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Devoir commun de Mathématiques no 4 - Classes de Terminale S
Sujet d’entraînement
Exercice 1
#»
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O; #»
ı , #»
 , k , on considère les plans P1 et P2 d’équations cartésiennes respectives −2x + y + z = 8 et 2x + 5y − z = −20.
1. a) Donner les coordonnées d’un vecteur n# » normal au plan P et d’un vecteur n# » normal au plan P .
ä
ph
ar
ed
esm
at
hs
.fr
ee
.fr
Ä
1
1
2
2
b) Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants.
2. On note D1 la droite d’intersection des plans P1 et P2 .
a) Justifier que le point A (−4; −2; 2) appartient à D1 .
Ö è
b) Montrer que le vecteur u#»1
1
0
2
est un vecteur directeur de la droite D1 .
3. Donner un système d’équations paramétriques de la droite D1 en notant t le paramètre.
4. On considère la droite D2 définie par le système d’équations paramétriques suivant :



x = 5
y=k
(k ∈ R)


z = −2 + k
Montrer que les droites D1 et D2 sont non coplanaires.
5. Soient H un point de la droite D1 et K un point de la droite D2 .
# »
a) Donner les coordonnées du vecteur HK en fonction des paramètres t et k.
b) Montrer que la droite (HK) est perpendiculaire à D1 si et seulement si 5t − 2k = 1.
c) De même, la droite (HK) est perpendiculaire à D2 si et seulement si t et k vérifient la condition at + bk = c
où a, b, c sont trois constantes réelles. Donner les valeurs de ces trois réels.
d) Pour quelles valeurs de t et k la droite (HK) est-elle perpendiculaire aux deux droites D1 et D2 ? Donner
alors les coordonnées de H et de K.
e) Cette perpendiculaire commune (HK) aux droites D1 et D2 permet de définir la distance entre les droites
D1 et D2 . Cette distance d est égale à la longueur HK. Donner la valeur exacte de d.
Exercice 2
Partie A
f est une fonction définie et dérivable sur R et f ′ désigne sa fonction dérivée.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal (O; #»
ı , #»
 ), on nomme C1 la courbe représentative de f et C2 celle de f ′ .
Le point A (0; 2) appartient à C1 et le point B (0; 1) appartient à C2 .
1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C1 de la fonction f .
Sur l’une d’entre elles, la courbe C2 est tracée convenablement. Laquelle ? Justifier le choix effectué.
C1
C1
C1
8
8
8
6
6
6
4
4
C2
4
C2
2
2
2
C2
−2
#»

2
4
O #»
ı
Situation 1
−2
−2
#»

2
4
O #»
ı
Situation 2
−2
−2
#»

2
4
O #»
ı
Situation 3
−2
2. Déterminer l’équation réduite de la droite ∆, tangente à la courbe C1 en A.
3. On sait que, pour tout réel x, f (x) = e−x + ax + b où a et b sont deux nombres réels.
Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l’énoncé puis prouver que a = 2.
4. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
5. Étudier les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variations complet sur R.
Partie B
Dans cette partie, les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Pour répondre à chacune d’elles, on tirera profit des résultats obtenus dnas la première partie.
1. a) Établir que : ∀x 6 0
ln(2 − 2x) + x = 0 ⇐⇒ f (x) = 3
ph
ar
ed
esm
at
hs
.fr
ee
.fr
b) En exploitant l’étude réalisée de la fonction f , démontrer que l’équation ln(2−2x) +x = 0 admet une unique
solution, notée β, dans l’intervalle ] − ∞; 0] puis déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de β.
2. Soit h la fonction définie sur R par h(x) =
Z
x
f (t) dt.
0
Justifier de manière claire et concise, sans effectuer aucun calcul et sans chercher à exprimer h(x) sous une
autre forme, que h est strictement croissante sur R. En déduire le tableau de signe de h(x) sur R.
Partie C
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = f (x) − (x + 2).
1. a) Montrer que la fonction g admet 0 comme minimum sur R.
b) En déduire la position de C1 par rapport à la droite ∆.
2. La figure no 1 représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe
C1 et de la droite ∆, comme l’indique la figure no 2.
F
5
G
Le contour du logo est le trapèze DEF G où :
• D et E ont respectivement pour coordonnées
(−2; 0) et (2; 0) ;
• F désigne le point d’abscisse 2 de la courbe C1 et
G le point d’abscisse (−2) de la courbe C2 .
La partie grisée du logo est la surface délimitée par
∆, C1 et les droites d’équations x = −2 et x = 2.
4
C1
3
∆
2
1
#»

D
E
1
2
#»
O
ı
figure no 1
figure no 2
Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en gris.
Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire de la partie grisée du logo puis en donner une valeur
approchée arrondie à 10−2 près.
−2
−1