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Índice general
1
Introducción a Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1
Manejo básico de Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Aspectos básicos del lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4
Control de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5
Funciones definidas por el usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6
Entrada y salida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7
Más sobre estructuras de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8
Excepciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
NumPy y SciPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1
Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2
Funciones para crear arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3
Slicing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4
Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5
Otras operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6
Lectura de ficheros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7
Búsqueda de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.8
SciPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.9
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1
2
ÍNDICE GENERAL
3
Gráficos con Matplotlib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1
Gráficos interactivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2
Añadiendo opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3
Configurando varios elementos del gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4
Gráficos y objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5
Gráficos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4
Programación Orientada a Objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1
Definiendo clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2
Controlando entradas y salidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1
Introducción a Python
Python es un lenguaje de programación creado por Guido Van Rossum
a finales de los ochenta. Su nombre deriva de la afición de su creador al
grupo de humor inglés Monty Python. Se trata de un lenguaje de alto nivel,
interpretado, interactivo y de propósito general cuyo diseño hace especial
hincapié en una sintaxis limpia y una buena legibilidad.
Los lectores con conocimiento de algún lenguaje de programación encontrarán en Python un lenguaje sencillo, versátil y que proporciona código fácilmente legible. Para aquéllos que no están familiarizados con la programación,
Python supone un primer contacto agradable pues los programas pueden ser
comprobados y depurados con facilidad, permitiendo al usuario concentrarse
más en el problema a resolver que en los aspectos concretos de la programación.
Aproximadamente a partir de 2005, la inclusión de algunas extensiones
especialmente diseñadas para el cálculo numérico han permitido hacer de
Python un lenguaje muy adecuado para la computación científica, disponiendo
hoy en día de una colección de recursos equivalente a la que podemos encontrar
en un entorno bien conocido como MATLAB, y que continua en permanente
crecimiento.
Python es software de código abierto que está disponible en múltiples
plataformas (GNU/Linux, Unix, Windows, Mac OS, etc.). Se encuentra en la
actualidad con dos versiones en funcionamiento. La mayor parte del código
que se encuentra escrito en Python sigue las especificaciones de la versión 2,
aunque hace ya algún tiempo que la versión 3 se encuentra disponible. En
estas notas se usará la versión 2 del lenguaje.1
1 Aunque es conveniente saber que existen funciones para avisarnos si alguna parte de
nuestro código no es compatible con la versión 3.
3
4
Tema 1
Introducción a Python
1 1
MANEJO BÁSICO DE PYTHON
En esta introducción veremos algunos aspectos generales relacionados con
el uso del intérprete, así como las características básicas del lenguaje, sin entrar
en los aspectos relativos a la instalación en una plataforma determinada. Estas
notas están creadas en un sistema GNU/Linux, por lo que es posible que
el lector encuentre diferencias poco significativas en cuanto al uso en otras
plataformas.
En Python podemos trabajar de dos formas distintas: a través de la consola
o mediante la ejecución de scripts o guiones de órdenes. El primer método es
bastante útil cuando queremos realizar operaciones inmediatas y podemos
compararlo con el uso de una calculadora avanzada. El uso de scripts de
órdenes corresponde a la escritura de código Python que es posteriormente
ejecutado a través del intérprete.
Para iniciar una consola Python bastará escribir la orden python en una
terminal, obteniéndose algo por el estilo:
Python 2.7.3 (default , Jan 2 2013 , 16:53:07)
[GCC 4.7.2] on linux2
Type "help", " copyright ", " credits " or " license " for more
information .
>>>
que nos informa de la versión que tenemos instalada y nos señala el prompt
>>> del sistema, el cual indica la situación del terminal a la espera de órdenes.
Podemos salir con la orden exit() o pulsando las teclas Ctrl+D.
Una vez dentro del intérprete podemos ejecutar órdenes del sistema, por
ejemplo
>>> print "Hola Mundo "
Hola Mundo
>>>
Obviamente la orden print imprime la cadena de texto o string Hola Mundo
que va encerrada entre comillas para indicar precisamente que se trata de un
string. Una vez ejecutada la orden el sistema vuelve a mostrar el prompt.
La otra alternativa a la ejecución de órdenes con Python es la creación de
un script. Se trata de un archivo de texto en el que listamos las órdenes Python
que pretendemos ejecutar. Para la edición del archivo nos vale cualquier editor
de texto sin formato. Escribiendo el comando
print "Hola Mundo "
en un archivo,2 lo salvamos con un nombre cualquiera, por ejemplo hola.py.
Podemos ejecutar el código sencillamente escribiendo en una consola la orden
2 Para diferenciar la escritura de órdenes en el intérprete de los comandos que introduciremos en los archivos los ilustraremos con fondos de diferente color.
1.1
Manejo básico de Python
python hola.py (obviamente situándonos correctamente en el path o ruta
donde se encuentre el archivo). También es posible hacer ejecutable el código
Python escribiendo en la primera línea del archivo3
#!/ usr/bin/env python
y dando permisos de ejecución al archivo con la orden chmod a+x hola.py
desde una consola. En tal caso podemos ejecutarlo escribiendo ./hola.py en
una consola.
Se pueden utilizar codificaciones diferentes de la ASCII4 en los scripts de
Python añadiendo justo detrás del shebang la línea
# -*- coding : codificación -*-
donde codificación se refiere al código de caracteres que empleemos (típicamente utf-8). El empleo de caracteres no ASCII en un script sin esta línea
produce errores.
Cuando queremos escribir una orden de longitud mayor a una línea debemos usar el carácter de escape \, tanto en el intérprete como en los scripts:
>>> print "esto es una orden \
... de más de una línea "
esto es una orden de más de una línea
>>> 15 - 23 + 38 \
... -20 + 10
20
Aunque en el caso de operaciones aritméticas, la apertura de un paréntesis
hace que no resulte obligatorio el carácter de escape:
>>> (24 + 25
... - 34)
15
1 1 1
La consola IPython
En lugar del intérprete Python habitual existe una consola interactiva
denominada IPython con una serie de características muy interesantes que
facilitan el trabajo con el intérprete. Entre ellas podemos destacar la presencia
de autocompletado, característica que se activa al pulsar la tecla de tabulación
y que nos permite que al teclear las primeras letras de una orden aparezcan
todas las órdenes disponibles que comienzan de esa forma. También existe un
operador ? que puesto al final de una orden nos muestra una breve ayuda
acerca de dicha orden, así como acceso al historial de entradas recientes con
la tecla ↑
3 Esto
es lo que se conoce como el shebang, y es el método estándar para poder ejecutar
un programa interpretado como si fuera un binario.
4 Es decir, codificaciones que admiten caracteres acentuados.
5
6
Tema 1
Introducción a Python
De forma idéntica a la apertura de una consola Python, escribiendo
ipython en un terminal obtenemos:
Python 2.7.3 (default , Jan 2 2013 , 16:53:07)
Type " copyright ", " credits " or " license " for more information .
IPython 0.13.1 -- An enhanced Interactive Python .
?
-> Introduction and overview of IPython 's features .
%quickref -> Quick reference .
help
-> Python 's own help system .
object ?
-> Details about 'object ', use 'object ??' for extra
details .
In [1]:
Obsérvese que ahora el prompt cambia, y en lugar de >>> aparece In [1]:.
Cada vez que realizamos una entrada el número va aumentando:
In [1]: 23*2
Out [1]: 46
In [2]:
Si como ocurre en este caso, nuestra entrada produce una salida Out[1]:
46, podemos usar la numeración asignada para reutilizar el dato mediante la
variable _1,
In [2]: _1 + 15
Out [2]: 61
que hace referencia al valor almacenado en la salida [1]. O también
In [3]: _ * 2 # _ hace referencia al último valor
Out [3]: 122
In [4]: _2 + _
Out [4]: 183
Además, esta consola pone a nuestra disposición comandos del entorno (cd,
ls, etc.) que nos permiten movernos por el árbol de directorios desde dentro
de la consola, y comandos especiales, conocidos como funciones mágicas que
proveen de funcionalidades especiales a la consola. Estos comandos comienzan
por el carácter % aunque si no interfieren con otros nombres dentro del
sistema se puede prescindir de este carácter e invocar sólo el nombre del
comando. Entre los más útiles está el comando run con el que podemos
ejecutar desde la consola un script de órdenes. Por ejemplo, para ejecutar
el creado anteriormente:
In [5]: run hola.py
Hola Mundo
1.1
Manejo básico de Python
Y entre otras varias posibilidades que no mencionaremos, también es
posible salvar a un archivo de texto algunas de las entradas introducidas en
la consola. Por ejemplo,
In [6]: print " Primera línea "
Primera línea
In [7]: print " Segunda línea "
Segunda línea
In [8]: %save archivo 6 7
The following commands were written to file `archivo .py `:
print " Primera línea "
print " Segunda línea "
Y ahora, el fichero archivo.py contiene:
# coding : utf -8
print " Primera línea "
print " Segunda línea "
El lector puede probar a escribir % y pulsar el tabulador para ver un listado
de las funciones mágicas disponibles.
IPython Notebook
El IPython Notebook es una variación de la consola IPython, que usa un
navegador web como interfaz y que constituye un entorno de computación
que mezcla la edición de texto con el uso de una consola. Es una forma muy
interesante de trabajar con Python pues auna las buenas características de
la consola IPython, con la posibilidad de ir editando las entradas las veces
que sean necesarias. Para correr el entorno hemos de escribir en una terminal
la orden ipython notebook, lo que nos abrirá una ventana en un navegador
web, con un listado de los notebooks disponibles y la posibilidad de navegar
en un árbol de directorios. Los notebooks son ficheros con extensión .ipynb
que pueden ser importados o exportados con facilidad al entorno web.
Además de las características mencionadas, los notebooks permiten añadir
texto en diversos formatos (LATEX inclusive) con los que diseñar páginas
interactivas con código Python e información.
Entornos de Desarrollo Integrados
Los denominados IDE (Integrated Development Environment) son programas que facilitan el desarrollo de código incluyendo típicamente un editor
de código fuente acompañado de una consola o herramientas de compilación
automáticas, y en ocasiones algún complemento de depuración, o listado de
variables presentes, etc. En el caso de Python, existen diversos entornos de
este tipo entre los que podemos citar IDLE, Stani’s Python Editor, Eric IDE,
NinJa IDE, Spyder, entre otros. Son herramientas interesantes para escribir
código de forma más cómoda que el uso aislado de un editor de texto.
7
8
Tema 1
Introducción a Python
1 2
ASPECTOS BÁSICOS DEL LENGUAJE
Python es un lenguaje dinámicamente tipado, lo que significa que las
variables pueden cambiar de tipo en distintos momentos sin necesidad de
ser previamente declaradas. Las variables son identificadas con un nombre,
que debe obligatoriamente comenzar por una letra y en el que se hace la
distinción entre mayúsculas y minúsculas, y son definidas mediante el operador
de asignación =.
1 2 1
Variables numéricas
Veamos algunos ejemplos:
>>>
>>>
>>>
>>>
a=2
# define un
b=5. # define un
c=3+1j
# define
d= complex (3 ,2) #
entero
número real
un número complejo
define un número complejo
Obsérvese la necesidad de poner un punto para definir el valor como real y
no como entero, el uso de j en lugar de i en los números complejos junto con
la necesidad de anteponer un número, y el uso de la función complex. Nótese
también que la asignación de una variable no produce ninguna salida.
Podemos recuperar el tipo de dato de cada variable con la orden type,
>>> type(a)
<type 'int '>
>>> type(b)
<type 'float '>
>>> type(c)
<type 'complex '>
Como vemos, Python asigna el tipo a cada variable en función de su definición.
Es importante resaltar la diferencia entre los tipos numéricos, pues si no somos
cuidadosos podemos caer en el siguiente error:
>>> a=5; b=2
>>> a+b
7
>>> a/b
2
# definición múltiple de variables
Claramente a+b calcula la suma de los valores de las variables, sin embargo
a/b parece que no calcula correctamente la división. En realidad la respuesta
es correcta dado que ambas variables son enteros, y por tanto se realiza la
división entre enteros, que corresponde a la parte entera de la división. Si lo
que esperamos es obtener la división real debemos escribir al menos uno de
los números en forma real, lo que se hace con el comando float:
1.2
Aspectos básicos del lenguaje
>>> a/ float (b)
2.5
Cuando Python opera con números de distinto tipo, realiza la operación
transformando todos los números involucrados al mismo tipo, según una
jerarquía establecida que va de enteros a reales y luego a complejos:
>>> a=3.
>>> b=2+3j
>>> c=a+b # suma de real y complejo
>>> c
(5+3j)
>>> type(c)
<type 'complex '>
Los operadores aritméticos habituales en Python son: + (suma), - (resta), *
(multiplicación), / (división), ** (potenciación, que también se puede realizar
con la función pow), // (división entera), que da la parte entera de la división
entre dos reales, y el operador % (módulo), que proporciona el resto de la
división entre dos números:
>>> a=5.; b=3.
>>> a**b # ab
125.0
>>> pow(a,b) # ab
125.0
>>> a/b
1.6666666666666667
>>> a//b
1.0
>>> int(a)/int(b)
1
>>> int(a) % int(b) # Resto de la división
2
Nótese el uso de la función de conversión a entero int.
1 2 2
Objetos
Python sigue el paradigma de la Programación Orientada a Objetos
(POO). En realidad, todo en Python es un objeto. Podemos entender un
objeto como un tipo especial de variable en la que no sólo se almacena un
valor, o conjunto de valores, sino para el que tenemos disponible también una
serie de características y de funciones concretas, que dependerán del objeto
en cuestión.
Por ejemplo, si creamos un número complejo
>>> a=3+2j
9
10
Tema 1
Introducción a Python
estaremos creando un objeto para el cual tenemos una serie de propiedades,
o en el lenguaje de la POO, de atributos, como pueden ser su parte real y su
parte imaginaria:
>>> a.real
3.0
>>> a.imag
2.0
Los atributos son características de los objetos a las que se accede mediante
el operador . de la forma objeto.atributo.
Cada tipo de objeto suele tener disponible ciertos métodos. Un método es
una función que actúa sobre un objeto con una sintaxis similar a la de un
atributo, es decir, de la forma objeto.método(argumentos). Por ejemplo, la
operación de conjugación es un método del objeto complejo:
>>> a. conjugate ()
(3 -2j)
Los paréntesis indican que se trata de una función y son necesarios. En
caso contrario, si escribimos
>>> a. conjugate
<built -in method conjugate of complex object at 0xb751a920 >
el intérprete nos indica que se trata de un método del objeto complejo, pero
no proporciona lo esperado.
Pulsando el tabulador después de escribir objeto. en la consola IPython,
ésta nos muestra los atributos y funciones accesibles al objeto:
In [1]: a= complex (3 ,2)
In [2]: a. # Pulsar <TAB >
a. conjugate a.imag
a.real
1 2 3
Listas
Las listas son colecciones de datos de cualquier tipo (inclusive listas) que
están indexadas, comenzando desde 0:
>>> a=[1 ,2. ,3+1j]
>>> type(a)
<type 'list '>
>>> a[1]
2.0
>>> a[3]
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
IndexError : list index out of range
1.2
Aspectos básicos del lenguaje
11
Hemos definido una lista encerrando sus elementos (de tipos diversos) entre
corchetes y separándolos por comas. Podemos acceder a cada uno de los
elementos de la lista escribiendo el nombre de la lista y el índice del elemento
entre corchetes, teniendo en cuenta que el primer elemento tiene índice 0.
Nótese que el tercer elemento corresponde al índice 2, y si intentamos acceder
al elemento a[3] obtenemos un error.
Si algún elemento de la lista es otra lista, podemos acceder a los elementos
de esta última usando el corchete dos veces, como en el siguiente ejemplo:
>>>
>>>
[3,
>>>
0
a=[1 ,2. ,3+1j ,[3 ,0]]
a[3]
0]
a [3][1]
Las listas son estructuras de datos muy potentes que conviene aprender a
manejar con soltura. Podemos consultar los métodos a los que tenemos acceso
en una lista usando el autocompletado en IPython:
In [2]: a. # Pulsar <TAB >
a. append
a. extend
a. insert
a. count
a. index
a.pop
a. remove
a. reverse
a.sort
El siguiente ejemplo muestra el funcionamiento de alguno de estos métodos:
>>> a=[25 , 33, 1, 15, 33]
>>> a. append (0) # agrega 0 al final
>>> a
[25 , 33, 1, 15, 33, 0]
>>> a. insert (3 ,-1) # inserta -1 en la posición 3
>>> a
[25 , 33, 1, -1, 15, 33, 0]
>>> a. reverse () # invierte el orden
>>> a
[0, 33, 15, -1, 1, 33, 25]
>>> a.pop () # elimina el último elemento y lo devuelve
25
>>> a
[0, 33, 15, -1, 1, 33]
>>> a.pop (3) # elimina el elemento de índice 3
-1
>>> a
[0, 33, 15, 1, 33]
>>> a. extend ([10 ,20 ,30]) # añade elementos a la lista
>>> a
[0, 33, 15, 1, 33, 10, 20, 30]
>>> a. append ([10 ,20 ,30]) # añade el argumento a la lista
>>> a
[0, 33, 15, 1, 33, 10, 20, 30, [10 , 20, 30]]
12
Tema 1
Introducción a Python
Por otra parte, es frecuente que Python utilice los operadores aritméticos
con diferentes tipos de datos y distintos resultados. Por ejemplo, los operadores
suma y multiplicación pueden aplicarse a listas, con el siguiente resultado:
>>>
>>>
[1,
>>>
[1,
a=[1 ,2 ,3]; b=[10 ,20 ,30]
a*3
2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
a+b
2, 3, 10, 20, 30]
Esta última acción se podría haber obtenido usando el método extend:
>>> a. extend (b)
>>> a
[1, 2, 3, 10, 20, 30]
Nótese que el uso del método hubiera sido equivalente a escribir a=a+b. En
general, el uso de métodos proporciona mejor rendimiento que el uso de otras
acciones, pero hemos de ser conscientes de que el objeto sobre el que se aplica
puede quedar modificado al usar un método.
Slicing
Una de las formas más interesantes de acceder a los elementos de una lista
es mediante el operador de corte o slicing, que permite obtener una parte de
los elementos de una lista:
>>> a = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0] # creamos una lista
>>> a[2:5] # accedemos a los elementos 2,3,4
[7, 6, 5]
Como vemos, el slicing [n:m] accede a los elementos de la lista desde n hasta
m (el último sin incluir). Admite un parámetro adicional, y cierta flexibilidad
en la notación:
>>>
[8,
>>>
[9,
>>>
[3,
a [1:7:2] # desde 1 hasta 6, de 2 en 2
6, 4]
a[:3] # al omitir el primero se toma desde el inicio
8, 7]
a[6:] # al omitir el último se toma hasta el final
2, 1, 0]
Aunque el acceso a índices incorrectos genera error en las listas, no ocurre lo
mismo con el slicing:
>>> a[:20]
[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
>>> a [12:15] # si no hay elementos , resulta una cadena vacía
[]
En las listas, y por supuesto también con el slicing, se pueden usar índices
negativos que equivalen a contar desde el final:
1.2
>>>
0
>>>
[4,
>>>
[6,
Aspectos básicos del lenguaje
a[-1] # -1 refiere la última posición
a[ -5: -3]
3]
a[3: -3]
5, 4, 3]
El slicing también permite añadir, borrar o reemplazar elementos en las
listas:
>>> a = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
>>> a [1:3]=[] # borra elementos 1 y 2
>>> a
[9, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
>>> a[2:5]=[ -1 , -2 , -3 , -4] # reemplaza elementos 2 a 4
>>> a
[9, 6, -1, -2, -3, -4, 2, 1, 0]
>>> a[1:1]=[0 ,1 ,2] # añade la lista en la posición 1
>>> a
[9, 0, 1, 2, 6, -1, -2, -3, -4, 2, 1, 0]
>>> a [:0]= a[ -5: -1] # añadimos al inicio
>>> a
[-3, -4, 2, 1, 9, 0, 1, 2, 6, -1, -2, -3, -4, 2, 1, 0]
>>> a[:] = [] # vaciamos la lista
>>> a
[]
1 2 4
Cadenas de caracteres
Las cadenas no son más que texto encerrado entre comillas:
>>> a="Hola"; b='mundo '
>>> print a
Hola
>>> print b
mundo
>>> type(a)
<type 'str '>
en las que se puede comprobar que da igual definirlas con comillas simples o
dobles, lo que es útil si queremos cadenas que incluyan estos caracteres:
>>> a="Esto es una 'string '"
>>> print a
Esto es una 'string '
Si queremos construir cadenas con más de una línea usamos la triple
comilla """:
>>> a=""" Esto es un cadena
... muy larga que tiene
13
14
Tema 1
Introducción a Python
... muchas lineas """
>>> print a
Esto es un cadena
muy larga que tiene
muchas lineas
Nótese que el intérprete añade automáticamente unos puntos suspensivos
(...) al pulsar la tecla enter.
En ocasiones es preciso incluir caracteres no ASCII en una cadena, para lo
cual Python provee de soporte Unicode. Para señalar que una cadena posee
caracteres extraños usaremos el indicador u al comienzo de la misma (antes
de las comillas). Por ejemplo
cadena = u'á é í ó ú'
En otros momentos, necesitaremos que la cadena de caracteres sea interpretada tal cual (sin caracteres de escape), para lo cual usaremos una r (por
raw string) precediendo a la cadena:
cadena = r'\LaTeX '
Podemos acceder a los elementos individuales de una cadena mediante
indices, como si fuera una lista:
>>> cadena ="Hola mundo "
>>> cadena [0]
'H'
>>> cadena [4]
' '
>>> cadena [5]= 'M' # error : la cadena no es modificable
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
TypeError : 'str ' object does not support item assignment
pero las cadenas son inmutables, esto es, no es posible alterar sus elementos
(veremos este asunto más adelante en la sección ??). Eso significa que cualquier transformación que llevemos a cabo con un método no alterará la cadena
original.
El slicing también funciona con las cadenas de caracteres
>>> a="Esto es una cadena de caracteres "
>>> a[:19]
'Esto es una cadena '
>>> a[19:]
'de caracteres '
Hay una gran cantidad de métodos para manejar strings que permiten
cambiar la capitalización, encontrar caracteres dentro de una cadena o separar
cadenas en trozos en función de un caracter dado. Emplazamos al lector a usar
la ayuda en línea del intérprete para aprender el funcionamiento de éstos y
otros métodos.
1.2
1 2 5
Aspectos básicos del lenguaje
Diccionarios
En algunas ocasiones es interesante disponer de listas que no estén indexadas por números naturales, sino por cualquier otro elemento (strings habitualmente, o cualquier tipo de dato inmutable). Python dispone de los diccionarios
para manejar este tipo de listas:
>>> colores ={ 'r': 'rojo ', 'g': 'verde ', 'b': 'azul '}
>>> type( colores )
<type 'dict '>
>>> colores ['r']
'rojo '
>>> colores ['k']= 'negro ' # añadimos un nuevo elemento
>>> colores
{'k': 'negro ', 'r': 'rojo ', 'b': 'azul ', 'g': 'verde '}
Observar que el orden dentro de los elementos de la lista es irrelevante pues
la indexación no es numerada.
El objeto que se usa como índice se denomina clave. Podemos pensar
entonces en un diccionario como un conjunto no ordenado de pares, clave:
valor donde cada clave ha de ser única (para ese diccionario). Podemos
acceder a ellas usando los métodos adecuados:
>>> colores .keys () # claves
['k', 'r', 'b', 'g']
>>> colores . values () # valores
['negro ', 'rojo ', 'azul ', 'verde ']
Entre los diversos métodos accesibles para un diccionario disponemos del
método pop que permite eliminar una entrada en el diccionario:
>>> colores .pop('b')
'azul '
>>> colores
{'k': 'negro ', 'r': 'rojo ', 'g': 'verde '}
1 2 6
Tuplas
Para terminar con los tipos de datos principales haremos mención a las
tuplas. Las tuplas son un tipo de dato similar a las listas (es decir, una
colección indexada de datos) pero que no pueden alterarse una vez definidas
(son inmutables):
>>> a=(1 ,2. ,3+1j,"hola")
>>> type(a)
<type 'tuple '>
>>> a[2]
(3+1j)
>>> a [0]=10. # error : no se puede modificar una tupla
Traceback (most recent call last):
15
16
Tema 1
Introducción a Python
File "<stdin >", line 1, in <module >
TypeError : 'tuple ' object does not support item assignment
La definición es similar a la de una lista, salvo que se usan paréntesis en lugar
de corchetes, y el acceso a los elementos es idéntico. Pero como podemos
observar, no es posible alterar sus elementos ni tampoco añadir otros nuevos.
La tuplas son muy útiles para empaquetar y desempaquetar datos, como
puede verse en el siguiente ejemplo:
>>> a=1,2,'hola ' # creamos una tupla (sin paréntesis !)
>>> type(a)
<type 'tuple '>
>>> a
(1, 2, 'hola ')
>>> x, y, z = a # desempaquetamos la tupla en variables x,y,z
>>> x
1
>>> y
2
>>> z
'hola '
Atención a la creación de tuplas de un único elemento:
>>> a = (1)
>>> b = (1,)
>>> c = 1,
>>> print type(a),type(b),type(c)
<type 'int '> <type 'tuple '> <type 'tuple '>
Como veremos luego, las tuplas son útiles para pasar un conjunto de datos
a una función. También están detrás de la asignacion múltiple de variables:
>>> a = s,t,r = 1,'dos ' ,[1 ,2 ,3]
>>> a
(1, 'dos ', [1, 2, 3])
>>> t
'dos '
que es particularmente útil para intercambiar valores de variables:
>>> a,b=0 ,1
>>> b,a=a,b # intercambiamos a y b
>>> print a, b
1 0
1 3
MÓDULOS
Una de las características principales de Python es su modularidad. La
mayoría de funciones accesibles en Python están empaquetas en módulos,
1.3
Módulos
17
que precisan ser cargados previamente a su uso, y sólo unas pocas funciones
son cargadas con el núcleo principal. Por ejemplo, no se dispone de forma
inmediata de la mayor parte de funciones matemáticas comunes si no se
ha cargado antes el módulo apropiado. Por ejemplo, la función seno no está
definida:
>>> sin (3.)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
NameError : name 'sin ' is not defined
Si queremos poder usar ésta u otras funciones matemáticas debemos
importar el módulo con la orden import:
>>> import math
Ahora tenemos a nuestra disposición todas las funciones del módulo matemático. Puesto que todo en Python es un objeto (incluidos los módulos), el lector
entenderá perfectamente que el acceso a las funciones del módulo se haga de
la forma math.función:
>>> math.sin (3.)
0.1411200080598672
Para conocer todas las funciones a las que tenemos acceso dentro del
módulo disponemos de la orden dir5
>>> dir(math)
['__doc__ ', '__name__ ', '__package__ ', 'acos ', 'acosh ', 'asin '
, 'asinh ', 'atan ', 'atan2 ', 'atanh ', 'ceil ', 'copysign ', '
cos ', 'cosh ', 'degrees ', 'e', 'erf ', 'erfc ', 'exp ', 'expm1
', 'fabs ', 'factorial ', 'floor ', 'fmod ', 'frexp ', 'fsum ',
'gamma ', 'hypot ', 'isinf ', 'isnan ', 'ldexp ', 'lgamma ', '
log ', 'log10 ', 'log1p ', 'modf ', 'pi ', 'pow ', 'radians ', '
sin ', 'sinh ', 'sqrt ', 'tan ', 'tanh ', 'trunc ']
o también podemos usar el tabulador en IPython:
In [1]: import math
In [2]: math. # Pulsar <TAB >
math.acos
math. degrees
math.acosh
math.e
math.asin
math.erf
math.asinh
math.erfc
math.atan
math.exp
math.atan2
math.expm1
math.atanh
math.fabs
math.ceil
math. factorial
math.fsum
math. gamma
math. hypot
math. isinf
math. isnan
math. ldexp
math. lgamma
math.log
math.pi
math.pow
math. radians
math.sin
math.sinh
math.sqrt
math.tan
math.tanh
5 Sin argumentos, la order dir() devuelve un listado de las variables actualmente
definidas.
18
Tema 1
Introducción a Python
math. copysign
math.cos
math.cosh
math.floor
math.fmod
math.frexp
math.log10
math.log1p
math.modf
math. trunc
Una de las características más apreciadas de Python es su extensa biblioteca de módulos que nos proveen de funciones que permiten realizar las tareas
