1. No category

Politecnico di Milano
Prontezza – Caratteristiche dinamiche
Torniamo al punto di partenza
Grandezza fisica
2
Segnale
Trasduttore
Analogico
Segnale
Segnale elettrico (V, I,…)
Digitale
Numero
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
1
Taratura statica
3
Grandezza
LINEARE
Lettura
Grandezza
NON LINEARE
Lettura
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Risposta dinamica ideale
4
Esprime la capacità di uno strumento a seguire e
misurare una grandezza variabile nel tempo.
comportamento ideale
y(t) = k x(t)
Grandezza
Lettura
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
2
Risposta dinamica reale
5
Esempio di comportamento reale
1,5
x(t)
y(t)/k
x(t),y(t)/k
1
0,5
0
0
1
2
3
tempo
-0,5
-1
-1,5
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Risposta dinamica ideale v.s. reale
6
idealmente: y(t) = k x(t)
in realtà: lo strumento insegue le variazioni della
grandezza da misurare (misurando), riproducendole
con un certo grado di approssimazione, che
dipende dalle sue caratteristiche dinamiche. In
generale il segnale viene amplificato (modulato in
ampiezza) e traslato sull’asse dei tempi (sfasato nel
tempo).
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
3
Risposta dinamica a segnali semplici
7
Sotto ipotesi che possiamo considerare sempre
verificate è possibile pensare che non sia
necessario studiare la risposta a tutti i possibili
segnali variabili nel tempo, ma che sia possibile
studiare la risposta a segnali “semplici” e che poi si
possa estrapolare da questa risposta quella per
segnali più complessi.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Risposta dinamica a segnali semplici
8
s = segnale
r = risposta
s
ssemplice
r
rsemplice
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
4
1
SIST
2
3
-1
0
2
SIST
1
2
3
SIST
1
2
3
Tempo [s]
SOMMA INGRESSI
2
3
4
1
2
3
4
2
3
Tempo [s]
4
0
-5
4
1
0
-2
0
5
4
0
-2
0
-0.5
0
2
4
0
0
Uscita 2
1
Uscita 1
0.5
0
-1
0
1
9
U1+U2
I1+I2
Ingresso 2 Ingresso 1
Prontezza e Trasformata di Fourier
0
1
SOMMA USCITE
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Prontezza e Trasformata di Fourier
10
Per ogni sinusoide che compone il segnale in ingresso:

Ao

Strumento di misura
Ai
TF (numero
complesso)

i
Ogni strumento di misura è caratterizzato da una Funzione di
Trasferimento che modifica l’ampiezza e la fase di ognuna delle sinusoidi
che compongono il segnale.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
5
Che cosa significa che lo strumento è
pronto?
11

Ao

Ai

x(t)
Amplificazione
Ritardo
Segnale originale
t
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Prontezza e Trasformata di Fourier
12
Caso di segnale semplicemente amplificato
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
6
Prontezza e Trasformata di Fourier
13
Caso di segnale semplicemente ritardato
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Funzione di trasferimento dello strumento
14
Modulo della FT:
stabilisce per ogni frequenza (cioè per
ogni sinusoide che compone il segnale)
il rapporto tra le ampiezze del segnale
di uscita e di ingresso.
Fase della FT:
stabilisce per ogni frequenza (cioè per
ogni sinusoide che compone il segnale)
lo sfasamento temporale introdotto tra il
segnale di ingresso e uscita.
Che limiti imponiamo a modulo e fase
affinché la Funzione di Trasferimento
non distorca il segnale?
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
7
Prontezza
15
L’obiettivo ideale sarebbe, dato un certo ingresso
sinusoidale qi, avere un’uscita qo pure sinusoidale, con un
fattore di amplificazione costante al variare della frequenza e
con sfasamento nullo (si vedrà poi che sulla fase è possibile
adottare regole meno restrittive).
qi
qo
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Quando uno strumento è pronto?
16
La funzione di trasferimento stima, per ciascuna delle
frequenze considerate, la trasformazione:


modulo (da Ai a Ao)
fase (che significa un ritardo nel tempo).
Nell’ottica di studiare le prestazioni di uno strumento, queste
modifiche sulle diverse armoniche (sinusoidi) che formano il
segnale di ingresso, devono essere tali per cui il segnale in
uscita, ottenuto come somma delle risposte ai singoli segnali
semplici in ingresso, abbia “lo stesso aspetto” di quello
ricevuto in ingresso, il che significa lo stesso segnale, al più
moltiplicato per una costante e traslato nel tempo.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
8
Quando uno strumento è pronto?
17
Lo strumento effettua correttamente queste operazioni solo
in una banda compresa tra due frequenze fmin ed fmax, la
banda in cui lo strumento è PRONTO. Tale banda prende il
nome di BANDA PASSANTE dello strumento di misura.
Si definisce banda passante di uno strumento di misura il
campo di frequenze (f1 , f2) entro cui il segnale non risulta
distorto, cioè:
 il modulo della risposta in frequenza si mantiene
costante entro una specificata tolleranza;
 la fase é nulla entro una specificata tolleranza.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Quando uno strumento è pronto?
Criterio di progetto:
la banda di interesse del fenomeno oggetto della misura
deve essere interamente contenuta nella banda passante
dello strumento:
f1  fmin  fmax  f2
Caso ideale
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
9
Quando uno strumento è pronto?
19
In realtà la condizione è meno stringente. E’ emerso come
uno strumento si possa dire pronto quando non distorce il
segnale di ingresso.
Un segnale non viene distorto quando tutte le armoniche in
esso presenti vengono moltiplicate per un fattore (modulo
della funzione di trasferimento armonica) costante e lo
sfasamento delle armoniche in uscita, rispetto a quelle del
segnale di ingresso, è pari a:

