1
´
(b) La fonction f ∈ O(E∗ ), deﬁnie,
pour tout z ∈ E∗ , par
f (z) :=
a une singularite´ effac¸able en 0.
z
,
ez − 1
´
Demonstration
9.2
´
(a) Comme f (z) = z + 1 pour tout z ∈ C \ 1, on deﬁnit
f˜(z) := z + 1 pour tout z ∈ C et on
˜
a f ∈ O(C).
(b) Cf. Exr. 59 (c)
�
´ eme
`
`
Le theor
suivant fournit des criteres
d’existence pour les prolongements holomorphes
´ isolees
´ (Riemann, 1851).
des fonctions ayant des singularites
76
´ eme
`
´ eme
`
Theor
9.3 (Theor
de prolongement de Riemann) Soit c ∈ D et f ∈ O(D \ c).
´
´ suivants sont equivalents
´
Alors, les enonc
es
:
(a) Le point c est une singularite´ effac¸able de f .
` un prolongement continu en c.
(b) f possede
(c) Il existe un voisinage U ⊆ D de c t.q. f est borne´ dans U \ c.
(d) limz→c (z − c)f (z) = 0
´ eme
`
´ eraliser
´
Remarque 9.4 Le theor
de prolongement de Riemann peut se gen
facilement
´ dans D.
de l’ensemble A = {c} aux ensembles A qui sont discrets et fermes
´ eralit
´
´ nous supposons que c = 0.
´
Demonstration
9.3 Sans perte de gen
e,
(a) ⇒(b) ⇒(c) ⇒(d) : Clair
´
(d) ⇒(a) : Soient g, h : D → C deﬁnis,
pour tout z ∈ D, par
�
zf (z), z ∈ D \ 0,
g(z) :=
0,
z = 0,
h(z) := zg(z).
` l’hypothese
` (d), g ∈ C(D), et comme h(z) = h(0) + zg(z) pour tout z ∈ D,
Comme, d’apres
´
`
la fonction h est C-derivable
en 0 avec h� (0) = g(0) = 0, c.-a-d.,
on a h ∈ O(D). En plus,
`
´
`
d’apres le theoreme de Cauchy-Taylor (cf. Thm. 7.10), h est analytique dans un voisinage
U ⊆ D de 0 et, comme h(0) = h� (0) = 0, on a, pour tout z ∈ U \ 0,
h(z) = z
2
∞
�
an z n−2 = z 2 f (z),
n=2
´
´
ou` a2 , a3�
, . . . sont les coefﬁcients
de Taylor de h. Alors, la fonction f˜ : U → C, deﬁnie
par
∞
n−2
pour tout z ∈ U est un prolongement holomorphe de f dans U .
�
f˜(z) := n=2 an z
´ on fait la deﬁnition
´
S’il n’existe pas de voisinage dans lequel f est borne,
suivante.
´
ˆ
Deﬁnition
9.5 Une singularite´ isole´ non effac¸able c ∈ D de f ∈ O(D \ c) s’appelle un pole
de f s’il existe un voisinage U de c et m ∈ N∗ t.q., pour tout z ∈ U \ c,
´
(z − c)m f (z) est borne.
ˆ Un pole
ˆ de premier ordre s’appelle
Le plus petit de ces m ∈ N∗ s’appelle l’ordre du pole.
´
ˆ simple.
egalement
un pole
´
ˆ
` suivante.
On peut caracteriser
les poles
de la maniere
77
´ de f ∈ O(D \ c) et soit m ∈ N∗ . Alors, les
´ eme
`
Theor
9.6 Soit c ∈ D une singularite´ isolee
´
´ suivants sont equivalents
´
enonc
es
:
` un pole
ˆ d’ordre m en c.
(a) f possede
(b) Il existe g ∈ O(D) avec g(c) �= 0 t.q., pour tout z ∈ D \ c, on a
f (z) =
g(z)
.
(z − c)m
´
(c) Il existe un voisinage ouvert U ⊆ D de c et h ∈ O(U ) sans zeros
dans U \ c et avec
´ d’ordre m en c (cf. Ex. 8.3 (c)) t.q., pour tout z ∈ U \ c,
un zero
f (z) =
1
.
h(z)
(d) Il existe un voisinage ouvert U ⊆ D de c et des constantes M1 , M2 > 0 t.q., pour tout
z ∈ U \ c,
M1
M2
≤ |f (z)| ≤
.
m
|z − c|
|z − c|m
´
Demonstration
9.6
` le theor
´ eme
`
(a) ⇒(b) : Comme (z−c)m f ∈ O(D\c) est borne´ dans un voisinage de c, d’apres
de prolongement de Riemann (cf. Thm. 9.3), il existe g ∈ O(D) t.q., pour tout z ∈ D \ c, on a
g(z) = (z − c)m f (z).
´
Supposons que g(c) = 0. Comme g est C-derivable,
il existe une fonction g˜ : D → C continue
´
en c t.q. g(z) = (z − c)˜
g (z) pour tout z ∈ D. Il en resulte
que g˜(z) = (z − c)m−1 f (z) pour tout
m−1
`
z ∈ D \ c, c.-a-d.,
(z − c)
f (z) est borne´ pour tout z dans un voisinage de c. Alors, m ne
ˆ
ˆ c.
peut etre
l’ordre du pole
(b) ⇒(c) : Comme g(c) �= 0, il existe un voisinage ouvert U ⊆ D de c t.q. g(z) �= 0 pour tout
´
z ∈ U . Alors, on deﬁnit,
pour tout z ∈ U ,
h(z) :=
(z − c)m
,
g(z)
et on obtient h ∈ O(U ).
˜ ∈ O(U ) sans zeros
´
(c) ⇒(d) : Si on choisit U sufﬁsamment petit, il existe h
dans U t.q.
m˜
h(z) = (z − c) h(z) pour tout z ∈ U . Alors, on a
M1 := inf
z∈U
1
> 0,
˜
|h(z)|
M2 := sup
z∈U
1
< ∞,
˜
|h(z)|
˜
´
et on obtient l’enonc
e´ parce que |f (z)| = 1/(|z − c|m |h(z)|)
pour tout z ∈ U .
m
m−1
f (z)| ≥ M1 /|z − c| pour tout z ∈ U \ c,
(d) ⇒(a) : Comme |(z − c) f (z)| ≤ M2 et |(z − c)
ˆ d’ordre m de f .
le point c est un pole
�
78
Remarque 9.7
` Thm. 9.6 (c), les poles
ˆ
´ er
´ es
´ par la division par des fonctions ayant
(a) D’apres
sont gen
´
des zeros.
´
ˆ
(b) Thm. 9.6 (d) caracterise
les poles
par le comportement de croissance proche de c.
´
(c) On dit que f diverge uniformement
proche de c si, pour tout M > 0, il existe un
´
voisinage U ⊆ D de c t.q. inf z∈U \c |f (z)| ≥ M , et on ecrit
lim f (z) = ∞.
z→c
´
´
:
Comme f diverge uniformement
proche de c ssi limz→c 1/f (z) = 0, on peut ecrire
ˆ en c.
f ∈ O(D \ c) a un pole
⇐⇒
limz→c f (z) = ∞
´
ˆ
´
La caracterisation
des poles
de Thm. 9.6 nous permet de ”developper”
une fonction autour
ˆ
de ses poles
comme suit.
ˆ d’ordre m de f . Alors, il existe des
Proposition 9.8 Soit f ∈ O(D \ c) et soit c ∈ D un pole
˜
constantes b1 , . . . , bm ∈ C avec bm �= 0 et f ∈ O(D) t.q., pour tout z ∈ D \ c, on a
f (z) =
bm
bm−1
b1
+ f˜(z).
+
+ ... +
m
m−1
(z − c)
(z − c)
z−c
` Thm. 9.6 (b), il existe g ∈ O(D) avec g(c) �= 0 t.q. f (z) =
´
Demonstration
9.8 D’apres
m
` le theor
´ eme
`
g(z)/(z − c) pour tout z ∈ D \ c. En plus, d’apres
de Cauchy-Taylor (cf. Thm.
˜
7.10), il existe r > 0 avec B := Br (c) ⊆ D et f ∈ O(B) t.q., pour tout z ∈ B, on a
g(z) = bm + bm−1 (z − c) + . . . + b1 (z − c)m−1 + (z − c)m f˜(z),
´
e´
ou` bm = g(c) �= 0. Alors, en substituant g(z) dans f (z) = g(z)/(z − c)m , on obtient l’enonc
´
dans B. Finalement, dans D \ B, on deﬁnit,
pour tout z ∈ D \ B,
f˜(z) := f (z) −
m
�
i=1
bi
.
