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Fiches d’exercices d’introduction à la
Transmission Numérique
Grenoble INP,
Mars 2015 (dernière mise à jour)
L. Ros
1
Fiche n°1 : Numérisation, Codes en ligne à l’émission
Exercice I : Numérisation
Un signal analogique x(t) (supposé aléatoire stationnaire et centré) de largeur de bande fmax  10 kHz
est numérisé (sans écrêtage) par un C.A.N. de caractéristiques : Fe = 25 kHz, quantification
uniforme sur m= 10 bits, plage d’amplitude [-A ; +A], avec A = 2V. On obtient les échantillons yk =
y(k/Fe), k  Z : y k  x k  bk .
On suppose que la puissance moyenne du signal x est de 1V2, et que le bruit de quantification peut
être modélisé par des échantillons bk indépendants et de même loi uniforme.
1) Quel est le débit binaire obtenu après numérisation ?
2) Quelle est la variance du bruit de quantification b2 en fonction du nombre de bits m et de
l’amplitude A ? En dédire le Rapport Signal à Bruit dû à la quantification (RSB_q).
N.B : on rappelle que pour un signal centré stationnaire la puissance moyenne coïncide avec
la variance des échantillons.
3) Quelle hypothèse permet de supposer que la puissance du bruit de quantification b2 est
uniformément répartie en fréquence (sur la plage f  [-Fe/2 ; Fe/2[. On rappelle que tout
signal échantillonné à la fréquence Fe a une représentation spectrale périodique de période
Fe) ?
En déduire l’expression de la Densité Spectrale de Puissance (DSP) bilatérale des échantillons
de bruit de quantification b(f) ?
Annexe : En choisissant m’= 9 bits (au lieu de 10 bits) et Fe’ = 4 × Fe = 100kHz, est-il possible
d’obtenir une qualité de Rapport Signal à Bruit de quantification équivalente après traitement
numérique des échantillons {yk} ? Expliquer. Pour cela on pourra utiliser une représentation
fréquentielle du signal et du bruit sur la plage f  [-Fe’/2 ; Fe/2’[ (en supposant une DSP de xk
constante sur [-fmax ; fmax] pour faciliter l’interprétation).
Exercice II : Code en ligne avec un dictionnaire de signaux orthogonaux
(Modulation en B.B. orthogonale)
On a : x (t ) 

x
k  
k
(t  kTs ) où xk(t)  {x(1)(t), …, x(M)(t) }, avec < x(m) ; x(n)> = 0 ; m n ,
def 
où  x( m ) ; x( n )  
x
(m)
(t ) x(*n ) (t )dt

1) La modulation numérique « PPM » (pulse position modulation) est –elle orthogonale ?
Ts
M
2) Pour M = 2, 4, 8, préciser le « mapping » bits/symbole, représenter le signal x(t) pour la suite de
bits: « 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 » (à partir de t=0), ainsi que la rapidité de modulation, pour un
Rappel cours : x( m ) (t )  A. [ 0; [ (t  ( m  1). ) , m  {1, …, M}, avec  
Débit binaire = 1 Mbit/sec
3) On supposera de plus les bits iid (indépendants et identiquement distribués => p0 = p1 = ½).
a. Pour A fixé, calculer en fonction de M l’énergie moyenne par symbole, l’énergie moyenne
par bit Eb, la puissance émise, ainsi que la distance minimale dmin entre les M signaux.

2
N.B. : d min
 min
m n

2
x( m ) (t )  x ( n ) (t ) dt

2
b. En déduire pour une puissance émise et un débit binaire fixé (donc Eb fixée), comment
varie la distance entre les signaux en fonction de la taille M de la modulation. Conclusion?
c. Vérifier (mêmes conditions) la variation de  avec M. Conclure sur les points forts /faibles
de la modulation orthogonale (scénarios à Puissance limitée ? Bande limitée ?).
N.B. : On admettra que la partie continue de la DSP de cette modulation M-PPM est
2
multiple de : X (1) ( f ) , où X(1) (f) = T.F. {x(1) (t)}.
Exercice III : Code en ligne Linéaire sans mémoire
Par défaut on veut transmettre un signal binaire de Débit 1 Mbit/sec (suite de bits
indépendants de probabilités p0 et 1- p0), à l’aide d’une modulation « PAM » :
( x(t )  Ts