0°
 180°
 proporzionale all’ordine dell’armonica
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Funzione di trasferimento di uno strumento
pronto
20
modulo
fase
n=0
n=
n=n 1
f1  fmin  fmax  f2
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
10
Funzione di trasferimento di uno strumento
pronto
21
Mentre sono ovvie le considerazioni sul modulo e le prime due sulla
fase, la terza merita qualche spiegazione:
n=n 1 =cost n
Si ha che 1/2=t1/T
(T periodo della 1a armonica)
Dunque n=n 1 = n t12/T= n t1 (1 = sfasamento della prima
armonica (fondamentale))
Allora, se qo è composto da più armoniche:
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
22
Funzione di trasferimento di uno strumento
pronto
Si dimostra che sfasamento proporzionale all’ordine
dell’armonica equivale ad un ritardo costante nel tempo
T=periodo prima armonica
Periodo n volte più
piccolo
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
11
Funzione di trasferimento di uno strumento
pronto
23
In definitiva: sfasamento proporzionale all’ordine
dell’armonica significa traslare l’asse dei tempi di t1
secondi; non si ha distorsione ma solo ritardo
t prima
armonica
=
t seconda
armonica
0.2
0.4
0.6
2
1
0
-1
-2
[s]
0
0.8
1
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Funzione di trasferimento di uno strumento
pronto
24
Queste considerazioni devono applicarsi a tutte le
sinusoidi nelle quali si deve pensare scomposto il
segnale di partenza: la valutazione della prontezza
dipende infatti sia dalle frequenze del segnale di
ingresso sia dalle prestazioni dello strumento
Per fortuna in campo ingegneristico non è richiesta
una riproduzione perfetta del segnale di partenza.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
12
Prontezza: esempi
25
Accelerometro
al quarzo
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Prontezza: esempi
26
Risposta in frequenza di un accelerometro al
quarzo
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
13
Prontezza: esempi
27
Risposta in frequenza di un accelerometro al
quarzo
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
28
Studio del
comportamento
dinamico degli
strumenti: due
possibilità
ANALITICA: è nota l’equazione
dello strumento (si tratta comunque
di un modello, di una
semplificazione, non è una
descrizione completa dello
strumento)
SPERIMENTALE: non è nota
l’equazione dello strumento o è
troppo complessa; è comunque la
via più sicura per eseguire una
TARATURA DINAMICA
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
14
29
Approccio analitico
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Studio del comportamento dinamico
30
 La scomposizione del segnale in sinusoidi (Fourier)
ben si presta a rappresentare segnali periodici.
 Nei sistemi lineari, nota la risposta a ciascuna
componente armonica, la risposta a somma di
armoniche è la somma delle risposte alle singole
componenti
 Un altro metodo per studiare i sistemi è studiare la
risposta ad ingressi semplici.
 Ad esempio la somma di impulsi è tendenzialmente più
adatta per la rappresentazione di transitori.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
15
Segnali semplici
31
Segnali semplici più comuni:
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Modello analitico
32
Studio analitico: presuppone la creazione di un modello
Se lo strumento è lineare l’equazione che lo descrive è
un’equazione differenziale a coefficienti costanti:
(1)
Ove:
qo = output
qi = input
t = tempo
a,b = coefficienti costanti
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
16
33
Modello analitico
Definendo per semplicità
si ha:
(2)
La soluzione di questa equazione è stata studiata in modo sistematico
con diversi metodi (ad es. la trasformata di Laplace).
Secondo l’approccio classico la soluzione è del tipo:
qo=qog+qop
qog = integrale generale dell’omogenea associata
qop = integrale particolare dell’equazione completa
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Modello analitico
34
qog ha n costanti iniziali che si ricavano imponendo
altrettante condizioni iniziali. E’ la soluzione della:
Ove l’operatore D è trattato come un’incognita algebrica. Il
metodo per trovare qog è universale.
qop è l’integrale particolare. Il metodo per ricavarlo non è
universale, dipende da qi. Si possono cercare dei valori di qi
tali per cui sia facile trovare q0p. Assegnato qi l’espressione a
destra dell’uguale in (1) è una f(t).
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
17
35
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Modello analitico
36
Si può derivare ripetutamente questa funzione. Se le
derivate non crescono in valore oltre un certo ordine si può
scrivere:
Ove A, B, C si ricavano imponendo che la (1) sia un’identità
(non contano le condizioni iniziali).
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
18
Funzione di Trasferimento (TF)
37
OUT
IN
TF
La TF che lega qo a qi è definita trattando l’equazione (2) come se fosse
una relazione algebrica e facendo il rapporto
Sottolinea che è una relazione generale e non riguarda solo un dato
istante
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Funzione di Trasferimento (TF)
IN
qi
38
OUT
qo
Questo è un discorso di validità generale.
Vale solo se l’impedenza di ingresso del blocco a valle è
>> dell’impedenza di uscita di ciò che sta a monte
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
19
Funzione di Trasferimento (TF)
39
La funzione di trasferimento può assumere espressioni
diverse a seconda delle tecniche di analisi impiegate per
ottenerla e valutarla.
Le due vie più percorse sono quelle della
TRASFORMATA DI LAPLACE più utilizzata in ambito
elettronico
TRASFORMATA DI FOURIER più utilizzata in ambito
meccanico, che vede, sotto ipotesi abbastanza larghe, ogni
segnale come somma di sinusoidi. Se vale quanto già detto
sulla linearità del sistema considerato, ci si può concentrare
sulla risposta alla singola sinusoide
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Funzione di trasferimento armonica
40
La funzione di ingresso (input) è del tipo: qi=Ai sint
Se si aspetta un tempo sufficiente (gli effetti del transitorio
svaniscono), anche qo è un’onda sinusoidale.
Cambia però l’ampiezza e ci può essere ritardo. La
risposta del sistema è proprio individuata da queste due
quantità.
Si può agire
a) Cercando la soluzione particolare dell’equazione dello
strumento ponendo
f
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
20
Funzione di trasferimento armonica
41
b) sfruttando la funzione di trasferimento in frequenza:
Per ogni pulsazione 
tipo
tale che:
è un numero complesso del
Con Ao=ampiezza output
Ai=ampiezza input
 è la fase tra i due segnali
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
42
Funzione di trasferimento di uno strumento
pronto
Spesso meno di 10 armoniche sono sufficienti.
Di conseguenza è necessario che lo strumento
si mostri pronto solo per queste armoniche.



© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
21
Riassumendo
43
Risposta ad un segnale periodico
Passando al dominio delle frequenze:
k=k
Il prodotto tra Qi(ik) e
dà Qo(ik)
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Riassumendo
44
Se si ripete per tutte le frequenze e si sommano i
Qo(ik) si ha lo spettro del segnale di uscita Qo(i)
Se lo strumento è pronto, qi(t) e qo(t) hanno all’incirca
la stessa forma.
Il fatto che i segnali reali siano di questo tipo
giustifica i discorsi sin qui fatti: se qi fosse composto
da una sola armonica basterebbe correggere le
distorsioni su quell’armonica senza necessità di uno
strumento pronto.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
22
Strumento di ordine 0
45
Sono descritti da una equazione del tipo:
aoqo=boqi
dove a0 e b0 sono costanti
Poiché l’equazione è algebrica è chiaro che, indipendentemente da
come varia qi, qo, lo seguirà perfettamente senza distorsione o ritardo di
fase.
E’ lo strumento con la risposta ideale.
Esempio: potenziometro che misura la posizione
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Esempio: Potenziometro
46
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
23
Esempio: Potenziometro
47
In realtà questo è un caso ideale. Per misurare, nell’esempio
visto, si inserisce un voltmetro che fa circolare corrente. Se
ci fosse una resistenza pura tutto andrebbe bene, ma se
appena il cursore si muove un po’ più in fretta, ci sono effetti
capacitivi ed induttivi che danno errori (viene modificato il
rapporto xi e0).
Inoltre il cursore avrà sempre una massa, dunque un’inerzia,
che impedisce l’impiego di un modello di strumento di ordine
zero. Tutte le volte che ci sono inerzie (cioè nella
maggioranza dei casi) questo modello viene messo in crisi.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
48
Come si capisce se uno strumento ha
caratteristiche adeguate al segnale da
misurare?
Si prova la risposta ad un segnale semplice, ad
es. il gradino (ideale), e se ne registra la
risposta.
La risposta può essere senza o con oscillazioni.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
24
Strumento del primo ordine
49
Sono descritti da una equazione del tipo:
Ci sono tre parametri fondamentali, ossia a1, a0, b0, ma solo 2 sono
essenziali.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del primo ordine
50
Il problema della determinazione del comportamento dello
strumento si riduce ad una identificazione di parametri, ossia
k e 
k = sensibilità statica: è l’output per unità di input in
condizioni statiche (derivate tutte nulle)
 = costante di tempo
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
25
Esempio: termometro a liquido
51
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Esempio: termometro a liquido
52
s(t) = temperatura del fluido termometrico (funzione del
tempo)
(t)= temperatura del liquido (funzione del tempo, uniforme
in tutto l’ambiente di misura)
kS = coefficiente di trasmissione del calore fra liquido e fluido
termometrico (non ha niente a che vedere con la sensibilità
statica appena definita).
Si trascurano le variazioni di energia cinetica della massa di
liquido in moto nel capillare, quelle di energia potenziale, gli
effetti della capillarità, della viscosità..
Q = calore scambiato tra liquido e fluido
A=superficie interessata allo scambio di calore
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
26
Esempio: termometro a liquido
53
Calore entrante nel termometro:
c = calore specifico
m = massa di liquido nel termometro
dQ =mcds il calore entrante nel termometro ne innalza la temperatura
Se si pone s = qo e  = qi si ritrova la forma generale già scritta
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Esempio: termometro a liquido
54
Purché sia:
La funzione di trasferimento è la seguente:
Lo studio di tale funzione nei vari casi di segnale semplice verrà illustrato nel
seguito.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
27
Esempio: termometro a liquido
55
Il fatto che il termometro sia considerato uno
strumento del primo ordine è subordinato al modello
scelto, che a sua volta è fissato sulla base dell’utilità
del modello stesso.
In dipendenza da particolari esigenze è possibile
pensare al termometro come ad uno strumento del
secondo ordine.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del primo ordine: risposta al
gradino
56
All’inizio: qi=qo=0. Istante t=0: qi cresce istantaneamente di una quantità
qis (il termometro viene posto in un ambiente diverso da quello in cui si
trovava).
La costante di tempo  è il parametro fondamentale degli strumenti del
primo ordine.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
28
Strumento del primo ordine: risposta al
gradino
57

Condizioni iniziali: qo=0 per t=0+

Integrale generale qog=Ce-t/

All’inizio: qi=qo=0.

Istante t=0: qi cresce istantaneamente di una quantità qis (il termometro
viene posto in un ambiente diverso da quello in cui si trovava)

