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Chapitre 04 Suites numériques
Première S
SUITES NUMERIQUES
I- Généralités
1. Introduction
On propose les six listes de nombres suivantes :
(a) 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19
(b) 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64
(c) 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49
(d) 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34
Ces listes ont été construites en suivants des règles de construction précises. Trouver
une règle de construction pour chacune.
Ecrire, pour chacune des listes, les quatre termes suivants en utilisant les règles de
construction que vous avez trouvées.
Peut-on prévoir, pour certaines de ces listes, le centième terme de la liste (sans écrire
tous les termes précédents) ? Si oui, donner sa valeur.
2. Définition et notations
Une suite peut être considérée comme une liste de nombres réels u0 , u1 , u2 , u3 , · · · ,
un , un+1 , · · · .
u0 est le premier terme, un est le terme de rang n de la suite. A chaque entier naturel
n on associe un nombre réel un :
0 7→ u0
1 7→ u1
2 7→ u2
..
.
n 7→ un
Définition Une suite réelle est une fonction définie sur N à valeurs dans
u: N → R
n 7→ un
L’image de n se note un au lieu de u(n).
La suite se note (un )n∈N , (un ) ou u (cf. f et f (x)).
(un ) ou u est la suite de terme général un .
Une suite peut n’être définie qu’à partir du rang 1, 2, · · ·
m athbbR.
3. Différents modes de génération d’une suite
(a) Expression de un en fonction de n
La suite est définie de manière analogue à une fonction.
On donne l’expression du terme général un en fonction de n : un = f (n).
2n − 1
Exemple Soit un la suite de terme général un =
.
n+1
1
u0 = −1, u1 = , u2 = 1.
2
199
.
On peut calculer directement u1 00 =
101
2x − 1
un = f (n), où f est la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) =
.
x+1
1
Chapitre 04 Suites numériques
u2n =
Première S
4n − 1
2(2n + 1) − 1
4n + 1
, u2n+1 =
=
.
2n + 1
2n + 1 + 1
2n + 2
Attention à l’écriture : un+1 =
2n + 1
2n − 1
3n
et un + 1 =
+1=
.
n+1
n+1
n+1
(b) Suite définie par récurrence
Définition Une suite est définie par récurrence si elle est définie par la donnée de
son premier terme et une relation permettant de calculer chaque terme en fonction
du précédent, appelée relation de récurrence : un+1 = f (un ) ou un = f (un − 1).
Exemple
3
Soit la suite (un ) définie par u0 = −1 et, pour tout n ∈ N, un+1 = un + 1.
2
3
un+1 = f (un ) où f est la fonction définie sur R par f (x) = x + 1.
2
3
1
u1 = u0 + 1 = −
2
2
1
3
u2 = u1 + 1 =
2
4
11
3
.
u3 = u2 + 1 =
2
8
Remarques
• Le calcul de u100 ne peut se faire que pas à pas.
• On aurait pu définir la suite de la manière suivante : u0 = −1 et, pour tout
3
entier naturel n, n > 1, un = un−1 + 1.
2
• Une relation de récurrence peut contenir plus de deux termes consécutifs.
Par exemple la suite un définie par : u0 = 1, u1 = 4 et, pour tout entier naturel
n, un+2 = un + un+1 .
u2 = u0 + u1 = 1 + 4 = 5 ; u3 = u1 + u2 = 4 + 5 = 9.
II- Suites arithmétiques
1. Définition
Une suite (un ) est arithmétique si il existe un réel r tel que :
pour tout entier naturel n, un+1 = un + r ou un+1 − un = r.
Le réel r est appelé raison de la suite.
Remarque Une suite arithmétique est entièrement définie par la donnée de son premier
terme et de sa raison.
Exemple 1 Soit un la suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison −2.
u1 = u0 − 2 = 1 ; u2 = u1 − 2 = −1 ; u3 = u2 − 2 = −3 ; · · ·
Exemple 2 Soit un définie pour tout entier naturel n par un = 3n − 2.
Montrons que (un ) est une suite arithmétique, c’est-à-dire que la différence entre deux
termes consécutifs est indépendante de n.
Pour tout entier naturel n, un+1 − un = 3(n + 1) − 2 − (3n − 2) = 3 ; on en conclut
que (un ) est une suite arithmétique de raison 3.
2. Terme général en fonction de n
Théorème Soit (un ) une suite arithmétique de premier terme u0 de raison r.