(z − c)i
�
Remarque 9.9
´
´ par f (unicite´
(a) Les nombres b1 , . . . , bm ∈ C et f˜ ∈ O(D) sont uniquement determin
es
´ 9.8).
de la fonction g dans Dem.
´
`
(b) Toute fonction f ∈ O(D \ c) qui a un developpement
comme dans Prop. 9.8 possede
ˆ d’ordre m en c.
un pole
´
´
(c) En derivant
le developpement
de f dans Prop. 9.8, on trouve que f � ∈ O(D \ c)
` un pole
ˆ d’ordre m + 1 ≥ 2 en c. En plus, le developpement
´
possede
de f � ne contient
−1
pas de terme (z − c) .
79
´
` categorie
´
´ isolees.
´
A present,
nous arrivons a` la derniere
de singularies
´ c ∈ D de f ∈ O(D \ c) s’appelle une singularite´
´
Deﬁnition
9.10 Une singularite´ isolee
ˆ
essentielle de f si elle n’est ni une singularite´ effac¸able ni un pole.
´
pour tout z ∈ C∗ , par
Exemple 9.11 La fonction f : C∗ → C, deﬁnie,
f (z) := e1/z ,
`
possede
une singularite´ essentielle en 0 parce que f (z) =
´
page de la presentation
du cours).
�∞
n=0
`
1/(n!z n ) (cf. la premiere
´
´ essentielles est donnee
´ dans le theor
´ eme
`
La caracterisation
des singularites
suivant (Casorati, 1868 [(a) ⇒(b)] ; Weierstrass, 1876).
´ de
´ eme
`
´ eme
`
Theor
9.12 (Theor
de Casorati-Weierstrass) Soit c ∈ D une singularite´ isolee
´
´ suivants sont equivalents
´
f ∈ O(D \ c). Alors, les enonc
es
:
(a) Le point c ∈ D est une singularite´ essentielle de f .
(b) Pour tout voisinage U ⊆ D de c, l’image f (U \ c) est dense dans C.
`
(c) Il existe une suite zn ∈ D \ c avec limn→∞ zn = c t.q. f (zn ) ne possede
pas de limite
dans C ∪ {∞}.
´
Demonstration
9.12
(a) ⇒(b) : Supposons qu’il existe un voisinage U ⊆ D de c t.q. f (U \ c) n’est pas dense dans
`
C. Alors, il existe a ∈ C et r > 0 t.q. f (U \ c) ∩ Br (a) = ∅, c.-a-d.,
|f (z) − a| ≥ r pour tout
´
z ∈ U \ c. La fonction g : U \ c → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ U \ c, par
g(z) :=
1
,
f (z) − a
`
satisfait donc g ∈ O(U \ c) et possede
une singularite´ effac¸able en c parce que |g(z)| ≤ 1/r
´
`
pour tout z ∈ U \ c. Il en resulte
que f (z) = a + 1/g(z) possede
une singularite´ effac¸able en
ˆ en c si limz→c g(z) = 0 (cf. Thm. 9.6 (c)). Alors, on arrive a`
c si limz→c g(z) �= 0, ou un pole
`
une contradiction avec l’hypothese.
(b) ⇒(c) ⇒(a) : Clair
�
´ eme
`
Remarque 9.13 On peut montrer le grand theor
de Picard (Picard, 1879) :
Soit c ∈ D une singularite´ essentielle de f ∈ O(D \ c). Alors, ou
f (U \ c) = C
pour tout voisinage U ⊆ D de c (ex. : sin(1/z)), ou il existe a ∈ C t.q.
f (U \ c) = C \ a
pour tout voisinage U ⊆ D de c (ex. : exp(1/z)).
80
9.2
´
Fonctions meromorphes
´
Deﬁnition
9.14
´
(a) Une fonction f s’appelle meromorphe
dans D s’il existe un ensemble discret P(f ) ⊆
ˆ de f .
D t.q. f ∈ O(D \ P(f )) et tout point de P(f ) est un pole
´
(b) Une fonction f s’appelle meromorphe
au point c ∈ D s’il existe un voisinage U ⊆ D
´
du point c t.q. (la restriction a` U de) f est meromorphe
dans U .
´
(c) On notera M(D) les fonctions meromorphes
dans D.
Remarque 9.15
´
ˆ
(a) Toute fonction rationnelle est une fonction meromorphe
ayant un ensemble de poles
ﬁni.
´
(b) On peut montrer que P(f ) est vide, ﬁni ou inﬁni denombrable.
(c) Contrairement a` l’anneau O(D), dans l’anneau M(D), on peut diviser par des fonc´
tions ayant des zeros.
On peut montrer que M(D) est un corps si D est connexe.
´ eme
`
´ eralisation
´
´
(d) Le theor
d’identite´ (cf. Thm. 8.1) a une gen
directe aux fonctions meromorphes
f, g ∈ M(D) en remplac¸ant D par
D \ (P(f ) ∪ P(g)).
´ de fonctions meromorphes
´
´
Pour que la fonction limite d’une serie
soit de nouveau meromorphe,
´
on fait la deﬁnition
suivante.
´
´
Deﬁnition
9.16 Une serie
de fonctions fn ∈ M(D) est dite compactement convergente
dans D si, pour tout compact K ⊆ D, il existe N ∈ N t.q. :
(a) P(fn ) ∩ K = ∅ pour tout n ≥ N
�∞
´
(b)
dans K
n=N fn converge uniformement
Elle s’appelle normalement convergente si (a) et
�∞
(b’)
n=N |fn |K < ∞
sont satisfaits.
´ es
´ suivantes.
On peut montrer les propriet
´ eme
`
Theor
9.17
(a) La convergence normale implique la convergence compacte.
�
´ de fonctions fn ∈ M(D) qui converge compactement (norma(b) Soit ∞
n=0 fn une serie
´ e´ suivante :
lement) dans D. Alors, il existe un unique f ∈ M(D) ayant la propriet
�
Si U ⊆ D est un ouvert et N ∈ N t.q. P(fn ) ∩ U = ∅ pour tout n ≥ N , alors ∞
n=N fn
converge compactement (normalement) vers F ∈ O(D) t.q., dans U ,
f=
Notamment, f ∈ O(D \
�∞
n=0
N
−1
�
fn + F.
n=0
`
P(fn )), c.-a-d.,
P(f ) ⊆
81
�∞
n=0
P(fn ).
�∞
�∞
´
´
(c) Si f =
de fonctions meromorphes
comn=0 fn et g =
n=0 gn sont des series
´
pactement (normalement) convergentes dans D, alors, pour tout a, b ∈ C, la serie
�
∞
(af
+
bg
)
est
compactement
(normalement)
convergente
dans
D
vers
af
+
bg.
n
n
n=0
�∞
´
(d) Si la s�
erie
n=0 fn des fonctions fn ∈ M(D) converge normalement dans D vers f ,
∞
alors n=0 fσ(n) converge normalement dans D vers f pour toute bijection σ : N → N.
�∞
´
(e) Si la serie
n=0 fn des fonctions fn ∈ M(D) converge compactement (normale�∞ (k)
(k)
´
ment) dans D, alors, pour tout k ∈ N∗ , la serie
n=0 fn des fonctions fn ∈ M(D)
converge compactement (normalement) dans D vers f (k) .
82
10
´
Series
de Laurent
´
´
Dans ce chapitre, nous etudierons
une des classes de series
de fonctions les plus impor` les series
´
`
´ les series
´
´
tantes apres
entieres,
appelees
de Laurent. Ces series
fournissent les
´
´ isolees
´ possedent
`
developpements
dans des couronnes. En particulier, les singularites
une
´
classiﬁcation par ces series.
10.1
Fonctions holomorphes dans des couronnes
´
´
Les domaines dans lesquels nous developperons
les fonctions sont deﬁnis
comme suit.
´
Deﬁnition
10.1 Soient c ∈ C et r, s ∈ R ∪ {∞} avec 0 ≤ r ≤ s. L’ensemble ouvert
Ar,s (c) := {z ∈ C | r < |z − c| < s}
´ a` c de rayon interieur
´
´
s’appelle la couronne centree
r et de rayon exterieur
s. Pour r = 0
´
´ Pour r = 0 et s = ∞, on
et s < ∞, l’ensemble A0,s (c) = Bs (c) \ {c} est un disque epoint
e.
