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Kryptografische Protokolle
Lerneinheit 5: Authentifizierung
Prof. Dr. Christoph Karg
Studiengang Informatik
Hochschule Aalen
Sommersemester 2015
19.6.2015
Einleitung
Einleitung
Diese Lerneinheit hat Protokolle zur Authentizierung von Benutzern
zum Thema.
Die Lerneinheit besteht aus folgenden Abschnitten:
• Allgemeine Informationen zur Authentifikation
• Challenge Response Verfahren mit geheimem Schl¨ussel
• Challenge Response Verfahren mit Public Key Kryptografie
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Authentifizierung
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Einleitung
Arten von Authentizierung
Arten von Authentisierung
• Wissen (What you know!)
. Passw¨orter
• Besitz (What you have!)
. Ausweis
. Zertifikat
. Smartcard
• Physikalische Eigenschaft (What you are!)
. Biometrische Eigenschaften
. Aussehen
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Kryptografische Protokolle
Einleitung
Authentifizierung
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Arten von Authentifizierungsprotokollen
Authentisierungsprotokolle
Unterscheidung 1:
• Einseitige Authentifizierung: Ein Benutzer authentifiziert sich
gegen¨uber einem anderen
• Gegenseitige Authentifizierung: Zwei Benutzer authentifizieren
sich gegenseitig
Unterscheidung 2:
• Private Key Protokoll: Die Teilnehmer vereinbaren vorab einen
gemeinsamen geheimen Schl¨ussel k, der w¨ahrend der
Authentifizierung eingesetzt wird
• Public Key Protokoll: Die Authentifizierung erfolgt unter Einsatz
eines Public-Key Schl¨usselpaars
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Authentifizierung
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Einleitung
Arten von Authentifizierungsprotokollen
Anforderungen an Authentisierungsprotokolle
Aufrichtige Benutzer: Ein Teilnehmer an einem
Authentisierungsprotokoll ist aufrichtig (honest), falls er
• den vorgegebenen Ablauf des Protokolls einh¨alt,
• alle Berechnungen korrekt ausf¨uhrt, und
• vertrauliche Informationen nicht an Dritte weitergibt
Korrekter Ablauf des Protokolls:
• Es tritt kein Nachrichtenverlust auf
• Die Reihenfolge der versendeten Nachrichten wird eingehalten
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Einleitung
Authentifizierung
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Arten von Authentifizierungsprotokollen
Angriffsarten
Ziel: Angreifer will sich gegen¨uber dem Initiator des Protokolls mit
einer falschen Identit¨at authentifizieren
Angriffsarten:
• Passiver Angriff
• Aktiver Angriff
. Einspeisen von neuen Nachrichten
. Ver¨andern einer abgefangenen Nachricht
. Umleiten von Nachrichten
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Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Einseitige Authentifizierung
Einseitige Authentifizierung
Ziel: Alice authentifiziert sich gegen¨uber Bob
Annahmen:
• Alice und Bob sind aufrichtig
• Das Protokoll l¨auft korrekt ab
Sicherheitsanforderungen:
• Bei einem passiven Angriff die Authentifizierung von Alice
gegen¨uber Bob erfolgreich
• Bei einem aktiven Angriff scheitert die Authentifizierung von
Alice gegen¨uber Bob
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Authentifizierung
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Einseitige Authentifizierung
Unsicheres Challenge Response Protokoll
Challenge Response Protokoll (unsicher)
