DEBER Nº 1 FUNCIONES Y GRÁFICAS 1. Describa (en palabras) la regla de correspondencia que define a cada una de las funciones dadas y encuentre su dominio (compruebe los resultados analizando la gráfica) 1 1 a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −5 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +𝑥−2 𝑥 d) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 𝑥 − 1 c) 𝑓(𝑥) = (𝑥−1)(2−𝑥) e) 𝑓(𝑥) = 1 f) 𝑓(𝑥) = √ √𝑥 2 +1 g) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5) 2⁄ 3 1⁄ 2 + (𝑥) +𝑥 𝑥 2 −1 √𝑥−2 5𝑥 − 10, 𝑠𝑖 |𝑥| ≤ 4 h) 𝑔(𝑥) = { −𝑥, 𝑠𝑖 4 < 𝑥 < 6 2. Hallar el recorrido de las siguientes funciones. Use la gráfica: a) ℝ→ℝ 𝑓: { 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 2 c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 2𝑥 2 −32 e) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 4| g) 𝑓(𝑥) = i) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 1) √𝑥 2 − 1 3𝑥 + 4 [0, +∞[ → ℝ b) 𝑓: { 𝑥 → 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4 ℝ\{−1} → ℝ d) 𝑓: { f) 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥| h) 5𝑥 − 10 𝑠𝑖 |𝑥| ≤ 4 𝑔(𝑥) = { −𝑥 𝑠𝑖 4 < 𝑥 < 6 j) 𝑔(𝑥) = 2−𝑥 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 𝑥+1 3. Relacione la función racional dada con su gráfica, entre las que aparecen en las figuras. 1 a) 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)(𝑥−2) c) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 2 +1 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −9 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 𝑥 3 −1 4. Encuentre el dominio y el recorrido de cada una de las siguientes funciones definidas por partes. Describa en palabras la regla de correspondencia. A partir de la gráfica compruebe los resultados obtenidos. a) 𝑓(𝑥) = { 1 − 𝑥 𝑠𝑖 |𝑥| > 2 𝑥 2 𝑠𝑖 |𝑥| ≤ 2 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1 b) 𝑓(𝑥) = {𝑥 2 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 8𝑥 1/2 𝑠𝑖 𝑥 > 4 |𝑥| c) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 1 𝑠𝑖 𝑥 = 0 d) 𝑔(𝑟) = |𝑟 2 − 5𝑟 + 6| FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS Y FUNCIONES INVERSAS 5. En cada uno de los siguientes casos, demuestre o refute que la función 𝑓 es una función biyectiva. En el caso que se cumpla la biyectividad precisar 𝑓 −1 calculando 𝑓 −1 (𝑥). Represente gráficamente 𝑓(𝑥) y 𝑓 −1 (𝑥) en el mismo sistema de coordenadas. a) 𝑓: ℝ+ ∪ {0} → ℝ+ ∪ {0}, 𝑓(𝑥) = 𝑥 1⁄ 2 b) 𝑓: [−1,1] → [0,1], 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 2 c) 1, 𝑠𝑖 𝑥 < −2 𝑓: ℝ → ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = { 𝑥, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 2 6. En las siguientes relaciones, determinar el dominio y recorrido de manera que sean funciones biyectivas. Determine la función inversa en cada caso. a) 𝑓(𝑥) = 3+4𝑥 3−𝑥 b) 𝑓(𝑥) = +√16 − 𝑥 2 3 c) 𝑓(𝑥) = − 4 √4 − 𝑥 2 𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 7. Sea 𝑓: ℝ → ℝ definida por: {𝑥 + 2, 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1 Probar que 𝑓 es biyectiva y calcular la 2𝑥 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 función inversa. 2 FUNCIONES: APLICACIONES 8. Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos anuales son $100 000. Elabore la función de la utilidad expresada en términos de 𝑥, el número de unidades producidas y vendidas. ¿Cuál es la utilidad si las ventas anuales son 20 000 unidades? 9. Posibilidades de producción Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la próxima semana se tienen disponibles 120 horas de trabajo para producir los dos productos. Es posible asignar horas de trabajo de fabricación para cualquiera de los dos productos. Además, puesto que ambos productos generan buenas utilidades, a la gerencia le interesa aprovechar el total de 120 horas durante la semana. Cada unidad producida del producto A requiere tres horas de trabajo y cada unidad del producto B requiere 2.5 horas. a) Defina una ecuación que indique que el total de horas de trabajo empleadas para producir 𝑥 unidades del producto A y 𝑦 unidades del producto B es igual a 120. b) ¿Cuántas unidades del producto A se pueden fabricar si se producen 30 unidades del producto B? Si la gerencia decide producir solo un producto, ¿cuál es la cantidad máxima que se puede fabricar del producto A? ¿El máximo del producto B? 10. Funciones cuadráticas del ingreso Suponga que la ecuación de la demanda de un producto es 𝑞 = 𝑓(𝑝) o bien 𝑞 = 1500 − 50𝑝 donde 𝑞 representa la cantidad demandada en miles de unidades y 𝑝 es el precio en dólares. Se expresa el ingreso total 𝑅 de la venta de 𝑞 unidades como el producto de 𝑝 y 𝑞, esto es 𝑅 = 𝑝𝑞 = 𝑝 ∙ 𝑓(𝑝). Determine la función cuadrática del ingreso total. ¿Cuál es la concavidad de la función? ¿Cuál es la intersección de 𝑞? ¿Cuál es el número de unidades que se deben vender para que el ingreso que se obtiene sea máximo? 11. Cobranzas de tarjeta de crédito. Un banco importante ofrece una tarjeta de crédito que se puede usar nacional e internacionalmente. Los datos recopilados con el paso del tiempo indican que el porcentaje de cobranza para el crédito emitido en cualquier mes es una función exponencial del tiempo desde que se otorgó el crédito. Específicamente, la función que hace una aproximación de esta relación es 𝑃 = 𝑓(𝑡) = 0.92(1 − 𝑒 −0.05𝑡 ) 𝑡≥0 Donde 𝑃 equivale al porcentaje de cuentas por cobrar (en dólares) 𝑡 meses después que se otorgó el crédito. a) ¿Qué porcentaje se espera que se cobre después de 1 mes? b) ¿Qué porcentaje se espera luego de 3 meses? c) ¿A qué valor se aproxima 𝑃 conforme 𝑡 aumenta sin límite? 12. En la planeación de una cafetería, se estimó que la ganancia diaria es de $16 por lugar si se tienen de 40 a 80 lugares de capacidad. Sin embargo, si se cuentan con más de 80 lugares, la ganancia diaria por cada lugar disminuirá en $0.08 veces el número de lugares que exceden a 80. Encuentre un modelo matemático que exprese la ganancia diaria como una función del número de lugares de la cafetería.