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MafI 1 Repetitorium Übungen
M. Sc. Dawid Kopetzki
KW 22 (27.05.2015)
M. Sc. Dawid Kopetzki
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Intro
Themenübersicht
Themen der heutigen Übung (Algebra):
Kern, Bild von (Gruppen-)Homomorphismen
Mengen mit zwei Verknüpfungen
Vektorraum, Untervektorraum
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Kern und Bild von Gruppenhomomorphismen
Bild/Kern
Seien
ϕ:
G1
hG1 , ⊕1 i, hG2 , ⊕2 i Gruppen mit neutralen
→ G2 ein Gruppenhomomorphismus.
Bild(ϕ)
Kern(ϕ)
Elementen e1 , e2 und
= {y ∈ G2 | ∃x ∈ G1 .ϕ(x ) = y }
= {x ∈ G1 | ϕ(x ) = e2 }
Aufgabe
Seien hM1 , ⊕1 i, hM2 , ⊕2 i Monoide mit neutralen Elementen e1 , e2 und
ϕ : hM1 , ⊕1 i → hM2 , ⊕2 i ein Monoidhomomorphismus. Zeigen Sie
ϕ
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ist injektiv
⇒ Kern(ϕ) = {e1 }
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Mengen mit zwei Verknüpfungen
Ring
Eine Menge
R mit den Operationen ⊕ und heiÿt Ring genau dann, wenn
R
hR , i bildet eine Halbgruppe
h , ⊕i bildet eine kommutative Gruppe
Es gelten die Distributivgesetzte:
a b c R .a (b ⊕ c ) = (a b) ⊕ (a c )
a b c R .(a ⊕ b) c = (a c ) ⊕ (b c )
Ist hR , i ein Monoid, dann ist hR , ⊕, i Ring mit Einselement 1.
∀ , , ∈
∀ , , ∈
Integritätsbereich
R
R
Ist h , ⊕, i ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement, so heiÿt h , ⊕, i
Integritätsbereich
Körper
R
R
Ein Integritätsbereich h , ⊕, i heiÿt Körper genau dann, wenn h \ {0}, i eine
kommutative Gruppe ist.
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Mengen mit zwei Verknüpfungen
Ring
Eine Menge
R
R
R mit den Operationen ⊕ und heiÿt Ring genau dann, wenn
h , ⊕i bildet eine kommutative Gruppe
h , i bildet eine Halbgruppe
Es gelten die Distributivgesetze
R
R
Ist h , i ein Monoid, dann ist h , ⊕, i Ring mit Einselement 1.
Aufgabe
Seien für Z × Z die Operatoren ⊕ : Z2 × Z2 → Z × Z und : Z2 × Z2 → Z × Z deniert
durch:
a a2 ) ⊕ (b1 , b2 )
(a1 , a2 ) (b1 , b2 )
( 1,
=
=
a1 + b1 , a2 + b2 )
(a1 · b1 , a2 · b2 )
(
Zeigen Sie:
1 hZ × Z, ⊕, i bildet einen Ring mit Einselement.
R
2 h , ⊕, i, mit
R =df {(a, b) ∈ Z × Z | b = 0} ist Unterring von hZ × Z, ⊕, i
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Verktorraum
K-Vektorraum
Sei
(K , +, ·)
ein Körper. Ein K-Vektorraum ist eine Menge V zusammen
mit den Abbildungen:
+
:
V
~ ) 7→ ~v + w
~
× V → V , (~v , w
·
:
K
× V → V , (s , ~v ) 7→ s · ~v
und folgenden Regeln:
1
(V , +)
ist kommutative Gruppe. Neutrales Element der Addition ist ~
0,
inverse zu ~
v ist
2 1·~
v
= ~v
−~v
mit dem Einselement 1 des Körpers
3
(s · s 0 ) · ~v = s · (s 0 · ~v ), ∀s , s 0 ∈ K , ~v ∈ V
4
(s + s 0 ) · ~v = (s · ~v ) + (s 0 · ~v ), ∀s , s 0 ∈ K , ~v ∈ V
5 s
~ ) = (s · ~v ) + (s · w
~ ) ∀s ∈ K , ~v , w
~ ∈V
· (~v + w
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Verktorraum
Teilraum, Untervektorraum
Sei
(K , +, ·)
Körper und
(V , +, ·)
ein K-Vektorraum. Sei U
⊆ V.
U heiÿt
Teilraum von V wenn folgende Bedingungen gelten:
1 U
6= ∅
2 ~
~
v, w
3 s
~)∈U
∈ U ⇒ (~v + w
∈ K , ~v ∈ U ⇒ (s · ~v ) ∈ U
Aufgaben
Welche der folgenden Mengen
1
2
3
M sind Teilräume
des Vektorraums V ?


a
b
c

d e  | a , b , c , d , e , f ∈ R
V = R3 3 und M
0 0 f
V = R3 und M =df {(u, u, v ) | u, v ∈ R} ∪ {(u, v , v ) | u, v ∈ R}
V = R3 und M =df {(u, 2u, 3u) | u ∈ R} ∩ {(3v , 2v , v ) | u, v ∈ R}
×
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

=df 0

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Verktorraum
Ringhomomorphismen
: hR , ⊕R , R i → hS , ⊕S , S i
∀a, b ∈ R :
Eine Funktion f
gdw.
1 f (a
2 f (a
heiÿt Ringhomomorphismus
⊕R b) = f (a) ⊕S f (b)
R b) = f (a) S f (b)
3 f (1R )
= 1S
falls S und R Ringe mit Einselement sind.
Aufgabe
Sei U
=df
a
b
0
c
| a, b , c ∈ R
Sie, dass die Abbildung h : U
→R
h
ein Ringhomomorphismus von
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ein Unterring von
hR2×2 , +, ·i.
Zeigen
mit
a
b
0
c
hU , +, ·i
=df
nach
a
hR, +, ·i
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ist.
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