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U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 1 TRABAJO PRÁCTICO N° 1: FUNCIONES Ejercicio n° 1: Defina con sus palabras los siguientes conceptos: a) b) c) d) e) f) g) h) Relación entre conjuntos Función Conjunto dominio Conjunto imagen Par ordenado Función inyectiva Función sobreyectiva Función biyectiva Ejercicio n° 2: En cada caso indique si la representación corresponde o no a una función, en caso afirmativo, clasifíquela y en caso negativo mencione cuál es la condición que no se cumple. Ejercicio n°3: En cada caso indique si el gráfico corresponde o no a una función de R R. En caso afirmativo, clasifíquela y en caso negativo mencione cuál es la condición que no se cumple. Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 2 Ejercicio n°4: Teniendo en cuenta el conjunto de partida y el conjunto de llegada de cada una de las siguientes funciones, clasifíquelas en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. h : 0; 0; i : 0; f : g : Ejercicio n°5: En cada una de las siguientes funciones, identifique intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Ejercicio n°6: Indique el dominio de cada una de las siguientes funciones. (a) f ( x) x 1 (b) f ( x) x 2 3 (c) f ( x) 1 x2 (d) (e) (f) 2x x 1 2 f ( x) x3 1 f ( x) x 4 f ( x) 2 Ejercicio n°7: Un equipo de investigadores observó el crecimiento de una planta durante un cierto período de tiempo y registran las mediciones realizadas en un gráfico como el que sigue: Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 3 (a) Completar el siguiente cuadro con los datos del gráfico anterior Días 1 4 5 6 9 13 17 19 23 25 30 Altura (b) Expresar mediante intervalos el Dominio y la imagen de esta función. Ejercicio n°8: Considerando las funciones siguientes f ( x) 2 x 5 g ( x) 3 4 x j ( x) 2 x k ( x) x 3 5 h( x ) x 3 l( x) ( x 2)2 hallar, cuando sea posible, los valores de x o y para que las siguientes igualdades sean verdaderas: 2 a) b) c) f(-4) = y f(x) = - 2 g(x) = 19 d) e) f) g(0) = y h(x) = -1 j(3/2) = y g) h) i) j(x) = - 4 k(x) = - 1 l(10)=y Ejercicio n°9: Dada la función f: R R / f(x) = - 3x + 2, se pide: a) Calcule f (5), f (-3), f (0) y x para que f(x)=-1 b) Determine Dominio e Imagen. c) Represente gráficamente. FUNCIONES LINEALES Ejercicio n°10: Represente gráficamente las siguientes funciones lineales utilizando su pendiente y ordenada al origen una tabla de valores. f(x) = 2x – 3 g(x) = 2 – 0,5x h(x) = - 0,75x i(x)= x – 2 j(x) = 1,5x – 2 l(x)= ½ x + 1 Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 4 Ejercicio n° 11: Escriba la fórmula de cada una de las siguientes funciones lineales Ejercicio n°12: Un líquido es expuesto al calor y su temperatura comienza a aumentar a razón de 2 grados por minuto. a) Halle la fórmula que relaciona la temperatura T del líquido (en °C) en función al tiempo t transcurrido en minutos sabiendo que la temperatura inicial es de 15°C. b) Represente gráficamente la función. c) Defina Dm e Im. Ejercicio n° 13: Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontró que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0.192. a) Encuentre la función lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C. b) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260? Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 5 Ejercicio n°14: Al quemar combustibles fósiles se libera a la atmósfera una gran cantidad de monóxido de carbono (CO), sin embargo la concentración de CO se mantiene gracias a los microorganismos que absorben rápidamente CO y lo convierten en CO2. En un experimento con filtros de aire se logró reducir de 1443 g de CO a 47 g en 3 horas. Si el decrecimiento es lineal, se pide: a) Halle la expresión C = at + b, donde C es la masa de CO que queda en el ambiente en g luego de t horas. b) Grafique la situación. c) Defina Dm e Im. Ejercicio n°15: Consideremos un experimento con un resorte como el que se muestra en la figura. La longitud es de 6 cm. Al colocar en su extremo una masa M, su longitud L aumenta. La tabla siguiente muestra los valores de L para diversos valores de M: M(g) 0 100 200 300 400 L(cm) 6 9 12 15 18 A partir de estos datos, se pide: a) Encuentre la expresión L=aM + b que representa la variación de la longitud L del resorte en función a la masa M añadida a su extremo. b) Calcule la longitud si la masa es de 150 gramos. c) Calcule la masa si la longitud del resorte alcanza los 20cm. d) Grafique la situación Ejercicio n° 16: La evolución de un tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la regeneración de tejidos sigue un comportamiento lineal, cuya variable independiente corresponde al número de días en que el organismo regenera en milímetros cuadrados sus tejidos. Según antecedentes clínicos, al primer día no hay tejidos regenerados, sin embargo al cabo de 10 días se comprueba que, hay 4.5 milímetros cuadrados de tejidos regenerados. Determine a) La función lineal que describe el problema. b) La cantidad de tejido regenerado, cuando han transcurrido 30 días. c) El tiempo aproximado para obtener una evolución en el tejido de 100 milímetros Ejercicio n° 17: La regla de Cowling es un método para calcular dosis pediátricas. Si a denota la dosis para un adulto (en mg) y t es la edad del niño (en años), entonces la dosis infantil está dada por a) Grafique la función para distintos valores de a. ¿Cómo influye este valor en el comportamiento de la función D? Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 6 b) Si la dosis de un adulto es de 500mg ¿Cuál es la edad de un niño cuya dosis pediátrica alcanza los 125mg? Ejercicio n°18: Dada las siguientes rectas R1: y = 2x – 3 R2: y = 2 – 0,5x R3: y = - 0,75x se pide: a) Represente gráficamente cada una utilizando su pendiente y ordenada al origen. b) Represente una paralela y una perpendicular a cada una. c) Escriba la ecuación implícita y segmentaria de cada una. Ejercicio n°19: A partir de los siguientes datos: P=(1; -2) Q=( – 3; 3) m= – 1,5 b=2 R1: 2x – 4y + 1=0 R2: x + y – 2 = 0 Se pide, en cada caso la ecuación de la recta que cumpla con las condiciones indicadas a) Que pase por P y tenga pendiente m. b) Que pase por Q y sea paralela a R2. c) Que pase por P y Q d) Que pase por P y sea paralela a R1. e) Que pase por Q y sea perpendicular a R2. f) Que tenga pendiente b y que pase por P. g) Grafique todas las rectas. Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 7 FUNCIONES CUADRÁTICAS Ejercicio n°20: Indique la ecuación de cada una de las siguientes parábolas graficadas. Ejercicio n°21: Represente gráficamente las siguientes funciones cuadráticas indicando raíces, eje de simetría, ordenada al origen y coordenadas del vértice. f(x)= 2x 2 +12x+16 g(x)= -0,5x 2 +1,5x+2 h(x)= 4 – x 2 i(x)= x 2 +2x Ejercicio n°22:Un investigador en fisiología establece que la función r(s) = −s2 + 12s − 20 es un modelo matemático que describe el numero de impulsos emitidos por una persona, después que se ha estimulado un nervio. La variable s es el número de segundos transcurridos desde que es estimulado el nervio. Graficar la función e interpretarla en el contexto del problema. Ejercicio n°23:Un biólogo introduce una cierta cantidad de peces en un ecosistema para estudiar la reproducción de los mismos. Para ello, analiza la