MQ01
Examen médian
Durée : 2 heures
Documents autorisés : AUCUN
Nombre de pages du sujet : 4
i Chaque exercice est à rendre sur une feuille séparée
PARTIE 1 :
Q UESTIONS DE COURS
(barême approximatif : 4 pts) ,
≃ 20 mn)
1 . En Résistance des Matériaux, quelles sont les 4 hypothèses considérées concernant le matériau ?
2 . On considère le barreau représenté à la figure 1. Que valent les déformations selon les axes
x et y ? (On introduira, en les définissant, les constantes nécessaires tant géométriques que
matériau).
F IG . 1. Barreau considéré à la question 2
3 . On considère une enveloppe mince cylindrique de diamètre intérieur d et de longueur L. L’enveloppe est fermée à ses extrémités et soumise à une pression interne effective p. Elle est
constituée d’un matériau dont la contrainte admissible en extension vaut σa . Déterminer, en
fonction des données précédentes, l’épaisseur minimale e à donner à l’enveloppe pour s’assurer que cette dernière résiste à la pression effective appliquée.
4 . On considère l’élément de volume représenté à la figure 2. On suppose que σI = λ et σII = −λ
(λ > 0). En traçant le cercle de Mohr des contraintes, déterminer les contraintes normales et
tangentielles sur la facette AB au point M .
F IG . 2. Élément de volume considéré à la question 4
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Printemps 2011
PARTIE 2 :
P ROBLÈMES
i Chaque exercice est à rendre sur une feuille séparée
Problème 1 : Étude d’une partie de la flèche d’une grue (barême approximatif : 10 pts,
≃ 1 h)
Nous étudions ici une partie de la flèche d’une grue telle que les
grues Titan de l’île de Nantes (voir photo ci-contre).
Nous n’étudierons qu’une partie de la flèche de la grue permettant de maintenir le contre-poids, la partie de la flèche de la grue
non étudiée sera supposée rigide par rapport à la partie étudiée.
Une représentation schématique du système étudié est donnée à la
figure 3. Les éléments BC , AC , AD, C D, DE et C F sont assemblés
par l’intermédiaire d’articulations (ou liaisons pivots) aux points A,
B , C et D et E .
Source : linternaute.com
F IG . 3. Représentation schématique du système étudié
Hypothèses
– La longueur ℓ vaut 5 m ;
– toutes les articulations du système sont supposées parfaites ;
– les poids propres des différents composants du système sont supposés négligeables
devant celui du contre-poids ;
→
−
– le poids P du contre-poids, que l’on supposera s’appliquer au point J , milieu de C E ,
a pour intensité 100 kN.
1 . Chaque exercice est à rendre sur une copie séparée. Avez-vous changé de copie ?
2 . En isolant le système complet, déterminer les actions de liaison aux points A et B . En déduire
les actions dans les barres AD, AC et BC . Préciser si les barres sont en extension ou en compression.
3 . Déterminer les actions dans les barres C D et DE . Préciser si les barres sont en extension ou en
compression.
4 . Vérifier l’équilibre de C F .
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5 . Les différentes barres constituant le système sont toutes identiques, elles sont constituées de
tubes de section carrée de côté a et d’épaisseur e = 5 mm. Le matériau utilisé pour constituer
les barres est un acier dont les propriétés sont les suivantes : E = 200 GPa, ν = 0, 3 et σe = 300
MPa. On adopte un coefficient de sécurité de 3. Déterminer la valeur de a qui permet d’assurer
que les barres AC , AD, BC , C D et DE résistent en toute sécurité (on ne tiendra pas compte du
flambage éventuel).
Lorsque le poids du contre-poids vaut 150 kN, les efforts normaux dans les barres AD, AC et BC sont
p
les suivants : N AD = 75 kN, N AC = 150 2 kN et NBC = −225 kN.
On suppose, par ailleurs, que les barres sont constituées de tubes de section carrée de côté a =
120 mm et d’épaisseur e = 5 mm.
