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Instituto Tecnológico de Sonora
Ciudad Obregón, Sonora.
Análisis Estructural, Plan de Estudios 2009
Ing. Jesús Horacio Zazueta Villaseñor
MÉTODO DE LA RIGIDEZ PARA ARMADURAS PLANAS
1
Ing. Jesús Horacio Zazueta Villaseñor
E-mail: [email protected]
Supuestos para el análisis estructural de armaduras planas
McCormac (2002) define a las armaduras como «una estructura formada por un grupo de
elementos estructurales dispuestos en forma de uno o más triángulos», sin embargo, las
armaduras pueden ser simples y complejas, por su parte Hibbeler (2012) lo define como «una
estructura compuesta de elementos delgados unidos en sus extremos»; en conclusión para
poder llevar a cabo el análisis estructural de armaduras planas deben de tomarse en
consideración los siguientes puntos:
1. Todos los elementos de la armadura están unidos por medio de articulaciones (pasadores
sin fricción o lisos) por lo que cada nodo solo transmitirá fuerzas en X y en Y.
2. Los elementos de la estructura son rectos (de otra manera las fuerzas axiales producirían
momentos flexionantes respecto al eje de elemento).
3. Los elementos que conforman a la armadura mantienen un comportamiento elástico lineal.
4. Las acciones externas y las reacciones se aplicarán como cargas puntuales en los nodos de
la armadura.
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Métodos clásicos y modernos de análisis estructural
Dentro del análisis estructural existen métodos clásicos y modernos, los cuales pretenden dar
solución al problema de determinación de incógnitas en sistemas estructurales. Los métodos
clásicos buscan la determinación analítica del problema y es adecuado para sistemas
estructurales con grados muy bajos de indeterminación estática; los métodos modernos utilizan
algebra matricial y generalmente se llevan a cabo con ayuda de una computadora, lo que los
hace ideales para resolver sistemas con muchas incógnitas; los métodos modernos son los
siguientes (McCormac 2002):
• El método de la flexibilidad: En este método se suprime un número suficiente de
redundantes (reacciones, o fuerzas internas, o ambas) de la estructura hiperestática, de modo
que se logre una estructura estable y estáticamente determinada.
• El método de los desplazamientos o de las rigideces: En este método se establecen
ecuaciones con los desplazamientos de los nudos (rotaciones y traslaciones) necesarios para
describir completamente la configuración deformada de la estructura.
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Métodos modernos de análisis estructural
Los métodos modernos permiten analizar sistemas estructurales con altos grados de
indeterminación estática, sin embargo, el método de rigideces es más apropiado para resolver
las incógnitas de indeterminación estática de forma más sistemática, ya que a diferencia del
método de las flexibilidades, éste presenta el mismo procedimiento para estructuras isostáticas
e hiperestáticas.
Gere y Weaver (1982) sugieren la siguiente selección de métodos:
Grados de indeterminación
Método apropiado
Estática
Cinemática
A mano
Calculadora
Baja
Baja
Cualquiera
Rigidez
Baja
Alta
Flexibilidad
Rigidez
Alta
Baja
Rigidez
Rigidez
Alta
Alta
Ninguno
Rigidez
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Método de la Rigidez
Hibbeler (2012) resume el método de rigideces de la siguiente forma:
«El método de la rigidez requiere subdividir la estructura en una serie de elementos
finitos discretos e identificar sus puntos extremos como nodos. Para el análisis de la
armadura, los elementos finitos se representan mediante cada uno de los elementos
que la componen y los nodos representan las juntas. Se determinan las propiedades de
la fuerza-desplazamiento en cada elemento y después se relacionan entre sí usando las
ecuaciones de equilibrio de fuerzas escritas en los nodos. Luego estas relaciones para
toda la estructura K. Una vez establecido esto, se pueden determinar los
desplazamientos desconocidos de los nodos para cualquier carga dada sobre la
estructura. Al conocer estos desplazamientos pueden calcularse las fuerzas externas e
internas en la estructura utilizando las relaciones de fuerza-desplazamiento para cada
elemento».
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Identificación de los elementos y los nodos
Para comenzar es necesario identificar los nodos y los elementos junto con sus extremos
cercano y lejano. Para lo cual, cada uno de los elementos se identificará con un número el cual
estará encerrado en un cuadrado, y para los nodos, se colocará un número encerrado en un
circulo; también se identificarán los extremos cercano y lejano por medio de una flecha que
apunta hacia el extremo lejano, tal como se aprecia en la siguiente figura (Hibbeler, 2012):
Respecto a la numeración de
los grados de libertad, puede
sugerirse numerar primero
los
nodos
que
no
corresponden a reacciones.