´
´
a A0,∞ (c) = C \ {c}. On ecrira
souvent A au lieu de Ar,s (c), et on utilisera la decomposition
A = A+ ∩ A− , ou`
A+ := Bs (c),
A− := C \ Br (c).
A
s
r
c
´
´
´
A present,
nous developpons
la theorie
de Cauchy pour des couronnes. Nous commenc¸ons
´ eme
`
par le theor
fondamental suivant.
´ eme
`
´ eme
`
´
Theor
10.2 (Theor
integral
de Cauchy pour des couronnes) Soient c ∈ C, les
nombres r, s ∈ R ∪ {∞} t.q. 0 ≤ r < s et f ∈ O(Ar,s (c)). Alors, pour tout r < ρ ≤ σ < s, on a
�
dz f (z) =
∂Bρ (c)
83
�
dz f (z).
∂Bσ (c)
´
`
´ eme
`
´
´
Demonstration
10.2 Nous allons reduire
le probleme
a` une situation ou` le theor
integral
´ es
´ est applicable (cf. Thm. 7.2).
de Cauchy pour des domaines etoil
γ3
D1
γ2
γ4
γ1
c
r
p
s
ρ σ
´ On choisit le nombre p ∈ R t.q. r < p < ρ et on construit un polygone
Soit ρ donne.
´
`
regulier
a` n sommets entierement
contenu dans Ar,p (c) (ce qui est toujours possible si n
est sufﬁsamment grand). Ensuite, on construit D1 et Γ1 := γ1 + γ2 + γ3 + γ4 comme dans la
´ ete
` la meme
ˆ
ﬁgure ci-dessus et on rep
construction pour tout secteur circulaire i ∈ {2, . . . , n}.
´ e´ et f ∈ O(Di ), le theor
´ eme
`
´
Comme Di pour tout i ∈ {1, . . . , n} est etoil
integral
de Cauchy
´ es
´ implique que, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on a
pour des domaines etoil
�
dz f (z) = 0.
Γi
´
par les parties
Comme les contributions des parties droites de chaque Γi sont annulees
droites de Γi−1 et Γi+1 , on obtient que
0=
n �
�
i=1
dz f (z) =
Γi
�
∂Bσ (c)
dz f (z) −
�
dz f (z).
∂Bρ (c)
�
´
´
Comme pour les disques, nous avons egalement
une formule integrale
de Cauchy pour
` sont parcourus, comme
les couronnes a` notre disposition (les bords ∂A+ et ∂A− ci-apres
d’habitude, dans le sens positif).
´ eme
`
´
Theor
10.3 (Formule integrale
de Cauchy pour des couronnes) Soit f ∈ O(D). En
plus, soient c ∈ D et les rayons r, s ∈ R ∪ {∞} avec 0 ≤ r < s t.q. la couronne A := Ar,s (c) =
A+ ∩ A− satisfait A ⊆ D. Alors, pour tout z ∈ A, on a
�
1
f (ζ)
f (z) =
dζ
2πi ∂A
ζ −z
�
�
1
1
f (ζ)
f (ζ)
=
−
.
dζ
dζ
2πi ∂A+
ζ − z 2πi ∂A−
ζ −z
84
´
´
Demonstration
10.3 Soit z ∈ A ﬁxe´ et soit g : D → C deﬁni
par
�
f (ζ)−f (z)
, ζ ∈ D \ z,
ζ−z
g(ζ) :=
f � (z),
ζ = z.
´ eme
`
Comme g ∈ C(D) ∩ O(D \ z), le theor
de prolongement de Riemann (cf. Thm. 9.3)
` le theor
´ eme
`
´
implique que g ∈ O(D). Alors, d’apres
integral
de Cauchy pour des couronnes
� �
�
(cf. Thm. 10.2) et comme il existe r , s > 0 avec r < r et s� > s t.q. A ⊆ Ar� ,s� (c) ⊆ D (cf.
´ 7.6), on peut ecrire
´
Dem.
que
�
�
dζ g(ζ) =
dζ g(ζ).
∂A−
∂A+
´ eme
`
´
´
En utilisant le theor
integral
de Cauchy et la formule integrale
de Cauchy pour des
´ es
´ (cf. Thm. 7.2 et Thm. 7.6), on obtient
domaines etoil
�
�
�
�
f (ζ)
dζ
dζ
f (ζ)
− f (z)
− f (z)
dζ
=
dζ
.
ζ −z
ζ −z
∂A−
∂A− ζ − z
∂A+
∂A+ ζ − z
� ��
� ��
=0
=2πi
�
´
Dorenavant,
nous utiliserons la notation suivante. Pour une fonction h : V → C ou` V ⊆ C
´ nous ecrirons
´
est non borne,
(38)
lim h(z) = b,
z→∞
si, pour tout voisinage U de b dans C, il existe R > 0 t.q. h(z) ∈ U pour tout z ∈ V avec
|z| ≥ R. Ci-dessous, on aura V = A− .
´ eme
`
´
Theor
10.4 (Decomposition
de Laurent) Soit A := Ar,s (c) = A+ ∩ A− et f ∈ O(A).
+
+
−
Alors, il existe f ∈ O(A ) et f ∈ O(A− ) t.q.
f (z) = f + (z) + f − (z)
lim f − (z) = 0.
pour tout z ∈ A,
z→∞
´
´
Cette representation
de f s’appelle la decomposition
de Laurent de f dans A. Les fonctions f − et f + s’appellent respectivement la partie principale et la partie secondaire de f .
´
´ par ces conditions. En plus, pour tout ρ ∈ ]r, s[ , on a
Elles sont uniquement determin
ees
�
1
f (ζ)
+
f (z) =
pour tout z ∈ Bρ (c),
dζ
2πi ∂Bρ (c)
ζ −z
�
1
f (ζ)
−
pour tout z ∈ C \ Bρ (c).
dζ
f (z) = −
2πi ∂Bρ (c)
ζ −z
85
´
´
Demonstration
10.4 La fonction fρ+ : Bρ (c) → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ Bρ (c), par
�
1
f (ζ)
+
fρ (z) :=
,
dζ
2πi ∂Bρ (c)
ζ −z
´ 2.1 et Prop. 6.11). Pour σ ∈ ]ρ, s[ , d’apres
` le theor
´ eme
`
satisfait fρ+ ∈ O(Bρ (c)) (utiliser Def.
+
+
´
integral
de Cauchy pour des couronnes (cf. Thm. 10.2), on a fρ (z) = fσ (z) pour tout z ∈
`
`
Bρ (c), c.-a-d.,
il existe f + ∈ O(A+ ) t.q. f + (z) = fρ+ (z) pour tout z ∈ Bρ (c). De maniere
−
−
−
−
analogue, il existe f ∈ O(A ) t.q. f (z) = fρ (z) pour tout z ∈ C \ Bρ (c), ou` la fonction
´
fρ− ∈ O(C \ Bρ (c)) est deﬁnie,
pour tout z ∈ C \ Bρ (c), par
�
1
f (ζ)
−
.
dζ
fρ (z) := −
2πi ∂Bρ (c)
ζ −z
´
Alors, en utilisant la formule integrale
de Cauchy pour des couronnes (cf. Thm. 10.3) pour
�
´ a` c qui sont t.q. A� ⊆ A, on obtient que f = f + + f − dans
toutes les couronnes A centrees
A. Ensuite, en utilisant l’estimation standard (cf. Prop. 6.11), on trouve, pour tout z ∈ A− et
r < σ < min{s, |z − c|}, que
�
�
� f (ζ) �
σ
−
�
�≤
|f (z)| ≤ σ max �
|f |∂Bσ (c) ,
�
ζ∈∂Bσ (c) ζ − z
|z − c| − σ
´ soient g ± ∈ O(A± ) t.q. f =
d’ou` limz→∞ f − (z) = 0. Finalement, aﬁn de montrer l’unicite,
+
−
−
+
+
g + g dans A et limz→∞ g (z) = 0. Alors, on a f − g = g − − f − dans A et donc, la
´
fonction h : C → C, deﬁnie
par
�
f + (z) − g + (z), z ∈ A+ ,
h(z) :=
g − (z) − f − (z), z ∈ A− ,
´ eme
`
de Liouville (cf. Thm.
satisfait h ∈ O(C) et limz→∞ h(z) = 0. Alors, h est borne´ et le theor
+
+
−
−
`
8.6) implique que h = 0 dans C, c.-a-d.,
f = g et f = g .
�
´
ˆ d’ordre m ∈ N∗ en c, la representation
de Prop.
