1. No category

TEMA 3:
PROPORCIONALIDAD
DIRECTA E INVERSA
Matemáticas 3º eso
La proporcionalidad es
herramienta que se usa p
contar número de individ
en grandes poblacione
Se elige una parte de l
superficie, se realiza u
recuento y mediante la
proporcionalidad se estim
cantidad total
1. Proporcionalidad y repartos directos
•  Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando
el cociente o razón de las cantidades correspondientes es
constante
a b c
= = = ... = k
a' b' c'
Este cociente k, se llama razón o constante de
€
proporcionalidad directa.
1. Proporcionalidad y repartos directos
•  Una receta da la información de la tabla sobre las
cantidades de azúcar que se necesitan para hacer una
mermelada de fresa.
Si las cantidades son proporcionales se
podrá calcular por ejemplo, cuanta fresa es
necesaria para combinar con 9 kilogramos
de azúcar.
9 6
=
= 0,6
x 10
3 6
=
= 0,6
5 10
9⋅ 10 90 30
x=
=
=
= 15kg
6
6
2
€
1. Proporcionalidad y repartos directos
•  De manera intuitiva: hemos comprobado que cuando dos
magnitudes son proporcionales a cantidades dobles,
triples de la primera magnitud, le corresponde doble, triple
cantidad de la segunda.
A más azúcar, más fresa.
1. Proporcionalidad y repartos directos
•  Repartos proporcionales directos:
Si se suman las cantidades de dos magnitudes
directamente proporcionales, las cantidades obtenidas
siguen siendo proporcionales a las dadas
a b c
a + b + c + ...
= = = ... =
=k
a' b' c'
a'+b'+c'+...
•  Siguiendo con el ejemplo anterior, imaginemos que dos
personas han preparado sendos tarros de mermelada con
la proporción que habíamos especificado antes de azúcar y
fresa:
3 + 9 12
3 9
= 0,6
=
=
=
5 15 5 +15 20
€
€
+ =
Proporcionalidad y repartos directos
•  Si dos magnitudes x y x’ son directamente proporcionales
se cumple que:
x
=k
x'
€
x = k⋅ x'
Proporcionalidad y repartos directos
•  La relación anterior la podemos resumir a modo de tabla
de la siguiente forma:
Magnitud x
a
b
c
…
a+b+c+…
Magnitud y
a’
b’
c’
…
a’+b’+c’
a = k⋅ a'
c = k⋅ c'
b = k⋅ b'
€
€
Es decir:
# a = k⋅ a'
%
%b = k⋅ b'
%c = k⋅ c'
%
$ d =€k⋅ d'
%
e
=
k⋅
e'
%
% f = k⋅ f €'
%...
&
Sumando término a término nos encontramos con:
a + b + c + d + f ... = k⋅ (a'+b'+c'+d'+ f '+...)
Despejando la k:
a + b + c + d + f ...
k=
a'+b'+c'+d'+ f '+...
Halla la longitud de la sombra del poste más alto que aparece en la figura.
-Se trata de magnitudes
proporcionales: a más altura del
poste más longitud de sombra.
-Por tanto podemos expresar la
relación entre ambas de la
siguiente forma:
4m
1,5 4
=
2
x
1,5 m
€
x
2m
€
4⋅ 2
x=
= 5,3333...
1,5
37. Calcula el valor de x en las siguientes proporciones:
3 9
=
4 x
9⋅ 4
x=
= 12
3
€
8 x
=
12 3
10 15
=
x
9
10⋅ 9
x=
=6
15
€
3⋅ 8
€
x=
=2
12
x 18
=
7 42
€
€
€
18⋅ 7
x=
=3
42
38. Las magnitudes A y B son directamente proporcionales. Halla la constante
de proporcionalidad y completa la tabla:
A
4
12
…
2
…
…
B
5
…
25
…
1
100
A
4
12
20
2
0,8
80
B
5
15
25
2,5
1
100
¿El número de
fotos es
proporcional al
precio?
EJERCICIO
*Ejercicio 40
Un coche consume 5,5 litros cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros
podrá recorrer con 110 litros?
Litros
5,5 litros
110 litros
Km
100 kilómetros
x kilómetros
5,5 110
=
100
x
€
€
110⋅ 100
x=
= 2000
5,5
Repartos proporcionales directos: Si se suman
las cantidades de dos magnitudes proporcionales,
las cantidades obtenidas siguen siendo
proporcionales a las dadas.
a b c
a + b + c + ...