Imagen 1: Determinación de los elementos, nodos y extremos lejano y cercano para cada uno de los elementos del
sistema estructural considerando su posición en coordenadas globales (Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis
Estructural» de Hibbeler (2012).)
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Coordenadas Globales y Coordenadas Locales
Debido a que las cargas externas y los desplazamientos son cantidades vectoriales, es necesario
establecer un sistema de coordenadas con el fin de precisar adecuadamente el sentido correcto
de la dirección, dichos sistemas pueden ser globales y locales. El sistema de coordenadas
global se describe respecto a los ejes X y Y, siendo el único para toda la estructura y sirve para
identificar el sentido de las componentes de cada una de las fuerzas externas y el
desplazamiento de los nodos (Imagen 1). El sistema de coordenadas locales se utilizará para
definir el sentido de dirección de las deformaciones y cargas internas en el elemento, el cual se
identificará con los ejes X’ y Y’, el origen se encontrará en el nodo cercano y se dirige hacia el
nodo lejano (Imagen 2).
Imagen 2. b) Elemento unitario considerando su posición respecto a coordenadas locales.
(Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de Hibbeler (2012).)
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Matriz de rigidez local o del elemento
La matriz de rigidez local del elemento se considera respecto al sistema de coordenadas locales
de cada uno de los elementos X’ y Y’, los términos de esta matriz representan las relaciones de
carga-desplazamiento para el elemento observe la siguiente imagen:
Imagen 3. b) Elemento unitario considerando su posición respecto a coordenadas locales.
(Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de Hibbeler (2012).)
Cada uno de los elementos de la armadura plana solo puede desplazarse sobre su eje X’ puesto
que las acciones internas en el elemento son exclusivamente fuerzas axiales.
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Matriz de rigidez local o del elemento (continuación)
Sobre el elemento se están aplicando dos cargas externas, las cuales actúan en el nodo cercano
y el nodo lejano (q’N y q’F respectivamente), por lo tanto pueden ocurrir dos desplazamientos
independientes; para la primer acción externa aplicada sobre el nodo cercano y su
correspondiente desplazamiento dN, mientras el nodo lejano se mantiene articulado (tal y como
se observa en la Imagen 3 (a)), las fuerzas desarrolladas en cada uno de los extremos por
acción de q’N son:
Observese que q’F tiene sentido negativo en el sentido de X’ debido a que es necesario
mantener el equilibrio estático; del mismo modo un desplazamiento positivo de dF en el
extremo lejano, que mantiene al extremo cercano articulado (tal y como se observa en la
Imagen 3 (b)), las fuerzas desarrolladas en cada uno de los extremos por acción de q’F son:
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Matriz de rigidez local o del elemento (continuación)
De las ecuaciones anteriores, correspondientes a las acciones en función a los desplazamientos
locales de los nodos, por medio del principio de superposición obtenemos lo siguiente:
Ec. (1)
Ec. (2)
Escritas de forma matricial se obtiene lo siguiente:
O bien:
𝑞 = 𝑘′𝑑
Ec. (3)
dónde:
Ec. (4)
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Matriz de rigidez local o del elemento (continuación)
La matriz presentada en la Ec (4) corresponde a la matriz de rigidez local o del elemento y
tiene la misma forma para todos los elementos en el sistema estructural; los cuatro elementos
que la componen se llaman coeficientes de influencia de la rigidez del elemento k’ij, la cual
representa la fuerza en la junta i cuando se impone un desplazamiento unitario en la junta j; por
lo tanto, si i=j=1 entonces k’11 es la fuerza en la junta cercana cuando la junta lejana se
mantiene fija y la junta cercana experimenta un desplazamiento unitario de dN=1, es decir:
De la misma forma, la fuerza en la junta lejana se determina a partir de i=2, j=1, cuando hay un
desplazamiento en la junta cercana, por lo que:
Las ecuaciones anteriores representan las acciones generadas en las juntas cuando el extremo
cercano experimenta un desplazamiento unitario.
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Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento
Lo que se determinó anteriormente corresponde a las fuerzas y los desplazamientos locales de
los miembros que componen el sistema estructural, sin embargo, es necesario un método para
transformar lo anterior a coordenadas globales. Para lo cual, conviene hacer la consideración de
que las coordenadas globales X positivas van hacia la derecha y las coordenadas Y positivas
hacia arriba. Los ángulos menores entre los ejes globales X y Y positivos. Y el eje local X’
positivo, se definirán como θX y θY, tal y como se muestra en la siguiente imagen:
Los cosenos de éstos ángulos se utilizarán en el
análisis matricial que sigue.