 a h (t  kT ) ).
k  
k
e
s
1) Une modulation « PAM » peut-elle être une modulation orthogonale (Cf exercice II)?
2) Pour un code NRZ unipolaire (amplitude A = 3V) binaire, en supposant p0 =3/4 et p1=1/4,
Calculer l’énergie par bit et la puissance moyenne du signal x (préciser le « mapping »).
3) Même question pour un code RZ unipolaire quaternaire, (ak  Amod = {0 ; +A ; 2A ; 3A }) .
4) On suppose un code polaire M-aire (NRZ) tel que ak  Amod = {±A ; ±3A ; ±5A ; ±(M-1)A },
et désormais les bits tels que p0 = p1 = ½.
a. Pour M = 2, 4, 8, préciser le « mapping » bits/symbole, représenter le signal x(t) pour la
suite de bits: « 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 » (à partir de t=0), ainsi que la rapidité de
modulation.
b. Pour A fixé, calculer en fonction de M l’énergie moyenne par symbole, l’énergie
moyenne par bit Eb, la puissance émise, ainsi que la distance minimale dmin entre les M
signaux.

2
N.B. : d min
 min
i j

2
x( m ) (t )  x ( n ) (t ) dt et

n
k
k 1
2

n( n  1)( 2n  1)
6
c. En déduire pour une puissance émise et un débit binaire fixé (donc à Eb fixée), comment
varie la distance entre les signaux en fonction de la taille M de cette modulation.
Conclusion. Différence de propriétés par rapport à la modulation orthogonale ?
5) Pour quelques uns des scénarios de codes qui ont été envisagés, calculer et tracer la DSP. Préciser
la répartition de la puissance du signal dans le spectre continu et dans le spectre de raies ?
Compléments pour aller plus loin …
Exercice IV : Densité spectrale de codes avec mémoire.
Pour le code binaire différentiel « NRZ-M » puis pour un code bi-polaire « RZ bipolaire », avec
des bits iid.
1) Rappeler les règles de codage et le modèle du signal
2) représenter le signal en bande de base x (t) pour la suite de bits à transmettre : « 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0 1 1 ».
N.B. : on suppose un état initial du symbole a = +A.
3) Exprimer et tracer la fonction de corrélation des symboles ak, puis leur densité spectrale.
4) En déduire l’expression et la forme de la DSP du signal analogique x(t) en sortie du codeur en
ligne.
3
Fiche n°2 : Filtre de réception adapté, corrélation.
Pour une Modulation linéaire en B.B. avec bande non-limitée

x (t )  Ts  a k . he (t  k .Ts )
Emission : signal émis :
(1)
k 0
où : Ds=1/Ts est le débit symbole, he() est l’impulsion de mise en forme, { a k , kZ } sont les symboles
à transmettre aux instants k.Ts ,équiprobables, indépendants, de variance a2.
La modulation peut être ici «2-PAM », ou « 4-PAM », avec des symboles polaires .
canal : signal à l’entrée du récepteur est: r(t)  x(t)  n(t) , où n(t) est un Bruit Blanc Additif
Gaussien (BBAG) centré de dsp (bilatérale) N0 /2, (avec N0 = 4.10-21 W/Hz, soit –174 dBm/Hz).
Réception : variable de décision y[k] obtenue par filtrage (R.I. hr() paramétrable) et échantillonnage
aux instants t0 + kTs, où t0 est paramétrable. Les décisions { aˆ[ k ] } sont prises par seuillage .
Pour ce TD, on considère 4 cas d’impulsions de mise en forme possibles, toutes de durée inférieure ou
égale à Ts (on est donc dans le cas d’une transmission à Bande non limitée) :
Ts .he1 ()
Ts .he2 ()
Ts .he3 ()
Ts .he4 ()
1

