Jacquet modules of principal series

Jacquet modules of principal series
阿部 紀行(Noriyuki Abe)∗
Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo
Abstract.
We study the Jacquet module of principal series representations. Using the Bruhat
filtration, we can introduce a filtration {Vi } of the Jacquet module. In a special case, it
is proved that Vi /Vi−1 is isomorphic to the generalized Verma module.
1. Jacquet 加群
G を半単純 Lie 群とし,P = M AN を極小放物型部分群とその Langlands 分解とする.U を
G の既約表現とし,U がどのくらい主系列への埋め込みを許すかを考えよう.つまり,M の既約
表現 σ と A の既約表現 λ に対し,HomG (U, IndG
P (σ ⊗ λ)) がどのような構造を持つかを考える.
Frobenius 相互律により,
HomP (U, IndG
P (σ ⊗ λ)) ≃ HomP (U, σ ⊗ λ)
である.更に,σ ⊗ λ には N の Lie 環が自明に作用するから,
HomP (U, σ ⊗ λ) ≃ HomM A (U/nU, σ ⊗ λ)
となる.但し,n は N の Lie 環の複素化である.従って,上述の問題は U/nU の M A 加群として
の構造を決定することと同等となる.本論では,U が主系列表現の場合に U/nU を取り扱う.な
お,上では U が既約表現であるとしたが,以下では既約でない主系列表現も扱う.
少し記号を準備する.θ : G → G を Cartan involution とし,K を θ による固定部分群とする.
θ の微分 : g → g も同じ文字 θ で表す.G の Lie 環の複素化を g,g の普遍包絡環を U (g) と書く.
同じ記法をその他の Lie 群に対しても用いる.また,n = θ(n),N = θ(N ),p = θ(p),P = θ(P )
とおく.a 加群 V と,µ ∈ a∗ に対し,
Vµ = {v ∈ V | ある k が存在し,すべての H ∈ a に対し (H − µ(H))k v = 0}
とおく.
さて,改めて U を G の Harish-Chandra 加群,つまり g 加群として有限の長さを持つ (g, K)
加群とする.この時,U/nU を考えたいわけであるが,ここでは話の都合上その双対である
∗
[email protected] 日本学術振興会特別研究員(DC1)
1
(U/nU )∗ = {u ∈ U ∗ | nu = 0} = H 0 (n, U ∗ ) をその目標とする.ここで,U ∗ は代数的な双対であ
る.Casselman-Osborne の定理により U は U (n) 加群として有限生成であり,従って U/nU は有
限次元であるから,双対を考えることにより情報が失われることはない.
さて,関手 U 7→ H 0 (n, U ∗ ) は完全ではなく,従って少し扱いにくい.そのために次の Jacquet
加群(の双対)を導入しよう.
定義 1.1(Jacquet 加群[Cas80]
)
. Harish-Chandra 加群 U に対し,g 加群 J ∗ (U ) を
J ∗ (U ) = (U ∗ )n 有限 = {u ∈ U ∗ | ある k が存在し,nk u = 0}
と定義する.
定義から明らかなことであるが,H 0 (n, U ∗ ) = H 0 (n, J ∗ (U )) である.更に次が成り立つ.
事実 1.2.
(1)0 → V1 → V2 → V3 → 0 を Harish-Chandra 加群からなる完全列とする.この
時,0 → J ∗ (V3 ) → J ∗ (V2 ) → J ∗ (V1 ) → 0 も完全である.
(2)U を Harish-Chandra 加群とすると,全ての p に対し H p (n, U ∗ ) ≃ H p (n, J ∗ (U )) が成り
立つ.
2. Bruhat filtration
λ ∈ a∗ に対し,U (λ) = C ∞ -IndG
P (1 ⊗ λ) とおく.ここで,1 は M の自明表現である.U (λ)K
を U (λ) の K 有限なベクトル全体とした時,J ∗ (U (λ)K ) が本論の目標である.