más diversas. Además, esta modularización del lenguaje hace que los programas creados puedan ser reutilizados con facilidad. Sin embargo, no suele ser
bien aceptada la necesidad de anteponer el nombre del módulo para tener
acceso a sus funciones. Es posible evitar el tener que hacer esto si cargamos
los módulos del siguiente modo:
>>> from math import *
Ahora, si queremos calcular
√
2, escribimos
>>> sqrt (2)
1.4142135623730951
Lógicamente, esta forma de cargar los módulos tiene ventajas evidentes en
cuanto a la escritura de órdenes, pero tiene también sus inconvenientes. Por
ejemplo, es posible que haya más de un módulo que use la misma función,
como es el caso de la raíz cuadrada, que aparece tanto en el módulo math
como en el módulo cmath. De manera que podemos encontrarnos situaciones
como la siguiente:
>>> import math
>>> import cmath
>>> math.sqrt ( -1)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
ValueError : math domain error
>>> cmath .sqrt ( -1)
1j
Como vemos, hemos cargado los módulos math y cmath y calculado la raíz
cuadrada de −1 con la función sqrt que posee cada módulo. El resultado es
bien distinto: la función raíz cuadrada del módulo math no permite el uso de
números negativos, mientras que la función sqrt del módulo cmath sí. Si en
lugar de cargar los módulos como en el último ejemplo los hubiésemos cargado
así:
>>> from cmath import *
>>> from math import *
¿qué ocurrirá al hacer sqrt(-1)? Como el lector puede imaginar, la función
sqrt del módulo cmath es sobreescrita por la del módulo math, por lo que
sólo la última es accesible.
Existe una tercera opción para acceder a las funciones de los módulos que
no precisa importarlo al completo. Así,
1.3
Módulos
>>> from cmath import sqrt
>>> from math import cos ,sin
nos deja a nuestra disposición la función raíz cuadrada del módulo cmath y
las funciones trigonométricas seno y coseno del módulo math. Es importante
señalar que con este método de importación no tenemos acceso a ninguna
otra función de los módulos que no hubiera sido previamente importada. Esta
última opción es de uso más frecuente en los scripts, debido a que con ella
cargamos exclusivamente las funciones que vamos a necesitar y de esa forma
mantenemos el programa con el mínimo necesario de recursos.
En el uso de la consola interactiva es más frecuente cargar el módulo
al completo, y es aconsejable hacerlo sin el uso de *. De hecho, hay una
posibilidad adicional que nos evita tener que escribir el nombre del módulo
al completo, seguido del punto para usar una función. Si realizamos una
importación del módulo como sigue.
>>> import math as m
entonces no es necesario escribir math. para acceder a la funciones, sino
>>> m.cos(m.pi)
-1.0
1 3 1
Otros módulos de interés
La cantidad de módulos disponibles en Python es enorme, y en estas notas
veremos con detenimiento algunos de ellos relacionados con la computación
científica. No obstante, conviene conocer algunos otros módulos de la biblioteca estándar que se muestran en la siguiente tabla:
19
20
Tema 1
Introducción a Python
Módulo
Descripción
math
Funciones matemáticas
cmath
Funciones matemáticas con complejos
fractions
Números racionales
os
Funcionalidades del sistema operativo
sys
Funcionalidades del intérprete
re
Coincidencia en patrones de cadenas
datetime
Funcionalidades de fechas y tiempos
pdb
Depuración
random
Números aleatorios
ftplib
Conexiones FTP
MySQLdb
manejo de bases de datos MySQL
smtplib
Envío de e-mails
1 4
CONTROL DE FLUJO
1 4 1
Bucles
Una característica esencial de Python es que la sintaxis del lenguaje impone
obligatoriamente que escribamos con cierta claridad. Así, los bloques de código
deben ser obligatoriamente sangrados:
>>> for i in range (3):
...
print i
...
0
1
2
La sintaxis de la orden for es simple: la variable i recorre la lista generada por
range(3), finalizando con dos puntos (:) obligatoriamente. La siguiente línea,
comenzada por ... por el intérprete, debe ser sangrada, bien con el tabulador,
bien con espacios (uno es suficiente, aunque lo habitual es cuatro). Al dejar la
siguiente línea en blanco el intérprete entiende que hemos finalizado el bucle
for y lo ejecuta. En un script volveríamos al sangrado inicial para indicar el
fin del bucle.
Nótese que el bucle en Python corre a través de la lista y no de los índices
de ésta, como se muestra en el siguiente ejemplo:
>>> a=[ 'hola ','mundo ']
1.4
Control de flujo
>>> for b in a:
...
print b
...
hola
mundo
No es seguro modificar la lista sobre la que se está iterando dentro del
bucle. En caso de querer hacerlo es preciso iterar sobre una copia.
Ya hemos visto que la función range(n) crea una lista de números de n
elementos, comenzando en 0. Pero es posible que el rango comience en otro
valor, o se incremente de distinta forma:
>>> range (5, 10)
[5, 6, 7, 8, 9]
>>> range (1, 10, 3)
[1, 4, 7]
>>> range (-10, -100, -30)
[-10, -40, -70]
De igual modo que iteramos sobre una lista, puede hacerse sobre una tupla
o un diccionario. En este último caso, es posible acceder de varias formas:
>>> colores ={ 'r': 'rojo ', 'g': 'verde ', 'b': 'azul '}
>>> for i in colores .keys ():
...
print i, colores [i]
...
r rojo
b azul
g verde
o simultáneamente, con método el iteritems:
>>> for x,y in colores . iteritems ():
...
print x,y
...
r rojo
b azul
g verde
Nótese el uso de la coma con la orden print.
1 4 2
Condicionales
La escritura de sentencias condicionales es similar a la de los bucles for,
usando el sangrado de línea para determinar el bloque:
>>> if 5 %3 == 0:
...
print "5 es divisible entre 3"
... elif 5 %2 == 0:
...
print "5 es divisible por 2"
... else:
21
22
Tema 1
Introducción a Python
...
print "5 no divisible ni por 2 ni por 3"
...
5 no es divisible ni por 2 ni por 3
>>>
La orden if evalúa la operación lógica “el resto de la división de 5 entre 3
es igual a cero”; puesto que la respuesta es negativa, se ejecuta la segunda
sentencia (elif), que evalúa si “el resto de la división de 5 entre 2 es igual a
cero”; como esta sentencia también es negativa se ejecuta la sentencia else.
Es posible poner todos los elif que sean necesarios (o incluso no ponerlos),
y el bloque else no es obligatorio.
En Python, al igual que C, cualquier número distinto de cero es verdadero,
mientras que cero es falso. Las condiciones pueden ser también una cadena
de texto o una lista, que serán verdaderas si tienen longitud no nula, y falsas
si son vacías. Por su parte, los operadores de comparación en Python son ==
(igual), != (distinto), > (mayor que), >= (mayor o igual que), < (menor que)
y <= (menor o igual que), y los operadores lógicos son and, or y not.
1 4 3
Bucles condicionados
Obsérvese este ejemplo con la sentencia while:
1
2
3
4
5
6
>>> a,b=0 ,1 # Inicialización de la sucesión de Fibonacci
>>> while b <20:
...
print b,
...
a,b=b,a+b
...
1 1 2 3 5 8 13
Es interesante analizar un poco este breve código que genera unos cuantos
términos de la sucesión de Fibonacci. En especial, hemos de prestar atención
a cómo usamos tuplas para las asignaciones múltiples que realizamos en las
líneas 1 y 4; en la primera hacemos a=0 y b=1 y en la segunda se realiza la
asignación a=b y b=a+b, en la que debemos notar que antes de realizar la
asignación se evalúa el lado derecho (de izquierda a derecha).
También disponemos de las sentencias break y continue para terminar
o continuar, respectivamente, los bucles for o while. Asimismo, la sentencia
else tiene sentido en un bucle y se ejecuta cuando éste ha terminado, en
el caso de for, o cuando es falso, en el caso de while. Veamos el siguiente
ejemplo:
1
2
3
4
5
6
7
>>> for n in range (2 ,10):
...
for x in range (2,n):
...
if n % x == 0: # si n es divisible por x
...
print n,'es igual a',x,'*',n/x
...
break
...
else:
...
print n,'es primo '
1.5
8
9
10
11
12
13
14
15
16
...
2 es
3 es
4 es
5 es
6 es
7 es
8 es
9 es
Funciones definidas por el usuario
primo
primo
igual
primo
igual
primo
igual
igual
a 2 * 2
a 2 * 3
a 2 * 4
a 3 * 3
El break de la línea 5 interrumpe la búsqueda que hace el bucle que comienza
en la línea 2. Si este bucle finaliza sin interrupción, entonces se ejecuta el
bloque else de la línea 6.
Por último, Python dispone también de la orden pass que no tiene ninguna
acción, pero que en ocasiones es útil para estructurar código que aún no ha
sido completado, por ejemplo
for n in range (10):
if n % 2 == 0:
print "n es par"
else:
pass
# ya veremos qué hacemos aquí
1 5
FUNCIONES DEFINIDAS POR EL USUARIO
Las funciones son trozos de código que realizan una determinada tarea.
Vienen definidas por la orden def y a continuación el nombre que las define
seguido de dos puntos. Siguiendo la sintaxis propia de Python, el código de
la función está sangrado. La principal característica de las funciones es que
permiten pasarles argumentos de manera que la tarea que realizan cambia en
función de dichos argumentos.
>>>
...
...
...
...
...
>>>
1 1
>>>
1 1
def fibo(n): # sucesión de Fibonacci hasta n
a,b=0 ,1
while b<n:
print b,
a,b=b,a+b
fibo (100) # llamada a la función con n=100
2 3 5 8 13 21 34 55 89
fibo (1000) # llamada a la función con n =1000
2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987
Como puede verse, esta función imprime los términos de la sucesión de
Fibonacci menores que el valor n introducido.
23
24
Tema 1
Introducción a Python
Si quisiéramos almacenar dichos términos en una lista, podemos usar
la orden return que hace que la función pueda devolver algún valor, si es
necesario:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
>>>
...
...
...
...
...
...
...
>>>
[1,
>>>
>>>
[1,
def fibolist (n): # lista de Fibonacci hasta n
sucesion =[]
# creación de lista vacía
a,b=0 ,1
while b<n:
sucesion . append (b) # añadir b a la lista sucesion
a,b=b,a+b
return sucesion
fibolist (100)
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]
a= fibolist (250)
a
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233]
A diferencia de la función fibo definida antes, la función fibolist devuelve la lista creada a través de la orden return (línea 7). Si return no va
acompañado de ningún valor, se retorna None, al igual que si se alcanza el
final de la función sin encontrar return:
>>> a=fibo (50)
1 1 2 3 5 8 13 21 34
>>> print a
None
Si queremos devolver más de un valor, lo podemos empaquetar en una
tupla.
1 5 1
Importando funciones definidas por el usuario
Aunque las funciones pueden ser definidas dentro del intérprete para su
uso, es más habitual almacenarlas en un fichero, bien para poder ser ejecutadas
desde el mismo, o bien para ser importadas como si se tratara de un módulo.
Por ejemplo, podemos definir una función matemática y guardarla en un
archivo tang.py:
from math import sin ,cos ,pi
def tangente (x):
if cos(x)!=0:
return sin(x)/cos(x)
else:
print "La tangente es infinita "
return
x= tangente (pi)
print 'La tangente de pi es ',x
1.5
Funciones definidas por el usuario
Si ahora ejecutamos el archivo desde la consola:
$ python tang.py
La tangente de pi es -1.22460635382e -16
Aunque también podemos cargar la función tangente desde el intérprete como
si se tratara de un módulo:
>>> import tang
La tangente de pi es -1.22460635382e -16
>>> tang. tangente (3)
-0.1425465430742778
>>> tang.x
-1.2246063538223773e -16
>>> tang.sin(tang.pi)
1.2246063538223773e -16
>>> x
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
NameError : name 'x' is not defined
Nótese cómo al cargar el módulo, éste se ejecuta y además nos proporciona
todas las funciones y variables presentes en el módulo (inclusive las importadas
por él), pero anteponiendo siempre el nombre del módulo. Obsérvese que la
variable x no está definida, mientras que sí lo está tang.x.
Si realizamos la importación con *:
>>> x=5
>>> from tang import *
La tangente de pi es -1.22460635382e -16
>>> tangente (pi /4)
0.9999999999999999
>>> x
-1.2246063538223773e -16
tendremos todas las funciones presentes en el módulo (salvo las que comiencen
por _) sin necesidad de anteponer el nombre, pero como podemos observar
en el ejemplo, podemos alterar las variables propias que tengamos definidas,
razón por la cual no recomendamos este tipo de importación.
Finalmente si realizamos la importación selectiva:
>>> from tang import tangente
La tangente de pi es -1.22460635382e -16
>>> tangente (3)
-0.1425465430742778
>>> x
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
NameError : name 'x' is not defined
la función tangente está disponible, pero nada más. Aun así, obsérvese que
se ha ejecutado el módulo en el momento de la importación. Para evitar que
25
26
Tema 1
Introducción a Python
el código se ejecute cuando importamos podemos separar la función del resto
del código del siguiente modo:
from math import sin ,cos ,pi
def tangente (x):
if cos(x)!=0:
return sin(x)/cos(x)
else:
print "La tangente es infinita "
return
if __name__ == " __main__ ":
x= tangente (pi)
print 'La tangente de pi es ',x
Lo que sucede es que cuando ejecutamos el código con python tang.py,
la variable __name__ toma el valor '__main__', por lo que el fragmento final
se ejecuta, lo que no ocurre si lo importamos.
Es importante resaltar que por razones de eficiencia, los módulos se importan una sola vez por sesión en el intérprete, por lo que si son modificados
es necesario reiniciar la sesión o bien volver a cargar el módulo con la orden
reload(módulo).
¿Dónde están los módulos?
Cuando se importa un módulo de nombre tang el intérprete busca un
fichero tang.py en el directorio actual o en la lista de directorios dados por
la variable PYTHONPATH. Si dicha variable no está configurada, o el fichero no
se encuentra allí, entonces se busca en una lista de directorios que depende
de la instalación que se tenga. Podemos acceder a esta lista con la variable
sys.path del módulo sys.
Documentando funciones
Se puede documentar una función en Python añadiendo una cadena de
documentación justo detrás de la definición de función:
def mifuncion ( parametro ):
""" Esta función no hace nada.
Absolutamente nada
"""
pass
En tal caso, la función help(mifuncion) o escribiendo mifuncion? en IPython nos mostrará la documentación de la función.
1.5
1 5 2
Funciones definidas por el usuario
Argumentos de entrada
Es posible definir funciones con un número variable de argumentos. Una
primera opción consiste en definir la función con valores por defecto:
def fibonacci (n,a=0,b=1):
sucesion =[]
while b<n:
sucesion . append (b)
a,b=b,b+a
return sucesion
La llamada a esta función puede realizarse de diversos modos.
Usando sólo el argumento posicional: fibonacci(100).
Pasando sólo alguno de los argumentos opcionales (junto con el posicional): fibonacci(100,3), en cuyo caso a=3 y b=1.
Pasando todos los argumentos: fibonacci(10,2,3).
También es posible realizar la llamada usando los nombres de las variables
por defecto, así
fibonacci (100 ,b=3) # equivale a fibonacci (100 ,0 ,3)
fibonacci (100 ,b=4,a=2) # equivale a fibonacci (100 ,2 ,4)
fibonacci (b=4,a=2) # error : falta el argumento n
Otra opción es incluir un número indeterminado de parámetros en una
tupla, que es llamada como *argumento; por ejemplo:
>>> def media (* valores ):
...
if len( valores ) == 0: # len = longitud de la tupla
...
return 0.0
...
else:
...
sum = 0.
...
for x in valores :
...
sum += x # equivale a sum = sum + x
...
return sum / len( valores )
...
>>> media (1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6)
3.5
>>> media (3 ,6 ,7 ,8)
6.0
La función calcula el valor medio de un número indeterminado de valores
de entrada que son empaquetados con el argumento *valores en una tupla.
Si la función tiene además argumentos por defecto, entonces podemos
empaquetar la llamada a través de un diccionario:
27
28
Tema 1
Introducción a Python
>>> def funarg ( obligatorio ,* otros ,** opciones ):
...
print obligatorio
...
print '-'*40
...
print otros
...
print '*'*40
...
print opciones
...
>>> funarg ("otro" ,2,3,4)
otro
---------------------------------------(2, 3, 4)
****************************************
{}
>>> funarg ("hola",a=2,b=4)
hola
---------------------------------------()
****************************************
{'a': 2, 'b': 4}
>>> funarg ("hola","uno","dos","tres",a=2,b=3,c='fin ')
hola
---------------------------------------('uno ', 'dos ', 'tres ')
****************************************
{'a': 2, 'c': 'fin ', 'b': 3}
No sólo la definición de función permite el empaquetado de argumentos,
sino también es posible usarlo en las llamadas. Por ejemplo, la función media
definida antes se puede llamar de la forma
>>> media (* range (1 ,11))
5.5
o en la función fibonacci,
>>>
>>>
[3,
>>>
>>>
[3,
d={ 'a':5, 'b':3}
fibonacci (50 ,**d)
8, 11, 19, 30, 49]
c=(2 ,3)
fibonacci (50 ,*c)
5, 8, 13, 21, 34]
1 5 3
Funciones lambda
Las funciones lambda son funciones anónimas de una sola línea que pueden
ser usadas en cualquier lugar en el que se requiera una función. Son útiles para
reducir el código, admiten varios parámetros de entrada o salida y no pueden
usar la orden return:
1.5
Funciones definidas por el usuario
>>> f = lambda x,y: (x+y, x**y)
>>> f(2 ,3)
(5, 8)
Son especialmente útiles si se quiere devolver una función como argumento
de otra:
>>> import math
>>> def seno(w):
...
return lambda t: math.sin(t*w)
...
>>> f=seno(math.pi); g=seno (2* math.pi)
>>> f(.5) , g(.5)
(1.0 , 1.2246063538223773e -16)
1 5 4
Variables globales y locales
Las variables globales son aquéllas definidas en el cuerpo principal del
programa, mientras que las variables locales son aquellas variables internas
a una función que sólo existen mientras la función se está ejecutando, y que
desaparecen después. Por ejemplo,
>>> def area_rectangulo (lado):
...
area=lado*lado
...
print area
...
>>> area_rectangulo (3)
9
>>> print area
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
NameError : name 'area ' is not defined
observamos en este ejemplo que la variable area no se encuentra en el espacio
de nombres por tratarse de una variable local de la función area_rectangulo,
es por tanto una variable local de la función. ¿Qué ocurre si definimos esta
variable previamente?
>>>
>>>
...
...
...
>>>
9
>>>
10
area =10
def area_rectangulo (lado):
area=lado*lado
print area
area_rectangulo (3)
print area
Como vemos, la variable area ahora sí existe en el espacio de nombres global,
pero su valor no se ve alterado por la función, pues ésta ve su variable area
de manera local.
29
30
Tema 1
Introducción a Python
¿Y si tratamos de imprimir el valor de area antes de su evaluación?
>>> area =10
>>> def area_rectangulo (lado):
...
print area
...
area=lado*lado
...
>>> area_rectangulo (3)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
File "<stdin >", line 2, in area_rectangulo
UnboundLocalError : local variable 'area ' referenced before
assignment
Entonces obtenemos un error debido a que intentamos asignar de manera local
una variable que se reconoce como global.
Cualquier variable que se cambie o se cree dentro de una función es local,
a menos que expresamente indiquemos que esa variable es global, lo que se
hace con la orden global:
>>>
>>>
...
...
...
...
...
>>>
10
9
>>>
9
area =10
def area_rectangulo (lado):
global area
print area
area=lado*lado
print area
area_rectangulo (3)
print area
No obstante, las variables que son mutables puede ser alteradas en el
cuerpo de una función de manera global sin necesidad de ser declaradas como
globales. Obsérvese el siguiente ejemplo:
>>>
...
...
...
...
>>>
>>>
[1,
>>>
[1,
>>>
[1,
>>>
[1,
def fun(a,b):
a. append (0)
b=a+b
print a,b
a=[1]; b=[0]
fun(a,b)
0] [1, 0, 0]
print a,b
0] [0]
fun(a,b)
0, 0] [1, 0, 0, 0]
print a,b
0, 0] [0]
1.6
Entrada y salida de datos
31
La función fun usa el método append para agregar el elemento 0 a la lista a,
y este método modifica la lista que ya existe de manera global. Por su parte,
la asignación que hacemos en b=a+b crea una nueva varible local b dentro de
la función, que no altera a la variable local b de fuera de ese espacio.
Por último señalar que las variables del espacio global se pueden usar en la
definición de parámetros por defecto, pero son evaluadas sólo en la definición
de la función, y no en las llamadas:
>>>
>>>
...
...
>>>
(4,
>>>
>>>
4
a=2
def pot(x,y=a):
return x**y
pot (2) , pot (2 ,3)
8)
a=4
pot (2)
1 6
ENTRADA Y SALIDA DE DATOS
Es habitual que nuestros programas necesiten datos externos que deben ser
pasados al intérprete de una forma u otra. Típicamente, para pasar un dato
a un programa interactivamente mediante el teclado (la entrada estándar)
podemos usar la función raw_input
>>> raw_input ('Introduce algo\n')
Introduce algo
hola 2 # introducido por teclado
'hola 2'
# \n salta de línea
Obsérvese que la entrada estándar es convertida a una cadena de caracteres,
que probablemente deba ser tratada para poder usar los datos introducidos.
En un script es más frecuente el paso de parámetros en el momento de
la ejecución. Para leer los parámetros introducidos disponemos de la función
argv del módulo sys. Por ejemplo, si tenemos el siguiente código en un archivo
llamado entrada.py
import sys
print sys.argv
entonces, la siguiente ejecución proporciona:
$ python entrada .py 2 25 "hola"
[' entrada .py ', '2', '25', 'hola ']
Como vemos, sys.argv almacena en una lista todos los datos de la llamada,
de manera que es fácil manejarlos teniendo presente que son considerados
32
Tema 1
Introducción a Python
como cadenas de caracteres, por lo que es probable que tengamos que realizar
una conversión de tipo para tratarlos correctamente.
Por ejemplo, si tenemos el archivo fibo.py con el siguiente contenido
# -*- coding : utf -8 -*import sys
def fibonacci (n,a=0,b=1):
""" Términos de la sucesión de Fibonacci hasta orden n.
"""
sucesion =[]
while b<n:
sucesion . append (b)
a,b=b,b+a
return sucesion
if __name__ ==" __main__ ":
x=int(sys.argv [1]) # convertimos a entero la entrada
print fibonacci (x)
haciendo la siguiente ejecución se obtiene
$ python fibo.py 30
[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21]
Y si olvidamos hacer la llamada con el parámetro obtendremos error:
$ python fibo.py
Traceback (most recent call last):
File "fibo.py", line 14, in <module >
x=int(sys.argv [1])
IndexError : list index out of range
La salida estándar (a pantalla) se realiza como ya hemos visto con la orden
print. Para impresiones sencilllas nos bastará con concatenar adecuadamente
cadenas de caracteres:
>>> x=3; y=4
>>> print "El valor de 'x' es " + str(x) + " y el de 'y' es "
+ str(y)
El valor de 'x' es 3 y el de 'y' es 4
donde es preciso convertir el entero a string con la función str. Algunos
métodos para los strings, como por ejemplo ljust o rjust permiten mejorar
la salida:
>>> for x in range (5):
...
print str(x**2). ljust (2) , str(x**3). rjust (3)
...
0
0
1
1
1.6
4
9
16
Entrada y salida de datos
33
8
27
64
Sin embargo, el método format permite un mejor control de la impresión:
>>> for x in range (1 ,6):
...
print '{0:2d} {1:3d}
...
1
1
1
2
4
8
3
9
27
4
16
64
5
25
125
{2:4d}'. format (x,x**2 ,x**3)
En este caso, el contenido del interior de las llaves hace referencia a los
elementos del método format que le sigue, de manera que los números que
van antes de los dos puntos corresponden a los índices del objeto que sigue
a format y lo que va después de los dos puntos define el modo en el que se
imprimirán dichos objetos. Aquí van unos ejemplos:
>>> print '{0}{1}{0} '. format ('abra ','cad ')
abracadabra
>>> print 'Coordenadas : {lat}, {long}'. format (lat='38.56 N',
long=' -3.28W')
Coordenadas : 38.56N, -3.28W
>>> print '{: <30} '. format ('alineación a izquierda ')
alineación a izquierda
>>> print '{: >30} '. format ('alineación a derecha ')
alineación a derecha
>>> print '{:^30} '. format ('alineación centrada ')
alineación centrada
>>> print '{:*^60} '. format ('alineación centrada con relleno ')
************** alineación centrada con relleno **************
>>> print '{0:d} {0:2.3 f} {0:3.2 e}'. format (2)
2 2.000 2.00e+00
1 6 1
Lectura y escritura en archivos
La orden open crea un objeto tipo archivo que nos permitirá la lectura y/o
escritura en el mismo. La sintaxis de la orden es
f=open('file.txt ','w') # abrimos 'file.txt ' para escritura
donde el primer argumento es el nombre del archivo y el segundo el modo
de acceso. Los modos son r para sólo lectura, r+ para lectura y escritura, w
sólo para escritura (si el archivo existe, lo sobreescribirá) y a para escritura
agregando contenido al archivo existente (o creando uno nuevo si no existe).
>>> f=open('archivo .py ','r')
34
Tema 1
Introducción a Python
>>> print f.read ()
# coding : utf -8
print " Primera línea "
print " Segunda línea "
El método read del objeto archivo lee el archivo al que referencia el objeto
creado. Si se le proporciona un argumento numérico entonces lee un número
determinado de bytes del archivo;6 cuando es llamado sin argumento, lee el
archivo al completo. Cada llamada a read mueve el puntero de lectura del
archivo la último lugar leído, de manera que la llamada siguiente lee a partir
de ahí. Por eso:
>>> f.read ()
''
produce una cadena vacía, pues el puntero se halla al final del archivo.
Podemos usar el método seek para situarnos en cualquier posición del archivo.
>>> f.seek (0) # Vamos al inicio del archivo
>>> f.read ()
'# coding : utf -8\ nprint " Primera l\xc3\ xadnea "\ nprint " Segunda
l\xc3\ xadnea "'
Nótese la diferencia entre la orden y la impresión: la cadena que contiene
el archivo es leída en formato de representación interna, que difiere de la
representación que se muestra con la orden print.
También es posible leer línea a línea con readline
>>> f.seek (0)
>>> f. readline ()
'# coding : utf -8\n'
>>> print f. readline ()
print " Primera línea "
>>> f. readline ()
'print " Segunda l\xc3\ xadnea "'
o con f.readlines() que almacena cada una de las líneas del archivo en una
lista:
>>> f.seek (0)
>>> for x in f. readlines ():
...
print x,
...
# coding : utf -8
print " Primera línea "
print " Segunda línea "
Otra opción aún más cómoda es iterar sobre el propio objeto:
6 Un
byte puede considerarse un carácter, aunque hay caracteres que ocupan más de uno.
1.6
Entrada y salida de datos
>>> f.seek (0)
>>> for x in f:
...
print x,
...
# coding : utf -8
print " Primera línea "
print " Segunda línea "
Para cerrar un archivo usaremos el método close:
f. close ()
# cerramos el archivo vinculado al objeto f
La escritura en un archivo se lleva a cabo con el método write. Para ello
es necesario que el archivo se abra en modo escritura (o lectura/escritura):
>>> f=open('hola.py ','w') # sólo escritura ( nuevo archivo )
>>> for x in ['primera ','segunda ','tercera ']:
...
f.write (x+'\n')
...
>>> f.read ()
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
IOError : File not open for reading
Al haber abierto el archivo en modo sólo escritura, no podemos leer. Será
preciso volver a abrir:
>>> f. close ()
>>> f=open('hola.py ','r+') # lectura y escritura
>>> print f.read ()
primera
segunda
tercera
>>> f. write ('cuarta \n')
>>> f.seek (0)
>>> f. readlines ()
['primera \n', 'segunda \n', 'tercera \n', 'cuarta \n']
Podemos escribir en cualquier punto del archivo si nos situamos correctamente
con el método seek, el cual permite usar además un parámetro adicional que
nos indica desde dónde nos movemos (0 desde el inicio –por defecto si se
omite–, 1 desde la última referencia, 2 desde el final):
>>> f.seek (8) # nos colocamos en la posición 8
>>> f.read (7) # leemos 7 bytes
'segunda '
>>> f.seek (9 ,1) # posición 9 desde la última referencia
>>> f.read (6) #
'cuarta '
>>> f.seek ( -7 ,2) # posición -7 desde el final
>>> f.read (6)
'cuarta '
35
36
Tema 1
Introducción a Python
También disponemos del método tell que nos indica con un entero la posición
en la que se encuentra el puntero del archivo.
La escritura con write también se puede hacer en pantalla si la usamos
como un objeto tipo archivo con el atributo stdout del módulo sys:
>>> import sys
>>> g=sys. stdout
>>> g. write ('Hola mundo \n')
Hola mundo
lo que puede ser útil para programar las salidas por pantalla durante la
elaboración de código con write, de modo que cuando queramos direccionar
la salida a un archivo sólo necesitamos cambiar la salida.
1 7
MÁS SOBRE ESTRUCTURAS DE DATOS
1 7 1
Listas por comprensión
El lenguaje Python se adapta muy bien a la creación de listas construidas a