población p del cardumen en función al tiempo y la misma variaba según la siguiente expresión: p 2.5t 2 20t 50 , donde “t” es el tiempo en semanas. Teniendo en cuenta la situación planteada se pide: a) b) c) d) Grafique la situación ¿Cuántos peces introdujo en biólogo al iniciar su investigación? Interprete una raíz. Interprete las coordenadas del vértice Ejercicio n°24: La temperatura en una ciudad varía según la siguiente expresión f(t) = -0,35t 2 + 7,7t - 7,35 , donde f(t) es la temperatura en grados centígrados y t el tiempo en horas. A partir de estos datos se pide: a) Grafique la situación. b) ¿Cuál es la temperatura a las 20:00 horas? Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 8 c) Interprete las coordenadas del vértice. d) Interprete las raíces. Ejercicio n°25:Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba y su altura h, está en función al tiempo t desde el momento en que fue lanzado según la siguiente expresión: h(t)= -0,5t2+1,5t+2 a partir de esta información se pide: a) b) c) d) Grafique la situación. Calcule e interprete la ordenada al origen. Calcule e interprete la raíz positiva. Calcule e interprete las coordenadas del vértice. Ejercicio n° 26: El consumo de oxígeno, en mililitros por minuto, para una persona que camina 5 5 a x kilómetros por hora, está dada por la función 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 2 + 3 𝑥 + 10 , mientras que el consumo de oxígeno para una persona que corre a x kilómetros por hora, está dada por g(x) = 11x + 10. (a) Trace las graficas de f y g (en un mismo plano cartesiano). (b) .A qu´e velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y para otra que corre? (c) .Qué sucede con el consumo de oxígeno para ambas personas a velocidades mayores que la determinada en la parte (b)? FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARÍTMICAS Ejercicio n°27: Grafique las siguientes funciones exponenciales indicando su asíntota h( x ) 0,75.( 0,25) x 1 g( x) 3.2 x x 2 f ( x) +1 3 i( x ) 2.( 0,75) 2 x Ejercicio n°28:Encuentren la fórmula de función exponencial f(x) = k.ax que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso: a) Pasa por el punto (0; 3) y a= ½ b) k = 0,001 y pasa por el punto (3 ; 1) c) a= 5/4 y corta al eje de las ordenadas en y=6 Ejercicio n°29:Existen sustancias químicas que en condiciones normales de presión y temperatura se evaporan. Tenemos 4 litros de una sustancia que evapora en forma continua la mitad de su volumen por hora. Tiempo (h) Volumen (litros) 0 4 1 2 2 3 4 5 Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval 6 U.Na.F. - Facultad de Ciencias de la Salud Licenciatura en Bromatología - Técnico en Laboratorio Cátedra: Matemática I 9 a) Completen el cuadro y grafiquen b) Encuentren la expresión que relacione el volumen del líquido V con el tiempo transcurrido t. c) ¿Al cabo de cuánto tiempo quedarían 0,0625 litros? d) ¿Qué volumen del líquido quedaría luego de un día entero? Ejercicio n°30:En un laboratorio se está estudiando el comportamiento de una población de bacterias y se ha comprobado que a temperatura ambiente se reproducen de manera muy acelerada, duplicándose cada 20 minutos. En cierto momento se contabilizaron 64 ejemplares. a) ¿Cuántas bacterias había dos horas antes? b) ¿Cuántas habrá dos horas después? c) ¿Cuántas se sumarán durante la primera hora, a partir de ese momento? ¿Y en la segunda? ¿Y en la tercera? Ejercicio n°31:En cierto cultivo se reproducen bacterias que se triplican diariamente. Calculen cuántas habrá al cabo de cinco días: a) Si inicialmente hay una bacteria b) Si se comienza con 500 bacterias. Ejercicio n°32:Se tiene una muestra