1. No category

Grundlagen Digitaler Systeme (GDS)
Prof. Dr. Sven-Hendrik Voß | Sommersemester 2015
Technische Informatik (Bachelor), Semester 1
Termin 2, Donnerstag, 16.04.2015
Seite 2
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Inhaltsverzeichnis
Aktuelles
Themen und Termine
Lernziele
Boolesche Algebra
De Morgansches Theorem
Vereinfachungen
¨
Dualitatsprinzip
Positive und negative Logik
Zusammenfassung
Sommersemester 2015
Seite 3
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Aktuelles
Wahl eines Semestersprechers
Lehrveranstaltungsmaterial online unter http://prof.beuth-hochschule.de/voss
Tutorium startet erst ab 04.05.!
Seite 4
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Themen und Termine - Seminaristischer Unterricht
Seminaristischer Unterricht (SU) im Raum B323,
donnerstags 10:00 - 11:30 Uhr
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Datum
09.04.
16.04.
23.04.
30.04.
07.05.
14.05.
21.05.
28.05.
04.06.
11.06.
18.06.
25.06.
02.07.
09.07.
16.07.
23.07.
30.07.
Themen
Einfuhrung;
Boolesche Algebra (1)
¨
Boolesche Algebra (2)
Vereinfachung logischer Funktionen (1)
Vereinfachung logischer Funktionen (2)
Zahlensysteme (1)
Christi Himmelfahrt
Zahlensysteme (2)
Logische Grundschaltungen (1)
Logische Grundschaltungen (2)
¨
Binar-Codes
(1)
¨
Binar-Codes
(2)
Sequentielle Logik (1)
Sequentielle Logik (2)
Sequentielle Logik (3)
Busse, Entwicklung Addierwerk
Klausur
Klausurruckgabe
und -besprechung
¨
Kurztest
1
2
3
Seite 5
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Themen und Termine - Laborubung
¨
Laborubung(UE)
im Raum B352, donnerstags 12:15 - 15:45 Uhr
¨
Nr.
1
2
3
4
5
6
Datum
23.04. / 30.04.
07.05. / 21.05.
28.05. / 04.06.
11.06. / 18.06.
25.06. / 02.07.
09.07. / 16.07.
Themen
Einfuhrung;
Logische Grundfunktionen (UE1)
¨
Codierer/Decodierer (UE2)
Multiplexer/Demultiplexer (UE3)
Addier-/Subtrahierschaltungen (UE4)
Flipflops/Schieberegister (UE5)
Addierwerk (UE6)
Seite 6
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Lernziele
Nach diesem Termin sollten Sie...
I
die Gesetze der Booleschen Algebra kennen und diese zur
¨
Vereinfachung von Schaltungen einsetzen konnen
I
AND- und OR-Verknupfungen
mittels Negation ineinander umwandeln
¨
¨
konnen
I
Logikbausteine wie NAND und NOR kennen und vorteilhaft einsetzen
¨
konnen
Seite 7
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
Grundfunktionen der Schaltalgebra
I
AND, OR und NOT sind Grundfunktionen
I
¨
mit AND, OR und NOT lassen sich samtliche
Schaltfunktionen realisieren
I
¨
aus AND, OR und NOT gebildetes System wird vollstandiges
”
Logik-System“ genannt
I
Grundfunktionen lassen sich ausschließlich mit NAND- bzw.
NOR-Gattern aufbauen
Rechenregeln der Boolschen Algebra
I
wichtig fur
¨ die Vereinfachung komplizierter Funktionen
I
¨
konnen
durch Verwendung von Wahrheitstabellen bewiesen werden
Seite 8
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
x0 ∧ x1 = x1 ∧ x0
x0 ∨ x1 = x1 ∨ x0
¨
Das Ergebnis der Verknupfung
zweier Variablen hangt
nicht von der
¨
Reihenfolge ab, in der die Variablen zueinander stehen.