partir de otras mediante algún mecanismo que las modifique. Veamos algunos
ejemplos:
>>> a= range (5) # lista inicial
>>> [x**2 for x in a] # cuadrados de los elementos de a
[0, 1, 4, 9, 16]
>>> [[x**2 ,x**3] for x in a]
[[0 , 0], [1, 1], [4, 8], [9, 27] , [16, 64]]
>>> a = range (10)
>>> [x**3 for x in a if x %2 == 0] # cubo de los múltiplos de 2
[0, 8, 64, 216, 512]
>>> a=[x for x in range (1 ,7) if x %2==0]
>>> a
[2, 4, 6]
b=[x for x in range (1 ,7) if (x+1) %2==0]
>>> b
[1, 3, 5]
>>> [x*y for x in a for y in b] # recorremos dos listas
[2, 6, 10, 4, 12, 20, 6, 18, 30]
>>> [a[i]*b[i] for i in range (len(a))]
[2, 12, 30]
El último ejemplo se puede construir de forma más pythonic7 con la orden
zip que permite iterar sobre dos o más secuencias al mismo tiempo:
7 En el mundo de la programación en Python se suele usar este adjetivo para referirse a
una forma de escribir código que usa las características propias y peculiares del lenguaje
Python que auna sencillez, brevedad, elegancia y potencia.
1.7
Más sobre estructuras de datos
>>> [x*y for x,y in zip(a,b)]
[2, 12, 30]
En una lista, podemos obtener simultáneamente el índice de iteración y
el elemento de la lista con la orden enumerate. El lector podrá imaginar el
resultado del siguiente ejemplo:
a= range (10); a. reverse ()
[x*y for x,y in enumerate (a)]
En realidad enumerate es lo que se denomina un iterador, es decir, un objeto sobre el que se pueden recorrer sus elementos. Otro iterador es reversed
que como parece lógico, crea un iterador con el orden inverso. Así, el último
ejemplo equivale a
[x*y for x,y in enumerate ( reversed (range (10)))]
1 7 2
Copia y mutabilidad de objetos
Hemos mencionado anteriormente que las tuplas y las cadenas de caracteres son objetos inmutables, mientras que las listas son mutables. Debemos
añadir también que los diferentes tipos de números son inmutables y los diccionarios son mutables. Ahora bien, ¿qué significa exactamente que los números
sean inmutables? ¿Quiere decir que no los podemos modificar?
En realidad estas cuestiones están relacionadas con el modo en el que
Python usa las variables. A diferencia de otros lenguajes, en los que una
variable esencialmente referencia una posición en memoria, cuyo contenido
podemos modificar, en Python, una variable en realidad no es más que una
referencia al objeto, no contiene su valor, sino una referencia a él. Lo podemos
ver con un sencillo ejemplo; la orden id nos muestra el identificador de un
objeto, que básicamente es la dirección de memoria en la que se encuentra. Si
escribimos:
>>> x = 5 # x apunta al objeto 5
>>> id(x)
160714880
lo primero que hace Python es crear el objeto 5, al que le asigna la variable
x. Ahora entenderemos por qué ocurre lo siguiente:
>>> y=5 # y apunta al objeto 5
>>> id(y)
160714880
No hemos creado un nuevo objeto, sino una nueva referencia para el mismo
objeto, por lo que tienen el mismo identificador. Lo podemos comprobar con
la orden is:
>>> x is y
True
37
38
Tema 1
Introducción a Python
¿Qué ocurre si alteramos una de las variables?
>>> x = x + 2
>>> id(x)
160714856
# x apunta al objeto 7
vemos que el identificador cambia. Python evalúa la expresión de la derecha,
que crea un nuevo objeto, y a continuación asigna la variable x al nuevo objeto,
por eso ésta cambia de identificador. Obsérvese que:
>>> id (7)
160714856
y ahora:
>>> x is y
False
Con las listas pasa algo similar, salvo que ahora está permitido modificar
el objeto (porque son mutables), por lo que las referencias hechas al objeto
continuarán apuntado a él:
>>> a=[1 ,2]
>>> id(a) # identificador del objeto
3074955372 L
>>> a[0]=3 # modificamos el primer elemento
>>> a
[3, 2]
>>> id(a) # el identificador no cambia
3074955372 L
La L del identificador se refiere al tipo de entero que devuelve (long).
La consecuencia de que las listas sean mutables se puede ver en el siguiente
ejemplo:
>>>
>>>
>>>
>>>
[0,
x= range (3)
y=x # y referencia lo mismo que x
x[:0]= x # modificamos x
y # y también se modifica
1, 2, 0, 1, 2]
Sin embargo,
>>> x=x+[3] # nuevo objeto
>>> y
[0, 1, 2, 0, 1, 2]
¿Por qué no se ha modificado y en este caso? La respuesta es que se ha creado
un nuevo objeto, al que se referencia con x, por lo que x ya no apunta al objeto
anterior, pero sí y. ¿Cómo podemos entonces copiar una lista? Podemos para
ello usar el slicing:
1.8
Excepciones
>>> x = range (10)
>>> y = x[:] # copiamos x a y
>>> id(x), id(y)
(3074955372L, 3075028972 L)
1 8
EXCEPCIONES
Para evitar los errores en el momento de la ejecución Python dispone
de las secuencias de control try-except, que hacen que, en caso de que se
produzca una excepción, ésta pueda ser tratada de manera que la ejecución
del programa no se vea interrumpida. Por ejemplo, supongamos que tenemos
la siguiente situación:
for a in [1 ,0]:
b=1/a
print b
Obviamente, la ejecución de estas líneas producirá una excepción:
1
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 2, in <module >
ZeroDivisionError : integer division or modulo by zero
Para evitarla, hacemos uso de las órdenes try y except del siguiente modo:
for a in [1 ,0]:
try:
b=1/a
except :
print "Se ha producido un error "
b=0
print b
cuyo resultado es
1
Se ha producido un error
0
El funcionamiento de estas sentencias es simple: el fragmento de código dentro
de la orden try trata de ejecutarse; si se produce una excepción, se salta al
fragmento de código correspondiente a la orden except, y éste se ejecuta. De
este modo, el programa no se ve interrumpido por el error.
La orden except admite mayor sofisticación, pues permite tratar cada
excepción en función de su tipo. Podemos verlo en el siguiente ejemplo:
for a in [0,'1']:
try:
39
40
Tema 1
Introducción a Python
b=1/a
except ZeroDivisionError :
print " División por cero"
b=0
except TypeError :
print " División inválida "
b=1
print b
produce:
División por cero
0
División inválida
1
1 9
EJERCICIOS
E.1
¿Cuál de las siguientes órdenes produce un error y por qué?
(a) a = complex(3,1)
(b) a = complex(3)+ complex(0,1)
(c) a = 3+j
(d) a = 3+(2-1)j
E.2
¿Cuál de las siguientes sentencias producirá un error y por qué?
(a) a = [1,[1,1,[1]]]; a[1][2]
(b) a = [1,[1,1,[1]]]; a[2]
(c) a = [1,[1,1,[1]]]; a[0][0]
(d) a = [1,[1,1,[1]]]; a[1,2]
E.3
Dada la cadena s = 'Hola mundo', encuentra el método adecuado de
producir las cadenas separadas a = 'Hola' y b = 'mundo'.
E.4
Explica el resultado del siguiente código:
s=0
for i in range (100):
s += i
print s
Usa el comando sum para reproducir el mismo resultado en una línea.
E.5
Usa el comando range para producir las listas
1.9
Ejercicios
41
(a) [10, 8, 6, 4, 2, 0]
(b) [10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10]
100
∑
1
√
i
i=1
E.6
Calcula
E.7
Calcula la suma de los números pares entre 1 y 100.
E.8
Explica el resultado del siguiente código:
s=[0]
for i in range (100):
s. append (s[i -1]+i)
print s
E.9
Cómo puedes generar la siguiente lista:
[0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105]
E.10
Utiliza la función randint del módulo random para crear una lista de
100 números aleatorios entre 1 y 10.
E.11
Construye el vigésimo elemento de la siguiente sucesión definida por
recurrencia:
un+3 = un+2 − un+1 + 3un ,
u0 = 1, u1 = 2, u3 = 3.
E.12
Calcular la suma de todos los múltiplos de 3 o 5 que son menores que
1000. Por ejemplo, la suma de todos los múltiplos de 3 o 5 que son menores
que 10 es: 3 + 5 + 6 + 9 = 23
E.13
Escribir una función reverse que acepte una cadena de caracteres y
devuelva como resultado la cadena de caracteres invertida en orden, es decir,
el resultado de reverse('hola') debe ser 'aloh'.
E.14
Usando el Ejercicio E.13, escribir una función is_palindromo que
indentifique palíndromos, (esto es, palabras que leídas en ambas direcciones
son iguales, por ejemplo radar). Es decir, is_palindromo('radar') debería
dar como resultado True.
E.15
El Documento Nacional de Identidad en España es un número finalizado con una letra, la cual se obtiene al calcular el resto de la división de dicho
número entre 23. La letra asignada al número se calcula según la siguiente
tabla:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
TRWAGMYFPD X B N J Z S Q V H L C K E
42
Tema 1
Introducción a Python
Escribe un programa que lea el número por teclado y muestre la letra asignada.
Por ejemplo, al número 28594978 le debe corresponder la letra K. Tres líneas
de código debería ser suficientes.
E.16
Usando un bucle while escribe un programa que pregunte por un
número por pantalla hasta que sea introducido un número impar múltiplo de
3 y de 7 que sea mayor que 100.
E.17
Crea una lista aleatoria de números enteros (usar Ejercicio E.10) y
luego escribe un programa para que elimine los valores impares de dicha lista.
E.18
Escribir una función histograma que admita una lista aleatoria de
números enteros entre 1 y 5 (usar Ejercicio E.10) y elabore un diagrama de
frecuencias de aparición de cada uno de los elementos de la lista según el
formato que sigue: por ejemplo, si la lista es
[1, 4, 2, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 3]
entonces la función debe imprimir:
1
2
3
4
5
**
*
*
***
***
E.19
Escribir una función menorymayor que acepte un conjunto indeterminado de números y obtenga el mayor y el menor de entre todos ellos. Es decir,
la función debería hacer lo siguiente:
menorymayor (2 ,5 ,1 ,3 ,6 ,2)
(1 ,6)
menorymayor (3 ,1 ,10 ,9 ,9 ,7 ,5 ,4)
(1 ,10)
E.20
Escribir una función que acepte como parámetros dos valores a y b, y
una función f tal que f (a)f (b) < 0 y que, mediante el método de bisección,
devuelva un cero de f . La aproximación buscada será controlada por un
parámetro ε que por defecto ha de ser 10−4 .
E.21
Considera la siguiente función:
def media (* valores ):
if len( valores ) == 0: # len = longitud de la tupla
return 0
else:
sum = 0
for x in valores :
sum += x
return sum / len( valores )
Explica por qué se obtiene el siguiente resultado:
1.9
Ejercicios
media (* range (1 ,5))
0
y corrígelo para que que proporcione el resultado correcto (2.5).
E.22
Considera la función cuyo encabezado es el siguiente:
def varios (param1 , param2 , *otros ,** mas):
El funcionamiento de la función es como sigue:
>>> varios (1, 2)
1
2
>>> varios (1, 2, 4, 3)
1
2
****
***
>>> varios (3,4,a=1,b=3)
3
4
---
¿Cuál será el resultado de la siguiente llamada?
varios (2,5,1,a=2,b=3)
Escribe el código de la función.
E.23
Crea un fichero de nombre hist.py que incluya la función histograma
del Ejercicio E.18. Luego crea un nuevo archivo Python de manera que acepte
un número n como entrada, cree una lista aleatoria de números enteros entre 1
y 5 de longitud n, y llame a la función histograma para imprimir el recuento
de cifras.
43
2
NumPy y SciPy
NumPy y SciPy, que son los acrónimos de Numeric Python y Scientific
Python, respectivamente, son dos módulos fundamentales para el cálculo
científico con Python. Con ellos se dispone de herramientas computacionales
y algoritmos matemáticos de uso diverso que están diseñados para obtener un
buen nivel de rendimiento en la resolución de una gran variedad de problemas
de índole científico.
Hemos de tener en cuenta que en un lenguaje de programación interpretado, como lo es Python, el acceso secuencial a estructuras que contengan una
gran cantidad de datos afecta mucho al rendimiento de los programas. Por ello
es imperativo evitar, en la medida de lo posible, el usar bucles para recorrer
uno a uno los elementos de una estructura de datos. En ese sentido, el módulo
NumPy incorpora un nuevo tipo de dato, el array, similar a una lista, pero
que es computacionalmente mucho más eficiente. El módulo incorpora además una gran cantidad de métodos que permiten manipular los elementos del
array de forma no secuencial, lo que se denomina vectorización, y que ofrece
un alto grado de rendimiento. Es por ello que los algoritmos programados en
el módulo SciPy están basados en el uso extensivo de arrays de NumPy.
2 1
ARRAYS
A diferencia de las listas, cuyos elementos pueden ser de cualquier tipo,
un array de NumPy debe tener todos sus elementos del mismo tipo. Para
definirlo, será necesario importar el módulo, y usar la orden array:
>>> import numpy as np
>>> a=np.array ([1. ,3 ,6])
>>> a
array ([ 1., 3., 6.])
45
46
Tema 2
NumPy y SciPy
Si aparecen elementos de distinto tipo, como es el caso, el array es definido
según la jerarquía de tipos numéricos existente. Como vemos, hemos definido
un array con un real y dos enteros, y éste se ha considerado como real. El
atributo dtype nos lo confirma
>>> type(a)
<type 'numpy . ndarray '>
>>> a. dtype
dtype ('float64 ')
Nótese que en NumPy, el tipo de datos numéricos es un poco más extenso,
incluyendo reales en doble precisión (float64), simple precisión (float32),
entre otros. Por defecto, el tipo float de Python, corresponde a float64. Es
importante tener en cuenta el tipo con el que se define un array, pues pueden
ocurrir errores no deseados:
>>> a=np.array ([1 ,3 ,5])
>>> a. dtype
dtype ('int32 ')
>>> a [0]=2.3 # La modificación no es la esperada
>>> a
array ([2 , 3, 5])
Como el array es entero, todos los datos son convertidos a ese tipo. No
obstante, podemos cambiar de tipo todo el array,
>>> a=a. astype (float ) # cambio de tipo en nuevo array
array ([ 2., 3., 5.])
>>> a [0]=3.6
>>> a
array ([ 3.6, 3., 5.])
Para evitarnos el tener que cambiar de tipo lo más sencillo es definir
desde el principio el array usando elementos del tipo deseado, o indicándolo
expresamente como en el siguiente ejemplo:
>>> a=np.array ([2 ,5 ,7] , float )
>>> a. dtype
dtype ('float64 ')
Los arrays también pueden ser multidimensionales:
>>> a=np.array ([[1. ,3 ,5] ,[2 ,1 ,8]])
>>> a
array ([[ 1., 3., 5.] ,
[ 2., 1., 8.]])
y el acceso a los elementos puede hacerse con el doble corchete, o el doble
índice:
>>> a[0][2] , a[0 ,2]
(5.0 , 5.0)
2.2
Funciones para crear arrays
Tenemos diversos atributos y funciones para obtener información relevante
del array:
>>>
>>>
2
>>>
(2,
>>>
6
>>>
2
a=np.array ([[1 ,3 ,5] ,[2 ,8 ,7]])
a.ndim # número de ejes
a. shape # dimensiones de los ejes
3)
a.size # número total de elementos
len(a) # longitud de la primera dimensión
La orden in nos permite saber si un elemento es parte o no de un array:
>>> 2 in a # el elemento 2 está en a
True
>>> 4 in a # el elemento 4 no está en a
False
2 2
FUNCIONES PARA CREAR ARRAYS
La orden arange es similar a range, pero crea un array:
>>> np. arange (10) # por defecto comienza en 0
array ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
>>> np. arange (5 ,15) # nunca incluye el último valor
array ([ 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14])
>>> np. arange (2 ,10 ,3) # podemos especificar un paso
array ([2, 5, 8])
Esta orden también admite parámetros reales
>>> np. arange (1 ,3 ,0.1)
array ([ 1. , 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 , 1.5, 1.6, 1.7, 1.8,
1.9, 2. , 2.1, 2.2, 2.3 , 2.4 , 2.5 , 2.6, 2.7, 2.8,
2.9])
útiles para dividir un intervalo en subintervalos de igual longitud. Nótese que
el final no se incluye. Si queremos dividir un intervalo con un número preciso
de subdivisiones, tenemos la orden linspace:
>>> np. linspace (0 ,1 ,10) # intervalo (0 ,1) en 10 puntos
array ([ 0.
, 0.11111111 , 0.22222222 , 0.33333333 ,
0.44444444 , 0.55555556 , 0.66666667 , 0.77777778 ,
0.88888889 , 1.
])
>>> np. linspace (0,1 ,10 , endpoint =False ) # sin extremo final
array ([ 0. , 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 , 0.5, 0.6, 0.7, 0.8,
0.9])
47
48
Tema 2
NumPy y SciPy
El parámetro opcional retstep nos devuelve además la amplitud de cada
subintervalo:
>>> np. linspace (1,2,5, retstep =True)
(array ([ 1. , 1.25 , 1.5 , 1.75 ,
2.
]), 0.25)
Con el método reshape podemos cambiar la forma de un array:
>>> np. arange (15). reshape (3 ,5)
array ([[ 0, 1, 2, 3, 4],
[ 5, 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13, 14]])
# cambio de forma
o también,
>>> np. arange (15). reshape (3,5, order ='F')
array ([[ 0, 3, 6, 9, 12] ,
[ 1, 4, 7, 10, 13] ,
[ 2, 5, 8, 11, 14]])
La opción por defecto equivale a order='C'. Las iniciales 'C' y 'F' corresponden a los lenguajes C y FORTRAN, respectivamente, y se refieren al modo
en el que estos lenguajes almacenan los datos multidimensionales.
El método transpose en arrays bidimensionales es equivalente a la transposición de matrices:
>>> a=np. arange (10). reshape (2 ,5)
>>> a. transpose () # transposición a.T también es válido
array ([[0 , 5],
[1, 6],
[2, 7],
[3, 8],
[4, 9]])
y con flatten obtenemos arrays unidimensionales:
>>> a
array ([[0 , 1, 2, 3, 4],
[5, 6, 7, 8, 9]])
>>> a. flatten () # hacemos 1D for filas
array ([0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
>>> a. flatten (order ='F') # por columnas ( estilo FORTRAN )
array ([0 , 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9])
Nótese que todas estas funciones y métodos crean nuevos objetos, es decir,
no modifican los existentes.
Las siguientes funciones son útiles para crear arrays de un tamaño dado
(y reservar memoria en ese momento):
>>>
>>>
>>>
>>>
a=np.zeros (5) # array 1D de 5 elementos
b=np.zeros ((2 ,4)) # array 2D, 2 filas 4 columnas
c=np.ones(b. shape ) # array 2D con unos
a
2.3
Slicing
array ([ 0., 0., 0., 0., 0.])
>>> b
array ([[ 0., 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0., 0.]])
>>> c
array ([[ 1., 1., 1., 1.],
[ 1., 1., 1., 1.]])
>>> d=np. zeros_like (b) # d es como b
>>> e=np. ones_like (c) # e es como c
>>> np.eye (3) # matriz identidad de orden 3
array ([[ 1., 0., 0.] ,
[ 0., 1., 0.] ,
[ 0., 0., 1.]])
>>> np.eye (2 ,4)
array ([[ 1., 0., 0., 0.],
[ 0., 1., 0., 0.]])
>>> np.diag(np.eye (3)) # extracción de la diagonal
array ([ 1., 1., 1.])
>>> np.diag(np. arange (1 ,4)) # matriz con diagonal dada
array ([[1 , 0, 0],
[0, 2, 0],
[0, 0, 3]])
>>> np.diag(np. arange (1 ,3) ,-1) # la diagonal se puede mover
array ([[0 , 0, 0],
[1, 0, 0],
[0, 2, 0]])
>>> np.diag(np. arange (2 ,4) ,2) # más de un lugar
array ([[0 , 0, 2, 0],
[0, 0, 0, 3],
[0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0]])
>>> np. random . random ((2 ,3)) # array aleatorio entre 0 y 1
array ([[ 0.85806475 , 0.44924211 , 0.54469112] ,
[ 0.98725731 , 0.44001857 , 0.23026679]])
2 3
SLICING
Por supuesto, al igual que con las listas, podemos acceder a los elementos
de un array mediante slicing, que en NumPy además admite más sofisticación.
Por ejemplo, la asignación sobre un trozo de una lista funciona de diferente
modo que en los arrays:
>>>
>>>
>>>
[0,
a= range (5)
a [1:4]=[6] # eliminamos elementos en la lista
a
6, 4]
49
50
Tema 2
NumPy y SciPy
>>> b=np. arange (5)
>>> b [1:4]=6 # no son necesarios los corchetes
>>> b # cambian todos los elementos del slice
array ([0 , 6, 6, 6, 4])
En los arrays multidimensionales, podemos acceder a alguna de sus dimensiones de diferentes formas:
>>> a=np. arange (9). reshape (3 ,3)
>>> a
array ([[0 , 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
>>> a[1] # segunda fila
array ([3 , 4, 5])
>>> a[2 ,:] # tercera fila
array ([6 , 7, 8])
>>> a[: ,2] # segunda columna
array ([2 , 5, 8])
Hay una diferencia notable entre el slicing en una lista y en un array de
NumPy. En el primero, el slicing crea un nuevo objeto mientras que en el
segundo no. Recordemos qué ocurría con las listas:
>>> a= range (5)
>>> b=a # b es el mismo objeto
>>> c=a[:] # c es un nuevo objeto
>>> a[0]= -1 # modificamos a
>>> b # se modifica
[-1, 1, 2, 3, 4]
>>> c # no se modifica
[0, 1, 2, 3, 4]
sin embargo, con los arrays:
>>> a=np. arange (5)
>>> b=a # b es el mismo objeto
>>> c=a[:] # c también
>>> c[0]= -1 # modificamos c
>>> b [1]=10 # modificamos b
>>> a # todos quedan modificados
array ([-1, 10, 2, 3, 4])
Atención, no es necesario que el slice corresponda a todo el objeto:
>>> a=np. arange (9). reshape (3 ,3)
>>> b=a[1: ,1:]
>>> b[0 ,0]= -1 # modificamos un elemento del slice
>>> a # se modifica
array ([[ 0, 1, 2],
[ 3, -1, 5],
[ 6, 7, 8]])
2.4
Operaciones
¿Cómo podemos entonces copiar un array? Para ello disponemos del
método copy
>>> a=np. arange (9). reshape (3 ,3)
>>> b=a[1: ,1:]. copy () # copia en nuevo objeto
>>> b[0 ,0]= -1 # modificamos b
>>> b
array ([[-1 , 5],
[ 7, 8]])
>>> a # no se ha modificado
array ([[0 , 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
2 4
OPERACIONES
Cuando usamos operadores matemáticos con arrays, las operaciones son
llevadas a cabo elemento a elemento:
>>> a=np. arange (5.); b=np. arange (10. ,15)
>>> a
array ([ 0., 1., 2., 3., 4.])
>>> b
array ([ 10. , 11. , 12., 13., 14.])
>>> a+b
array ([ 10. , 12. , 14., 16., 18.])
>>> a*b
array ([ 0., 11. , 24. , 39. , 56.])
>>> a/b
array ([ 0.
, 0.09090909 , 0.16666667 , 0.23076923 ,
0.28571429])
>>> b**a
array ([ 1.00000000 e+00 ,
1.10000000 e+01 ,
1.44000000 e+02,
2.19700000 e+03 ,
3.84160000 e +04])
Para arrays bidimensionales, la multiplicación sigue siendo elemento a
elemento, y no corresponde a la multiplicación de matrices. Para ello usamos
la orden dot.
>>> a=np. arange (1. ,5). reshape (2 ,2)
>>> b=np. arange (5. ,9). reshape (2 ,2)
>>> a
array ([[ 1., 2.],
[ 3., 4.]])
>>> b
array ([[ 5., 6.],
[ 7., 8.]])
>>> a*b # producto elemento a elemento
51
52
Tema 2
NumPy y SciPy
array ([[ 5., 12.] ,
[ 21., 32.]])
>>> np.dot(a,b) # producto matricial
array ([[ 19., 22.] ,
[ 43., 50.]])
El cálculo con arrays es muy flexible, permitiéndonos cierta relajación
a la hora de escribir las operaciones: por ejemplo, si empleamos funciones
matemáticas de NumPy sobre un array, éstas se llevan a cabo elemento a
elemento:
>>> np.sin(a)
array ([[ 0.84147098 , 0.90929743] ,
[ 0.14112001 , -0.7568025 ]])
>>> np.exp(b)
array ([[ 148.4131591 ,
403.42879349] ,
[ 1096.63315843 , 2980.95798704]])
Nótese que sin y exp son funciones matemáticas definidas en el módulo
NumPy (entre otras muchas). Sin embargo, usar la función seno del módulo
math:
>>> import math
>>> math.sin(a)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
TypeError : only length -1 arrays can be converted to Python
scalars
no funciona puesto que no admite arrays.
No obstante, es posible vectorizar cualquier función que definamos con la
función vectorize. Obsérvese el siguiente ejemplo: si tenemos nuestra propia
función
import math
def myfunc (a):
return math.sin(a)
entonces, podemos usarla para trabajar sobre arrays del siguiente modo:
>>> vfunc = np. vectorize ( myfunc )
>>> a = np. arange (4)
>>> vfunc(a)
array ([ 0.
, 0.84147098 ,
0.90929743 ,
0.14112001])
Arrays 1D vs. matrices
Hay una sutil diferencia entre un array unidimensional y una matriz fila o
columna. Obsérvense los siguiente ejemplos:
2.4
Operaciones
>>> a=np. arange (3)
>>> a
array ([0, 1, 2])
>>> a.T
array ([0, 1, 2])
>>> print a. shape
(3 ,)
Como podemos ver, la operación de transposición sobre un array unidimensional no sentido. De este modo, los productos matriciales aT a y aaT son
indistinguibles para Python:
>>> np.dot(a.T,a)
5
>>> np.dot(a,a.T)
5
de hecho, se obtiene lo mismo sin necesidad de usar la transposición:
>>> np.dot(a,a)
5
Para evitar este comportamiento, el truco está en convertir el arreglo
unidimensional en uno bidimensional, en el que una de las dimensiones es
uno. Se puede hacer con el método reshape:
>>> b=a. reshape (1 ,3)
>>> np.dot(b.T,b)
array ([[0 , 0, 0],
[0, 1, 2],
[0, 2, 4]])
>>> np.dot(b,b.T)
array ([[5]])
o bien, de una forma un poco más sofisticada (pero más útil como luego
veremos), con la orden newaxis, que crea una nueva dimensión en el array:
>>> c = a[np. newaxis ]
>>> np.dot(c.T,c)
array ([[0 , 0, 0],
[0, 1, 2],
[0, 2, 4]])
Obsérvese que
>>> a[np. newaxis ]. shape
(1, 3)
No obstante, existe la función outer que evita tener que hacer todo esto:
>>> np.outer (a,a)
array ([[0 , 0, 0],
[0, 1, 2],
[0, 2, 4]])
53
54
Tema 2
NumPy y SciPy
así como inner y cross
>>> np.inner (a,a)
5
>>> np.cross (a,a)
array ([0 , 0, 0])
>>>
para el producto interior y el producto vectorial
2 4 1
Álgebra Lineal
El módulo NumPy posee un submódulo, linalg para realizar operaciones
matemáticas comunes en Álgebra Lineal, como el cálculo de determinantes,
inversas, autovalores y solución de sistemas. Vemos unos ejemplos a continuación:
>>> a = np. random . randint (0 ,5 ,(3 ,3)). astype ('float ')
>>> a
array ([[ 2., 0., 0.] ,
[ 4., 4., 1.] ,
[ 2., 3., 1.]])
>>> np. linalg .det(a) # determinante
1.9999999999999998
>>> val , vec = np. linalg .eig(a) # autovalores y autovectores
>>> val
array ([ 0.20871215 , 4.79128785 , 2.
])
>>> vec
array ([[ 0.
, 0.
, 0.4472136 ],
[ 0.25504011 , -0.78419037 , -0.53665631] ,
[ -0.96693047 , -0.62052031 , -0.71554175]])
>>> np. linalg .inv(a) # inversa
array ([[ 0.5, 0. , 0. ],
[-1. , 1. , -1. ],
[ 2. , -3. , 4. ]])
>>> b = np. random . randint (0 ,5 ,3). astype ('float ')
>>> b
array ([ 4., 3., 3.])
>>> x = np. linalg .solve (a,b) # resolución del sistema ax=b
>>> x
array ([ 2., -4., 11.])
>>> np.dot(a,x) - b # comprobación
array ([ 0., 0., 0.])
2 4 2
Concatenación
Otra de las operaciones comunes que se realizan con arrays es la concatenación de varios arrays. Funciona así:
2.4
Operaciones
>>> a=np. arange (5)
>>> b=np. arange (10 ,15)
>>> a
array ([0, 1, 2, 3, 4])
>>> b
array ([10 , 11, 12, 13, 14])
>>> np. concatenate ((a,b))
array ([ 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14])
>>> np. concatenate ((a[np. newaxis ],b[np. newaxis ]))
array ([[ 0, 1, 2, 3, 4],
[10 , 11, 12, 13, 14]])
Nótese la necesidad de añadir una dimensión extra para que se consideren los
arrays como vectores fila. Para arrays multidimensionales:
>>> a=np. arange (6). reshape (2 ,3)
>>> b=np. arange (10 ,16). reshape (2 ,3)
>>> a
array ([[0 , 1, 2],
[3, 4, 5]])
>>> b
array ([[10 , 11, 12] ,
[13 , 14, 15]])
>>> np. concatenate ((a,b)) # por defecto es por filas
array ([[ 0, 1, 2],
[ 3, 4, 5],
[10 , 11, 12] ,
[13 , 14, 15]])
>>> np. concatenate ((a,b),axis =1) # ahora por columnas
array ([[ 0, 1, 2, 10, 11, 12] ,
[ 3, 4, 5, 13, 14, 15]])
2 4 3
Broadcasting
Es evidente que cuando las dimensiones de los arrays no concuerdan, no
podemos realizar las operaciones:
>>> a=np.array ([1 ,2 ,3] , float )
>>> b=np.array ([2 ,4] , float )
>>> a+b
Traceback (most recent call last):
File "<stdin >", line 1, in <module >
ValueError : operands could not be broadcast together with
shapes (3) (2)
Sin embargo, cuando los arrays no concuerden en dimensiones, Python tratará
de proyectarlos de manera que pueda realizarse la operación en cuestión. Este
procedimiento es conocido como broadcasting. Obsérvese el siguiente ejemplo
>>> a=np. arange (1. ,7). reshape (3 ,2)
55
56
Tema 2
NumPy y SciPy
>>> b=np.array ([ -1. ,3])
>>> a # dimensiones 3x2
array ([[ 1., 2.],
[ 3., 4.],
[ 5., 6.]])
>>> b # dimensión 1x2
array ([ -1., 3.])
>>> a+b
array ([[ 0., 5.],
[ 2., 7.],
[ 4., 9.]])
Python automáticamente proyecta el array b, repitiéndolo las veces necesarias
para que concuerde con la dimensión de a, es decir en este caso se considera
b como
array ([[ -1. ,
[-1.,
[-1.,
3.] ,
3.] ,
3.]])
En realidad, el broadcasting es lo que se hace cuando usamos operaciones con
constantes:
>>> a+2
array ([[
[
[
>>> 2*a
array ([[
[
[
>>> a**2
array ([[
[
[
3.,
5.,
7.,
4.],
6.],
8.]])
2.,
6.,
10.,
4.] ,
8.],
12.]])
1.,
9.,
25.,
4.] ,
16.] ,
36.]])
En ocasiones, puede haber cierta ambigüedad en el broadcasting:
>>> a=np. arange (4.). reshape (2 ,2)
>>> b=np. arange (1. ,3)
>>> a
array ([[ 0., 1.],
[ 2., 3.]])
>>> b
array ([ 1., 2.])
>>> a+b # por defecto , el broadcasting es por filas
array ([[ 1., 3.],
[ 3., 5.]])
pero, ¿cómo podemos hacer el broadcasting por columnas? La solución es usar
newaxis
2.4
Operaciones
>>> a+b[np. newaxis ].T
array ([[ 1., 2.],
[ 4., 5.]])
o alternativamente, usando slicing
>>> a+b[:,np. newaxis ]
array ([[ 1., 2.],
[ 4., 5.]])
Para entender mejor el funcionamiento de newaxis es conveniente echar
un vistazo a las dimensiones de los ejes de los arrays anteriores:
>>> print a.shape , b. shape
(2, 2) (2,)
Nótese que b es esencialmente un matriz fila (un array unidimensional), por
lo que a+b es equivalente a
(
) (
) (
)
0 1
1 2
1 3
+
=
2 3
1 2
3 5
(se repite por filas). Mientras que,
>>> print a.shape , b[:,np. newaxis ]. shape
(2 ,2) (2, 1)
significa que el array b[:,np.newaxis] es equivalente a una matriz columna,
por lo que en la operación a realizar se repiten las columnas:
(
) (
) (
)
0 1
1 1
1 2
+
=
2 3
2 2
4 5
En definitiva, newaxis lo que hace es añadir una nueva dimensión, conviertiendo el array 1-dimensional en uno 2-dimensional.
Veamos un ejemplo un poco más sofisticado. Supongamos que tenemos dos
matrices


