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MafI 1 Repetitorium Übungen
M. Sc. Dawid Kopetzki
KW 19 (06.05.2015)
M. Sc. Dawid Kopetzki
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Intro
Themenübersicht
Themen der heutigen Übung:
Wiederholung: Noethersche Induktion
Ordnungsrelationen, Teilstrukturen
Verbände
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Wiederholung
Noethersche Induktion
Funktion reverse
Sei A ein Alphabet. Wir denieren induktiv eine Funktion reverse :
Worte aus A∗ umdreht.
A∗ → A∗ , die
Für das leere Wort ε: reverse(ε) = ε.
Für
w ∈ A∗ und a ∈ A:
reverse(w · a) = a · reverse(w ).
Der Operator · steht für die bekannte Konkatenation von Worten aus
A∗ .
Aufgabe zur reverse-Funktion
Beweisen Sie durch Noethersche Induktion über die Teilwortbeziehung auf
w:
∀v , w ∈ A∗ . reverse(v · w ) = reverse(w ) · reverse(v ).
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Wiederholung
Noethersche Induktion
Funktion reverse
Sei A ein Alphabet. Wir denieren induktiv eine Funktion reverse :
Worte aus A∗ umdreht.
A∗ → A∗ , die
Für das leere Wort ε: reverse(ε) = ε.
Für
w ∈ A∗ und a ∈ A:
reverse(w · a) = a · reverse(w ).
Der Operator · steht für die bekannte Konkatenation von Worten aus
A∗ .
Aufgabe zur reverse-Funktion
Beweisen Sie durch Noethersche Induktion über die Teilwortbeziehung auf
w:
∀v , w ∈ A∗ . reverse(v · w ) = reverse(w ) · reverse(v ).
Teilwortbeziehung
Sei A ein Alphabet, und seien v , w ∈ A∗ Wörter über A. Die Teilwortbeziehung
ist wie folgt formal deniert:
v 6w
v 6 w ⇔df ∃u1 , u2 ∈ A∗ .u1 · v · u2 = w .
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Ordnungrelationen
Partielle Ordnung
Eine homogene Relation ⊆ A × A heiÿt partielle Ordnung oder auch
Halbordnung, gdw.
1 ist reexiv: ∀a ∈ A.a a
2 ist antisymmetrisch: ∀a1 , a2 ∈ A.a1 a2 ∧ a2 a1 ⇒ a1 = a2
3 ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 a2 ∧ a2 a3 ⇒ a1 a3
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Ordnungrelationen
Partielle Ordnung
Eine homogene Relation ⊆ A × A heiÿt partielle Ordnung oder auch
Halbordnung, gdw.
1 ist reexiv: ∀a ∈ A.a a
2 ist antisymmetrisch: ∀a1 , a2 ∈ A.a1 a2 ∧ a2 a1 ⇒ a1 = a2
3 ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 a2 ∧ a2 a3 ⇒ a1 a3
Quasiordnung
Eine homogene Relation -⊆ A × A heiÿt Quasiordnung, gdw.
1 - ist reexiv: ∀a ∈
2
A .a - a
- ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 - a2 ∧ a2 - a3 ⇒ a1 - a3
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Ordnungrelationen
Partielle Ordnung
Eine homogene Relation ⊆ A × A heiÿt partielle Ordnung oder auch
Halbordnung, gdw.
1 ist reexiv: ∀a ∈ A.a a
2 ist antisymmetrisch: ∀a1 , a2 ∈ A.a1 a2 ∧ a2 a1 ⇒ a1 = a2
3 ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 a2 ∧ a2 a3 ⇒ a1 a3
Quasiordnung
Eine homogene Relation -⊆ A × A heiÿt Quasiordnung, gdw.
1 - ist reexiv: ∀a ∈
2
A .a - a
- ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 - a2 ∧ a2 - a3 ⇒ a1 - a3
Quasiordnung, Partielle Ordnung?
Welche der folgenden Ordnungen ist eine partielle Ordnung und/oder eine
Quasiordnung?
1 (N, |) =df {(n, m) ∈ N × N | ∃k ∈ N .n · k =
2 (Z, |) =df
m}
{(n, m) ∈ Z × Z | ∃k ∈ Z .n · k = m}
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Ordnungrelationen
Quasi- und Striktordnung
Quasiordnung
Eine homogene Relation - ⊆ A × A heiÿt Quasiordnung, gdw.
1 - ist reexiv: ∀a ∈
2
A .a - a
- ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 - a2 ∧ a2 - a3 ⇒ a1 - a3
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Ordnungrelationen
Quasi- und Striktordnung
Quasiordnung
Eine homogene Relation - ⊆ A × A heiÿt Quasiordnung, gdw.
1 - ist reexiv: ∀a ∈
2
A .a - a
- ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 - a2 ∧ a2 - a3 ⇒ a1 - a3
Striktordnung
Zu einer Quasiordnung - ist die zugehörige Striktordnung deniert durch
a1 ≺ a2 ⇔df a1 - a2 ∧ a1 a2
1 ≺ ist asymmetrisch: ∀a1 , a2 ∈
2
A .a1 ≺ a2 ⇒ a2 ⊀ a1
≺ ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 ≺ a2 ∧ a2 ≺ a3 ⇒ a1 ≺ a3
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Ordnungrelationen
Quasi- und Striktordnung
Quasiordnung
Eine homogene Relation - ⊆ A × A heiÿt Quasiordnung, gdw.