0
Ts/2
Ts
a

0
Ts/2
Ts
a

0
Ts/2
Ts
+b
Ts

0
-b
1°) Energie par bit :
 Avec le 1° filtre de mise en forme, exprimer l’énergie moyenne par bit Eb du signal utile modulé à
l’entrée du récepteur en fonction de a2 et du débit binaire, Db (en bit/sec).
 Déterminer les valeurs de « a » et « b » pour que Eb soit identique avec les différents filtres he .
2°) Pour des choix quelconques de hr() et de t0 , l’échantillon y[k ]
y k   .a k  IES [k]  bk où bk est lié au bruit additif n(t).

peut se décomposer en
Préciser l’expression du coefficient , en fonction de p() = (he * hr)() et de t0 ?
On appelle RSBy le Rapport Signal à Bruit de la variable de décision, y[k] . Sans IES, le RSBy est un
indicateur (pour 1 mod. donnée) sur la qualité des décisions.
3°) filtre de réception adapté : afin de maximiser le RSBy , on choisit hr() = he(- + t0), filtre adapté
à he(), décalé de t0 (délai d’échantillonnage) pour que le filtre hr soit causal. Préciser pour chacun
(ou quelques-uns) des 4 cas d’impulsion he :
 le délai minimum t0min (adopté pour la suite du TD) pour que le filtre hr() soit causal?
 l’allure de hr(), la valeur de , les allures de p() = (he * hr)(), du signal y(t) pour les symboles
{+A ; -A ; +A ; +A ; -A, …} aux « instants » k = 0,1,2,3,4, ….
 Annexe : préciser si les filtres he() et p() sont des filtres à phase linéaire ?
4°) La variable de décision est-elle affectée d’ Interférence Entre Symbole (IES)?
4
Dans la suite du TD, on suppose une modulation 2-PAM (symboles polaires)
5°) Rappeler en 2-PAM, la probabilité d’erreur par bit (sans IES) en fonction de RSBy ?
Donner l’expression de RSBy en fonction du rapport Eb/N0 (annexe : en 4-PAM)?
Evaluer la puissance minimale Px à émettre en 2-PAM pour acheminer un débit binaire de Db =
34 Mbit/s garantissant Pe  10-4 . Px dépend-elle de la forme d’onde choisie he ?
Annexe : fonction Q(.) :
X
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
Q(x)
0,5000
0,4801
0,4602
0,4404
0,4207
0,4013
0,3821
0,3632
0,3446
0,3264
0,3085
0,2912
0,2743
0,2578
0,2420
0,2266
0,2169
0,1977
0,1841
0,1711
X
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
Q ( x) 
Q(x)
0,1587
0,1469
0,1357
0,1251
0,1151
0,1056
0,0968
0,0885
0,0808
0,0735
0,0668
0,0606
0,0548
0,0495
0,0446
0,0401
0,0359
0,0322
0,0287
0,0256
1
2

