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inupri
赤阪 正 純 (httpソ フ
web fc2 com)
合同式 (1)
合 同記号 は 「ア タ リマエ 」記号
しt
アタツマエのこ
‐
′ へ¨
3,■ 3■ (す ζ
^十
つ ま り,合 同記 号 (≡ )は 加 法 ,減 法 ,乗 法 につ
1
いて ￨ま 通常 の 等号
ア タ リマ エ の こ と
割 った余 りは 1に 等 しいので,5で 割 った余 りの分
このことを
は各 自で 証 明 して おいて くだ さい
①
α≡ う(mod π)← ⇒ α―み≡ 0(mod“ )
よ り,α ― b=れ た,つ ま り,α
6=11(mod 5)
と表記 し,「 6と 11は 5を 法 として合 同であるJと
一般 に,あ る 2つ の整数 α,わ を自然数
いい ます
=れ た十うとおける
ι≡ α (mod a)← ⇒ ο― ご ≡ 0(mod物 )
よ り,0-α =π た,つ まり,c=れ た+ご とおける
よって
れ で割 った余 りが等 しいとき, α,う は 物 を法 と
と表 します
7ム
つ ま り,あ る整数 で 割 った
とき,余 り
'7ム
記号
なので,α O― わご=0(mod π)
よって,α O=ι グ (mod π)が 成立する
て
`〕
が同 じにな る数 は全 部 「同 じJと 考 えるので す
＾
円
︶予・
=π 2た 2+π λα+物 たb+♭ α
=物 (れ た2+々 α十 々b)十 ιグ
,
)
,
αO=(π 力十 ι)(れ た十 d)
して合同であるといい
α≡ b(mod″
ε夕 葛弔攣 法 tを か
3つ め の 合 同式 だ け証 明 して み ます 他 の合 同式
例 えば,6と 11は 異 なる整数ですが,共 に 5で
類 では同 じグルー プに属 します
(=)と 全 く同 じです
=を 合 同記 号 といい ,合 同記 号 を使 った 式
を合 同式 といい ます
￨
I I例 】 10≡
￨
3(mod 7),4≡ -1(mod 5) ￨
それ で は ,合 同式 を利 用 して 問 題 を解 い て み よ
う 比較 のため に ,合 同式 を用 いた解 法 と合 同式 を
用 い な い解 法 を両 方や ってみ ます。
2つ の整 数 α,♭ を 自然数 π で 割 った余 りが等 し
い とき,α ― らは
で割 り切 れ るか ら,合 同式 は次
“
の ように変形 で きます
鴬誅t
ぃ 0り
α≡ ι
l
例 題
α,ら ,ο は ,そ れ ぞれ 5で 割 った 余
りが 1,2,3と な る正 の整 数 で あ る
を 5で 割 った余 りを求 め よ
(mod協 )
が等しい
πで割った余り
,ク を
― α
⇔ α_bが πで割り切れる
←⇒ α― b=0(mod
合 同式 を用 いた解 法
α
考■よう ⇔ α―bを れで割った余りが0
= 1(mod 5),う =2(mod 5),ο
,
221)
α+2♭
+30≡ 1+2・ 2+3・ 3(mod 5)
)
三
このように,合 同式では普通 の等式に似
た式変形 が可能 です
合 同式 を用 いない解 法
(mod“ ),ι ≡ グ (mod π )の とき
,
α+ε ≡ ι+α
(mod
α一 ο≡ b― グ (mod
:4(1:∫』
√写 5ャ
夫∼
よって,α +2ι +3ι を 5で 割 った余 りは 4で ある
tく (合 同式 の性 質 I
α=ι
≡ 3
(mod 5)よ り
つ ま り 始め の合同式の右辺 を左辺 に移項 したに過
ぎません
α+2ι +3ο
π)
α=5p+1,b=5g+2,ε
`フ
=5″ +3と お く
このとき
,
π)
α+2ι +3ο
=5,+1+2(59+2)+3(5γ +3)
ソー
フ｀
つまた 惚 一
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赤阪 正 純 (httpン ク
よ って ,α +2ι +3ι を
合 同式
5で 割 った 余 りは 4で あ る
■
2.任 意の整数 πに対 し,が +2π
例題
tv・
馨
τ13
π三
で解 けば良 いです が,使 い こなせ るととても便利な
0(mod 3)
のでぜひ ともマス ター しておこう
とき
特 に,合 同式は次 のよ うな指数 タイプの問題 で威
,
3=0(mod 3)
≡ 13+2・ 1≡
″=2(mod
力 を発揮 します
3)の とき
″3+2π =23+2× 2=12=0(mod 3)
,
よって,い ずれの場合においても,″ +2π
例題
=0
3.