= = = ... =
=k
a' b' c'
a'+b'+c'+...
€
EJERCICIO
*Ejercicio 40
Un padre quiere repartir 140 sellos entre sus dos hijos de
forma directamente proporcional a sus edades, que son 13 y
15 años.
¿Cuántos sellos recibirá cada uno?
Porcentajes y proporcionalidad
•  La proporcionalidad directa se expresa
también como:
•  Tanto por uno: cuando la razón se
expresa en forma de número decimal.
•  Tanto por cien %: multiplicando por 100
el tanto por uno.
•  Tanto por mil ‰: multiplicando por 1000
el tanto por uno.
Porcentajes y proporcionalidad
•  Si sabemos que 2 de cada 5 españoles hacen deporte:
¿Qué porcentaje, tanto por uno y tanto por mil lo hacen?
Tanto por uno
Tanto por 100 (%)
2
x
=
5 100
2
= 0,4
5
€
100⋅ 2
x=
= 40%
5
€
Tanto por 1000 (‰)
2
x
=
5 1000
1000⋅ 2
x=
= 400‰
5
€
Porcentajes y proporcionalidad
•  Disminuciones e incrementos porcentuales:
Si a una cantidad C se le
aplica una disminución del r%,
la cantidad final es:
Si a una cantidad C se le
aplica una incremento del r%,
la cantidad final es:
$
r '
c F = c I ⋅ &1 −
)
% 100 (
#
r &
c F = c I ⋅ %1+
(
$ 100 '
€
Porcentajes y proporcionalidad
•  Si aumentamos una clase de 20 alumnos en un 20%,
¿cuántos alumnos habrá?
#
r &
c F = c I ⋅ %1+
(
$ 100 '
#
#
#120 &
r &
20 &
c f = c I ⋅ %1+
( = 20⋅ %1+
( = 20⋅ %
( = 24
$ 100 '
$ 100 '
$100 '
Porcentajes y proporcionalidad
•  Si disminuimos una clase de 20 alumnos en un 20%,
¿cuántos alumnos habrá?
$
r '
c F = c I ⋅ &1 −
)
% 100 (
$
$
$ 80 '
r '
20 '
c f = c I ⋅ &1 −
) = 20⋅ &1 −
) = 20⋅ &
) = 16
% 100 (
% 100 (
%100 (
Porcentajes y proporcionalidad
•  Porcentajes encadenados: Para aplicar varios
porcentajes encadenados sobre una cantidad, se pasan a
tantos por uno y se aplican sucesivamente.
EJEMPLO
El precio de la gasolina era de 0,94 euros el
litro. A principios de años subió un 5% para
luego subir un 3% más. ¿Cuánto cuesta el litro
actualmente?
0,94⋅ (1+ 0,05)⋅ (1+ 0,03) = 1,01661 ≈ 1,02euros
Porcentajes y proporcionalidad
EJERCICIO
*Ejercicio 13
•  Aumenta las siguientes cantidades en los porcentajes que
se indican:
•  134 en un 8%
•  4563 en un 17,3%
•  45,76 en un 12%
•  896,32 en un 0,4%
Porcentajes y proporcionalidad
EJERCICIO
*Ejercicio 14
Disminuye las cantidades en los porcentajes que se
indican:
•  54 en un 5%
•  762 en un 9,6%
•  98,7 en un 79%
•  2369,8 en un 0,68%
Porcentajes y proporcionalidad
EJERCICIO
*Ejercicio 15
•  Si 12500 se incrementa primero en un 12% y el resultado
se vuelve a incrementar en otro 4%. ¿Cuál es el número
final resultante?
Porcentajes y proporcionalidad
EJERCICIO
*Ejercicio 16
El precio de una bicicleta es 175 euros. En rebajas hacen
un descuento del 25%, pero además, hay que pagar el
16% de IVA. ¿Cuánto cuesta entonces?
EJERCICIO
*Ejercicio 17
¿Es lo mismo rebajar primero un artículo un 3% y luego
encarecerlo un 4% que encarecerlo primero un 4% y luego
rebajarlo un 3%?