1. Bob generiert eine Zufallszahl r und sendet diese an Alice
2. Alice berechnet y = mac (k, r ) und sendet y an Bob
3. Bob berechnet y 0 = mac (k, r ).
Falls y 0 = y , dann akzeptiert Bob Alice als
Kommunikationspartner. Andernfalls beendet er die
Kommunikation
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Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Einseitige Authentifizierung
Unsicheres Challenge Response (Ablauf)
Alice
Bob
Generiert eine Zufallzahl r
r
Berechnet y = mac (k, r )
y
Pr¨
uft, ob y = mac (k, r )
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Kryptografische Protokolle
Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Authentifizierung
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Einseitige Authentifizierung
Parallel Session Angriff
Ziel: Oskar will sich gegen¨uber Bob als Alice ausgeben
Problem: Oskar kennt den privaten Schl¨ussel k nicht
Angriff:
1. Oskar f¨angt die Nonce r ab, die Bob zwecks Authentisierung an
Alice sendet
2. Oskar sendet die Nonce r in zweiten Session an Bob, damit
dieser sich gegen¨uber Oskar authentisiert
3. Bob berechnet y = mac (k, r ) und sendet y an Oskar
4. Oskar verwendet y , um sich gegen¨uber Bob als Alice auszugeben
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Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Einseitige Authentifizierung
Parallel Session Angriff: Ablauf
Oskar
Bob
Generiert eine Zufallzahl r
Parallele Session
r
r
Berechnet y = mac (k, r )
y
y
Pr¨
uft, ob y = mac (k, r )
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Authentifizierung
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Einseitige Authentifizierung
Analyse des Angriffs
Schwachstelle:
Die Pr¨ufsumme y h¨angt nur von r ab und enth¨alt keine
Informationen u¨ber den zu authentifizierenden Nutzer
Verbesserung:
• Jeder Benutzer U hat eine eindeutige Identifikationsnummer
ID(U)
• Die IDs der Nutzer sind ¨offentlich bekannt
• Alice berechnet die Pr¨ufsumme u¨ber die Nonce r und ihre ID
ID(Alice)
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Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Einseitige Authentifizierung
Sicheres Challenge Response Protokoll
Challenge Response Protokoll
1. Bob generiert eine `-Bit Zufallszahl r und sendet diese an Alice
2. Alice berechnet y = mac (k, ID(Alice)||r ) und sendet y an Bob
Der Term ID(Alice)||r steht f¨ur die Konkatenation der
Byte-Kodierungen von ID(Alice) und r
3. Bob berechnet y 0 = mac (k, ID(Alice))||r )
Falls y 0 = y , dann akzeptiert Bob Alice als
Kommunikationspartner. Andernfalls beendet er die
Kommunikation
Bemerkung: Aus praktischer Sicht ist ein Wert von ` = 100 f¨ur die
Sicherheit des Protokolls ausreichend
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Authentifizierung
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Einseitige Authentifizierung
Sicheres Challenge Response (Ablauf)
Alice
Bob
Generiert eine Zufallzahl r
r
Berechnet y = mac (k, ID(Alice)||r )
y
Pr¨
uft, ob y = mac (k, ID(Alice)||r )
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Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Einseitige Authentifizierung
Bemerkungen
• Das Challenge-Response Verfahren ist ein einseitiges
Authentifizierungsverfahren
• Die Pr¨ufsumme wird anhand einer zuf¨alligen Nonce und der
Benutzer-ID berechnet
• Das Protokoll von Folie 15 gilt als sicher, falls folgende
Annahmen zutreffen:
. Alice und Bob sind aufrichtige Teilnehmer
. Der Schl¨ussel k ist geheim und nur Alice und Bob bekannt
. Jeder Benutzer setzt einen kryptografisch sicheren
Pseudozufallszahlengenerator ein
. Die verwendete Hashfunktion zur Berechnung des MAC ist
sicher
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Authentifizierung
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Gegenseitige Authentifizierung
Gegenseitige Authentifizierung
Ziel: Beide Teilnehmer authentifizieren sich gegenseitig
Annahmen:
• Beide Teilnehmer sind aufrichtig
• Das Protokoll l¨auft korrekt ab
Sicherheitsanforderungen:
• Bei einem passiven Angriff ist die gegenseitige Authentifizierung
erfolgreich
• Bei einem aktiven Angriff akzeptiert keiner der Teilnehmer sein
Gegen¨uber als Kommunikationspartner
Beachte: Ein Angriff gilt an dieser Stelle als aktiv, wenn Oskar bei
der ersten Authentisierungssitzung aktiv eingreift
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Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Gegenseitige Authentifizierung
Unsicheres Mutual Challenge Response Protokoll
Mutual Challenge Response Protokoll (unsicher)
1. Bob generiert eine Zufallszahl r1 und sendet diese an Alice
2. Alice berechnet y1 = mac (k, IDAlice||r1 ), generiert eine
Zufallszahl r2 und sendet y1 und r2 an Bob
3. Bob berechnet y2 = mac (k, IDBob||r2 ) und sendet y2 an Alice
Anschließend berechnet Bob y10 = mac (k, IDAlice||r1 ). Falls
y1 = y10 , dann akzeptiert er Alice als Kommunikationspartner.