20072007を 17で 割 った余 りを求め よ
.
11
(mod 3)と なるので任意の整数 πで″ +2π は 3
孝いヽ
考え方 当然 ,(mod
17)で 考 えます
′r'
′7ノ 2ο ο7
02007=17× 118+1だ か ら
ノク
2007≡ 1(mod 17)し たがって
〕0
で割り切れる
多 注 π=0(mod
3),π
≡ ±1(mOd
3)と す
,
れば少 しだけ計算 が ラクにな ります
,
略︵
”
押
げ
帥
簿
﹀
π =3れ の と き
′7
′
′'タ
12007=1(mOd 17)
となるので,余 りは 1で ある
20072007≡
合 同式 を用 いな い解 法
,
が +2π
=(3物 )3+2(3れ )=3(9π 2+2物 )
π=3π
+1の とき
'`
■
`
,
π3+2π =(3れ +1)3+2(3物 +1)
=3(9π 3+9π 2+54+1)
π=3π
+2の とき
ノ キ 2π
=(3221+2)3+2(3″ +2)
=3(9π 3+182222+12π +4)
例 題
4
,
考え方 (1)は
よって,い ずれの場合 においても 3の 倍数 になる
ので,任 意 の整数 πで ″ +2π は 3の 倍数である
=3た
で考 え ます
4や
(mod 9)で ,(2)は (mod 100)
7を 何 回 か か けて ,(mod
9)や
(mod 100)で うま く計算 で きる瞬間 を探 します
競
い
夕孔
多 注 π =3た ,π
0
± 1と す れ ば少 しだ け計
(1)43=64よ り,ど 三 1(mOd 9)
算 が ラクにな ります
したがって
■
,
η
(43)66.42=42≡ 16≡ 7(mod 9)
となるので,余 りは 7で ある
4200≡
珍注
,7
あ りません 使 い慣 れない人 は これ まで通 りの方法
,
勇」43+2κ1(mOd 3)の
ろ
が,合 同式を用いた解法では,要 するに5や 3で 害
」やりFll―
`え
とき
713+2π ≡ 03+2・ 0≡
用 いない解答 で は細 か くきちん と計算 してい ます
L温 え
終
ミ
単
: (41往
:i「 ::][li高
:患 菫
ζ
ま
醤
合同式を用 いた解法
0(mod 3)の
2つ の解答 を比較 して どうで しょうか 合同式 を
肥難●囃ポ咆卿 ν
は
3の 倍数であることを示せ
π≡
(2)
な お ,こ の 問題 は ,次 の よ うに式変形 で も
解 くことがで きます
(2)74=2401よ
″3+2π =π 3_π +3η
π(π +1)(π
したがって
り,74=1(mOd
,
=π (π 2_1)+3π
7251≡ (74)62.73三 343≡
=π (π +1)(π -1)+3π
となるので,下 2桁 は 43で ある
-1)は 連続 3整 数 の積 なので 6の 倍数
3+2π は 3の 倍数
(つ ま り 3の 倍数 ).よ って ,π
111:41美
1
43(mod 100)
メ.ば 7t l(い oメ 。
付、卜のか:
)に ね
,t午 1=¨ -1 と考え3と
‐("う ■ 2夕 OO― 。十
7・
、
ンし
略
吾
晏シ
11」
100)
1。
(。
1
■
″ダIL
ア′
)と τ:,ぼ 鴫9み 7‐70
と り
手すo 7■ ′r“ 。
7」
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