1. No category

DM05
PCSI
DM05
Exercice : Force en 1/r3
I
→
→
→
Le référentiel R(O, −
ex , −
ey , −
ez ) est supposé galiléen. Un point matériel M de masse m est soumis à une force d’ex−−→
→
→
−
3 −
pression F = −(a/r ) er où er = OM/OM, r = OM et a une constante positive. À l’instant initial, la position de M
−−→
→
→
→
→
ex et sa vitesse est −
v0 = v0 (cos α−
ex + sin α−
ey ).
est telle que OM(t = 0) = r0 −
1. Montrer que le mouvement est plan et déterminer le plan de la trajectoire.
2. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle effective compte tenu des conditions initiales.
3. r0 étant donnée, indiquer la condition sur v0 pour que le système soit dans un état de diffusion.
4. La particule est dans un état
r de diffusion et α = π/2. Déterminer l’équation polaire de la trajectoire r(θ). On
a
introduira la constante η = 1 −
et on représentera la trajectoire pour η = 0,1.
mr02 v02
II
Activité Documentaire sur l’expérience de Rutherford
II.1
Questions
4k Z e2
.
mα vα2
2. « Le rayon du noyau est donc environ dix mille fois plus petit que celui de l’atome ». Remettez cette phrase à
l’échelle humaine en prenant un exemple.
1. Par conservation de l’énergie, retrouver la formule R =
3. À partir des valeurs numériques du document 1, estimer la longueur d’onde de De Broglie de la particule α ?
Reliez cette longueur aux échelles sondées par cette particule.
4. Représenter sur la deuxième figure du document 3, l’allure du potentiel de Coulomb. Montrer, à partir d’un
raisonnement énergétique sur ces graphiques, que Rutherford aurait pu avoir une toute autre conclusion sur ses
expériences s’il avait eu accès à des particules très accélérés.
5. Expliquer la figure 1 du document 3 à partir de la figure 2 du même document.
6. D’après ce même graphique, pourquoi parle-t-on actuellement de barrière colombienne nucléaire ?
7. Comment cela se serait-il modifié si on avait pris dès le départ un neutron (qui n’était pas encore découvert à
l’époque) ?
8. Quel autre formalisme Rutherford n’a-t-il pas eu besoin d’utiliser (et heureusement) pour décrire cette expérience
si les particules avaient eu une grande énergie cinétique ?
9. Pour aller plus loin : imaginons que deux noyaux veulent se fusionner. On admet que l’allure de l’énergie potentielle est la même que celle du document 3. Comment peut-on expliquer quantiquement que l’énergie nécessaire
pour les faire fusionner est 10x fois plus petite expérimentalement que celle nécessaire pour franchir la barrière
colombienne ?
10. Approche documentaire : En vous appuyant sur ces documents et les questions précédentes, relier l’échelle
spatiale sondée à l’énergie mise en jeu lors d’une collision en s’appuyant sur l’expérience de Rutherford pour
tenir un oral d’environ 5-10 minutes.
II.2
Documents
Document 1 : Cet extrait est issu de « Physique » de Hecht.
Un jour vers le début de 1909, Geiger se rendit chez Rutherford pour lui demander si son étudiant, nommé Marsden,
pourrait « commencer par une petite recherche ». Étant dans les mêmes dispositions, Rutherford suggéra une expérience
de diffusion simple, dont il était presque certain de connaître les résultats. Rutherford avait été le premier à diffuser
des particules α par des atomes, et Geiger avait fait aussi un certain travail dans ce domaine. L’idée était d’étudier
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comment les particules α étaient déviées en traversant une feuille mince et d’en apprendre éventuellement quelque
chose sur la structure cachée des atomes de la cible.
Un tube creux de plomb, contenant quelques milligrammes d’un composé du radium, servait de canon à particules α
projetant un faisceau bien précis. La cible, était une feuille mince en or d’épaisseur environ 0,000 06 cm correspondant
à environ 1000 couches d’atomes seulement. Les particules α, qui traversaient aisément la feuille, étaient interceptées
par un écran de sulfure de zinc placé un peu plus loin. L’impact d’une particule α sur l’écran donnait une scintillation
qui pouvait être vue dans une pièce totalement sombre. Les scintillations pouvaient alors être comptées à grand peine.
En plaçant le détecteur dans l’exacte direction du faisceau incident, les expérimentateurs trouvèrent que très peu de
particules α étaient déviées du faisceau original, même d’un petit angle. Ce résultat était assez raisonnable, car les
particules α très massives se déplaçaient très rapidement. Elles continuaient vraisemblablement leur chemin à travers
le « pudding » positif et ne pouvaient guère être déviées d’une façon appréciable par les « raisins » minuscules que
sont les électrons. Alors, quand Rutherford suggéra que Marsden cherche les particules α diffusées à grands angles
(supérieurs à 90◦ ), il était presque sûr que l’étudiant passionné n’allait tout simplement en trouver aucune.