Ansonsten verwirft er
4. Alice berechnet y20 = mac (k, IDBob||r2 ). Falls y2 = y20 , dann
akzeptiert sie Bob als Kommunikationspartner. Ansonsten
verwirft sie
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Authentifizierung
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Gegenseitige Authentifizierung
Unsicheres Mutual Challenge Response (Ablauf)
Alice
Bob
Generiert eine Zufallzahl r1
r1
Generiert eine Zufallzahl r2
Berechnet y1 = mac (k, ID(Alice)||r1 )
y1 , r2
Pr¨
uft, ob y1 = mac (k, ID(Alice)||r1 )
Berechnet y2 = mac (k, ID(Bob)||r2 )
y2
Pr¨
uft, ob y2 = mac (k, ID(Bob)||r2 )
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Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Gegenseitige Authentifizierung
Parallel Session Angriff
Alice
Oskar
Bob
r1
mac (k, ID(Alice)||r1 ), r2
r2
mac (k, ID(Bob)||r2 ), r3
mac (k, ID(Bob)||r2 )
Ergebnis: Alice akzeptiert Oskar als Bob
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Kryptografische Protokolle
Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Authentifizierung
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Gegenseitige Authentifizierung
Analyse des Angriffs
Beobachtung:
• Die Pr¨ufsumme y1 stellt keine Verbindung zwischen der Nonce r1
und der Nonce r2 her
• Konsequenz: die Nonce r2 kann in mehreren Sitzungen
eingesetzt werden
Verbesserung: Sowohl die Nonce r1 als auch die Nonce r2 fließt in die
Berechnung der Pr¨ufsumme ein
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Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Gegenseitige Authentifizierung
Sicheres Mutual Challenge Response Protokoll
Mutual Challenge Response Protokoll (sicher)
1. Bob berechnet y10 = mac (k, ID(Alice)||r1 ||r2 ). Falls y1 = y10 ,
dann akzeptiert er Alice als Kommunikationspartner. Ansonsten
verwirft er
Anschließend generiert Bob eine Zufallszahl r1 und sendet diese
an Alice
2. Alice berechnet y1 = mac (k, ID(Alice)||r1 ||r2 ), generiert eine
Zufallszahl r2 und sendet y1 und r2 an Bob
3. Bob berechnet y2 = mac (k, ID(Bob)||r2 ) und sendet y2 an Alice
4. Alice berechnet y20 = mac (k, ID(Bob)||r2 ). Falls y2 = y20 , dann
akzeptiert sie Bob als Kommunikationspartner. Ansonsten
verwirft sie
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Kryptografische Protokolle
Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Authentifizierung
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Gegenseitige Authentifizierung
Sicheres Mutual Challenge Response (Ablauf)
Alice
Bob
Generiert eine Zufallzahl r1
r1
Generiert eine Zufallzahl r2
Berechnet y1 = mac (k, ID(Alice)||r1 ||r2 )
y1 , r2
Pr¨
uft, ob y1 = mac (k, ID(Alice)||r1 ||r2 )
Berechnet y2 = mac (k, ID(Bob)||r2 )
y2
Pr¨
uft, ob y2 = mac (k, ID(Bob)||r2 )
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Challenge Response Verfahren mit privatem Schl¨
ussel
Gegenseitige Authentifizierung
Bemerkungen
• Das Mutual Challenge Response Protokoll ist ein gegenseitiges
Authentisierungsprotokoll
• Oskar kann unter anderem folgende Angriffe ausf¨uhren:
. Er tritt gegen¨uber Bob als Alice auf
. Er tritt gegen¨uber Alice als Bob auf
. Er agiert als Man In The Middle und versucht beide
Teilnehmer zu t¨auschen
• Gelten dieselben Annahmen wie beim einseitgen Challenge
Response Protokoll (siehe Folie 17), dann gilt das Protokoll von
Folie 23 als sicher
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Einleitung
Authentifizierung mit Public Key Mechanismen
Ansatz: Einsatz von digitalen Signaturen f¨ur die Authentifizierung
• Jeder Benutzer besitzt ein Schl¨usselpaar bestehend aus einem
¨offentlichen und geheimen Schl¨ussel
• Der ¨offentliche Schl¨ussel wird in einem Verzeichnis publiziert
• Anstatt einen Pr¨ufsumme MAC zu berechnen, signiert ein
Benutzer die von ihm versendeten Nachrichten mit seinem
geheimen Schl¨ussel
• Mit dem ¨offentlichen Schl¨ussel kann jeder die Signatur des
Benutzers auf Korrektheit pr¨ufen
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Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Einleitung
Anwendung einer digitalen Signatur
Alice
Oskar
Bob
x
x, s
sign
ke
unsicherer Kanal
x
yes
x, s
ver
kv
kv
usselverzeichnis
Schl¨
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Benutzer
Schl¨
ussel
Alice
kv
Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Einleitung
Aufbau einer digitalen Signatur
Algorithmen:
• Signaturalgorithmus sign
• Verifikationsalgorithmus ver
Notation:
• s = signU (x): Berechnung der Signatur der Daten x unter
Einsatz des geheimen Schl¨ussels des Benutzers U
nur von U ausf¨uhrbar