Imagen 4: Determinación de los ángulos menores en
miembro del sistema estructural
(Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis
Estructural» de Hibbeler (2012).)
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Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación)
Los cosenos de éstos ángulos se identificarán como λX=CosθX y λY=Cos θY, sus valores pueden
ser determinados una vez que se han identificado las coordenadas X y Y del extremo cercano N
y del extremo lejano F del elemento; por lo tanto las coordenadas de N y F (XN,YN) y (XF,YF)
respectivamente se definen como:
Ec. (5)
Ec. (6)
Imagen 5: Determinación de los cosenos de los ángulos menores
(Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de Hibbeler
(2012).)
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Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación)
En las coordenadas globales, cada extremo del elemento puede tener dos grados de libertad o
desplazamientos; por lo tanto, la junta N tiene DNX y DNY, y la junta F tiene DFX y DFY, si se
considerará cada uno de estos desplazamientos por separado, puede determinarse su
desplazamiento de componente a lo largo del elemento. Cuando el extremo lejano se mantiene
fijo y al extremo cercano se le da un desplazamiento global DNX, el desplazamiento
correspondiente (deformación) a lo largo del elemento es DNXCosθX, del mismo modo un
desplazamiento global DNX producirá un desplazamiento correspondiente en el elemento es
DNYCosθY (Ver Imagen 6). El efecto de ambos desplazamientos globales, se define como:
Imagen 6: Desplazamientos globales en el nodo cercano N
(Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de
Hibbeler (2012).)
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Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación)
Si de la misma manera se consideran los desplazamientos en F (DFX,DFY) y se considera que
λX=CosθX y λY=Cos θY, se tiene lo siguiente:
Escrito en forma matricial sería:
Ec. (7)
O bien:
𝑑 = 𝑇𝐷
Ec. (8)
dónde:
Ec. (4)
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Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación)
En la Ec. 8, T transforma los cuatro desplazamientos D globales X y Y, en dos desplazamientos
locales X’. Por lo tanto, T se conoce como la matriz de transformación de los desplazamientos.
De la misma forma deberá definirse una matriz de transformación de fuerza; considere una
aplicación de fuerza qN sobre el extremo cercano del elemento, el extremo lejano se mantiene
fijo, por lo tanto las componentes de la fuerza global de qN en N son:
Imagen 6: Acciones globales en el nodo N y F
(Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de
Hibbeler (2012).)
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Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación)
Si de la misma manera se consideran las acciones en F (QFX,QFY) y se considera que λX=CosθX
y λY=Cos θY, se tiene lo siguiente:
Escrito en forma matricial sería:
Ec. (10)
O bien:
𝑄 = 𝑇𝑇 𝑞
Ec. (11)
dónde:
Ec. (12)
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Matriz de rigidez global del elemento
Es la matriz que relaciona los componentes de la fuerza global Q del elemento con sus
desplazamientos globales D. Si en la Ec. 8 d=TD se sustituye la Ec.3 q=k’d, es posible
determinar las fuerzas q de los elementos, las cuales corresponden a las fuerzas internas axiales
de compresión y tensión, las cuales quedarán en función de los desplazamientos globales D en
sus puntos extremos:
𝑞 = 𝑘 ′ 𝑇D
Ec. (13)
Al sustituir la Ec. 11 Q=TTq, se obtiene el resultado final:
𝑄 = 𝑇 𝑇 𝑘 ′ 𝑇𝐷
O bien:
𝑄 = 𝑘𝐷
Ec. (14)
Donde:
k= 𝑇 𝑇 𝑘 ′ 𝑇
Ec. (15)
La matriz k es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales,
dado que TT, T y k’ ya se conocen.
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Matriz de rigidez global del elemento (continuación)
De lo anterior, si se realizan las operaciones matriciales se obtiene:
Ec. (16)
La ubicación de cada elemento en esta matriz simétrica de 4x4 está referenciada con cada
grado de libertad global asociado con el extremo cercano N. seguido por el extremo lejano F.
por lo tanto, k representa las relaciones de fuerza-desplazamiento para el elemento cuando las
componentes de éstas en los extremos del elemento están en las direcciones globales X y Y,
cada uno de los elementos de la matriz es un elemento kij lo que denota la componente de
fuerza X o Y en i necesaria para producir una componente unitaria de desplazamiento asociada
X o Y en j. Por ejemplo, un desplazamiento unitario DNX=1, creará las cuatro componentes de
fuerza sobre el elemento que se muestran en la primera columna de la matriz.
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Matriz de rigidez global del elemento (ejercicio)
1. Determine la matriz de rigidez global de cada uno de los elementos del sistema estructural
que se presenta a continuación, donde: E=2.1x10^7 Ton/m² el área de la sección transversal
de los elementos es igual a A=10.5 cm².
