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TD 21 - Statique des fluides
1. Résolution de problèmes : Masse de diazote En utilisant le modèle de l’atmosphère isotherme, évaluer l’ordre
de grandeur de la masse de diazote contenue dans l’atmosphère terrestre.
2. Résolution de problèmes : Lévitation de pommes En supposant un comportement de gaz parfait pour des
pommes, déterminer la température minimale pour obtenir des pommes en lévitation dans l’air. On attend un raisonnement sérieux avec des valeurs numériques.
3. Mesure de la constante de Boltzmann Dans une expérience historique, Jean Perrin a pu observer au microscope
la répartition à l’équilibre de petites sphères de latex de rayon a = 0,12 µm et de masse volumique ρ = 1,2×103 kg/m3 .
Pour différentes altitudes équidistantes de d = 30 µm, il mesurait à une température T = 293 K, des concentrations
C proportionnelles aux nombres indiqués dans le tableau ci-dessous. Vérifier que ces résultats sont compatibles avec
une loi statistique de Boltzmann (de la forme C(z) = C0 e −mgz/kB T ) et en déduire une mesure de kB .
z
N
5 µm
100
35 µm
47
65 µm
23
95 µm
12
4. Compressibilité de l’eau L’eau liquide est en fait un peu compressible et sa masse volumique peut s’approximer
en fonction de la pression (à température constante) sous la forme :
ρ(P) = ρ0 (1 + α(P − P0 ))
où ρ0 , P0 et α sont des constantes.
1. Quel est le signe α ?
2. Donner l’expression de la pression en fonction de la profondeur sachant qu’à l’interface z = 0, P = P0 , et que
l’axe z est orienté vers le bas.
3. Commenter cette solution pour de faibles profondeurs. On explicitera cette notion.
5. Pression au sommet de l’Everest ∗ On considère que la température de l’air (gaz parfait) décroît linéairement
avec l’altitude. Au niveau de la mer la température vaut 20 ◦ C, et au sommet de l’Everest (altitude 8850 m), elle vaut
−40 ◦ C. La masse molaire de l’air est M = 29 g/mol.
1. Déterminer la loi de variation de la température avec l’altitude.
2. Établir la loi de variation de la pression avec l’altitude. En déduire la pression au sommet de l’Everest en fonction
de la pression au niveau de la mer.
3. Montrer que dans l’atmosphère, on a une relation du type PVk = Cte . Calculer k.
6. Étude d’un ballon sonde ∗ Si le premier ballon-sonde au dihydrogène est dû à Gustave Hermitte et Georges Besançon (1892), c’est incontestablement à l’ingéniosité et à la ténacité de l’atypique Léon Teisserenc de Bort (1855-1913)
qu’on doit la mise au point des techniques d’investigation par ballon-sonde et la première cartographie atmosphérique.
On note (Oz) l’axe vertical ascendant, z = 0 au niveau du sol.
1. Étude de la troposphère.
La troposphère est la partie de l’atmosphère terrestre inférieure à 10 km. On la considère comme un gaz parfait
de pression p(z), de température T(z) et de volume massique v(z). Au sol, on a la pression p0 et la température
T0 . Elle est en équilibre thermodynamique et mécanique et obéit à la loi polytropique empirique :
p−k (z) T(z) = p−k
0 T0
avec
k = 0,15
(a) Comment peut-on qualifier la transformation correspondant au cas k = 0 ?
(b) Donner l’équation d’un état d’un gaz parfait liant p(z), v(z), R, Mair et T(z).
dP
(c) Exprimer la loi de la statique des fluides avec g,
et v(z).
dz
dT
(d) On appelle gradient thermique la variation de la température par mètre :
= −δ. Déduire δ en fonction
dz
de k, de Mair , de g et de R. Calculer numériquement δ (on ne donne pas les valeurs numériques, vous devez
les connaître).
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(e) Donner la loi de variation T(z) en fonction de T0 , δ et z.
(f) On considère une quantité constante de n moles de gaz parfait à l’altitude z qui évolue dans la troposphère.
V(z)
On note V(z) le volume qu’elle occupe à l’altitude z et V0 son volume au sol. Déterminer la loi
en
V0
fonction de δ, z, T0 et k.
2. Ascension d’un ballon sonde.
Le ballon sonde dégonflé et instrumenté a une masse totale mB = 1,2 kg. On gonfle au sol son enveloppe avec n0
moles de dihydrogène. Son volume est alors V0 . L’envelopper reste fermée tant que son volume V(z) < Vmax = 10 V0 .
Lorsque V(z) = Vmax , l’enveloppe se déchire et le ballon retombe au sol.
−
→
(a) On suppose que l’enveloppe hermétiquement fermée. Sur ce ballon s’exerce une force de frottement Ff . La
→
→+−
force totale s’exerçant sur le ballon est (F − mB g)−
u
Ff . Exprimer le terme F en fonction de n0 , de g, de
z
la masse molaire du dihyrogène MH2 = 2 g/mol et de celle de l’air Mair .
(b) Calculer la valeur minimale nmin de n0 pour que le ballon décolle.
(c) On admet que le modèle de troposphère précédent. Durant l’ascension, on peut considérer que la pression
p et la température sont quasiment identiques à l’intérieur et à l’extérieur du ballon. Calculer h, altitude
maximale atteinte en prenant T0 = 293 K. Commenter le résultat.
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