Remarque 10.5 Si f ∈ O(D \ c) a un pole
´
`
9.8 est la decomposition
de Laurent dans A = A0,s (c) = Bs (c) \ c ⊆ D (c.-a-d.,
A+ = Bs (c)
et A− = C \ c), ou`
f + = f˜ ∈ O(A+ ),
f − (z) =
m
�
n=1
bn
∈ O(A− )
(z − c)n
et
lim f − (z) = 0.
z→∞
´
Par la suite, nous utiliserons les series
”doublement inﬁnies”.
´
´
Deﬁnition
10.6 Soit {fn }n∈Z une famille de fonctions fn : D → C. La serie
´
deﬁnie
par
∞
�
n=−∞
fn :=
−1
�
n=−∞
86
fn +
∞
�
n=0
fn ,
�∞
n=−∞
fn est
(39)
´
ou` nous utilisons la deﬁnition
−1
�
fn := lim
N →∞
n=−∞
−1
�
fn .
n=−N
´
´
´
Les notions de convergence
sont deﬁnies
separ
ement
p.r. aux deux termes
�∞
�−1 de (39)
�(p.ex.,
∞
´
´
on dit que la serie
n=−∞ fn converge normalement ssi les series
n=−∞ fn et
n=0 fn
convergent normalement).
´
´
A present,
nous arrivons aux series
de Laurent.
´
´
Deﬁnition
10.7 Une serie
de fonctions de la forme
∞
�
an (z − c)n
n=−∞
´
´
s’appelle une serie
de Laurent, et les series
−1
�
n=−∞
an (z − c)
n
et
∞
�
n=0
an (z − c)n
´
s’appellent respectivement la partie principale et la partie secondaire de la serie
de
Laurent.
´
´
`
´ eralis
´
´
´ eralisation
´
´ eme
`
Les series
de Laurent sont des series
entieres
gen
ees.
La gen
du theor
´
de Cauchy-Taylor (cf. Thm. 7.10) aux series
de Laurent est la suivante.
´ eme
`
´ eme
`
´
Theor
10.8 (Theor
du developpement
de Laurent) Soient c ∈ C et 0 ≤ r < s ≤
´
´ de Laurent
∞ et soit A := Ar,s (c). Alors, tout f ∈ O(A) est developpable
en une unique serie
`
qui converge normalement vers f dans A, c.-a-d.,
pour tout z ∈ A, on a
f (z) =
∞
�
n=−∞
an (z − c)n .
´
´
´ par
En plus, pour tout n ∈ Z, les coefﬁcients
de developpement
sont donnes
1
an =
2πi
�
dζ
∂Bρ (c)
f (ζ)
,
(ζ − c)n+1
(40)
´
´
ou` r < ρ < s est quelconque. Ce developpement
s’appelle le developpement
de Laurent
de f dans A autour du point c.
´
´
Demonstration
10.8 Soit f = f + + f − la decomposition
de Laurent de f dans A = A+ ∩ A−
` le theor
´ eme
`
(cf. Thm. 10.4). D’apres
de Cauchy-Taylor (cf. Thm. 7.10), la partie secondaire
+
+
´
´
`
`
f ∈ O(A ) est developpable
en une serie
entiere,
c.-a-d.,
pour tout z ∈ A+ , on a
f + (z) =
∞
�
n=0
an (z − c)n .
87
´
Ensuite, comme l’application ϕ : B1/r (0) \ 0 → A− , deﬁnie,
pour tout w ∈ B1/r (0) \ 0, par
1
,
w
´
est biholomorphe ayant pour bijection reciproque
ϕ−1 (z) = 1/(z − c) pour tout z ∈ A− , la
´
fonction g : B1/r (0) \ 0 → C, deﬁnie,
pour tout w ∈ B1/r (0) \ 0, par
ϕ(w) := c +
g(w) := f − (ϕ(w)),
satisfait g ∈ O(B1/r (0) \ 0). En plus, comme limz→∞ f − (z) = 0, on a limw→0 g(w) = 0, et alors,
` le theor
´ eme
`
d’apres
de prolongement de Riemann (cf. Thm. 9.3), la fonction g˜ : B1/r (0) → C,
´
deﬁnie
par
�
g(w), w ∈ B1/r (0) \ 0,
g˜(w) :=
0,
w = 0,
` le theor
´ eme
`
´
de Cauchy-Taylor, g˜ est developpable
en
satisfait g˜ ∈ O(B1/r (0)). Alors, d’apres
´
` qui converge normalement dans B1/r (0), c.-a-d.,
`
une serie
entiere
pour tout w ∈ B1/r (0), on
´
peut ecrire
que
g˜(w) =
∞
�
bn w n .
n=1
´
Comme f (z) = g(ϕ (z)) = g(1/(z − c)) pour tout z ∈ A− , on obtient le developpement
−
−1
−
f (z) =
∞
�
n=1
bn
(z − c)n
qui converge normalement vers f − dans A− . En posant a−n := bn pour tout n ∈ N∗ , on
´
trouve, pour tout z ∈ A, la serie
de Laurent normalement convergente
f (z) =
∞
�
n=−∞
an (z − c)n .
´
´
´
Finalement, aﬁn de pouvoir determiner
ses coefﬁcients,
considerons,
pour tout n ∈ Z, les
´
equations
−1
∞
�
�
f (z)
i
=
a
(z
−
c)
+
ai+n+1 (z − c)i
i+n+1
(z − c)n+1 i=−∞
i=0
´
ˆ a` la convergence normale
que nous pouvons integrer
terme a` terme le long de ∂Bρ (c) grace
´
(cf. Rem. 6.13). En utilisant Thm. 6.6, il en resulte
que, pour tout n ∈ N,
�
f (ζ)
= 2πian .
dζ
(ζ − c)n+1
∂Bρ (c)
�
` rarement possible de calculer les coefﬁcients
´
Comme il n’est que tres
de Laurent par la
´
´
formule (40), on essaie souvent d’utiliser des series de Taylor connues pour determiner
la
´
serie
de Laurent.
88
´ pour tout z ∈ C \ {±i}, par
Exemple 10.9 Soit f ∈ O(C \ {±i}) donne,
1
f (z) :=
.
1 + z2
´
Pour tout c ∈ H, soient r := |c − i| et s := |c + i|. Alors, la decomposition
de Laurent est
´
´
´ ements
´
`
aisement
obtenue par la decomposition
en el
simples, c.-a-d.,
pour tout z ∈ A :=
´
Ar,s (c), on peut ecrire
que
f (z) =
1 1
1 1
−
,
z + �i
�2i z��− �i � 2i��
=:f − (z)
et alors, on obtient que f ± ∈ O(A± ).
=:f + (z)
A
i
r
c
s
−i
´
´ etrique,
´
En utilisant la serie
geom
on trouve que, pour tout z ∈ A+ = Bs (c),
∞
� 1 (−1)n+1
1
1
f (z) = −
=
(z − c)n ,
n+1
2i(i + c) 1 + z−c
2i
(i
+
c)
i+c
n=0
+
et que, pour tout z ∈ A− = C \ Br (c),
−1
�
1
1
1
1
=
(z − c)n .
f (z) =
i−c
n+1
2i(z − c) 1 − z−c
2i
(i
−
c)
n=−∞
−
10.2
´ es
´ des series
´
Propriet
de Laurent
´
´ es
´ el
´ ementaires
´
´
`
´
Par la suite, nous transfererons
des propriet
des series
entieres
aux series
´
´
de Laurent. En plus, nous verrons que le developpement
de fonctions holomorphes en series
´ isolees
´
´
de Laurent au voisinage de singularites
permet une caracterisation
simple du type
´
de singularite´ a` l’aide des coefﬁcients
de Laurent.
�
n
´ de�Laurent ∞
Pour toute serie
n=−∞ an (z − c) , on appelera s le rayon de convergence de sa
n
´
`
partie secondaire ∞
˜ le rayon de convergence de la serie
entiere
n=0 an (z − c) et r
∞
�
n=1
et on posera r := 1/˜
r.
a−n wn ,
89
´ eme
`
Nous commenc¸ons par le theor
suivant.
´ eme
`
´ eme
`
´
Theor
10.10 (Theor
de convergence pour les series
de Laurent)
´
(a) Si r < s, la serie
de Laurent
∞
�
n=−∞
an (z − c)n
converge normalement dans A := Ar,s (c) vers une fonction f ∈ O(A). Par contre, elle
ne converge nulle part dans C \ A.
