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Analyse fonctionnelle et convexe
1.12
ENSAE
S´
eance du T.D. 2 : pr´
eparer les exercices 7,8,9,10,11,12.
Moiti´
e de la S´
eance de TD3 : pr´
eparer 13,14,15
Exercice 1.7
topologiques :
Dire si les espaces suivants, munis des familles d’ouverts sp´ecifi´ees, sont des espaces
i) Z (ensemble des entiers relatifs) muni de T = {∅} ∪ {n.Z, n ∈ N}, o`
u n.Z = {n.x, x ∈ Z}.
ii) Q (ensemble des rationnels) dont les ouverts sont : ∅, o`
u les unions (quelconques) d’intervalles
ouverts (finis ou non) de Q (on appelle ici intervalle ouvert de Q un ensemble de la forme {x ∈
Q, a < x < y} avec a, b dans Q).
Exercice 1.8
Trouver les topologies engendr´ees par :
i) χ = {[x, x + 1], x ∈ R} sur R.
ii) L’ensemble des intervalles ouverts sur R.
iii) {{0}, {0, 3, 5}, {5, 6, 7}} sur R.
Exercice 1.9
Soit A et B deux sous-ensembles d’un espace topologique (X, T ). Montrer :
i) A ∩ B ⊂ A ∩ B. A t-on l’inclusion r´eciproque ?
ii) A ∪ B = A ∪ B.
iii) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).
iv) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B). A t-on l’inclusion r´eciproque ?
v) Le compl´ementaire de A est l’int´erieur du compl´ementaire de A.
vi) Le compl´ementaire de int(A) est l’adh´erence du compl´ementaire de A.
Exercice 1.10 Difficile Montrer que dans les exemples de la proposition 1.3.1, les voisinages
introduits v´erifient bien les propri´et´es (i), (ii), (iii) et (iv) de la proposition. Montrer que dire qu’une
suite fn de fonctions de R dans R converge vers une fonction f de R dans R pour la topologie de la
convergence simple est ´equivalent `a dire que fn converge simplement vers f , ce qui signifie que pour
tout x ∈ R, fn (x) converge vers f (x). Montrer que dire qu’une suite fn de fonctions de R dans R
converge vers une fonction f de R dans R pour la topologie de la convergence uniforme est ´equivalent
`a dire que fn converge uniform´ement vers f sur R, ce qui signifie que supx∈R | fn (x) − f (x) | converge
vers 0.
!
Exercice 1.11 Difficile Soit X = {0, 1} muni de la topologie discr`ete. Soit E = +∞
i=1 Xi avec
Xi = X pour tout i.
i) On munit E de la topologie produit. Pour tout entier n, soit x(n) ∈ E dont les n premi`eres
coordonn´ees sont nulles, et les suivantes ´egales `a 1. Est-ce que la suite x(n) converge dans E muni
de la topologie produit (On rappelle que tout ouvert pour la topologie
!+∞ produit s’´ecrit comme une
union quelconque de pav´es, c’est `a dire d’ensembles de la forme i=1 Oi avec Oi ouvert de Xi , et
pour tout i sauf pour un nombre fini, Oi = Xi ).
!
ii) Maintenant, si on munit E de la topologie engendr´ee par les ouverts de la forme +∞
i=1 Ui avec
Ui ouvert de Xi , montrer que x(n) ne converge plus.
iii) Montrer que de toute suite y(n) d’´el´ements de E on peut extraire une sous-suite qui converge,
dans E muni de la topologie produit.
P. Bich
Espace topologique
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Exercice 1.12 Soit (X, T ) un espace topologique, et Y un sous-ensemble de X. Montrer que Y
(intersection des ferm´es contenant Y ) et l’ensemble des points d’adh´erence de Y (points x ∈ X tels
que tout voisinage de x rencontre Y ) co¨ıncident.
Exercice 1.13 Soit (X, T ) un espace topologique qui admet une base localement d´enombrable
de voisinages, ce qui signifie : pour tout x ∈ X, il existe une famille d´enombrable d´ecroissante (pour
l’inclusion) de voisinages Vi (i = 1, 2, ..., n, ...) de x avec : Pour tout voisinage V de x, il existe i ≥ 0
tel que Vi ⊂ V .
u Y ⊂ X, alors il existe une suite de points de Y qui converge vers y.
Montrer que si y ∈ Y , o`
Montrer qu’un ensemble Y est ferm´e si et seulement si toute suite convergente de points de Y
converge dans Y .
Exercice 1.14 Soit E un ensemble, et T l’ensemble contenant ∅ ainsi que tous les compl´ementaires
(dans E) des parties finies de E. Montrer que T est une topologie. Si on suppose que E est infini,
est-ce que E, muni de cette topologie, est s´epar´e ?
Exercice 1.15 Difficile On appelle topologie de Zariski sur C2 (respectivement sur C) la topologie dont les ouverts sont les compl´ements des vari´et´es alg´ebriques affines. Par d´efinition, une vari´et´e
alg´ebrique affine sur C2 (respectivement sur C) est de la forme {(x, y) ∈ C2 , Fi (x, y) = 0 ∀i ∈ I}
(respectivement {x ∈ C, Fi (x) = 0 ∀i ∈ I}), avec (Fi )i∈I famille (pas forc´ement finie) de polynˆomes
sur C2 (respectivement sur C). Montrez que cela d´efinit bien une topologie. Montrez que la topologie
de Zariski sur C2 ne co¨ıncide pas avec la topologie produit sur C × C, chaque ensemble C ´etant lui
mˆeme muni de la topologie de Zariski. (on pourra montrer que le compl´ementaire de la diagonale est
ouvert pour une topologie et pas pour l’autre, en utilisant que tout ouvert pour la topologie produit
s’´ecrit comme une union quelconque de pav´es.)