UE M´ ethodes Quantitatives 2 Partie 1 : Analyse Syllabus et fascicule de travaux dirig´es Chim`ene Fischler http://famille.fischler.free.fr/ L1 Economie-Gestion, 2014-2015 Universit´e Paris 8, Vincennes - Saint-Denis Contenu du module : Le cours de M´ethodes Quantitatives 2 comporte deux parties : Analyse et Statistiques. La partie d’Analyse est la suite de celle du cours de M´ethodes Quantitatives 1. Le plan du cours est le suivant : – Chapitre 1 : Optimisation des fonctions d’une variable. – Chapitre 2 : Fonctions de plusieurs variables. – Chapitre 3 : Comportements asymptotiques. – Chapitre 4 : Int´egrales. Evaluation : – Contrˆ ole continu (40% de la note finale) : un partiel fin mars 2015. – Contrˆ ole terminal (60% de la note finale) : un examen en mai 2015. Remarques importantes : 1. Les documents, notes de cours et mat´ eriels ´ electroniques (t´ el´ ephones portables, . . . ) sont INTERDITS aux examens ; 2. Les calculatrices sont interdites sauf aux ´ epreuves comportant des statistiques ; 3. L’assiduit´ e aux cours-TD est obligatoire, sauf dispense pour raisons professionnelles ´ etablie aupr` es du secr´ etariat ; 4. Les changements de groupe ne sont pas autoris´ es. Bibliographie indicative : – Analyse 1, exercices corrig´es avec rappels de cours, Jean-Pierre Lecoutre et Philippe Pilibossian, Dunod. – Analyse math´ ematique pour ´ economistes, Gabriel Archinard et Bernard Guerrien, Economica. – Math´ematiques pour ´economistes, Carl P. Simon et Lawrence Blume, De Boeck. 1 Feuille no 1 : Optimisation des fonctions d’une variable Exercice 1 - Trouver les extrema ´eventuels des fonctions suivantes, et d´eterminer la nature de chacun d’entre eux : (a) f (x) = x − x2 4 (b) g(x) = 0.5x4 − x2 + 1 (d) i(x) = xex (c) h(x) = (x − 1)2 (x + 1)3 (e) j(x) = x ln(x) Exercice 2 - D´emontrer que la fonction f : x 7→ |x| est convexe sur R. La fonction g : x 7→ est-elle convexe sur ]0, +∞[ ? 1 x Exercice 3 - Consid´erons la fonction f d´efinie par x f (x) = (x + 1)e 1+x . 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f ; ´etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e de f sur cet ensemble. 2. D´eterminer le comportement de f (x) quand x tend vers +∞, vers −∞, vers −1. 3. Tracer le tableau de variations de f . 4. Etudier la concavit´e ou la convexit´e de f . 5. Calculer l’´elasticit´e de f par rapport `a x, et sa valeur en x = 1. On rappelle que x l’´elasticit´e d’une fonction f (d´erivable et qui ne s’annule pas) est donn´ee par f (x) f 0 (x). 2 Feuille no 2 : Fonctions de plusieurs variables Exercice 1 - D´emontrer que la fonction f d´efinie par f (x1 , x2 , x3 ) = x21 1 + x22 + x23 tend vers +∞ quand (x1 , x2 , x3 ) → (0, 0, 0). Exercice 2 - Donner le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees partielles ∂2 ∂y 2 et ∂2 ∂x∂y ∂ ∂ ∂2 ∂x , ∂y , ∂x2 , des fonctions suivantes : 1. f (x, y) = xy ln(x). 2 2. g(x, y) = ex y . 3. h(x, y) = x2 +y 2 xy . Exercice 3 - Donner le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre au plus 2 de la fonction 2 ex3 f (x1 , x2 , x3 ) = 2 . x1 + x22 Exercice 4 - Calculer le gradient des fonctions suivantes : 1. f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x22 + x33 . 2. g(x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x22 x33 x44 . 