(
)
2
4


1 3
5
A=
, B=
6
8


7 9 11
10 12
En este caso podemos calcular los productos matriciales AB y BA, con los
que obtenemos matrices 2 × 2 y 3 × 3, respectivamente:
>>> A=np.array ([i for i in range (12) if (i+1) %2==0]). reshape
(2 ,3)
>>> B=np.array ([i for i in range (1 ,13) if i %2==0]). reshape
(3 ,2)
>>> np.dot(A,B)
57
58
Tema 2
NumPy y SciPy
array ([[ 70, 88],
[178 , 232]])
>>> np.dot(B,A)
array ([[ 30, 42, 54] ,
[ 62, 90, 118] ,
[ 94, 138, 182]])
Al ser operaciones matriciales hemos de usar dot.
Estas son las operaciones “lógicas” que se puede realizar con estas dos
matrices, pero podríamos pensar en alguna más. Por ejemplo, si consideramos
la primera columna de A y la primera fila de B, podríamos construir la matriz
2 × 2 obtenida al considerar el producto tensorial de vectores. Aunque este
producto tensorial se puede llevar a cabo mediante operaciones matriciales
como hicimos antes con dot o outer, el broadcasting también nos lo permite.
Por ejemplo,
>>> a = np.array ([1 ,7])
>>> b = np.array ([2 ,4])
>>> a[:,np. newaxis ]*b
array ([[ 2, 4],
[14, 28]])
De este modo podemos proceder con las columnas de A y filas de B, respectivamente. Un sencillo bucle nos proporciona dicho producto:
>>> for i in range (A. shape [1]):
...
A[:,i][ np. newaxis ].T*B[i ,:]
...
array ([[ 2, 4],
[14, 28]])
array ([[18 , 24] ,
[54, 72]])
array ([[ 50, 60],
[110 , 132]])
Esto es, hemos calculado
( )
(
)
( )
(
)
)
1 (
2 4
3 (
18
,
2 4 =
6 8 =
7
14 28
9
54
( )
(
)
)
5 (
50
60
10 12 =
11
110 132
24
72
)
,
La ventaja que nos aporta NumPy es que es posible realizar esta misma
operación sin necesidad del bucle. Nótese que queremos multiplicar tres vectores columna, por los correspondientes tres vectores filas. Esto es, vamos a
realizar 3 operaciones de vectores 2 × 1 con vectores 1 × 2. De este modo, debemos considerar a A como 3 vectores columna (lo que corresponde a tamaño
(3,2,1))
2.5
Otras operaciones
>>> A[np. newaxis ].T
array ([[[ 1],
[ 7]] ,
[[ 3],
[ 9]] ,
[[ 5],
[11]]])
>>> A[np. newaxis ].T. shape
(3, 2, 1)
De igual modo, B debe tener tamaño (3,1,2)
>>> B[:,np. newaxis ]
array ([[[ 2, 4]] ,
[[ 6,
8]] ,
[[10 , 12]]])
>>> B[:,np. newaxis ]. shape
(3, 1, 2)
Así,
>>> A[np. newaxis ].T*B[:,np. newaxis ]
array ([[[ 2,
4],
[ 14, 28]] ,
[[ 18,
[ 54,
24] ,
72]] ,
[[ 50, 60] ,
[110 , 132]]])
nos da el resultado esperado. ¿Puede el lector encontrar la forma de obtener
los productos tensoriales de los vectores fila de A con los correspondientes
vectores columna de B? (véase Ejercicio E.8).
2 5
OTRAS OPERACIONES
Mostramos a continuación algunos métodos útiles:
>>> a=np.array ([x**2 for x in range (15) if x %3==1])
>>> a
array ([ 1, 16, 49, 100, 169])
>>> a.sum () # suma de todos los elementos
335
>>> a.prod () # producto de todos los elementos
59
60
Tema 2
NumPy y SciPy
13249600
>>> a.min () # menor elemento
1
>>> a.max () # mayor elemento
169
>>> a. argmin () # índice del menor elemento
0
>>> a. argmax () # índice del mayor elemento
4
>>> a.clip (10 ,50) # si a<10 , ponemos 10; si a >50 ponemos 50
array ([10 , 16, 49, 50, 50])
Para arrays multidimensionales, la opción axis permite hacer las operaciones anteriores (excepto clip) a lo largo de ejes diferentes:
>>> a = np. arange (12). reshape (3 ,4)
>>> a
array ([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
>>> a.sum ()
66
>>> a.sum(axis =0)
array ([12 , 15, 18, 21])
>>> a.sum(axis =1)
array ([ 6, 22, 38])
También es interesante la comparación entre arrays:
>>> a=np.array ([1. ,3 ,0]); b=np.array ([0 ,3 ,2.])
>>> a<b
array ([ False , False , True], dtype =bool)
>>> a==b
array ([ False , True , False ], dtype =bool)
Obsérvese que se crea un nuevo array, de tipo bool (booleano), correspondiente a la comparación de elemento con elemento. El broadcasting también
puede usarse en este contexto:
>>> a>2
array ([ False ,
True , False ], dtype =bool)
Disponemos también de métodos sobre los arrays booleanos para determinar si son ciertos todos los elementos:
>>> c=a <3 # asignamos a un array
>>> c
array ([ True , False , True], dtype =bool)
>>> c.any () # hay alguno cierto ?
True
>>> c.all () # son todos ciertos ?
False
2.5
Otras operaciones
61
Aunque la comparación 2 < x < 3 es correcta si x es un número, no es
válida para arrays. Para comparaciones más sofisticadas disponemos de las
funciones logical_and, logical_or y logical_not:
>>> a
array ([ 1., 3., 0.])
>>> np. logical_and (2<a, a <3)
array ([ False , False , False ], dtype =bool)
>>> np. logical_or (2<a, a <1)
array ([ False , True , True], dtype =bool)
También existe la función where que crea un nuevo array a partir de una
comparación:
>>> a
array ([ 2., 3., 0., 5.])
>>> np.where (a!=0. , 1/a, -1)
array ([ 0.5
, 0.33333333 , -1.
,
0.2
])
Como podemos ver, si el elemento del array no es cero, considera su inverso,
en caso contrario, lo hace igual a -1. Si usamos esta función sin los dos últimos
argumentos, nos proporciona los índices en los que la condición es cierta:
>>> np.where (a!=0)
(array ([0 , 1, 3]) ,)
Aun no hemos mencionado un par de constantes especiales disponibles con
el módulo NumPy, nan y inf, que representan los valores no es un número e
infinito, respectivamente:
>>> a=np.array ([ -1. ,0 ,1])
>>> 1/a
array ([ -1., inf ,
1.])
>>> np.sqrt(a)
array ([ nan ,
0.,
1.])
En NumPy tenemos un par de funciones para preguntar si estos valores están
presentes:
>>> np.isinf (1/a)
array ([ False , True , False ], dtype =bool)
>>> np.isnan (np.sqrt(a))
array ([ True , False , False ], dtype =bool)
2 5 1
Indexación sofisticada
Además del slicing que hemos visto, los arrays de NumPy se pueden
indexar a través de arrays con enteros o variables booleanas, denominados
máscaras. Veamos algunos ejemplos:
62
Tema 2
NumPy y SciPy
>>> a = np. random . randint (0 ,20 ,6) # enteros aleatorios
>>> a
array ([16 , 8, 2, 5, 18, 8])
>>> mask = (a %3==0) # múltiplos de 3
>>> mask
array ([ False , False , False , False , True , False ], dtype =bool)
>>> a[mask] # extracción de elementos de a con mask
array ([18])
>>> np.where (mask) # índices de elementos extraídos
(array ([4]) ,)
>>> a[mask ]= -1 # asignación sobre la máscara
>>> a
array ([16 , 8, 2, 5, -1, 8])
La máscara también puede estar formada por enteros:
>>> mask=np. random . randint (0 ,5 ,5)
>>> mask # máscara de índices enteros
array ([4 , 4, 1, 1, 4])
>>> a=np. random . random (7)
>>> a # array aleatorio
array ([ 0.94538422 , 0.51701654 , 0.78357918 , 0.2507656 ,
0.05364728 , 0.33510361 , 0.88523567])
>>> a[mask] # selección según la máscara (nuevo objeto )
array ([ 0.05364728 , 0.05364728 , 0.51701654 , 0.51701654 ,
0.05364728])
>>> a[[3 ,1]]=0 # asignación a las posiciones 3 y 1
>>> a
array ([ 0.94538422 , 0.
, 0.78357918 , 0. ,
0.05364728 , 0.33510361 , 0.88523567])
Las máscaras pueden ser incluso más sofisticadas, posibilitando el cambio de
forma del array:
>>> a=np. arange (10) [:: -1] # orden inverso !
>>> a
array ([9 , 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
>>> mask = np. random . randint (0 ,10 ,4). reshape (2 ,2)
>>> mask # máscara 2x2 aletoria
array ([[4 , 4],
[7, 8]])
>>> a[mask] # a cambia de forma
array ([[5 , 5],
[2, 1]])
Sin embargo, cuando el array es multidimensional, hay que tener más
cuidado con la indexación. Obsérvese el siguiente ejemplo:
>>> a=np. arange (12). reshape (3 ,4)
>>> a
array ([[ 0, 1, 2, 3],
2.5
Otras operaciones
63
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
>>> a[2 ,[0 ,3]] # tercera fila , columnas primera y cuarta
array ([ 8, 11])
>>> a[1:3 ,[0 ,3]] # mismas columnas , filas segunda y tercera
array ([[ 4, 7],
[ 8, 11]])
>>> a[[1 ,2] ,[0 ,3]] # ! igual que antes ?
array ([ 4, 11])
Es claro que con a[2,[0,3]] accedemos a los elementos de la tercera fila y
columas primera y última. Si queremos acceder a las filas segunda y tercera,
con las mismas columnas, podemos usar el slicing a[1:3,[0,3]. Sin embargo,
si tratamos de realizar el mismo acceso, pero con una lista de índices en lugar
del slicing empleado antes, el resultado no es el esperado. La razón detrás de
este comportamiento está en la forma en la que NumPy almacena y accede a
los datos de un array, y no trataremos de explicarla aquí. Simplemente deberemos tener en cuenta que el acceso simultáneo a un array multidimensional
con índices sin emplear slicing no funciona correctamente: NumPy interpreta
un acceso a los elementos [1,0] y [2,3]. Para obtener lo esperado usando
sólo índices hemos de usar la función ix_:
>>> a[np.ix_ ([1 ,2] ,[0 ,3])]
array ([[ 4, 7],
[ 8, 11]])
2 5 2
Slicing y operaciones
Un problema muy habitual en computación científica es el cálculo de
derivadas de funciones discretas. Por ejemplo, si tenemos una función u
aproximada por sus valores en un conjunto discreto de puntos xi , de tal forma
que ui ≡ u(xi ), para calcular la derivada discreta de dicha función se usan los
típicos cocientes incrementales:
u′ (xi ) ≈
ui+1 − ui
xi+1 − xi
Si disponemos de los valores de la función u y de los puntos xi en sendos
arrays, un sencillo bucle nos proporcionaría el cálculo buscado:
>>> x=np. linspace (0 ,1 ,10)
>>> u=np. random .rand (10)
>>> up = np.zeros (u. shape [0] -1) # reserva de memoria
>>> for i in range (len(x) -1):
...
up[i] = (u[i+1] -u[i]) /(x[i+1] -x[i])
...
>>> up
array ([ 0.82173555 , -5.53656072 , 1.32509937 , -1.36740571 ,
-0.8901319 ,
64
Tema 2
NumPy y SciPy
6.8333324 , -7.64735003 ,
4.43624053 , -1.2967626 ])
Pero tal y como comentamos en la introducción de este tema, debemos evitar,
siempre que sea posible, el uso de bucles para construir y/o acceder a los
elementos de un array. En este caso, nos bastará observar, por ejemplo, que
los numeradores de la derivada numérica se pueden escribir
(u1 − u0 , u2 − u1 , . . . un − un−1 ) = (u1 , u2 , . . . , un ) − (u0 , u1 , . . . , un−1 )
que en Python tiene la representación mediante slicing: u[1:]-u[:-1]. De
este modo,
>>> uz = (u[1:] -u[: -1]) /(x[1:] -x[: -1])
>>> uz
array ([ 0.82173555 , -5.53656072 , 1.32509937 , -1.36740571 ,
-0.8901319 ,
6.8333324 , -7.64735003 , 4.43624053 , -1.2967626 ])
2 5 3
Acceso a elementos
El rendimiento en el acceso a los elementos de un array puede verse
mejorado con el uso de los métodos item e itemset en lugar del acceso
mediante índices:
>>> a=np. random . randint (0 ,10 ,8). reshape (2 ,4)
>>> a
array ([[2 , 3, 1, 1],
[0, 8, 5, 1]])
>>> a.item (5) # muestra el quinto elemento
8
>>> a. itemset (5 ,3) # pone el quinto elemento igual a 3
>>> a
array ([[2 , 3, 1, 1],
[0, 3, 5, 1]])
>>> a. itemset (1,1 ,-1) # elemento 1,1 igual a -1
>>> a
array ([[ 2, 3, 1, 1],
[ 0, -1, 5, 1]])
Aunque en casos concretos no se nota la mejora de rendimiento, sí que es
relevante cuando manejamos arrays de gran tamaño.
2 6
LECTURA DE FICHEROS
El módulo NumPy posee funciones para la lectura rápida de ficheros de
datos similar a la que ofrece MATLAB. La orden loadtxt permite leer ficheros
de datos numéricos y almacenarlos en un array. Por ejemplo, si el contenido
del archivo fichero.dat es
2.7
Búsqueda de información
2 1
4 3
6 5
8 7
10 9
entonces lo podemos leer de la forma:
>>> d=np. loadtxt ('fichero .dat ')
>>> d
array ([[ 2.,
1.] ,
[ 4.,
3.],
[ 6.,
5.],
[ 8.,
7.],
[ 10. ,
9.]])
De forma similar tenemos la orden savetxt para guardar arrays de forma
rápida. La siguiente orden
c=d**2
np. savetxt ('nuevo .dat ',c)
crea un fichero de nombre nuevo.dat con el siguiente contenido
4.000000000000000000 e+00
1.600000000000000000 e+01
3.600000000000000000 e+01
6.400000000000000000 e+01
1.000000000000000000 e+02
1.000000000000000000 e+00
9.000000000000000000 e+00
2.500000000000000000 e+01
4.900000000000000000 e+01
8.100000000000000000 e+01
No obstante es importante resaltar que estos mecanismos no son los más
eficientes para manejar una gran cantidad de datos.
2 7
BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN
El módulo NumPy es enorme y contiene gran cantidad de métodos y
funciones para realizar todo tipo de tareas. Para buscar la función adecuada,
NumPy nos provee de algunas funciones para obtener dicha información. La
función info tiene el mismo efecto que el uso de ? en IPython:
>>> np.info(np.dot)
dot(a, b, out=None)
Dot product of two arrays .
For 2-D arrays it is equivalent to matrix multiplication , and
for 1-D
arrays to inner product of vectors ( without complex
conjugation ). For
N dimensions it is a sum product over the last axis of `a` and
65
66
Tema 2
NumPy y SciPy
the second -to -last of `b `::
dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j ,:] * b[k,:,m])
...
Disponemos además de la función source que nos proporciona el código
fuente de la función en cuestión:
>>> np. source (np.diag)
In file: /usr/local/lib/ python2 .7/ dist - packages / numpy /lib/
twodim_base .py
def diag(v, k=0):
"""
Extract a diagonal or construct a diagonal array .
See the more detailed documentation for ``numpy .diagonal ``
if you use this
function to extract a diagonal and wish to write to the
resulting array ;
whether it returns a copy or a view depends on what
version of numpy you
are using .
...
"""
v = asarray (v)
s = v.shape
if len(s) == 1:
n = s[0]+ abs(k)
res = zeros ((n, n), v. dtype )
if k >= 0:
i = k
else:
i = (-k) * n
res [:n-k]. flat[i::n+1] = v
return res
elif len(s) == 2:
return v. diagonal (k)
else:
raise ValueError ("Input must be 1- or 2-d.")
aunque es necesario advertir que puede que dicho código no esté disponible
para algunas funciones.
Por último, cuando no concemos el nombre exacto de la función, o su
posible existencia, podemos realizar una búsqueda por concepto para ver qué
funciones en NumPy están relacionadas con ese tema. Por ejemplo, si estamos
buscando algún tipo de descomposición matricial y queremos ver qué posee
2.7
Búsqueda de información
NumPy, podemos usar la función lookfor:
>>> np. lookfor ('decomposition ')
Search results for 'decomposition '
---------------------------------numpy . linalg .svd
Singular Value Decomposition .
numpy . linalg . cholesky
Cholesky decomposition .
numpy . linalg . _umath_linalg . cholesky_lo
cholesky decomposition of hermitian positive - definite
matrices .
numpy . polyfit
Least squares polynomial fit.
numpy .ma. polyfit
Least squares polynomial fit.
numpy . linalg .pinv
Compute the (Moore - Penrose ) pseudo - inverse of a matrix .
numpy . polynomial . Hermite .fit
Least squares fit to data.
numpy . polynomial . HermiteE .fit
Least squares fit to data.
numpy . polynomial . Laguerre .fit
Least squares fit to data.
numpy . polynomial . Legendre .fit
Least squares fit to data.
numpy . polynomial . Chebyshev .fit
Least squares fit to data.
numpy . polynomial . Polynomial .fit
Least squares fit to data.
numpy . polynomial . hermite . hermfit
Least squares fit of Hermite series to data.
numpy . polynomial . laguerre . lagfit
Least squares fit of Laguerre series to data.
numpy . polynomial . legendre . legfit
Least squares fit of Legendre series to data.
numpy . polynomial . chebyshev . chebfit
Least squares fit of Chebyshev series to data.
numpy . polynomial . hermite_e . hermefit
Least squares fit of Hermite series to data.
numpy . polynomial . polynomial . polyfit
Least - squares fit of a polynomial to data.
67
68
Tema 2
NumPy y SciPy
2 8
SCIPY
Una frase bastante usada en el mundo de la programación es la de� no
reinventar la rueda. Se trata de no volver a hacer algo que ya está hecho
(y posiblemente de una forma mejor). Esta situación surge en multitud de
ocasiones cuando en el proceso de la resolución de un problema debemos
usar algún algoritmo conocido y que con seguridad ya ha sido programado
con anterioridad. En tales circunstancias suele ser una sabia decisión el usar
la implementación ya realizada en lugar de volverla a programar. SciPy
proporciona precisamente esto: una colección de algoritmos matemáticos ya
programados de forma eficiente de los que únicamente necesitamos saber cómo
usarlos.
SciPy está compuesto por una serie de submódulos aplicables a una diversidad de campos. La siguiente tabla muestra los módulos disponibles:
Submódulo
Descripción
cluster
Algoritmos de agrupamiento
constants
Constantes físicas y matemáticas
fftpack
Rutinas para la Transformada Rápida de Fourier
integrate
Integración de ecuaciones diferenciales ordinarias
interpolate
Interpolación y splines regulares
io
Entrada y salida de datos
linalg
Álgebra lineal
ndimage
Procesamiento de imágenes
odr
Regresión ortogonal
optimize
Optimización y cálculo de raíces
signal
Procesamiento de señales
sparse
Matrices dispersas
spatial
Estructuras de datos espaciales
special
Funciones especiales
stats
Funciones estadísticas
weave
Integración con C/C++
Puesto que no pretendemos en estas notas llevar a cabo una descripción
exhaustiva de cada uno de estos submódulos, mostraremos de forma breve cómo usar alguna función de los módulos optimize, interpolate e integrate,
2.8
SciPy
69
y a partir de éstos veremos las ideas básicas para aprender a usar cualquiera
de los otros.
2 8 1
El submódulo optimize
Este módulo proporciona una serie de algoritmos para la resolución de
problemas de optimización y el cálculo de raíces. En estas notas se ha usado
la versión 0.13.3 de SciPy, por lo que es posible que si el lector usa una versión
anterior algunas funciones no estén disponibles.
El módulo permite resolver problemas de optimización con y sin restricciones para funciones de una o varias variables, usando diversos algoritmos
que incluyen optimización global, métodos de mínimos cuadrados, métodos
quasi-Newton, programación secuencial cuadrática, entre otros. Dado que no
es nuestra intención ser muy exhaustivos, veremos sólo algún ejemplo sencillo
del uso de alguno de estos métodos. En cualquier caso, la elección del método
más adecuado al problema a resolver precisa de un conocimiento general de
los problemas de optimización que se escapa del alcance de estas notas.
Como primer ejemplo consideraremos la función de Rosenbrook de N
variables, definida por
f (x0 , . . . , xN −1 ) =
N
−1
∑
[
]
100(xi − x2i−1 )2 + (1 − xi−1 )2
i=1
de la cual se conoce que alcanza su mínimo en el punto (1, . . . , 1), siendo
f (1, . . . , 1) = 0.
En primer lugar, crearemos una función que nos proporcione los valores
de la función de Rosenbrook:
def rosenbrook (x):
return sum (100.*( x[1:] -x[: -1]**2) **2 + (1-x[: -1]) **2)
Y a continuación llamaremos al optimizador usando el nombre de la función como parámetro de entrada. Típicamente, en los algoritmos de optimización es preciso dar un punto inicial a partir del cual poner en marcha el
procedimiento; además, nosotros proporcionamos algunas opciones adicionales en forma de diccionario:
from scipy . optimize import minimize
x0 = np.array ([1.3 , 0.7, 3.9, 3.9 , 1.2 , 1.6 ,2.1])
opciones = {'xtol ':1.e-8, 'disp ':True}
opt = minimize (rosenbrook , x0 , method ='Powell ',options =
opciones )
siendo el resultado:
Optimization terminated successfully .
Current function value : 0.000000
70
Tema 2
NumPy y SciPy
Iterations : 26
Function evaluations : 2904
Las opciones proporcionadas aquí se refieren al parámetro que regula el
criterio de parada (xtol) y a la información de salida (disp). Si esta última
es False, entonces el algoritmo no devuelve información a menos que la
extraigamos del objeto opt creado en la llamada. Esta información puede
obtenerse simplemente con
print opt
resultando:
status : 0
success : True
direc: array ([[ 1.00000000 e+00 ,
0.00000000 e+00,
0.00000000 e+00,
0.00000000 e+00 ,
0.00000000 e+00,
0.00000000 e+00,
0.00000000 e+00] ,
[ -1.16178090e-06 , -1.38844961e -06,
5.31919603e-06,
1.18135619e -05 ,
4.32066364e -06 , -1.96578047e-06,
9.91290351e -06] ,
[ 1.87511323e -08,
4.17923168e-08,
6.17959385e-07,
6.04935481e -07 ,
9.14081580e -07 ,
1.69213885e-06,
2.60044460e -06] ,
[ -1.33951405e-03 , -2.63439121e -03, -6.99973806e-03,
-9.52271263e -03, -2.15130721e-02, -4.47290037e-02,
-9.44484188e -02] ,
[ 0.00000000 e+00 ,
0.00000000 e+00,
0.00000000 e+00,
0.00000000 e+00 ,
1.00000000 e+00,
0.00000000 e+00,
0.00000000 e+00] ,
[ -1.11668317e-01 , -1.97386502e -01, -1.16436208e-01,
-6.49484932e -02, -1.82185447e-02,
2.81508404e-03,
8.48222299e -03] ,
[ -6.41674658e-10 , -1.70815040e -09, -2.51554421e-09,
-6.56574489e -09, -1.31350719e-08, -2.62921083e-08,
-5.15242505e -08]])
nfev: 2904
fun: 2.2173970636557304e -21
x: array ([ 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.])
message : 'Optimization terminated successfully .'
nit: 26
O si queremos detalles concretos, invocando el atributo correspondiente del
objeto, como por ejemplo, el punto donde se alcanza el óptimo:
print opt.x
[ 1. 1. 1.
1.
1.
1.
1.]
El método empleado en este ejemplo es una variante del conocido como
método de Powell, que es un método de direcciones conjugadas que no usa
2.8
SciPy
información sobre la derivada de la función objetivo. De hecho, ni siquiera es
preciso que la función sea diferenciable.
El resto de métodos disponibles para la función minimize puede consultarse con el comando info. Por ejemplo, está disponible el método del Gradiente
Conjugado de Polak-Ribière, que sí precisa información de la derivada de la
función objetivo. Dicha información puede venir dada por el usuario a través
de una función, o puede ser estimada numéricamente por el propio algoritmo.
Estas dos opciones son controladas por el parámetro jac, que puede ser tanto
un valor booleano como una función. Si jac es una función, entonces se entiende que ésta proporciona el valor del gradiente, mientras que si es un valor
booleano y es True entonces significa que el gradiente de la función objetivo
es devuelto por la propia función objetivo. Si jac=False entonces el gradiente
se estimará numéricamente.
En el ejemplo anterior, dado que la derivada de la función de Rosenbrook
es:
∂f
∂x0
∂f
∂xj
∂f
∂xN −1
= −400x0 (x1 − x20 ) − 2(1 − x0 )
= 200(xj − x2j−1 ) − 400xj (xj+1 − x2j ) − 2(1 − xj ), 1 ≤ j ≤ N − 2
= 200(xN −1 − x2N −2 )
podemos, o bien crear una función que devuelva este gradiente:
def grad_rosenbrook (x):
der = np. zeros_like (x)
der [0] = -400*x[0]*( x[1]-x [0]**2) - 2*(1 -x[0])
der [-1] = 200*(x[-1]-x[ -2]**2)
der [1: -1] = 200*( x[1: -1] -x[: -2]**2) - 400*x[1: -1]*(x[2:] x [1: -1]**2) - 2*(1 -x[1: -1])
return der
o bien hacer que la propia función objetivo devuelva también el gradiente,
esto es, definiríamos la función de la forma siguiente:
def nuevarosenbrook (x):
f = sum (100.*( x[1:] -x[: -1]**2) **2 + (1-x[: -1]) **2)
der = np. zeros_like (x)
der [0] = -400*x[0]*( x[1]-x [0]**2) - 2*(1 -x[0])
der [-1] = 200*(x[-1]-x[ -2]**2)
der [1: -1] = 200*( x[1: -1] -x[: -2]**2) - 400*x[1: -1]*(x[2:] x [1: -1]**2) - 2*(1 -x[1: -1])
return f,der
De este modo, podríamos usar el método de optimización de alguna de las
siguientes formas. El punto inicial y las opciones usadas son:
71
72
Tema 2
NumPy y SciPy
x0 = np.array ([1.3 , 0.7 , 3.9 , 3.9 , 1.2, 1.6 ,2.1])
opciones = {'disp ':True}
Primera opción: usamos la función objetivo y su derivada como funciones
independientes. El parámetro jac es igual al nombre de la función que calcula
el gradiente del objetivo:
# primer método : gradiente como función independiente
opt1 = minimize (rosenbrook , x0 , method ='CG ', jac=
grad_rosenbrook , options = opciones )
Optimization terminated successfully .
Current function value : 0.000000
Iterations : 160
Function evaluations : 284
Gradient evaluations : 284
# óptimo :
print opt1.x
[ 0.99999995 0.99999989 0.99999977 0.99999956 0.99999911
0.99999821
0.99999641]
Segunda forma: usamos la función nuevarosenbrook que devuelve la
función objetivo y su gradiente de forma simultánea. En esta llamada, el
parámetro jac=True:
# segundo método : gradiente obtenido en la función objetivo
opt2 = minimize ( nuevarosenbrook , x0 , method ='CG ', jac=True ,
options = opciones )
Optimization terminated successfully .
Current function value : 0.000000
Iterations : 160
Function evaluations : 284
Gradient evaluations : 284
# óptimo :
print opt2.x
[ 0.99999995 0.99999989 0.99999977 0.99999956 0.99999911
0.99999821
0.99999641]
Por último, prescindimos del gradiente y hacemos que el método lo calcule
de forma aproximada. Ahora jac=False:
# tercer método : gradiente calculado numéricamente
opt3 = minimize (rosenbrook , x0 , method ='CG ', jac=False ,
options = opciones )
Optimization terminated successfully .
Current function value : 0.000000
Iterations : 248
2.8
SciPy
73
Function evaluations : 3843
Gradient evaluations : 427
# óptimo
print opt3.x
[ 0.99999973 0.99999948
0.99999205
0.99998409]
0.99999898
0.99999799
0.99999602
Lógicamente, el resultado de las dos primeras optimizaciones es idéntico,
pues se han usado la misma información, aunque dispuesta de diferente modo.
No ocurre así con la tercera opción, pues en este caso el método ha usado
un gradiente numérico, que evidentemente requiere un mayor número de
iteraciones, no sólo del método, sino también de la función objetivo.
2 8 2
Optimización con restricciones
SciPy también dispone de diversos algoritmos para resolver problemas de
optimización con restricciones del tipo siguiente:
Minimizar f (x)
sujeto a
hi (x) = 0,
1 ≤ i ≤ n,
gj (x) ≥ 0,
1 ≤ j ≤ m,
lk ≤ xk ≤ uk ,
1 ≤ k ≤ N,
con x = (x1 , . . . , xN ). Esto es, un problema con N variables, n restricciones
de igualdad y m restricciones de desigualdad, además de acotaciones simples
sobre cada variable. Como ejemplo particular consideremos:
Minimizar x20 + 2x21 − 2x0 x1 − 2x0
sujeto a
x30 − x1 = 0,
x1 ≥ 1.
Para resolver este tipo de problemas con el módulo optimize creamos en
primer lugar funciones para la función objetivo y su derivada:
def fobj(x):
return x [0]**2 + 2*x [1]**2 - 2*x[0]*x[1] - 2*x[0]
def grad_fobj (x):
return np.array ([ 2*(x[0] -x[1] -1) , 4*x[1] -2*x[0] ])
La restricciones, por su parte, se definen a través de diccionarios con claves
'type', para determinar si se trata de restricciones de igualdad o desigualdad,
y 'fun' y 'jac', para definir las restricciones y sus derivadas:
constr1 = {'type ':'eq ', 'fun ': lambda x: x[0]**3 -x[1], 'jac ':
lambda x: np. array ([3*x[0]**2 , -1.])}
74
Tema 2
NumPy y SciPy
constr2 = {'type ':'ineq ', 'fun ': lambda x: x[1] -1, 'jac ':
lambda x: np. array ([0. ,1.])}
constr = (constr1 , constr2 )
La optimización se lleva a cabo con una llamada similar a las anteriores
res = minimize (fobj , [ -1.0 ,1.0] , jac=grad_fobj , constraints =
constr , method ='SLSQP ',options ={ 'disp ': True })
en el que el punto inicial es (−1, 1). El resultado es
Optimization terminated successfully .
(Exit mode 0)
Current function value : -1.00000018311
Iterations : 9
Function evaluations : 14
Gradient evaluations : 9
El objeto res contiene toda la información del proceso:
print res
status : 0
success : True
njev: 9
nfev: 14
fun: -1.0000001831052137
x: array ([ 1.00000009 , 1.
])
message : 'Optimization terminated successfully .'
jac: array ([ -1.99999982 , 1.99999982 , 0.
nit: 9
2 8 3
])
El submódulo interpolate
El módulo interpolate proporciona diversos métodos y funciones para la
interpolación de datos en una o varias dimensiones. Por simplicidad en estas
notas sólo veremos cómo se utiliza la función interp1d para la interpolación
de datos en una dimensión. La llamada a este método devuelve una función que
puede ser evaluada en cualquier punto. Dicha función es obtenida mediante
interpolación sobre un conjunto de datos proporcionado en una serie de
puntos.
Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente conjunto de puntos:
(0.00, 0.00), (0.20, 0.56), (0.40, 0.93), (0.60, 0.97), (0.80, 0.68), (1.00, 0.14)
que definimos como los siguientes arrays
x = np. linspace (0 ,1 ,6)
y = np.array ([0. ,0.56 ,0.93 ,0.97 ,0.68 ,0.14])
y que aparecen representados en la Figura 2.1a.
Para obtener una función lineal a trozos que pase por esos puntos nos
bastará usar la función interp1d del siguiente modo:
2.8
SciPy
75
(a) Puntos a interpolar
(b) Función interpolada
Figura 2.1: Interpolación de datos unidimensional
from scipy . interpolate import interp1d
f = interp1d (x,y)
Ahora f es una función que interpola dichos datos:
>>> f = interp1d (x,y)
>>> f(x)
array ([ 0. , 0.56 , 0.93 ,
0.97 ,
0.68 ,
0.14])
En la Figura 2.1b hemos dibujado la función f resultante. El cálculo de
cualquier valor sobre dicha función se hará de la forma habitual:
>>> f (0.23)
array (0.6155)
La interpolación realizada es, por defecto, lineal a trozos; pero la función
interp1d admite otras opciones. Por ejemplo, podemos hacer
f1 = interp1d (x,y,kind='cubic ')
y obtener así una interpolación basada en splines de tercer orden. Otras opciones son 'slinear' o 'quadratic' para interpolación por splines de primer
o segundo orden, respectivamente. La Figura 2.2a muestra la interpolación
cúbica.
Por último, disponemos de la función lagrange para calcular el polinomio
de interpolación de Lagrange de un conjunto de puntos. En este caso, la
función devuelve un objeto tipo polinomio de NumPy (que puede considerarse
una función), que no es más que un polinomio dado por sus coeficientes. La
Figura 2.2b muestra un gráfico de dicho polinomio.
>>> from scipy . interpolate import lagrage
>>> p = lagrange (x,y)
>>> p
poly1d ([ -1.5625
, 6.77083333 , -9.47916667 ,
2.80666667 , 0.
])
1.60416667 ,
76
Tema 2
NumPy y SciPy
(a) Splines cúbicos
(b) Interpolación de Lagrange
Figura 2.2: Otras interpolaciones
2 8 4
Resolución de ecuaciones diferenciales
El submódulo integrate posee un integrador, odeint para ecuaciones
diferenciales ordinarias muy sencillo de usar que permite resolver de forma
rápida ecuaciones o sistemas diferenciales de primer orden. Esta función usa
las rutinas LSODA del paquete ODEPACK que es una librería clásica escrita en
lenguaje FORTRAN.
Veamos un ejemplo de uso de esta función. Consideremos la ecuación del
oscilador amortiguado. Para unos parámetros ω y γ, que son constantes que
tienen que ver con las características elásticas y la amortiguación debida a la
viscosidad, la ecuación se puede escribir en la forma:
y ′′ + γy ′ + ωy = 0
con condiciones iniciales y(0) = y0 e y ′ (0) = y0′ .
Al tratarse de una ecuación de segundo orden, y dado que el integrador
resuelve ecuaciones o sistemas de primer orden, debemos reescribir la ecuación
como un sistema de primer orden. Definiendo un vector
( )
y
y=
y′
entonces la ecuación anterior es equivalente al sistema siguiente:
(
)
( )
y′
y0
′
, y(0) =
y =
′
−ωy − γy
y0′
Para resolver el sistema con Python, importamos en primer lugar la función
odeint:
from scipy . integrate import odeint
2.9
Ejercicios
77
y a continuación definimos los datos del problema:
omega = 2.
gamma = 0.5
y0 = [2.5 , 0] # condiciones iniciales
# segundo miembro de y '=f(y,x)
def func(y,x):
return [y[1],- omega *y[0]- gamma *y[1]]
Finalmente, definimos un array de puntos sobre los que calcular la solución y
realizamos la llamada:
x = np. arange (0 ,8 ,0.05)
y = odeint (func , y0 , x)
De esta forma, y es un array 2D que contiene en su primera columna a la
solución de la ecuación, y la segunda columna será su derivada.
El método usa una aproximación del gradiente de la función del segundo
miembro. Si podemos obtener este gradiente de forma exacta, podemos mejorar el rendimiento del método. La llamada se haría entonces del siguiente
modo:
def func_grad (y,x):
return [[0 ,1] ,[ -w ,2*g]]
y = odeint (func , y0 , x, Dfun= func_grad )
2 9
EJERCICIOS
E.1
Crear las siguientes matrices:


