Profesor: Héctor González
Ayudantes: Nelson Mela, Felipe Luengo, Javier
Análisis Matricial de Estructuras
Solución Problema 2- Método de Rigidez
Para determinar la rigidez de los resortes helicoidales que reducen el giro en los apoyos en un
40% primero debemos determinar que valor tienen estos giros antes de la presencia de los
resortes. Entonces, en virtud de que el marco rígido geometricamente es simétrico al igual que
el estado de cargas que lo solicita, podemos simplificar el problema al siguiente modelo de la
estructura:
Zúñiga
Este modelo tiene los siguientes grados de libertad:
Largos
Donde:
Ángulo director
Elemento 1:
L1
4
Elemento 2:
L2
6.5 m
Propiedades de los elementos:
EI
2
1000 tonf m
m
1
90deg
2
atan
5
12
Carga solicitante:
q
0.5 tonf
m
2
22.62deg
Compatibilidades Geométricas
Barra EI inclinada:
tan(
2
)
r3
r4
12
r3
5
r4
Matriz de Transformación geométrica
T
1 0
0
0 1
0
0 0
1
0 0
12
5
Estructura [A]
Momentos de empotramiento perfecto
Corte
Elemento 2:
q L2 cos
V2
Momento
2
M2
2
q
2
L2 cos
2
12
Estructura [B]
Matriz de rigidez por elemento y matriz de rigidez diagonal:
4 EI 2 EI
k1
L1
L1
k2
2 EI 4 EI
L1
L1
4 EI 2 EI
L1
L1
2 EI 4 EI
K
4 EI 2 EI
L1
0
0
L1
0
0
L2
2 EI 4 EI
L2
0
0
0
0
4 EI 2 EI
L2
L2
2 EI 4 EI
L2
L2
L2
L2
1
K
3
10
500
500
1
3
10
0
0
0
0
0
0
615.38 307.69
0
0
307.69 615.38
Matriz de compatibilidad geométrica [a]:
1
1 0
1
0 1
a
0
4
0
4
sin
0 1
cos
2
L2
L2
sin
0 0
a
2
cos
2
L2
1 0 0.25
0
0 1 0.25
0
0 1
0.06
0.14
0 0
0.06
0.14
2
L2
Matriz de Rigidez de la estructura:
T
Kest
a Ka
1
3
10
500
Kest
500
1.62
375
3
10
320.38
0
131.09
375
0
320.38
131.09
193.96
15.51
15.51
37.23
Matriz de Rigidez de la estructtura referida a los grados de libertad independientes:
Kq
T
T Kest T
1
Kq
3
10
500
375
Vector de fuerzas:
500
375
3
1.62 10
5.77
5.77
482.88
0
R
M2
0
V2
0
R
1.5
0
1.5
Vector de fuerzas referido a los grados de libetad independientes:
0
Q
T
Q
T R
1.5
3.6
Desplazamientos de los grados de libertad independientes:
5.82 10
rq
Kq
1
rq
Q
2.69 10
3
3
0.01
Por lo tanto el giro en el apoyo corresponde a r 1= 5.82 10
reducirlo a un 60% quedando:
r1
submatrix rq 0 0 0 0 0.6
r1
3
rad, necesitamos
3.49
10
3
rad
Además como agregamos los resortes en la estructura aparece un momento en el
apoyo que se opone al giro en ese punto, quedando el estado de carga de la estructura
como sigue:
Por lo que nuestro nuevo vector de cargas es:
M
Q2 M
1.5
3.6
y el vector de desplazamientos:
3.49 10
rq2 r2 r3
r2
r3
3
Finalmente resolvemos el siguiente sistema:
3.4900000000000000000500 r2
1.74500000000000000001615.3846153846153846
r2
Kq rq2 r2 r3
1.30875000000000000005.76923076923076922
r2
M
r2
0
0
r3
375 r3
5.76923076923076922
r3
482.88461538461538462
r3
0
Given
M
3.49 500r2
375r3
1.5 1.7450 1615.38461r2
3.6 1.30875 5.76923r2
sol
5.76923r3
482.88461r3
Find M r2 r3
1.3
sol
1.97
10
Tonf m
3
rad
m
0.01
De la ecuación de rigidez para un resorte helicoidal tenemos:
k
1
M
k r1
Obteniendo como resultado de la rigidez del resorte, con un valor de:
k
1.3
3.49 10
3
k
372.49
Tonf m
rad
Observación: El valor de la rigidez de ambos resortes es el mismo, esto por la simetría
que presenta la estructura.
En cuanto al valor, este puede variar entre 370 y 376 aproximadamente según la
cantidad de decimales que se considere en el análisis. Encontrandose dentro de este
rango es aceptable.