Integrale particolare qop=k qis
Applicando le condizioni iniziali:
qo= Ce-t/+ k qis
qo= k qis (1-e-t/)
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
58
Esempio: risposta al gradino del
termometro a liquido
Nel caso visto del termometro:
s= 0 (1-e-t/)
0 è il valore del gradino di temperatura
s/ 0 è la risposta al gradino unitario (AMMETTENZA
INDICIALE)
La risposta al gradino si può adimensionalizzare giungendo
alla forma generale :
Questo fatto è del tutto generale e vale per qualsiasi
terna di valori k, qis, 
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
29
Forme adimensionalizzate della FT al
gradino
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
em = scostamento tra
input e output
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0
59
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
La costante di tempo 
60
 dimensionalmente è un tempo.
Si stabilisce un certo errore percentuale al di sotto del quale si può
assumere che il gradino sia stato raggiunto.
Il tempo di risposta è allora quello oltre il quale la valore della grandezza
e misura restituita dallo strumento differiscono meno di un errore
prefissato.
Ad esempio, per t=, l’errore è 1/e (circa il 30%); se t=2, l’errore è 1/e2
(circa il 15%)
uno strumento pronto ha
 basso
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
30
Strumento del primo ordine: risposta in
frequenza
61
La definizione di risposta in frequenza era:
L’equazione di strumento del primo ordine è:
Allora sarà, a regime e con qi armonica:
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del primo ordine: risposta in
frequenza
62
Modulo della funzione di trasferimento:
Fase della funzione di trasferimento:
Uno strumento del primo ordine si avvicina alla perfezione se ha la
risposta ideale dello strumento di ordine 0. Questo succede se  è
piccolo, ossia, fissato , esiste una  di output sotto la quale la misura è
corretta. In alternativa se si deve misurare una qi con  alta lo strumento
deve avere  bassa.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
31
Forme adimensionalizzate della FT in
frequenza
63
Anche in questo caso è possibile la scrittura in forma
adimensionalizzata della risposta in frequenza di uno strumento del
primo ordine come segue.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Le stesse conclusioni si deducono se la
grandezza da misurare varia armonicamente
Adimensionalizzazione per
rendere le grandezze omogenee
IN
0.8
0.6
0.4
0.2
0
OK!!
OUT
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
-20
-40
-60
-80
-100
10
64
10
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
32
Forme adimensionalizzate della FT in
frequenza
65
ATTENZIONE: gli assi sono resi adimensionali, in modo
che la stessa curva sia valida per tutti gli strumenti di del
primo ordine, indipendentemente dai valori di k e .
Nel passaggio, ad esempio per l’asse delle ascisse da 
a , è come se, in funzione del scelto, si comprimesse o
si estendesse l’asse delle ascisse: più  è piccolo, più 
risulta grande, in corrispondenza del medesimo punto
sulle curve di risposta
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Altra possibilità di rapresentazione della funzione
di trasferimento è il diagramma di Nyquist
(diagramma polare in modulo e fase)
120
90 1
0.8
60
0.6
0.4
150
30
0.2
180
0
210
330
240
300
270
66
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
33
67
Esempio 1: risposta in frequenza di un
generico strumento del primo ordine
=0.2 s
Segnale di ingresso: qi=sin(2t)+0.3 sin(20t)
Il sistema è lineare e quindi vale il principio di sovrapposizione degli
effetti.
qo=1(0.93k)sin(2t-21.8°)+0.3(0.24k)sin(20t-76°)
qo/k=0.93 sin(2t-21.8°)+0.072 sin(20t-76°)
La situazione ideale sarebbe qo/k=qi, dunque nel caso in esame vi è
una forte distorsione
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
68
Esempio 1: risposta in frequenza di un
generico strumento del primo ordine
1
TF Modulo
2
0.8
1
0.6
0
0.4

0.2
0
0
4
8
12
16
-1
0
2
4
6
8
10
4
6
8
10
qo/k
2
1
-20
-40
0
-60
-1
-80
t
-2
20
TF Fase
qi