10 13

A=
11 14
12 15
16 19 22 25 28


12 18 24



17 20 23 26 29
 , B = 42 48 54
18 21 24 27 30
72 78 84
(
)
0
2 3
4
6
8
9
C=
10 12 14 15 16 18 20
30
36
60

66

90
96
E.2
Escribe una función tenga como argumento de entrada una matriz y
devuelva 1 si es simétrica, −1 si es antisimétrica y 0 en caso contrario.
E.3
Crear una función para construir una matriz de tamaño n con una
78
Tema 2
NumPy y SciPy
estructura como la siguiente:

2 −1
0 0

−1
2 −1 0

 ..
..
.. ..
 .
.
. .


0
0 0
 0
0
0
0
0
···
0
···
..
.
0
..
.
0


0

..
.


···
2 −1
· · · −1
2
E.4 Considera un conjunto aleatorio de 100 puntos del plano en el rectángulo
(0, 1) × (0, 1). Conviértelos a coordenadas polares y encuentra el punto más
lejano al origen en coordenadas cartesianas.
E.5 Crea una función cuyo argumento de entrada sea una matriz (o array
2D) y cuya salida sean tres matrices D, L y U , correspondientes a su parte
diagonal, triangular inferior y superior, respectivamente, de manera que A =
D + L + U . Asegurate de que el objeto de entrada sea efectivamente un array
2D cuadrado, y que en caso contrario, se imprima un mensaje de aviso.
E.6 Construye la siguiente matriz


0 1
2
3
4
5


10 11 12 13 14 15


20 21 22 23 24 25




30 31 32 33 34 35




40 41 42 43 44 45
50 51 52 53 54 55
usando broadcasting de la siguiente manera
b=np. arange (6); c=10*b
a=b+c[:,np. newaxis ]
Ahora, mediante slicing, obtén las siguientes submatrices
 
(
)
(
)
12
(
)
 
44 45
20
22
24
22
13 14
 
54 55
40 42 44
32
E.7
Crea una matriz cuadrada
dispuestos como en un tablero de
la matriz sería:

0

1

0

1
de tamaño 8 × 8 con elementos 0 y 1
ajedrez. Por ejemplo, para dimensión 4,

1 0 1

0 1 0

1 0 1

0 1 0
2.9
Ejercicios
79
E.8
Dadas las matrices
(
A=
1 2
3
4
5 6
7
8
)
,

8

7
B=
6

5
4


3

2

1
Calcular las matrices resultantes de multiplicar tensorialmente los vectores
fila de A con los respectivos vectores columna de B. Debes obtener 2 matrices
de tamaño 4 × 4. Calcula también las 4 matrices de tamaño 2 × 2 obtenidas
al multiplicar tensorialmente las columnas de A con las filas de B.
E.9
Usando broadcasting (ver Ejercicio E.6), obtener las matrices siguientes:


1

2


A = 3

4

5
2
3
4
3
4
5
4
5
6
5
6
7
6
7
8

5

6


7

8

9
1
4
9 16



 4 9 16 25


B=

9
16
25
36


16 25 36 49
E.10
Crear una función para construir una matriz de tamaño n con una
estructura como la siguiente:

1 2 3

1 3 3


1 2 5
. . .
. . .
. . .

1 2 3

1 2
3
E.11
Para valores de n entre
siguiente:

1

n

.
 ..

n
···
···
···
..
.
···
···
n−1
n
n−1
n





n−1
n 
..
.. 

.
. 

2n − 3
n 

n − 1 2n − 1
2 y 20, calcula el determinante de la matriz
n
n
···
2
..
.
n
..
.
···
..
.
n
n
···
n


n

.. 
.

n
80
Tema 2
E.12
NumPy y SciPy
Encuentra la inversa de las matrices del tipo siguiente:

1 1

0 1

0 0

. .
. .
. .
0 0
1
···
1
···
1
..
.
···
..
.

1

1

1

.. 

.
0
···
1
E.13
Construye una función para calcular, en función del tamaño, los
autovalores de las matrices del tipo siguiente y comprueba que su producto
coincide con el determinante:


2 1 0 0 ··· 0


1 2 1 0 · · · 0 


0 1 2 1 · · · 0 


. . . . .
.. 
. . . .
.
. .

. . . .
0 0 0 0 ··· 2
E.14
Construye una función tal que, dado un array de longitud cualquiera,
construya el conocido como determinante de Vandermonde.
1
1
1
···
1 x1
x2
x3
···
xn x2
···
x2n x23
x22
1
.
..
..
.. ..
.
.
.
.
. .
xn−1 xn−1 xn−1 · · · xn−1 n
1
2
3
A continuación calcula su valor, y comprueba que coincide con la fórmula
∏
(xj − xi )
1≤i<j≤n
¿Podrías escribir el código para calcular esta fórmula usando un solo bucle?
¿Y sin bucles?
E.15
Crea un array aleatorio de enteros entre 0 y 100 bidimensional, de
tamaño 1000 × 1000. Cuenta el número de múltiplos de 5 que hay en cada fila
y luego calcula la media de los valores obtenidos. Repite el proceso 100 veces.
Indicación: usa el método mean.
E.16
Considera un conjunto de n puntos uniformemente espaciados en el
intervalo (0, 1), x0 < x1 < · · · < xn−1 . Dada una función u, sabemos que una
2.9
Ejercicios
81
aproximación de la derivada segunda en un punto x viene dada por
u′′ (x) ≈
u(x + h) − 2u(x) + u(x − h)
h2
Para la función u(x) = sin(x), calcula los valores reales de su derivada segunda
en los puntos xi interiores del intervalo y compáralos con los valores obtenidos
en la aproximación.
E.17 Considera una matriz de la forma
(
)
0 I
A=
K D
donde 0 y I son la matriz nula y la matriz identidad de tamaño 2 × 2,
respectivamente, y K y D son matrices 2 × 2 con la siguiente forma:
(
)
(
)
k 0.5
−d
1
K=
D=
0.5 k
1 −d
siendo k y d parámetros reales.
Construye una función que tenga como argumentos de entrada k y d,
siendo k = −1000 el valor por defecto para k, y que tenga como salida los
autovalores de la matriz A.
E.18 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