U (λ) の各元を G/P 上の直線束の C ∞ 切断と見なした時,微分までこめた一様収束位相に
より U (λ) は Fr´
echet 表現となる.U (λ)′ でその連続な双対全体を表すことにしよう.U (λ)K
は U (λ) の中で稠密な部分空間を成すので,U (λ)′ ⊂ (U (λ)K )∗ と見なせる.また,定義から
J ∗ (U (λ)K ) ⊂ (U (λ)K )∗ であるが,この時次が成り立つ.
事実 2.1(Automatic Continuation theorem[Wal83]
)
. J ∗ (U (λ)K ) ⊂ U (λ)′ が成り立つ.
従って,J ∗ (U (λ)K ) の各元は,直線束に値を持つ distribution と見なせる.
J ∗ (U (λ)K ) を調べるために,Bruhat filtration[CHM00]を導入する.Σ を (g, a) に関する制
限ルート系とし,W を Σ に付随する小 Weyl 群とする,Σ+ を N に対応する正ルート全体とす
る.HomR (Lie(A), R) に,次の三条件を満たす全順序 > を一つ定めておく:(1)α > β ならば
α + γ > β + γ .(2)c ∈ R>0 ,α > 0 ならば cα > 0.(3)Σ+ = {α ∈ Σ | α > 0}.NK (a), ZK (a)
をそれぞれ K における a の正規化群及び中心化群とすれば,W ≃ NK (a)/ZK (a) である.w ∈ W
に対し,NK (a) における持ち上げを一つとって固定しておき,同じ文字 w で表すこととする.こ
の時,Bruhat 分解により G/P の N 軌道への分解は G/P =
∗
`
w∈W
N wP/P となる.
この幾何的な状況は,J (U (λ)K ) に次のような filtration をもたらす.W の元 w1 , w2 , . . . , wr
2
を,N wi P/P ⊂
S
j≤i
N wj P/P となるように並べておき,Vi ⊂ J ∗ (U (λ)K ) を


¯

¯

[
¯
Vi = u ∈ J ∗ (U (λ)K ) ¯ supp u ⊂
N wj P/P

¯

j≤i
と定める.但し,automatic continuation theorem を用いて,J ∗ (U (λ)K ) の各元を直線束に値を
とる distribution と見なした.Vr = J ∗ (U (λ)K ) であるから,{Vi } は J ∗ (U (λ)K ) の filtration を
定める.
3. 加群 Vi /Vi−1
さて,加群 Vi /Vi−1 を考察しよう.集合 wi N P/P を考えると,これは N wi P/P を含む G/P
の開集合であり,更に j < i に対し N wj P/P ∩ wi N P/P = ∅ となる.従って,D ′ (wi N P/P )
を wi N P/P 上の distribution 全体が成す空間とし,写像 Vi → D ′ (wi N P/P ) を制限により定
義するとその核は Vi−1 となる.従って,この制限写像は単射 Vi /Vi−1 → D ′ (wi N P/P ) を導
く.wi N P/P は wi N wi−1 と同相であるから,これにより以下 Vi /Vi−1 の元を wi N wi−1 上の
distribution と見なすこととする.Vi の元の台は
S
j≤i
N wj P/P に含まれることから,これらの
台は wi N wi−1 ∩ N に含まれる.
長くなるので,以下 wi N wi−1 を N wi と,また Lie 環 Ad(wi )n を nwi と書くこととする.N や
n を N ,n にしたものも同様に書く.N
′
D (N
wi
,N
wi
wi
上の distribution で N
′
∩ N ) とおく.先の議論により Vi /Vi−1 は D (N
wi
wi
,N
∩ N に台を持つもの全体を
wi
∩ N )n 有限 の部分空間と見
なすことができる.
よく知られた通り,D ′ (N
wi
,N
wi
∩ N ) ≃ U (nwi ∩ n) ⊗C D′ (N
wi
∩ N ) である.左辺の n 有限
wi
∩ n 有限な部分を調べること
wi
∩ N )(nwi ∩ n) 有限
なベクトルからなる部分空間を調べるわけであるが,都合により n
とする.このとき,次が成り立つ.