2
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• Pour tout entier naturel n, un = u0 + nr ;
• Pour tout entier naturel n non nul, u n = u1 + (n − 1)r ;
• Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p, un = up + (n − p)r.
Démonstration
• u1 = u0 + r ; u2 = u1 + r = u0 + 2r ; u3 = u2 + r = u0 + 3r.
On a démontré que la propriété « un = u0 + nr » est vraie pour n = 1, n = 2 et
n = 3.
Supposons qu’elle est vraie pour un certain entier naturel n fixé, on démontre
qu’alors, elle est encore vraie pour l’entier naturel n + 1, en effet :
un+1 = un + r = u0 + nr + r = u0 + (n + 1)r.
On en conclut que la propriété est vraie pour tout entier naturel n.
Cette démonstration est une démonstration « par récurrence » (voir terminale).
• un = u0 + nr et u1 = u0 + r ⇔ u0 = u1 − r d’où un = u1 + (n − 1)r.
• un = u0 + nr et up = u0 + np.
En soustrayant ces égalités membre à membre, on obtient : un − up = (n − p)r ou
encore un = up + (n − p)r.
Exemple Soit un une suite arithmétique de raison r = 3 telle que u4 = 25. Calculer
u0 et u7 .
u4 = u0 + 4r ⇔ 25 = u0 + 4 × 3 ⇔ u0 = 13. u7 = u0 + 7r = 13 + 7 × 3 = 34.
3. Somme des n premiers entiers naturels
n
X
Soit n un entier naturel non nul et An = 1 + 2 + 3 + · · · + n =
k.
k=1
An =
An =
1
n
+
2
+
3
+ ···
+ (n − 1) + (n − 2) + · · ·
+
+
n
1
On additionne membre à membre les deux lignes : 2An = n(n+1) d’où An =
.
n(n + 1)
2
Théorème Soit n un entier naturel non nul.
n(n + 1)
.
2
Application : Calcul de la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique
Exemple : Soit (un ) la suite arithmétique de premier terme u0 = 2 et de raison −5.
Calculer :
1) S = u0 + u1 + u2 + · · · + u10 .
2) S ′ = u5 + u6 + · · · + u15
3) Sp,n = up + up+1 + · · · + un , avec n et p entiers naturels, p < n.
La somme des n premiers entiers naturels vaut :
1) On écrit :
S = u0 + u1 + · · · + u9 + u10
S = u10 + u9 + · · · + u1 + u0
On additionne les deux lignes membre à membre :
2S = (u0 + u10 ) + (u1 + u9 ) + · · · + (u9 + u1 ) + (u10 + u0 ).
u0 + u10 = u1 + u9 = · · · = 2u0 + 10r
La somme comprend 11 termes.
On a donc 2S = 11(2u0 + 10r) = 11(u0 + u10 = −480 et S = −240.
2) On écrit :
S ′ = u5 + u6 + · · · + u14 + u15
S ′ = u15 + u14 + · · · + u6 + u5
3
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Première S
On additionne les deux lignes membre à membre. La somme comprend 15−5+1 = 11
termes.
On obtient : 2S ′ = 11(u5 +u1 0) = 11(u0 +5r+u0 +15r) = 11(2u0 +20r) = 11×(−96)
donc S ′ = −528.
3) On écrit :
Sn,p = up + up+1 + · · · + un−1 + un
Sn,p = un + un−1 + · · · + up+1 + up
La somme comprend n − p + 1 termes. 2Sn,p = (n − p + 1)(up + un ) = (n − p +
1)(2u0 + pr + nr) = (n − p + 1)(4 − 5n − 5p)
(n − p + 1)(4 − 5n − 5p)
.
On a alors Sn,p =
2
Propriétés
La somme Sn,p = up + up+1 + · · · + un contient n − p + 1 termes.
La somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut le produit du nombre
de termes par la moyenne du premier et du dernier terme.
III- Suites géométriques
1. Définition
Une suite (un ) est géométrique si il existe un réel q non nul tel que : pour tout entier
naturel n, un+1 = q × un .
Le réel q est appelé raison de la suite.
2. Terme général en fonction de n
Théorème Soit (un ) une suite géométrique de raison q non nulle.
• Pour tout entier naturel n, un = u0 × q n ;
• Pour tout entier naturel n non nul, un = u1 × q n−1 ;
• Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p, un = up × q n−p .
