¨ ¨ tstheorie Ubungen zur Vorlesung Komplexita Thomas Schwentick Gaetano Geck ¨ Ubungsblatt 2 SoSe 2015 21.04.2015 Die Abgabe erfolgt bis spätestens am 30.04.2015 um 16:10 Uhr im Briefkasten 58, OH 12 (erster Stock, Übergang zur OH 14). Ansonsten gelten die Hinweise von Blatt 1. Quizfragen: Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum? keine Punkte 1. TIME(2n ) = TIME(2n+1 ) n 2. TIME(22 ) = TIME(22 n+1 ) 3. Wenn eine dem Satz von Savitch entsprechende Aussage auch für Zeitklassen gilt, dann ist P = NP. 4. TIME((log(log n))n ) ( SPACE(n) 5. coNSPACE(2n ) ⊆ SPACE(5n ) 6. TIME(n2 ) ( ASPACE((log n)2 ) Aufgabe 2.1 [Cliquen fester Größe] Zu gegebenem k sei k-Clique das folgende Problem. Problem: Eingabe: Frage: 3 Punkte k-Clique Ein ungerichteter Graph G = (V, E). Gibt es eine Clique U ⊆ V mit |U | ≥ k? Finden Sie unter den Komplexitätsklassen NP, P, NL und LOGSPACE eine möglichst kleine, die das Problem k-Clique für jedes feste k ≥ 1 enthält. Beweisen Sie Ihre Aussage. Sie müssen aber nicht beweisen, dass das Problem in keiner kleineren Klasse liegt. Übungsblatt Übungen zur KT Aufgabe 2.2 [CFG-NFA-Containment] Seite 2 7 Punkte a) Beschreiben Sie, wie für eine kontextfreie Grammatik G = (V, Σ, S, P ) und einen NFA A = (Q, Σ, δ, q0 , F ) eine Grammatik G0 = (V 0 , Σ, S 0 , P 0 ) konstruiert werden kann, sodass L(G0 ) = L(G) ∩ L(A) gilt. Skizzieren Sie insbesondere die Korrektheit Ihrer Konstruktion. (Gehen Sie davon aus, dass G in Chomsky-Normalform vorliegt.) Hinweis: Nutzen Sie eine Variablenmenge V 0 ⊇ {Xp,Y,q | Y ∈ V und p, q ∈ Q}. Die Produktionen in P 0 sollten neben den Ableitungen von P auch den Lauf des Automaten A über dem erzeugten Wort widerspiegeln. (4 Punkte) Bekanntermaßen ist das Enthaltenseinsproblem formaler Sprachen L1 ⊆ L2 unentscheidbar, wenn beide Sprachen durch kontextfreie Grammatiken beschrieben werden. Wir betrachten nun eine Variante, bei der L2 eine reguläre Sprache ist: Problem: Eingabe: Frage: CFG-NFA-Cont Kontextfreie Grammatik G, NFA A Gilt L(G) ⊆ L(A)? b) Zeigen Sie unter Verwendung von Teilaufgabe a), dass das Problem CFG-NFA-Cont in exponentieller Zeit entschieden werden kann. (3 Punkte) Aufgabe 2.3 [Hierarchiesätze und Trennungen] 2 Punkte Zeigen Sie, dass POLYLOGSPACE kein vollständiges Problem besitzt. Aufgabe 2.4 [NL-Vollständigkeit] 8 Punkte a) Zeigen Sie, dass das Problem 2-Sat in NL ist, indem Sie eine Reduktion des Komplementproblems 2-Sat auf Reach angeben. Beweisen Sie die Korrektheit Ihres Algorithmus. Hinweis: Interpretieren Sie die Klauseln als Implikationen. (4 Punkte) b) Zeigen Sie, dass das Problem 2-Sat NL-schwierig ist. Hinweis: Reduzieren sie vom Komplementproblem Reach des NL-vollständigen Erreichbarkeitsproblems Reach. (4 Punkte)