6 . Déterminer les allongements des barres AD, AC et BC .
7 . Déterminer le déplacement horizontal et vertical du point C sous l’effet de l’application de la
→
−
charge P .
Problème 2 : Étude d’un plongeoir de piscine (barême approximatif : 6 pts,
≃ 40 mn)
On considère ici le plongeoir de piscine présenté à la figure 4. Une représentation schématique est
→
−
donnée à la figure 5. Le plongeoir est sollicité par l’action P d’un plongeur à son extrémité C .
F IG . 4. Plongeoir de piscine étudié, Source : distri-piscine.fr F IG . 5. Représentation schématique du plongeoir
Hypothèses
– Les dimensions sont données en mm sur la figure 5 ;
– le poids propre du plongeoir est supposé négligeable par rapport à l’action du plongeur ;
→
−
– l’action du plongeur est telle que || P || = 1 500 N.
1 . Chaque exercice est à rendre sur une feuille séparée. Avez-vous changé de copie ?
2 . Déterminer l’action de liaison au point A.
3 . Déterminer les équations et tracer les graphes des éléments de réduction du torseur de cohésion : N , T , M f et M t , le long de ABC .
4 . Préciser à quel type de sollicitation est soumis chaque tronçon.
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Résumé de cours
Généralités
σθ =
• Contrainte en un point
→
−
dF
→
−
→
−
−
−
CM =
et C M = →
σ M +→
τM
dS
σθ+ π =
2
τθ =
• Équilibre - Torseur de cohésion
)
( →
(
−
n
o
RG
→
−
+ T F ext à gauche de (S) =
−→r
G
M /G
→
− )
0
→
−
0
Extension simple
– Contrainte d’extension
– Loi de Hooke
σ=
N
S
σ = Eε
– Effet d’une variation de température
∆L = α · ∆T · L
– Loi de Poisson
∆D
D
= −νε
– Cas de la compression simple, charge critique
π2 E I
P cr i t =
L2
• Enveloppes cylindriques
pd
4e
pd
– Contrainte transversale σT =
2e
– Contrainte longitudinale σL =
pd
4e
• Analyse des contraintes (élasticité plane)
– Équations indéfinies d’équilibre
∂σx ∂τ y x
+
+ Fx = 0
∂x
∂y
∂σ y ∂τx y
−
+ Fy = 0
∂y
∂x
– Théorème de Cauchy τx y = −τ y x
+
2
σx + σ y
2
σx − σ y
2
σmaxi / mini =
σx − σ y
cos 2θ − τx y sin 2θ
2
σx − σ y
−
cos 2θ + τx y sin 2θ
2
sin 2θ + τx y cos 2θ
σθ + σθ+ π
2
2
1
±
2
r
´2
³
σθ − σθ+ π + 4τ2θ
2
• Étude des déformations
σII
σIII
σI
−ν
−ν
εI =
E
E
E
σI σII
σIII
εII = −ν +
−ν
E
E
E
σI
σII σIII
εIII = −ν − ν
+
E
E
E
• Loi de Hooke généralisée à deux dimensions
E
σI =
(εI + νεII )
1 − ν2
E
σII =
(εII + νεI )
1 − ν2
σIII = 0 mais εIII 6= 0
• Coefficient de dilatation volumique
∆V
= εI + εII + εIII
V0
1 − 2ν
∆V
=
(σI + σII + σIII )
V0
E
Etat double de contrainte
• Enveloppes sphériques σ =
σx + σ y
• Cercle de Mohr des déformations
εI + εII εI − εII
εθ =
+
cos 2θ
2
2
γ εI − εII
ϕ= =
sin 2θ
2
2
Cisaillement
T
S
– Déformations, loi de Coulomb τ = Gγ avec G =
E
2(1 + ν)
– Contraintes τ =
– Contraintes dans deux facettes quelconques
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