de 128 gramos de una sustancia radiactiva (torio-234), cuya masa se reduce a la mitad en aproximadamente 24 horas. a) Calcule la masa aproximada que quedará al cabo de 100 días y al cabo de 200 días. b) Calcule el tiempo aproximado que habrá transcurrido cuando queden 2 gramos. Ejercicio n°33: Apliquen la definición de logaritmo para resolver las siguientes ecuaciones. a) log3 X = 4 b) log2(½) = X c) log3 (X + 2) = 2 d) 2. log4 X = – 4 e) log12 (2X – 6) + 3 = 3 f) – 3.log3 X2 – 8 = – 14 Ejercicio n°34: Grafique las siguientes funciones logarítmicas indicando su asíntota f ( x) log2 ( x 1) g( x) log0,25 ( x 3) h( x) log(2 x 4) i( x) log 2 ( x 2) 3 Ejercicio n°35:Para la datación de restos arqueológicos se utiliza el C-14. Éste isótopo radiactivo del carbono se desintegra con una velocidad tal que su masa se reduce a la mitad en aproximadamente 5730 años. Se encuentra un fósil y se calcula que cuando estaba vivo contenía 2,5 mg de C-14. Al realizarse las mediciones en los restos, se encuentran 0,083 mg de dicho isótopo. ¿Qué edad aproximada tiene el fósil? Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 10 TRABAJO PRÁCTICO N° 2: MATRICES Ejercicio n° 1: Dada la siguiente matriz: 1 0 7 A 1 / 2 4 4 3 / 4 1 / 3 10 Indique los valores de los siguientes coeficientes a12 : a33 : a21 : a23 : a32 : a22 Ejercicio n° 2: Construya una matriz A2x3 de manera tal que: aij 0 si i j aij 1 si i j Ejercicio n° 3: Durante cinco días se mide la temperatura del ambiente en tres momentos del día. Sea tij la temperatura en el instante i-ésimo y en el día j-ésimo, por ejemplo a23 es la temperatura en el segundo instante del tercer día. Construya la matriz T 3x5 de las medidas. Ejercicio n° 4: Efectúe las siguientes operaciones elementales entre filas: 1 0 2 ( 2)F2 2 1 3 10 2 25 (1 / 2)F1 2 1 3 1 0 2 F2 3F1 2 1 3 Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 3 2 1 0 3 1 / 7 2F1 ( 3)F3 2 5 10 11 Ejercicio n° 5: Dada las siguientes matrices 1 3 1 A 4 5 1 / 2 ; 3 4 3 4 1 0 B 4 3 1 1 8 7 Se pide: a) b) c) d) e) f) g) h) Calcule A + B Calcule A – B Calcule 3.A Calcule – 2.B Calcule ½ .A – 4.B Calcule At Compruebe que (2.At) = 2. At Compruebe que (A + B)t = At + Bt. Ejercicio n° 6 : Dadas las matrices 1 2 3 A 3 4 y B 1 5 6 4 p halle la matriz D r t 2 5 , 3 q s de tal manera que: A + B + D = 0(*) u 0 0 0 0 0 0 (*) Por abuso de notación utilizaremos 0 para indicar la matriz nula, en este caso 0 representa la matriz Ejercicio n° 7: Dada las siguientes matrices y1 x1 z1 A ; B ; C ; halle 3A – B + C y2 x2 z2 Ejercicio n° 8: A y B son dos laboratorios que producen los medicamentos X e Y. Cada uno gana $9 por unidad vendida del producto X y $7,5 por cada unidad vendida del producto Y. Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 12 En las siguientes matrices se indican las unidades vendidas por cada laboratorio durante los meses de Septiembre y Octubre X S: Y A 120 130 B 210 410 X O: Y A 210 140 B 320 810 a) Halle la matriz suma Z = S + O b) Interprete el significado de los elementos de la matriz Z. c) Interprete el significado del elemento ubicado en la posición “uno dos” de Z. d) ¿Cuál ha sido el importe de ventas del laboratorio A durante los dos meses? e) ¿Cuál es el importe total por ventas del producto Y? Ejercicio n° 9: Dadas las siguientes matrices 1 0 x 2 2 A 1 2 y 1 1/ 3 0 2 1 7 1 0 B1 y 1 / 3 0 2 1 Calcule el valor de y y los valores de x sabiendo que A=B. Ejercicio n° 10: Realice los siguientes cálculos cuando sea posible a) 1 2 0 3 5 0,5 10 2 7 3 3 4 1 0 b) 0 1 3 2 1 3 c) 5 85 1 3 4 15 28 0 3 2 1 2 15 Ejercicio n° 11: Consideren las siguientes matrices: 2 1 A 0 3 0 4 3 2 1 B 4 0 