Deux ou trois jours plus tard, Geiger se précipita, très excité, vers le grand homme pour lui communiquer l’incroyable
nouvelle : « Nous avons été capables d’obtenir quelques particules α diffusées vers l’arrière ». Rutherford raconta que
« c’était presque aussi incroyable que si un obus de 15 pouces (de diamètre 38 cm), tiré sur un tissu de papier
rebondissait pour revenir vous frapper ». Il fallut près de deux ans pour que Rutherford formule une théorie qui
explique ces extraordinaires observations.
Il était clair dès le début que chaque particule alpha ne pourrait être renvoyée vers l’arrière (vers la source) que par
une collision frontale avec un objet concentré, très chargé, positif et massif, un noyau atomique. Nous savons que
l’étude des collisions élastiques qu’un projectile (une particule α) peut rebondir vers l’arrière sur une cible (un noyau)
seulement si sa masse est inférieure à celle de la cible. Cette sorte de collision doit être un évènement très rare, car
il est probable que le noyau est d’une extrême petitesse, sinon la plus grande partie du faisceau n’aurait pas traversé
la feuille sans déviation. Pour être précis, la déviation vers l’arrière avait lieu seulement une fois sur 10000 ou 20000
impacts. Néanmoins, il y avait plusieurs millions de particules α qui frappaient la feuille (un gramme de radium subit
environ 4 × 1010 désintégrations atomiques par seconde).
« Papa » Rutherford vit l’analogie avec la trajectoire courbée d’une comète dans le champ gravitationnel attractif
du Soleil. Pendant ce temps, il put établir une équation de la diffusion dans le cas d’une interaction répulsive entre
une cible et un projectile comme dans le cas des particules chargées positivement. La particule α décrit une orbite
hyperbolique. Un matin de 1911, Rutherford, heureux, entra lentement dans le laboratoire de Geiger pour partager
avec lui l’un des grands secrets de l’Univers : Le cœur de chaque atome est une concentration massive dans
un très petit volume de charge positive, le noyau, (un terme qu’il introduisit en 1912), baignant dans une
distribution d’électrons. Geiger commença aussitôt à analyser les prédictions théoriques de ce modèle : la dépendance spécifique de la diffusion sur l’épaisseur de la feuille, la charge nucléaire, la vitesse des particules α, etc. En
un an, ses mesures montrèrent de façon extraordinairement convaincante la puissance de cette image encore floue. Le
noyau atomique venait de surgir.
On sait que les atomes ont un rayon de l’ordre de 10−10 m. À présent, les expériences de diffusion de Rutherford
permettaient d’estimer la taille du noyau. Supposons qu’une particule α entre en collision frontale avec un noyau, que
nous supposons contenir un nombre de charges positives Z e.
[...]
La particule α atteint le point le plus proche du noyau, à une distance r = R, où elle s’arrête momentanément
(comme si elle avait comprimé un ressort) et elle rebrousse chemin. [On trouve une valeur de]
R=
4k Z e2
mα vα2
[avec k le coefficient numérique (hors charges et r) dans l’énergie potentielle de la force, vα la vitesse de la particule
alpha venant de ”l’infini”.]
Cette distance représente une limite supérieure de la valeur du rayon nucléaire. [...] Dans le cas des particules α avec
vα = 1,5 × 107 m/s et mα = 6,6 × 10−27 kg, on trouve un rayon du noyau d’or égal à R = 5 × 10−14 m. Le rayon du
noyau est donc environ dix mille fois plus petit que celui de l’atome.
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Document 2 : résultats de simulations Python.
Cette simulation présente la trajectoire d’une particule α en fonction de la distance par rapport à l’axe en pointillés
(appelé paramètre d’impact). Le rond rouge représente le noyau. La particule α arrive vers x = −∞.
Trajectoire en fonction du paramètre d'impact
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
−2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Ci-dessous, on représente la trajectoire de plusieurs particules d’énergie cinétique différente.
2.0
Distance minimale en fonction de Ec
1.5
1.0
0.5
d
0.0
−0.5
−1.5
−1.0
−0.5
min
0.0
0.5
1.0
1.5
Document 3 : Cet extrait est issu de « Physique » de Hecht.
Les expériences de diffusion de Rutherford ont établi en 1913, que les particules α interagissent avec les noyaux
par interaction colombienne jusqu’à des distances de l’ordre de 10−14 m. En 1919, il bombarda des noyaux de faible Z
avec des particules α de 5 MeV, minimisant ainsi la répulsion colombienne. Avec de l’hydrogène comme cible, il trouva
qu’à des distances d’environ 3,5 fm la diffusion était remarquablement différente de ce que prédit l’électrodynamique
(voir figure). On représente ci-dessous, le nombre de particules α diffusé en fonction de l’énergie de ces particules.
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À des distances relativement grandes, les protons se repoussent avec la force de Coulomb, mais un changement se
produit à une distance proche de 3 fm ; l’interaction devient alors de plus en plus attractive.
[...] La figure ci-dessous représente l’énergie potentielle pour un proton en interaction avec un noyau de rayon R.
Énergie potentielle de l'interaction proton/noyau
10
Ep (r)
8
Énergie (MeV)
6
4
2
0
−2
−40
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2
r (fm)
3
4
5
4