補題 3.1.
D′ (N
さらに D ′ (N
wi
wi
,N
wi
∩ N )(nwi ∩ n) 有限 ≃ U (nwi ∩ n) ⊗C D′ (N
∩ N )(nwi ∩ n) 有限 を調べることになるわけだが,これに関しては次が成り立つ.
補題 3.2. a ⊕ m ⊕ (nwi ∩ n) 加群として,同型
D′ (N
wi
∗
w
∩ N )(nwi ∩ n) 有限 ≃ ((U (a ⊕ m ⊕ (nwi ∩ n)) ⊗U (a⊕m) Ca⊕m
−(wi λ+ρ) ) )(n i ∩ n) 有限
が成り立つ.ここで,Ca⊕m
−(wi λ+ρ) は 1 次元 a ⊕ m 表現で,(H + X)v = −(wi λ + ρ)(H)v (H ∈ a,
X ∈ m,v ∈ Ca⊕m
−(wi λ+ρ) ) を満たすものである.
さて,補題 3.1 から,単射
Vi /Vi−1 ,→ U (nwi ∩ n) ⊗C D′ (N
3
wi
∩ N )(nwi ∩ n) 有限
(3.1)
を得る.
補題 3.3. 上の単射は同型である.
略証. 式 (3.1) の右辺を Mi とおく.µ ∈ a∗ に対し,補題 3.2 から dim(Mi )µ = U (n)µ+(wi λ+ρ)
が成り立つ.一方,Osborne 予想*1 により,U (λ)K の指標と (J ∗ (U (λ)K ))∗a 有限 の指標は「ほぼ」
一致する.Harish-Chandra による U (λ)K の計算とあわせることにより,dim J ∗ (U (λ)K )µ =
P
i
U (n)µ+(wi λ+ρ) が成り立つ.よって,各 a 重み空間の次元の比較から,式 (3.1) の写像は同型
でなければならない.
(証終)
よって次の定理を得る.
定理 3.4. Ad(wi )p 加群としての同型
Vi /Vi−1 ≃
∗
w
U (Ad(wi )p) ⊗U (a⊕m⊕(nwi ∩n)) ((U (a ⊕ m ⊕ (nwi ∩ n)) ⊗U (a⊕m) Ca⊕m
−(wi λ+ρ) ) )(n i ∩ n) 有限
が成り立つ.
4. λ が反支配的な場合
定理 3.4 は Vi /Vi−1 の Ad(wi )p 加群としての構造を示しているが,g 加群の構造に関する情報
に関しては何も述べていない.一般に Vi /Vi−1 の g 加群としての構造を書き下すのは難しい(と思
われる)が,λ が反支配的,つまりすべての α ∈ Σ+ に対し ⟨α, λ⟩ ≤ 0 を満たす場合は次のように
簡単に書き下すことができる.
まずは,準備として一般 Verma 加群を定義しよう.
定義 4.1(一般 Verma 加群). µ ∈ a∗ に対し,U (g) 加群 M (µ) を M (µ) = U (g) ⊗U (p) Cµ−ρ に
より定義する.ただし,Cµ−ρ は 1 次元 p 表現で,(H + X)v = (µ − ρ)(H) (H ∈ a,X ∈ m ⊕ n,
v ∈ Cµ−ρ ) により定義される.
以下,λ は反支配的および正則*2 であるとする.この時,W = {w1 , w2 , . . . , wr } を節 2 の条件に
加え,更に i < j ならば Re wi λ > Re wj λ であるように選ぶことができる.次が成り立つ.
定理 4.2. λ が反支配的かつ正則ならば,Vi /Vi−1 ≃ M (−wi λ) が成り立つ.
証明のために,まずは主系列の間の標準的な準同型を思いだそう.wi N P/P 上の distribution δiλ
を次の式により定義する.