1 y calculen: Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología a) At + Bt 13 b) (At)t c) At.Bt d) (B.A)t Ejercicio n° 12: Dadas las siguientes matrices 1 2 0 1 M N 1 3 2 3 Calcule: a) M2 + N2 b) (Mt)2 c) (M2)t Ejercicio n° 13: Los consumos anuales de cuatro familias A, B, C y D de pan, carne y leche se muestran en la matriz P. Los precios de esos mismos productos en los años 2000, 2001, 2002 y 2003 se muestran en la matriz Q. pan carne leche A 400 150 128 B 540 240 150 P C 120 80 201 D 600 100 115 2000 2001 2002 2003 pan 1.20 1.50 1.60 2 Q leche 4 6 6 8 carne 1 1.20 1.30 1.70 halle la matriz R= P.Q e interprete el significado de sus elementos. Ejercicio n° 14: Suponga que cuenta con las matrices AR2x3 ; BR3x1 y CR3x1 Indique el orden de las matrices que resultan de las siguientes operaciones completando la tabla, si es escalar escríbalo en la celda correspondiente como así también si la operación no es posible. Operación A.B B.A At.B Ct . B A.At.B Orden Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 14 TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: DETERMINANTES Ejercicio n° 1: Calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices: 5 3 4 1 0, 5 4 2 1 D 10 6 8 1 3 C 0 4 8 B A 0 2 2 5 1 5 7 1 2 4 1 2 E 0 1 3 7 5 4 2 0 0 0 3 4 2 F 0 5 0 G 0 6 8 5 0 0 3 0 5 7 5 Ejercicio n° 2: Halle en cada caso el valor de K sabiendo que los siguientes determinantes son nulos: 1 2k k 8 a) 3 1 ; b) 4 2 k ; c) 1 4 k ; d) k 3 1 5 k 1 Ejercicio n° 3: Dada la siguiente matriz 1 0 1 A 4 4 2 2 1 2 Calcule det (A) y, aplicando propiedades, calcule los siguientes determinantes. 0 1 2 1 2 2 4 1 7 5 9 7 14 0 0 4 1 12 12 6 4 4 2 1 4 0 19 2 0 11 0 0 1 2 2 2 1 2 1 0 1 2 2 1 7 5 9 1 8 0 1 4 2 1 Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 15 Ejercicio n° 4: Calcule los determinantes de las siguientes matrices: a) Aplicando la regla de Chio; b) A través de los elementos de una línea. 1 1 / 2 A 2 1 0 1 2 2 1 2 7 6 3 1 2 0 4 4 B 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 5 4 0 0 Ejercicio n° 5: Calcule cada uno de los siguientes determinantes por los tres métodos aprendidos 1 2 1 4 6 10 1 1 3 1 1 3 15 1 1 2 1 1 2 8 12 20 3 0 0 3 1 Ejercicio nº 6: Halle el valor de X : 1 x 0 2 0 x 0 2 0 4x 0 Ejercicio nº 7: En cada caso calcule sabiendo que |A – .I|=0 y siendo 2 0 2 A 1 1 0 a) 2 8 4 b) 0 0 2 A 1 0 0 2 8 4 Ejercicio n° 8: Dada las siguientes matrices 1 0 2 4 1 2 4 7 A 0 0 3 ; B 1 2 3 ; C 8 3 4 5 2 1 2 2 Halle: Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología a) AdjA 16 b) AdjB c) AdjC Ejercicio n° 9: Halle la inversa de las siguientes matrices y verifique el resultado. 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 0 0 A 0 3 4 B 1 2 3 I 0 1 0 D 1 2 3 4 5 2 0 0 1 4 0 1 3 0 1 Ejercicio nº 10: Sea A K nxn y 3 3 E 5 1 Det ( A) 0 , calcule Det ( A A 1 ) Ejercicio nº 11: Obtenga las matrices inversas de A y B siendo: 1 0 A a 1 a 0 B 0 b Ejercicio n° 12: Dada las siguientes matrices 1 0 3 2 A 0 4 2 V 4 3 2 1 1 Calcule |A + V.VT| Calcule |A| + | V.VT| Ejercicio n° 13 : Calcule el rango de las siguientes matrices 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 0 0 A 0 3 4 B 1 2 3 I 0 1 0 D 1 2 3 4 5 2 0 0 1 4 0 1 3 0 1 Ejercicio n° 14: Calcule por el método de Gauss el rango de cada una de las siguientes matrices a) 2 1 0 7 1 0 1 3 3 2 7 7 b) 1 4 3 12 2 1 1 0 1 6 3 0 1 3 1 2 Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 17 TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio nº 1: Resuelva los siguientes sistemas utilizando la regla y el Teorema de Cramer: a) b) 2 x1 x 2 2 x 3 1 x1 x 2 x 3 2 2 x x x 5 2 3 1 x 2 y 4 11 2 x y 2 2 x1 x2 9 c) 