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Lezione 8.
Risposta allo scalino
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
1
Schema della lezione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Introduzione
Relazione tra le risposte ad ingressi canonici
Parametri caratteristici della risposta allo scalino
Sistemi del I ordine strettamente propri
Sistemi del II ordine con poli reali distinti
Sistemi del II ordine con poli reali distinti ed uno zero
Sistemi del II ordine con due poli complessi coniugati
Pulsazione naturale e smorzamento
Sistemi di ordine superiore al secondo
Approssimazione a poli dominanti
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
2
1. Introduzione
u
S
y
u t   sca t 
Sistema asintoticamente stabile
u t 
y t 
1
0
t
t
0
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3
2. Relazione tra le risposte a ingressi canonici
impt 
sca t 
ramt 
d
scat 
dt
1
d
dt
t
 scad
0
1
2
s
1
s
Risposta
alla rampa
=
t
risposta
0 allo scalino
Risposta
all’impulso
=
risposta
allo scalino

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d
4
3. Parametri caratteristici della risposta allo scalino
y   y Valore di regime
Risposta allo scalino
T
yp
A
B
y()
ta
ts
tr
tp
Tempo di assestamento
Tempo di salita
Tempo di ritardo
Tempo di picco
yp
Valore di picco
A  y p  y  
A

y  
tp
tempo
ta
T
B A
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Massima
sovraelongazione
Massima
sovraelongazione
relativa
Periodo delle oscillazioni
Fattore di smorzamento
5
4. Sistemi del primo ordine strettamente propri
G s  

1  s
0
Strettamente proprio
Sistema as. stabile
0
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6

Y s   G s U s  
s1  s 
y t   L
1
Y s   L
L
 
s 
y    
  
 s 1  s  


t




 1  e   , t  0
1 

 s  1  s   




t
 

y t   1  e  


y 0  0
y 0  lim s 2
1
t0
G s  

s

F. Previdi - Automatica - Lez. 8
7
Valutazione del tempo di assestamento
t
 a

1  e 

y t 
e
1.01
0.99


ta


  0.99


 0.01
ta
 ln100

0
ta
t
t a   ln100  5
t a  5
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
8
Posizione del polo e velocità della risposta
Im
Più vicino è il polo all’asse
immaginario, più grande è la
costante di tempo associata,
più lenta è la risposta.

X
X
1

1
1

2
Re
y t 


1
2
t
0
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9
Esempio
1
G s  
1  s
1.2
1
0.8
 = 0.2 s
0.6
=1s
0.4
=5s
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
tempo (s)
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10
Esempio
1
1
G s   RC 
1
1  sRC
s
RC
FdT del circuito RC
Costante di tempo del polo:   RC
Tempo di assestamento: ta  5
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11
5. Sistemi del secondo ordine con poli reali distinti
1   2   0
1   2  0

G s  
1  s1 1  s2 
y t   L
1
L
1
 G s  
 s  L


1
as.stabile





 s 1  s1 1  s 2  

a
b 

 

s
1

s

1

s

1
2

12
a
1   2
22
b
1   2
 t
 t 

1
2
1
y t   1 
e

e 2 
1   2
 1   2

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t0
12
y t 
1.01

0
0.99
ta
y 0   y 0   0

y0  
0
1 2
y      0
t
ta è una funzione
non semplice di 1 e  2
se 1   2
 t 

yˆ t   1  e 1 


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t a  51
13
Esempio
1
1
G s  
1  s1 1  s2 
0.8
linea continua
1 = 5s; 2 = 1s
1 = 3s; 2 = 1s
1 = 1s; 2 = 0.1s
y(t)
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
Time [s]
20
25
30
linea tratteggiata
1 = 5s; 2 = 0s
1 = 3s; 2 = 0s
1 = 1s; 2 = 0s
La costante di tempo più grande (il polo lento) è la più importante nel determinare
la forma della risposta allo scalino (ed in particolare il tempo di assestamento)
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
14
6. Sistema del secondo ordine con poli reali distinti
ed uno zero
1  sT 
G s  
1  s1 1  s2 
yt   L
1
1  2  T
0
1   2  0
as.stabile
 G s  
 s 