1 - ist reexiv: ∀a ∈
2
A .a - a
- ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 - a2 ∧ a2 - a3 ⇒ a1 - a3
Striktordnung
Zu einer Quasiordnung - ist die zugehörige Striktordnung deniert durch
a1 ≺ a2 ⇔df a1 - a2 ∧ a1 a2
1 ≺ ist asymmetrisch: ∀a1 , a2 ∈
2
A .a1 ≺ a2 ⇒ a2 ⊀ a1
≺ ist transitiv: ∀a1 , a2 , a3 ∈ A.a1 ≺ a2 ∧ a2 ≺ a3 ⇒ a1 ≺ a3
Nachbarschaftsordnung
Die Nachbarschaftsordnung ≺N zu einer Striktordnung ≺ ist deniert durch
a1 ≺N a2 ⇔df a1 ≺ a2 ∧ @a3 ∈ A. a1 ≺ a3 ≺ a2
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Ordnungrelationen
Minimales und maximales / kleinstes und gröÿtes Element
Minimale, maximale Elemente
Sei - ⊆ A × A Quasiordnung und B ⊆ A. Ein Element
minimales Element in B ⇔df @b0 ∈ B . b0 ≺ b
maximales Element in B ⇔df @b0 ∈ B . b ≺ b
Kleinstes, gröÿtes Element
Sei - ⊆ A × A Quasiordnung und B ⊆ A. Ein Element
kleinstes Element in B ⇔df ∀b0 ∈ B . b - b0
gröÿtes Element in B ⇔df ∀b0 ∈ B . b0 - b
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b
∈ B heiÿt
b
∈ B heiÿt
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Ordnungrelationen
Obere und untere Schranken
Obere Schranke
Sei (M , ) eine partielle Ordnung und X ⊆ M .
y ∈ M heiÿt obere Schranke von X ⇔df ∀x ∈ X . x y
Die Menge der oberen Schranken von X ist OX =df {y ∈ M |
Besitzt OX ein kleinstes Element, so wird dieses mit sup(X )
bezeichnet.
X
y}
Untere Schranke
Sei (M , ) eine partielle Ordnung und X ⊆ M .
y ∈ M heiÿt untere Schranke von X ⇔df ∀x ∈ X . y x
Die Menge der oberen Schranken von X ist UX =df {y ∈ M | y X }
Besitzt UX ein gröÿtes Element, so wird dieses mit inf(X ) bezeichnet.
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Ordnungrelationen
Hasse-Diagramm
Hasse-Diagramm der Teilbarkeitsrelation
Sei V =df {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1 Stellen Sie (V , |) als Hasse-Diagramm dar.
2 Bestimmen Sie die minimalen und maximalen Elemente für
{2, 3, 4, 5, 6}
3 Bestimmen Sie O{2,3} , U{2,3} O{3,4} und U{3,4}
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Ordnungrelationen
Verbände
Verband
Eine partielle Ordnung (V , ) heiÿt Verband ⇔df
∀x , y ∈ V . inf {x , y }
existiert
∧ sup{x , y }
existiert.
Vollständiger Verband
Eine partielle Ordnung (V , ) heiÿt vollständiger Verband ⇔df
∀X ⊆ V . inf {X }
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existiert
∧ sup{X }
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existiert.
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Ordnungrelationen
Verbände
Teilstrukturen
Sei (V , ) ein Verband und x ∈ V beliebig. Zeigen Sie, dass
Vx =df {v ∈ V | x v } ein Verband ist.
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Verbände als algebraische Strukturen
Distributiver Verband
Algebraischer Verband
Sei x f y =df inf {x , y }, x g y =df sup{x , y } und (V , ) ein Verband.
(V , f, g) bildet einen algebraischen Verband mit folgenden Eigenschaften
der binären Operatoren f, g:
Assoziativität
Kommutativität
Absorption
Distributiver Verband
Ein algebraischer Verband (V , f, g) heiÿt distributiv, genau dann wenn für
alle x , y , z ∈ V gilt:
1
x
g (y f z ) = (x g y ) f (x g z )
2
x
f (y g z ) = (x f y ) g (x f z )
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Verbände als algebraische Strukturen
Distributive Verbände
Distributiver Verband
Sei V =df {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bildet (V , |) einen distributiven Verband?
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Verbände als algebraische Strukturen
Strukturverträgliche Abbildungen
Ordnungshomomorphismen
Seien (A, A ) und (B , B ) Verbände und f : A → B eine Funktion. f heiÿt
Ordnungshomomorphismus genau dann, wenn für alle a1 , a2 ∈ A gilt:
a1 A a2 ⇒ f (a1 ) B f (a2 )
g-, f-Homomorphismen
Seien (A, gA , fA ) und (B , gB , fB ) algebraische Verbände und f :
A → B eine Funktion.
f heiÿt g-Homomorphismus genau dann, wenn für alle a1 , a2 ∈ A gilt:
f (a1 gA a2 ) = f (a1 ) gB f (a2 )
f heiÿt f-Homomorphismus genau dann, wenn für alle a1 , a2 ∈ A gilt:
f (a1 fA a2 ) = f (a1 ) fB f (a2 )
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Verbände als algebraische Strukturen
g-, f-Homomorphismen
Sei (V , g, f) ein distributiver Verband, a, b ∈ V mit
dass die Abbildung f : V → V , mit
f
a
b. Zeigen Sie,
(x ) =df (x g a) f b
ein g-,f-Homomorphismus ist.
Ordnungs-, g-, f-Homomorphismen
Handelt es sich bei der Funktion h : (N, |) → (N, |), mit
( ) =df
h n
n
+3
um einen Ordnungs-, g- bzw. f-Homomorphismus?
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