3m
1.5 m
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Matriz de rigidez global de la estructura
Ya que se tienen todas las matrices de rigidez de los elementos en coordenadas globales, es
necesario combinarlas en el orden correcto, para que pueda determinarse la matriz de rigidez K
de todo el sistema, sumando todas las rigideces correspondientes a cada grado de libertad,
ejemplo:
+
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Aplicación del Método de Rigideces para el Análisis Estructural
Una vez que se tiene la matriz de rigidez global de la estructura K pueden relacionarse las
acciones externas Q con los desplazamientos, utilizando la siguiente ecuación:
Ec. (17)
La ecuación anterior se conoce como la ecuación de rigidez de la estructura; a continuación es
importante identificar que parte de las ecuaciones matriciales corresponden a los grados de
libertad restringidos y cuales no, teniendo la siguiente ecuación:
Ec. (18)
QK y DK corresponden a las fuerzas externas y los desplazamientos conocidos respectivamente,
QU y DU corresponden a las reacciones y los desplazamientos desconocidos de los nodos; como
puede observarse los desplazamientos de los grados de libertad restringidos DK que se
encuentran en las reacciones es 0.
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Aplicación del Método de Rigideces para el Análisis Estructural (continuación)
Si la ecuación de la rigidez de la estructura se expande, se obtiene:
Ec. (19)
Ec. (20)
Si no se consideran desplazamientos en los apoyos, DK=0, por lo tanto la Ec. 19 que nos ayuda
a determinar los desplazamientos queda:
Despejando DU de la ecuación, que corresponde a los desplazamientos de los grados de libertas
normales, queda la inversa de la matriz K11 multiplicando a QK que son las cargas externas
conocidas, por lo tanto:
Ec. (21)
De esta forma pueden conocerse todos los desplazamientos que se presentan en todos los nodos
del sistema estructural.
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Aplicación del Método de Rigideces para el Análisis Estructural (continuación)
Habiendo determinado los desplazamientos, puede utilizarse la Ec. 20 para determinar QU que
corresponde a las acciones que se presentan en las reacciones de los apoyos, si se considera que
los apoyos no tienen desplazamientos DK=0, la ecuación queda de la siguiente forma:
Ec. (22)
De ésta manera pueden obtenerse las reacciones de los apoyos del sistema estructural.
Ahora solo será necesario determinar las fuerzas internas de compresión y de tensión que se
encuentran en los elementos que conforman el sistema estructural, para lo cual podemos hacer
uso de la Ec. 13 en cada uno de los elementos:
𝑞 = 𝑘 ′ 𝑇D
Ec. (13)
Como puede observarse, se pretende considerar los desplazamientos globales conocidos para
determinar las fuerzas que los están propiciando, para eso es necesario utilizar la matriz de
transformación de desplazamientos T en el vector de desplazamientos globales D, de forma que
puedan conocerse los desplazamientos locales dN y dF, pudiendo así obtener qN y qF.
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Aplicación del Método de Rigideces para el Análisis Estructural (continuación)
Expandiendo la Ec. 13 tenemos:
Ec. (23)
La cual nos permitirá obtener los valores de qN y qF; nótese que si qF tiene un signo positivo va
en el sentido del eje local X’ por lo que se habla de una fuerza interna de tensión, caso
contrario si qF tuviera un signo negativo significa que la fuerza del nodo va hacia el elemento,
por lo tanto la fuerza interna es de compresión.
El método de las rigideces es un procedimiento ágil para determinar las incógnitas en sistemas
estructurales con altos grados de indeterminación; en la práctica las aplicaciones de software
más utilizadas manejan como motor de cálculo el método de las rigideces, como por ej,
SAP2000, ETABS, etc.
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Casos de Aplicación
Determine el Grado de Indeterminación, las reacciones en los nodos 1, 3 y 4, el desplazamiento
en el nodo 2 y las fuerzas internas de los elementos 1, 2 y 3, para lo cual considere: E=2.1x107
Ton/m², una sección estructural OR 4”x4”x3/16” con un área gruesa Ag=17.87 cm² y un peso
por unidad de longitud de wm=14.2 kg/m. (Considere el peso propio y mantenga coherencia
respecto a las unidades que se van a manejar durante el procedimiento)
α=20.00°
4.5 m
3.85 m
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Bibliografía
1. “Análisis de Estructuras Reticulares” Gere y Weaver (1982)
2. “Análisis de Estructuras: Métodos Clásico y Matricial” McCormac (2010)
3. “Análisis Estructural” Hibbeler (2012)