´ de Laurent ne converge dans aucun sous-ensemble ouvert non vide
(b) Si r ≥ s, la serie
de C.
´
´
respectiveDemonstration
10.10 Les fonctions f + : Bs (c) → C et g : Br˜(0) → C, deﬁnies,
ment pour tout z ∈ Bs (c) et pour tout w ∈ Br˜(0), par
+
f (z) :=
∞
�
n=0
n
an (z − c) ,
g(w) :=
∞
�
n=1
a−n wn ,
´
satisfont f + ∈ O(Bs (c)) et g ∈ O(Br˜(0)). Alors, la serie
−1
�
n=−∞
an (z − c)n
converge normalement dans C \ Br (c) vers f − (z) := g(1/(z − c)) ∈ O(C \ Br (c)).
´ de Laurent converge normalement dans Bs (c)∩(C\Br (c)) =: A
(a) Si r < s, alors la serie
+
−
vers f + f ∈ O(A).
´
´ restants sont des consequences
´
´ es
´ de convergence des
Les enonc
es
directes des propriet
´
`
series
entieres
f + et g dans leurs disques de convergence (utiliser Thm. 4.5).
�
´
` que les series
´
Remarque 10.11 Dans la theorie
des fonctions analytiques, on ne considere
´
´
de Laurent avec r < s. Les series
avec r ≥ s ne sont pas interessantes
parce qu’il n’existe
`
pas de regles
de calcul raisonnables.
�∞
�
n
n+1
= L, on aurait
Exemple : Pour L := ∞
n=−∞ z , on a r = s = 1. Comme zL =
n=−∞ z
´
´
(z − 1)L = 0 (et on ne veut pas de diviseur de zero dans la theorie).
´
´
´ eme
`
Pour les series
de Laurent, on dispose egalement
du theor
suivant.
´ eme
`
´ eme
`
´
Theor
10.12 (Theor
d’identite´ pour les series
de Laurent) Soit c ∈ C et ρ > 0,
et soient
∞
�
n=−∞
∞
�
n
an (z − c) ,
n=−∞
90
bn (z − c)n
(41)
´
´
ˆ
des series
de Laurent qui convergent uniformement
sur ∂Bρ (c) vers la meme
fonction f .
Alors, pour tout n ∈ Z, on a
1
an = b n =
2πρn
�
2π
dt f (c + ρeit )e−itn .
0
´
´
Demonstration
10.12 Comme f ∈ C(∂Bρ (c)), les integrales
existent. En substituant f par
` serie
´
la premiere
de Laurent dans (41) et en utilisant que nous avons le droit d’intervertir
´
l’integration
et la sommation, on obtient, pour tout n ∈ Z,
� 2π
� 2π
∞
�
it −itn
k
dr f (c + ρe )e
=
ak ρ
dt e−it(n−k) = 2πan ρn .
0
k=−∞
�0
��
�
= 2πδn,k
` analogue, en substituant f par la deuxieme
`
´
De maniere
serie
de Laurent dans (41), on
n
obtient 2πbn ρ .
�
´ eme
`
´
Le theor
du developpement
de Laurent (cf. Thm. 10.8) nous fournit une nouvelle ap´ isolees
´ des fonctions holomorphes.
proche pour la classiﬁcation des singularitees
´ de f ∈ O(D \ c) et soit
´ eme
`
Theor
10.13 Soit c ∈ D une singularite´ isolee
∞
�
n=−∞
an (z − c)n
´
le developpement
de Laurent de f dans Bs (c) \ c ⊆ D \ c avec s > 0 autour de c. Alors :
(a) Le point c est une singularite´ effac¸able ssi an = 0 pour tout n < 0.
ˆ d’ordre m ≥ 1 ssi an = 0 pour tout n < −m et a−m �= 0.
(b) Le point c est un pole
(c) Le point c est une singularite´ essentielle ssi an �= 0 pour un nombre inﬁni de n < 0.
´
Demonstration
10.13
´
´
(a) Une singularite´ est effac¸able ssi il existe une serie
de Taylor en c qui represente
f.
´
´ ssi
Comme le developpement
de Laurent est unique, cette existence est assuree
an = 0 pour tout n < 0.
` Prop. 9.8, le point c est un pole
ˆ d’ordre m ≥ 1 ssi, pour tout z ∈ D \ c, on a
(b) D’apres
f (z) =
m
�
n=1
bn
+ f˜(z),
(z − c)n
´
´
` autour d c. Mais ceci est le
en une serie
entiere
ou` bm �= 0 et f˜ est developpable
ˆ a` l’unicite´ du developpement
´
cas, grace
de Laurent, ssi an = 0 pour tout n < −m et
a−m = bm �= 0.
`
(c) Le point c est une singularite´ essentielle ssi ni (a) ni (b) ne sont valables, c.-a-d.,
ssi
an �= 0 pour un nombre inﬁni de n < 0.
�
91
Remarque 10.14
` Thm. 10.13, les fonctions exp(1/z) et cos(1/z) ont une singularite´ essentielle
(a) D’apres
a` l’origine parce que
1
ez =
∞
�
1 1
,
n
n!
z
n=0
cos
�1�
z
=
∞
�
(−1)n 1
.
2n
(2n)!
z
n=0
´ de f ∈ O(D \ c), alors la partie
(b) Nous notons que, si c ∈ D est une singularite´ isolee
´
principale du developpement
de Laurent de f dans Bs (c) \ c ⊆ D \ c avec s > 0 autour
de c satisfait
f − ∈ O(C \ c).
´
´
(c) Une serie
de Laurent dans un disque epoint
e´ B \ c de centre c est normalement
´ 9.16, comme serie
´
´
convergente, dans le sens de Def.
des fonctions meromorphes
n
fn (z) := an (z − c) ssi sa partie principale est ﬁnie (pour pouvoir satisfaire la condition
´ 9.16).
(a) de Def.
´
(d) Les series
de la forme
∞
�
cn exp
n=−∞
� 2πi
ω
nz
�
´
s’appellent des series
de Fourier. On peut montrer que toute fonction holomorphe
´
`
´
´
de periode
ω (cf. Rem. 5.8 (a)) possede
un developpement
en une serie
de Fourier
´
normalement convergente (en ecrivant
une telle fonction f dans la forme f (z) =
´
F (exp(2πinz/ω)), ou` F est holomorphe dans une couronne ; le developpement
de
´
Laurent de F fournit le developpement
de Fourier de f ).
92
11
´
Calculs des residus
`
`
´ a,
` beaucoup d’integrales
´
´
´ e´ evalu
´
´
´
Au 18ieme
siecle
dej
reelles
ont et
ees
par une re´ ecriture
´
dans le domaine complexe. Notamment Euler, Legendre et Laplace ont utilise´ cette methode
´ e´ fondee
´ de maniere
` rigoureuse.
bien avant que l’analyse complexe ait et
´ eme
`
´
´ eralisation
´
´ eme
`
´
Le theor
des residus
ci-dessous est la gen
naturelle du theor
integral
de
´
´
Cauchy pour des fonctions holomorphes ayant des singularites isolees.
11.1
´
Courbes simplement fermees
´
´ e´ supplementaire
´
´
Les courbes que nous considererons
auront une propriet
que nous decrirons
a` l’aide de la notion suivante.
´
´ dans C. La fonction indγ : C \ |γ| → C, deﬁnie,
´
Deﬁnition
11.1 Soit γ une courbe fermee
pour tout z ∈ C \ |γ|, par
1
indγ (z) :=
2πi
�
γ
dζ
,
ζ −z
s’appelle l’indice de γ p.r. a` z ∈ C \ |γ|.
´ γ est une mesure qui decrit
´
L’indice p.r. a` un point z ∈ C\|γ| d’une courbe fermee
le ”nombre
´ par γ(t) autour de z” quand t parcourt l’intervalle de deﬁnition
´
de tours effectues
I de γ.
´
´ dans D.
Proposition 11.2 Soit f ∈ O(D) sans zeros
dans D et soit γ une courbe fermee
Alors, on a
�
f � (ζ)
∈ 2πiZ.
dζ
f (ζ)
γ
En particulier, on a indγ (z) ∈ Z pour tout z ∈ C \ |γ|.
´
´
Demonstration
11.2 Soit γ : I → D une courbe dans D avec point de depart
c := γ(a) et
∗
´ w := γ(b). Comme |γ| est compact, il existe n ∈ N avec
point d’arrivee
a =: t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn := b
et des disques B1 , . . . , Bn dans D t.q., pour tout i ∈ {1, . . . , n}, la courbe γi : [ti−1 , ti ] → C,
´
`
´
deﬁnie
par γi (t) := γ(t) pour tout t ∈ [ti−1 , ti ] (c.-a-d.,
la restriction de γ a` [ti−1 , ti ]), evolue
`
dans Bi , c.-a-d.,
pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on a
|γi | ⊆ Bi .