• verU (x, s): Verifikation der Signatur s der Daten x unter Einsatz
des ¨offentlichen Schl¨ussels des Benutzers U
von allen Benutzern ausf¨uhrbar
Anforderung: F¨ur alle Daten x gilt:
true falls s = signU (x)
verU (x, s) =
false falls s 6= signU (x)
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Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Zertifikate
Zertifikate
Anforderung: Die Echtheit des ¨offentlichen Schl¨ussels eines Benutzers
muss u¨berpr¨ufbar sein
L¨osung: Eine Trusted Authority (TA) signiert die ¨offentlichen
Schl¨ussel der Benutzer
Technische Umsetzung: Einsatz von Zertifikaten
Inhalt des Zertifikats des Benutzers U:
• Eindeutige Benutzerkennung ID(U)
¨
• Offentlicher
Schl¨ussel von U
• Von der TA ausgestellte Signatur u¨ber die obigen Daten
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Zertifikate
Ausstellung eines Zertifikats
Erstellung eines Zertifikats f¨ur Alice:
1. Alice erzeugt ein Paar (sA , vA ) bestehend aus einem privaten
Schl¨ussel sA und einem ¨offentlichen Schl¨ussel vA
2. Die TA u¨berpr¨uft die Identit¨at von Alice anhand eines
konventionellen Dokuments (z.B. Ausweis, Reisepass, . . . )
3. Die TA erstellt f¨ur Alice eine eindeutige Kennung ID(Alice)
4. Die TA signiert die Daten ID(Alice)||vA :
s = signTA (ID(Alice)||vA )
5. Die TA stellt das Zertifikat
Cert(Alice) = (ID(Alice), vA , s)
aus sendet es an Alice oder stellt es in einem Verzeichnis bereit
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Protokolle
Protokolle fu¨r Public Key Authentifizierung
• Challenge Response Protokoll
• Schnorr Protokoll
• Guillou-Quisquater Protokoll
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Challenge Response Protokoll
Public Key Challenge Response Protokoll
1. Bob generiert eine Zufallszahl r1 . Dann sendet er Cert(Bob) und
r1 an Alice
2. Alice generiert eine Zufallszahl r2 . Sie berechnet
y1 = signAlice (ID(Bob)||r1 ||r2 ) und sendet Cert(Alice), r2 und y1
an Bob
3. Bob verifiziert das Zertifikat Cert(Alice). Dann u¨berpr¨uft er, ob
verAlice (ID(Bob)||r1 ||r2 , y1 ) = true ist. Falls ja, dann akzeptiert
er Alice und berechnet er y2 = signBob (ID(Alice)||r2 ) und sendet
y2 an Alice. Andernfalls bricht er das Protokoll ab
4. Alice verifiziert das Zertifikat Cert(Bob). Dann u¨berpr¨uft sie, ob
verBob (ID(Alice)||r2 , y2 ) = true ist. Falls ja, dann akzeptiert sie
Bob. Andernfalls bricht sie das Protokoll ab
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Challenge Response Protokoll
Public Key Challenge Response Protokoll (Ablauf)
Alice
Bob
Generiert eine Zufallzahl r1
Cert(Bob), r1
Generiert eine Zufallzahl r2
Berechnet y1 = signAlice (ID(Bob)||r1 ||r2 )
Cert(Alice), r2 , y1
Pr¨
uft, ob verAlice (ID(Bob)||r1 ||r2 , y1 ) = true
Berechnet y2 = signBob (ID(Alice)||r2 )
y2
Pr¨
uft, ob verBob (ID(Alice)||r2 , y2 ) = true
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Challenge Response Protokoll
Bemerkungen
• Das obige Protokoll ist eine Modifikation des Mutual Challenge
Response Protokoll
• Die Message Authentication Codes auf Basis des geheimen
Schl¨ussels wurden durch digitale Signaturen ersetzt
• Das Protokoll ist sicher, falls folgende Annahmen zutreffen:
. Das eingesetzte Signaturverfahren ist sicher
. Die Zufallszahlen werden auf eine kryptografisch sichere Art
und Weise erzeugt
• Es gibt verschiedene Abwandlungen dieses Protokolls. Manche
sind jedoch nicht sicher
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Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Das Protokoll von Schnorr
• Protokoll zur einseitigen Authentifizierung
• From Scratch“ Entwicklung auf Basis des diskreten
”
Logarithmus-Problems
• Effiziente Durchf¨uhrbarkeit
• Voraussetzung: Trusted Authority
• Aufgaben der Trusted Authority
. Festlegung der ¨offentlichen Parameter
. Ausstellung von Zertifikaten
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Schnorr
Parameter des Schnorr Protokolls
¨
Offentliche
Parameter
• Eine Primzahl p (Empfehlung: 1024 Bit)
• Eine Primteiler q von p − 1 (Empfehlung: 160 Bit)
• Element α ∈ Z∗p der Ordnung q
• Sicherheitsparameter t so dass q > 2t (Empfehlung: t = 40)
Schl¨ussel eines Benutzers
• Privater Schl¨ussel: sU = a ∈ {1, . . . , q − 1}
¨
• Offentlicher
Schl¨ussel: vU ≡ (αa )−1 ≡ αq−a (mod p)
Zertifikat eines Benutzers
• Identit¨at des Benutzers
¨
• Offentlicher
Schl¨ussel vU
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Schnorr Protokoll
1. Alice generiert eine Zufallszahl k ∈ {1, . . . , q − 1} und berechnet
γ = αk mod p. Dann sendet sie Cert(Alice) und γ an Bob.