Démonstration
• u1 = u0 × q ; u2 = u1 × q = u0 × q 2 ; u3 = u2 × q = u0 × q 3 .
On a démontré que la propriété « un = u0 × q n » est vraie pour n = 1, n = 2 et
n = 3.
Supposons qu’elle est vraie pour un certain entier naturel n fixé, on démontre
qu’alors, elle est encore vraie pour l’entier naturel n + 1, en effet :
un+1 = un × q = u0 × q n × q = u0 × q n+1 .
On en conclut que la propriété est vraie pour tout entier naturel n.
u1
• un = u0 × q n et u1 = u0 × q ⇔ u0 =
d’où un = u1 × q n−1 .
q
•
un = u0 + ×q n et up = u0 × q p .
un
En divisant ces égalités membre à membre, on obtient :
= q n−p ou encore un =
up
up × q n−p .
Exemple
Déterminer les suites géométriques (un ) telles que u1 = 4 et u3 = 9.
9
3
3
u3
= ⇔ q = ou q = − .
u3 = u1 × q 2 ⇔ q 2 =
u1
4
2
2
4
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Première S
u1
.
q
8
3
4
= ;
Si q = , alors u0 =
3
2
3
2
8
4
3
=− .
si q = − , alors u0 =
3
2
3
−
2
Deux suites sont solutions du problème posé : la suite géométrique de premier terme
3
8
8
et de
u0 = − et de raison − et la suite géométrique de premier terme u0 =
3
2
3
3
raison .
2
u1 = u0 × q ⇔ u0 =
3. Somme des n premières puissances d’un réel q
Soit q un nombre réel non nul et n un entier naturel non nul.
n
X
2
n
Soit la somme An = 1 + q + q + · · · + q = k =
qk .
k=0
Alors q×An = q+q 2 +q 3 +· · ·+q n+1 et An −q×An = 1−q n+1 , soit (1−q)An = 1−q n+1.
1 − q n+1
.
Si q 6= 1, alors 1 − q 6= 0 et An =
1 − qn
Si q = 1, on calcule directement la somme An : An = (n + 1).
Théorème Soit q un nombre réel non nul, q 6= 1 et n un entier naturel non nul ,
n
X
1 − q n+1
.
qk =
1−q
k=0
Exemple 1
(un ) est une suite géométrique de premier terme u0 = 64 et de raison q =
Calculer la somme : S =
20
X
k=5
uk = u5 + u6 + · · · + u20 .
S = u5 + u5 × q + u5 × q 2 + · · · u5 × q 15 = u5 (1 + q + q 2 + · · · q n ).
1 − q 16
q 6= 1 donc S = u5 ×
.
1−q
5
1
= 2.
u5 = u0 × q 5 = 64 ×
2
16
1
"
16 #
1−
1
2
On a donc S = 2 ×
=2 1−
.
1
2
1−
2
IV- Représentation graphique d’une suite numérique
1. Suite définie par u= f (n)
Exemple Soit un la suite de terme général un =
5
2n − 1
.
n+1
1
.
2
Chapitre 04 Suites numériques
Première S
2
y = f (x)
u5
u4
u3
u21
b
b
b
u1
b
b
1
u−1
0
2
3
4
5
b
2. Suite définie par récurrence
3
Exemple Soit la suite un définie par u0 = −1 et, pour tout nN, un+1 = un + 1.
2
3
un+1 = f (un ) où f est la fonction définie sur R par f (x) = x + 1.
2
−
→ →
−
On trace dans un repère (O; i , j ) la représentation graphique de la fonction f et la
droite d’équation y = x.
Les termes de la suite sont représentés sur l’axe des abscisses.
6
Chapitre 04 Suites numériques
Première S
y = f (x)
6
y=x
u4
5
4
u3
3
2
u2
1
u1
u0
−1
u1
u2
1
u3
3u4
2
4
5
u5
6
IV- Sens de variation d’une suite
1. Définitions
Définition 1
Soit n0 un entier naturel. Une suite (un ) est croissante à partir du rang n0 (resp.
décroissante) si, pour tout entier naturel n, n > n0 , un+1 > un (resp. un+1 6 un ).
Une suite (un ) est strictement croissante à partir du rang n0 (resp. strictement décroissante) si, pour tout entier naturel n, n >> n0 , un+1 > un (resp. un+1 < un ).
Une suite (un ) est constante (ou stationnaire) à partir du rang n0 si, pour tout entier
naturel n, n > n0 , un+1 = un .