93
D
Bn
γ(t1)
w
c
B1
´ dans D, on a f � /f ∈ O(D) (cf. Thm. 2.11 (b)), et alors, le theor
´ eme
`
Comme f n’a pas de zero
�
´
´
integral
de Cauchy (cf. Thm. 7.2) implique que f /f est C-integrable
dans Bi pour tout i ∈
´
´
´
{1, . . . , n}. En procedant
comme dans Dem.
6.17, il en resulte
que, pour tout ci ∈ Bi , tout
´
z ∈ Bi et toute courbe βi,z dans Bi de ci a` z, la fonction Fi : Bi → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ Bi ,
par
�
f � (ζ)
Fi (z) :=
,
dζ
f (ζ)
βi,z
´
par hi (z) :=
est une primitive de f � /f dans Bi . Alors, la fonction hi : Bi → C, deﬁnie
−Fi (z)
�
` Prop.
f (z)e
pour tout z ∈ Bi , satisfait hi (z) = 0 pour tout z ∈ Bi et donc, d’apres
2.30, hi est constant dans Bi . Comme f (z) �= 0 pour tout z ∈ D, il existe ai ∈ C avec ai �= 0
t.q., pour tout z ∈ Bi ,
f (z) = ai eFi (z) .
En choisissant ci = γ(ti−1 ), z = γ(ti ) et βi,z = γi , on obtient, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, que
�
��
f � (ζ)
,
f (γ(ti )) = f (γ(ti−1 )) exp
dζ
f (ζ)
γi
ou` nous avons utilise´ que Fi (ci ) = 0. Comme γ = γ1 + . . . + γn , on a
exp
��
f � (ζ)
dζ
f (ζ)
γ
�
=
n
�
i=1
exp
��
f � (ζ)
dζ
f (ζ)
γi
�
=
n
�
f (γ(b))
f (w)
f (γ(ti ))
=
=
= 1,
f
(γ(t
))
f
(γ(a))
f
(c)
i−1
i=1
` egalit
´
´ nous avons utilise´ que γ est ferme.
´ Alors, d’apres
` Prop. 5.7, on
ou,
e,
` dans la derniere
trouve
�
f � (ζ)
∈ ker(exp) = 2πiZ.
dζ
f (ζ)
γ
En particulier, pour le cas ou` z ∈ C \ |γ|, D = C \ z et f (ζ) = ζ − z pour tout ζ ∈ D, on obtient
que indγ (z) ∈ Z.
�
94
´ es
´ supplementaires
´
Remarque 11.3 On peut facilement montrer que l’indice a les propriet
suivantes :
(a) Comme indγ ∈ C(C \ |γ|) et indγ (z) ∈ Z pour tout z ∈ C \ |γ|, l’indice est localement
constant dans C \ |γ|.
´ dans C ayant le meme
ˆ
´
(b) Si γ˜ est une courbe fermee
point de depart
que γ, alors, pour
tout z ∈ C \ (|γ| ∪ |˜
γ |), on a
indγ+˜γ (z) = indγ (z) + indγ˜ (z).
Notamment, on a ind−γ (z) = −indγ (z) pour tout z ∈ C \ |γ|.
´
´
A present,
nous arrivons a` la deﬁnition
de la classe des courbes que nous utiliserons par la
suite.
´ dans C. Les ensembles
´
Deﬁnition
11.4 Soit γ une courbe fermee
int(γ) := {z ∈ C \ |γ| | indγ (z) �= 0},
ext(γ) := {z ∈ C \ |γ| | indγ (z) = 0},
´
´
s’appellent l’interieur
et l’exterieur
de γ. En plus, γ s’appelle simplement ferme´ si
int(γ) �= ∅,
indγ (z) = 1 pour tout z ∈ int(γ).
On peut facilement montrer que les courbes suivantes, qui seront sufﬁsantes pour notre
´
` sont des courbes simplement fermees
´ (cf. p.ex. Exr. 70 pour le
calcul des residus
ci-apres,
cas de Prop. 11.5 (h)).
´
Proposition 11.5 Le bord ∂A de chacun des ensembles A qui suit peut se decrire
par une
´ et on a int(γ) = A.
courbe γ simplement fermee,
(a) Disque
(b) Segment circulaire
(c) Triangle
95
(d) Rectangle
(e) Secteur circulaire
(f) Polygone convexe
` convexe ”arrondi”
(g) Quadrilatere
(h) Fer a` cheval circulaire
´ si les
Remarque 11.6 On peut montrer qu’une courbe γ : [a, b] → C est simplement fermee
conditions suivantes sont satisfaites :
`
´
(a) γ : [a, b) → C est injectif (c.-a-d.,
γ est homeomorphe
au cercle S 1 )
´
`
(b) L’interieur
int(γ) (�= ∅) est ”a` gauche de γ”, c.-a-d.,
pour tout point t ∈ ]a, b[ avec
γ � (t) �= 0, la droite
R � s �→ γ(t) + siγ � (t) ∈ C,
qui est orthogonale a` la tangente R � s �→ γ(t) + sγ � (t) ∈ C, a une intersection non
vide avec int(γ) si s > 0 est sufﬁsamment petit.
11.2
´ eme
`
´
Theor
des residus
´ de f ∈ O(D \ c) et soit
´
Deﬁnition
11.7 Soit c ∈ D une singularite´ isolee
f (z) =
∞
�
n=−∞
an (z − c)n
´
`
le developpement
de Laurent de f dans Br (c) \ c pour un r > 0 t.q. Br (c) \ c ⊆ D \ c. D’apres
´ eme
`
´
le theor
du developpement
de Laurent (cf. Thm. 10.8), on a, pour tout 0 < ρ < r,
�
1
a−1 =
dz f (z),
2πi ∂Bρ (c)
96
`
` integration
´
´
c.-a-d.,
tout ce qui reste apres
de f autour de c est le coefﬁcient
resc (f ) := a−1 .
´
´
Ce coefﬁcient
s’appelle le residu
de f au point c.
´
´ es
´ suivantes.
Les residus
ont les propriet
´ de f ∈ O(D \ c).
Proposition 11.8 Soit c ∈ D une singularite´ isolee
(a) Soit f holomorphe en c. Alors, on a resc (f ) = 0.
ˆ simple de f ∈ O(D \ c). Alors, on a
(b) Soit c ∈ D un pole
resc (f ) = lim(z − c)f (z).
z→c
ˆ d’ordre m ∈ N∗ et soit h le prolongement holomorphe de la fonction
(c) Soit c ∈ D un pole
(z − c)m f (z) en c. Alors, on a
resc (f ) =
h(m−1) (c)
.
(m − 1)!
(d) Soit g ∈ O(D \ c). Alors, pour tout a, b ∈ C, on a
resc (af + bg) = a resc (f ) + b resc (g).
´
Demonstration
11.8
` le theor
´ eme
`
´
(a) D’apres
integral
de Cauchy (cf. Thm. 7.2), on a, pour tout f ∈ O(D),
�
1
resc (f ) =
dz f (z) = 0.
2πi ∂Bρ (c)
` Prop. 9.8, on peut ecrire
´
(b) D’apres
que, pour tout z ∈ D \ c,
f (z) =
b1
+ f˜(z),
z−c
ou` f˜ ∈ O(D). Alors, on trouve
lim(z − c)f (z) = resc (f ) + lim(z − c)f˜(z) .
�
�z→c ��
z→c
=0
(c) Cf. Exr. 71
(d) Clair
�
97
´
´
Remarque 11.9 Il n’existe pas de methode
simple pour calculer les residus
en des singula´ essentielles.
rites
´
´ eme
`
`
A present,
nous arrivons au theor
principal de ce chapitre dont les applications sont tres
nombreuses dans la pratique.
´ e,
´ γ une courbe simplement fermee
´
´ eme
`
´ eme
`
´
Theor
11.10 (Theor
des residus)
Soient D etoil
dans D et A un ensemble ﬁni dans D t.q. aucun point ne se trouve sur γ. Alors, pour tout
f ∈ O(D \ A), on a
1
2πi
�
dz f (z) =
γ
�
resc (f ).
c ∈A ∩ int(γ)
Remarque 11.11
´ eralisation
´
´ eme
`
´
(a) On peut montrer la gen
suivante du theor
des residus
:
`
Soit D un ouvert non vide quelconque et soit γ homologue a` 0, c.-a-d.,
int(γ) ⊆ D.