 u2 
 exp   2 du
Q( x) 
x
X
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
Q(x)
0,0228
0,0202
0,0179
0,0158
0,0139
0,0122
0,0107
0,0094
0,0082
0,0071
0,0062
0,0054
0,0047
0,0040
0,0035
0,0030
0,0026
0,0022
0,0019
0,0016
 x2 
1
.exp    pour x  4
x 2
 2
X
Q(x)
3,00
3,05
3,10
3,15
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
3,80
3,85
3,90
3,95
0,00135
0,00114
0,00097
0,00082
0,00069
0,00058
0,00048
0,00040
0,00034
0,00028
0,00023
0,00019
0,00016
0,00013
0,00011
0,00009
0,00007
0,00006
0,00005
0,00004
4,00 0,00003
4,25
10-5
4,75
10-6
5,20
10-7
5,60
10-8
Questions annexes / compléments
6°) Annexe : Aurait-on eu le même résultat qu’en 5) avec des symboles uni-polaires {0 ; +A} ?
7°) Annexe : réalisation sous forme de corrélation : reformuler l’expression de y k (ou de ) pour
faire apparaître une corrélation (en remplacement des opérations de filtre adapté et échantillonnage )
et finalement un produit scalaire entre une partie (à préciser) du signal r(t) et la fonction he .
8°) Transmission multi-voie ou (multi-utilisateur) : on envoie simultanément un 2° signal (additif)
construit selon (1), mais avec des symboles et une mise en forme différents pour cette 2° « voie ». Le
récepteur d’une voie (« désirée ») ne tient pas compte de la 2° voie (« interférente »).
 On suppose l’utilisation des formes d’ondes 1 (désirée) et 2 (interférente). Exprimer, y k en
fonction des symboles de la voie désirée et de ceux de la voie interférente. Commentaires ?
 Indiquer les couples de formes d’ondes pour lesquels la cohabitation des 2 voies n’amène aucune
dégradation des performances (sur le RSBy et le TEB). Commentaires (débit, Bande passante) ?
5
Fiche n°3 : Transmission à Bande limitée, Critère de Nyquist,
Efficacité spectrale (modulations en Bande de Base).
Contexte général Modulation Num. linéaire en B.B, avec récepteur linéaire : idem fiche n°2 .
Exercice 1 : Critère de Nyquist en fréquence
On considère la liaison numérique (modulation linéaire en Bande de Base) ayant une rapidité de
modulation R = 1 / Ts symb/sec, avec un filtre de mise en forme à l’émission de fonction de transfert
He(f), et un filtre de réception (avant échantillonnage aux instants tm = t0 + mTs) de fonction de
transfert Hr(f). On suppose que le filtre global Emission/Réception P(f) = He(f) Hr(f), est un filtre à
déphasage linéaire P(f) = |P(f)| . exp{-j2ft0} .
 Pour chacun des 3 cas de module |P(f)| , préciser s’ils permettent une transmission sans IES à la
rapidité R, et donner l’excès de bande (roll-off) ?
|P1(f)|
1
|P2(f)|
4
|P3(f)|
3
f
3 1
 .
4 Ts
3 1
.
4 Ts
f
3 1
 .
4 Ts
1 1
 .
4 Ts
1 1
.
4 Ts
3 1
.
4 Ts
f
1
3 1
 .
2 Ts

1
Ts
1 1
 .
2 Ts
1 1
.
2 Ts
1
Ts
3 1
.
2 Ts
Exercice 2 : efficacité spectrale en M-PAM, comparaison aux limites de Shannon
Déterminer l’efficacité spectrale () en (bit/sec)/Hz des modulations M-PAM polaire (M=2, 4, 8,16)
en supposant l’utilisation de la bande B minimale pour transmettre sans IES,
A partir des courbes de performances ci-dessous (avec filtres émission/réception optimaux et canal
BBAG), déterminer le rapport Eb/N0 requis (ordre de grandeur) pour une probabilité d’erreur
binaire Pe inférieure à 10-4 (ou/et 10-6 ) en 2-PAM, 4,PAM, 8-PAM, 16-PAM ?
Annexe (A..N.) : Peut-on (préciser les paramètres alors) avec une modulation linéaire M-PAM
polaire transmettre (N0 = 4.10-21 W/Hz) un Débit binaire de 100 Mbit/s avec Pe <10-4 :
et puissance utile reçue
P  4.10-12 W (-84 dBm).
a) avec B  50 MHz
et
P non limitée (à préciser).
b) avec B  14 MHz
Théorie de l’Information (avec BBAG)
 Déterminer les valeurs de (Eb/N0) théoriques minimales d’après la théorie de l’information
6
pour transmettre (avec Probabilité d’erreur arbitrairement faible) avec les mêmes efficacités
spectrales qu’en 1. ?
N.B. : on supposera que la source binaire (Débit Db) est sans redondance (obtenue après codage
de source idéal) et ainsi que Eb = P / Db représente l’énergie par bit d’information.
Questions subsidiaires :
Théoriquement, si on n’a pas de limite sur la puissance émise, existe-t-il des procédés de
transmission (fiable à volonté) d’efficacité spectrale aussi grande que voulue ?
 Théoriquement, si on n’a pas de limite de bande-passante, existe-t-il des procédés de transmission
(fiable à volonté) travaillant à rapport Eb/N0 aussi faible que voulu ? Donner la limite sinon.

