LM 371
Partiel
19 Mars 2015
Pour chaque exercice montrer les assertions précédées d’un numéro.
Exercice no 1
4−4
On note τ = (1234567) ∈ S7 i.e. τ (i) = i + 1 pour i ≤ 6 et τ (7) = 1.
1/ Il existe σ ∈ S7 , unique, tel que τ 2 = σ ◦ τ ◦ σ −1 , et σ(7) = 7.
2/ h{σ, τ }i est un sous-groupe de S7 et h{σ, τ }i = 21.
Exercice no 2
σ = τ −2 ◦ σ ◦ τ
6−4−4−2
Soit (G, ?) un groupe fini et p le plus petit nombre premier divisant |G|.
Soit H un sous-groupe d’indice p. Pour g ∈ G, on note Hg = gHg −1 .
|H||K|
.
Poser (h, k) R (h0 , k 0 ) ssi h ? k = h0 ? k 0 .
1/ Pour tout K ≤ G, ](HK) =
|H ∩ K|
2/ Si H n’est pas normal, il existe g0 ∈ G tel que HHg0 = G.
3/ g0 ∈ H.
4/ H est normal.
Exercice no 3
4−4−4−4
Soit (G, ?) un groupe d’ordre 2m. Pour g ∈ G, on note Tg et Ug les translations à gauche et à
droite par g. On note B = g ∈ G, |g| = 2 et A = G \ B.
1/ ]A et ]B sont impairs.
On suppose m impair et ]A = ]B = m.
2/ |g| = |h| = 2 et g 6= h
3/ h ∈ B
=⇒
=⇒
g ? h 6= h ? g.
Uh (B) = A et Uh (A) = B.
4/ A est un sous-groupe de G.
Exercice no 4
4−4−6−6
Soit (G, ?) un groupe non commutatif d’ordre 21.
1/ ∀g, h ∈ G \ {eG }, g ? h = h ? g
⇐⇒
2/ g 3 = h3 = (g ? h)3 = eG
(g 2 ? h) ? (g ? h2 ) = (g ? h2 ) ? (g 2 ? h).
=⇒
3/ |g| = |h| = |g ? h| = 3 et h{g}i =
6 h{h}i
h{g}i = h{h}i .
=⇒
|g 2 ? h| = 7.
4/ G a un unique sous-groupe N d’ordre 7, qui est normal, et 7 sous-groupes d’ordre 3.
(Note sur 60)/2 = Note sur 25
Rappels
Les groupes sont supposés finis. On note (G, ?) un groupe et H, K des sous-groupes de G.
Pour g ∈ G, Tg et Ug sont les translations à gauche et à droite par g i.e. ∀h ∈ G, Tg (h) = g?h
et Ug (h) = h ? g. Ce sont des bijections de G dans G.
Définitions: L’ordre de G, noté |G|, est son cardinal ]G.
Soit A ⊆ G. Le plus petit groupe contenant A est noté A : c’est le groupe engendré par A.
Si A = G, G est engendré par A.
Soit x ∈ G. L’ordre de x, noté |x|, est le plus petit entier p tel que xp = e. On a |x| = h{x}i .
Un groupe (G, ?) est cyclique s’il existe g ∈ G tel que G = h{g}i , soit |g| = |G|.
Un groupe cyclique est commutatif. Si son ordre est premier, il est engendré par tout élément
distinct de l’élément neutre. Réciproquement un groupe d’ordre premier est cyclique.
Classes à gauche, classes à droite et conjugaison
Définitions: Une classe à gauche de G suivant H est un ensemble de la forme gH = {g ?
h, h ∈ H} où g ∈ G. De même une classe à droite est de la forme Hg.
Les classes à droite ou à gauche ont pour cardinal celui de H. De plus les classes à gauche (ou
à droite) forment une partition de G.
Définition: l’indice d’un sous-groupe H, noté [G : H], est le nombre de classes à gauche (ou
à droite) suivant H. On a [G : H] = |G|/|H|.
Théorème de Lagrange Soit (G, ?) un groupe et H un sous-groupe de G. Alors |H||G|.
En particulier si x ∈ G, |x||G| soit |x||G| = eG .
Notation: Soit H, K deux sous-groupes de (G, ?). On note HK = {h ? k, h ∈ H, k ∈ K}.
Si H ∩ K = {eG }, alors ]HK = |H| × |K|.
Proposition : Soit H ≤ G et K ≤ G. Alors HK est un sous-groupe de G ssi HK = KH.
En particulier HK est un sous-groupe si hKh−1 = K pour tout h ∈ H.
Définition: Deux éléments g et h d’un groupe (G, ?) sont conjugués s’il existe k ∈ G tel que
k ? g ? k −1 = h. La relation de conjugaison est une relation d’équivalence.
Définition et notation: Un sous-groupe H d’un groupe (G, ?) est normal si ses classes à
droite et à gauche suivant H coïncident. On note alors H E G.
Dit autrement, ∀g ∈ G, gN g −1 = N .
Les Théorèmes de Sylow sont hors-programme