2x − y − z = 4 


3x + 4y − 2z = 11


3x − 2y + 4z = 11 
E.19
Crea una función para resolver un sistema de ecuaciones de la forma
Ax = b mediante el método iterativo de Gauss-Jacobi, que puede expresarse
de la forma:
(
)
x(i+1) = D−1 −(L + U )x(i) + b
donde D, L y U corresponden a la descomposición de la matriz A dada en el
Ejercicio E.5. Aplícala a la resolución del sistema del Ejercicio E.18.
E.20
El método de Monte Carlo para calcular el área de un recinto plano
consiste en generar puntos aleatorios en un recinto más grande que lo contenga,
y cuyo área conozcamos. El área corresponderá a la proporción de puntos que
caen dentro del recinto buscado. Calcula de este modo el área del círculo
unidad.
Indicación: bastará hacerlo para un cuarto de círculo.
E.21
Resolver el siguiente problema de optimización:
Maximizar xexy
sujeto a
x2 + y = 0
82
Tema 2
E.22
NumPy y SciPy
Resolver el siguiente problema de optimización:
Minimizar
sujeto a
(x − 1)2 + (y − 2)2
x − 2y + 2 ≥ 0
−x − 2y + 6 ≥ 0
x, y ≥ 0
Considera la función f (x) = −3x3 + 2x2 + 8x − 1. Genera un número
determinado de puntos de la misma y obtén la interpolación de Lagrange.
¿Cuáles son los coeficientes del polinomio interpolador resultante? ¿Cambia
en función del número de puntos que se generan?
E.23
E.24
Para la función f del Ejercicio E.23, construye la interpolación lineal a
trozos y mediante splines cúbicos en los puntos de abcisa 1, 2, 3 y 4. ¿Cuánto
valen los interpoladores en el punto 2.5? ¿Y en 0?
E.25
Resolver el siguiente problema (ecuación de Airy):
y ′′ − xy = 0
1
y(0) = √
,
3
32 Γ( 23 )
1
y ′ (0) = − √
3
3Γ( 13 )
donde Γ(x) denota la función Gamma de Euler. La solucion exacta de esta
ecuación es la función de Airy y(x) = Ai(x).
Indicación:. Las funciones Ai y Γ están en el submódulo special.
3
Gráficos con Matplotlib
Matplotlib es un conjunto de librerías de Python para la construcción
de gráficos 2D especialmente adecuada para la visualización de datos y la
creación de imágenes de calidad acorde con los estándares de publicación.
Está particulamente diseñada para el uso de arrays de NumPy y posee una
interfaz muy similar a la de MATLAB.
La librería proporciona un buen manejo de gráficos de calidad en múltiples
formatos, permitiendo la interacción con el área gráfica además de integrarse
con diferentes herramientas de desarrollo de GUIs.1
La librería es muy amplia, por lo que en estas notas sólo daremos un
breve vistazo de su manejo para la visualización de datos. Esencialmente
podemos trabajar con la librería de dos formas: usando pylab, que es un
módulo independiente que proporciona también la funcionalidad de NumPy
y que es adecuado para la creación interactiva y rápida de gráficos desde la
consola, o bien, usando el submódulo pyplot con el que podemos tener un
control más fino sobre el gráfico. En estas notas usaremos ambas alternativas
para mostrar su funcionamiento.
3 1
GRÁFICOS INTERACTIVOS
Comencemos con el uso interactivo con pylab. La consola IPython está
diseñada para hacer uso de este módulo de forma inmediata, bien en el
momento de la apertura de la consola, invocándola con la opción --pylab, o
bien desde dentro de la consola con la función mágica %pylab:
In [1]: %pylab
Welcome to pylab , a matplotlib -based Python environment
[ backend : GTK3Agg ].
1 Graphical
User Interface: interfaz gráfica de usuario.
83
84
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
For more information , type 'help(pylab )'.
En la consola python habitual bastará con importar el módulo pylab.
El Backend
El uso diverso que permite Matplotlib (embeber gráficos en GUIs, creación
de ficheros gráficos en algún formato específico, etc.) precisa de una comunicación adecuada con el entorno en el que se va a generar el gráfico. El backend
es la herramienta que hace el trabajo detrás del telón, y necesita ser definido
de forma correcta. En general, una instalación estándar de Matplotlib habrá
seleccionado correctamente el backend, en cuyo caso el usuario no ha de preocuparse de este tema. Sin embargo, si el funcionamiento de los gráficos no es el
adecuado, es posible que sea necesario modificar el backend por defecto. Éste
se puede seleccionar en el momento de la apertura de la consola, por ejemplo:
$ ipython --pylab ='qt '
Aunque también es posible seleccionarlo mediante el comando use de
Matplotlib, de la forma
import matplotlib
matplotlib .use('Qt4Agg ')
Este método sólo funciona si previamente no se ha cargado pylab, ni como
opción de IPython, ni usando la función mágica.
3 1 1
Interactividad
Una vez cargado el módulo pylab, tendremos a nuestra disposición, tanto
el módulo NumPy como Matplotlib. Lo primero que haremos será saber si la
sesión es o no interactiva, para lo cual usamos la función:
In [1]: isinteractive ()
Out [1]: True
El resultado será True o False, en función de la consola usuada.2 El resultado
nos dirá qué sucederá cuando creemos un elemento gráfico. Si ha sido True,
entonces el siguiente comando:
In [2]: figure ()
Out [2]: <matplotlib . figure . Figure at 0xb2bbf4c >
creará una nueva ventana, como la mostrada en la Figura 3.1. Si por el
contrario, la salida del la función isinteractive() es False, entonces la
orden figure() dará el mismo resultado, pero no se mostrará ventana alguna.
Para ver el gráfico será preciso invocar la orden show(). Esta es la diferencia
fundamental entre tener la sesión en interactivo o no. Cualquier cambio en
2 Con la consola python habitual la sesión interactiva no está activada por defecto,
mientras que sí lo está en la consola IPython.
3.1
Gráficos interactivos
Figura 3.1: Ventana creada por la función figure()
una sesión interactiva se ve reflejado al momento sobre la gráfica, mientras
que si la sesión interactiva no está activada habrá que usar la orden show()
(para mostrar la ventana gráfica por primera vez) o draw() para actualizar
los cambios hechos al dibujo.
En cualquier caso, podemos activar o desactivar la interactividad mediante:
ion () # activa la sesión interactiva
ioff () # desactiva la sesión interactiva
3 1 2
Figuras y gráficos
La orden figure() crea una ventana con título Figure más un número
entero que irá incrementándose sucesivamente. Es posible hacer la llamada
de la forma figure(num), bien para crear la figura con la numeración que
deseemos, o bien, si dicha figura existe, para hacerla activa. En lugar de un
número entero es posible pasar un string como argumento, que se convertirá
en el título de la ventana creada.
La orden
In [3]: plot ([1 ,3 ,2])
Out [3]: [< matplotlib .lines. Line2D at 0xb65a110c >]
crea un gŕafico en la ventana como el de la Figura 3.2. El comando plot es
sencillo de usar; si se le proporciona una lista o arreglo, crea una línea que
une los puntos de abcisa dada por el índice de la lista, y ordenada dada por
el valor de la lista. En el caso de la Figura 3.2, se crea una línea que une los
puntos (0, 1), (1, 3) y (2, 2).
85
86
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
Figura 3.2: Gráfico dentro de la figura
El gráfico se crea dentro de la figura que esté activa, si hubiera una, o
directamente se crearía una nueva figura para contenerlo. Obsérvese que el
gráfico se crea con unos ejes, que por defecto se escalan al tamaño del gráfico
creado, se etiquetan con valores oportunos y la línea es coloreada de forma
automática. Es importante tener clara la diferencia entre la ventana gráfica,
creada por la orden figure, y los ejes creados con plot, pues son objetos
distintos, que posteriormente aprenderemos a manejar.
Si en lugar de proporcionar al comando plot una lista, le damos dos,
entonces la primera lista corresponderá a las abcisas y la segunda a las
ordenadas de los puntos (en particular, esto implica que ambas listas deben
tener la misma longitud):
In [4]: x= arange (0 ,2.1 ,0.5)
In [5]: y=x**2
In [6]: plot(x,y)
Out [6]: [< matplotlib .lines . Line2D at 0xac346ac >]
El resultado puede verse en la Figura 3.3. Nótese que hemos usado la función
arange de NumPy (recuérdese que pylab importa éste módulo) y que por
tanto, x e y son arrays. Obsérvese también cómo el gráfico es reescalado para
poder mostrar la nueva línea en el eje que ya estaba creado.
Podríamos haber hecho que el nuevo comando plot borrara el dibujo
anterior, en lugar de añadirse al existente. La función hold es la encargada
de activar o desactivar el estado de concurrencia, esto es, si los sucesivos
dibujos se mostrarán junto a los anteriores, o bien éstos serán borrados
y sustituidos por el último. Se puede cambiar de estado invocándola sin
3.1
Gráficos interactivos
Figura 3.3: Dos gráficas en el mismo eje
parámetro, o bien activarlo o desactivarlo mediante hold(True) o hold(
False), respectivamente. La función ishold() nos proporciona el estado de
concurrencia actual.
Para cerrar una ventana bastará usar la orden
close () # cierra la Figura activa
close (num) # cierra la Figura num
Si lo que queremos es borrar los gráficos de la figura activa sin cerrar la ventana
disponemos de
cla () # borra los gráficos pero mantiene el eje
clf () # borra los ejes pero mantiene la ventana de la figura
3 1 3
Subplots
El posible tener varios ejes distintos en la misma ventana gráfica, para lo
cual usaremos la orden:
subplot (n,m,k)
la cual divide la figura en n filas y m columnas y crea unos ejes en la posición
k. La comas de separación entre n, m y k no son necesarias (a menos que
alguno de los valores tenga más de un dígito). Por ejemplo,
In [1]: subplot (234)
Out [1]: <matplotlib .axes. AxesSubplot at 0xb2c7b0c >
abre una ventana como la de la Figura 3.4a y selecciona dicho eje como el
eje activo. Nótese que la figura es dividida en dos filas de tres columnas cada
87
88
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
(a)
(b)
Figura 3.4: Subplots
una, y se crean los ejes en la posición 4 (contando por filas). Si a continuación
escribimos
In [2]: subplot (232)
Out [2]: <matplotlib .axes. AxesSubplot at 0xb36728c >
entonces en la misma figura se crean unos ejes en la posición 2 (ver Figura 3.4b), que serán los nuevos ejes activos. ¿Qué ocurrirá si ahora escribimos
subplot(211)? En este caso, la estructura es sobreescrita y aparecen los ejes
en la posición que muestra la Figura 3.5, siendo éste último el nuevo eje activo.
Como puede observarse, la función subplot permite organizar de forma
estructurada cualquier combinación de ejes que se desee. El comando plot dibujará el gráfico correspondiente sobre el eje activo. Por ejemplo, la Figura 3.6
corresponde a las siguientes órdenes:
subplot (221)
subplot (222)
subplot (212)
x= linspace (0 ,1 ,10)
y=sin(x)
z=cos(x)
w=sqrt(x)
plot(x,w) # dibuja sobre
subplot (221) # nuevo eje
plot(x,y) # dibuja sobre
subplot (222) # cambiamos
plot(x,z) # dibuja sobre
el eje
activo
el eje
de eje
el eje
activo
(221)
activo
activo
activo
(212)
(221)
al (222)
(222)
3.1
Gráficos interactivos
Figura 3.5: Distintos ejes en la misma figura
Figura 3.6: Varios gráficos en la misma figura
3 1 4
Axes
Es posible organizar los ejes creados en una figura de forma no estructurada
con el comando axes:
In [1]: axes ()
Out [1]: <matplotlib .axes. AxesSubplot at 0xa8aa5ac >
crea unos ejes por defecto, que equivale a hacer subplot(111). Si a continuación escribimos:
89
90
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
In [2]: axes ([0.2 ,0.5 ,0.3 ,0.3])
Out [2]: <matplotlib .axes.Axes at 0xb659f38c >
obtendremos uno ejes como los de la Figura 3.7.
Figura 3.7: Varios ejes no estructurados
Los dos primeros números en el argumento de la función axes hacen
referencia a las coordenadas de la esquina inferior izquierda, y los otros dos,
a la anchura y altura, respectivamente, de los ejes a situar. Las coordenadas
están normalizadas entre 0 y 1.3
3 2
AÑADIENDO OPCIONES
El comando plot admite varias secuencias de datos y una serie interminable de opciones para controlar todos los aspectos del gráfico. Algunas de estas
opciones son equivalentes a las de MATLAB. La Figura 3.8 muestra un par
de ejemplos.
Como podemos ver en la Figura 3.8, podemos usar, tras los arrays que
determinan los puntos del gráfico, una cadena con diversos caracteres con
los que configurar algunos aspectos de la línea usada, como el color, el estilo
de línea o los marcadores que señalan cada uno de los puntos del gráfico.
Por ejemplo, en la Figura 3.8a, los datos x, y se dibujan según la cadena
'r-o', que significa que se ha usado color rojo, línea continua y círculos como
marcadores. mientras que la cadena 'g:' hace uso del color verde, con línea
punteada para dibujar la pareja x, z. En la Figura 3.8b, 'm--s' dibuja en color
3 Nótese que el posicionaminento de los ejes por defecto corresponde a las coordenadas
normalizadas [0.125,0.1,0.775,0.8].
3.2
Añadiendo opciones
x= linspace (0 ,1 ,30)
y=sqrt(x)
z=x**2
(a) plot(x,y,'r-o',x,z,'g:')
(b) plot(x,y,'m--s',x,z,'bx')
Figura 3.8: Ejemplos de uso de plot
91
92
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
magenta, línea discontinua y marcadores cuadrados, y la cadena 'bx' dibuja
en azul sólo marcadores con forma de cruz. La siguiente tabla muestra una
breve representación de las opciones más comunes. Para una lista completa
véase la ayuda del comando plot.
Carácter
Color
Carácter
Marcador
b
azul
.
punto
g
verde
o
círculo
r
rojo
^
triángulo
y
amarillo
*
estrella
m
magenta
x
cruz
k
negro
s
cuadrado
w
blanco
+
signo más
Carácter
Estilo de línea
-
línea continua
--
línea discontinua
:
línea punteada
-.
línea semipunteada
Además de este tipo de opciones abreviadas, el comando plot permite
configurar muchos otros aspectos del gráfico a través de argumentos opcionales, algunos de los cuales tienen el mismo efecto que los ya vistos. Puesto
que no es nuestra intención ser exhaustivos, mostraremos algunos ejemplos de
opciones en la siguiente sección a la vez que introducimos algo más de control
sobre los gráficos.
3 3
CONFIGURANDO VARIOS ELEMENTOS DEL GRÁFICO
Títulos y leyendas
Podemos incluir un título al eje del gráfico a dibujar con el comando
title (cadena)
También es posible distinguir cada uno de las líneas trazadas con plot mediante una leyenda, usando una etiqueta definida por el argumento opcional
label. La leyenda se activa con el comando legend, que entre otros argumentos permite situar la leyenda en posiciones predeterminadas con la opción
3.3
Configurando varios elementos del gráfico
loc, el estilo de fuente, etc. Una vez más la ayuda del comando proporciona
todas las posibilidades. La Figura 3.9 muestra el resultado de las siguientes
órdenes:
x= linspace (0 ,1 ,20)
y=x**2
z=x**3
plot(x,y, linewidth =2, label ='$x ^2$',color =(0 ,1 ,0))
plot(x,z, linestyle ='dashed ',color =(1 ,0 ,1) ,label ='$x ^3$')
title ('Un par de funciones ',fontsize =14)
legend (loc =0)
Nótese que en las cadenas de caracteres que conforman las etiquetas para la
leyenda se ha usado notación LATEX. También se han usado otras opciones del
comando plot. La leyenda debe ser activada después de los comandos plot y
recogerá todas las etiquetas en función del orden.
Figura 3.9: Título y leyenda
Texto y anotaciones
La Figura 3.10 ha sido generada con el siguiente código:
axes( axisbg =(0.35 ,0.25 ,0.75) )
x= linspace (0 ,1 ,20)
y=x**2
plot(x,y,'b-o')
text(x[12] -0.22 ,y[12] ,u'Texto aquí ',fontsize = 12,
horizontalalignment ='right ')
arrow (x[12] -0.2 ,y[12] ,0.2 ,0. , color ='yellow ',
length_includes_head = "True", width =0.008 , head_width
=0.02)
93
94
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
text(x[14] -.3 ,y[14]+0.2 ,r'$\alpha +\ beta$ ',verticalalignment ='
bottom ',horizontalalignment ='center ',fontsize =14)
arrow (x[14] -.3 ,y[14]+0.2 ,0.27 , -0.18 , color ='red ')
Figura 3.10: Texto y anotaciones
Obsérvense algunas de las opciones empleadas: axisbg proporciona el color
de fondo de los ejes; en este caso, el color se ha determinado a traves de una
tupla de valores reales entre 0 y 1 en formato RGB.4
La orden text sitúa una cadena de caracteres en las coordenadas determinadas por los dos primeros argumentos. En el ejemplo, los datos con los
que se ha construido la curva han sido usados para determinar tales coordenadas. Puesto que la cadena contenía acentos (en el primer text) y notación
LATEX(en el segundo) las hemos pasado como Unicode y raw, respectivamente.
El resto de opciones son evidentes.
También hemos incluido flechas para señalar objetos en el gráfico con la
orden arrow, la cual precisa de cuatro coordenadas; las dos primeras señalan el
origen del vector, y las dos segundas las coordenadas del desplazamiento (que
no las coordenadas del extremo). Las opciones empleadas son autoexplicativas.
4 Red,
Green, Blue.
3.3
Configurando varios elementos del gráfico
Etiquetas para los ejes
Echemos un vistazo al ejemplo de la Figura 3.11, el cual ha sido generado
con el siguiente código:
scatter ( random .rand (1000) ,random .rand (1000) )
xlabel ('Valores en X')
ylabel ('Valores en Y')
xlim (-1 ,2)
ylim (0 ,1.5)
xticks ([ -1 ,0 ,0.5 ,1 ,2])
yticks ( arange (0 ,1.6 ,0.1))
minorticks_on ()
Figura 3.11: Etiquetas en los ejes
Como podemos ver, este gráfico ha sido generado con la orden scatter
que en lugar de dibujar líneas, dibuja un conjunto de puntos (desordenados)
cuyas coordenadas vienen dadas por dos listas (en nuestro caso, dos arrays
aleatorios). El resto de órdenes establece leyendas para los ejes (con xlabel e
ylabel), los límites que determinan los ejes del gráfico (con xlim e ylim), y las
marcas que se muestran en cada eje (con xticks e yticks), que son definidas
a través de una lista o un array. Por último, la orden minorticks_on() activa
las marcas de subdivisión en ambos ejes.
95
96
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
Otros tipos de gráficos
La cantidad de tipos de gráficos diferentes que Matplotlib puede generar
es enorme, por lo que es muy recomendable echarle un vistazo a la galería que
aparece en la página web del proyecto (matplotlib.org/gallery). No sólo
se pueden apreciar las posibilidades de creación de gráficos sino que además
se puede ver el código con el que se generan.
3 4
GRÁFICOS Y OBJETOS
En las secciones anteriores hemos visto cómo funciona el módulo pylab
de forma interactiva. Esta forma de trabajar es útil para probar ejemplos
sencillos, pero desde nuestro punto de vista, tenemos un mayor control de lo
que sucede en un gráfico si manejamos adecuadamente los objetos de los que
está compuesto. En esencia, lo que necesitamos es almacenar los objetos con
los que construimos un gráfico en variables, y usar los métodos que provee
Python para irlos modificando.
Por otra parte, en lugar de trabajar con el módulo pylab, en esta sección
usaremos directamente pyplot y numpy, los cuales importaremos de la forma
estándar:
import matplotlib . pyplot as plt
import numpy as np
Crearemos una figura, la cual asignamos a una variable para acceder adecuadamente a los métodos disponibles.
fig = plt. figure ()
Los objetos gráficos tienen su propia jerarquía, por ejemplo, en una figura
podemos incluir varios ejes (tal y como hacíamos con subplot):
ax1 = fig. add_subplot (211)
ax2 = fig. add_subplot (212)
Al manejar objetos, a veces es necesario actualizar el estado del dibujo para
que las acciones hechas sobre él se muestren, aun estando en modo interactivo.
Para ello usaremos la orden:
plt.draw ()
Creamos unos datos y dibujamos en cada uno de los ejes:
x = np. linspace (0 ,4 ,100)
y = np.cos (2*x*np.pi)*np.exp(-x)
z = np.sin (3*x*np.pi)
a = ax1.plot(x,y,x,z)
b, = ax2.plot(x,z)
3.4
Gráficos y objetos
97
Ahora la variable a es una lista que contiene dos objetos gráficos de tipo
Line2D, y b es un sólo objeto gráfico de este tipo. Obsérvese el uso de la coma
para almacenar el objeto gráfico y no la lista.5 Ahora podemos acceder a las
diversas propiedades de cada uno de los objetos gráficos usando métodos:
a[0]. set_linewidth (2)
a[1]. set_color ('magenta ')
b. set_label (r'$\sin x$ ')
b. set_linestyle ('--')
ax2. legend ()
b. set_marker ('s')
b. set_markerfacecolor ('r')
b. set_markersize (3)
plt.draw ()
El resultado puede verse en la Figura 3.12. Las distintas opciones para el objeto
Line2D pueden consultarse en la ayuda. Por supuesto, también se pueden
emplear las opciones del mismo modo que en la secciones anteriores.
Figura 3.12
Para tratar distintos elementos de un gráfico, también es posible usar la
función setp que asigna una (o varias) propiedades a un objeto. Por ejemplo,
5 Podríamos haber hecho también a, c = ax1.plot(x,y,x,z) para almacenar los elementos de la lista en variables separadas.
98
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
plt.setp(a, linewidth =3)
plt.setp(ax2 , title =u'Título ')
haría que las dos curvas de eje superior tengan ambas grosor 3, y que el eje
inferior luzca un título. Las mismas propiedades que hemos modificado en los
ejemplos anteriores pueden modificarse con esta orden.
3 4 1
Un poco más de sofisticación
Veamos algún ejemplo más, en el que mostraremos otras propiedades del
gráfico que podemos controlar fácilmente.
El siguiente código genera el gráfico de la Figura 3.13.
x = np. linspace (0,np.pi ,100)
y = np.sin (2*x*np.pi)*np.cos (3* np.pi*x)
f = plt. figure ()
ax = f. add_subplot (111)
b = ax.plot(x,y)
plt.setp(b, linewidth =2, color ='red ') # propiedades de la curva
ax.axis('tight ') # ajuste de los ejes al gráfico
ax.grid(True) # rejilla
# etiquetas del eje X
plt. xticks ([0, np.pi/4, np.pi/2,np.pi /4*3 , np.pi],['$0$ ', r'$\
frac {\ pi }{4}$', r'$\frac {\ pi }{2}$', r'$\frac {3\ pi }{4}$',
r'$\pi$ '])
ax. set_yticks ([-1,-.5, 0,.5, 1]) # marcas del eje Y
# etiquetas para las marcas del eje Y
ax. set_yticklabels ([ '$-1$',r'$ -\ frac {1}{2} $', r'$0$ ', r'$\frac
{1}{2} $', r'$1$ '], fontsize =16 , color ='blue ',rotation =30)
# banda de resaltado
band = ax. axvspan (2* np.pi /5 ,3* np.pi /5)
band. set_color ('red ') # ponemos color
band. set_alpha (0.2) # ponemos transparencia
f. savefig ('grafico .png ',format ='png ') # salvamos el gráfico a
fichero
La función axis muestra y/o establece las propiedades de los ejes. En
concreto, el argumento 'tight' hace que los ejes se ajusten a los datos del
gráfico. Otras posibilidades son 'off', 'equal' o 'scaled'.
La orden grid activa o desactiva (con True o False, respectivamente) la
malla que puede verse de fondo en el gráfico.
Es posible especificar, no sólo dónde se sitúan las marcas de los ejes, sino
también, la etiqueta que lleva cada una. En este ejemplo se ha hecho de forma
diferente para cada eje. Con la función xticks, que admite una o dos listas,
3.5
Gráficos 3D
99
señalamos la posición de las marcas con la primera lista, y, si existe, la cadena
de caracteres que se imprimirá en cada etiqueta con la segunda. Nótese el uso
de notación LATEX.
En el eje Y hemos determinado las marcas mediante el método set_yticks
y las etiquetas con set_yticklabels. Esta segunda opción nos permite además especificar color, tamaño de fuente o rotación, entre otras propiedades.
Además hemos añadido un nuevo objeto en el gráfico, una banda vertical
de resaltado con la función axvspan, a la que hemos modificado el color y la