Sea x el precio del artículo
Pcaso1 = x⋅ (1 − 0,03)⋅ (1+ 0,04)
Pcaso2 = x⋅ (1+ 0,04)⋅ (1 − 0,03)
Por la propiedad conmutativa sabemos que ambas expresiones son
iguales:
x⋅ (1 − 0,03)⋅ (1+ 0,04) = x⋅ (1+ 0,04)⋅ (1 − 0,03)
Pcaso1 = Pcaso2
Porcentajes y proporcionalidad
EJERCICIO
*Ejercicio 18
Los productos de cierta empresa subieron un 10% en 2008
y un 12% en 2009,y bajaron un 4% en 2010. ¿Cuál fue el
porcentaje de variación de los precios en esos tres años?
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando
el producto de las cantidades correspondiente es
constante.
a⋅ a' = b⋅ b' = c⋅ c' = ... = k
Este producto k se llama constante de proporcionalidad inversa.
Magnitud x
a
b
c
…
a+b+c+
…
Magnitud y
a’
b’
c’
…
a’+b’+c’
€
a⋅ a' = k
c⋅ c' = k
b⋅ b' = k
Proporcionalidad inversa
•  Un estanque tiene 4 grifos iguales
•  Se sabe que si se abre un grifo tarda 120 minutos en llenarse.
•  Si se abren 2 tarda 60 minutos
•  Si se abren 3 tarda 40 minutos.
•  ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse con los 4 grifos
abiertos?
Un estanque tiene 4 grifos iguales
¡  Se sabe que si se abre un grifo tarda 120 minutos en llenarse.
¡  Si se abren 2 tarda 60 minutos
¡  Si se abren 3 tarda 40 minutos.
¿Cuánto tiempo tardará en llenarse con los 4 grifos abiertos?
Si construimos la tabla con los datos del problema nos encontramos con que:
Número de grifos abiertos
1
2
3
4
Tiempo de llenado (minutos)
120
60
40
t
Podemos observar que las
magnitudes en este caso
son inversamente
proporcionales: a más
grifos abiertos menos
tiempo tarda en llenarse el
estanque.
€
1⋅ 120 = 120
3⋅ 40 = 120
60⋅ 2 = 120
€
€
€
4⋅ t = 120
120
t=
= 30
4
Repartos proporcionales inversos
•  Hacer un reparto inversamente proporcional a tres
cantidades a,b y c es equivalente a realizar un reparto
directamente proporcional a sus inversos:
1 1 1
, ,
a b c
€
—  Entre los participantes de un concurso de puzles se reparten 108
euros de manera inversamente proporcional al tiempo que han tardado
en montarlos.
¡  El primero tardó 1 hora
¡  El segundo 3 horas
¡  El tercero 6 horas.
—  ¿Cuánto dinero le tocará a cada uno?
Podemos observar que las magnitudes en este caso son inversamente
proporcionales: a menos tiempo tardado en hacer el puzle más cantidad de
dinero
Se trata de un reparto INVERSAMENTE proporcional a 1, 3 y 6
Se trata de un reparto DIRECTAMENTE proporcional A:
1 1
1, ,
3 6
Es decir, que si construyéramos nuestra tabla de reparto ocurriría los siguiente:
Premio en Euros
a
Inversa del tiempo
empleado (1/t)
1
€
€
a€
=k
1
b
c
1
3
1
6
b €
=k
1
3
a = 72⋅ 1 = 72
108
€
108
108⋅ 2
1
k=
= € =
= 72
3
3
3
2
2
72
€
b=
= 24
3
€
€c
1
6
108
1 1 3
1+ + =
3 6 2
=k
72
c=
= 12
6
108
=k
3
2
€
1 1 6 + 2 +1 9 3
1+ + =
= =
3 6
6
6 2
Reparte 93 en partes inversamente proporcionales a 2,3 y 5:
Cantidad a repartir
a
b
c
Inversa de cada una de las
cantidades a las que debe
ser proporcional
1
2
1
3
1
5
€
a
€
=k
1
2
a = 90⋅
€
€
93 93⋅ 30
k=
=
= 90
31
31
30€
93
1 1 1 31
+ + =
2 3 5 30
b € € c
=k
=k
1
1
3
5
1
= 45
2
108
=k
3
2
1
c = 90⋅ = 18
5
€1
b = 90⋅ = 30 €
3
€
1 1 1 15 +10 + 6 31
+ + =
=
2 3 5
30
30
Al repartir 60 de forma inversamente proporcional a los números 2 y x, la
parte correspondiente a 2 es 36. Halla x.