0
4
8
12
16
20
t
-2
0
2
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
34
69
Esempio 2: risposta in frequenza di un
generico strumento del primo ordine
Se invece fosse stato  = 0.002 s
qo/k=1.00 sin(2t-0.23°)+0.3 sin(20t-2.3°)
In questo caso lo strumento è molto pronto
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
70
Esempio 2: risposta in frequenza di un
generico strumento del primo ordine
TF Modulo
1
0.8
1
0.6
0.4
0
0.2
-1
0
qi
2
0
10
20
30
40
50
-2
0
TF Fase
0
2
-20
1
-40
4
6
8
10
4
6
8
10
qo/k
0
-60
-1
-80
0
2
10
20
30
40
50
-2
0
2
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
35
71
Esempio 3: dipendenza della costante di
tempo  dai parametri costruttivi del
termometro a liquido
Tornando all’esempio del termometro si è visto come sia
seguendo la via della risposta al gradino, sia quella della
risposta in frequenza, si sia giunti a dire che lo strumento
pronto ha  piccola.
Nel caso del termometro:
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
72
Esempio 3
c = il calore specifico, una volta scelto il materiale è
costante.
k = coefficiente di scambio termico: dipende
dall’ambiente. Per alterarlo si dovrebbe, ad esempio,
creare dei moti convettivi.
Si può agire su m/A. In generale
Termometri piccoli sono intrinsecamente più pronti
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
36
Strumento del primo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - RAMPA
73
RAMPA
qi=
qo=0
.
qist
se t<0
se t0
Quindi:
La soluzione è:
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del primo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - RAMPA
74
L’errore di misura è:
em,t
TRANSITORIO
em,ss
REGIME
em,t riguarda il transitorio; sparisce in fretta se  è piccola
em,ss riguarda il regime;  piccola migliora la situazione
Lo strumento “legge” l’input di  secondi prima (ritardo)
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
37
Strumento del primo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - RAMPA
qi
75
em/em,ss
1
0.8
0.6
t
.
qi
0.4
0.2
.
qis
0
0
1
2
3
t/
t
qi
5
4
qo/k
 ritardo
. a regime
em,ss=
t
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del primo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - IMPULSO
76
IMPULSO
Impulso di “intensità”
Durata infinitesima picco infinitamente alto, area pari ad A.
Se A=1
=1
p(t)
A=costante
A/T
L’impulso si può considerare come
successione di due gradini
t
T
qi
qi
A/T
qo 2A/T
T
t
qo
T/2
t
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
38
77
Strumento del primo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - IMPULSO
Per 0 < t  T
E’ come uno scalino
Per t > T
La soluzione è, per T
0
Matematicamente anche qo si porta dal valore 0 ad un
valore finito in un tempo infinitesimo; questo è possibile
solo con un trasferimento infinito di energia (impulso
matematico). La realtà fisica è ben diversa.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del primo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - IMPULSO
78
Se però la durata dell’impulso è sufficientemente piccola
(in relazione al tempo di risposta del sistema) il sistema
risponde in maniera simile ad un vero impulso.
ESEMPIO
A=1
T=0.01t
0tT
qo=
Tt
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
39
Strumento del primo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - IMPULSO
79
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.98
0.96
0.94
0.92
0.9 0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Risposta al gradino con oscillazioni
2 ordine
80
T
f=1/T
n=2f
h=r/rc
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
40
81
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
82
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
41
83
Strumento del secondo ordine
Parametri fondamentali:
Sensibilità statica
Pulsazione propria
Frequenza propria
Parametro adimensionale di smorzamento
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
84
Strumento del secondo ordine
Dall’equazione:
Si arriva a:
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
42
85
Esempio: bilancia
(MD2+BD+Ks)xo=fi
M
FT
x0
fi
Ks
B
con
Per smorzamenti subcritici:
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Esempio: Galvanometro
86
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
43
Esempio: Galvanometro
87
INDICE SU
SCALA
GRADUATA
MOLLE TORSIONALI
ANTAGONISTE
N
S
BOBINA MOBILE
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Esempio: Galvanometro
88
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO:
Bobina percorsa dalla corrente I
Forza sul filo F = B L I
F
I
B
F
S
S
I
N
N
F
I
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
44
Esempio: Galvanometro
89
F
I
S
N
BOBINA PERCORSA DA I
FORZA SU FILO
F=BLI
COPPIA SU FILO
T1’ = F D/2 = B L D I / 2
COPPIA SU SPIRA
T 1 = 2 T 1’ = B L D I
COPPIA SU N SPIRE
TN = N B L D I
COPPIA RESISTENTE
TM = k 
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Esempio: Galvanometro
90
CASO STATICO:
EQUILIBRIO MECCANICO: TN = TM
da cui
= ( N B L D / k ) I = k’ I
POSIZIONE INDICE:
SENSIBILITA’:
I
Strumento lineare
k’ = N B L D / k
OBIETTIVO: sensibilità k’ ALTA per misurare I basse
SENSIBILITA’ k’ 
- k  MOLLA CEDEVOLE
- N, L, D BOBINA GRANDE
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
45
Esempio: Galvanometro
91
CASO DINAMICO:
N.B. c’è l’inerzia della spira e vi sono forze smorzanti
anche per stabilizzare l’indice su una determinata
posizione della scala riducendo i transitori.
L’equilibrio meccanico alla rotazione si scrive allora come
..
.
J+r+k=TN=k’i(t)
J = momento di inerzia dell’equipaggio mobile del
galvanometro attorno al suo asse di rotazione
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Esempio: Galvanometro
..
92
.
J+r+k=TN=k’i(t)
r = smorzamento del sistema assunto di tipo viscoso (in tale
termine si può far rientrare la f.c.e.m.: dalla legge di Lenz
e=-d/dt
k = costante elastica della molla di richiamo
q = rotazione dell’equipaggio mobile del galvanometro (qo)
i(t) = corrente che percorre le spire della bobina
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
46
Strumento del secondo ordine: risposta a
segnale semplice: gradino
93
GRADINO
Se il gradino ha ampiezza qis si ha:
Condizioni iniziali:
qo=0
t=0+
dqo/dt=0
t=0 +
La soluzione è diversa nei tre casi in cui lo
smorzamento è maggiore, uguale o minore dello
smorzamento critico.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del secondo ordine: risposta a
segnale semplice: gradino
94
La figura illustra, in forma adimesionalizzata, la risposta al
gradino dello strumento del secondo ordine
T
f=1/T
n=2f h=r/rc
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
47
La pulsazione propria
95
La pulsazione propria del sistema è quella alla
quale naturalmente oscilla il sistema, una volta
perturbato e lasciato proseguire in moto libero,
senza alcun’altra perturbazione esterna.
Interpretazioni più interessanti vengono da
valutazioni nel dominio delle frequenze.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
La pulsazione propria
96
n è un’indicazione diretta della velocità della
risposta: dato h, raddoppiare n significa
dimezzare il tempo con il quale si raggiunge un
determinato punto della curva.
L’effetto di h è evidente: un incremento nel valore
di h riduce l’oscillazione, ma rallenta la risposta
dello strumento nel senso che il primo
attraversamento del valore finale è ritardato.
Si dice sovraelongazione o sorpasso il rapporto