2. Bob u¨berpr¨uft anhand Cert(Alice) Alices ¨offentlichen Schl¨ussel
v . Falls dieser in Ordnung ist, dann generiert er eine Zufallszahl
r ∈ {1, . . . , 2t } und sendet r an Alice.
3. Alice berechnet y = (k + ar ) mod q und sendet y an Bob.
4. Bob u¨berpr¨uft, ob γ ≡ αy v r (mod p). Falls ja, dann akzeptiert
er Alice. Ansonsten bricht er das Protokoll ab.
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Schnorr
Schnorr Protokoll (Ablauf)
Alice
Bob
Generiert eine Zufallzahl k ∈ {1, . . . , q − 1}
Berechnet γ = αk mod p
Cert(Alice), γ
Pr¨
uft die Echtheit von Cert(Alice)
Extrahiert v aus Cert(Alice)
Generiert eine Zufallzahl r ∈ {1, . . . , 2t }
r
Berechnet y = (k + ar ) mod q
y
Pr¨
uft, ob γ ≡ αy v r (mod p)
¨
Offentliche
Parameter: p, q, α, t
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Schnorr Protokoll Beispiel
¨
Beispiel: Offentliche
Parameter: p = 88667, q = 1031 und t = 10.
Das Element α = 70322 hat die Ordnung q in Z∗p .
Alice hat den privaten Schl¨ussel a = 755 erzeugt. Dann ist
v = αq−a mod p
= 703221031−755 mod 88667
= 13136
Angenommen, die von Alice generierte Zufallszahl ist k = 543. Dann
berechnet sie
γ = αk mod p
= 70322543 mod 88667
= 84109
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Schnorr
Schnorr Protokoll Beispiel (Forts.)
Anschließend sendet Alice den Wert γ an Bob.
Angenommen, Bob sendet die Challenge r = 1000 an Alice. Dann
berechnet Alice
y = k + ar mod q
= 543 + 755 · 1000 mod 1031
= 851
und sendet y an Bob.
Bob u¨berpr¨uft, ob 84109 ≡ 70322851 · 131361000 (mod 88667).
Da dies der Fall ist, akzeptiert Bob die Echtheit von Alice.
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Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Proof Of Knowledge Eigenschaft
Definition. Ein Authentisierungsprotokoll besitzt die Proof Of
Knowledge Eigenschaft, falls es folgende Eigenschaften besitzt:
• Vollst¨andigkeit: Alice kann sich immer erfolgreich gegen¨uber Bob
authentifizieren
• Korrektheit: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Oskar gegen¨uber
Bob erfolgreich als Alice autentifiziert, ist sehr gering
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
39 / 64
Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse
Annahmen
• Alice und Bob sind aufrichtige Benutzer
• Die ¨offentlichen Parameter sind gut gew¨ahlt
Eigenschaften des Schnorr Protokolls
1. F¨ur alle alle gew¨ahlten Werte f¨ur k und r ist die
Authentifizierung von Alice gegen¨uber Bob erfolgreich
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Oskar sich gegen¨uber Bob als Alice
ausgeben kann, ist gleich 2−t
Ergebnis: das Schnorr Protokoll besitzt die Proof Of Knowledge
Eigenschaft
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Nachweis Punkt 1: Seien k ∈ {1, . . . , q − 1} und r ∈ {1, . . . , 2t }
beliebig gew¨ahlt.