transparencia con los métodos adecuados.
Finalmente, hemos salvado el fichero gráfico a disco con la función savefig
para la que basta precisar el nombre del fichero a guardar y el formato del
mismo. Para otras opciones, consultar la ayuda.
Figura 3.13
3 5
GRÁFICOS 3D
Aunque la librería Matplotlib fue diseñada en principio para trabajar con
gráficos bidimensionales también incorpora la posibilidad de realizar gráficos
3D, aunque hemos de señalar que existen otras alternativas interesantes como
MayaVi.
Para usar gráficos 3D con Matplotlib precisamos realizar la siguiente
importación
from mpl_toolkits . mplot3d import Axes3D
100
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
y a continuación, usamos la opción projection a la hora de crear unos ejes:
fig = plt. figure ()
ax = fig. add_subplot (111 , projection ='3d')
Podemos dibujar curvas con el método plot vinculado a este tipo de ejes,
usando tres listas o arreglos que proporcionan las coordenadas de los puntos
de la curva. Por ejemplo,
t
z
r
x
y
b
=
=
=
=
=
=
np. linspace (-4* np.pi ,4* np.pi ,100)
np. linspace ( -2 ,2 ,100)
z**2+1
r*np.sin(t)
r*np.cos(t)
ax.plot(x,y,z, linewidth =2)
da lugar al gráfico de la Figura 3.14
Figura 3.14: Curva en 3D
Para dibujar superficies se emplea la misma técnica que en MATLAB, esto
es, es necesario crear dos matrices de datos que generan los puntos de una
malla bidimensional sobre la que se define la función a dibujar. Por ejemplo,
si queremos dibujar el grafo de la función
( √
)
f (x, y) = sin 2π x2 + y 2
en el dominio [−1, 1] × [−1, 1] hemos de preparar los datos de la siguiente
forma:
3.5
Gráficos 3D
101
x = np. linspace ( -1 ,1 ,150)
X1 ,Y1=np. meshgrid (x,x) # mallado fino
Z1=np.sin (2* np.pi*np.sqrt(X1 **2+ Y1 **2))
y = np. linspace ( -1 ,1 ,20)
X2 ,Y2=np. meshgrid (y,y) # mallado grueso
Z2=np.sin (2* np.pi*np.sqrt(X2 **2+ Y2 **2))
y ahora dibujamos (véase la Figura 3.15).
fig = plt. figure ( figsize =(12 ,6))
ax = fig. add_subplot (121 , projection ='3d')
bx = fig. add_subplot (122 , projection ='3d')
surf = ax. plot_surface (X1 ,Y1 ,Z1)
wire = bx. plot_wireframe (X2 ,Y2 ,Z2)
Figura 3.15: Superfices en 3D
Con la orden contourf se pueden dibujar mapas de contorno en distintos
ejes y diferentes posiciones (Figura 3.16):
fig = plt. figure ()
ax = fig.gca( projection ='3d') # gca: get current axes
ax. plot_wireframe (X2 ,Y2 ,Z2)
ax. contourf (X2 ,Y2 ,Z2 ,zdir='z',offset =-1)
cset = ax. contourf (X2 ,Y2 ,Z2 ,zdir='y',offset =1)
plt.setp(cset , alpha =0.2)
El parámetro zdir señala el eje sobre el que se dibujan los contornos, mientras
que offset señala el nivel en el que se muestran (si este parámetro no aparece,
se dibuja cada contorno en su nivel correspondiente). Nótese la selección de
transparencia sobre el objeto cset con el parámetro alpha y el comando setp.
102
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
Figura 3.16: Curvas de nivel en 3D
3 6
EJERCICIOS
E.1
Considera un conjunto aleatorio de 100 puntos en el rectángulo
[−3, 3] × [−3, 3]. Dibuja de color azul aquéllos que se encuentren dentro del
círculo unidad, de color rojo los que se encuentren fuera del círculo unidad y
dentro del círculo de radio 2 y dibuja en verde los que están fuera del círculo
de radio 2 y dentro de cículo de radio 3. El resto, déjalos en negro. Usando
un marcador distinto, determina el más lejano y el más cercano al origen.
Indicación: para dibujar puntos aislados usa el comando scatter. El parámetro s permite modificar el tamaño del marcador. Usa máscaras para evitar los
bucles.
E.2
En el Ejercicio E.17 del Tema 2 de definen unas matrices A en función
de los parámetros k y d. Para k = −1000, considera 100 valores de d entre 0
y 100 y dibuja en el plano complejo los autovalores de dichas matrices.
Indicación: los números complejos se pueden dibujar con scatter separando
parte real y parte imaginaria.
E.3
Considera la función f (x) = sin(3x) cos(5x − 1) en el intervalo [0, 1].
Encuentra los máximos y mínimos usando la función minimize_scalar del
módulo optimize de SciPy. Dibuja la función y señala los puntos obtenidos,
3.6
Ejercicios
103
anotándolos con texto.
Indicación: la función minimize_scalar usa una lista a modo de intervalo
para acotar el mínimo, aunque no asegura que el mínimo encontrado caiga
en dicho intervalo. Usa intervalos adecuados para localizar los máximos y
mínimos buscados.
E.4 Reproducir de la forma más aproximada los gráficos de la Figura E.4.
E.5
Dibujar las siguientes funciones en los recintos indicados:
(a) f (x, y) = e−x
2
−y 2
en [−2, 2]2 .
2
(b) f (x, y) = ex (x4 + y 4 ) en [−1, 1]2 .
√
(c) El cono f (x, y) = x2 + y 2 sobre el círculo unidad. Usar coordenadas
polares.
(d) La superficie en polares z = (r2 − 1)2 sobre el círculo de centro origen y
radio 1.25.
(e) La esfera unidad y la esfera de radio dos. Usar transparencia.
E.6
Considera los puntos (0, 0), (1, 3), (2, −1), (3, 2), (4, 2) y, (5, −1).
Dibújalos usando triángulos de color verde. A continuación, calcula la función
interpoladora lineal, el spline cúbico y el polinomio interpolador de Lagrange.
Dibuja cada uno de ellos en un color distinto y etiquétalos para que aparezca
una leyenda.
E.7
Considera el siguiente código que genera tres líneas l1 , l2 y l3 :
from pylab import *
t1 = linspace (0.0 , 2.0, 20)
t2 = linspace (0.0 , 2.0, 100)
f = figure (1)
ax = f. add_subplot (111)
l1 ,
= ax.plot(t2 , exp(-t2))
l2 , l3 = ax.plot(t2 , sin (2* pi*t2), t1 ,log (1+ t1))
Realiza las siguientes modificaciones añadiendo nuevas líneas al código:
Dibuja las líneas l1 y l3 con un grosor de 2 puntos, y l2 con un grosor
de 3 puntos.
Colorea l1 en azul, l2 en verde y l3 en negro.
La línea l1 debe ir en discontinua, l2 con puntos y rayas, y l3 en línea
continua.
Añade marcadores cuadrados de color verde con bordes rojos en la línea
l3 .
104
Tema 3
Gráficos con Matplotlib
(a) x sen(10x2 )
(b) sen x y cos x
(c) 100 ptos. en el círculo unida�d
(d) 100 ptos. en el círculo unidad
(e) cos(2πt)et
(f) e−x en (0, 1)
Figura 3.17: Ejercicio E.4
4
Programación Orientada a Objetos
En los temas anteriores hemos podido comprobar que en la programación
en Python es constante el uso de objetos. En este tema vamos a ver cómo
podemos crear nuestros propios objetos junto con sus atributos y métodos
mediante las denominadas clases.
No es frecuente en computación científica el uso de clases pues, básicamente, la resolución de problemas científicos se basa en la introducción de
datos, la realización de los cálculos oportunos y la correspondiente salida; esto es, el comportamiento típico de una función. Sin embargo, vamos a ver
cómo los objetos pueden facilitarnos la programación necesaria para resolver
un problema.
Por ejemplo, supongamos que queremos estudiar el comportamiento de
una estructura de barras como la de la Figura 4.1. Se trata de un conjunto de
puntos, denominados nodos, que sirven como puntos de unión de una serie de
barras de un determinado material. Para describir la estructura precisaremos
de las coordenadas en el plano1 de los nodos y de las conexiones existentes
entre éstos, que determinarán dónde se encuentran las barras.
Parece lógico almacenar los datos de la estructura en un par de arrays:
uno conteniendo las coordenadas de los nodos y otro que almacena las barras
existentes entre dos nodos. Por ejemplo, la estructura de la Figura 4.2 estaría
definida por:
coord = np.array ([[ 0., 0.] ,[ 1., 0.] ,[ 0., 1.] ,[ 1., 1.]])
conex = np.array ([[0 , 1],[0, 2] ,[0 , 3] ,[1 , 2],[1, 3],[2, 3]])
Nótese que el número de nodos vendrá dado por coord.shape[0], y el
número de barras por conex.shape[0], mientras que los números del array
de conexiones se refieren a la numeración impuesta en los nodos. Así, por
ejemplo, la barra 4 conecta los nodos 1 y 3, (luego conex[4]=[1, 3], cuyas
coordenadas vendrán dadas por coord[2,:] y coord[3,:]).
1 También
se podría hacer en el espacio sin dificultad.
105
106
Tema 4
Programación Orientada a Objetos
Figura 4.1: Estructura de barras
5
2
3
3
1
4
2
0
0
1
Figura 4.2: Estructura básica
Supongamos ahora que queremos crear una estructura de barras con una
configuración regular como la de la Figura 4.1. No es difícil construir una
función para obtener los arrays de coordenadas y conexiones para una estructura de este tipo. Típicamente se construiría una función cuyos parámetros
de entrada fueran el número de nodos que vamos a tener en cada dimensión y
cuya salida fueran los arrays de coordenadas y conexiones correspondientes.
No obstante, vamos a crear esta estructura mediante objetos. Inicialmente
podrá parecer que es más complicado proceder de este modo, pero más
adelante veremos que merece la pena diseñar la estructura así, pues nos
facilitará la implementación de nuevas posibilidades.
4 1
DEFINIENDO CLASES
La Programación Orientada a Objetos requiere de una planificación previa
de los elementos que intervienen en el diseño de un objeto. Así, nuestras
estructuras están compuestas de nodos y barras. Cada nodo ocupa un punto
del plano y están numerados, mientras que cada barra es esencialmente una
lista de dos nodos. La propia estructura ocupa unas dimensiones en el plano
que habrá que señalar. De este modo, vamos a comenzar definiendo un objeto
4.1
Definiendo clases
sencillo: un punto en el plano.
Para ello vamos a usar las clases. Una clase es habitualmente definida
como el molde de un objeto. Nosotros podemos pensar en las clases como los
fragmentos de código que definen un objeto, sus atributos y sus métodos.
Para definir un clase para un objeto punto escribiríamos lo siguiente:
class Point ( object ):
"""
describe un punto de coordenadas (x,y)
"""
def __init__ (self ,xx ,yy):
self.x = xx
self.y = yy
Las clases se definen con la palabra clave class seguida del nombre
asignado a la clase y que define el tipo de objeto y como parámetros, los objetos
de los cuales hereda (veremos el concepto de herencia un poco más abajo).2
Es una convención ampliamente usada nombrar las clases definidas por el
usuario con la inicial en mayúsculas. También es muy conveniente documentar
adecuadamente la clase.
Como es habitual en Python, la sangría marcará el fragmento de código
correspondiente a la clase. A continuación, aunque en Python no es obligatorio, aparece el denominado constructor. Se trata del método __init__ que
se ejecuta cuando la clase se instancia. El proceso de instanciación no es más
que la definición de un objeto perteneciente a esta clase.
Puesto que __init__ es un método, esto es, una función, se define como ya
vimos con la palabra clave def. Los argumentos de los métodos de una clase
son un poco peculiares pues el primero de ellos siempre es self, que se refiere
al propio objeto.3 El resto de argumentos deberá aparecer en el momento de
instanciar al objeto, y los podemos entender como los argumentos de entrada
en la creación del objeto.
De este modo, para definir un objeto punto, instanciamos su clase del
siguiente modo:
>>> p = Point (2. ,3.)
En principio no hay mucho más que hacer con un objeto de este tipo. Podemos
acceder a sus atributos o bien modificarlos:
>>> p.x
2.0
>>> p.y
3.0
>>> p.x = 5.
Si imprimimos el objeto directamente con la orden print:
2 Por
defecto, las clases se definen a través de la herencia con la clase object.
es un convenio universalmente aceptado pero podría usarse cualquier otro nombre.
3 Esto
107
108
Tema 4
Programación Orientada a Objetos
>>> print p
<__main__ . Point instance at 0 x7fb7f0235128 >
sólo obtenemos información sobre el mismo. Esto es debido a que no hemos
especificado cómo imprimir adecuadamente el objeto. Para hacer esto se define
el método __str__ dentro de la clase:
def __str__ (self):
return "({0} ,{1})". format (self.x,self.y)
Ahora (habrá que volver a ejecutar la clase),
>>> p = Point (2. ,3.)
>>> print p
(2.0 ,3.0)
Vamos ahora a construir los objetos de tipo nodo. Básicamente este objeto
no es más que un punto junto con un identificador. Una primera opción podría
ser esta:
class Nodo( object ):
"""
describe un nodo mediante identificador y punto
"""
def __init__ (self ,n,a,b):
self.id = n
self.p = Point (a,b)
Entonces,
>>> a = Nodo (0 ,1. ,3.)
>>> a.id
0
>>> print a.p
(1.0 ,3.0)
>>> b.p.x
1.0
Sin embargo, dado que hay una gran similitud entre los objetos tipo punto
y los objetos tipo nodo, otra opción consiste en apoyarse en el concepto de
herencia, que no es más que el establecimiento de una relación entre dos
clases, de manera que los atributos y métodos de una puedan ser usados en
la otra. En nuestro caso es evidente que los atributos x e y de la clase Point
deberán mantenerse en la nueva clase que vamos a crear, por lo que podemos
aprovecharnos del constructor de la clase Point usando el comando super:
class Node(Point ):
"""
clase que hereda de la clase Point
"""
numberNode = 0
4.1
Definiendo clases
def __init__ (self ,xx ,yy):
super (Node , self). __init__ (xx ,yy)
self.id = Node. numberNode
Node. numberNode += 1
Como podemos observar, en la definición de la clase se hace referencia a
la clase de la que se hereda, denominada clase padre. El constructor de la
clase Node llama al constructor de la clase Point a través de la orden super,
es decir, realiza una instanciación de la clase de la que hereda, en este caso
un objeto Point. Ahora incluimos también un atributo para identificar al
nodo que funciona automáticamente a través de un contador numberNode, de
manera que cada nuevo nodo que creemos tendrá asignado un identificador
en orden creciente. Si no hubiéramos definido un método __init__ para esta
clase, se habría usado el método de la clase padre de la que hereda. Ahora
podemos hacer
>>> a = Node (1. ,2.)
>>> b = Node (0. ,1.)
>>> print a
(1.0 ,2.0)
>>> a.id
0
>>> b.id
1
Nótese que para la impresión del objeto Node se está usando el método
__str__ de la clase Point. Si quisiéramos una impresión distinta habría que
definir nuevamente el método __str__ para esta clase.
Ahora no debe ser difícil para el lector entender la clase para las barras
siguiente:
class Bar( object ):
"""
define una barra soportada por dos nodos
"""
def __init__ (self ,n1 ,n2):
if n1.id == n2.id:
print "Error : no hay barra "
return
elif n1.id < n2.id:
self.orig = n1
self.fin = n2
else:
self.orig = n2
self.fin = n1
def __str__ (self):
return "Barra de extremos los nodos {0} y {1}". format (
self.orig.id ,self.fin.id)
109
110
Tema 4
Programación Orientada a Objetos
Al constructor hemos de proporcionarle dos nodos de diferente identificador,
pues en caso contrario no habría barra. Definimos los atributos orig y fin
como los nodos que conforman la barra y convenimos en señalar como nodo
origen aquél cuyo identificador sea menor. De este modo, la instanciación de
una barra se haría de la forma siguiente:
>>> barra = Bar(a,b)
>>> print barra
Barra de extremos los nodos 0 y 1
Con esto hemos definido los elementos esenciales que participan en la
construcción de una estructura de barras como la de la Figura 4.1. Ahora
vamos a construir la estructura, que como comentamos al inicio, consta
esencialmente de nodos y barras. Los parámetros de entrada podrían ser dos
puntos que determinen el rectángulo sobre el que crear la estructura, junto
con el número de nodos a usar en cada dimensión.
Una posibilidad vendría dada por el siguiente código:
class Truss ( object ):
"""
genera una estructura rectangular de barras
- nx: numero de nodos en abscisas .
- ny: numero de nodos en ordenadas .
- p1: vértice inferior izquierdo (clase punto ).
- p2: vértice superior derecho (clase punto ).
genera 6 barras entre 4 nodos
"""
def __init__ (self ,p1 ,p2 ,nx ,ny):
# comprobación de la integridad del rectángulo
if p2.x-p1.x < 1.e -6 or p2.y-p1.y < 1.e -6:
print " Rectángulo incorrecto "
return
self. nNodos = (nx + 1) * (ny + 1)
self. nBarras = 4*nx*ny+ny+nx
self.nodos = []
self. barras = []
Node. numberNode = 0
# construcción de nodos
nodx = np. linspace (p1.x,p2.x,nx +1)
nody = np. linspace (p1.y,p2.y,ny +1)
for yy in nody:
for xx in nodx:
self.nodos . append (Node(xx ,yy))
4.1
Definiendo clases
# construcción de barras
for j in range (ny):
for i in range (nx):
n1 = i+ j*(nx +1)
n2 = n1 + 1
n3 = n1 + nx + 1
n4 = n3 + 1
# barras en cada elemento
b1 = Bar(self.nodos [n1],self.nodos [n2])
b2 = Bar(self.nodos [n1],self.nodos [n3])
b3 = Bar(self.nodos [n1],self.nodos [n4])
b4 = Bar(self.nodos [n2],self.nodos [n3])
self. barras . extend ([b1 ,b2 ,b3 ,b4 ])
# barras finales a la derecha
self. barras . append (Bar(self.nodos[n2],self.nodos[
n4 ]))
# barras de la línea superior
indice =ny *(nx +1) +1
for j in range (nx):
self. barras . append (Bar(self.nodos[ indice +j-1], self
. nodos[ indice +j]))
Nótese que hemos definido un par de listas: nodos y barras en las que almacenar los elementos que nos interesan. Ponemos el contador del identificador
de nodos a cero, de manera que cada vez que tengamos una estructura, los
nodos se creen comenzando el identificador a 0. Tal y como está construido, el
identificador de cada nodo coincide con el índice que ocupa en la lista nodos,
lo que nos simplifica la búsqueda de los nodos. Una alternativa hubiera sido
escribir:
n = Node(xx ,yy)
self.nodos[n.id] = n
en lugar de la línea self.nodos.append(Node(xx,yy)), pero para ello hubiera sido preciso dimensionar primero la lista o hacer uso de slicing, lo que
complica innecesariamente el código.
Para obtener los nodos y las barras disponemos de las listas anteriores,
pero será más cómodo si definimos unos métodos que nos proporcionen directamente la información que realmente queríamos precisar de la estructura,
esto es, las coordenadas de los nodos y los índices correspondientes a cada
barra.
Por ello, a la clase anterior le añadimos los siguientes métodos:
def get_coordinate (self):
coordenadas =[]
for nod in self.nodos :
coordenadas . append ([ nod.x,nod.y])
return np.array ( coordenadas )
111
112
Tema 4
Programación Orientada a Objetos
def get_conection (self):
conexiones =[]
for bar in self. barras :
conexiones . append ([ bar.orig.id ,bar.fin.id ])
return np.array ( conexiones )
La estructura más sencilla que podemos montar, correspondiente a la
Figura 4.2, sería:
>>> a = Point (0. ,0.); b = Point (1. ,1.)
>>> m = Truss(a,b ,1 ,1)
>>> m. get_coordinate ()
array ([[ 0., 0.],
[ 1., 0.],
[ 0., 1.],
[ 1., 1.]])
>>> m. get_conection ()
array ([[0 , 1],
[0, 2],
[0, 3],
[1, 2],
[1, 3],
[2, 3]])
Es evidente que podríamos haber creado una función que tuviera como
entrada las coordenadas de los puntos del rectángulo y el número de nodos a
usar en cada dimensión, y cuya salida fuera precisamente los dos arrays que
hemos obtenido; posiblemente hubiera sido incluso más sencillo de implementar. Sin embargo, como ahora veremos, es más conveniente el uso de clases
porque nos va a permitir una flexibilidad aun mayor.
4 1 1
Modificando clases
Supongamos que ahora queremos dibujar la estructura obtenida. Si hubiéramos implementado una función tendríamos dos opciones: o bien modificamos la función creada para añadirle la parte gráfica, o bien implementamos
la parte gráfica en una función aparte, que reciba los arrays que definen la
estructura y los dibuje.
La primera opción puede resultar un engorro, pues cada vez que ejecutemos
la función obtendremos los arrays y el gráfico y habrá ocasiones en las que
queramos crear sólo la información de la estructura y otras en las que sólo
queramos dibujar. La segunda opción nos obliga a llamar primero a la función
para obtener los arrays de coordenadas y conexiones, y luego pasarlos a la
nueva función para dibujar.
Sin embargo, implementar un nuevo método dentro de la clase para que
construya el gráfico es mucho más cómodo, pues podremos invocarlo independientemente de que construyamos o no los arrays de coordenadas y conexiones.
4.2
Controlando entradas y salidas
113
Podríamos añadir a la clase Truss algo así:
def plotting (self):
plt.ion ()
fig = plt. figure ()
bx = fig. add_subplot (111)
for bar in self. barras :
bx.plot ([ bar.orig.x,bar.fin.x],[ bar.orig.y,bar.fin
.y],'k-o',linewidth =2)
bx.axis('equal ')
plt.show ()
De este modo, una vez creada una estructura, nos bastará con invocar al
método plotting para obtener el gráfico correspondiente.
Algo similar ocurre si queremos modificar la estructura eliminando alguna
barra: bastará con implementar un método adecuadamente:
def remove_bar (self ,n1 ,n2):
for bar in self. barras :
if bar.orig.id == n1 and bar.fin.id == n2:
self. barras . remove (bar)
self. nBarras -= 1
return
else:
print "No existe tal barra "
¿Se imagina el lector qué habría ocurrido si hubiéramos implementado
una función que incluyera la parte gráfica a la vez que la creación de la
estructura? La eliminación a posteriori de barras nos hubiera impedido dibujar
la estructura resultante. Con las clases, simplemente hemos de ir añadiendo
métodos que se ejecutan de forma separada sobre el mismo objeto.
4 2
CONTROLANDO ENTRADAS Y SALIDAS
Veamos un segundo ejemplo de la utilidad de usar clases en la programación de algoritmos matemáticos. En este caso vamos a implementar los clásicos
métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para la resolución iterativa de sistemas de
ecuaciones lineales.
Dado un sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax = b, donde A es
una matriz cuadrada de orden n y x y b son vectores de n componentes, un
método iterativo para resolver este sistema se puede escribir de la forma:
x(k+1) = M x(k) + c,
con x(0) dado,
(4.1)
donde M y c son una matriz y un vector, respectivamente, que definen el
método a usar. En concreto, si realizamos una descomposición de la matriz A
114
Tema 4
Programación Orientada a Objetos
de la forma
A=D+L+U
donde D es una matriz diagonal, L es triangular inferior y U es triangular
superior, entonces el método de Jacobi se define mediante
M = D−1 (−L − U ),
c = D−1 b,
mientras que el método de Gauss-Seidel se escribe con
M = (D + L)−1 (−U ),
c = (D + L)−1 b.
Es sencillo crear una función cuyos parámetros de entrada sean la matriz
A y el segundo miembro b, y que devuelva la solución del método iterativo
escogido. La matriz M y el vector c se pueden obtener mediante funciones
independientes,
def jacobi (A,b):
D = np.diag(np.diag(A))
L = np.tril(A, -1)
U = np.triu(A ,1)
M = np.dot(np. linalg .inv(D) ,(-L-U))
c = np.dot(np. linalg .inv(D),b)
return M,c
def seidel (A,b):
D = np.diag(np.diag(A))
L = np.tril(A, -1)
U = np.triu(A ,1)
M = np.dot(np. linalg .inv(D+L) ,(-U))
c = np.dot(np. linalg .inv(D+L),b)
return M,c
y el método iterativo queda:
def iterativo (A,b, metodo = jacobi ):
x0 = np.zeros (A. shape [0])
eps = 1.e-8
M,c = metodo (A,b)
x = np. ones_like (x0)
k=0
while np. linalg .norm(x-x0)>eps*np. linalg .norm(x0):
x0 = x.copy ()
x = np.dot(M,x0) + c
k+=1
print " Iteraciones realizadas :",k
return x
El código es sencillo y no necesita mucha explicación. Se define el vector
inicial x(0) , el parámetro ε y las matrices que definen el método, y se realiza
la iteración descrita en (4.1) hasta obtener que
∥x(k+1) − x(k) ∥ ≤ ε∥x(k) ∥
4.2
Controlando entradas y salidas
y se imprime el número de
funcionamiento del código en