tra la massima ampiezza di oscillazione attorno al
valore di regime ed il valore di regime stesso.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
48
Esempio: Galvanometro
97
Se consideriamo a regime il sistema quando l’oscillazione si mantiene in
una banda di ±10% del valore finale, il valore ottimale di h è 0.6
settling time : tempo, dopo il gradino, impiegato dallo strumento per
raggiungere una fascia di tolleranza attorno al valore di regime senza
più uscirne.
Se però si desidera una banda di ± 5%, h tra 0.7 e 0.8 è ottimale.
Definizione di settling time
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
98
Strumento del secondo ordine: risposta in
frequenza
La funzione di trasferimento sinusoidale è:
Oppure
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
49
Strumento del secondo ordine: risposta in
frequenza
99
Anche in questo caso si può studiare la risposta ad un segnale armonico
h=0
OK!!
OUT
IN
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del secondo ordine: risposta in
frequenza
100
 Si ricorda che lo strumento è pronto, ossia non distorce il segnale
in ingresso qi, se il modulo della funzione di trasferimento è
costante per tutte le armoniche e se la fase è 0°, 180° o
proporzionale all’ordine dell’armonica.
 Questo accade per valori di  (grandezza) <<n. Ovviamente, se
n cresce, lo strumento sarà pronto per w maggiori. Per misurare
alte frequenze in qi, occorrono strumenti con alte n.
 Solitamente privilegiare le caratteristiche dinamiche deprime la
sensibilità e viceversa.
 Nel caso del galvanometro, poiché
, occorrerà un
basso J e una k elevata. Un limite sul valore di k viene però dalla
sensibilità, penalizzata da alti k.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
50
Strumento del secondo ordine: risposta in
frequenza
101
 h si può sfruttarlo per
allargare la zona in cui lo
strumento è pronto.
 Se h0.7 la curva del
modulo della funzione di
trasferimento parte con
tangente orizzontale e si
mantiene circa costante
fino in prossimità della
risonanza.
 La fase è proporzionale
all’ordine dell’armonica.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del secondo ordine: risposta in
frequenza
102
Effetto smorzamento
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
51
Strumento del secondo ordine: risposta in
frequenza
103
Effetto smorzamento
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del secondo ordine: risposta in
frequenza
104
Effetto smorzamento
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
52
Strumento del secondo ordine: risposta in
frequenza
105
Effetto smorzamento
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Nyquist: secondo ordine
Anche in questo caso è possiile esprimere la
funzione di trasferimento per mezzo del
diagramma di Nyquist.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
53
Strumento del secondo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - RAMPA
107
RAMPA
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Strumento del secondo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - RAMPA
108
RAMPA fino ad un regime
Si analizza la risposta a
questo segnale perché è il
più vicino al gradino reale.
Infatti strumenti con alta wn e
basso h (tipicamente quelli al
quarzo) sembrerebbero
rispondere molto male al
gradino ideale, mentre invece
hanno un ottimo
comportamento.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
54
Strumento del secondo ordine: risposta ad altri
segnali semplici – RAMPA
109
Risposta al gradino di sistemi
poco smorzati
Rampa fino ad un regime
Confronto input-output nel caso
di rampa fino ad un regime
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
110
Strumento del secondo ordine: risposta ad altri
segnali semplici – IMPULSO
IMPULSO
Condizioni iniziali: t=0+
Da dove viene?
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
55
Strumento del secondo ordine: risposta ad altri
segnali semplici - IMPULSO
111
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
112
Determinazione
Sperimentale
della Prontezza
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
56
Taratura dinamica
113
I step: Identificazione (t, n, h)
II step: Taratura per confronto
(riferibilità)
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica
114
Si studia la risposta degli strumenti ad ingressi
semplici.
Tali ingressi semplici sono quelli già citati, ossia
l’impulso, il gradino, la rampa, la sinusoide…
La scelta del tipo di segnale da impiegare è dettata
per lo più dalla comodità e dalla semplicità
operativa: talvolta si è impossibilitati a fornire certi
segnali semplici (ad es. l’impulso) perché
potrebbero danneggiare lo strumento.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
57
Taratura dinamica
115
Va inoltre ricordato che per certi segnali, ossia
impulso e rampa, la situazione reale è sempre
diversa da quella ideale: sarebbe infatti richiesta
energia infinita per poter fornire un impulso o un
gradino ideali.
Dal momento che sin qui si è privilegiata l’analisi
armonica, si fornisce qualche elemento in più sui
citati segnali semplici
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Nota bene
116
Alcune delle tecniche presentate sono tecniche che lo
studio dinamico dei sistemi di misura condivide con
l’analisi dei sistemi in genere. Spesso le stesse tecniche
vengono impiegate anche per l’analisi strutturale oppure
nelle comuni tecniche di analisi modale, tipiche
dell’ambito meccanico.
Lo strumento di misura è semplicemente un particolare
sistema elettromeccanico, quindi, nel seguito, per
maggiore chiarezza sulla validità dei metodi, si farà
ricorso indifferentemente ad esempi relativi ai sistemi di
misura o anche a sistemi in senso più generale.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
58
Taratura dinamica: sinusoide
117
Sinusoide: tutta l’energia a disposizione viene fornita ad una sola
frequenza.
1
0.5
0
-0.5
-1
0.058
0.062
0.066
0.07
0.074
0.078 s
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
Hz
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: sinusoide
118
Valutare la risposta in frequenza significa dunque in questo caso fornire
un ingresso sinusoidale di ampiezza nota e frequenza variabile pure nota
e costruire per punti la funzione di trasferimento armonica
0.8
TF
Mod
0.6
0.4
0.2
Hz
0
40
80
120
160
200
200
TF
Pha
100
Hz
0
40
80
120
160
200
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
59
Taratura dinamica: sinusoide
119
Valutare la risposta in frequenza significa dunque in
questo caso fornire un ingresso sinusoidale di ampiezza
nota e frequenza variabile pure nota e costruire per punti
la funzione di trasferimento armonica
0.8
Diverse prove
TF Mod
0.6
0.4
0.2
0
Hz
40
80
120
160
200
200
100
TF Pha
0
40
80
Hz
120
160
200
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura accelerometri
riferimento
120
Accelerometro da tarare
????
Eccitatore
elettrodinamico
(altoparlante)
a) Ho un riferimento, accelerometro
già tarato (back-to-back)
X,f
b) So ampiezza di spostamento e
frequenza, quindi so l’accelerazione
X
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
60
Taratura accelerometri
spostamento
Mi interessa
l’ampiezza del vettore
rotante
velocità
accelerazione
121
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Centro SIT accelerazioni
122
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
61
Attenzione al sistema in esame…
vibrometro
123
vibrometro
x
x
m
m
k
r
r
k