 1  T  t 1 2  T  t 2 

yt   1 
e

e
1  2
 1  2

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t0
15
 0 se T  0
y 0  0
G s  T
y 0   lim s

s 
s
1 2
y    
2
y t 

0
 0 se T  0
T  0 zero negativo (a sinistra)
“sovraelongazione”
t
Nota Dipende dal valore
di T rispetto a τ1,τ2
T  0 zero positivo (a destra)
“sottoelongazione”
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16
Esempio

1  sT 
G s  
1  10s 1  s 
2
1.5
1
T=0s
T=5s
T=–5s
T=20s
T=–20s
y(t)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
Time [s]
40
50
no zero
zero <0 “intermedio”
zero >0 “intermedio”
zero <0 “lento”
zero >0 “lento”
60
Riassumendo.
Zero a dx: sempre sottoelongazione, tanto maggiore quanto più lo zero è
piccolo (cioè “lento”) rispetto al polo dominante (in modulo).
Zero a sx: sovraelongazione solo se lo zero è piccolo rispetto al polo
dominante (in modulo).
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17
7. Sistema del secondo ordine con poli complessi
coniugati

G s  
s    js    j
poli :
yt  
  j
L
1
risolvendo
L
1
0
as.stabile
0
0
 Gs  
 s  

  G 0  2
  2
s  



 s s 2  2s  2  2 

 2

2
 
  
  2
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
18
yt   L
s  2

 s  s 2  2s  2  2  
1  
 L
1
 L
1
1
s 

 
2
2
 s s      
1

s



 
2
2
2
2
s





s




s






e t cost
e t sint
 t


t
y t    1  e cost  e sint 



t0
(possibili) oscillazioni smorzate
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
19
Esempio
2
s1, 2  0.9  j 0.4359
y(t)
1.5
s1, 2  0.1  j 0.9950
Come faccio a capire
(in modo semplice)
se la risposta presenta
oscillazioni o no?
1
0.5
0
0
10
20
30
Time [s]
40
50
60
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
20
8. Pulsazione naturale e smorzamento
Im
X
n   2  2
j
n

pulsazione naturale

Re
X
 j

  cos  
n
smorzamento
Relazioni inverse
  n 
  n 1   2
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
21



G s  
 2
 2
2
2
2
2
s     s  2s     s  2n s  2n
G s  

s 2  2n s  2n


 2  2
n   2

G s  

s2
1 2
s 2
n
n
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
22
Esempio
10
G s   2
s  4 s  13
poli in s1,2  2  4  13  2  j 3
  2   3
Usando la definizione: n  2 2  32  13

2


n
13
Esempio (esula dal problema della risposta allo scalino)
10
G s   2
s  4 s  13
poli in s1,2  2  4  13  2  j 3
2
3
Usando la definizione: n  2 2  32  13
 2


n
13
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
23
Casi notevoli
Essendo  



n
 2  2
1    1
In particolare
  0
  1 se 
Poli reali coincidenti as. stabili in –ωn
  0





 2

Infatti G s  2
2
2
s  2n s  n s  2n s  n s  n 2
  0
  1 se 
Poli reali coincidenti instabili in +ωn