10 −1

−1 11

 2 −1

0
3
iteraciones realizadas. Podemos comprobar el
el siguiente ejemplo:
  

2
0
x1
6

  
  

−1
3
 x2  =  25




10 −1 x3  −11

−1
8
x4
15
A = np.array
([[10 , -1 ,2 ,0.] ,[ -1 ,11 , -1 ,3] ,[2 , -1 ,10 , -1] ,[0 ,3 , -1 ,8]])
b = np.array ([6. ,25 , -11 ,15])
>>> iterativo (A,b)
Iteraciones realizadas : 23
array ([ 1., 2., -1., 1.])
>>> iterativo (A,b, seidel )
Iteraciones realizadas : 10
array ([ 1., 2., -1., 1.])
En principio, sería un código que cumple a la perfección con nuestros propósitos iniciales. No obstante, vamos a implementar una versión del mismo
algoritmo usando clases:
class Resolucion ( object ):
def __init__ (self ,A,b, metodo = jacobi ):
self.A = A
self.b = b
self. metodo = metodo
self.x0 = np.zeros (self.A. shape [0])
self.eps = 1.e -8
def iteracion (self):
self.k=0
M,c = self. metodo (self.A,self.b)
x0 = self.x0
x = np. ones_like (x0)
while np. linalg .norm(x-x0) > self.eps*np. linalg .norm(
x0):
x0 = x.copy ()
x = np.dot(M,x0) + c
self.k += 1
return x
Podemos ver que la clase Resolucion tiene dos métodos: el constructor,
que realiza la inicialización de datos y el método iteracion que lleva a cabo
las iteraciones, de igual modo que antes. A diferencia del código anterior,
aquí no se imprime el número de iteraciones. Para ejecutar ahora el algoritmo
mediante la clase anterior escribiremos:
115
116
Tema 4
Programación Orientada a Objetos
>>> a = Resolucion (A,b)
>>> a. iteracion ()
array ([ 1., 2., -1., 1.])
Aunque no hemos impreso el número de iteraciones, lo podemos obtener
usando el atributo k:
>>> a.k
23
¿Cuál es la ventaja de usar la clase frente a la función? Obviamente, ambos
códigos hacen lo mismo, pero como vamos a ver a continuación, la clase es
mucho más flexible. Por ejemplo, si incluimos la función como parte de algún
otro código y ésta es ejecutada muchas veces, posiblemente hubiera sido más
conveniente no haber incluido la impresión del número de iteraciones pues
ahora nos ensuciará la salida del otro código. Por supuesto que podemos hacer
una versión de la función sin la impresión de las iteraciones, pero eso supone
tener que mantener varias versiones del mismo código. Cuando eso ocurre es
frecuente que, al cabo de un tiempo, el programador se encuentre perdido
entre tantas versiones.
Otra ventaja está en la facilidad para volver a correr el algoritmo con
distintos parámetros. Por ejemplo, para correr el método de Gauss-Seidel no
es necesario crear un nuevo objeto, nos bastaría con:
>>> a. metodo = seidel
>>> a. iteracion ()
array ([ 1., 2., -1.,
>>> a.k
10
1.])
Si quisiéramos cambiar el parámetro ε en la función, tendríamos que modificar
el código directamente. Ahora con la clase lo podemos modificar desde fuera:
>>> a.eps =1.e-4
>>> a. iteracion ()
array ([ 1.00000538 ,
>>> a.k
6
2.00000122 , -1.00000183 ,
0.99999931])
Por ejemplo podemos llevar a cabo una comparativa de precisión y número
de iteraciones en cada método:
>>> for m in [jacobi , seidel ]:
...
a. metodo =m
...
print a. metodo . __name__
...
for eps in [10** x for x in range (-2,-13,-2)]:
...
a.eps=eps
...
b=a. iteracion ()
...
print " Precisión : {0:2.0 e} --- Iteraciones : {1:3d}
". format (eps ,a.k)
...
4.3
Ejercicios
jacobi
Precisión :
Precisión :
Precisión :
Precisión :
Precisión :
Precisión :
seidel
Precisión :
Precisión :
Precisión :
Precisión :
Precisión :
Precisión :
117
1e -02
1e -04
1e -06
1e -08
1e -10
1e -12
-------------
Iteraciones :
Iteraciones :
Iteraciones :
Iteraciones :
Iteraciones :
Iteraciones :
7
12
18
23
28
34
1e -02
1e -04
1e -06
1e -08
1e -10
1e -12
-------------
Iteraciones :
Iteraciones :
Iteraciones :
Iteraciones :
Iteraciones :
Iteraciones :
3
6
8
10
11
13
Obviamente podríamos haber hecho algo similar con la función definiendo
oportunamente los parámetros de entrada para dotarla de más flexibilidad,
pero una vez más tendríamos que modificar el código de la misma. Éste es
precisamente el hecho que queremos resaltar en cuanto a la ventaja de usar
clases en lugar de funciones para la programación científica: si diseñamos
adecuadamente los atributos y métodos de la clase, disponemos de acceso
completo a los mismos, tanto para introducir como para extraer datos. No
sólo eso; además, las modificaciones que realicemos sobre la clase no tienen
por qué afectar al constructor, por lo que podemos seguir usándola del mismo
modo sin necesidad de mantener diversas versiones del mismo código.
4 3
EJERCICIOS
E.1
Redefine el constructor de la clase Bar de la sección 4.1 de manera que
al instanciar un nuevo objeto se imprima la información del objeto creado.
Por ejemplo, debería funcionar del siguiente modo:
>>> n1 = Node (0 ,0. ,1.)
>>> n2 = Node (1 ,1. ,2.)
>>> barra = Bar(n1 ,n2)
Se ha creado una barra de extremos (0.0 ,1.0) y (1.0 ,2.0)
E.2
Para la clase Truss de la sección 4.1, escribir un método para que
el comando print proporcione información sobre el número de nodos y el
número de barras de la estructura.
E.3
Define una clase que contenga dos métodos: getString con el que
obtener una cadena de texto introducida por teclado y printString que
imprima la cadena obtenida en mayúsculas, dejando un espacio de separación
entre cada letra. Debería funcionar del siguiente modo:
>>> a = InputOutString ()
118
Tema 4
Programación Orientada a Objetos
>>> a. getString ()
hola
>>> a. printString ()
H O L A