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
La prova Stepped Sine
124
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
62
La prova Stepped Sine
125
Il metodo che impiega ingressi sinusoidali è
dispendioso in termini di tempo: bisogna ripetere
la stessa prova per un gran numero di volte.
Ci si domanda se esistono metodi più “furbi” e
veloci.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: impulso ideale
126
Impulso ideale: l’energia viene ripartita in UGUALE MANIERA su
tutte le frequenze da f=0 a f=+. Ovviamente l’energia distribuita
su ciascuna frequenza è minore rispetto al caso della sinusoide
1
0.8
Storia temporale
0.6
0.4
0.2
0 0 0.020.040.060.08 0.1 0.120.140.160.180.2
-3
s
x 10
4
1.5
Spettro
2
0.50
500
1000 1500 2000 2500 3000 Hz
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
63
Taratura dinamica: impulso ideale
127
L’impulso ideale ha un grosso pregio: consente infatti di
valutare molto rapidamente la risposta in frequenza
consentendo in breve tempo di sondare il comportamento
dello strumento in un ampio campo di frequenze.
Teoricamente poi, siccome l’energia in ingresso è
equamente ripartita su tutte le frequenze, sarebbe in teoria
possibile valutare la prontezza dello strumento
semplicemente guardando la risposta, senza la necessità di
valutare la funzione di trasferimento.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: impulso ideale
128
Perché la prova abbia un senso è necessario
mediare più risposte all’impulso, in modo da
mantenere la parte deterministica di segnale
abbattendo il rumore aleatorio.
Un limite all’impiego dell’impulso è la bassa energia
fornita in corrispondenza di ciascuna frequenza
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
64
Taratura dinamica: impulso ideale
129
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Risposta al gradino
130
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
65
Risposta al gradino
131
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Risposta al gradino
132
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
66
Impulso
133
Sono forniti i diagrammi relativi a due impulsi reali, uno
elettrico ed uno meccanico, prodotto da un martello
dotato di testa in grado di misurare la forza scambiata tra
martello e struttura (martello dinamometrico)
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: impulso ideale
vs.impulso reale
Impulso elettrico: eccitazione nella banda
134
0-2000 Hz
1.5
Storia temporale
1
0.5
0
-0.5
0
0.01
0.04
0.08
0.12
0.16
1500
2000
s
0.2
Spettro
0.005
0
0
500
1000
2500 Hz
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
67
Taratura dinamica: impulso reale
135
Impulso reale: martello dinamometrico
80
60
40
20
0
-20
0
s
100 200 300 400 500 600 700 800
0.4
0.02
0.3
0.015
0.2
0.01
Hz
0.1
0
0
0.005
100 200 300 400 500 600 700
0
Hz
0
500 1000 1500 2000 2500 3000
Effetto del diverso tipo di punta sulla banda passante
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Torniamo all’impulso; utilizzo della risposta
all’impulso
Ad esempio, per ricavare la frequenza di
risonanza di alcuni accelerometri viene loro
fornito un impulso elettrico una lasciandoli
“appesi” per il cavo di alimentazione
INPUT
Zona in cui
viene fornita
energia
f
OUTPUT
Zona priva di
significato
(MANCA IN)
f
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
68
Taratura dinamica: rumore bianco
137
L’impulso ideale tuttavia non è il solo tipo di segnale a
presentare uno spettro con ampiezza costante al variare
della frequenza; un altro segnale con questo spettro (e
quindi con gli stessi pregi) è il rumore bianco, ossia un
segnale assolutamente casuale: in un determinato istante t
non è possibile fare alcuna previsione sull’andamento del
segnale all’istante t +t.
Tuttavia è necessario mediare più spettri di rumore per
avere realmente uno spettro “piatto” al variare della
frequenza.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: rumore bianco
138
0.5
Storia
temporale
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5s
0.04
Spettro
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40
60
80
100
Hz
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
69
Taratura dinamica: rumore bianco
139
Rumore bianco: effetto di 128 medie
0.04
1 spettro
0.03
0.02
0.01
0
s
0
20
40
60
80
100
0.04
128 medie
0.03
0.02
0.01
0
0
Hz
20
40
60
80
100
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: rumore bianco
140
Il caso reale però è diverso, in quanto mentre è possibile
realizzare qualcosa di simile ad un rumore bianco almeno in
una certa banda di frequenze, più difficile è produrre un
impulso che si avvicini al reale: le strutture reali si
comportano da “filtro” cancellando di fatto i contributi a più
alta frequenza
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
70
Ancora sulla taratura degli accelerometri
riferimento
Accelerometro da tarare
Effetto di TF
del tavolo (a
meno di non
chiudere
l’anello di
controllo sul
valore di
vibrazione
alla tavola)
Eccitatore
elettrodinamico
(altoparlante)
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: rumore bianco
142
Certi tipi di eccitazione naturale sono adatti per fornire
l’ingresso della funzione di trasferimento, in quanto, a patto
di mediare abbastanza a lungo, sono in grado di eccitare la
struttura su bande in frequenza all’incirca note e comunque
misurabili.
Es. vento
Ampiezza
Frequenza
0.1
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
71
Scala Grande capannone
143
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
LA STESSA SCALA ECCITAZIONE
IMPULSIVA
144
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
72
Spectrum
FRF
145
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
FRF Ampl
FRF Phase
146
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
73
Secondo piano
4s
x
4dx
3s
x
2s
x
2dx
1s
x
1dx
147
Primo piano
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: sweep
148
Altro tipico segnale utilizzato nella realtà è il cosiddetto sweep in
frequenza, ossia un segnale sinusoidale ad ampiezza costante e
frequenza variabile con velocità scelta dall’operatore.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
tempo
0
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2s
frequenza
500
1000
1500
2000
2500
Hz
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
74
Taratura dinamica: sweep
149
SWEEP (tentativo di accelerazione della durata)
Il problema è rimanere un tempo sufficiente a
ciascuna frequenza per effettuare la misura:
bisogna trovare un modo per salvare istante per
istante la sola riga di interesse. Si utilizzano al tal
fine i filtri ad inseguimento del segnale (TRACKING
FILTER)
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Tracking filter
150
f>
f
Viene “inseguito” il valore della frequenza data
dall’oscillatore e, di tutta la TF, priva di senso in
tutti i punti tranne quello alla frequenza
dell’eccitazione, viene conservato solo
quest’ultimo. Il valore viene riaggiornato solo se il
segnale dell’eccitazione “ripassa” per quel valore
di frequenza.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
75
Determinazione del parametro 
151
Si tratta dunque di un problema di identificazione di
parametri. Si applica un ingresso a gradino e t è il tempo
impiegato per raggiungere il 63.2% del valore finale.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
Problemi: incertezza nella determinazione di t=0; nessun
controllo sul fatto che lo strumento sia davvero del primo