Exemple
Soit la suite un définie par u0 = −1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = u2n − un .
u1 = 2, u3 = 2, . . . .
La suite un est stationnaire à partir du rang 1.
Définition 2
Si une suite est soit croissante, soit décroissante, on dit qu’elle est monotone.
Remarque
7
Chapitre 04 Suites numériques
Première S
Une suite numérique peut ne pas être monotone. Par exemple :
1
Soit la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2 − un .
2
5
11
3
= 1, 375 ; · · ·
u1 = = 1, 5 ; u2 = = 1, 25 ; u3 =
2
4
8
Illustration graphique : la suite est définie par la relation de récurrence un+1 = f (un )
1
où f est la fonction définie sur R par f (x) = 2 − x.
2
y=x
2.5
2.0
1.5
1.0
y = f (x)
0.5
0.5
u0
1.0u2 u41.5
u3
u1 2.0
2.5
3.0
3.5
−0.5
2. Etude de la monotonie d’une suite
(a) Etude du signe de un+1 − un
Théorème
Soit une suite un et n0 un entier naturel. Si, pour tout entier naturel n, n > n0 ,
un+1−un > 0 (resp. un+1 −un > 0), la suite (un ) est croissante (resp. strictement
croissante) à partir du rang n0 .
Si, pour tout entier naturel n, n > n0 , un+1 − un 6 0 (resp. un+1 − un < 0), la
suite (un ) est décroissante (resp. strictement décroissante) à partir du rang n0 .
Exemple
Soit la suite (un ) de terme général un = 2n − 3.
Pour tout entier naturel n, un+1 − un = [2(n + 1) − 3] − [2n − 3] = 2 donc, pour
tout entier naturel n, un+1 − un > 0, la suite (un ) est strictement croissante (on
ne précise pas « à partir du rang 0 »).
(b) Cas d’une suite définie par un = f (n)
Théorème
Soit n0 un entier naturel, f une fonction définie sur l’intervalle [n0 ; +∞[ et (un )
la suite définie par : pour tout n entier naturel, n > n0 , un = f (n).
Si f est croissante (resp. strictement croissante) sur l’intervalle [n0 ; +∞[ ,
alors la suite (un ) est croissante (resp. strictement croissante) à partir du
rang n0 .
Si f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur l’intervalle [n0 ; +∞[
, alors la suite (un ) est décroissante (resp. strictement décroissante) à partir
du rang n0 .
8
Chapitre 04 Suites numériques
Première S
Exemple 1
3n + 2
.
n+2
Pour tout entier naturel n, un = f (n) où f est la fonction définie sur l’intervalle
3x + 2
[0; +∞[ par f (x) =
.
x+2
4
.
f est dérivable sur [0; +∞[ et, pour tout x de [0; +∞[, f ′ (x) =
(x + 2)2
′
Pour tout x de [0; +∞[, f (x) > 0 donc f est strictement croissante sur [0; +∞[.
On en conclut que la suite (un ) est strictement croissante.
Soit la suite (un ) de terme général un =
Exemple 2
Soit la suite (un ) de terme général un = n2 − 10n + 5.
Pour tout entier naturel n, un = f (n) où f est la fonction définie sur [0; +∞[ par
f (x) = x2 − 10x + 5.
f est une fonction polynôme du second degré donc le tableau de variation sur
[0; +∞[ est le suivant :
x 0
5
+∞
5
✒
❅
f (x)
❅
❘
❅
−20
f est croissante sur l’intervalle [5; +∞[, on en conclut que la suite (un ) est croissante à partir du rang 5.
Remarque
Lorsqu’on étudie une suite, on cherche si la suite a un comportement que l’on peut
prévoir à partir d’un certain rang, sans s’intéresser aux irrégularités des premiers
termes.
(c) Cas d’une suite à termes strictement positifs
Théorème
Soit (un ) une suite et n0 un entier naturel. Si, pour tout entier naturel n, n > n0 ,
un+1
un+1
> 1 (resp.
> 1), alors la suite (un ) est croissante (resp.
un > 0 et
un
un
strictement croissante) à partir du rang n0 .
un+1
un+1
Si, pour tout entier naturel n, n > n0 , un > 0 et
6 1 (resp.
< 1), alors
un
un
la suite (un ) est décroissante (resp. strictement décroissante) à partir du rang n0 .