Annexe (information pratique): la technique de modulation (non linéaire) utilisant un dictionnaire de M
signaux orthogonaux (débit d’info lb(M) / Ts Sh/sec, présente une P. d’erreur par symbole (avec récepteur
optimal) de : PM  2 exp{lb( M ).( Eb / N 0  ln 2 ) 2 } , pour ln(2) ≤ Eb/N0 ≤ 4ln(2) .
Exercice annexe / Compléments :
Exercice 3 : Répartition optimale du filtrage Emission / Réception
On désire acheminer un débit binaire de 34 Mbit/s en modulation 2-PAM polaire, avec un rapport
(Eb/N0) de 8,5 dB à l’entrée du récepteur, et sans IES, mais on suppose que la bande dont on dispose
est limitée (contrairement au cas des TD précédents) à B = 25,5 MHz (fréquence positive maximale).
On s’intéresse à plusieurs scénario pour les fonctions de transfert des filtres d’émission He(f) et de
réception Hr(f), qui sont tous à phase linéaire (on suppose un retard d’échantillonnage t0 >> Ts ) pour
que les filtres soient réalisables avec une bonne approximation) :
Scénario 1 : |He(f)| = K1 .|Nyq(f)|;
Scénario 2 : |He(f)| = K2 .|Rect[-25,5MHz ; 25,5MHz](f)| ;
Scénario 3 : He( f )  Nyq(f) ;
|Hr(f)| = Rect[-25,5MHz ; 25,5MHz](f) ;
|Hr(f)| = |Nyq(f)| ;
Hr ( f )

Nyq(f)
Où |Nyq(f)| est un filtre de Nyquist d’excès de bande (« roll-off ») 50% de forme |P2(f)|, et donc de
support fréquentiel [-25,5 MHz ; +25,5 MHz] (sans perte de généralité, on a la normalisation

 | Nyq( f ) | df
 1/ Ts  34 MHz ). K1, K2 , sont des constantes de normalisation.

NB : en pratique on aurait plutôt |Nyq(f)| avec une forme en Cosinus surélevé, mais on simplifie ici les calculs.
1) vérifier que la transmission sans IES est possible pour les différents scénarios (on raisonnera en
fréquence en supposant des déphasages de filtres réglés de manière adéquate, même si en pratique il y
aura nécessairement une approximation dû à la troncature des R.I. des filtres).
2) Pour les 3 scénarios, comparer les valeurs du RSB (RSBy) sur la variable de décision, pour un
même rapport Eb/N0 d’entrée (c’est à dire une même puissance émise), ainsi que les probabilités
d’erreur binaires Pe  Q


RSBy obtenues (A.N. pour Eb/N0 de 8.5 dB, Cf table de Q(.) en TD2).
N.B : on peut normaliser K1 et K2 pour une même puissance émise que dans le scénario 3, mais non obligatoire.

Conclure sur le bon scénario de filtrage ? La limitation de bande pénalise-t-elle la performance par
rapport à la situation à bande infinie (TDs précédents) ?
7
Fiche n°4 : Modulation numérique sur fréquence porteuse
Etiquetage « bits=> symboles », Modulation I/Q, efficacité
spectrale
On doit transmettre un débit binaire de 1 M bit/sec, sur une fréquence porteuse de 1GHz.
On dispose d’un équipement d’émission (Cf synoptique) dont les différents blocs sont paramétrables.
La mise en forme des symboles complexes a[ m ] est linéaire, à partir d’impulsions sur les voies en phase
(I) et en quadrature (Q) paramétrables, mais de durée limitée à la durée symbole Ts.
B1
Série
//
B
( Tb )
codage
différentiel
Bn
(en option)
( Ts )
xI (t)
I
D1
B2
signal B.B.
symb. a