Z
⟨δiλ , φ⟩
*1
*2
=
wi N wi−1 ∩N
Hecht と Schmid[HS83]により証明されている.
すべての w ∈ W に対し,wλ ̸= λ.
4
φ(nwi )dn.
ここで,φ は wi N P/P 上のコンパクトな台を持つ C ∞ 関数である.定義から,δiλ の台は N wi P/P
に含まれる.またよく知られてる通り,nδiλ = 0 であり,従って δiλ ∈ Vi /Vi−1 と見なせる.
X ∈ m ⊕ n に対し Xδiλ = 0,H ∈ a に対し Hδiλ = −(wi λ + ρ)(H)δiλ であることと,定理 3.4 に
より,次を示せば十分である.
補題 4.3. U (n)δiλ = Vi /Vi−1 .
補題 4.3 の証明には,次の事実を使う:λ が支配的ならば,dim U (λ)K /nU (λ)K = #W .(たとえ
G
ば,Kostant[Kos75]
)wr が最も長い Weyl 群の元であることに注意し,この事実を dim IndP
(1 ⊗
−wr λ)K /n IndG
(1⊗−wr λ)K = #W の形で用いる.wr で共役をとることで,IndG
(1⊗−wr λ) ≃
P
P
U (−λ) が成り立つので,dim U (−λ)K /nU (−λ)K = #W .ここで,次の事実を用いる.
補題 4.4.
(1)Jbn (U ) = lim U/nk U とおいた時,Harish-Chandra 加群 U に対し同型 Jbn (U ) ≃
←−k
∗
∗
∗
Jbn (J ∗ (UK
))
が成り立つ.特に,
U/nU ≃ J ∗ (UK
)/nJ ∗ (UK
).
有限
有限
有限
(2)(U (−λ)K )∗K
有限
≃ U (λ)K .
従って,dim J ∗ (U (λ)K )/nJ ∗ (U (λ)K ) = #W である.この事実が補題 4.3 の証明の鍵となる.
δiλ の Vi への持ち上げ vi を vi ∈ J ∗ (U (λ)K )−(wi λ+ρ) ととる.この時,vi ̸∈ nJ ∗ (U (λ)K ) を
P
∗
∗
示そう.vi =
k uk xk (uk ∈ n,xk ∈ J (U (λ)K )) とかけたとする.ある µk ∈ a が存在し,
xk ∈ J ∗ (U (λ)K )µk であるとして良い.この時,µk > −(wi λ + ρ) である.よって wi の条件から
j > i に対し (Vj /Vj−1 )µk = 0.これから xk ∈ Vi−1 となり,vi ∈ Vi−1 となって矛盾する.
P
∗
∗
さて,補題 4.3 を証明しよう.V =
i U (n)vi ⊂ J (U (λ)K ) とおく.V = J (U (λ)K ) を
示せばよい.V ′ = J ∗ (U (λ)K )/V とおく.完全系列 0 → V → J ∗ (U (λ)K ) → V ′ → 0 から,
V /nV → J(U (λ)K )/nJ ∗ (U (λ)K ) → V ′ /nV ′ → 0(完全).vi ̸∈ nJ ∗ (U (λ)K ) は V /nV の像の
次元が #W 以上であることを意味するから,dim J ∗ (U (λ)K )/nJ ∗ (U (λ)K ) = #W とあわせて
V ′ /nV ′ = 0 である.
V ′ は J ∗ (U (λ)) の商であり,従って圏 O′ の対象となる.つまり,
• V ′ は有限生成 U (g) 加群.
• V ′ の全ての元は p 有限.
• U (g) の中心を Z(g) とすると,AnnZ(g) V ′ は有限余次元.
が成り立つ.V ′ ̸= 0 としよう.この時,{Re µ | (V ′ )µ ̸= 0} は空でなく上に有界である.その最
大値を与える µ を一つとると,(V ′ )µ ∩ nV ′ = 0 が成り立ち,従って V ′ /nV ′ ̸= 0 となり矛盾する.
従って V ′ = 0.
参考文献
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6