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DS 10 de physique
MP* 01/04/2015
Donn´
ees num´
eriques pour l’ensemble du devoir :
masse du proton et du neutron : mp ' mn ' 1,67 10−27 kg, constante de Planck h = 6,62 10−34 J s,
charge ´el´ementaire e = 1, 6.10−19 C, c´el´erit´e de la lumi`ere dans le vide c = 3 108 m s−1 , o = 8,85 10−12 F m−1
Partie 1. Le deut´
eron
Le deut´eron, noyau du deut´erium, est form´e d’un proton de masse mp
et d’un neutron de masse mn .
mp mn
On le mod´elise par une particule fictive de masse r´eduite m =
mp + mn
soumise `
a un potentiel attractif V (r), correspondant `a l’interaction nucl´eaire,
ayant la forme ci-contre, de valeur minimale −Vo .
On observe exp´erimentalement l’existence d’un seul ´etat li´e stable du
syst`eme, correspondant `
a une ´energie E = −2, 2MeV.
L’ordre de grandeur de la port´ee de cette interaction est a = 1fm=10−15 m.
V(r)
a
E
Vo
1)
Commenter physiquement l’allure de ce potentiel. Proposer une mod´elisation tr`es simple sous forme d’une
fonction constante par morceau en fonction de r sur diff´erents intervalles.
2)
Donner la forme de la fonction d’onde de l’´etat stationnaire d’´energie E dans ces deux r´egions de l’espace.
3)
En d´eduire une condition de quantification de la forme :
√
k
2mVo
| sin(ka)| =
et
tan(ka) < 0 avec ko =
ko
~
On indiquera l’expression de k.
4)
A l’aide d’une figure repr´esentative de | sin(ka)|, montrer que si Vo >> |E|, il n’y a qu’un seul ´etat li´e. Evaluer la valeur correspondante de Vo et comenter. Quelle est la signification physique de cette in´egalit´e ? Pourquoi
le deut´eron est-il utilis´e dans les acc´el´erateur synchrotrons de haute ´energie pour produire des neutrons ?
Partie 2. La radioactivit´
eα
On doit `
a Henri Becquerel la d´ecouverte de la radioactivit´e (1896). Les premi`eres observations montr`erent qu’il
n’y a pas une radioactivit´e, mais plusieurs, se distinguant par leur pouvoir de p´en´etration, et par la charge
et la masse des particules constituant le rayonnement. Trois types de “rayons” furent ainsi mis en ´evidence,
auxquels furent donn´es les noms de radioactivit´e α, β et γ. Au cours d’une d´esint´egration radioactive, les noyaux
radioactifs se transforment spontan´ement en des configurations ´energiquement plus favorables par ´emissions de
particules α, β ou γ.
Document 1 : les trois types de radioactivit´
e
• La d´esint´egration α concerne des nucl´eides assez lourds (Z >86). Elle consiste en l’´emission d’une particule
α qui n’est autre qu’un noyau d’h´elium 42 He. En g´en´eral, on peut ´ecrire la d´esint´egration sous la forme :
A
ZX
4
→A−4
Z−2 Y +2 He
Par exemple, un atome de polonium 210 devient, par radioactivit´e α, un atome de plomb 206, l’uranium 238 se
d´esint`egre en thorium 234. Cette d´esint´egration a ´et´e bien document´ee d`es 1900, mais son explication est rest´ee
longtemps myst´erieuse. Les particules α ont ´et´e identifi´ees par Rutherford comme ´etant des noyaux d’H´elium
en 1909.
• La d´esint´egration β se compose de la d´esint´egration β − et de la d´esint´egration β + .
La d´esint´egration β − correspond `
a l’´emission d’un ´electron et d’un antineutrino lors de la d´ecomposition :
A
ZX
0
→A
Z+1 Y +−1 e + ν e
La d´esint´egration β + correspond `
a l’´emission d’un positron et d’un neutrino lors de la d´ecomposition :
A
ZX
0
→A
Z−1 Y +1 e + νe
r
• La d´esint´egration γ consiste en l’´emission d’un photon γ selon le processus :
0
1n
A+1
+A
Y ∗ →A+1
Y +γ
Z X →Z
Z
avec Y ∗ d´esignant un ´etat excit´e de l’atome consid´er´e.
Document 2 : demi-vie
En travaillant avec le radon 220 Rn hautement radioactif, Rutherford a remarqu´e que l’intensit´e des ´emissions
diminuait avec le temps de mani`ere pr´ecise et pr´evisible. Si on consid`ere le nombre N (t) d’´el´ements radioactifs
pr´esents `
a l’instant t, et No leur nombre `
a t = 0, on peut ´ecrire, pour tout type de radioactivit´e, et pour tout
´el´ement : N (t) = No e−λt avec λ le taux de d´esint´egration.
No
On d´efinit le temps de demi-vie t1/2 comme le temps au bout duquel N (t1/2 ) =
2
λ et t1/2 et d´ependent donc de l’´el´ement radioactif consid´er´e.
Document 3 : ´
energie des particules α et demi-vies
Les ´energies des particules α ´emises lors d’une d´esint´egration de ce type sont en moyenne comprises entre 4 et
10 MeV, alors que les temps de demi-vie varient sur une tr`es large gamme de valeurs selon l’´el´ement consid´er´e,
comme le montre bien le tableau ci-dessous.