5 x 2 x 27 2 1 3 x1 2 x2 x3 1 x1 x3 5 x2 1 d) x x 2x 3 0 3 1 2 Ejercicio n° 2: Calcule el valor de la incógnita X1 del siguiente sistema: 2 x1 3 x2 x3 2 x4 6 5 x 2 x x 2 x 3 2 3 4 1 x2 x1 3 x4 2 x3 1 0 3x1 4 x2 3x3 3 x4 2 2 Ejercicio n° 3: Sin efectuar ningún cálculo encuentre una solución del siguiente sistema 3 x1 2 x2 x3 0 x1 x3 5 x2 x x 3 2 x 3 3 1 2 Ejercicio n° 4: En un laboratorio se desea preparar una mezcla de avena y maiz para alimentar un ganado. Cada onza de avena contiene 4g de proteínas y 18g de carbohidratos. Una onza de maiz contiene 3g de proteínas y 24g de carbohidratos. Indiquen cuántas onzas de cada cereal debe incluir la mezcla para cumplir con los requisitos nutricionales de 200 g de proteínas y 1320 g de carbohidratos por comida. Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 18 Ejercicio n° 5: Un laboratorio elabora 2 tipos de droga A y B y dispone para ello de dos máquinas centrifugadoras I y II. Cada unidad de la droga A requiere 10hs de procesamiento en la máquina I y 15hs en la máquina II .Cada unidad del producto B para su culminación requiere 5hs en la I y 15hs en la II .Si solamente se puede colocar una unidad por máquina y la máquina I funciona 13 horas diarias y la máquina II las 24 horas ¿cuántas unidades de cada droga producirá el laboratorio en una semana (5 días)? Ejercicio n° 6: El laboratorio Raffo fabrica tres versiones de analgésicos: A, B y C. Cada mg de la versión A contiene 80% de Paracetamol, 15% de Pseudoefedrina y 5% de Bromhexina, en tanto que 1mg del B tiene 85% de Paracetamol, 10% de Pseudoefedrina y 5% de Bromhexina, mientras que el C contiene por cada mg las respectivas drogas en un 75, 10 y 15%. Si el laboratorio tiene en stock 400.5mg de Paracetamol, 57.5mg de Pseudoefedrina y 42mg de Bromhexina, determine qué cantidad de cada tipo de medicamento puede fabricar utilizando todo el stock. Ejercicio n° 7: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss-Jordan y el teorema de Rouché-Frobenius 2 x1 x2 11x3 33 x1 2 x3 7 a) x1 x2 5 x3 12 7 x 2 x 11 1 2 4 x1 x2 5 x3 10 x1 2 x2 x3 1 b) 5 x x 4 x 3 3 1 2 x1 x2 2 x3 x4 3x5 1 2 x1 x2 2 x3 x4 6 x5 2 c) 3 x1 2 x2 4 x3 3x4 9 x5 3 Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 19 TRABAJO PRÁCTICO N° 5 PROGRAMACIÓN LINEAL Ejercicio nº 1: Dibuje el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones e indique si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior. y 3 y x 1 y 3x 0 Ejercicio nº 2: Maximice la función z = x + y, sujeta a las siguientes restricciones: x 3 y 26 4 x 3 y 44 2 x 3 y 28 x 0 y 0 Ejercicio n° 3: Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Ejercicio n° 4: Una fábrica produce dos tipos de artículos, A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas, M1 y M2. El artículo A necesita 2 horas de trabajo de la máquina M1 y 1,5 horas de la máquina M2. El artículo B, 1,5 horas, y 1 hora, respectivamente. Cada máquina está funcionando, a lo sumo, 40 horas semanales. Por cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de $250, mientras que por cada unidad del artículo B es de $150. ¿Cuántas unidades de A y cuántas de B deben fabricarse semanalmente para obtener el beneficio máximo? Ejercicio n° 5: Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval Facultad de Ciencias de la Salud Carreras: TLAC y Licenciatura en Bromatología 20 grande proporciona un beneficio de $2 y la pequeña de $1. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? Año Académico 2015 TITULAR a cargo: Prof. Jorge Mora JEFES DE TRABAJOS PRÁCTICOS: Prof. Luis Villalba Cantero – Prof. Enrique Sandoval
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