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Grundlagen Digitaler Systeme (GDS)
Prof. Dr. Sven-Hendrik Voß | Sommersemester 2015
Technische Informatik (Bachelor), Semester 1
Termin 3, Donnerstag, 23.04.2015
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Vereinfachung logischer Funktionen |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Inhaltsverzeichnis
Themen und Termine
Lernziele
Normalformen
Disjunktive Normalform
Konjunktive Normalform
Darstellung von Funktionen in Normalformen
Minimierung mit Hilfe der Schaltalgebra
Zusammenfassung
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Vereinfachung logischer Funktionen |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Themen und Termine - Seminaristischer Unterricht
Seminaristischer Unterricht (SU) im Raum B323,
donnerstags 10:00 - 11:30 Uhr
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Datum
09.04.
16.04.
23.04.
30.04.
07.05.
14.05.
21.05.
28.05.
04.06.
11.06.
18.06.
25.06.
02.07.
09.07.
16.07.
23.07.
30.07.
Themen
Einfuhrung;
Boolesche Algebra (1)
¨
Boolesche Algebra (2)
Vereinfachung logischer Funktionen (1)
Vereinfachung logischer Funktionen (2)
Zahlensysteme (1)
Christi Himmelfahrt
Zahlensysteme (2)
Logische Grundschaltungen (1)
Logische Grundschaltungen (2)
¨
Binar-Codes
(1)
¨
Binar-Codes
(2)
Sequentielle Logik (1)
Sequentielle Logik (2)
Sequentielle Logik (3)
Busse, Entwicklung Addierwerk
Klausur
Klausurruckgabe
und -besprechung
¨
Kurztest
1
2
3
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Sommersemester 2015
Lernziele
Nach diesem Termin sollten Sie...
I
in der Lage sein, die Inhalte einer Wahrheitstabelle als disjunktive und
¨
konjunktive Normalform abbilden zu konnen
I
Boolesche Funktionen von der Normalform in eine Minimalform
¨
uberf
uhren
konnen
¨
¨
I
¨
fur
ob diese sich in einer
¨ eine gegebene Funktion beurteilen konnen,
Normal- respektive Minimalform befindet
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Vereinfachung logischer Funktionen |
Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Normalformen
¨
In der Praxis haufig:
Wie kommt man von konkreter Problemstellung zur
¨
dazugehorigen
Schaltfunktion?
¨ Funktion kann allein durch AND, OR und NOT (d.h.
Jede binare
¨
verschiedene aquivalente
Boolesche Terme) dargestellt werden
I
systematische Vorgehensweise wunschenswert
¨
I
gegeben durch sog. Normalformen (einheitliche normierte Darstellung)
Normalformen werden zum Schaltkreisentwurf eingesetzt und sind dazu
¨
unerlasslich!
I
¨
Boolesche Funktionen, die in einer Normalform vorliegen, konnen
direkt
in ein zweistufiges Schaltnetz uberf
uhrt
werden!
¨
¨
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Sommersemester 2015
Disjunktive Normalform
Man betrachtet die Eingangsvektoren Xi , fur
¨
die die Funktion y = f (x) den Wert 1
annimmt.
I
es gilt also fur
¨ diese: f (Xi ) = 1
Hier: X0 , X2 , X3 , X5 , X6
Man bildet fur
¨ jeden dieser Eingangsvektoren
eine Konjunktion der Elemente xi , die fur
¨
diesen Eingangsvektor den Wert 1 annimmt.
Beispiel fur
¨ X5 : m5 = x2 ∧ x1 ∧ x0
Man nennt m5 auch Minterm
Wahrheitstabelle
Dezimal
0
1
2
3
4
5
6
7
x2
0
0
0
0
1
1
1
1
x1
0
0
1
1
0
0
1
1
x0
0
1
0
1
0
1
0
1
y
1
0
1
1
0
1
1
0
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Disjunktive Normalform
Minterme
I
erhalten alle Eingangsvariablen (daher auch Vollkonjunktion genannt)
I
umfassen Eingangsvariablen invertiert oder nichtinvertiert (je nachdem,
ob entsprechende Eingangsvariable 1 oder 0 ist)
I
haben fur
¨ einen bestimmten Fall der Eingangsvariablen den Wert 1
Fur
¨ gezeigtes Beispiel:
m0 = x2 ∧ x1 ∧ x0
m2 = x2 ∧ x1 ∧ x0
m3 = x2 ∧ x1 ∧ x0
m5 = x2 ∧ x1 ∧ x0
m6 = x2 ∧ x1 ∧ x0
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Sommersemester 2015
Disjunktive Normalform
Gesamte Funktion wird durch Disjunktion der Minterme dargestellt
I
Funktion soll Wert 1 bekommen, wenn einer der Minterme 1 wird
I
Darstellungsweise wird disjunktive Normalform (DNF) genannt
Fur
¨ gezeigtes Beispiel lautet die DNF:
y = (x2 ∧ x1 ∧ x0 ) ∨ (x2 ∧ x1 ∧ x0 ) ∨ (x2 ∧ x1 ∧ x0 ) ∨ (x2 ∧ x1 ∧ x0 ) ∨ (x2 ∧ x1 ∧ x0 )
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Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Konjunktive Normalform
Man betrachtet die Eingangsvektoren Xi , fur
¨
die die Funktion y = f (x) den Wert 0
annimmt.