On constate donc exp´erimentalement qu’il existe de
toute ´evidence une relation entre la demi-vie d’un
´el´ement radioactif et l’´energie des particules α qu’il
El´ement Energie de α en MeV
Demi-vie
´emet, et que cette loi semble d´ependre de l’´el´ement
radioactif consid´er´e.
232
4,05
1, 4.1010 ann´ees
90 T h
D`es 1911, Geiger et Nuttall proposent la loi empirique suivante :
238
4,19
4, 4.109 ann´ees
92 U
C
234
t1/2 = K exp( √ )
4,70
2, 7.109 ann´ees
92 U
E
226
88 Ra
4,90
1, 6.103 ann´ees
232
92 U
5,21
73 ann´ees
230
902 U
5,60
21 jours
240
96 Cm
6,40
27 jours
212
84 P o
8,95
0, 3µs
avec K et C d´ependant de Z mais pas de E.
Document 4 : approche th´
eorique de Gamov
énergie
En 1928, Gamow a propos´e une explication th´eorique de la radioCste
V(r)=
activit´e α. Il suppose que la particule α pr´eexiste dans le noyau
Em
r
de l’´el´ement radioactif, et est confin´ee dans le puits de potentiel
form´e par l’interaction nucl´eaire `
a courte port´ee, d’o`
u elle peut
E
s’´echapper par effet tunnel. Lorsqu’elle est en dehors du noyau,
r
elle subit alors uniquement la force de r´epulsion colombienne de
Re
R
la part du noyau fils cr´e´e par la d´esint´egration, ce qui am`ene au
diagramme ´energ´etique ci-contre.
Les ordres de grandeurs typiques sont -40MeV pour Eo , 30MeV
Eo
pour Em . L’´energie totale E de la particule α dans le noyau devient
son ´energie cin´etique une fois qu’elle s’en est ´echapp´ee.
De plus, le rayon R d’un noyau lourd est donn´e en bonne approximation par R = ro A1/3 o`
u ro = 1, 2 fm et A
est le nombre de masse.
Document 5 : coefficient de probabilit´
e de transmission
Les r´esultats simples pour T(E) obtenus avec une barri`ere rectangulaire ne peuvent pas ˆetre utilis´es ici, `a cause
de la forme particuli`ere de cette barri`ere. On admettra qu’on peut adapter le mod`ele rectangulaire, ce qui
conduit `
a l’expression suivante pour T(E) :
Z Re r
2mα (V (r) − E) T (E) = exp − 2
dr
~2
R
√
En supposant R << Re , on aboutit finalement `a T (E) = ea−b/ E .
La particule α a, dans le puits, une vitesse v, et elle effectue des allers-retours dans le noyau dont le rayon est
R.
2R
1
A chaque aller-retour, qui dure le temps τ =
=
elle a une probabilit´e T(E) de franchir la barri`ere de
v
f
potentiel. Le taux de d´esint´egration est donc λ ' f T (E), et le temps de demi-vie s’obtient donc par :
t1/2 '
ln 2
f T (E)
Document 6 : applications
Le ph´enom`ene de la radioactivit´e naturelle permet de proc´eder `a la datation des min´eraux. Pour cela, on
d´etermine le taux d’isotopes radioactifs ayant une demi-vie importante, ainsi que la forme terminale de la
chaˆıne de d´esint´egration. L’effet tunnel est aussi `a consid´erer pour expliquer la g´en´eration d’´energie dans le
soleil ou autres ´etoiles, qui repose sur une premi`ere ´etape de r´eaction de fusion de deux protons, malgr´e la
barri`ere de potentiel due `
a leur r´epulsion coulombienne.
QUESTIONS
Apr`es lecture du document, r´epondre aux questions suivantes :
1)
Bilan ´energ´etique.
´
a) Ecrire
l’´equation-bilan de production d’une particule α et d’un noyau de thorium Th `a partir d’un noyau
d’uranium 238.
b) La d´esint´egration α est-elle plutˆ
ot `
a consid´erer pour des noyaux l´egers ou lourds ? Justifier la r´eponse.
c) Expliciter, en utilisant la loi d’Einstein, l’´energie Q produite par le processus pr´ec´edent. Pourquoi peut-on
dire que c’est, en bonne approximation, l’´energie cin´etique E de la particule α lib´er´ee ?
Effectuer l’application num´erique en consid´erant le cas de l’uranium 238 (masse atomique 238,0508 u) qui
produit du thorium (masse atomique 234,0436 u) et la particule α (masse atomique 4, 0026 u) o`
u u d´esigne
l’unit´e de masse atomique et vaut environ 931 MeV/c2 . Est-ce en accord avec le texte ? En d´eduire la vitesse
vα d’´ejection de la particule α. Commenter le r´esultat.
2)
Interaction avec le noyau.
a) Quelle est l’expression pr´ecise de la loi de r´epulsion colombienne V (r) `a adopter pour la barri`ere en
fonction de Z, e, o et r ?
b) Pr´eciser les relations permettant de d´eterminer le rayon nucl´eaire R, l’´energie maximale de la barri`ere
Em , et le rayon de sortie Re .
c) Effectuer les applications num´eriques pour 238
92 U . Commenter.
3)
Estimer la vitesse v de la particule dans le noyau, et estimer la fr´equence de collisions f pour
Commenter.
238
92 U .
4)
L’´evolution de T (E) avec E est-elle une surprise ?
5)
Les donn´ees du tableau sont-elles en ad´equation avec la loi empirique de Geiger-Nuttall ? Commenter.