Alors, on a
�
�
1
dz f (z) =
resc (f ) indγ (c).
2πi γ
c ∈A ∩ int(γ)
´
´ eme
`
(b) La formule integrale
de Cauchy (cf. Thm. 7.6) est un cas particulier du theor
des
´
´ e,
´ que ∂B
residus.
Pour B := Br (c) ⊆ B � := Bs (c) avec r < s, on a que B � est etoil
´ dans B � et que f (ζ)/(ζ − z) ∈ O(B � \ z) pour tout
est une courbe simplement fermee
z ∈ B. Alors, comme int(∂B) = B (cf. Thm. 7.6 et Thm. 7.2), on a
�
�
�
1
f (ζ)
f (ζ)
= resz
= lim f (ζ) = f (z),
dζ
ζ→z
2πi ∂B
ζ −z
ζ −z
ˆ simple au point z.
ou` nous avons utilise´ que f (ζ)/(ζ − z) a un pole
´
Demonstration
11.10 Soit A = {c1 , . . . , cN } pour un N ∈ N∗ et, pour tout i ∈ {1, . . . , N },
soient si > 0 t.q. les disques Bi := Bsi (ci ) satsifont B i ⊆ D et B i ∩ B j = ∅ pour tout i �= j.
´
Comme Bi \ ci = A0,si (ci ) et comme f ∈ O(Bi \ ci ) pour tout i ∈ {1, . . . , N }, la decomposition
de Laurent (cf. Thm. 10.4) implique que la partie principale de la restriction fi a` Bi \ ci de f
´ eme
`
´
satisfait fi− ∈ O(C \ ci ). En plus, en utilisant le theor
du developpement
de Laurent (cf.
−
˜
´
Thm. 10.8), la fonction fi : C \ ci → C, deﬁnie,
pour tout z ∈ C \ ci , par
(i)
f˜i− (z) := fi− (z) − a−1 /(z − ci ),
`
´
possede
le developpement
f˜i− (z) =
∞
�
n=2
98
(i)
a−n
.
(z − ci )n
�
(i)
`
´
Alors, f˜i− possede
une primitive dans C \ ci (a` savoir la serie
de Laurent − ∞
n=2 a−n /[(n −
1)(z − ci )n−1 ], cf. Thm. 10.10 et Rem. 8.10 (c)) d’ou,
` pour tout i ∈ {1, . . . , N }, on obtient
�
�
�
dz
(i)
(i)
−
−
˜
dz fi (z) = dz fi (z) +a−1
= 2πi a−1 indγ (ci ).
γ
γ z − ci
� γ ��
�
=0
Comme f −
�N
fi− ∈ O(D), nous arrivons a`
�
� �
�
N
N
�
�
fi− (z) = dz f (z) −
0 = dz f (z) −
i=1
γ
γ
i=1
�
i=1
dz fi− (z)
� γ ��
�
.
= 2πi resci (f ) indγ (ci )
�
Remarque 11.12
´ ebres
`
´ eme
`
´
(a) Une des applications les plus cel
du theor
des residus
est la suivante.
´ e,
´ γ une courbe simple´ eme
`
Theor
11.13 (Principe de l’argument) Soient D etoil
´ dans D et f ∈ M(D) ayant un nombre ﬁni N de zeros
´
ment fermee
et un nombre ﬁni
ˆ
´ avec leur multiplicites).
´ Alors, on a
P de poles
dans D \ |γ| (comptes
�
1
f � (z)
= N − P.
dz
2πi γ
f (z)
´
´
Demonstration
11.13 Ceci est une consequence
du fait que, si une fonction g est
´ d’ordre n en c, alors, on a resc (g � /g) = n (cf.
holomorphe au point c et a un zero
ˆ d’ordre n en c, on a
Thm. 7.10 et Prop. 11.8 (c)). En plus, si une fonction g a un pole
resc (g � /g) = −n (cf. Thm. 9.6 (b) et Prop. 11.8 (c)).
�
´ 1862 ; Estermann, 1962) :
(b) On peut montrer le corollaire suivant de (a) (Rouche,
´ eme
`
´ eme
`
´ Soient f, g ∈ O(D) et γ une courbe simTheor
11.14 (Theor
de Rouche)
´ qui est homologue a` 0 dans D (cf. Rem. 11.11 (a)). Alors, si, pour
plement fermee
tout z ∈ |γ|, on a
|f (z) + g(z)| < |f (z)| + |g(z)|,
ˆ
´
´
´ 11.4).
f et g ont le meme
nombre de zeros
a` l’interieur
de γ (cf. Def.
11.3
´
´
´
Integration
reelle
par le calcul des residus
´
´
´ egante
´
´
´
´
Le calcul des residus
est une methode
el
pour determiner
des integrales
reelles
qui
´ principale est simple: l’intervalle reel
´ d’integration
´
n’ont pas de primitives explicites. L’idee
99
´ γ dans le plan complexe et la fonction a` integrer
´
est plonge´ dans une courbe fermee
est
´ dans le domaine de frontiere
` γ par une fonction y etant
´
prolongee
holomorphe a` des singu´ isolees
´ pres.
` L’integrale
´
´ a` l’aide du theor
´ eme
`
laritees
le long de γ est ensuite calculee
des
´
´
residus.
Cependant, il n’existe pas d’algorithme qui permettrait de determiner
la ”meilleure”
courbe γ.
´
´
´
Par la suite, nous illustrerons cette methode
par le calcul de trois classes d’integrales
reelles
´
´
souvent utilisees dans la pratique. Nous commenc¸ons par la classe des integrales trigo´
nometriques.
ˆ
´
´ eme
`
Theor
11.15 Soient P, Q : C2 → C des polynomes
en deux variables a` coefﬁcients
2
2
complexes et soit Q(x, y) �= 0 pour tout x, y ∈ R avec x + y = 1. Alors, pour la fonction
rationnelle R = P/Q, on a
�
2π
dt R(cos t, sin t) = 2π
0
�
˜
resw (R),
w∈E
˜
ou` nous avons utilise´ la notation R(z)
:= R([z + 1/z]/2, [z − 1/z]/(2i))/z.
´
´
Demonstration
11.15 Soit γ : [0, 2π] → C deﬁni
par γ(t) := eit pour tout t ∈ [0, 2π]. Alors,
comme cos t = [γ(t) + 1/γ(t)]/2 et sin t = [γ(t) − 1/γ(t)]/(2i) pour tout t ∈ [0, 2π], on a
1
i
�
�
z + z1 z −
,
dz R
2
2i
∂E
1
z
�
1
1
=
z
i
�
2π
dt R(cos t, sin t)
0
1
iγ(t).
γ(t)
´ eme
`
´
´
´
En utilisant le theor
des residus
(cf. Thm. 11.10) et Prop. 11.5 (a), on arrive a` l’enonc
e.
�
Exemple 11.16 Soit p ∈ C avec |p| �= 1. Alors, on a
�
� 2π
1
,
1
dt
1−p2
=
1
2π 0 1 − 2p cos t + p2
,
p2 −1
|p| < 1,
|p| > 1.
´
Demonstration
11.16 En utilisant les notations de Thm. 11.15, nous posons R(x, y) :=
1/(1 − 2px + p2 ), d’ou` on obtient
˜
R(z)
=
1
1 − pz −
p
z
1
1
=
.
+ p2 z
(z − p)(1 − pz)
˜ et (cf. Prop. 11.8 (b))
ˆ simple de R
Cas |p| < 1 : Le point p ∈ E est l’unique pole
˜ = lim (z − p)R(z)
˜
resp (R)
=
z→p
100
1
.
1 − p2
˜ et
ˆ simple de R
Cas |p| > 1 : Le point 1/p ∈ E est l’unique pole
�
�
1
1
˜
˜ = lim z −
R(z)
= 2
.
res1/p (R)
z→1/p
p
p −1
�
´
´
Par la suite, nous evaluerons
une certaine classe d’integrales
impropres en utilisant le
´
calcul des residus.