n bits D //
n bits B //
bits
he (t)
D2
Q
bits =>
symboles
+
X
cos(2f0 t)
Mise en
forme
linéaire
( Ts )
( Ts )
/2
xQ(t)
he(Q)(t)
x(t)
X
(I)
étiquetage
Dn
MOD. I / Q
sur fréq. porteuse f0
O. L.
Exercice 1 : construction d’un signal à Modulation numérique linéaire
On suppose ici qu’il n’y a pas de codage différentiel (bits D = bits de données B). De plus l’impulsion
de mise en forme est rectangulaire, identique sur les voies I et Q. On a ainsi, pour la voie I par
exemple :
xI (t) = Re{ a[ m ] } pour t  [m.Ts ; (m+1).Ts], et m  Z.
Le composant dispose de nombreuses configurations pour l’ « étiquetage » bits/ symboles, dont :
D1 (ou D2)
I (ou Q)
Config 0
Config 1
Config 2
Config 3
D1 D2 D3
0
1
0V
0V
-3V
+3V
0V
3V
+3V
-3V
000
D1 … Dn : bits ;
{I + j.Q} : symbole
D1D2 (ou D3 D4 )
I (ou Q)
Config 4
Config 5
00
-3 V
-2 V
01
11
10
-1 V +1 V +3 V
-1 V +1V +2 V
001
011
010
110
111
101
100
+3 V
+3 V
+1 V
+1 V
+0 V
+4,24V
0V
+3 V
-3 V
+3V
-1 V
-1 V
- 4,24V
0V
-3 V
0V
-3 V
-3V
-1 V
-1 V
0V
-4,24V
0V
-3 V
+3 V
-3 V
+1 V
-1 V
IQ
Config 6
Config 7
I +4,24V
0V
Q
+3
V
I
0
V
Q
Pour chacune des modulations (dénomination anglaise) BPSK, QPSK, 8-PSK, 16-QAM :
1) donner une configuration possible pour obtenir les symboles des voies (I) et(Q),
2) représenter les signaux en bande de base xI (t) et xQ (t) pour la suite de bits à transmettre : « 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0 1 1 », et préciser le débit symbole,
3) rappeler le principe et les équations du « Modulateur I /Q » délivrant le signal x(t) modulé sur
fréquence porteuse f0 à partir des composantes en bande de base xI (t) et xQ (t).
4) Donner la forme de la DSP moyenne des composantes xI (t) et xQ (t) et du signal x(t), en supposant
que les bits à transmettre sont indépendants, avec des états équiprobables.
5) Donner la Puissance (impédance fictive 1) de x(t) en V2, ainsi que l’énergie par bit Eb (V2.sec)
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Exercice 2 : efficacité spectrale des modulations, comparaison aux limites de Shannon
1) Déterminer l’efficacité spectrale () en (bit/sec)/Hz des modulations M-PSK (M=2, 4, ..) et MQAM (M=16, …) en supposant l’utilisation de la bande B minimale pour transmettre sans IES,
2) A partir des courbes de performances ci-dessous (données pour des filtres émission/ réception
optimaux et un canal BBAG), déterminer le rapport Eb/N0 requis (ordre de grandeur) pour avoir
une probabilité d’erreur binaire Pe inférieure à 10-5 en BPSK, QPSK, 8-PSK, 16QAM , …?
Annexe (A..N.) : Peut-on (préciser les paramètres alors) avec une modulation linéaire M-PSK ou
M-QAM transmettre (N0 = 4.10-21 W/Hz) un Débit binaire de 100 Mbit/s avec Pe <10-5 :
et puissance utile reçue
P  4.10-12 W (-84 dBm).
c) avec B  50 MHz
et
P non limitée (à préciser).
d) avec B  10 MHz
P  1.10-12 W (-90 dBm).
e) avec B non limitée (à préciser) et
0
0
10
−4
10
10
−6
10
−8
−4
10
−6
10
−8
10
10
−10
10
M=2
M=4
M=8
M=16
−2
Probabilité d’erreur
−2
10
Probabilité d’erreur
10
M=4
M=16
M=64
M=256
M=1024
M=4096
−10
0
5
10
15
20
25
Eb/N0 en dB
30
35
Fig. 5.12 – Probabilit´e d’erreur d’une modulation QAM
40
10
0
5
10
15
Eb/N0 en dB
20
25
30
Fig. 5.14 – Probabilit´e d’erreur d’une modulation PSK
Figures extraites du cours ENST de R. Vallet
3) Théorie de l’Information (avec BBAG) : Comparer les valeurs requises de (Eb/N0) avec les
valeurs théoriques minimales d’après la théorie de l’information pour transmettre (avec Pe
arbitrairement faible) avec les mêmes efficacités spectrales qu’en 1) ?
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