Cantidad a repartir
36
Inversa de cada una de las
cantidades a las que debe
ser proporcional
1
2
36
= k€
1
2
k = 36⋅ 2 = 72
€
€
60
1
x
b
€ = 72
1
x
€
60
1 = 72
x +2
2x
x⋅ (b) = 72
€60⋅ 2x
72
72
€ 72
x=
=
=
=€ 3
b 60 − 36 24
€
€
1 1 x +2
+ =
2 x
2x
x +2
60
=k
x +2
2x
120x = 72x +144
48x = 144
= 72
€
x=3
120x = 72(x + 2)€
€
Se reparten 6000 euros entre el primer y el segundo clasificado de la
UTMB (una carrera de montaña 160km en los Alpes) de manera
inversamente proporcional al puesto alcanzado ¿Qué dinero recibirá
cada uno?
Se reparten 6000 euros entre el primer y el segundo clasificado de la
UTMB (una carrera de 160km en los Alpes) de manera inversamente
proporcional al puesto alcanzado ¿Qué dinero recibirá cada uno?
Cantidad a repartir
a
b
Inversa del puesto
alcanzado
1
1
2
€
€
a
=k
€
1
b
=k
1
2
6000
1 3
1+ =
2 2
€
a = 4000⋅ 1 = 4000
€
1
€
b = 4000⋅ = 2000€
2
6000
=k
3
2
6000⋅ 2
k=
= 4000
3
Ej 43: Por un grifo salen 38 litros de agua en 5 minutos.
¿Cuántos litros salen en una hora y cuarto?
Proporcionalidad directa entre ambas magnitudes.
Cantidad de agua (litros)
38 l
? litros
Tiempo (minutos)
5 min
1h 15 m=75m
38l
x
k=
=
5min 75m
38l
5min
38l⋅ 75min
= 570l
x=
5min
€
€
€
€
x
75m
€
Ej 44: En un mapa,14 centímetros representan 238
kilómetros. ¿Cuántos centímetros representarán a otra
carretera que mide 306 kilómetros?
Proporcionalidad directa entre ambas magnitudes.
Longitud en el mapa (cm)
14 cm
x cm
Longitud en la realidad (km)
238 km
306 km
14cm
238km
14cm
x
k=
=
238km 306km
14cm⋅ 306km
= 18cm
x=
238km
€
€
€
x
306km
Ej 45: María, Nuria y Paloma han cobrado por un trabajo 344 euros.
María ha trabajado 7 horas; Nuria, 5 horas y Paloma, 4 horas. ¿Qué
cantidad le corresponde a cada una?
Proporcionalidad directa entre ambas magnitudes.
María
Núria
Paloma
Total
Tiempo trabajado (horas)
7h
5h
4h
16 h
Dinero cobrado (euros)
a
b
c
344 euros
Cantidad a:
7h
16h
k=
=
a 344euros
a=
7h⋅ 344euros
16h
€
a = 150,5euros
7h
a
5h
b
Cantidad b:
5h€ 16h
=
€
b 344euros
Cantidad c:
4h
c
4h⋅ 344euros
c=
16h
c = 86euros
5h⋅ 344euros
= 107,5euros
b€=
16h
€
€
€
47. ¿Es lo mismo repartir una cantidad en partes directamente
proporcionales a 10, 15 y 20, que en partes directamente
proporcionales a 2, 3 y 4?
Cantidad a repartir
a
b
c
x
Proporcional a…
10
15
20
10+15+20
x
x
k=
=
10 +15 + 20 45
Cantidad a repartir
Proporcional a…
€
x
x
k' =
=
2 + 3+ 4 9
€
x = k⋅ 45
a
b
c
x
2
3
4
2+3+4
x = k'⋅9
x = (k⋅ 5)⋅ 9 = 45k
€
k'⋅9 = k⋅ 45
k⋅ 45
k' =
9
k' = k⋅ 5
€
52. Calcula el tanto por ciento de café que hay en una mezcla de 4
litros de café y 7 litros de agua.