´ eme
`
Theor
11.17 Soit D t.q. H := H ∪ R ⊆ D, soit A un ensemble ﬁni t.q. A ⊆ D \ R et soit
`
f ∈ O(D \ A). En plus, nous supposons que les hypotheses
� ∞
(a)
dx f (x) < ∞
−∞
(b) limz→∞ zf (z) = 0 (cf. (38))
´
` suivante :
sont satisfaites. Alors, l’integrale
impropre peut se calculer de la maniere
�
∞
dx f (x) = 2πi
−∞
�
resw (f )
w∈H
´
´
Demonstration
11.17 Soit r > 0 et soit γr : [0, π] → H deﬁni
par γr (t) := reit pour tout
´ de f se trouvent a` l’interieur
´
t ∈ [0, π]. Si r > 0 est sufﬁsamment grand, toutes les singularies
`
du disque de rayon r centre´ a` l’origine, c.-a-d.,
on a que A ⊆ Br (0).
γr
c1 c2
c3
c4
−r
c5
r
c6
cN
Br (0)
´ eme
`
´
´
En utilisant le theor
des residus
(cf. Thm. 11.10) et Prop. 11.5 (b), on peut ecrire
que
�
� r
�
dx f (x) +
dz f (z) = 2πi
resw (f ).
(42)
−r
γr
w∈H
` l’estimation standard (cf. Prop. 6.11), on a
D’apres
��
�
�
�
� dz f (z)� ≤ πr|f |γr ,
�
�
γr
101
`
´
et donc, l’hypothese
(b) implique que cette integrale
ne contribue pas dans la limite ou`
r → ∞ parce que
lim r|f |γr = 0.
r→∞
`
´
Alors, en utilisant l’hypothese
(a), nous arrivons a` l’enonc
e´ en prenant la limite r → ∞ de
´
l’equation
(42).
�
Exemple 11.18 Soit n ∈ N. Alors, on a
� ∞
−∞
π (2n)!
dx
= 2n
.
2
n+1
(1 + x )
2 (n!)2
´
´
Demonstration
11.18 Pour D = C et A = {±i}, soit f ∈ O(D \ A) deﬁni,
pour tout z ∈
C \ {±i}, par
f (z) :=
1
1
=
.
(1 + z 2 )n+1
(z − i)n+1 (z + i)n+1
`
Comme les hypotheses
(a) et (b) de Thm. 11.17 sont satisfaites, il nous reste a` calculer le
´
´
ˆ d’ordre n + 1 de f , nous obtenons de Prop. 11.8
residu
au point i ∈ H. Ce point etant
un pole
(c) que
�
�
1 dn ��
1 dn ��
(2n)! 1
n+1
resi (f ) =
(z − i) f (z) =
(z + i)−(n+1) = −i
.
�
�
n
n
n! dz z=i
n! dz z=i
(n!)2 22n+1
Alors, nous trouvons que
�
∞
−∞
π (2n)!
dx
= 2πi resi (f ) = 2n
.
2
n+1
(1 + x )
2 (n!)2
�
`
ˆ
Les hypotheses
de Thm. 11.17 peuvent etre
affaiblies si f (z) = g(z)eiaz pour un a ∈ R.
´ eme
`
Theor
11.19 Soit A un ensemble ﬁni t.q. A ⊆ C \ R, soit a ∈ R et soit g ∈ O(C \ A). En
`
plus, nous supposons que l’hypothese
(a) limz→∞ g(z) = 0
est satisfaite. Alors :
�
∞
−∞
dx g(x)e
iax
��
resw (geiaz ),
= 2πi �
iaz
−w∈H resw (ge ),
w∈H
102
a>0
a<0
´
´
Demonstration
11.19 Soit a > 0 et considerons
le rectangle Q suivant :
γ2
γ3
q = r+s
Q
c2
c
c4 5
c
3
c1
cN
−r
γ1
s
´ de g dans H se
Ensuite, soient r, s > 0 sufﬁsamment grands t.q. toutes les singularites
´
´ eme
`
´
trouvent a` l’interieur
de Q. En utilisant le theor
des residus
(cf. Thm. 11.10) et Prop.
´
11.5 (d), on peut ecrire
que
� s
3 �
�
�
iax
dx g(x)e +
dz g(z)eiaz = 2πi
resw (geiaz ),
−r
i=1
γi
w∈H
´
et nous voulons montrer que, dans la limite r, s → ∞, les integrales
le long des courbes γ1 ,
´
γ2 et γ3 tendent vers zero.
Courbe γ1 : Nous commenc¸ons par noter que, pour tout u, v ∈ C([a, b]), on a l’estimation
(plus forte que l’estimation standard)
� b
� b
dt |u(t)||v(t)| ≤ sup |u(t)|
ds |v(s)|.
t∈[a,b]
a
a
´ ee
´ par γ1 (t) := s + it pour tout t ∈ [0, q], on obtient
Alors, pour la courbe γ1 , parametr
� � q
��
� q
�
�
1
iaz
−at
� dz g(z)e � ≤
dt |g(s + it)|e
≤ |g|γ1
dt e−at ≤ |g|γ1 .
�
�
a
γ1
0
� 0 ��
= (1−e−aq )/a
` analogue, on trouve egalement
´
que
Courbe γ3 : De maniere
��
�
�
�
� dz g(z)eiaz � ≤ 1 |g|γ3 .
�
� a
γ3
´
Courbe γ2 : En deﬁnissant
(−γ2 )(t) := t + iq pour tout t ∈ [−r, s], l’estimation standard (cf.
Prop. 6.11) implique que
��
�
�
�
� dz g(z)eiaz � ≤ (r + s)|geiaz |γ2 ≤ (r + s)|g|γ2 sup |eiaz | = |g|γ2 qe−aq ≤ |g|γ2 ,
�
�
��
z∈|γ2 |
γ2
= e−aIm(z)
` inegalit
´
`
` que q devient sufﬁsamment grand.
ou` la derniere
e´ est vraie si q ≤ eaq , c.-a-d.,
des
` l’hypothese
` (a), on a, pour tout i ∈ {1, 2, 3},
Finalement, d’apres
lim |g|γi = 0,
r,s→∞
´
` le carre´ dans le demi-plan
et on arrive a` l’enonc
e´ pour le cas ou` a > 0. Si a < 0, on considere
´
inferieur
−H := {z ∈ C | Im(z) < 0} (a` noter que, de nouveau, aq > 0 car q < 0).
�
103
Remarque 11.20
´
(a) L’integrale
de Thm. 11.19 vue comme fonction de a ∈ R s’appelle le transformation
de Fourier de g au point a.
´ 11.19, il n’est pas approprie´ de remplacer le chemin rectangulaire par un
(b) Dans Dem.
´ 11.17). Les estimations seraient
chemin en forme de demi-cercle (comme dans Dem.
´ et on n’obtiendrait que l’existence de
plus compliquees
� r
lim
dx g(x)eiax
r→∞
ce qui n’implique pas l’existence de
−r
�∞
−∞
dx g(x)eiax .
´
Nous terminons ce cours par le calcul de l’integrale
suivante.
Exemple 11.21 En utilisant Thm. 11.19, nous obtenons facilement que
� ∞
x
π
dx
e2ix = i 2 .
2
1+x
e
−∞
´
´
Demonstration
11.21 Soient A := {±i} et a := 2 > 0 et soit g ∈ O(C \ A) deﬁni,
pour tout
z ∈ C \ {±i}, par
g(z) :=
z
z
.
=
1 + z2
(z − i)(z + i)
`
´
Comme l’hypothese
(a) de Thm. 11.19 est satisfaite, il nous reste a` calculer le residu
au
´
ˆ simple de g. En utilisant Prop. 11.8 (b), on obtient
point i ∈ H, ce point etant
un pole
resi (ge2iz ) = lim(z − i)g(z)e2iz =
z→i
1
,
2e2
et alors, on arrive a`
�
∞
−∞
dx
x
π
e2ix = 2πi resi (ge2iz ) = i 2 .
2
1+x
e
�
(Da Capo al) Fine.
104
´ erences
´
´ e´ utilisees
´
´
´ erence
´
Voici quelques ref
qui ont et
pour la redaction
de ce cours, la ref
´
principale etant
[4].
´ erences
´
Ref
[1] Ahlfors L 1979 Complex analysis (McGraw-Hill)
[2] Conway J B 1978 Functions of one complex variable (Springer)
[3] Knopp K 1999 Theory of functions (Dover)
[4] Remmert R 1991 Theory of complex functions (Springer)
105

Cours ``Optimisation et contrÃ´le``

Suites et sÃ©ries numÃ©riques

Introduction aux Ã©lÃ©ments finis Panorama du cours d

2014 - CEMC - University of Waterloo

Fonctions analytiques - walter h aschbacher

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Suites et sÃ©ries numÃ©riques

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