Seite 9
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
Assoziativgesetz (Zusammenfassungsgesetz)
(x0 ∧ x1 ) ∧ x2 = x0 ∧ (x1 ∧ x2 )
(x0 ∨ x1 ) ∨ x2 = x0 ∨ (x1 ∨ x2 )
¨
Das Ergebnis der Verknupfung
hangt
nicht von der Reihenfolge in der
¨
Klammerung ab.
Seite 10
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
x0 ∧ (x1 ∨ x2 ) = (x0 ∧ x1 ) ∨ (x0 ∧ x2 )
x0 ∨ (x1 ∧ x2 ) = (x0 ∨ x1 ) ∧ (x0 ∨ x2 )
Entspricht der zwischen Multiplikation und Addition bekannten
¨
¨
Gesetzmaßigkeit
auf reelen Zahlenkorpern,
wobei die AND-Verknupfung
der
¨
Multiplikation und die OR-Verknupfung
der Addition entspricht.
¨
Seite 11
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
Absorptionsgesetz (Verschmelzungsgesetz)
x0 ∧ (x0 ∨ x1 ) = x0
x0 ∨ (x0 ∧ x1 ) = x0
Ist x0 wahr, dann ist der Wert von x1 irrelevant. Der Ausdruck ist also
¨
vollstandig
durch x0 bestimmt, x1 wird absorbiert.
Seite 12
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
¨
Idempotenzgesetz (Identitatsgesetz)
x0 ∧ x0 = x0
x0 ∨ x0 = x0
Die Variable bleibt bei disjunktiver bzw. konjunktiver Verknupfung
mit sich
¨
¨
selbst unverandert.
Seite 13
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
Existenz der neutralen Elemente
x0 ∧ 1 = x0
x0 ∨ 0 = x0
Es existieren fur
¨ jede der beiden Operationen AND und OR je ein neutrales
Element, fur
mit einer Variablen x wiederum die
¨ welche die Verknupfung
¨
Variable x ergibt.
Seite 14
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
¨
Existenz der komplementaren
Elemente
x0 ∧ x0 = 0
x0 ∨ x0 = 1
Zu jeder Variable existiert auch das Komplement, so dass gezeigte
Verknupfungen
gelten.
¨
Seite 15
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Boolesche Algebra
De Morgansches Theorem
x0 ∧ x1 = (x0 ∨ x1 )
x0 ∨ x1 = (x0 ∧ x1 )
anders geschrieben:
x0 ∧ x1 = x0 ∨ x1
x0 ∨ x1 = x0 ∧ x1
Das Komplement (die Negation) einer AND-Verknupfung
von Variablen ist
¨
gleich der OR-Verknupfung
der Komplemente aller Variablen und andersrum.
¨
Seite 16
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
De Morgansches Theorem
Wichtigste Regel, die eine Umwandlung der AND-Verknupfung
in eine
¨
OR-Verknupfung
und umgekehrt erlaubt
¨
Satz von Shannon
¬(f (a, b, ..., ∧, ∨, 0, 1)) = f (¬a, ¬b, ..., ∨, ∧, 1, 0)
. Verallgemeinerung des De Morganschen Theorems
Satz von Shannon (De Morgansches Theorem) hat große Bedeutung fur
¨ die
Schaltungstechnik, insbesondere bei der Transformation von Schaltungen
Seite 17
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Vereinfachungen
Durch Anwendung der Rechenregeln der Boolschen Algebra ergeben sich
folgende Vereinfachungen
x0 ∨ (x0 ∧ x1 ) = x0 ∨ x1
x0 ∧ (x0 ∨ x1 ) = x0 ∧ x1
(Adsorptionsgesetz)
Im Detail: x0 ∨ (x0 ∧ x1 ) = (x0 ∨ x0 ) ∧ (x0 ∨ x1 ) = 1 ∧ (x0 ∨ x1 ) = x0 ∨ x1
(x0 ∧ x1 ) ∨ (x0 ∧ x1 ) = x0
(x0 ∨ x1 ) ∧ (x0 ∨ x1 ) = x0
(Nachbarschaftsgesetz)
Beispiel: Vereinfachung von y = (x0 ∨ x2 ) ∧ (x1 ∨ x2 ) ∧ (x0 ∨ x2 ) ∧ (x1 ∨ x2 )
y = [(x0 ∧ x1 ) ∨ x2 ] ∧ [(x0 ∧ x1 ) ∨ x2 ] = (x0 ∧ x1 ) ∨ (x2 ∧ x2 )
(x0 ∧ x1 ) ∨ (x2 ∧ x2 ) = (x0 ∧ x1 ) ∨ 0 = x0 ∧ x1
Seite 18
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
¨
Dualitatsprinzip
Aus der Symmetrie der Gesetze erkannt man Folgendes:
¨ indem man
1. Gilt ein Gesetz, so gilt auch das Gesetz, welches man erhalt,
AND und OR und die Konstanten 0 und 1 vertauscht
→ DUALES GESETZ
2. Analog dazu: Eine Funktion f’, die aus der Funktion f durch Vertauschen
von AND und OR und 0 und 1 entstanden ist, heißt:
→ DUALE FUNKTION zu f
Dies ist mit dem De Morganschen Theorem nachprufbar!