Es gilt:
αy v r ≡
≡
≡
≡
≡
αk+ar v r
αk αar (αq−a )r
αk αar αqr −ar
αk αar +qr −ar
αk (αq )r
| {z }
k
(mod
(mod
(mod
(mod
(mod
p)
p)
p)
p)
p)
≡1
≡ α
≡ γ
(mod p)
(mod p)
Also ist die Authentifizierung von Alice gegen¨uber Bob immer
erfolgreich
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
41 / 64
Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Nachweis Punkt 2: Angenommen, Oskar kennt die Zufallszahl r vor
Ablauf des Protokolls.
Dann kann er sich gegen¨uber Bob als Alice ausweisen. Hierzu geht er
folgendermaßen vor:
1. Er w¨ahlt eine beliebige Zahl y und berechnet γ = αy v r mod p
2. Er sendet Cert(Alice) und γ an Bob und erh¨alt im Gegenzug den
ihm schon bekannten Wert r
3. Nun sendet er y an Bob
4. Bob akzeptiert Oskar, denn γ = αy v r mod p
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
42 / 64
Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Bemerkungen
• Kennt Oskar r nicht, dann hat er immer noch die M¨oglichkeit,
obigen Angriff mit einem zuf¨alligen Wert f¨ur r durchzuf¨uhren
• Der Angriff ist erfolgreich, falls die von Bob generierte
Zufallszahl mit r u¨bereinstimmt
• Die Wahrscheinlichkeit, dass der Angriff erfolgreich ist, ist gleich
2−t
• Durch die Wahl von t kann man diese Wahrscheinlichkeit
beliebig verkleinern (auf Kosten der Laufzeit der
zahlentheoretischen Algorithmen und der Anzahl der zu
u¨bertragenden Bits)
• Wichtig: Bob darf nicht immer denselben Wert f¨ur r w¨ahlen
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
43 / 64
Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Annahme: Die Erfolgschancen von Oskar sind gr¨oßer als 2t
Dann muss Oskar ein γ und (mindestens) zwei Werte r1 und r2
kennen, f¨ur die er passende y1 und y2 berechnen kann, mit denen der
obige Angriff erfolgreich durchf¨uhrbar ist
F¨ur γ, r1 , r2 , y1 , y2 gilt:
γ ≡ αy1 v r1 ≡ αy2 v r2
(mod p)
Hieraus folgt:
αy1 −y2 ≡ v r2 −r1
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(mod p)
Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
44 / 64
Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Da v ≡ α−a (mod p), folgt:
αy1 −y2 ≡ α−a(r2 −r1 )
(mod p)
Da α die Ordnung q in Z∗p hat, kann man hieraus folgern, dass
y1 − y2 ≡ a(r1 − r2 ) (mod q)
Da 0 < |r2 − r1 | < 2t und q > 2t eine Primzahl ist, ist
gcd(r2 − r1 , q) = 1. Also existiert ein multiplikatives Inverses
(r2 − r1 )−1 modulo q
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Anhand von (r2 − r1 )−1 kann Oskar den geheimen Schl¨ussel von Alice
berechnen:
a ≡ (y1 − y2 )(r1 − r2 )−1 (mod q)
Konsequenz: Die F¨ahigkeit von Oskar, einen Angriff mit einer
Erfolgswahrscheinlichkeit > 2−t auszuf¨uhren, ist gleichbedeutend mit
der Tatsache, dass Oskar den geheimen Schl¨ussel von Alice kennt
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Zero Knowledge Eigenschaft
Beobachtung: Die Proof Of Knowledge Eigenschaft ist f¨ur die
Sicherheit eines Authentisierungsprotokolls nicht ausreichend
Begr¨undung: Oskar kann sich gegen¨uber Alice als Bob ausgeben und
durch wiederholte Ausf¨uhrung des Protokols gen¨ugend Informationen
zur Berechnung des geheimen Schl¨ussels von Alice sammeln
Definition. Ein Authentisierungsprotokoll besitzt die Zero Knowledge
Eigenschaft, falls die Anwendung des obigen Angriffs die Berechnung
des geheimen Schl¨ussels nicht vereinfacht
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse Teil 2
Ziel: Nachweis der Zero Knowledge Eigenschaft f¨ur das Schnorr
Protokoll
Annahme: Oskar generiert r zuf¨allig unter Gleichverteilung
Das Tupel (γ, r , y ) beinhaltet alle Informationen, die w¨ahrend einer
Session u¨bertragen werden
Die Menge aller m¨oglichen Abl¨aufe des Protokolls ist:
T = {(γ, r , y ) | 1 ≤ r ≤ 2t , 0 ≤ y ≤ q − 1, γ ≡ αy v r
(mod p)}
Es gilt: kTk = q2t
Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Tupel T = (γ, r , y ) in
einer Session auf?