2 3. h(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x2 ex1 + x3 ln(x4 ) . x5 Exercice 5 - Calculer la jacobienne de la fonction f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (ex1 x2 , x21 x23 , ln(x3 + x4 )). Exercice 6 - D´eterminer et discuter les points critiques de la fonction f (x, y) = x3 +y 3 −3xy. Exercice 7 - D´eterminer les extrema de la fonction f (x1 , x2 , x3 ) = x31 x3 + x32 − 3x1 x2 − 2x23 . 3 Feuille no 3 : Comportements asymptotiques Exercice 1 - D´emontrer que, lorsque x tend vers 0 : (a) x2 ln(x) = o(x); (b) sin(x) = O(x). Exercice 2 - Donner un ´equivalent simple de chacune des fonctions suivantes : (a) f (x) = 2x3 − 4x + 2 , x → +∞; x2 + 1 (b) g(x) = (c) h(x) = ex − 1, x → 0; p x2 − x + 1, x → +∞; (d) j(x) = x ln(1 + x), x → 0. Exercice 3 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Young en 0 de chacune des fonctions suivantes : (b) g(x) = cos(x2 ) `a l’ordre 3 ; (a) f (x) = sin(2x) ` a l’ordre 2 ; (c) h(x) = p x2 + 1 ` a l’ordre 2 ; (d) j(x) = 1 `a l’ordre 3. 2+x Exercice 4 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Lagrange de chacune des fonctions suivantes : (b) g(x) = e3x en 0, `a l’ordre 4 ; (a) f (x) = ln(x) en 1, ` a l’ordre 3 ; (c) h(x) = 3x + 2 en 0, `a l’ordre 2. 2x + 1 Exercice 5 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Lagrange de la fonction ex en 0 `a l’ordre 4, et en d´eduire une valeur approch´ee de e0,1 . 4 ´grales Feuille no 4 : Inte x x2 +5 Exercice 1 - D´eterminer des primitives des fonctions suivantes : 2 ; xex ; 2 √x . x3 +2 Exercice 2 - Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant (une ou plusieurs fois) la formule d’int´egration par parties : b Z Z n ln(x)x dx avec a, b > 0 et n entier, n ≥ 0; (a) e (b) a 1 Z 4 Z 2 x x e dx; (d) π/2 Z x sin(x)dx; (e) (c) 5 xex dx; 2 1 (f ) −π/2 −3 Z ln(x) dx; x2 ex sin(2x)dx. 0 Exercice 3 - Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant un changement de variables : 8 Z (a) 2 (ln(t))4 dt; t √ Z (d) 0 2/2 Z π/4 (b) Z tan(x)dx (on posera u = cos(x)); −π/6 (c) 2 t3 ln(t)dt; 1 Z x √ dx (on posera x = sin(t)); 1 − x2 (e) 0 1 dx (on posera x = tan(t)). 1 + x2 Exercice 4 - Soient x0 un nombre r´eel et n un entier. Calculer une primitive de la fonction 1 egal `a 1 ou pas, et si n´ecessaire selon le signe de x − x0 . (x−x0 )n , en distinguant selon que n est ´ R 1/2 1 1 1 1 En ´ecrivant que x2 −1 = 2 ( x−1 − x+1 ), en d´eduire la valeur de l’int´egrale suivante : 0 x2dx . −1 x efinie par Exercice 5 - Notons f la fonction d´efinie sur R par f (x) = 1+x 2 , et g celle d´ R R 3 1 1 x g(x) = 1+x2 . On pose I1 = 0 f (x)dx et I2 = 0 g(x)dx. Calculer I1 et I1 + I2 ; en d´eduire la valeur de I2 . Exercice 6 - Soit a un nombre r´eel tel que a < 3. 1. D´eterminer deux nombres r´eels p et q tels que t q =p+ . 3−t 3−t Ra t 2. En d´eduire la valeur de l’int´egrale 0 3−t dt. Ra 3. Calculer 0 ln(1 − 3t )dt en utilisant une int´egration par parties. Exercice 7 - Calculer l’int´egrale suivante : R1 −1 (2 5 + x)e−x dx. Exercice 8 - Etudier si les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes convergent ou non, et quand elles convergent donner leur valeur. Z +∞ x dx (a) 2+4 x 0 Z +∞ x sin(2x)dx (b) 0 +∞ Z (c) 2 te−t dt 0 Z +∞ (d) x2 e−x dx. 0 Exercice 9 - Etudier la convergence de chacune des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes, en pr´ecisant o` u se situe(nt) le(s) point(s) `a probl`eme. Mˆeme en cas de convergence, on ne demande pas de calculer la valeur de l’int´egrale. Z +∞ dt √ (a) t t2 + 2 1 Z +∞ sin2 t (b) dt t3 + 1 0 Z 1 sin t √ (c) dt t3 − t5 0 Z +∞ t3 (d) dt et − 1 0 Z +∞ √ t+1 √ dt (e) √ t + t5 0 6