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TP Dimensionnement des structures – GMP2 – Semestre 4
Méthodes énergétiques et éléments finis
On s'intéresse à l'étude des treillis. On trouvera quelques exemples de structure de ce type en
annexe.
Prenons le cas d'une structure de type « Warren » (Warren truss). On réduit l'étude à la structure
proposée sur la figure ci-dessous.
Chaque barre est constituée d'un acier de module de Young E = 210 GPa, de section S à définir et
de longueur L =2m identique. On prendra une sécurité de calculs s=4 (pas de concentration de
contraintes car aux nœuds les sections de barres sont augmentées). Limite élastique 200MPa.
Une force extérieure f3 = 50 000 daN s'applique au nœud 3.
Analyse par la méthode des éléments finis
1) En utilisant une feuille de calculs, déterminer les matrices raideurs des barres
→ 1-2, 3-4
→ 2-3, 4-5
→ 2-4, 1-3 et 3-5
On fera intervenir la section S, inconnue au départ, dans une cellule en prenant une valeur fixée à
100 mm² de façon arbitraire, mais qui permettra par la suite de facilement changer sa valeur (si on
passe la section à 350mm², tous les résultats seront mulitpliés par 3,5 par exemple).
2) Assembler les matrices pour obtenir une matrice raideur globale représentant le comportement
des 7 barres, en prenant comme vecteur des déplacements nodaux le vecteur
(u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4, u5, v5)T
3) Déterminer la valeur du déplacement v3 en inversant la matrice1 et en déduire la valeur nécessaire
de S si le déplacement ne doit pas dépasser 20mm. Vérifier que v3
4) Déterminer les contraintes normales dans les barres et vérifier si le critère de résistance est
satisfait. Pour cela il faudra calculer les déplacements relatifs dans les barres pour en déduire la
contrainte normale associée...
5) Entre le critère de déformations (20mm) et le critère de résistance élastique, lequel est le plus
défavorable ? Recalculer si nécessaire le déplacement v3.
6) Vérifier les résultats en utilisant le module solidworks/simulation : voir le document EF aide
treillis.pdf
7) Quel est l'état de contraintes dans les 7 barres ?
1Remarque : sur LibreOffice
→ inverse d'une matrice : minverse(zone de données) + ctrl-shift-enter
→ multiplication de matrices : mmult
Annexe
Treillis = truss structure
poutre = beam
poutre suspendu, encastrée/libre = cantilever
Sky Gate Bridge : The longest truss bridge in the world
The access bridge is multi-leveled; the upper-level is a 6 lane road, the lower level is a 2 track
railway. Electricity, gas, water service, telephone and all others utilities in the airport cross the
bridge.
Generally, a bridge more than 3 kilometers in length is a suspension bridge. It needs supporting
beams several hundred meters high, but around an airport, supporting beams of such height can
not be built because of the arriving and departing airplanes. The solution was building a truss
bridge, which does not need high supporting beams.
(Note) truss bridge: a bridge constructed using the truss structure (girders joined in the shape of
triangles).
Kansai International_Airport
Thirty-Third Street Railroad Bridge (Main Channel) over the Allegheny River, Pittsburgh,
Pennsylvania
Main technical elements