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse Teil 2 (Forts.)
Beobachtung:
• Der Wert von y ist durch die Wahl von γ und r eindeutig
festgelegt
• Alice zieht k zuf¨allig unter Gleichverteilung aus {0, . . . , q − 1}
und berechnet αk mod p. Da α die Ordnung q hat, ist jedes
Element in hαi gleichwahrscheinlich
• Bob zieht r zuf¨allig unter Gleichverteilung aus {1, . . . , 2t }
Folgerung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Tupel T = (γ, r , y ) in
einer Session auftritt, ist gleich q21 t
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse Teil 2 (Forts.)
Der Ablauf von mehreren Sessions des Schnorr Protokolls ist mit
folgendem Zufallsprozess P simulierbar:
1. W¨ahle zuf¨allig unter Gleichverteilung ein r ∈ {1, . . . , 2t }
2. W¨ahle zuf¨allig unter Gleichverteilung ein y ∈ {0, . . . , q − 1}
3. Berechne γ = αy v r mod p
4. Gib das Tupel T = (γ, r , y ) zur¨uck
F¨ur alle T ∈ T gilt:
Prob[T tritt in einer Session auf]
= Prob[T wird vom Zufallsprozess P erzeugt]
1
=
q2t
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Schnorr
Sicherheitsanalyse Teil 2 (Forts.)
Ergebnis: Die Tatsache, dass Oskar sich gegen¨uber Alice als Bob
ausgibt, vereinfacht nicht die Berechnung des geheimen Schl¨ussels
Bemerkungen
• F¨ur den Fall, dass Oskar r nicht unter Gleichverteilung zieht,
konnte f¨ur das Schnorr Protokoll nicht die Zero Knowledge
Eigenschaft nachgewiesen werden
• Bisher ist kein erfolgreicher Angriff auf das Schnorr Protokoll
bekannt
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Das Protokoll von Guillou-Quisquater
•
•
•
•
Protokoll zur Authentifizierung
Grundlage: RSA
Voraussetzung: Trusted Authority
Aufgaben der Trusted Authority
. Festlegung der ¨offentlichen Parameter
. Ausstellung von Zertifikaten
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Parameter des Guillou-Quisquater Protokolls
¨
Offentliche
Parameter:
• Zahl n = p · q, wobei p und q geheime Primzahlen sind
• Primzahl b mit der Eigenschaft b ≡ 1 (mod φ(n))
(Gr¨oße:40 Bit)
Schl¨ussel eines Benutzers:
• Privater Schl¨ussel: uU ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
¨
• Offentlicher
Schl¨ussel: vU = (u −1 )b mod n
Zertifikat eines Benutzers:
• Identit¨at des Benutzers Cert(U)
¨
• Offentlicher
Schl¨ussel vU
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Guillou-Quisquater Protokoll
1. Alice w¨ahlt eine Zufallszahl k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} und berechnet
γ = k b mod n
2. Alice sendet ihr Zertifikat Cert(Alice) und γ an Bob
3. Bob u¨berpr¨uft die Echtheit von Cert(Alice)
4. Bob generiert eine Zufallszahl r ∈ {0, 1, . . . , b − 1} und sendet
diese an Alice
5. Alice berechnet y = k · u r mod n und sendet diesen Wert an
Bob.
6. Bob u¨berpr¨uft, dass y ≡ v r y b (mod n). Falls ja, dass akzeptiert
er die Authentizit¨at von Alice
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Guillou-Quisquater Protokoll (Ablauf)
Alice
Bob
Generiert eine Zufallzahl k ∈ {0, . . . , n − 1}
Berechnet γ = k b mod n
Cert(Alice), γ
Pr¨
uft die Echtheit von Cert(Alice)
Extrahiert v aus Cert(Alice)
Generiert eine Zufallzahl r ∈ {0, . . . , b − 1}
r
Berechnet y = ku r mod n
y
Pr¨
uft, ob γ ≡ v r y b (mod n)
¨
Offentliche
Parameter: n, b
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Guillou-Quisquater Protokoll – Beispiel
Beispiel. Die TA generiert die Primzahlen p = 467, q = 479 und
b = 503 und ver¨offentlicht die Parameter n = 223693 und b.