0




 2

Infatti G s   2
2
2
s  2n s  n s  2n s  n s  n 2
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
24
  0 se   0 Poli immaginari coniugati in ±jωn
Infatti G s  



s 2  2n s  2n s 2  2n
In generale
0   1
se   0
 1    0 se   0
Poli complessi coniugati as. stabili
Poli complessi coniugati instabili
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
25
Esempio
1
G s  
1  2s  s 2
1.8
1.6
1.4
 1
n  1
1.2
1
 = 0.1
 = 0.3
 = 0.5
 = 0.7
 = 0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
26
Parametri caratteristici della risposta allo scalino
(in funzione di ωn e ξ)
ta 
5
5

 n
tempo d’assestamento
T
2
2

 n 1   2
periodo di eventuali oscillazioni
1

tp  T 
2


y p   1  e




tempo dell’eventuale primo picco



   1  e



A
%  100  100e
y




1  2

 100e




ampiezza dell’eventuale
primo picco

1  2
%
massima sovraelongazione
relativa percentuale
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
27
=0
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
tempo (s)
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
28
Massima sovraelongazione percentuale
100
90
80
70
%
60

50
%  100e
40

1  2
%
30
20
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

F. Previdi - Automatica - Lez. 8
29
Esempio
1
1
LC
G s  

2
R
1
1

sRC

s
LC
2
s  s
L
LC
Pulsazione naturale : n 
Smorzamento:   R C
2
L
FdT del circuito RLC
1
LC
In assenza della resistenza si ha un
oscillatore (smorzamento nullo)
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
30
Esempio
1
1
k
M
G s  

h
k
h
M 2
s2 
s
1 s 
s
M
M
k
k
Pulsazione naturale : n 
Smorzamento:   h
2
1
Mk
FdT del sistema massa molla
smorzatore
k
M
In assenza di attrito si ha un
oscillatore (smorzamento nullo)
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
31
9. Risposta allo scalino di sistemi di ordine superiore
al secondo
m

G s   g
s
 1  sT 
Rei   0
g0
i
i 1
n
as.stabile
 1  s 
i
i 1
Gs 
Y s  
s
L
1
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
yt 
32
Teorema valore iniziale (con g=0)
 
y 0  lim s
s 
G s 
s
0
se m  n
str. proprio
0
se m  n
non str. proprio
d i y 
 i 0  0 per i  0 , , r  1
dt
In generale:  i
 d y 0   0 per i  r
 dt i
 
 
dove r = n–m è il
grado relativo
Teorema valore finale
G s 
y    lim s
s 0
s

se g  0
0
se g  0
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
33
10. Approssimazione a poli dominanti
m

G s   g
s
 1  sT 
i
i 1
n
as.stabile
 1  s 
Rei   0
g0
i
i 1
Ipotesi: poli reali distinti 1   2     n
G s   0
1
2
n
Y s  




s
s 1  s1 1  s 2
1  s n
L
1
L
1
L
1
L
1
 n  t n
1  t 1  2  t 2
y t    0  e

e

e
1
2
n
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
34
Se fosse 1   2     n
 n  t n
1  t 1  2  t 2
y t    0  e

e

e
1
2
n
E’ possibile approssimare la risposta allo scalino con
quella di un sistema del I ordine con costante di tempo la
più lenta fra tutte le costanti di tempo del sistema.
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
35
I poli dominanti sono quelli più vicini
all’asse immaginario (poli “lenti”)
Im
Im
X
X
X
X
X
O
X
O
Re
X
Re
X
X
polo dominante reale
poli dominanti
complessi coniugati
L’approssimazione a poli dominanti consiste nel considerare
solo i poli dominanti (preservando il guadagno ed
eventualmente il comportamento iniziale)
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
36
Esempio
1
1
G s  
1  s 1  2s 1  15s 
0.9
0.8
0.7
Gˆ s 
0.6
Gˆ s  
G s 
0.5
1
1  15s 
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
80
tempo (s)
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
37
Esempio
12
7
G s   2
s  0.5s  1 s  7 
10

y(t)
8
Gˆ s  
6
4
1
s 2  0.5s  1
7
H s   2
s  0.5s  1
2
0
0

5
10
15
Time [s]
20
25
F. Previdi - Automatica - Lez. 8
Attenzione al
guadagno!
38