Un tanto por cien es una
fracción de denominador 100
que cumple la proporción 4 a 7
4l.cafe
x
=
7l.agua 100l.agua
100l.agua⋅ 4l.cafe
x=
7l.agua
x = 57,14%€
€
€
Un tanto por cien es el tanto por
uno multiplicado por 100
4l.cafe
x=
= 0,5714
7l.agua
Tanto por uno de CAFÉ en
AGUA
0,5714⋅ 100 = 57,14%
56. La subida salarial en una empresa en los últimos tres años ha sido
del 3%, 2% y 4%.
a) ¿Cuánto cobra actualmente un empleado que cobraba hace tres
años 1.600 euros?
b) ¿En qué porcentaje se ha incrementado su sueldo después de tres
subidas?
a)
1600⋅ (1,03)⋅ (1,02)⋅ (1,04) = 1748euros
b) Entendiendo que x era la cantidad inicial de dinero que cobraba:
x⋅ (1,03)⋅ (1,02)⋅ (1,04) = x⋅ (1,0926)
Es decir, se ha producido un incremento del 9,26%:
65. El agua de un depósito se puede extraer en 200 veces con
un bidón de 15 litros. Si el bidón fuera de 25 litros, halla en
cuántas veces se extraería.
Proporcionalidad inversa entre ambas magnitudes.
Capacidad del bidón (l)
15 litros
25 litros
Veces que hacen falta para
sacar el agua del depósito
(veces)
200 veces
x veces
15litros⋅ 200veces = k
15l⋅ 200veces
€ = 25l⋅ xveces
k = 25litros⋅ xveces
15l⋅ 200veces
x=
= 120veces
€ 25l
71. En una Olimpiada Europea de Matemáticas se conceden tres premios
inversamente proporcionales a los tiempos empleados en la resolución de los
ejercicios. Los tiempos de los tres primeros concursantes han sido 3, 5 y 6
horas. Calcula cuánto dinero recibe cada uno si hay 42 000 euros para repartir.
Cantidad a repartir (euros)
a
b
c
42000
Inversa del tiempo empleado
(horas)
1
3
1
5
1
6
1 1 1 21 7
+ + =
=
3 5 6 30 10
Cantidad a:
Cantidad b:
Cantidad c:
c
4200euros
b
4200euros€
4200euros €
€
€
=
=
=
1
7
1
7
1
7
horas
horas
horas
horas
horas
horas
6
10
3
10
5
10
1
1
4200euros⋅ horas
4200euros⋅ horas
3
6
a=
= 2000euros
c=
= 1000euros
7
7
€
horas
horas
1
€
10
10
4200euros⋅ horas
5
b=
= 1200euros
7
horas
10
€
a
66. Realizan un trabajo en 2 meses entre 12 personas. Necesitan hacerlo en
solo en 18 días. ¿Cuántas personas se deben contratar?
Proporcionalidad inversa entre ambas magnitudes.
Nº de trabajadores
(personas)
12 personas
x personas
Tiempo (días)
60 días
18 días
12 personas⋅ 60días = k
k = x⋅ 18días
15 personas⋅ 60días = x⋅ 18días
€
12 personas⋅
60días
€
x=
= 40 personas
18días
€
Necesitamos 40 personas en total, dado que tenemos 12 hay
que contratar 28 personas más.
€
67. Tres niños se comen un pastel en 16 minutos. ¿En cuánto tiempo se lo
comerían cuatro niños?
Nº de niños
3 niños
4 niños
Tiempo (minutos)
16 minutos
x minutos
3niños⋅ 16min = k
k = 4niños⋅ x min
3niños⋅ 16min = 4niños⋅ x min
€
3niños⋅ 16min
€
x=
= 12min
4niños
€
€
68. Una ganadera tiene pienso para alimentar 320 vacas durante 45 días pero
debe dar de comer a los animales durante 60 días. Por lo que decide vender a
las que no pueda alimentar. ¿Cuántas vacas debe vender?
Las magnitudes se relacionan de forma inversamente proporcional
Vacas (unidades)
320 vacas
x vacas
Tiempo (Días)
45 días
60 días
320vacas⋅ 45días = x⋅ 60días
320vacas⋅ 45días
x=
= 240vacas
60días
€
Cómo tenía 320 vacas, debe vender 320-240=80 vacas
€
Reparte 578 en partes inversamente proporcionales a 4, 4 y 18.
Cantidad a repartir
a
b
c
Inversa de
1
4
1
4
1
18
Cantidad a:
€
a 578
€
=
1
5
4
9
1
578⋅
4 = 260,1
a=
5
9
Cantidad b:
€
€
b=260,1
578
1 1 1 5
+ + =
4 4 18 9
Cantidad c:
€
c=57,8
MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN
SECUNDARIA
Proporcionalidad directa e inversa
http://www.maleducados.com