Alice erzeugt sich den privaten Schl¨ussel u = 101576 berechnet
v = (u −1 )b mod n
= (101576−1 )5 02 mod 223693
= 89888
und l¨asst sich von der TA ein entsprechendes Zertifikat ausstellen
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Guillou-Quisquater Protokoll – Beispiel (Forts.)
Um sich gegen¨uber Bob zu authentifizieren, generiert Alice den Wert
k = 187485 und berechnet
187485503
γ = k b mod n
mod 223693
= 24412
sendet Cert(Alice) und γ an Bob
Bob sendet u¨berpr¨uft Cert(Alice). Ist das Zertifikat nicht in Ordnung,
dann bricht er die Authentifizierung ab. Andernfalls w¨urfelt er den
Challenge r = 375 und sendet diesen an Alice
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Guillou-Quisquater Protokoll – Beispiel (Forts.)
Nach Empfang von r berechnet Alice
y = ku r mod n
= 187485 · 101576375 mod 223693
= 93725
und sendet y an Bob
Bob u¨berpr¨uft, dass
γ ≡ 24412 ≡ 89888375 · 93725503 ≡ v r · y b
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Kryptografische Protokolle
(mod 223693)
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Sicherheitsanalyse
Ziel: Nachweis der Proof Of Knowledge Eigenschaft f¨ur das
Guillou-Quisquater Protokoll
Zu zeigen:
• F¨ur alle Werte von k und r kann sich Alice gegen¨uber Bob
erfolgreich authentifizieren
• Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Oskar gegen¨uber Bob als Alice
ausgeben kann, ist gleich 2−b
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Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Nachweis Punkt 1: Seien k und r beliebig gew¨ahlt.
Es gilt:
vryb ≡
≡
≡
≡
(u −b )r (ku r )b
u −br k b u br
kb
γ
(mod
(mod
(mod
(mod
n)
n)
n)
n)
Also arbeitet das Protokoll f¨ur alle Werte von k und r korrekt
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Nachweis Punkt 2: Angenommen, Oskar kennt einen Wert γ, f¨ur den
er mit einer Wahrscheinlichkeit ε ≥ 2/b gegen¨uber Bob als Alice
ausgeben kann
Dann kann man annehmen, dass Oskar f¨ur dieses γ Werte y1 , y2 , r1
und r2 , wobei r1 6= r2 , berechnen kann, so dass
γ ≡ v r1 y1b ≡ v r2 y2b
(mod n)
Der Einfachheit wird angenommen, dass r1 > r2 ist. Hieraus folgt:
v r1 −r2 ≡ y2b (y1b )−1 ≡ (y2 y1−1 )b
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(mod n)
Kryptografische Protokolle
Public Key Verfahren
Authentifizierung
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Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Da 0 < r1 − r2 < b und b eine Primzahl ist, existiert
t = (r1 − r2 )−1 mod b
Oskar kann t mit dem Erweiterten Algorithmus von Euklid berechnen
Folglich gilt:
v (r1 −r2 )t ≡ (y2 y1−1 )bt
(mod n)
Da (r1 − r2 )t = `b + 1 f¨ur eine ganze Zahl `, ist
v `b+1 ≡ (y2 y1−1 )bt
(mod n)
und somit
v ≡ (y2 y1−1 )bt (v −1 )`b
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Kryptografische Protokolle
(mod n)
Authentifizierung
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Public Key Verfahren
Das Protokoll von Guillou-Quisquater
Sicherheitsanalyse (Forts.)
Potenziert man beide Seiten dieser Gleichung mit b −1 mod φ(n),
dann erh¨alt mann
u −1 ≡ (y2 y1−1 )t (v −1 )`
(mod n)
Berechnet man das multiplikative Inverse auf beiden Seiten, dann
erh¨alt man:
u ≡ ((y2 y1−1 )t (v −1 )` )−1
≡ (y2−1 y1 )t (v )`
(mod n)
(mod n)
Also kann Oskar den geheimen Schl¨ussel von Alice effizient berechnen
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Kryptografische Protokolle
Authentifizierung
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Zusammenfassung
Zusammenfassung
• Die Aufgabe eines Authentisierungsprotokolls besteht in der
¨
Uberpr¨
ufung der Echtheit eines Benutzers
• Man unterscheidet:
. Einseitige Authentifizierung
. Gegenseitige Authentifizierung
• Voraussetzungen f¨ur Authentisierungsprotokolle sind
. Kenntnis eines gemeinsamen Schl¨ussels, oder
. Besitz eines Public Key Schl¨usselpaars
• Neben den in dieser Lerneinheit pr¨asentierten Verfahren
existieren noch zahlreiche weitere Verfahren zur
Authentifizierung
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Authentifizierung
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