Démonstration
Exemple
2n
.
n
La suite (un ) est définie à partir du rang 1.
2n+1
2n+1
un+1
2n
n
Pour tout n ∈ N∗ , un > 0 et
= n +n 1 =
=
×
.
2
un
n + 1 2n
n+1
n
un+1
> 1, on en conclut que la suite (un ) est croissante.
Pour tout n ∈ N∗,
un
Soit (un ) la suite de terme général un =
9
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Première S
(d) Suites arithmétiques et géométriques
Théorème 1
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0, la suite (un ) est strictement croissante.
Si r < 0, la suite (un ) est strictement décroissante.
Si r = 0, la suite (un ) est constante.
Démonstration
Si (un ) est arithmétique de raison r, alors pour tout n ∈ N, un+1 − un = r.
D’où le résultat.
Théorème 2
Soit (un ) une suite géométrique de raison q > 0.
• Cas où u0 > 0
Si 0 < q < 1, alors la suite (un ) est strictement décroissante.
Si q > 1, alors la suite (un ) est strictement croissante.
Si q = 1, alors la suite (un ) est constante.
• Cas où u0 < 0
Si 0 < q < 1, alors la suite (un ) est strictement croissante.
Si q > 1, alors la suite (un ) est strictement décroissante.
Si q = 1, alors la suite (un ) est constante.
Démonstration
• Cas où u0 > 0
Si q > 0 et u0 > 0, alors tout n ∈ N, un > 0, on peut donc appliquer le critère
des suites à termes strictement positifs.
un+1
Pour tout ni nN,
= q.
un
D’où le résultat.
• Cas où u0 < 0
On a alors −u0 > 0.
Soit (vn ) la suite géométrique de premier terme v0 = −u0 et de raison q.
Le sens de variation de (vn ) est donné par le résultat précédent et, pour tout
n ∈ N, un = −vn .
Le sens de variation de (un ) est donc l’inverse de celui de (vn ).
D’où le résultat.
Remarque
Si q < 0, une suite géométrique de raison q n’est pas monotone.
V- Notion de limite d’une suite
1. Suites convergentes
Exemple 1
1
.
n
On représente graphiquement les premiers termes de la suite :
Soit la suite (un )n∈N∗ de terme général un =
10
Chapitre 04 Suites numériques
Première S
1
1
Dès que n > 100, on a un < 1/100 donc n ∈ −
.
;
100 100
Déterminer un rang n0 à partir duquel tous les termes de la suite (un ) sont dans
l’intervalle ] − 10−4 ; 10−4 [.
On admettra que pour tout réel r > 0, l’intervalle ] − r; r[ contient tous les termes de
la suite à partir d’un certain rang.
On dit que la suite (un ) converge vers 0.
Exemple 2
1
.
n2
On représente graphiquement les premiers termes de la suite :
Soit la suite (un )n∈N∗ de terme général un = 3 −
Pour tout réel r > 0, l’intervalle ]3 − r; 3r[ contient tous les termes de la suite à partir
d’un certain rang.
11
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Première S
On dit que la suite (un ) converge vers 3.
Exemple 3
1
Soit la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2 − un .
2
Représentation graphique : la suite est définie par la relation de récurrence un+1 =
1
f (un ) où f est la fonction définie sur R par f (x) = 2 − x.
2
y=x
2.5
2.0
1.5
1.0
y = f (x)
0.5
0.5
u0
1.0u2 u41.5
u3
u1 2.0
2.5
3.0
3.5
−0.5
On conjecture que la suite (un ) converge vers 2.
2. Suites de limite infinie
Exemple 1
Soit (un ) la suite de terme général un = n2 .
On représente graphiquement les premiers termes de la suite :
12
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Première S
6
Dès que n > 100, on a un > 10000, dès que n > 103 , on
√a un > 10 .
Plus généralement, pour tout réel A > 0, dès que n > A, on a u> A.
On dit que la suite a pour limite +∞. (une telle suite est divergente).
√
Soit (un ) la suite de terme général 2n + 3.
On représente graphiquement les premiers termes de la suite :
Déterminer à partir de quelle valeur de n on a un > 100.
Plus généralement, pour tout réel A > 0, pour tout n à partir d’un cetain rang, on a
un > A.
La suite (un ) a donc pour limite +∞.
3. Une suite qui n’admet pas de limite
La suite (un ) de terme général (−1)n n’admet pas de limite.
13