¨
(x0 ∧ x1 ∧ x2 ) = x0 ∨ x1 ∨ x2
Jede logische Schaltung realisiert zwei verschiedene, zueinander duale,
Funktionen. Jeder dieser Funktionen sind bestimmte Zeilen der
Wahrheitstabelle zugeordnet.
Seite 19
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Positive und negative Logik
Einfuhrung
der Schaltalgebra: Werte 0 und 1 benutzt
¨
Schaltalgebra → konkrete Schaltung: Zuordnung erforderlich, welche
Spannungen die logischen Werte darstellen
Positive und negative Logik sind Notationskonventionen“ in der Digitaltechnik
”
I
¨
¨
Positive Logik: High-Pegel codiert Binarwert
1, Low-Pegel Binarwert
0
→ high-active Konvention
I
¨
¨
Negative Logik: High-Pegel codiert Binarwert
0, Low-Pegel Binarwert
1
→ low-active Konvention
Merke: Wird ein Signal statt in positiver Logik in negativer Logik interpretiert
(oder umgekehrt), so entspricht dies einer Negation an allen betroffenen Ein¨
und Ausgangen.
Seite 20
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Positive und negative Logik
Es gilt:
I
gleiche physikalische Realisierung
I
gleiche Ein- und Ausgangsspannungen
I
unterschiedliche Formen in der Schaltalgebra
Elektrische
Funktionstabelle
x0 x1
y
low low low
low high low
high low low
high high high
Wahrheitstabelle
positive Logik
x0
0
0
1
1
x0
x1
Wahrheitstabelle
negative Logik
x1
0
1
0
1
y
0
0
0
1
x0
1
1
0
0
x1
1
0
1
0
y
1
1
1
0
&
y
x0
x1 >=1 y
Seite 21
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Zusammenfassung
Heute haben Sie gelernt...
I
welche Rechenregeln in der Boolschen Algebra gelten
I
wie man komplizierte Funktionen vereinfacht
I
wie man positive in negative Logik uberf
uhrt
¨
¨
Seite 22
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
¨
Ausblick auf nachste
Stunde
¨
In der nachsten
Stunde widmen wir uns...
I
der Minimierung Boolescher Funktionen
I
der Umformung in Normal- und Minimalform
Seite 23
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Hinweise zum Selbststudium
Zur Vertiefung wird empfohlen...
I
GDS-Skript
I
Dirk Hoffmann: Grundlagen der technischen Informatik, Hanser Verlag,
ISBN 3446406913
Seite 24
Boolesche Algebra |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Kritik
Nun sind Sie dran:
I
Kritik: Was funktioniert gut / was schlecht?
I
Anregungen
I
Wunsche
¨
I
¨
Verbesserungsvorschlage
in Bezug auf Inhalt und Organisation der
Vorlesung