I
es gilt also fur
¨ diese: f (Xi ) = 0
Hier: X1 , X4 , X 7
Man bildet die sog. Maxterme Mi , d.h.
Disjunktionen der Elemente xi , die fur
¨ diesen
Eingangsvektor den Wert 0 annehmen.
M1 = x2 ∨ x1 ∨ x0
M4 = x2 ∨ x1 ∨ x0
M7 = x2 ∨ x1 ∨ x0
Wahrheitstabelle
Dezimal
0
1
2
3
4
5
6
7
x2
0
0
0
0
1
1
1
1
x1
0
0
1
1
0
0
1
1
x0
0
1
0
1
0
1
0
1
y
1
0
1
1
0
1
1
0
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Grundlagen digitaler Systeme |
Sommersemester 2015
Konjunktive Normalform
Maxterme
I
erhalten alle Eingangsvariablen
I
umfassen Eingangsvariablen invertiert oder nichtinvertiert (je nachdem,
ob entsprechende Eingangsvariable 1 oder 0 ist)
I
haben fur
¨ einen bestimmten Fall der Eingangsvariablen den Wert 0, d.h.
es mussen
Eingangsvariablen, die im Eingangsvektor gleich 1 sind,
¨
invertiert im Maxterm auftreten
Gesamte Funktion wird durch Konjunktion der Maxterme dargestellt
I
Funktion soll Wert 0 bekommen, wenn mindestens einer der Maxterme
gleich 0 ist
I
Darstellungsweise wird konjunktive Normalform (KNF) genannt
Fur
¨ gezeigtes Beispiel lautet die KNF:
y = (x2 ∨ x1 ∨ x0 ) ∧ (x2 ∨ x1 ∨ x0 ) ∧ (x2 ∨ x1 ∨ x0 )
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Darstellung von Funktionen in Normalformen
Merke:
I
KNF und DNF sind bis auf kommutative Vertauschungen eindeutig
I
KNF und DNF lassen sich direkt aus den Funktionstabellen ablesen
KNF und DNF sind gleichwertige Darstellungsformen fur
¨ eine Funktion
I
oft unterschiedlich komplex
I
Anzahl der Eingangsvektoren, fur
¨ die die Funktion 1 ist
→ Anzahl der Minterme
I
Anzahl der Eingangsvektoren, fur
¨ die die Funktion 0 ist
→ Anzahl der Maxterme
I
¨
wahle
gunstigere
Form: DNF bei Funktionen mit weniger Einsen als
¨
Nullen, KNF bei Funktionen mit weniger Nullen als Einsen
KNF und DNF lassen sich mittels Satz von Shannon ineinander uberf
uhren
¨
¨
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Sommersemester 2015
Minimierung mit Hilfe der Schaltalgebra
DNF und KNF eignen sich zum Aufstellen der booleschen Gleichungen
I
zweistufige Schaltung → schnell, aber bzgl. Gatteraufwand nicht ideal
I
¨
Normalformen konnen
weiter optimiert werden → Vereinfachungsregeln
Beispiel: Minimierung folgender Funktion
y = (x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 )
∨(x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 )
Anwendung des Nachbarschaftsgesetzes auf Term 1 und 2, wobei Term 2
¨
stehengelassen wird, da noch benotigt
fur
¨ Zusammenfassung mit Term 3
y = (x0 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 )
∨(x0 ∧ x1 ∧ x2 ∧ x3 )
Term 2 und 3, sowie 4 und 5 auf die gleiche Art und Weise
y = (x0 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (x0 ∧ x1 ∧ x3 ) ∨ (x0 ∧ x1 ∧ x3 )
y = (x0 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (x1 ∧ x3 )
→ Minimalform (= zwei AND-Gatter und ein OR-Gatter)
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Minimierung mit Hilfe der Schaltalgebra
Konjunktive oder disjunktive Minimalformen
I
Ausdruck (Schaltung) mit dem geringsten Aufwand an Variablen (Anzahl
¨
Eingange)
und Verknupfungen
(Anzahl Logikgatter)
¨
I
sowohl Anzahl der Disjunktionen bzw. Konjunktionen, als auch die
Anzahl der auftretenden Variablen muss in jedem Disjunktions- /
Konjunktionsterm minimal sein
I
damit: geringere Kosten und weniger Laufzeitprobleme bei zeitkritischen
Schaltungen!
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Zusammenfassung
Heute haben Sie gelernt...
I
wie man Sachverhalte aus dem Bereich der kombinatorischen Logik in
Wahrheitstabellen abbildet
I
Funktionen in ihre Normalform bringt
I
wie man aus einer Normalform mit algebraischen Mitteln eine
Minimalform ableitet
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Sommersemester 2015
¨
Ausblick auf nachste
Stunde
¨
In der nachsten
Stunde widmen wir uns...
I
weiteren Vereinfachungsverfahren der Boolschen Algebra
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Sommersemester 2015
Hinweise zum Selbststudium
Zur Vertiefung wird empfohlen...
I
GDS-Skript
I
Dirk Hoffmann: Grundlagen der technischen Informatik, Hanser Verlag,
ISBN 3446406913
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Kritik
Nun sind Sie dran:
I
Kritik: Was funktioniert gut / was schlecht?
I
Anregungen
I
Wunsche
¨
I
¨
Verbesserungsvorschlage
in Bezug auf Inhalt und Organisation der
Vorlesung