ordine.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Determinazione del parametro 
152
Per semplificare l’identificazione da un punto di vista sperimentale:
Si definisce
Dunque
PENDENZA
Il vantaggio di questo modo di procedere è che il cambiamento di
variabile porta i punti della risposta al gradino su di una linea retta. E’
dunque possibile utilizzare le routines di minimizzazione che riguardano
la retta (più semplici).
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
76
Determinazione del parametro 
153
Risposta al gradino
Passaggio ai logaritmi
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Determinazione del parametro 
154
Si procede in questo caso sfruttando tutti i punti campionati ed operando
un “best fitting”; il metodo del 63.2% sfrutta solo due punti ed è più
impreciso
Una procedura costosa, ma in genere sicura, è imporre ingressi
sinusoidali a frequenza variabile, registrando input ed output. Se il
sistema è proprio del primo ordine si avrà:
Ove t=1/break
(rappresentazione
con i logaritmi).
Deviazioni da questo
comportamento
indicano che lo
strumento non è del
primo ordine
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
77
Esempio di risposta dinamica: gradino per
un anemometro a coppe
v
155
Vento a regime e pale
bloccate con un filo;
Si taglia il filo e si studia
la risposta al gradino
Sia V0 la velocità a regime:
Ci si accorge che la risposta è tipica di uno
strumento del primo ordine:
- interessa ricavare 
- sono note le coppie di valori t-v
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Anemometro a coppe
156
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
78
157
Per semplificare l’identificazione da un punto di vista
sperimentale:
Si definisce
Dunque
Il vantaggio di questo modo di procedere è che il
cambiamento di variabile porta i punti della risposta al
gradino su di una linea retta. E’ dunque possibile utilizzare le
routines di minimizzazione che riguardano la retta (più
semplici).
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Primo ordine
158
Si pone
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
79
159
159
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
160
Con il procedimento di minimizzazione ai minimi
quadrati (fare per verifica che si sia capito) si
arriva a dimostrare che:
ossia è la media aritmetica dei  ottenuti
deterministicamente.
160
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
80
Determinazione dei parametri h e n
161
Anche in questo caso è possibile tracciare
per punti la risposta in frequenza ed
interpolare con le espressioni analitiche della
risposta, in questo caso, di uno strumento del
secondo ordine. L’identificazione di n e h
avviene così in modo automatico.
Esempi di identificazione di h e n: risposta al
gradino dopo un transitorio il moto è libero
smorzato
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Determinazione dei parametri h e n
162
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
81
Determinazione dei parametri h e n
163
Risposta al gradino dopo un transitorio il moto è libero smorzato
%overshoot
h
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Determinazione dei parametri h e n
164
Esempi di identificazione di h e n: risposta all’impulso
dopo un transitorio: smorzamento piccolo
INPUT
OUTPUT
E’ meglio lavorare su più cicli e non
su uno solo. Tuttavia, se h varia col
numero di cicli, il sistema non è
lineare.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
82
Determinazione dei parametri h e n
165
Un’ultima possibilità offerta dai metodi di
identificazione di parametri, sempre più diffusi e
potenti, è quella di interpolare (ai minimi quadrati) i
punti sperimentali con l’espressione che descrive il
comportamento nel tempo di uno strumento del
primo o del secondo ordine: il disegno della storia
temporale ricostruita sopra ai punti sperimentali è
indice della bontà dell’interpolazione e della scelta
del tipo di modello adottato per lo strumento.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Determinazione dei parametri h e n
166
Best fitting con equazione di un sistema vibrante ad un
grado di libertà
7
6
5
Misurata
4
Stimata
3
2
1
0295 300 305 310 315 320 325
Frequenza [Hz]
0
-0.5
Fase [rad]
Amplficazione
(Misure-Modello(f,h,Kst))2=min
-1
-1.5
Stimata
Misurata
-2
-2.5
-3
-3.5295 300 305 310 315 320 325
Frequenza [Hz]
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
83
Taratura dinamica: esempio
167
Trasduttore di pressione
Ai fini della prontezza conta sia il trasduttore che il tubo
che lo connette al punto di misura.
serb
trasd
1.5
[V]
1
Risposta al gradino
del trasduttore di
pressione
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
40
80
120
160
200
Time [ms]
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: esempio
168
Identificazione di parametri effettuata per mezzo di un ‘best
fitting’ dei punti acquisiti con la risposta teorica di uno
strumento del secondo ordine
Storia sperimentale
Ricostruzione
1.5
[V]
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Time [ms]
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
84
Taratura dinamica: esempio
169
Altro tipo di indagine:
stesso gradino a due trasduttori uno già tarato
dinamicamente e pronto per il campo di frequenze di
interesse.
trasd
serb
RIF.
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Taratura dinamica: esempio
170
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
85
Taratura dinamica: esempio
171
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
TRASDUTTORE DI PRESSIONE
Funzione di
trasferimento armonica
in galleria del vento
tras
d
serb
RIF.
172
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
86
TRASDUTTORE DI PRESSIONE
173
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
BANDIERINA SEGNAVENTO
174
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
87
BANDIERINA SEGNAVENTO
[V]
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
40
80 120 160 200
Time [ms]
175
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
BANDIERINA SEGNAVENTO
176
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
88
BANDIERINA SEGNAVENTO
177
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
BANDIERINA SEGNAVENTO
Dalla teoria delle lastre sottili:
178
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
89
BANDIERINA SEGNAVENTO
Forzante non lineare funzione di
Angolo vento
Moto bandierina
179
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
BANDIERINA SEGNAVENTO
Dopo linearizzazione:
Rigidezze e smorzamenti
equivalenti dovuti al vento
Forzante esterna (turbolenza)
Pulsazione propria
Smorzamento
180
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
90
BANDIERINA SEGNAVENTO
Taratura statica
volt
Angolo
(deg)
181
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
BANDIERINA SEGNAVENTO
Taratura dinamica
182
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
91
BANDIERINA SEGNAVENTO
Taratura dinamica
Hz
Hz
183
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
Prontezza: Osservazioni
Studio del
comportamento
dinamico degli
strumenti: due
possibilità
184
ANALITICA: è nota l’equazione
dello strumento (si tratta
comunque di un modello, di una
semplificazione, non è una
descrizione completa dello
strumento)
SPERIMENTALE: non è nota
l’equazione dello strumento o è
troppo complessa; è comunque
la via più sicura per eseguire una
TARATURA DINAMICA
© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada
92